4
Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques. 1. Dans un étang, le nombre de nénuphars double chaque jour. Au matin du sixième jour, il y a 96 nénuphars. Combien y en aura-t-il au matin du dixième jour ? Combien y en avait-il le matin du premier jour ? 2. Parmi les suites ci-dessous, quelles sont celles qui sont arithmétiques ou géométriques ? a) Donnez la raison et le dixième terme de la suite b) Exprimez de manière explicite le terme général t n c) Calculez la somme des quinze premiers termes d) Exprimez, en fonction de n, la somme des n premiers termes a. 8, 6, 4, 2, … b. 1, 1/3, 1/5, 1/7, … c. 1, 3/2, 9/4, 27/8, … d. -1 ; -0,1 ; -0,01 ; -0,001 ; … e. -3, -5/2, -2, -3/2, … f. 2, -4, 8, -16, … g. 2, 1, 1/2, 1/4, … 3. Déterminez le réel x pour que les trois réels 2x – 1, x + 2 et 1 – 3x soient trois nombres consécutifs d’une suite arithmétique. 4. Déterminez le réel y pour que les trois réels 3, y – 1 et 2y – 1 soient trois nombres consécutifs d’une suite géométrique 5. Est-il possible de trouver une SA dont le 40ème terme vaut 33 2 et dont la somme des vingt premiers termes vaut 35 ? 6. La figure représentée ci-dessous est constituée de 25 demi-cercles de rayon 2 ; 3/2 ; 9/8 ; 27/32 ; … Calculez la longueur de la courbe ainsi engendrée et la surface qu'elle délimite avec la droite sur laquelle sont alignés les centres. Que dire de cette longueur et de cette surface si on considère une infinité de demi- cercles à la place de 25 ? 7. Déterminez les cinq premiers termes d’une suite arithmétique dont le premier égale 3 et le quatrième égale 17. 8. Calculez le dixième terme d’une suite géométrique dont le troisième terme est 81 et le septième 16.

Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques.josephlaffineur.free.fr/ribesse/suites56.pdf · Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques. 1. Dans un étang,

  • Upload
    lemien

  • View
    215

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques.josephlaffineur.free.fr/ribesse/suites56.pdf · Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques. 1. Dans un étang,

Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques.

1. Dans un étang, le nombre de nénuphars double chaque jour. Au matin du sixième jour, il y a 96 nénuphars. Combien y en aura-t-il au matin du dixième jour ? Combieny en avait-il le matin du premier jour ?

2. Parmi les suites ci-dessous, quelles sont celles qui sont arithmétiques ou géométriques ?

a) Donnez la raison et le dixième terme de la suite

b) Exprimez de manière explicite le terme général tn

c) Calculez la somme des quinze premiers termes

d) Exprimez, en fonction de n, la somme des n premiers termesa. 8, 6, 4, 2, …b. 1, 1/3, 1/5, 1/7, …c. 1, 3/2, 9/4, 27/8, …d. -1 ; -0,1 ; -0,01 ; -0,001 ; …e. -3, -5/2, -2, -3/2, …f. 2, -4, 8, -16, …g. 2, 1, 1/2, 1/4, …

3. Déterminez le réel x pour que les trois réels 2x – 1, x + 2 et 1 – 3x soient trois nombres consécutifs d’une suite arithmétique.

4. Déterminez le réel y pour que les trois réels 3, y – 1 et 2y – 1 soient trois nombres consécutifs d’une suite géométrique

5. Est-il possible de trouver une SA dont le 40ème terme vaut 332

et dont la somme

des vingt premiers termes vaut 35 ?

6. La figure représentée ci-dessous est constituée de 25 demi-cercles de rayon 2 ; 3/2 ; 9/8 ; 27/32 ; … Calculez la longueur de la courbe ainsi engendrée et la surface qu'elle délimite avec la droite sur laquelle sont alignés les centres.Que dire de cette longueur et de cette surface si on considère une infinité de demi-cercles à la place de 25 ?

7. Déterminez les cinq premiers termes d’une suite arithmétique dont le premier égale 3 et le quatrième égale 17.

8. Calculez le dixième terme d’une suite géométrique dont le troisième terme est 81 et le septième 16.

Page 2: Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques.josephlaffineur.free.fr/ribesse/suites56.pdf · Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques. 1. Dans un étang,

9. La somme des n premiers termes d’une suite arithmétique de raison -3 est 121. Calculez le premier terme de cette suite sachant que le nième est -4.

10. Un pèlerin se rend à Saint-Jacques-de-Compostelle en Espagne. En seize jours, il a parcouru 384 km à pied. Chaque jour, il parcourt 2 km de plus que la veille. Calculezle nombre total de km parcourus après 24 jours ainsi que le nombre de jours nécessaires pour accomplir le trajet Bruxelles - Saint-Jacques-de-Compostelle (1848 km) au rythme décrit plus haut.

11. Soit (t n)n∈ℕ0une SG. Quelle est la formule qui pourrait convenir pour calculer

∑i= p

n

t i avec i , n , p∈ℕ0 ?

a) t 1.2−qn

−q p−1

2(1−q)b)

t 1

1−q(q p−1

−qn) c) t 1.q p−qn

2(1−q)

12. On prend une feuille de papier de 0,1 mm d’épaisseur. Si on plie successivement cettefeuille en 2, l’épaisseur va chaque fois être modifiée. Considérez la suite où le nième terme correspond à l’épaisseur obtenue après le nième pliage.

a) Donnez les 10 premiers éléments de cette suite ainsi que le 43ème b) Donnez les caractéristiques de cette suitec) Combien de fois faut-il plier la feuille pour que l’épaisseur soit supérieure à

100 m ?

13. Un fabricant de jouets pour enfants confectionne des cubes creux en plastique à emboîter. Chaque cube est donc constitué de 5 faces carrées et un article complet se compose de 10 cubes qui s’emboîtent les uns dans les autres. Chaque arête du premier(le plus grand) de ces cubes mesure 15 cm. Pour les autres cubes, on veille à ce que lalongueur d’arête corresponde aux 9 dixièmes de la longueur d’arête du cube précédent afin de faciliter l’emboîtement.

a) Déterminez une suite dont le nième terme correspond à la surface de plastique nécessaire à la fabrication des 5 faces du nième cube. De quel genre de suite s’agit-il ?

b) Calculez la surface de plastique nécessaire à la fabrication du dernier (dixième)cube d’un article.

c) Calculez la surface de plastique qu’il faudra consacrer à la confection d’un article complet (10 cubes).

14. Une population initiale de 2.000 bactéries augmente tous les jours de 5 %. Combien de temps faut-il attendre pour que la population compte 10.000 bactéries ?

Page 3: Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques.josephlaffineur.free.fr/ribesse/suites56.pdf · Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques. 1. Dans un étang,

15. Un carré de 10 cm de côté est divisé en 9 carrés égaux. Le carré central est colorié en noir. Les 8 carrés qui restent sont, à leur tour, divisés et coloriés suivant le même procédé.

a) Combien de fois faut-il répéter l’opération de sorte que la surface blanche soit inférieure à 0,001 cm² ?

b) Si l’on continue indéfiniment, que devient la surface blanche ?

16. Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère la droite d ≡ y=43

x+4

Notons P le point d'intersection entre d et l'axe X. On construit d' perpendiculairementà d et comprenant P. d' coupe l'axe Y au point Q et on obtient un premier segment PQ.On construit de la même manière d'' perpendiculairement à d' et comprenant Q. d'' coupe l'axe X au point R et on obtient un autre segment QR. On continue ainsi de suite …

a) Calculez la longueur des premier, deuxième et douzième segment ainsi obtenus(PQ étant le premier). Vous préciserez l'équation cartésienne de d' et d''

b) Calculez la longueur de la ligne brisée constituée des vingt premiers segments.c) Cette longueur va-t-elle tendre vers l'infini si le nombre de segments tend vers

l'infini ?

17. Les diamètres des casseroles d'une batterie de cuisine sont les suivants : 14cm ; 16,8cm ; 20,16cm ; 24,192cm … Les hauteurs de ces casseroles sont respectivement 10 cm ; 13cm;16,9cm ; 21,97cm ; …

a) Quelles suites reconnaissez-vous pour caractériser l'évolution des diamètres et des hauteurs ?

b) Elaborez une suite dont le n-ième terme correspond au volume de la nième casserole en supposant que chaque casserole est de forme cylindrique. De quelle suite s'agit-il ?

c) Combien de casseroles y a-t-il dans la batterie si la capacité totale est d'environ141 litres ?

18. Pour décorer sa grand place durant les fêtes, une ville commande un sapin artificiel composé de cônes superposés.

Au sol, le premier (le plus grand) de ces cônes à une hauteur de 2,5 mètres et un rayon de 3 mètres.

Chacun des autres cônes à une hauteur qui correspond à 90 % de la hauteur du cône précédent et un rayon qui correspond à 95 % du rayon du cône précédent.

Page 4: Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques.josephlaffineur.free.fr/ribesse/suites56.pdf · Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques. 1. Dans un étang,

a) Combien de cônes doit-on empiler si on veut que le volume total du sapin soit le plus proche possible de 110 m3 ? Que vaudra alors la hauteur totale du sapin ?

Rappel : Le volume d'un cône de rayon R et de hauteur H est donné par : πR2H/3

b) Supposons maintenant que le cône de base ait les mêmes dimensions, mais que la hauteur et le rayon diminuent tous les 2 d'un même pourcentage lorsqu'on passe d'un cône au suivant. Que doit valoir ce pourcentage sachant que le 6ème cône aurait un volume de 15 m3 ? Recherche la hauteur maximale vers laquelle va tendre la hauteur totale de ce montage. 19. Toutes les suites ne sont pas soit arithmétiques soit géométriques.Voici un exemple d'un autre type très classique en mathématique : Un couple de lapins se reproduit tous les mois pour donner naissance à un autre couple de lapins qui se reproduira tous les mois, etc… (on ne tient pas compte du problème de consanguinité). Toutefois, un couple ne se reproduit pas le premier mois. La suite qui donne le nombre de couples en fonction du nombre de mois est appelée suite de Fibonacci. a) Recherchez les 6 premiers termes de la suite qui étudie l'évolution du nombre de couples de lapins en sachant qu'au départ il n'y avait qu'un seul couple. Elle n'est ni arithmétique ni géométrique, mais en observant bien ses termes, il y a moyen de trouver une formule qui les lie. Quelle est cette formule ? Piste : Cette formule est une relation qui lie sn , sn+1 et sn+2

b) Utilisez la formule donnée en a) pour rechercher les 15 premiers termes de cette suite. Sur base de ces termes, recherchez la raison (approximative) qui pourrait convenir si on forçait cette suite à être géométrique.

c) Combien y a-t-il de couples de lapins après dix mois sachant qu’au départ, il y a un seul couple ? Après combien de temps, y a-t-il 377 couples ?