Exemples de modélisation mathématique du cycle cellulaire

MPRI - Bio-informatique formelle - LC

Exemples de modélisation mathématique

du cycle cellulaire


1. La modélisation mathématique2. Le cycle cellulaire3. L’exemple de la levure4. Biocham et un cycle cellulaire générique5. Description des projets

Outline


1. Modélisation mathématique classique de systèmes dynamiques non-linéaires


Les diagrammes permettent d’organiser les résultats expérimentaux

Protein A

Protein B

Un exemple:



Méthodes de modélisationde systèmes dynamiques et non-linéaires

Une cellule peut être considérée - comme un système non-linéaire car certaines de ses parties interagissent, interfèrent ou coopèrent entre elles.-comme un système dynamique car elle évolue dans le tempset l’espace

Les équations différentielles peuvent être utilisées pour dessystèmes qui changent dans le temps de manière continue.

Les équations différentielles peuvent suivre les changements de concentrations des protéines en fonction du temps


2. Le cycle cellulaire


Définition

Cycle cellulaire : le cycle cellulaire est une succession d’évènements pendant lesquels une cellule grossit et se divise en deux cellules filles, chacune contenant l’information nécessaire pour répéter le processus


Cycle cellulaire

G1 Gap entre les phases M et S

S Synthèse de l’ADN

G2 Gap entre les phases S et M

M Mitose

Quatre phases


Le cycle embryonnaire et le cycle de cellules somatiques

0 6 12 18 24heures

Cycle cellulaire d’une cellule somatique typique

12 cycles cellulaires embryonnaires

G1 S G2 M

L’œuf est déjà de grande taille et possède tous les nutriments nécessaires, les enzymes qui catalysent les procédés du cycle cellulaire, toutes les composantes de la structure de la cellule => pas de G1 et G2.

Une cellule somatique est de petite taille, et doit importer tous les nutriments nécessaires pour qu’elle puisse grandir et dupliquer toutes les composantes de la cellule.

Early embryonic and somatic cell cycles in frogs from Murray and Hunt, The Cell Cycle, 1993, fig. 2-2


Régulation du cycle cellulaire par les CDKCDK: - est formé de 2 unités: Cdk (cyclin dependent kinase) et son partenaire, une cycline- assure l’alternance entre les phases S et M- contrôle la taille de la cellule- contrôle la réplication de l’ADN- vérifie que l’ADN se réplique une fois et une seule fois par cycle

Le cycle cellulaire estorchestré par leschangements d’activitédes complexes Cdk/cycline


3. Exemple de la levure de boulanger


Le cycle cellulaire de la levure

Saccharomyces cerevisiae


Les complexes Cdk/cyclines au centre du cycle cellulaire …


M(anaphase)

M(telophase)

Division cellulaire

G1

S

G2

M(metaphase)

Ennemis Cdc28 Clb5Cdc28

Clb5

Cln2Cdc28

Cln2

Clb2Cdc28

Clb2

SPF

MPF

Emergence du bourgeon


SPF et MPF en fonction du temps

G1 G1S G2 M

MPF

SPF

temps

Concentrationdes protéines


Différentes manières de régulerl’activité des complexes Cdk/cycline

SPF, MPF

Dégradation Inhibition

Synthèse Phosphorylation


Pourquoi SPF et MPF sont-ils inactifs en phase G1?

- ils ne sont pas synthétisés- les inhibiteurs sont actifs - le processus de dégradation est actif

G1 G1S G2 M

MPF

SPF

temps


Ennemi

Ennemi


Antagonisme entre SPF et MPF et leurs ennemis

SPF, MPF

G1: ennemis sont présents SPF, MPF sont absents

S/G2/M: ennemis sont absents SPF, MPF sont présents

STA

RT

FIN

ISH

Comment passe-t-on d’un état à l’autre?

Il existe deux états stables

Ennemis


G1 G1S G2 M

MPF

SPF

temps


Ennemi

Ennemi

Aide Start

AideFinish

Certains mécanismes aident le système à passer par ces transitions


Mais en est-on sûr ?

Modèle simple à deux variables

' "syn deg deg

a i

[CycB]( [APC]) [CycB]

[APC] ( 20) (1 [APC]) ( 2) [CycB] [APC]1 [APC] [APC]

20 concentration of proteins that activates APC at Finish

concentration of proteins

dk k k

dtd B Cdc A Cln

dt J J

Cdc

Cln2

that inactivates APC at Start

0.01 0.1 10.0

0.5

1.0

R=40 R=20 R=3

G1

S/G2/M

ln(CycB)

APC

CycB

APC

APC

Assume Cdc28 always present and in excess

Cln2Cdc20

G1

Start

Finish

[Cln2]

[Cdc20]

AR

B

S/G2/M

AB

ln(CycB)1

03 40


Cdc28/CycBactivity

A + Cln2B + Cdc20

G1

S/G2/M

time

Cln2Cdc20

DNA replication and chromosome alignment

Growth

Le cycle cellulaire : une hysteresis

Start

Finish

A

B


Un modèle plus réaliste du cycle cellulaire de la levure…

growth

Lte1

Clb5MBF

SCFSwi5

Mcm1APC

CDKs

Cln2SBF

?

andCln3

Bck2

DNA synthesis

Inactive trimer

P

Budding

Cdc20

Cdc20

Cdh1

Cdh1

Mcm1

Mad2

unattached kinetochores

Cdc14

SBF

Esp1 Esp1Pds1

Pds1

Net1

Net1-P

PPX

Cdc15/MEN

Tem1-GDP

Tem1-GTP

Bub2

spindle defect

Sister chromatid separation

Mcm1

IEP

RENT

mitosis

CKI CKI

Clb2

Cdc20/APC

Cdh1/APC

CDKs

Cdc20/APC

SCF

Cdc14

Clb2

Cdc14

Inactive trimer

Chen et al. 2004, MBC


Ce modèle peut-il décrire de manière quantitative ce que l’on sait de la

physiologie de la levure ?


Pour cela, il nous faut des modèles mathématiques


d CDK dt = k1 - (v2’ + v2” . Cdh1 ) . CDK

d Cdh1dt =

(k3’ + k3” . Cdc20A) (1 - Cdh1) J3 + 1 - Cdh1 -

(k4’ + k4” . CDK . M) Cdh1 J4 + Cdh1

d IEPdt = k9

. CDK . M . (1 – IEP ) – k10 . IEP

d Cdc20T

dt = k5’ + k5” (CDK . M)4

J54 + (CDK . M)4 - k6

. Cdc20T

d Cdc20A

dt = k7

. IEP (Cdc20T - Cdc20A) J7 + Cdc20T - Cdc20A

- k8

. MAD Cdc20A

J8 + Cdc20A - k6

. Cdc20T

on dérive des équations différentielles…

et des valeurs des paramètres.

k1 = 0.0013, v2’ = 0.001, v2” = 0.17,

k3’ = 0.02, k3” = 0.85, k4’ = 0.01, k4” = 0.9,

J3 = 0.01, J4 = 0.01, k9 = 0.38, k10 = 0.2,

k5’ = 0.005, k5” = 2.4, J5 = 0.5, k6 = 0.33,

k7 = 2.2, J7 = 0.05, k8 = 0.2, J8 = 0.05,

…

Construction classique d’un modèle mathématique

A partir d’un diagramme …


Une approche mathématique classique

'1 1 2

d[Cln2]( [SBF]) mass [Cln2]

dk k k

t

' '3 3 4 4 5

d[Clb2]( [Mcm1]) mass [Cdh1] [Clb2] [Sic1][Clb2]

dk k k k k

t

' ' "6 6 T 7 7 7

6 T 7

[Cdc14] [Cdh1] [Cdh1] [Clb5]+ [Clb2] [Cdh1]d[Cdh1]

d [Cdh1] [Cdh1] [Cdh1]

k k k k k

t J J

synthesis degradation

synthesis degradation binding

activation inactivation


Comment choisir les paramètres ?

Un exemple: Cln2

' "s,n2 s,n2 d,n2

d[Cln2]( [SBF]) mass [Cln2]

dk k k

t

1d,n2 0.12min ,k from half-life measurements, Barral et al. (1995) Genes Dev.

9:399.

" -1s,n2 0.15 min ,k from Cross’ measurements of total Cln2 in asynchronous culture,

Cross et al. (2002) Mol. Biol. Cell 13:52-70.

's,n2 0,k when simulating over-expression, this parameter is set to 0.15

Pas toujours aussi simple…


Simulation de la cellule fille(type sauvage)

Time (min)

Concentration(a.u.)

Clb2

CKI

Cdc20

Cdh1

Mass

Cln2

Clb5

Comparaison entre données expérimentales et la simulation

mathématique du modèle complexe

Time (min)

Concentration(a.u.)

MPF

CKI

Cdc20

Cdh1

Mass

Cln2

SPF


Type sauvageMutant: cdc20ts

Arrêt en metaphase

Mutant: clnΔArrêt en G1

Mutant: clnΔ sic1ΔViable mais plus grosse cellule que type sauvage

Le modèle devrait pouvoir décrire aussi les mutations associées aux protéines présentes dans le modèle :

→ si le mutant est viable : Quelle est la longueur de la phase G1 ? Quelle est la taille de la cellule lors de la division ? …

→ si le mutant n’est pas viable : A quel moment du cycle cellulaire s’arrête-t-il?

Est-ce tout ce qu’un modèle mathématique peut ou doit faire?


Cln2Clb2

Cdh1

CKICdc20

Wild Type

Pds1

Clb2

Cdh1 Clb5Cdc14

cdc20

Cdh1

CKI

cln

Mutant: cln-Paramètres à changer : ksn2’, ksn2’’=0 Phénotype : Arrêt en phase G1

Un cycle cellulaire normal

Quelques exemples

Mutant: cdc20-Paramètres à changer : ks20=0 Phénotype : Arrêt en métaphase

Cln mutants1. cln1 cln2 2. GAL-CLN2 cln1 cln2 3. cln1 cln2 sic14. cln1 cln2 GAL-CLN2 sic15. cln1 cln2 cdh1 6. cln1 cln2 GAL-CLN2 cdh1 7. cln38. GAL-CLN39. cln3 sic110. GAL-CLN3 sic1

Bck2 mutants11. bck2Δ12. 5X BCK213. cln1 cln2Δ bck2Δ14. cln3Δ bck2Δ15. cln3Δ bck2Δ GAL-CLN2 cln1Δ cln2Δ 16. cln3Δ bck2Δ GAL-CLB517. cln3Δ bck2Δ sic1Δ

cln1 cln2 cln3 strain18. cln1Δ cln2Δ cln3Δ19. cln1Δ cln2Δ GAL-CLN2 cln3Δ20. cln1Δ cln2Δ cln3Δ GAL-CLN3 21. cln1Δ cln2Δ cln3Δ sic1Δ22. cln1Δ cln2Δ cln3Δ cdh1Δ23. cln1Δ cln2Δ cln3Δ 2X CLB524. cln1Δ cln2Δ cln3Δ GAL-CLB525. cln1Δ cln2Δ cln3Δ 5X BCK226. cln1Δ cln2Δ cln3Δ GAL-CLB227. cln1Δ cln2Δ cln3Δ apcts

Cdh1, Sic1 and Cdc6 mutants28. sic1 29. GAL-SIC130. GAL-SIC1-db- 31. GAL-SIC1 cln1 cln2 32. GAL-SIC1 cln1 cln2 cdh133. GAL-SIC1 GAL-CLN2 cln1 cln234. GAL-SIC1 GAL-CLN2 cln1 cln2 cdh135. sic1 cdh136. cdh1 37. Cdh1 constitutively active

38. cdc64739. cdc647 sic140. cdc647 cdh1

Clb1 Clb2 mutants41. clb1 clb242. GAL-CLB243. Multicopy GAL-CLB244. GAL-CLB2 sic145. GAL-CLB2 cdh146. GAL-CLB2 GAL-CLN2 cln1 cln2 47. Clb2-db-48. Clb2-db- 3X SIC149. Clb2-db- pds1 clb5 50. Clb2-db- pds1 clb5 cdc2051. GAL-CLB2-db-

Clb5 Clb6 mutants52. clb5 clb653. clb5 cln1 cln254. GAL-CLB555. GAL-CLB5 sic156. GAL-CLB5 cdh157. CLB5-db-58. CLB5-db- sic159. CLB5-db- pds160. CLB5-db- pds1 cdc2061. GAL-CLB5-db-

Cdc20 mutants62. cdc20ts63. cdc20ts clb5Δ 64. cdc20ts pds1Δ65. cdc20ts pds1Δ clb5Δ 66. GAL-CDC20 67. cdc20ts mad2Δ 68. cdc20ts bub2Δ

Pds1/Esp1 interaction69. pds1Δ 70. Esp1ts71. PDS1-db-Δ 72. GAL-PDS1-db-Δ 73. GAL-PDS1-db-Δ esp1ts

74. GAL ESP1 cdc20ts

MEN pathway mutants75. tem1Δ 76. TEM1op 77. tem1Δ GAL-CDC1578. tem1Δ net1ts 79. tem1Δ GAL-CDC1480. tem1Δ then 2X GAL-SIC1 81. cdc15Δ82. CDC15op83. cdc15ts TEM1op84. cdc15ts net1ts85. cdc15ts 2X CDC14 86. cdc15ts 2X 50% active CDC1487. cdc15ts then 2X GAL-SIC1

Exit-of-mitosis mutants88. net1ts 89. NET1opcdc14ts91. CDC14op92. NET1op CDC14op 93. net1ts cdc20ts94. cdc14ts then 3X GAL-SIC195. cdc14ts GAL-SIC1 96. cdc14ts synthetically lethal with sic1Δ 97. cdc14ts synthetically lethal with cdh1Δ 98. cdc14ts synthetically lethal withGAL- CLN299. TAB6-1 100. TAB6-1 cdc15ts101. TAB6-1 clb5Δ clb6Δ102. TAB6-1 clb2Δ

Checkpoint mutants103. mad2Δ104. bub2Δ105. mad2Δ bub2Δ106. WT in nocodazole.107. mad2Δ in nocodazole108. mad2Δ TEM1op in nocodazole

109. mad2Δ pds1Δ in nocodazole110. bub2Δ in nocodazole111. bub2Δ clb5Δ in nocodazole112. bub2Δ pds1Δ in nocodazole113. bub2Δ mad2Δ in nocodazole114. pds1Δ in nocodazole115. net1ts in nocodazole116. 6X GAL-SIC1 enables WT cells innocodazole to exit117. GAL-CDC20 enables WT cells innocodazole to exit

APC mutants118. APC-A119. APC-A cdh1Δ120. APC-A cdh1Δ rescued by GAL-SIC1121. APC-A cdh1Δ rescued by GAL-CDC6 122. APC-A cdh1Δ rescued by GAL- CDC20123. APC-A sic1Δ 124. APC-A GAL-CLB2

125. swi5126. sic1Δ cdh1Δ GALL-CDC20127. cdc647 cdh1 sic1128. cdc6Δ2-49 sic1Δ cdh1Δ GALL-CDC20129. swi5Δ cdh1Δ130. swi5Δ cdh1Δ GAL-SIC1131. swi5Δ GAL-CLB2


10 mutations ne correspondent pas aux résultatsexpérimentaux.

Les mutations que l’on ne peut expliquerpermettent de mettre à jour les incertitudesdes expériences ou liées aux interactions entreprotéines


4. Biocham – le cycle cellulaire générique


Un modèle générique du cycle cellulaire

HYPOTHESES :

- CDK toujours présent et en excès.

- Une seule cycline est prise en compte (CycB), responsable de l’entrée et la sortie de la phase M

- CDK s’associent avec CycB formant un complexe phosphorylés à deux sites de phosphorylation (forme inactive).

-L’activité du complexe Cdk/cycline est contrôlée par -> phosphorylation et dephosphorylation-> inhibition par un CKI-> synthèse et dégradation de CycB non régulées.

Adapted from Qu et al. (2003) Biophysical Journal. 85. p3600-3611.

CDK

CycB

+

CDKCycB

P P

CDKCycB

P

CK

I CDKCycB

PCKI

+

CK

I CDKCycB

P

P

CDKCycB

P

Cdc25 Cdc25-PP Wee1-PWee1

- La phosphatase Cdc25-PP (forme phosphorylée) active le complexe Cdk/CycB- La kinase Wee1 (forme non phosphorylée) inactive le complexe Cdk/CycB- Le complexe Cdk/CycB/CKI est dégradé lorsqu’il est phosphorylé

- On appelle : MPF (M-phase Promoting Factor) la forme active du complexe Cdk/CycB preMPF la forme inactive du complexe Cdk/CycB (P-Cdk/CycB-P)


Définir les conditions initiales%% Cell cycle Qu et al. 2003 Biophysical journal

absent(preMPF).absent(MPF).absent(C25).absent(C25P).absent(C25PP).absent(Wee1).absent(Wee1P).absent(APC).present(CKI,1).absent(C).absent(CP).

macro(CDK,((c0-[preMPF]-[MPF]-[C]-[CP])/c0)).

Définir des fonctions (macros)


Définir les réactions biochimiques (1)

% Disponibilité de la cyclinek1 for _=>CycB.k2*[CycB] for CycB=>_.(k2u*[APC])*[CycB] for CycB=[APC]=>_.

% Formation du complexe(k3*CDK*[CycB],k4*[preMPF]) for CycB<=>preMPF.

% Activation / Inactivation de MPF par Cdc25PP et Wee1(k5*[preMPF]) for preMPF=>MPF.[C25PP]*[preMPF] for preMPF=[C25PP]=>MPF.k6*[MPF] for MPF=>preMPF.[Wee1]*[MPF] for MPF=[Wee1]=>preMPF.k7*[MPF] for MPF=>_.k7u*[APC]*[MPF] for MPF=[APC]=>_.


% Dynamique liée à Cdc25 k8 for _=>C25.k9*[C25] for C25=>_.k9*[C25P] for C25P=>_.k9*[C25PP] for C25PP=>_.

% Dynamique liée à Cdc25P (forme monophosphorylée)bz*[C25] for C25=>C25P.cz*[MPF]*[C25] for C25=[MPF]=>C25P.az*[C25P] for C25P=>C25.

% Dynamique liée à Cdc25PP (forme biphosphorylée)bz*[C25P] for C25P=>C25PP.cz*[MPF]*[C25P] for C25P=[MPF]=>C25PP.az*[C25PP] for C25PP=>C25P.



% Dynamique liée à Wee1k10 for _=>Wee1.k11*[Wee1] for Wee1=>_.k11*[Wee1P] for Wee1P=>_.

% Dynamique liée à Wee1Pbw*[Wee1] for Wee1=>Wee1P.cw*[MPF]*[Wee1] for Wee1=[MPF]=>Wee1P.aw*[Wee1P] for Wee1P=>Wee1.

% APC (activée de manière non-linéaire par MPF)(([MPF]*[MPF])/(a*a+([MPF]*[MPF])))/tho for _=[MPF]=>APC. [APC]/tho for APC=>_.



% CKI k12 for _=>CKI.k13*[CKI] for CKI=>_.

% Complexation entre MPF et CKI(k14*[CKI]*[MPF],k15*[C]) for CKI+MPF<=>C.

% Dynamique du complexebi*[C] for C=>CP.ci*[MPF]*[C] for C=[MPF]=>CP.ai*[CP] for CP=>C.

k16*[CP] for CP=>MPF.k16u*[APC]*[CP] for CP=[APC]=>MPF.



Définir les paramètres

parameter(k1,0.2).parameter(k2,0.2).parameter(k3,30).parameter(k4,1).parameter(k5,0.7).parameter(k6,0.7).parameter(k7,0).parameter(k8,1).parameter(k9,1).parameter(k10,0.5).parameter(k11,0.5).

parameter(az,1).parameter(aw,1).parameter(ai,1).parameter(bz,0.1).parameter(bw,0.1).parameter(bi,0.1).parameter(cz,10).parameter(cw,10).parameter(ci,2).

parameter(k12,1).parameter(k13,1).parameter(k14,50).parameter(k15,0.1).parameter(k16,1).parameter(k2u,2).parameter(k7u,2).parameter(k16u,5).parameter(c0,200).parameter(a,1).parameter(tho,5).


Définir des fonctions

% Cacher des molécules dans le graphiquehide_molecules(C).hide_molecules(CP).hide_molecules(C25).hide_molecules(C25P).hide_molecules(Wee1P).

% Choisir des couleurs pour chaque moléculeset_color(MPF, 1).…

% Définir le temps de la simulationnumerical_simulation(100).

% Tracer la solutionplot.

…


Simulation d’une cellule de type sauvage

G1 S G2 M G1 S G2 M …


Projets en Biocham

Projet 1 : La cascade MAPK

Projet 2 : Entrée en phase S

Projet 3 : Apoptose (ou activation de la protéine p53)

Projet 4 : Un modèle de décision entre prolifération des cellules (entrée en phase S, ici) et apoptose=> Résultat du projet 1, 2 et 3

Projet 5 : Un modèle qualitatif régulant l’entrée dans le cycle cellulaire et l’apoptose (Aguda, 2003)

Documents

Exemples de modélisation mathématique du cycle cellulaire