Exercice IV-3: Formulation forte d’un problème de flexion · Exercices de cours du chapitre IV : Formulations intégrales - approximation 9 Exercice IV-3: Formulation forte d’un

Exercices de cours du chapitre IV : Formulations intégrales - approximation

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Exercice IV-3: Formulation forte d’un problème de flexion Objectifs : mettre en oeuvre de la méthode des résidus pondérés sur un problème de vibration simple.

Intéressons-nous aux vibrations transversales (flexion plane) de la poutre droite cylindrique de longueur représentée par la figure ci contre.

Elle est encastrée à son extrémité gauche et repose sur un pivot à l'autre extrémité.

g

Mise en équations - Construction d'une approximation.

Écrivez le système d'équations différentielles régissant ce problème.

Montrer que )()( 2 xxx −=ϕ vérifie toutes les conditions aux limites en déplacement. fonction cinématiquement admissible

On envisage des fonctions de la forme : )( )()( xxPxW ϕ=

avec ( )P x polynôme de degré 1 puis de degré 2

Déterminer deux fonctions ( )P x satisfaisant toutes les conditions aux limites du problème.

Approximation à un paramètre.

Pour les 2 approximations à 1 paramètre dont la fonction de forme est un des 2 polynômes précédents Déterminer l'équation du modèle "masse - ressort" obtenue par la méthode de Galerkin. En déduire deux approximations de la première pulsation propre. Comparez les résultats entre eux et avec la solution analytique *. Qu'en pensez-vous?

Approximation à deux paramètres.

Déterminer l'équation matricielle du modèle utilisant l'approximation à deux paramètres construite sur les deux fonctions de forme polynomiale (méthode de Galerkin).

Comparer l'approximation des 2 premières fréquences obtenue avec cette approximation. Posez les calculs, et utilisez MAPLE ou MATLAB pour les faire. Il est intéressant sur ce problème de comparer les déformées modales de la solution approchée et de la solution analytique.

La structure est maintenant placée dans le champ de pesanteur, déterminer la réponse statique dans le cadre de cette approximation à deux paramètres. Que pensez vous des résultats ?

* Les solutions analytiques de ces problèmes de flexion sont proposées sur le site « vibration » Nous donnons ci-dessous les 3 premières pulsations de résonance :

21 4237,72 EI

Sω

ρ= , 2

2 42496,5 EIS

ωρ

= , 23 410876,6 EI

Sω

ρ=

Corrigé de l’exercice IV-3: Formulation forte d’un problème de flexion

Mise en équations

Équations du problème : On cherche v(x,t) solution de :

L’équation locale sur ] [,0 : gSvEIvS x ρρ −=+ 4,

Conditions aux limites en 0=x :⎩⎨⎧

==

00

),0(,

),0(

tx

t

vv

et en =x :2

( , )

( , ),

0 0t

tx

vEI v

=⎧⎪⎨ =⎪⎩

Remarque : la solution analytique de ce problème est simple à obtenir.

Recherche de 2 fonctions de forme pour construire l'approximation La fonction de forme )()( 2 xxx −=ϕ satisfait les CL. Cinématiques :

⎩⎨⎧

==

=

=

00

)0(,

)0(

xx

x

ϕϕ

et 0)( ==xϕ )(xϕ est cinématiquement admissible


10

Cherchons )( )()( xxPxW ϕ= avec ( )P x polynôme

Pour satisfaire la condition de moment en =x il faut que : 0)(, 2 ==xxw

Or )( )()( )(2)( )()( 222 ,,,,, xxPxxPxxPxW xxxxx ϕϕϕ ++=

)(4 )(2)( ,2

, 2 PPW xx −−=

Pour xaaxP o )( 1+=

032 0 1, )(2 =+⇒= aaw ox

Choix 3 21 =⇒−= oaa D'où )23)(()( 21 xxxxw −−=

Pour 221 )( xaxaaxP o ++=

0432 0 221, )(2 =++⇒= aaaw ox

Choix 4 3

01

2

=⇒⎩⎨⎧

−==

aaao

D'où )34)(()( 32 xxxxw −−=

Remarque : L'équation locale est une équation différentielle d'ordre 4 en x, il faut donc des fonctions polynomiales d'ordre 4 pour que le résidu (erreur pondérée) soit défini.

Approximation à 1 paramètre

Soit l’approximation : )()(),( * txitx qwv = avec ( )xiw fonction satisfaisant toutes les C. limites du problème

Le résidu est alors : qwEIqS wvR xii *)( 4,+= ρ

Annuler le résidu pondéré revient à écrire :

0 )( )( 00

4 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫∫ qdx(x)wEIxPqdx(x)wxPS

i,xiρ

Nous utiliserons la méthode de Galerkin en prenant : )()( xx ii wPi =∀

L’équation matricielle est donc:

Soit : 0 =+ qkqm avec :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

∫

∫

0,

0

)(

)(

4 dx(x)wxwEIk

dx(x)wxwSm

xii

iiρ

Nous obtenons un modèle « masse – ressort » à 1 degré de liberté pour représenter le milieu continu.

Applications : Approximation masse et raideur équivalente Approximation de la première

pulsation propre Écart /

solution analytique

)23)(()( 2

1 xxxxW −−=

⎩⎨⎧

==

5

9

536

63019

EIkSm ρ

421 7,238

SEIρ

ω =

0,4 %

)34)(()( 3

2 xxxxW −−=

⎩⎨⎧

==

7

11

35192

346552

EIkSm ρ

421 5,365

SEIρ

ω =

54 %

Pour toutes les applications numériques nous avons utilisé Maple « EX IV-3-RP »

Pour expliquer les résultats il faut comparer l’allure des deux fonctions de forme et la solution analytique données par la figure suivante.


11

Solution analytique : courbe + Approximation W1(x) Approximation W2(x)

A titre indicatif comparons pour w1 les résultats obtenus par collocation en un point xi du domaine.

L'approximation de la première pulsation est donnée par :

xix

x

ww

SEI

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

*

1

,121

4

ρω

Pour 421 1922/

SEIxi ρ

ω =⇒=

Pour 421 4,1943/2

SEIxi ρ

ω =⇒=

La méthode est rapide, mais compte tenu de la qualité de la fonction de forme, les résultats ne sont vraiment pas terribles !

Approximation à 2 paramètres Le passage à l’écriture matricielle est important, nous le retrouverons tout au long du cours.

Soit l’approximation : )(2)(2)(1)(1),( * txtxtx qwqwv += notée : { }( ) ( )x tw q< >

Le résidu est alors : { } { }4,( *) < >

xR v S w q EI w qρ= + < >


{ } { }4( ) ( ) ( ) ( ),

0 0

< > < > 0x x x xx

S P w dx q EI P w dx qρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

Nous obtenons une équation à 2 paramètres ( 21 , qq ). Il faut donc se donner deux fonctions de pondération

( 21 , PP ) pour écrire un système de 2 équations à 2 inconnues.

{ } { }

{ } { }

4

4

( ) ( ) ( ) ( )1 1 ,0 0

( ) ( ) ( ) ( )2 2 ,0 0

< > < > 0

< > < > 0

x x x xx

x x x xx

S P w dx q EI P w dx q

S P w dx q EI P w dx q

ρ

ρ

⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

∫ ∫

∫ ∫

Méthode de Galerkin : ( ) ( ) ( )1 2x x xP w w< >=< >

Annuler les deux résidus revient à écrire :

{ } { } { }4T T

( ) ( ) ( ) ( ),

0 0

< > < > < > < > 0x x x xx

S w w dx q EI w w dx qρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

Soit : [ ]{ } [ ]{ } { }0 =+ qkqm avec :

[ ]

[ ] 4

T( ) ( )

0

T( ) ( )

,0

< > < >

< > < >

x x

x xx

m S w w dx

k EI w w dx

ρ⎧

=⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

∫

∫

Nous obtenons un modèle « masse – ressort » à 2 degrés de liberté pour représenter le milieu continu. Tous les calculs peuvent être effectués à partir du fichier Maple disponible sur le site MEF.

Application :

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

35192

524

524

536

5EIK et [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3465

52

630

13630

13

630

19

9SM ρ


12

421 5,238

SEIρ

ω = 0,16 % / sol. analytique

422 2575

SEIρ

ω = 3 % / sol. analytique

La forme intégrale de la matrice raideur n’est pas symétrique, cependant nous obtenons une matrice symétrique définie positive. Ce résultat se démontre de façon théorique en effectuant des intégrations par parties, les valeurs aux bornes après IPP sont toutes nulles car les fonctions utilisées satisfont toutes les conditions aux limites du problème homogène. Lorsque cette propriété de symétrie est vérifiée, on dit que le problème est auto-adjoint.

La convergence de l’approximation des premières fréquences de la structure vers la solution analytique est très rapide.

Pour comprendre la qualité de ces résultats traçons l'approximation des 2 premiers modes de vibration de la poutre que nous comparons à la solution analytique (calculs programmés dans le fichier Maple)

Soit [Z] la matrice des vecteurs propres de l'équation [ ]{ } [ ]{ } { }0 =+ qkqm

les modes approchés sont donnés par :⎩⎨⎧

+=+=

)()()()()()(

2221122

2211111

xwzxwzxZxwzxwzxZ

Les modes représentés ci-dessous sont normés à la valeur maximale

Solution analytique : courbes + Approximation 1er mode Approximation 2ème mode

Prise en compte du poids propre Nous illustrons ici le calcul d’un vecteur force généralisée. Ces vecteurs seront introduits ultérieurement à partir de la notion de travail virtuel.

Le poids propre modifie l’expression du résidu: { } { }4,( *) < > < >

xR v S w q EI w q gSρ ρ= + +


{ } { }4( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

0 0 0

< > < > 0x x x x xx

S P w dx q EI P w dx q gS P dxρ ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

Méthode de Galerkin : ( ) ( ) ( )1 2x x xP w w< >=< >

D’où l’équation matricielle : [ ]{ } [ ]{ } { }ϕ=+ qkqm

Avec: { }( )1 5

( )( )20 0

3 / 20 < >

/10x

xx

wgS w dx gS dx gS

wϕ ρ ρ ρ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫= − = − = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭⎩ ⎭∫ ∫


13

La réponse statique est donnée par [ ]{ } { }ϕ=qk { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=01

48EIgSq ρ

Soit l’approximation de la flèche statique : )23)((48

)(* 2 xxxEIgSxv −−−=ρ

C’est la solution analytique car l’approximation w1 est un polynôme d’ordre 4 ce qui correspond à la solution de l’équation différentielle 4,

x

EI v gSρ= −

Annexes

Solution analytique. Vous avez toutes les solutions analytiques sur le site « vibration » https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/Vibra/vibra.htm

Les solutions de l’équation différentielle sont de la forme :

)()()sin()cos()( xDshxCchxBxAxV λλλλ +++= avec EI

Sρωλ2

4 =

Les constantes (A,B,C,D) sont solutions du système d’équations associées aux conditions aux limites. Ce système homogène admet une solution non banale si det(S) = 0. ))()( λλ TgTh = Les solutions de cette équation sont :

3 4

)14(

069,7927,3

1

1

>+=

==

ipouriiπλ

λλ

42 )(

SEI

ii ρλω =

Les modes sont définis par : ( )( ))()sin()()cos( )( xshxfxchxAxZ iiiiiii λλλλ −+−=

avec )()sin()()cos(

ii

iii sh

chf

λλλλ

−−

=

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