Faculte d’economie appliquee Universite Paul Cezanne

Feuille de TD n◦3 : Generalites sur les series numeriques

EXERCICE 1 : Principe de telescopage et relation suite-serie

1. Etudier les series∑

n≥0

1

(n + 1)(n + 2)et∑

n≥0

2n + 3

(n + 1)2(n + 2)2.

2. Etudier les series∑

n≥1ln

(1 +

1

n

)et∑

n≥2ln

(1− 1

n2

).

EXERCICE 2 : Relation suite-serie

1. Etudier la suite (un)n∈N, definie par la relation de recurrence :{

u0 ∈ R∀n ∈ N, un+1 = un + an,

ou a est un reel donne.

2. Generaliser le resultat au cas ou la suite (un)n∈N est definie par{

u0 ∈ C∀n ∈ N, un+1 = un + vn,

avec (vn)n∈N une suite donnee.

EXERCICE 3 : Equivalence du terme generalSoit (un)n∈N une suite decroissante de reel positifs tel que

∑un soit convergente.

1. Montrer que la suite (nun)n∈N converge vers 0, c’est a dire que un = o

(1

n

).

2. En deduire la nature de la serie∞∑

n=0

un

1− nun

.

3. Montrer que∞∑

n=0

n(un − un+1) =∞∑

n=1

un.

EXERCICE 4 : A propos de ln(2)

On se propose de montrer de facon elementaire que∞∑

n=0

(−1)n

n + 1= ln(2). On note, pour tout entier

n ≥ 1 et tout reel x :fn(x) =n∑

k=0

(−1)kxk.

1. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1],

fn(x) =1 + (−1)nxn+1

1 + x.

2. En deduire que, pour tout entier n ≥ 1, on a :

n∑

k=0

(−1)k

k + 1= ln(2)− (−1)n+1

∫ 1

0

xn+1

1 + xdx.

3. En deduire le resultat.

L2 MASS, Semestre 3 Annee 2009/2010 Module : ANALYSE 2

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Correction des exercices

Correction exercice 1 Pour ce premier exercice, on peut se baser sur le resultat important sui-

vant : Etant donne une suite numerique (an)n∈N, on lui associe la serie numerique de terme generalun defini par :

Séries convergentes ou divergentes 113

Exercice 6.2 Étant donnée une suite numérique (an)n∈N , on lui associe la série numérique determe général un défini par :

{u0 ∈ C,∀n ≥ 1, un = an−1 − an.

Montrer que la suite (an)n∈N est de même nature que la série∑

un, c’est-à-dire qu’elles convergentou divergent simultanément.

Solution 6.2 Les sommes partielles de la série∑

un sont données par S0 = u0 et, pour n ≥ 1 :

Sn = u0 +n∑

k=1

(ak−1 − ak) = u0 +n∑

k=1

ak−1 −n∑

k=1

ak

= u0 +n−1∑

k=0

ak −n∑

k=1

ak = u0 + a0 − an

ce qui donne le résultat. En cas de convergence de la suite (an)n∈N vers `, la série∑

un convergevers u0 + a0 − ` et les restes d’ordre n de la série

∑un sont données par :

Rn = u0 + a0 − `− Sn = an − `.

Les exercices qui suivent nous donne des exemples d’application de ce résultat.

Exercice 6.3 Étudier les séries∑ 1

(n+ 1) (n+ 2)et

∑ 2n+ 3

(n+ 1)2 (n+ 2)2.

Solution 6.3 Une décomposition en éléments simples nous donne :

un =1

(n+ 1) (n+ 2)=

1

n+ 1− 1

n+ 2= an−1 − an

et :vn =

2n+ 3

(n+ 1)2 (n+ 2)2=

1

(n+ 1)2− 1

(n+ 2)2= bn−1 − bn

et en conséquence :

+∞∑

n=0

1

(n+ 1) (n+ 2)= u0 + a0 − lim

n→+∞1

n+ 1= 1,

+∞∑

n=0

2n+ 3

(n+ 1)2 (n+ 2)2= v0 + b0 − lim

n→+∞1

(n+ 1)2= 1.

Exercice 6.4 Étudier les séries∑

ln

(1 +

1

n

)et

∑ln

(1− 1

n2

).

Solution 6.4 Avec :

∀n ≥ 1, un = ln

(1 +

1

n

)= ln (n+ 1)− ln (n) = − (an−1 − an)

Alors la suite (an)n∈N est de meme nature que la serie∑

n un, c’est a dire qu’elles convergent oudivergent simultanement.

1. Une decomposition en elements simples donne :

Séries convergentes ou divergentes 113

Exercice 6.2 Étant donnée une suite numérique (an)n∈N , on lui associe la série numérique determe général un défini par :

{u0 ∈ C,∀n ≥ 1, un = an−1 − an.

Montrer que la suite (an)n∈N est de même nature que la série∑

un, c’est-à-dire qu’elles convergentou divergent simultanément.

Solution 6.2 Les sommes partielles de la série∑

un sont données par S0 = u0 et, pour n ≥ 1 :

Sn = u0 +n∑

k=1

(ak−1 − ak) = u0 +n∑

k=1

ak−1 −n∑

k=1

ak

= u0 +n−1∑

k=0

ak −n∑

k=1

ak = u0 + a0 − an

ce qui donne le résultat. En cas de convergence de la suite (an)n∈N vers `, la série∑

un convergevers u0 + a0 − ` et les restes d’ordre n de la série

∑un sont données par :

Rn = u0 + a0 − `− Sn = an − `.

Les exercices qui suivent nous donne des exemples d’application de ce résultat.

Exercice 6.3 Étudier les séries∑ 1

(n+ 1) (n+ 2)et

∑ 2n+ 3

(n+ 1)2 (n+ 2)2.

Solution 6.3 Une décomposition en éléments simples nous donne :

un =1

(n+ 1) (n+ 2)=

1

n+ 1− 1

n+ 2= an−1 − an

et :vn =

2n+ 3

(n+ 1)2 (n+ 2)2=

1

(n+ 1)2− 1

(n+ 2)2= bn−1 − bn

et en conséquence :

+∞∑

n=0

1

(n+ 1) (n+ 2)= u0 + a0 − lim

n→+∞1

n+ 1= 1,

+∞∑

n=0

2n+ 3

(n+ 1)2 (n+ 2)2= v0 + b0 − lim

n→+∞1

(n+ 1)2= 1.

Exercice 6.4 Étudier les séries∑

ln

(1 +

1

n

)et

∑ln

(1− 1

n2

).

Solution 6.4 Avec :

∀n ≥ 1, un = ln

(1 +

1

n

)= ln (n+ 1)− ln (n) = − (an−1 − an)

2. Avec :

Séries convergentes ou divergentes 113

Exercice 6.2 Étant donnée une suite numérique (an)n∈N , on lui associe la série numérique determe général un défini par :

{u0 ∈ C,∀n ≥ 1, un = an−1 − an.

Montrer que la suite (an)n∈N est de même nature que la série∑

un, c’est-à-dire qu’elles convergentou divergent simultanément.

Solution 6.2 Les sommes partielles de la série∑

un sont données par S0 = u0 et, pour n ≥ 1 :

Sn = u0 +n∑

k=1

(ak−1 − ak) = u0 +n∑

k=1

ak−1 −n∑

k=1

ak

= u0 +n−1∑

k=0

ak −n∑

k=1

ak = u0 + a0 − an

ce qui donne le résultat. En cas de convergence de la suite (an)n∈N vers `, la série∑

un convergevers u0 + a0 − ` et les restes d’ordre n de la série

∑un sont données par :

Rn = u0 + a0 − `− Sn = an − `.

Les exercices qui suivent nous donne des exemples d’application de ce résultat.

Exercice 6.3 Étudier les séries∑ 1

(n+ 1) (n+ 2)et

∑ 2n+ 3

(n+ 1)2 (n+ 2)2.

Solution 6.3 Une décomposition en éléments simples nous donne :

un =1

(n+ 1) (n+ 2)=

1

n+ 1− 1

n+ 2= an−1 − an

et :vn =

2n+ 3

(n+ 1)2 (n+ 2)2=

1

(n+ 1)2− 1

(n+ 2)2= bn−1 − bn

et en conséquence :

+∞∑

n=0

1

(n+ 1) (n+ 2)= u0 + a0 − lim

n→+∞1

n+ 1= 1,

+∞∑

n=0

2n+ 3

(n+ 1)2 (n+ 2)2= v0 + b0 − lim

n→+∞1

(n+ 1)2= 1.

Exercice 6.4 Étudier les séries∑

ln

(1 +

1

n

)et

∑ln

(1− 1

n2

).

Solution 6.4 Avec :

∀n ≥ 1, un = ln

(1 +

1

n

)= ln (n+ 1)− ln (n) = − (an−1 − an)

114 Séries réelles ou complexes

on déduit que la série∑

ln

(1 +

1

n

)diverge (vers l’infini).

Pour n ≥ 2, on a :

vn = ln

(1− 1

n2

)= ln

((n− 1) (n+ 1)

n2

)

= ln

(n− 1

n

)+ ln

(n+ 1

n

)= ln

(n− 1

n

)− ln

(n

n+ 1

)

= ln

(1− 1

n

)− ln

(1− 1

n+ 1

)= an−1 − an

et :

+∞∑

n=2

ln

(1− 1

n2

)= v2 + a2 − lim

n→+∞ln

(1− 1

n+ 1

)

= ln

(3

4

)+ ln

(2

3

)= − ln (2) .

Exercice 6.5 Étudier la suite (un)n∈N , définie par la relation de récurrence :{

u0 ∈ C,∀n ∈ N, un+1 = un + an

où a est un scalaire donné.

Solution 6.5 La suite (un)n∈N est de même nature que la série∑

(un+1 − un) =∑

an. Elleest donc convergente si, et seulement si, |a| < 1. Pour |a| < 1, on a :

un = u0 +n−1∑

k=0

(uk+1 − uk) = u0 +n−1∑

k=0

ak

= u0 +1− an

1− a→

n→+∞u0 +

1

1− a.

De manière plus générale, une suite (un)n∈N , définie par une relation de récurrence du type :{

u0 ∈ C,∀n ∈ N, un+1 = un + vn

est convergente si, et seulement si, la série∑

vn est convergente.Nous verrons plus loin comment utiliser le résultat de l’exercice 6.2 pour étudier la constante

d’Euler γ déjà rencontré à l’exercice 3.59.L’exercice suivant nous montre comment utiliser la décomposition en éléments simple des

fonctions rationnelles de pôles entiers relatifs et les changements d’indices pour calculer lasomme de certaines séries numériques.

Exercice 6.6 Montrer que les séries de terme général un =2n− 1

n (n2 − 4)(n ≥ 3) et vn =

1

n (n+ 1) (n+ 2)(n ≥ 1) sont convergentes et calculer leurs sommes.

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Correction exercice 2La suite (un)n∈N est de meme nature que la serie

∑n(un+1 − un) =

∑n a

n. Elle est donc conver-gente si, et seulement si, |a| < 1. Pour |a| < 1, on a :

114 Séries réelles ou complexes

on déduit que la série∑

ln

(1 +

1

n

)diverge (vers l’infini).

Pour n ≥ 2, on a :

vn = ln

(1− 1

n2

)= ln

((n− 1) (n+ 1)

n2

)

= ln

(n− 1

n

)+ ln

(n+ 1

n

)= ln

(n− 1

n

)− ln

(n

n+ 1

)

= ln

(1− 1

n

)− ln

(1− 1

n+ 1

)= an−1 − an

et :

+∞∑

n=2

ln

(1− 1

n2

)= v2 + a2 − lim

n→+∞ln

(1− 1

n+ 1

)

= ln

(3

4

)+ ln

(2

3

)= − ln (2) .

Exercice 6.5 Étudier la suite (un)n∈N , définie par la relation de récurrence :{

u0 ∈ C,∀n ∈ N, un+1 = un + an

où a est un scalaire donné.

Solution 6.5 La suite (un)n∈N est de même nature que la série∑

(un+1 − un) =∑

an. Elleest donc convergente si, et seulement si, |a| < 1. Pour |a| < 1, on a :

un = u0 +n−1∑

k=0

(uk+1 − uk) = u0 +n−1∑

k=0

ak

= u0 +1− an

1− a→

n→+∞u0 +

1

1− a.

De manière plus générale, une suite (un)n∈N , définie par une relation de récurrence du type :{

u0 ∈ C,∀n ∈ N, un+1 = un + vn

est convergente si, et seulement si, la série∑

vn est convergente.Nous verrons plus loin comment utiliser le résultat de l’exercice 6.2 pour étudier la constante

d’Euler γ déjà rencontré à l’exercice 3.59.L’exercice suivant nous montre comment utiliser la décomposition en éléments simple des

fonctions rationnelles de pôles entiers relatifs et les changements d’indices pour calculer lasomme de certaines séries numériques.

Exercice 6.6 Montrer que les séries de terme général un =2n− 1

n (n2 − 4)(n ≥ 3) et vn =

1

n (n+ 1) (n+ 2)(n ≥ 1) sont convergentes et calculer leurs sommes.

Correction exercice 3

1. Pour n > m ≥ 1, on a :

118 Séries réelles ou complexes

En fait, dans le cas où la suite (un)n∈N est réelle décroissante, on a le résultat plus précissuivant.

Théorème 6.3 Soit (un)n∈N une suite décroissante de réels positifs. Si la série∑

un est conver-

gente, alors la suite (nun)n∈N converge vers 0, c’est-à-dire que un = o

(1

n

).

Démonstration. Pour n > m ≥ 1, on a :

n∑

k=m

uk ≥ (n−m+ 1) un

soit :

0 ≤ nun ≤n∑

k=m

uk + (m− 1)un ≤+∞∑

k=m

uk +mun.

Comme limn→+∞

(+∞∑k=m

uk

)= 0, pour ε > 0 donné, on peut trouver entier m0 ≥ 1 tel que

+∞∑k=m0

uk ≤ ε et on a :

∀n > m0, 0 ≤ nun ≤ ε+m0un.

Pour m0 ainsi fixé, tenant compte de limn→+∞

un = 0, on peut trouver un entier n0 > m0 tel quem0un < ε pour n ≥ n0. On a donc nun < 2ε pour n ≥ n0. Le réel ε étant quelconque, on a bienmontré que lim

n→+∞nun = 0.

Exercice 6.8 Soit (un)n∈N une suite de réels positifs décroissante telle que la série∑

un soitconvergente

1. Montrer que limn→+∞

nun = 0 et en déduire la nature de la série+∞∑n=0

un

1− nun

.

2. Montrer que+∞∑n=0

n (un − un+1) =+∞∑n=0

un.

Solution 6.8 1. On a déjà vu avec le théorème précédent que limn→+∞

nun = 0. On a alors

1 − nun > 0 pour n assez grand etun

1− nun

v un, ce qui entraîne la convergence de la

série+∞∑n=n2

un

1− nun

.

2. On a :n∑

k=0

k (uk − uk+1) =n∑

k=0

uk − nun+1,

avec nun+1 =n

n+ 1(n+ 1) un+1 →

n→+∞0, d’où le résultat.

On peut remarquer que les séries de Riemann sont de la forme∑

f (n) où f est une fonctiondéfinie sur [1,+∞[ , à valeurs positives, continue et décroissante. De manière plus précise, on ale résultat suivant qui reprend celui de l’exercice 3.53.

2. Puisque limn→+∞ nun = 0, on a 1 − nun > 0 pour n assez grand etun

1− nun

∼ un, ce qui

entraine la convergence de la serie+∞∑

n=0

un

1− nun

.

3. On a :+∞∑

k=0

k(uk − uk+1) =n∑

k=0

uk − nun+1,

avec nun+1 =n

n + 1(n + 1)un+1 →n→+∞ 0, d’ou le resultat.

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Correction exercice 4

120 Séries réelles ou complexes

c’est-à-dire quen∑

k=1

f (k) ∼n→+∞

F (n) + `.

Remarque 6.2 Dans le cas où limn→+∞

F (n) = +∞, on a F (n)+` ∼n→+∞

F (n) etn∑

k=1

f (k) ∼n→+∞

F (n) .

Nous verrons, après avoir étudié les intégrales généralisées, que le résultat précédent se traduit

en disant que la série∑

f (n) est de même nature que l’intégrale généralisée∫ +∞

1

f (t) dt.

En utilisant la fonction f (t) =1

tαavec α > 0 on retrouve, en les précisant, les résultats sur

les séries de Riemann.Pour α = 1, on a F (x) = ln (x) , lim

n→+∞

(n∑

k=1

1

k− ln (n)

)= γ (la constante d’Euler),

n∑k=1

1

kv+∞

ln (n) et limn→+∞

n∑k=1

1

k= +∞, soit

+∞∑n=1

1

n= +∞.

Pour α 6= 1, on a F (x) =1

1− α

(1

xα−1− 1

).

Pour α > 1, on a F (n) =1

α− 1

(1− 1

nα−1

)→

n→+∞1

α− 1et donc

+∞∑n=1

1

nα=

1

α− 1+ `.

Pour α < 1, on a F (n) =1

1− α(n1−α − 1) →

n→+∞+∞ et

n∑k=1

1

kαv+∞

F (n) v+∞

n1−α

1− α, soit

+∞∑n=1

1

nα= +∞.

Pour α ≤ 0, la série diverge puisque son terme général ne tend pas vers 0.

Exercice 6.9 On se propose de montrer de façon élémentaire que+∞∑n=0

(−1)n

n+ 1= ln (2) .

On note, pour tout entier n ≥ 1 et tout réel x :

fn (x) =n∑

k=0

(−1)k xk.

1. Montrer que :

fn (x) =1 + (−1)n xn+1

1 + x

pour tout x ∈ [0, 1] .

2. En déduire que, pour tout entier n ≥ 1, on a :n∑

k=0

(−1)k

k + 1= ln (2)− (−1)n+1

∫ 1

0

xn+1

1 + xdx.

3. En déduire le résultat annoncé.

Solution 6.9

1. Pour x ∈ [0, 1] , on a −x 6= 1 et :

fn (x) =n∑

k=0

(−x)k =1− (−x)n+1

1 + x=

1 + (−1)n xn+1

1 + x.

Séries convergentes ou divergentes 121

2. En intégrant sur [0, 1] , on a :

∫ 1

0

fn (x) dx =n∑

k=0

(−1)k∫ 1

0

xkdx =n∑

k=0

(−1)k

k + 1

=

∫ 1

0

1− (−1)n+1 xn+1

1 + xdx

=

∫ 1

0

1

1 + xdx− (−1)n+1

∫ 1

0

xn+1

1 + xdx

= ln (2)− (−1)n+1

∫ 1

0

xn+1

1 + xdx.

3. Avec :

0 ≤∫ 1

0

xn+1

1 + xdx ≤

∫ 1

0

xn+1dx =1

n+ 2→

n→+∞0,

on déduit que limn→+∞

n∑k=0

(−1)k

k + 1= ln (2) , soit

+∞∑n=0

(−1)n

n+ 1= ln (2) .

Exercice 6.10 En s’inspirant de la méthode utilisée à l’exercice précédent, montrer que+∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1=

π

4.

Solution 6.10

1. Pour x ∈ [0, 1] , on a :

fn (x) =n∑

k=0

(−x2

)k=

1− (−1)n+1 x2n+2

1 + x2=

1 + (−1)n x2n+2

1 + x2.

2. En intégrant sur [0, 1] , on a :

∫ 1

0

fn (x) dx =n∑

k=0

(−1)k∫ 1

0

x2kdx =n∑

k=0

(−1)k

2k + 1

=

∫ 1

0

1− (−1)n+1 x2n+2

1 + x2dx

=

∫ 1

0

1

1 + x2dx− (−1)n+1

∫ 1

0

x2n+2

1 + x2dx

=π

4− (−1)n+1

∫ 1

0

x2n+2

1 + x2dx.

3. Avec :

0 ≤∫ 1

0

x2n+2

1 + x2dx ≤

∫ 1

0

x2n+2dx =1

2n+ 3→

n→+∞0,

on déduit que limn→+∞

n∑k=0

(−1)k

2k + 1=

π

4, soit

+∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1=

π

4.

Pour ce qui est des opérations sur les séries numériques, on dispose des résultats suivants.

L2 MASS, Semestre 3 Annee 2009/2010 Module : ANALYSE 2