1

EXERCICES DUREE DE VIE ET FIABILITÉ EXERCICE 1 Un ensemble comporte 3 roulements tournant à 1500 t/mn.

- 2 roulements à billes : C1 = 21600 N P1 = 1800 N. C2 = 15000 N P2 = 1000 N.

- 1 roulement à rouleaux : C3 = 27000 N P3 = 2000 N. Q1 : Déterminer la fiabilité de l'ensemble au bout de 10 000 heures. Q2 : Quelle est la durée de vie correspondant à une fiabilité de 0,98 ? Réponse Q1

Durée de vie nominale L10h i : n

i

i6

i h10 P

C

N.60

10L

= avec n = 3 (ponctuel) et n = 10/3 (linéique)

Fiabilité : ( ) β= i h10LhL n0,9.L

i eF avec Lh = 10000 h dans notre cas et β = 1,5

Fiabilité globale : F = Π.Fi Tableau de synthèse :

Roulement 1 Roulement 2 Roulement 3

L10 i (Mtr) 1728 3375 5858,4

L10h i (h) 19200 37500 65093

Lh / L10h i 0,52 0,267 0,154

Fi 0,96 0,986 0,994 F 0,94 Réponse Q2

Fiabilité globale : F = Π.Fi et ( )β= i 10LL n0,9.L

i eF ( ) β= i h10LhL n0,9.L

i eF

( ) L1L1L1 L n0,9.L 3 h102 h101 h10heFββββ ++=

++= β

5,1

3 h105,1

2 h105,1

1 h10h L

1

L

1

L

1 . L . 9,0LnLnF 5,1

5,1

3 h105,1

2 h105,1

1 h10

h

L

1

L

1

L

11

.9,0Ln

LnFL

++=

Lh = 4816 heures EXERCICE 2 On souhaite une fiabilité f = 0,95 au bout de 12 000 heures pour un ensemble comportant 4 roulements. Q1 : Quelle durée de vie nominale faut-il obtenir en moyenne pour chaque roulement ? Q2 : Les 3 premiers roulements déterminés ayant des fiabilités respectives fi = 0,99 , 0,995 et 0,97 , quelle doit être la durée de vie

minimale du quatrième ? Réponse Q1 Durée de vie nominale L10h i moyen : F = Π.Fi Fiabilité moyenne : F = (Fi)

4 Fi = F (1/4) Fi = 0,987

( )β

= LL n0,9.Lmoy i

moy i h10heF

β

=

moy i h10

hmoy i L

L . 9,0LnLnF

β

=

/1

moy ihmoy i h10 LnF

9,0Ln . L L L10hi moy = 48207 heures

Réponse Q2

Durée de vie nominale minimale L10h 4 : F = Π.Fi 321

4 F.F.F

FF = F4 = 0,994

β

=

4 h10

h4 L

L . 9,0LnLnF

β

=

/1

4h4 h10 LnF

9,0Ln . L L

L10h 4 ≈ 80909 heures

2

EXERCICE 3 (METRO VAL)

M1

G

Rails de guidage

Rmin = 35 m

Roues de guidage extérieures

M2 M 3 M4

0 y

z

Rail

R

D

62

14

32

d

261,7

Détail de la roue de guidage

O2

O1

I

Le VAL (MATRA Transport) est un système automatisé de transport urbain de personnes sans conducteur. Le guidage latéral est réalisé par des roues équipées de pneumatiques. L’étude concerne la vérification de durée de vie de l’une des roues composant le guidage latéral. Sur un trajet type, on estime qu’il y a 60 % de ligne droite, 20 % de virage à gauche et 20 % de virage à droite. Sur le roulement le plus chargé R1, la charge radiale équivalente en ligne droite P1 = 2040 N et en virage P2 = 4900 N (roulement SKF 32309B 45 x 100 x 38,25 C = 128000 N). Les roues de guidage situées à l’intérieur du virage ne supportent aucun effort radial. Q1 : Calculer la charge équivalente Pe (charge constante qui donnerait la même durée de vie que celle obtenue avec le chargement

réel). Q2 : Calculer la durée de vie L10 en millions de tours pour une fiabilité de 90 %. Q3 : Sachant que pour un véhicule de transport urbain la durée de vie estimée est de 1,5 millions de kilomètres parcourus, en

déduire la fiabilité espérée du montage. Que peut-on en conclure ? Réponse Q1 Calcul de la charge équivalente moyenne : Pe

• 60 % en ligne droite (P1 = 2040 N) • 20 % de virage à gauche (P2 = 4900 N) • 20 % de virage à droite (P3 = 0 N)

)n/1(

i

nii

éq

P.P

ΣΣ

=l

lavec n = 10/3 (rouleaux coniques)

10/33/103/103/10

éq 1

0.2,04900.2,02040.60,0P

++= Péq = 3162,5 N

Réponse Q2 Durée de vie L10

n

10 P

CL

=

10/3

10 5,3162

128000L

= L10 = 227654 106 tours

Réponse Q3 Rayon de la roue Rroue = 261,7 mm et le périmètre s = 2. π. r s = 1644,3 mm ou s = 1,644 m L10s = L10 . s . 10 –3 L10s = 374,25 106 km avec une fiabilité de 90%

Pour L = 1,5 106 km et ( ) 5,1 s10LL n0,9.LeF = ( ) 5,1 25,3745,1 n0,9.LeF = F ≈ 1 Fiabilité de 100%, les roulements sont très surdimensionnés au regard de la durée de vie.

3

EXERCICE MONTAGE PRECONTRAINT EXERCICE 1 (BROCHE D’UNE RECTIFIEUSE PLANE A AXE VE RTICAL) 1. Intérêt du problème La figure 1 représente le montage d’une broche de rectifieuse plane à axe vertical. Sous l’action des efforts de coupe, la meule s’incline d’un angle ϕϕϕϕ par rapport à l’axe de rotation théorique, ce qui introduit un défaut de planéité sur la surface à rectifier. Le but du problème est de calculer la partie ϕϕϕϕr de l’inclinaison de la meule due aux déflexions radiales des roulements dans le cas d’un chargement jugé le plus défavorable. 2. Étude statique Dans le cas du chargement jugé le plus défavorable on admet que le torseur au point M des efforts de coupe s’écrit :

=+=

0MzAyTRrrrr

avec A = 480 N et T = 90 N

L’entraînement de la broche se fait par l’intermédiaire d’un accouplement transmettant un couple pur d’axe z

r.

0 T

A

0

02

01

a = 120

Figure 1

M r = 70

01 δδδδr1

δδδδr2 02

0’

ϕϕϕϕ ϕϕϕϕr

z

x

L = 120

Q1 : Déterminer les efforts radiaux FR1 et FR2 supportés par les roulements 01 et 02. Q2 : Donner la valeur de l’angle ββββ entre les directions de ces efforts. 3. Étude du montage de la broche La broche est montée sur deux roulements à contact oblique 7216 ACD : 80 x 140 x 26 (α = 25°), pour lesquels un essai de déformation sous charge axiale pure de 1000 N donne une déflexion de 11,75 µm.

billes à contact oblique C Z Dm Dw 2ri/Dw 2re/Dw 7216 ACD 92300 N 15 110,08 19,050 1,035 1,06

Sous les efforts précédemment définis, on fait l’hypothèse que le roulement supérieur 01 reste, juste chargé sur toute sa périphérie (ε1 = 1). Q3 : Déterminer les efforts axiaux (FA1 et FA2), les déformations radiales (δδδδr1 et δδδδr2), et axiales (δδδδa1 et δδδδa2), dans les roulements. Q4 : En déduire :

• La valeur de précharge P0 nécessaire ; • Le déplacement du point 0 ; • L’inclinaison ϕϕϕϕr de la broche due aux déformations des roulements.

Réponse Q1 Calcul statique : arbre de broche isolé

a. Actions extérieures b. Principe fondamentale de la Dynamique (PFD)

TRD : 0F arbre/ext

rr=Σ

TMD : 0)F(M 0/arbre/ext

rrr=Σ

Récapitulatif X1 = r . A / L = 168 N X2 = - r . A / L = -168 N Y1 = a . T / L = 54 N Y2 = -T . ( 1 + a / L ) = -144 N Fr1 = 176.5 N Fr2 = 221.26 N

Réponse Q2 Calcul de l’angle β : Produit scalaire Fr1.Fr2 :=> cos (β) = ( X1.X2 + Y1.Y2 ) / ( Fr1.Fr2 ) => β = 157° Réponse Q3 Calcul des paramètres FA1, δδδδr1, δδδδa1, du roulement R1

4

a. Calcul de FA1 Hypothèse : ε1 = 1 FA1 = 137.2 N b. Calcul de Q1 Max Q1 Max = 50.99 N c. Calcul de δδδδ1 Max δδδδ1 Max = 0.00234 mm d. Calcul de δδδδr 1 et δδδδa1 δδδδr 1 =0.00129 mm δδδδa1= 0.00277 mm

Calcul des paramètres FA2, δδδδr2, δδδδa2, du roulement R2 e. Calcul de FA2 FA2= 617.2 N f. Calcul de F(εεεε2), εεεε2, Jr(εεεε2), Ja(εεεε2) F(εεεε2) = 0.167 εεεε2= 2.937 Jr(εεεε2)= 0.123 Ja(εεεε2)= 0.747 g. Calcul de Q2 Max Q2 Max = 132.42 N h. Calcul de δδδδ2 Max δδδδ2 Max =0.0044 mm i. Calcul de δδδδr 2 et δδδδa2 δδδδr 2 = 0.00083 mm δδδδa2 = 0.00868 mm

Calcul du paramètre de précontrainte e e = 0.0114 mm Réponse Q4

a. Calcul de la précontrainte P0 P0 = 340 N • Calcul du déplacement δδδδa01 du roulement R1 pour la précontrainte P0 e/ 2 = 0.0057 mm • Calcul du déplacement δδδδa02 du roulement R2 pour la précontrainte P0 e/ 2 = 0.0057 mm

b. Calcul du déplacement du point 0 δδδδa2 - δδδδa02 = δδδδa01 - δδδδa1 = 0.003 mm c. L’inclinaison ϕϕϕϕr de la broche Hyp : forces radiales à 180° Tan ϕϕϕϕr = (δδδδr 2 + δδδδr 1) / L => ϕϕϕϕr = 2.18’’