ENIVL 2006-2007 29/01/2007 1ère année Examen Partiel Mathématiques Module 2

Calculatrice autorisée. Documents interdits.

Exercice 1 : 5 pts

1. Résoudre dans l’équation 3 22 3z z iz i 0− − + − = sachant que l’une des solutions est réelle.

2. Montrer que les solutions sont affixes des sommets d’un triangle rectangle isocèle.

Exercice 2 : 5 pts

1. On considère la fonction 2: 2 1g x x x−a . Déterminer son ensemble de définition puis établir son tableau de variations. Préciser les extrema de g sur son ensemble de définition.

2. Déduire du 1. l’ensemble de définition de ( )2: arcsin 2 1f x x −a x .

3. Déterminer l’ensemble des points où f est dérivable. En ces points, montrer

que ( )2

2 2

2 1 2 1'( )1 2 1

xf x

x x

−= ×

− −.

4. Calculer 2sin7

f π⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.

Exercice 3 : 5 pts

1. Rappeler les formules d’Euler. 2. Soit et α β deux nombres réels et e et eia b iα β= = . Mettre le nombre complexe

z a b= + sous forme trigonométrique.

Indication : on pourra poser et 2 2

u vα β α β+ −= = .

3. Ecrire ( )( )cos k n kα β+ − en fonction de . Puis simplifier et a b

( )( )0

cosn

k

nk n k

kα β

=

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ .

Exercice 4 : 5 pts Pour , soit a∈R af la fonction définie par ( ) arctan

1aa xf x

ax+

=−

1. Quel est le domaine de définition de la fonctionaD af ?

1

2. Montrer que af est dérivable sur et que : aD ( ) (, arctana ax D f x′ ) 0∀ ∈ − = 3. Déterminer lim ( ) et lim ( )a ax x

f x f→+∞ →−∞

x

4. Déduire des résultats précédents, une expression plus simple de af sur (distinguer suivant les intervalles).

aD

5. Question bonus : Montrer que :

( ) 2, , arctan arctan arctan 11a ba b a b ab

ab+⎛ ⎞∀ ∈ + = ⇔ <⎜ ⎟−⎝ ⎠

R

Rappel :

10,arctan arctan2

10,arctan arctan2

x xx

x xx

π

π

⎛ ⎞∀ > + =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞∀ < + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Fin du sujet

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