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FONCTIONS HARMONIQUES POSITIVES SUR LES GROUPES

par Andr(~ Avez (*) (Paris)

ABI~LIENS

RI~SUMIk Les fonctions harmoniques positives /t croissance non exponentielle sur les groupes ab~liens sont constantes.

1 . - Soit p une probabilit6 sur un groupe d6nombrable G, d 'el6ment neutre e:

p(g) s'interpr~te comme la probabilit6 de passer de x E G ~ x g en un coup.

La probabilit6 P~.h de passer de g /l h e n un coup est donc p ( h g -~) et

P~.~ ~ P~.h pour tout a E G. Notons p'~.~, la probabilit6 de passer de g /l h e n

n coups. L ' ind6pendance stochastique des coups entraine

( n ) ( n )

p(,~:" ----- r. p'~.) "Pr., et P,a.~a = P,.~ pour tout a. r

Si supp (p) est le support de p, p',.', est une probabilit6 sur G de support

A, = [supp (p)]".

Dans la suite nous supposons que supp(p) est fini et engendre G: tout

g E G peut s'6crire sous la forme g = g l . . . g k , oil p(g~) > O, . . . , P(gk) > O.

L'entier k minimum pour iequel l'6galit6 a lieu s 'appelle la longueur de g ;

A, est l 'ensemble des 616merits de G de iongueur n au plus.

Une fonction f : G-~ 1R + sera dite /i croissance non exponentiel le si

n

lim I/supf(g)----- 1. n=oo An

11 est aise de voir que cette propri6t6 de f ne d6pend pas de tel choix particulier

de g6n6rateurs de G.

(*) Ce travail a ~t~ effectu~ au cours d'un s6jour A l'lstituto di Matematica de l'Univer- sit~ de Palerme, au mois d'avril 1975.

3 2 AND Ri~ AVEZ

2. Une fonction f : G - ~ R est dite p-harmonique si Z Px., . f ( g ) = f ( x )

pour tout x E G. AIors, 6videmment, Z p'x~.', �9 f ( g ) = f(x) pour tout x E G et

tout n E N.

Supposons G ab61ien, supp (p) fini et engendrant G, p sym~trique (p(g)----

: p ( g - 1 ) pour tout gEG). Alors toute fonction p -ha rmonique positive est

constante (t). Si p n'est pas sym6trique, le r6sultal est en d6faut. En effet, soit

f : O-~ltl § une exponentielle non triviale: f ( x . y) -----f(x). f(y) pour tous x, yE G t

On peut choisir p de sorte que ~ p ( g ) . f ( g ) = 1. Alors f est positive el

p-harmonique. De plus, elle est /l croissance exponentielle:

n

lim I /supf(g) ----- max f (g) ~ 1. n=oo An A1

Un th~or~me sans hypoth~se de sym~trie sur p suppose done une hypoth~se

sur la croissance de f.

3. - Th~orime. Soit G u n groupe ab~lien muni d 'une probabilit~ p ~t support

fini et engendrant G. Aiors toute fonction f positive, p-harmonique et / l croissance

non exponentieile est constante.

Preuve. Quitte /~ changer f e n f + constante,

Soit

Posons

Puisque

on peut 6crire

on peut

( t ) = t . i o g t - - t - + - l ,

( f ( u ) ] I = p (u). +

f (u) = Z p'~", �9 f (g),

P~.g I = r p (u) . , . §

u Pe.g

P',.7" " / (g ) ) f(e) "

supposer f > 1.

t > 0 .

Appliquons l'in6galit6 de Jensen /l ia fonction convexe qb, en remarquant que

p',.~" . f (g) p',."', . f (g) f (e) > 0 el Z~ f (e)

(~) K. lto et H. P. Mc. Kean, Potentials and random walk, Illinois J. Math. 4, (1960), 119-132.

FONCTION$ IlAIIMONIQUE$ POSITIVES SlYll L~S GROUPES AB~LIEN$ 33

On obtient

( p ' : . ; �9 f ( g ) . + ~ �9 I ~< Z p (u). p;."~" / (e)

Explicitons ~( ) en tenant compte de

z p(u) , . , = , .§ �9 p , . , P , . , �9

I1 vient

1. f (e) ~< ,2 p (u) . f (g) . p',,".'~ . log P','I; - - s f (g) " P;.7" " log P;,7"- u , g g

Pour 6valuer le premier terme a du membre de droite, utilisons p,',".', = p',."',,-, et

posons h = g u -~:

a = ,2 [Z p (u}. f ( h u)]" P',.~ log '"' Pe.h h u

Mais G est ab61ien et f e s t p-harmonique , donc

S p (u). f (h u) = ~ p (u). f (u h) = f (h).

De sorte que si l'on pose

on a

On en d~duit

Posons

On peut 6crire

B , = - - s - p;."~, l o g p;"'~ g

l . f ( e ) ~ B.+, - - B , .

1. f (e) ~< B,+, - - B, n

R , puis l . f ( e ) ~ < l i m i n f - "

n ~ n

z(t) = - - t . logt , t ~> 0.

B , = s z [ f (g ) . p',."~] 4 - Z f ( g ) . p ' ," . log f (g ) . g

D6signons par 7(n) le cardinal de A, et appliquons l'in6galit6 de Jensen ~a

la fonction concave z:

E z ( f ( g ) . p r y(n) . y(n~-)-A~ e~a, ~ f (g) " p''" ==

[ f (e ) ] = z( f(e)) + f ( e ) . log "((n). = r ( n ) . z \ y(n) :

3 - R e n d . C i rc . M a t e m . P a l e r m o - S e r i e I I - T o m o X X I V - A n n o 1975

34 ~,st,a,t ,tvBz

Puisque G est ab61ien, T(n) est major6 par un polyn0me en n. II en r6sulte

lira 1 Z n=oo II gEAn

D'autre part, puisque f > 1,

z ( f ( g ) , p',.~) = O.

n

1_ Z f (g) . p',.~', . log f (g) ~< E f (g) . p',.~ . log I/sup f (g) = f (e) . log s u p ~ . 7l g~An An An

Mais f e s t /a croissance non exponentielle, donc

lim 1 Z f ( g ) - - �9 p',.",, l o g f ( g ) = 0 n ~ o o n g

En r6sum6 lim B J n = 0 et I = O. Puisque d~(t) > 0 si t :~ 1, on en d6duit n ~ a o

f (u) = f(e) pour tout u E supp (p).

Si k E G, IPkf: x - ~ f ( x k ) est encore positive, p-harmonique et /t croissance

non exponentielle. En lui appl iquant le r6sultat pr6c6dent on obtient f ( u k ) : f(k)

pour tout u E supp (p), tout k E G.

Comme supp(p) engendre G, il en r6sulte que f ( g ) = f ( e ) pour tout g E G .

Paris, Avril 1975.

BIBLIOORAPHIE

[I] K. lto et H. P. Mc. Kean, Potentials and random walk, Illinois J. Math. 4, 119-132 (1960).