Exercices de Revision Ingenieurs Et Masters Iaqt 2013

EXERCICES DE REVISION INGENIEURS ET MASTERS IAQT

PROBLEME 1 Une entreprise fabrique des pièces. Ces pièces sont considérées comme conformes si leur longueur est comprise entre 79, 8 mm et 80, 2 mm.1. On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce fabriquée, associe sa longueur en mm.On admet que la variable L suit une loi normale de moyenne 80 et d'écart type 0, 0948.On prélève une pièce au hasard dans la production.Déterminer, en utilisant la table de la loi normale centrée réduite, la probabilité que cette pièce soit conforme.2. On admet que si on prélève, au hasard, une pièce dans la production, la probabilité que cette pièce ne soit pas conforme, est p = 0, 035.

(a) On note X, la variable aléatoire représentant le nombre de pièces défectueuses dans un lot de 100pièces. Les pièces sont prélevées au hasard et le tirage est assimilé à un tirage avec remise.Justifier que X suit une loi binomiale de paramètre n = 100 et p = 0, 035.

(b) Le tableau ci-dessous, donne la probabilité des événements "X = k" pour k variant de 0 à 9, à l'exception de l'événement "X = 2".

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 0.0284 0.1029 0.2188 0.1924 0.1340 0.0770 0.0375 0.0158 0.0059

On considère les événements :A : "le nombre de pièces défectueuses du lot est égal à 2" ;B : "le nombre de pièces défectueuses du lot est au moins égal à 2".Calculer P(A) au dix millième près (10-4 près), puis P(B) au millième près (.10-3 près )

(c) Un lot de 100 pièces est envoyé à un client, le lot est accepté s'il contient au plus 4 piècesdéfectueuses.En utilisant le tableau ci-dessus, déterminer au millième près, la probabilité que le client refuse ce lot.

(d) En utilisant le tableau ci-dessus, déterminer la plus petite valeur entière n telle que :P(X > n) < 0, 03

3. L'entreprise souhaite améliorer la qualité de la production. Pour cela on projette de changer le processus de fabrication des pièces.On définit alors une nouvelle variable L1 qui à chaque pièce à construire selon le nouveau processus associera sa longueur en mm.La variable aléatoire L1 suit une loi normale de moyenne m = 80 et d'écart type σL1

.Déterminer σL1 pour que, en prenant une pièce au hasard dans la future production, la probabilité d'obtenir une pièce conforme soit égale à 0, 99.

AGBAMATE , CONSULTANT FORMATEUR (+225) 09026936 Page 1

PROBLEME 2 Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques cylindriques pour l’industrie. Leurlongueur et leur diamètre sont exprimés en millimètres.Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10−2

A. Loi normale

Une tige de ce type est considérée comme conforme pour la longueur lorsque celle-ci appartient àl’intervalle [99,45; 100,55] .On note X la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans la production, associe salongueur. On suppose que X suit la loi normale de moyenne 100 et d’écart type 0,25.1. Calculer la probabilité qu’une tige prélevée au hasard dans la production soit conforme pour lalongueur.2. Déterminer le nombre réel h positif tel que : P (100 − h ≤ X ≤ 100 + h) = 0,95Interpréter le résultat à l’aide d’une phrase.

B. Loi binomiale et loi de Poisson

Dans un lot de ce type de tiges, 3 % des tiges ne sont pas conformes pour la longueur.On prélève au hasard 50 tiges de ce lot pour vérification de la longueur. Le lot est suffisammentimportant pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 tiges.On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de 50 tiges, associe le nombre de tigesnon conformes pour la longueur.1. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, deux tiges ne soient pas conformes pour lalongueur.3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux tiges ne soient pas conformespour la longueur.4. On considère que la loi suivie par Y peut être approchée par une loi de Poisson.Déterminer le paramètre λ de cette loi de Poisson.5. On désigne par Z une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ où λ a la valeurobtenue au 4.Calculer P (Z = 2) et P (Z ≤ 2) .

C. Intervalle de confiance

Dans cette question on s’intéresse au diamètre des tiges, exprimé en millimètres.On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 50 tiges dans la production d’une journée.Soit D la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 tiges prélevées au hasard et avec remise dans la production d’une journée, associe la moyenne des diamètres des tiges de cet échantillon.

On suppose que D suit la loi normale de moyenne inconnue µ et d’ écart type

σ

√50 avec σ = 0,19.

Pour l’ échantillon prélevé, la moyenne obtenue, arrondie à10−2 , est X = 9,99.1. A partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle de lamoyenne µ des diamètres des tiges produites dans cette journée.

2. Déterminer un intervalle de confiance centré sur X de la moyenne µ des diamètres des tiges produitespendant la journée considérée, avec le coefficient de confiance 95 %.


3. On considère l’affirmation suivante : ”la moyenne µ est obligatoirement dans l’intervalle de confianceobtenu à la question 2.”Est-elle vraie? (on ne demande pas de justification).

EXERCICES SUR LA LOI NORMALE

1) La variable aléatoire X suit la loi normale N (12 ; 4 ). Calculer les probabilités suivantes : P ( X ≤ 15 ) ; P ( X ≥ 18 ) ; P ( X ≥ 7 ) ; P ( X ≤ 9 ) ; P(8 ≤ X ≤ 17 ).

2) Une machine produit des rondelles métalliques en grande série. Une rondelle est acceptée si son diamètre extérieur est compris entre 21,9 et 22,1 mm. On suppose que sur l'ensemble de la production le diamètre extérieur des rondelles est une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyennem = 22 mm et d'écart type σ = 0,05 mm. Quelle est la probabilité qu'une pièce soit refusée ?

3) Le nombre de clients d'un magasin suit chaque samedi une loi normale de moyenne 350 et d'écart type 30. Quelle est la probabilité pour qu'il y ait un samedi donné,: - plus de 400 clients ? - moins de 300 clients ? - un nombre de clients compris entre 320 et 380 ?

4) Une machine usine des pièces. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque pièce associe sa longueur x . On suppose que X suit une loi normale de moyenne m = 54 et d'écart type σ = 0,2. Une pièce est considérée comme défectueuse si x ≤ 53,6 ou x ≥ 54,3a) Calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse. b) Pour vérifier que la machine ne s'est pas déréglée, on détermine des cotes d'alerte m - h et m + h définies par : P ( m - h ≤ X ≤ m + h ) = 0,95. Calculer les cotes d'alerte.

5) Dans un pays d'Afrique, 15 % de la population est atteinte du virus du sida. Une campagne de dépistage est mise en place sur un échantillon de 500 personnes prises au hasard dans la population. On suppose que l'effectif de la population est très grand. On suppose que les risques d'erreur du test sont négligeables et on admet que la probabilité qu'un test réalisé sur une personne prise au hasard dans la population soit positif est 0,15. On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de tests positifs sur les 500 tests effectués. 1° Quelle est la loi de probabilité de X ? Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de X. 2° Par quelle loi normale peut-on approcher la loi définie ci-dessus ? 3° En utilisant cette loi normale, calculer la probabilité que plus de 80 tests se révèlent positifs.

6)- On a étudié la glycémie d’une population d’individus présentant certaines caractéristiques précises ; on a obtenu les résultats suivants : 20% des glycémies sont inférieures à 0,82 g/l et 30% des glycémies sont supérieures à 0,98 g/l. Si on suppose que la glycémie des individus présentant ces caractéristiques suit une loi normale, déterminer la moyenne et l’écart-type de cette loi.

7)– Une usine utilise une machine automatique pour remplir des flacons contenant un certain produit en poudre. Par suite de variations aléatoires dans le mécanisme, le poids de poudre par flacon est une v.a. de loi normale de moyenne m et d’écart-type 1,1 mg. Les flacons sont vendus comme contenant 100 mg de produit.


a) La machine est réglée sur m=101,2 mg. Quelle est la probabilité que le poids de produit dans un flacon soit inférieur au poids annoncé de 100 mg ? b) Sur quelle valeur de m faut-il régler la machine pour qu’au plus 4% des flacons aient un poids inférieur au poids annoncé de 100 mg ?

8)– Après observation de très nombreux relevés, on estime que la consommation électrique d’un abonné CIE en heure de pointe est bien représentée par une v.a. X de loi N(m,σ) avec m = 5kW et σ = 1,3kW. Un secteur comporte 100 abonnés dont les consommations en heure de pointe sont des v.a. Xi supposées indépendantes et toutes de même loi N(5 ; 1,3). On montre que la consommation totale Y du secteur en heure de pointe suit une loi normale. a) Déterminer la moyenne et l’écart-type de Y. b) Calculer la puissance minimale que CIE doit fournir au secteur en heure de pointe pour satisfaire à la demande avec une probabilité supérieure ou égale à 0,99 . 9) – On suppose qu’il y a une probabilité égale à 0,10 d’être contrôlé lorsqu’on prend un autobus de cette ligne. Mr A. fait 700 voyages par an sur cette ligne. 1°) Quelle est la probabilité que Mr A. soit contrôlé entre 60 et 80 fois dans l’année ? 2°) Mr A. est en fait un fraudeur et voyage toujours sans ticket. Sachant que le prix d’un ticket est de 300 F, quelle amende minimale la compagnie devrait-elle fixer pour que le fraudeur ait, sur une période d’une année, une probabilité supérieure à 0,75 d’être perdant ? EXERCICES INTERVALLES DE CONFIANCE 1) Un candidat à une élection fait effectuer un sondage dans sa circonscription comportant 85 842 électeurs. Sur 1068 personnes interrogées, 550 déclarent vouloir voter pour ce candidat. On suppose que cet échantillon peut être assimilé à un échantillon prélevé au hasard dans la population des électeurs de la circonscription. a) Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille n = 1068 prélevé au hasard dans cette population, associe le pourcentage d'électeurs de cet échantillon voulant voter pour le candidat. On suppose que F suit une loi normale. Donner les paramètres de F en fonction de p, le pourcentage inconnu des électeurs de la circonscription voulant voter pour le candidat. b) Déterminer un intervalle de confiance de p avec le coefficient de confiance 0,95. c) Au vu du résultat de ce sondage, le candidat a-t-il raison de penser que si les élections avaient eu lieu au moment où le sondage a été réalisé et si les réponses au sondage étaient sincères, il aurait été élu au premier tour ?

2 On tire au hasard au sein d'une population (très grande), un échantillon de 100 sujets et l'on mesure la

glycémie de chacun d'entre eux. On obtient pour cet échantillon une moyenne X = 92,2 et un écart type s = 7,17. a) A partir des résultats obtenus pour cet échantillon, estimer ponctuellement la moyenne m et l'écart type σ de la glycémie dans la population.

b) On suppose que la variable aléatoire X qui, à tout échantillon de taille 100 associe la glycémie moyenne de cet échantillon suit une loi normale et on prend pour valeur de l'écart type σ de la glycémie dans la population l'estimation ponctuelle obtenue.

d) Quels sont les paramètres de la loi suivie par X ? e) Déterminer un intervalle de confiance de la glycémie moyenne m dans la population avec le niveau de confiance de 99 %. f) Quelle doit être la taille minimale de l'échantillon pour connaître avec le niveau de confiance de 95 % la glycémie moyenne m dans la population à 1 mg / 100 ml près ?


3) Une agence de voyages propose, dans un de ses circuits, la visite d'une exposition sous forme d'option supplémentaire. En prélevant au hasard 60 fiches de clients parmi les 2379 clients de la période considérée, on observe que seulement 14 fiches comportent cette option. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille n = 60 prélevé au hasard parmi les 2379 clients, associe le pourcentage des clients de l'échantillon ayant pris cette option. On note p le pourcentage inconnu des 2379 clients ayant pris l'option et on suppose que F suit une loi normale. a) Quels sont les paramètres de la loi suivie par F ? b) Déterminer une estimation de p par un intervalle de confiance à 95 %. c) Avec quel effectif minimal n obtient-on, avec le coefficient de confiance 95 %, une estimation de p par un intervalle de confiance ne comportant que des pourcentages inférieurs à 25 % ? Conclure. 4)– On note p la proportion des individus d’une population atteints d’une maladie M. On extrait par tirage au sort un échantillon de 100 individus de la population. On constate que sur ces 100 sujets, 15 sont atteints de la maladie M. a) Donner un intervalle de confiance pour p au seuil 0,01. b) Avec cette observation, à quel seuil faudrait-il travailler pour obtenir un intervalle de confiance pour p de longueur 0,10 ?

EXERCICES TESTS D'HYPOTHESE 1) Dans un atelier une machine fabrique des pièces en grande série; on s'intéresse à leur longueur mesurée en cm. On admet que la variable aléatoire qui, à chaque pièce tirée au hasard dans la production associe sa longueur, suit une loi normale de moyenne m et d'écart type σ = 0,14. Afin de contrôler le fait que la moyenne m des longueurs des pièces produites est 150, on se propose de construire un test d'hypothèse. On prélève des échantillons aléatoires de 49 pièces (chaque échantillon étant obtenu par tirage avec remise). A chaque échantillon ainsi défini, on associe la moyenne des

longueurs des 49 pièces; on définit ainsi une variable aléatoire X . L'hypothèse nulle est H0 : m = 150; l'hypothèse alternative est H1 : m ≠ 150. Le seuil de signification du test est fixé à 0,05.

a) Quelle est, sous l'hypothèse nulle H0, la loi de la variable aléatoire X ?

Déterminer le nombre réel positif h tel que p(150 - h ≤ X ≤ 150 + h) = 0,95. b) Enoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.

c) La moyenne observée sur un échantillon de 49 pièces est X = 149,9. Que peut-on conclure au seuil de signification 5 % quant à la qualité des pièces produites ?

2) Une entreprise commercialise des pieds de lit de type boule. Pour ces pieds on utilise une bague en matière plastique de diamètre intérieur x. On définit ainsi une variable aléatoire X qui, à chaque bague tirée au hasard dans la production, associe son diamètre intérieur x mesuré en millimètres. On admet que X suit la loi normale de moyenne m et d'écart type 0,04. Le fournisseur affirme que m = 12,1. On veut contrôler cette affirmation en prélevant au hasard et avec remise un échantillon de 64 pièces dans la livraison. A tout échantillon on associe la moyenne x des diamètres intérieurs des bagues. On définit ainsi une

variable aléatoire X .

a) Quelle est la loi suivie par X ? b) Construction d'un test bilatéral au seuil de risque de 10 %. c) Donner l'hypothèse nulle H0 et l'hypothèse alternative H1. d) Déterminer les deux valeurs critiques qui permettent de décider si la livraison est conforme.


e) Enoncer la règle de décision du test. f) Pour l'échantillon prélevé la moyenne obtenue est 12,095. Que concluez-vous ? 3) Soit un stock important dont on estime qu'un caractère X suit une loi normale de moyenne μ = 240

et d'écart type σ = 50. On prélève un échantillon de 40 unités, dont la moyenne observée est X = 260. Au risque de 1 % peut-on considérer que μ est effectivement égal à 240 ? (Construire un test bilatéral : choix des hypothèses, détermination de la région critique, règle de décision puis utiliser le test) Et au risque de 5 % ? 4) On s'intéresse dans cet exercice aux allergies déclenchées par un certain médicament. Dans une population de grand effectif, on a observé que 40 % des individus sont allergiques à ce médicament. Ces allergies sont détectées par des tests effectués en laboratoire. On examine un échantillon de 100 analyses choisies au hasard et on observe que 31 individus révèlent l'allergie à ce médicament. Au seuil de risque 0,05 peut-on conclure que l'échantillon est représentatif de la population pour cette allergie ? Et au risque 0,10 ?

5) Pour un sondage électoral, on constitue deux échantillons d'électeurs de tailles 300 et 200 respectivement dans deux circonscriptions A et B. Cela met en évidence des intentions de vote de 56 % et 48 % pour un candidat donné. Tester, au seuil de 5 %, les hypothèses : - il y a une différence entre les circonscriptions. - le candidat est préféré dans la circonscription A.

6– La législation en vigueur impose aux aéroports une intensité maximum de bruit égale à 80 décibels au décollage et à l’atterrissage des avions. Au-delà de cette limite, l’aéroport doit indemniser les riverains. On admet que la v.a. X dont les valeurs représentent l’intensité du bruit causé par un avion d’un certain type obéit à une loi normale N(m, σ). Les habitants d’un village proche de l’aéroport assurent que la limite de 80db est dépassée en moyenne et demandent une expertise. On décide de faire au seuil 1% le test : H0 : m = 80 contre H1 : m < 80 On suppose que σ est connu et égal à 7 a) Montrer que le test préserve les intérêts des riverains, le risque d’autoriser à voler des avions trop bruyants étant maîtrisé. Préciser à quoi correspond le risque de 2ème espèce .

b) On enregistre atterrissages-décollages sur un échantillon de 40 avions du type considéré.

Sous l’hypothèse H0 quelle est la loi de la v.a. X ? Déterminer la région critique au seuil de 1%. Enoncer la règle de décision du test.

c) La compagnie commercialisant ce type d’avions affirme que l’intensité moyenne du bruit occasionné par ces avions est de 78db (avec un écart-type de 7). Si cette affirmation était vraie, quelle serait la probabilité, pour l’aéroport, de verser à tort des indemnités au riverains à la suite du test ?

d) L’échantillon de 40 enregistrements a donné une intensité moyenne X ede 79db ; quelle est la

conclusion du test au seuil 1% ?

e) Quel doit être le nombre minimal d’enregistrement à effectuer pour que, dans ce test, les risques soient les suivants : - les riverains ne perçoivent pas l’indemnité qui leur est due, avec une probabilité au plus égale à 0,01 - la vraie valeur de m est bien de 78db comme l’affirme la compagnie, et l’aéroport verse (à tort) des indemnités aux riverains, avec une probabilité au plus égale à 0,05

7– Le lancement d’un nouveau produit nécessitant une réorganisation complète d’un atelier (donc des dépenses importantes), une entreprise décide de faire une étude de marché sous forme de questionnaire dont


on retient en particulier l’information suivante : « la personne interrogée est ou n’est pas intéressée par le nouveau produit » Soit p la proportion (réelle mais inconnue) des personnes intéressées par le nouveau produit. L’entreprise juge qu’il est raisonnable de lancer ce nouveau produit si plus de 50% des personnes sont réellement intéressées. Elle décide donc de faire le test H0 : p = 0,5 contre H1 : p > 0,5 à partir des réponses obtenues sur un échantillon de taille 100

a) Préciser ce que représentent les risques d’erreur (1ère et 2ème espèce) associés à ce test b) Déterminer la région critique associée à ce test, au seuil de 1%, lorsqu’on se base sur les réponses de 100 personnes c) Quelle est la conclusion du test et la décision de l’entreprise si 58 personnes sur 100 interrogées déclarent être intéressées par le nouveau produit ? PROBLÈME 1 La compagnie de téléphone Cocobell qui détient le monopole de la téléphonie dans une île du Pacifique, voit subitement ses revenus augmentés pour la dernière année d'opération. La directrice du marketing désire savoir si la hausse des revenus est due à une augmentation des revenus d'interurbains ou à une hausse du nombre d'abonnés ou aux deux phénomènes. Ainsi, elle sait par expérience passée, qu'il y a 82% des foyers de l'île qui ont le téléphone et que le compte moyen d'interurbains par année est de 24 000 F. D'un échantillon aléatoire de 50 foyers de l'île, on apprend que dans 45 d'entre eux, il y a un téléphone et que le compte annuel moyen d'interurbains s'élève à 20 000 F avec un écart type échantillonnal de 4 000 F. a) Formuler deux tests d'hypothèses, au seuil de signification 5%, pour pouvoir répondre à la directrice du marketing de Cocobell. b) Effectuer les tests et donner votre interprétation des résultats afin de répondre aux interrogations de la directrice du marketing. c) Que représente une erreur de deuxième type dans les tests effectués et quelles sont les conséquences d'une telle erreur pour la compagnie? PROBLÈME 2 Les fours à pizza du restaurant de Tony Roni prennent, en moyenne, 8 minutes pour cuire une pizza. Compte tenu que le temps de livraison doit être réduit pour faire face à la publicité de la compétition, un fournisseur de farine lui affirme qu'avec son produit, un peu plus dispendieux, il pourrait réduire le temps de cuisson des pizzas de plus de 25 %. À titre d'essai, Tony produit ses pizzas avec la nouvelle farine pour une période de 14 jours. Pour un échantillon de 2 pizzas par jour, il calcule le temps moyen de cuisson et obtient 6,5 minutes avec un écart-type échantillonnal de 0,5092 min. On sait que le temps de cuisson d'une pizza se distribue normalement. a) Formuler le test d'hypothèse pour tester si la nouvelle farine permet de réduire le temps de cuisson des pizzas de Tony. b) Formuler le test d'hypothèse pour tester si la nouvelle farine permet de réduire le temps de cuisson des pizzas de Tony de 25 %. c) Décrire les erreurs de premier type et de deuxième type du test effectué en a) et déterminer les conséquences de ces erreurs pour Tony. d) Au seuil de signification 10%, pouvons-nous conclure que cette farine réduit le temps de cuisson? e) Au seuil de signification de 5 %, pouvons-nous conclure que cette farine réduit le temps de cuisson de plus de 25 %? PROBLÈME 3 Dans une aciérie, un appareil à rayons X est utilisé pour le contrôle du procédé de fabrication; avec ce dernier, on détecte le contenu en oxyde de fer des échantillons analysés. Pour que le procédé soit sous contrôle, la quantité d'oxyde de fer dans le produit final doit être égale à 750 kg/tonne pour l'ensemble de la production. Une réparation récente a été effectuée sur l'appareil suite à un bris inopportun. On désire s'assurer que l'appareil n'a pas été décalibré par cette réparation. Pour ce faire, on choisit un échantillon aléatoire et avec remise de 144 prélèvements de la production récente de l'aciérie. La quantité mesurée d'oxyde de fer dans l'échantillon est de 740kg/tonne avec un écart type échantillonnal de 50 kg/tonne. a) Formuler un test d'hypothèses au seuil de signification 5% pour la situation ci-dessus; b) Conclure statistiquement à propos de l'influence de la réparation sur l'exactitude des lectures avec l'appareil à rayons X.


c) Établir le type d'erreur associé à votre décision et interpréter les conséquences d'une telle erreur; PROBLÈME 4 Les responsables d’un nouveau programme de contrôle de poids annoncent que ceux qui se joignent au programme perdront au moins 5 kg en moyenne durant les deux premières semaines. Un échantillon aléatoire de 50 personnes qui ont participé au nouveau programme a permis d’observer une perte moyenne de poids de 4,6 kg avec un écart type échantillonnal de 1,3 kg, au cours des deux premières semaines. Avec un seuil de signification de 0,05, peut-on conclure mettre en doute l’efficacité annoncée du programme? PROBLÈME 5 Les dirigeants d’une entreprise songent depuis quelques temps à vendre leurs produits par le biais du commerce électronique. Avant de lancer le projet, plusieurs études devront être effectuées. L’une d’elle aura pour but d’estimer la proportion de la population adulte québécoise qui a accès à Internet à la maison. Un sondage est effectué auprès d’un échantillon aléatoire de 800 adultes. Les résultats révèlent que parmi les 800 personnes interrogées, 330 ont accès à Internet à la maison .Le responsable de l’étude aurait-il raison de conclure, suite à l’examen des résultats du sondage, que plus de 40% de la population adulte québécoise a accès à Internet à la maison? (effectuer un test d’hypothèse avec un seuil de signification de 1%) PROBLÈME 6 L’entreprise Création Exclamation fabrique de l’encre. Le procédé de remplissage est ajusté de sorte que les contenants d’encre contiennent 75 ml d’encre en moyenne. Il a été établi que le poids des pots d’encre suit une loi normale. On désire vérifier que le procédé de remplissage est de 75 ml. À cette fin, on prélève un échantillon de taille 25. Le poids de chacun des contenants est vérifié et le poids moyen de l’échantillon est calculé. Le poids moyen est de 74.7 ml avec un écart-type échantillonnal de 2 ml. a) Formuler les hypothèses H 0 et H 1 . b) Effectuer le test d’hypothèse formulé en a), au niveau de signification de 5%. c) Calculer un intervalle de confiance de niveau 95% pour la quantité moyenne. Interpréter brièvement l’intervalle de confiance. d) Lors du contrôle de la qualité, il est décidé d’utiliser les bornes obtenues en c). L’emplissage des pots d’encre est stoppé dès que la quantité est à l’extérieure de l’intervalle de confiance. Lors d’un récent contrôle, on a obtenu une quantité moyenne de 73.9 ml. Doit-on poursuivre ou arrêter la production? e) Pour un même niveau de confiance, quelle doit être la taille de l’échantillon pour s’assurer d’obtenir une marge d’erreur de 0.7 ml pour estimer le poids moyen?

PROBLÈME 7 Un député affirme que le taux de chômage dans sa commune est de 5%. Le journal quotidien de la commune veut confondre ce député et pouvoir affirmer que le taux de chômage est plus élevé dans le comté. Un échantillon de 1000 personnes est sélectionné parmi les résidents du comté qui font parti de la population active. On trouve que 60 personnes sont au chômage. a) Formuler les hypothèses du test que vous désirez effectuer. b) En utilisant un seuil de signification de 5%, tester les hypothèses spécifiées en a). c) Pour le problème considéré, discuter brièvement des conséquences des erreurs: de type I et de type II.


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