Expressions de la somme x, + x,. de deux inddtermindes x~,x~ en fonction de x, x~ + c(x, + x~)

Par D. MIRIMANOFF, Gen~ve

Introduction

Dans un article r~cent publi~ ici-m4me 1) j'ai fait connaltre une m~thode permettant de former les expressions les plus simples, canoniques et r~duites, de la somme p de deux ind6termindes xl, x 2 en fonction de 1cur produit q . J 'a i ajoutd qu'on pouvait en ddduire les expressions de p et q en fonction de G-~ q § cp, qui interviennent dans certaines d~monstrations arithm~tiques du thdor~me fondamental de l'alg~bre. Mais le procdd~ dont je me suis servi pour former l'expression cherch~e dans le cas de n -~ 4, a des inconv4nients. I1 ne permet pas, en parti- culler, de se faire une idle prdcise de la structure et des propri~t~s carac- t6ristiques de l'expression ainsi obtenue. Aussi ai-je cru utile de reprendre l'dtude de ce probl~me. En l'examinant de plus pros, je me suis aperTu que le passage des expressions en fonction de q aux expressions en fonc- tion de G peut ~tre effectu6 directement, k 1'aide d'une transformation tr~s simple, que, malgr6 son caract~re 61dmentaire, je crois utile d'indiquer.

r lides auk anciennes x~ w 1. Envisageons n nouvelles inddtermin4es x~ par les relations

x ~ = x , + c .

D~signons par /~ les fonctions symdtriques ~idmentaires correspon- dantes, par p ' la somme x~ § 4 , par q t le produit x~ 4 - I1 est ~vident que les expressions de pr en fonction de qr s'obtiennent de celles de p en fonction de q en rempla~ant q par ql et les/~ par les/~.

Or, •1 = (X 1 -~- 0) -{- (X 2 "~ 0) : p --~ 20

(1) q~ = ( x l + 0) (x= § 0) - (7 § 0 3 .

Quant a u x / ~ , ce sont des fonctions lin~aires d e / 1 , / ~ , . - . , / ~ , qui se calculent facilement. On a, en effet,

/~ = ~1/, + ~cf~_~ + . . . + ~,c'-~/~ + ~,+~c' , (2)

1) E x p r e s s i o n s de la s o m m e de d e u x i n d ~ t e r m i n ~ e s e n f o n c t i o n du p r o d u i t . C . M . H . t . 14, p. 1.

310

les coefficients fl~ = 1, f12, fl~ . . . . . fl~, fl~+l 6tant les nombres du triangle arithm6tique de Pascal rang~s le long de la i e parall~le/~ l 'hypotdnuse, en comptant ~ partir du sommet de l 'angle droit. On a, en particulier,

n ( n - - 1 ) c 2 ; etc. /~ = l1 -F nc ; /~ = /2 q- ( n - 1) c/1 -~ 2

Pour avoir l'expression de p e n fonction de G, il suffit donc de remplacer qt et les/~ par leurs expressions (1) et (2) et de retrancher 2c de la formule ainsi obtenue. La relation q - - - G - cp permettr~ ensuite d'en tirer l 'expression de q en fonction de (7.

w C a s d e n = 4 e t d e n = 5 .

Lorsque n = 4, la somme p e s t donnde par la formule ~)

Par consdquent

/1 q~ - - f3 q P - - q2 __ 14

/~ q" - - l~ q' p' = q,, __/~

Or, I ~ = 1 1 + 4 c ; I ' = / , + 3 c h + 6 c ~ ;

g = 13 + 2ci2 + 3c211 + 4c 3 ; 1~=1, + el3 + c ~ b + c 3 h + c ' ;

par suite

p : (/1 "3 I- 4C) (G -~- C2) $ - (/8 "~ 2Cf2 "q- 3C2/1 -~ 4C3) (G --~ C 2) - - 2C (G + c~) 2 - - (h + cl~ + c~l~ + c311 + c')

h G~ - - 13 G + 2 c (G" - - Is a + I,) - - c~ (h G - - 13)

C~ - - h - - c 13 + c~ (2 a - - / 3 ) - - c311

et Fen retrouve la formule (10) de l 'article citd. Pour n ----- 5, on a, en vertu des formules (14) et (15) du mgme article

t l t l I | ! V q l 1; q'~ - - t' q" + ~ r~ q - - h h - - 2 C . P = q'~ --/'~ q'" + 1; l'~ q'" - - / "

Or,

1~=/1"q-5C ; / ~ ' = / z + 4 C / l + 1 0 e ~ ; /~=)t3q-3c)t2-F6c2fx-f-10ca ;

1~=f4+2c/3+3c21~+4c3/~+5c' ; g=/~+c/ ,+cq~+cah+c'h+c ~.

~) Ibid., formule (9), pag. 8.

311

Je crois inutile de donner l 'expression finale de p . Le m~me procddd permet de former les expressions r6duites de p e n

fonction de G . E t en gdndral, s route expression de p en fonction de q correspond une expression de p en fonction de G .

w 3. Deux propridt~s des polynSmes R i .

J ' indiquerai en te rminant deux propri~t~s curieuses des polynSmes R~ .

1 ~ Adjoignons au syst~me canonique R3 = 0, R~ = 0 . . . . , Rn_ 1 = 0 les ~quations R 2 = 0 et R n = 0 . De ce syst~me nouveau de n - - 1 ~quations on peut dliminer les n - 2 inconnues cr a~ . . . . ,0r en ~galant /~ 0 le d~terminant des coefficients. L 'dquat ion qu 'on obt ient

alors est du degrd n ( n - - 1 ) 2 en q, et l 'on re t rouve ainsi par une vole

diff~rente l '~quation dont les racines sont les produits x~x~.

Soit n = 4 . Le syst~me nouveau s'dcrit

D 'oh

R 2 = q~x2 - - / , q ~ l + / e q - - h = 0

R3 = (q2 _ 1 4 ) ~ - - l l q ~ + 13q = 0

R a = - - ]4~2 -~- / a q ~ l ~- q3 - - 1 2 q 2 = 0 .

q ---- /1 q /2 q - - /4

--1, t3q q3_12q2 = 0 .

En dgveloppant ce dgterminant on re t rouve l 'dquation dont les racines sont les produi ts x~x~ et qui s'~crit

- - l , / ~ q + / ~ = o .

2 ~ Deuxi~me propri~t6 des R~:

Pour i > 2 , R i = - - q o ~ i _ 3 R l + ~ - 2 R 2 �9

D~monstration. Pa r d~finition, eet te propridtd est vraie pour R3; on v~rifie ais~ment qu'elle est vraic pour R4. Supposons main tenant qu'elle soit vraie pour R i e t R~+ 1 , je dis qu'elle sera encore vraie pour R~+2 �9 E n effet ,

312

Ri+2 = - - q R ~ -~- p R i + 1 = - - q ( - - qc~i_3R 1 -~ oq_2R2)

- ~ - p ( - - q ~ _ 2 R 1 -~ or )

= - - q ( p o ~ _ 2 - - q o q _ a ) R 1 + (POq-1 - - q o q _ 2 ) R 2

= - - q ~ x i _ l R 1 ~ o q R ~ .

La propri~t~ est done vraie pour tout i > 2 .

Je crois qu'en s 'appuyant sur ces propri~t~s il est possible de simplifier certaines d~monstrations arithm~tiques du th~or~me fondamental de l'alg~bre.

(Re~u le 20 septembre 1941.)

313