Académie Militaire de Cherchell Année Universitaire:

Département des Sciences et Technologie

Filière: Electr.—Méc. Energ. Math II

Chaire de Mathématiques

FICHE

Exercice n°01 :

Dans ��∗ � �, on définit les lois interne et externe suivantes

� � � → �

��, �� ���, ��� → ����, � ��

L’ensemble ��, , . � est—il un �—

Exercice n°02 :

Dans � � ��, on donne les sous—ensembles suivants

� � ���, ��, ��� ∈ ��; � � ���

� � ���, ��, ��� ∈ ��; � �� �

Vérifier que �, �, � et � sont des sous

Exercice n°03 :

Soient � et � deux sous—espaces vectoriels de

� � ��� � �, 2�, � 2�, ���; ��, �

a/ Déterminer une famille génératrice de

b/ Vérifier si ces familles sont des familles libres.

c/ En déduire une base et la dimension de chaque sous

Exercice n°04 :

Soit � un �—espace vectoriel de dimension 3 et

� � !� � ! et � � !�.

Montrer que la famille � , �, � est libre et compléter celle

Exercice n°05 :

Soient dans �" les vecteurs suivants :

# � �0, �9, �9,6�.

a/ Montrer que ' appartient au sous

engendré par ��, �.

b/ Soient ( � )!*+��, �, '� et , � )!*+

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Méc. Energ. Math II

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FICHE TD n°01—Espaces vectoriels

, on définit les lois interne et externe suivantes :

� � � → �

�� -. ��, �� → ��.

—espace vectoriel ?

ensembles suivants :

� � � ���, ��, ��� ∈ ��; 2�� � �

0� � � ���, ��, ��� ∈ ��; � � 0, �� �

sont des sous—espaces vectoriels de � puis déterminer � ∩

espaces vectoriels de �"donnés par :

�� ∈ ��� � � ���, �, 0, -� ∈ �"; � �

a/ Déterminer une famille génératrice de � et de �.

Vérifier si ces familles sont des familles libres.

c/ En déduire une base et la dimension de chaque sous—espace vectoriel.

espace vectoriel de dimension 3 et � � �!, !�, !�� une base de

est libre et compléter celle—ci en une base de �.

les vecteurs suivants : � �1, �1,0,2�, � � �1,2,3,0�, � � �0, �1,

appartient au sous—espace engendré par ��, �� et que # appartient au sous

)!*+� , #�. Trouver les dimensions de (, ,, ( ,

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�

, -��

���

� ���

� et � ∩ �.

� � 0 � -�

une base de � . Soit � !� 2!� ,

,2, �2�, ' � �3,7,7,2� et

appartient au sous—espace

,, ( ∩ ,.

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c/ Montrer que le sous—espace vectoriel engendré par le vecteur

de ( ,. En déduire celui de ( ∩ ,

Exercice n°06 :

Soit ℙ� � ��567, l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et soit

famille des polynômes de ℙ� définis pour tout

8�6� � 6�, 8��6� � �6 � 1��, 8�

a/ Montrer que cette famille forme une base de

c/ En déduire l’écriture des polynômes suivants dans cette base

Exercice n°07 :

Dans ��, déterminer une base et un supplémentaire des sous

( � )!*+� , #� où � �1,1,0� et #

, � )!*+� , #, 9� où � ��1,1,0�

: � ���, �, '� ∈ ��; � � 2� 3' �

Exercice n°08 :

Soit � � ��567 et on considère les deux sous

( � �8 ∈ �, 8�0� � 8�1� � 0� et (

Démonter que (⨁(� � �.

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espace vectoriel engendré par le vecteur 9 � �1,2,3,1� est supplémentaire dans

, dans �".

, l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et soit

définis pour tout 6 réel par :

��6� � �6 1��

a/ Montrer que cette famille forme une base de ℙ�.

l’écriture des polynômes suivants dans cette base : <�6� � 12, =�6� �

, déterminer une base et un supplémentaire des sous—espaces vectoriels suivants

� �2,1,1�

� , # � �2,0,1� et 9 � �1,1,1�

� 0�

et on considère les deux sous—espaces vectoriels de � suivants :

� (� � �8 ∈ �, >!? 8�0� @ 1�

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est supplémentaire dans �"

, l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et soit ( � �8, 8�, 8�� la

� � � 6� 26� � 6 � 14.

espaces vectoriels suivants :