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manuscripta math. 118, 311–337 (2005) © Springer-Verlag 2005 Nefton Pali Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type (1, 1) sur une variété presque complexe Received: 5 December 2004 / Revised version: 24 August 2005 Published online: 26 October 2005 Résume -Une fonction semi-continue supérieurement u sur une variété presque complexe (X, J ) est dite plurisousharmonique si la restriction à toute courbe pseudo-holomorphe locale est sous-harmonique. Comme dans le cas analytique complexe, nous conjecturons que la notion de plurisousharmonicité pour une fonction u est équivalente à la positivité du (1, 1)-courant i∂ J ¯ J u, (lequel n’est pas forcément fermé dans le cas non intégrable). La conjecture est triviale dans le cas d’une fonction u de classe C 2 . Le résultat en question est élémentaire dans le cas complexe intégrable car l’opérateur i∂ J ¯ J s’écrit comme un opéra- teur à coefficients constants dans des coordonnées complexes. On peut donc facilement conserver la positivité du courant en régularisant avec des noyaux C usuels. Dans le cas presque complexe non intégrable ceci ce n’est pas possible et la preuve du résultat exige un étude beaucoup plus intrinsèque. Nous montrons la nécessité de la positivité du (1, 1)- courant i∂ J ¯ J u en utilisant la théorie locale des courbes J -holomorphes. Nous montrons aussi la suffisance de la positivité dans le cas particulier d’une fonction f semi-continue supérieurement et continue en dehors du lieu singulier f 1 (−∞). Abstract. -If (X, J ) is an almost complex manifold, then a function u is said to be plurisubharmonic on X if it is upper semi-continuous and its restriction to every local pseudo-holomorphic curve is subharmonic. As in the complex case, it is conjectured that plurisubharmonicity is equivalent to the positivity of the (1, 1)-current i∂ J ¯ J u, (the (1, 1)- current i∂ J ¯ J u need not be closed here!). The conjecture is trivial if u is of class C 2 . The result is elementary in the complex integrable case because the operator i∂ J ¯ J can be written as an operator with constant coefficients in complex coordinates. Hence the pos- itivity of the current is preserved by regularising with usual convolution kernels. This is not possible in the almost complex non integrable case and the proof of the result requires a much more intrinsic study. In this chapter we prove the necessity of the positivity of the (1, 1)-current i∂ J ¯ J u. We prove also the sufficiency of the positivity in the particular case of an upper semi-continuous function f which is continuous in the complement of the singular locus f 1 (−∞). Table des matiéres 1. Préliminaires ................................... 312 2. Plongements par feuilles courbes J -holomorphes et champs de vecteurs J -plats sur les variétés presque complexes ........................ 317 N. Pali: Mathematics Department, Princeton University, Fine Hall, Washington road, 08544, Princeton, NJ, USA. e-mail: [email protected] DOI: 10.1007/s00229-005-0594-x

Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type (1,1) sur une variété presque complexe

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manuscripta math. 118, 311–337 (2005) © Springer-Verlag 2005

Nefton Pali

Fonctions plurisousharmoniques et courants positifsde type (1, 1) sur une variété presque complexe

Received: 5 December 2004 / Revised version: 24 August 2005Published online: 26 October 2005

Résume -Une fonction semi-continue supérieurement u sur une variété presque complexe(X, J ) est dite plurisousharmonique si la restriction à toute courbe pseudo-holomorphelocale est sous-harmonique. Comme dans le cas analytique complexe, nous conjecturonsque la notion de plurisousharmonicité pour une fonction u est équivalente à la positivité du(1, 1)-courant i∂

J∂Ju, (lequel n’est pas forcément fermé dans le cas non intégrable). La

conjecture est triviale dans le cas d’une fonction u de classe C2. Le résultat en question estélémentaire dans le cas complexe intégrable car l’opérateur i∂

J∂J

s’écrit comme un opéra-teur à coefficients constants dans des coordonnées complexes. On peut donc facilementconserver la positivité du courant en régularisant avec des noyaux C∞ usuels. Dans le caspresque complexe non intégrable ceci ce n’est pas possible et la preuve du résultat exigeun étude beaucoup plus intrinsèque. Nous montrons la nécessité de la positivité du (1, 1)-courant i∂

J∂Ju en utilisant la théorie locale des courbes J -holomorphes. Nous montrons

aussi la suffisance de la positivité dans le cas particulier d’une fonction f semi-continuesupérieurement et continue en dehors du lieu singulier f−1(−∞).

Abstract. -If (X, J ) is an almost complex manifold, then a function u is said to beplurisubharmonic on X if it is upper semi-continuous and its restriction to every localpseudo-holomorphic curve is subharmonic. As in the complex case, it is conjectured thatplurisubharmonicity is equivalent to the positivity of the (1, 1)-current i∂

J∂Ju, (the (1, 1)-

current i∂J∂Ju need not be closed here!). The conjecture is trivial if u is of class C2. The

result is elementary in the complex integrable case because the operator i∂J∂J

can bewritten as an operator with constant coefficients in complex coordinates. Hence the pos-itivity of the current is preserved by regularising with usual convolution kernels. This isnot possible in the almost complex non integrable case and the proof of the result requiresa much more intrinsic study. In this chapter we prove the necessity of the positivity of the(1, 1)-current i∂

J∂Ju. We prove also the sufficiency of the positivity in the particular case

of an upper semi-continuous function f which is continuous in the complement of thesingular locus f−1(−∞).

Table des matiéres

1. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3122. Plongements par feuilles courbes J -holomorphes et champs de vecteurs J -plats

sur les variétés presque complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

N. Pali: Mathematics Department, Princeton University, Fine Hall, Washington road,08544, Princeton, NJ, USA. e-mail: [email protected]

DOI: 10.1007/s00229-005-0594-x

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312 N. Pali

3. Courants positifs sur les variétés presque complexes . . . . . . . . . . . . . . . 3243.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3243.2. Exemples fondamentaux de courants positifs sur les variétés presque com-

plexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3294. Les potentiels des courants positifs de type (1, 1) sur les

variétés presque complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

1. Préliminaires

Soit (X, J ) une variété presque complexe de classe C∞ et de dimension réelle 2n.On désigne par EX ≡ EX(R) le faisceau des fonctions C∞ à valeurs réelles, parπ1,0J

: TX ⊗R

C −→ T1,0X,J la projection sur le fibré des (1, 0)-vecteurs tangents et

par π0,1J

celle sur le fibré des (0, 1)-vecteurs tangents. On désigne par TX,J le fibrétangent dont les fibres sont munies de la structure complexe donnée par J et par

Ep,qX,J

≡ E(�p,qJT ∗X), �

p,qJT ∗X := �p

C(T

1,0X,J )

∗ ⊗C�q

C(T

0,1X,J )

le faisceau des (p, q)-formes par rapport à la structure presque complexe J . Onrappelle que sur une variété presque complexe la différentielle se décompose sousla forme

d = ∂J

+ ∂J

− θJ

− θJ,

où pour toute k-forme complexe ω ∈ E(�kC(TX ⊗

RC)∗)(U) au dessus d’un ouvert

U et tout champ de vecteurs complexes ξ0, . . . , ξk ∈ E(TX ⊗R

C)(U) on a lesexpressions suivantes:

∂Jω (ξ0, . . . , ξk) :=

0≤j≤k(−1)j ξ1,0

j . ω(ξ0, . . . , ξj , . . . , ξk)

+∑

0≤j<l≤k(−1)j+lω([ξ1,0

j , ξ1,0l ]1,0 + [ξ0,1

j , ξ1,0l ]0,1

+[ξ1,0j , ξ

0,1l ]0,1, ξ0, . . . , ξj , . . . , ξl , . . . , ξk)

∂Jω (ξ0, . . . , ξk) :=

0≤j≤k(−1)j ξ0,1

j . ω(ξ0, . . . , ξj , . . . , ξk)

+∑

0≤j<l≤k(−1)j+lω([ξ0,1

j , ξ0,1l ]0,1 + [ξ0,1

j , ξ1,0l ]1,0

+[ξ1,0j , ξ

0,1l ]1,0, ξ0, . . . , ξj , . . . , ξl , . . . , ξk)

θJω (ξ0, . . . , ξk) := −

0≤j<l≤k(−1)j+lω([ξ1,0

j , ξ1,0l ]0,1, ξ0, . . . , ξj , . . . , ξl , . . . , ξk)

θJω (ξ0, . . . , ξk) := −

0≤j<l≤k(−1)j+lω([ξ0,1

j , ξ0,1l ]1,0, ξ0, . . . , ξj , . . . , ξl , . . . , ξk)

Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type 313

avec ξ1,0 := π1,0J(ξ), [·, ·]1,0 := π1,0

J[·, ·] et de façon analogue pour les indices

(0, 1). Les bidegrés des opérateurs ∂J, ∂

J, θ

Jet θ

Jsont respectivement (1, 0),

(0, 1), (2,−1) et (−1, 2). En effet si ω ∈ Ep,qX,J(U) est une (p, q)-forme alors

les (p + q + 1)-formes ∂Jω, ∂

Jω, θ

Jω, θ

Jω sont nulles en restriction aux fibrés

�r,sJTX, r+s = p+q+1 respectivement aux bidegrés (r, s) �= (p+1, q), (r, s) �=

(p, q + 1), (r, s) �= (p + 2, q − 1), (r, s) �= (p − 1, p + 2). On déduit alors quel’opérateur T = ∂

J, ∂

J, θ

Joù θ

Jvérifie la règle de Leibnitz

T (u ∧ v) = T u ∧ v + (−1)deg uu ∧ T v.

On a aussi les formules (∂Ju) = ∂

Ju, (θ

Ju) = θ

Ju.

Définition 1.1. On désigne par τJ

∈ E(�2,0JT ∗X⊗

CT

0,1X,J )(X) le tenseur de la torsion

de la structure presque complexe définie par la formule τJ(ξ, η) := [ξ1,0, η1,0]0,1

pour tout ξ, η ∈ E(TX ⊗R

C)(U), où U ⊂ X désigne un ouvert quelconque. Letenseur de la structure presque complexe est dit intégrable si τ

J= 0.

On remarque que τJ

= 0 si et seulement si θJ

= 0, si et seulement si d = ∂J+∂

J. On

rappelle le célèbre théorème de Newlander-Nirenberg (voir [We], [Hör], [Dem-1],chapitre VIII, [Mal], [Nij-Woo] et [New-Nir]).

Théorème 1.2 (Newlander-Nirenberg). Soit (X, J )une variété presque complexe.L’existence d’une structure holomorphe OX sur la variété X telle que la structurepresque complexe associée JOX

soit égale à J est équivalente à l’intégrabilité dela structure presque complexe J .

On désigne par Hpm la mesure de Hausdorff p-dimensionnelle dans R

m et par λla mesure de Lebesgue sur R

m. On désigne par Br(x) la boule ouverte de Rm de

centre l’origine et de rayon r > 0 et par Sr(x) la sphère de dimension m− 1 dansRm de centre l’origine et de rayon r > 0. Soit f une fonction Borel-mesurable

et localement bornée sur un ouvert U ⊂ Rm. Pour tout Br(x) ⊂ U on définit les

quantités

µB(f, x, r) := 1

λ(Br(x))

Br(x)

f dλ et µS(f, x, r)

:= 1

Hm−1m (Sr(x))

Sr (x)

f dHm−1m .

On a la définition suivante (cf. [Dem-1] pour plus de détails). Une fonction f :U −→ [−∞,+∞) semi-continue supérieurement est dite sous-harmonique si ellevérifie une des propriétés équivalentes suivantes:

a) f (x) ≤ µB(f, x, r) pour tout Br(x) ⊂ U ;b) f (x) ≤ µS(f, x, r) pour tout Sr(x) ⊂ U ;c) pour tout point x ∈ U il existe une suite décroisante de réels (rk)k ⊂ (0,+∞)

convergente vers zéro telle que f (x) ≤ µB(f, x, rk);

314 N. Pali

d) pour tout point x ∈ U il existe une suite décroisante de réels (rk)k ⊂ (0,+∞)

convergente vers zéro telle que f (x) ≤ µS(f, x, rk).

On déduit d’après la propriété c) ou d) q’une fonction f est sous-harmonique surun ouvertU si et seulement si pour tout x ∈ U il existe un voisinage ouvert Vx ⊂ U

de x tel que f est sous-harmonique sur Vx .Une autre consequence immediate des propriétés c) ou d) est la suivante.Soit f : U −→ [−∞,+∞) une fonction semi-continue supérieurement sur unouvert U ⊂ R

m telle que l’ensemble f−1(−∞) soit fermé et f ∈ SH(U �

f−1(−∞)). Alors f ∈ SH(U).Si f ∈ C2(U,R) alors on déduit d’après la deuxième identité de Green que f estsous-harmonique si et seulement si f ≥ 0. De façon générale on a le théorèmeclassique suivant (cf. [Dem-1], chapitre I).

Théorème 1.3. Soit f une fonction sous-harmonique sur un ouvert connexe U .Alors soit f ≡ −∞, soit f ∈ L1

loc(U) et dans ce cas le Laplacien au sens desdistributions f est une mesure positive. Réciproquement soit u une distributionsur U telle que u soit une mesure positive. Alors il existe une unique fonction fsous-harmonique sur U telle que u soit la distribution associée à f .

On désigne par j la structure presque complexe canonique sur R2 ≡ C, par J0

la structure presque complexe canonique sur R2n ≡ C

n et par B1δ ⊂ R

2 la boulecomplexe de centre l’origine et de rayon δ. On rappelle la définition suivante.

Définition 1.4. Soit (X, J ) une variété presque complexe. Une courbeJ -holomorphe locale est une application différentiable γ : B1

δ −→ X telle que sadifférentielle vérifie la condition J (γ (z)) · dzγ = dzγ · j pour tout z ∈ B1

δ .

On a la définition suivante.

Définition 1.5. Soit (X, J ) une variété presque complexe. Une fonction f : X −→[−∞,+∞) semi-continue supérieurement est dite J -plurisousharmonique si pourtoute courbe J -holomorphe locale γ définie sur le disque Bδ ⊂ R

2, la composéef ◦ γ est sous-harmonique sur le disque Bδ .

Nous désignerons parPsh(X,J ) l’ensemble des fonctionsJ-plurisousharmoniques.Siu ∈ D′

2n(X,C) est une distribution à valeurs complexes sur X nous sommes par-

ticulièrement intéressés par le courant i∂J∂Ju ∈ D′1,1(X). En général on désigne

par D′k,k(X) les sections globales du faisceau

E(�k,kJT ∗X)⊗EX(C) D′

2n(C)

où D′2n(C) représente le faisceau des distributions à valeurs complexes sur X.

Il est bien connu que D′k,k(X) s’identifie naturellement par intégration au dualtopologique D′

n−k,n−k(X) de l’espace Dn−k,n−k(X) des (n− k, n− k)-formes C∞à support compact muni de la topologie de la convergence localement uniforme detoutes les dérivées (cf. [Dem-1], chapitre I et [DeR]). On utilisera pourtant dans la

Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type 315

suite l’identification des notations D′k,k(X) ≡ D′n−k,n−k(X). Le courant i∂

J∂Ju

s’écrit explicitement sous la forme

i∂J∂Ju (ξ0, ξ1) = iξ

1,00 . ξ

0,11 . u− iξ

1,01 . ξ

0,10 . u− i[ξ0,1

0 , ξ1,01 ]0,1. u

−i[ξ1,00 , ξ

0,11 ]0,1. u (1.1)

pour tout champ de vecteurs complexes ξ0, ξ1 ∈ E(TX ⊗R

C)(X). On rappelle quela dérivée ξ. u d’une distribution u par rapport à un champ de vecteurs ξ est donnéepar la formule

〈ξ. u, ϕ〉 := −〈u, d(ξ ϕ)〉pour tout ϕ ∈ D2n(X,C). On remarque que si la distribution u est réelle alors lecourant i∂

J∂Ju l’est aussi. En effet en degré zéro on a l’identité ∂

J∂J

= −∂J∂J.

Ceci découle de la relation

∂J∂J

+ ∂J∂J

= −θJθJ

− θJθJ

et du fait que les opérateurs θJ

et θJ

sont nuls en degré zéro. Si (ζ1, . . . , ζn) est unrepère local du fibré T 1,0

X,J alors l’expression du courant en question par rapport aurepère choisi est:

i∂J∂Ju = i

1≤k,l≤n(ζk .ζl . u− [ζk, ζl]

0,1. u) ζ ∗k ∧ ζ ∗

l (1.2)

On remarque que dans le cas intégrable, si on considère un repère local holomorphe

ζk ∈ O(T 1,0X,J )(U), k = 1, . . . , n, on a [ζk, ζl] = 0 pour tout indice k, l. Rappelons

maintenant la définition suivante:

Définition 1.6. Une (p, p)-forme u ∈ �p,pJT ∗X,x est dite positive si u(ξ1, J ξ1, . . . ,

ξp, J ξp) ≥ 0 pour tout vecteur ξ1, . . . , ξp ∈ TX,x .Une (q, q)-forme v ∈ �q,q

JT ∗X,x est dite fortement positive si elle peut être exprimée

sous la forme

v =∑

t

λt iαt,1 ∧ αt,1 ∧ . . . ∧ iαt,q ∧ αt,q

avec λt ≥ 0 et αt,k ∈ (T 1,0X,J,x)

∗.

Bien évidemment l’ensemble des (q, q)-formes fortement positives est un côneconvexe fermé. Il est bien connu que l’ensemble des (p, p)-formes positives estle cône dual des (q, q)-formes fortement positives, où q = n − p, via la dualitédonnée par le produit extérieur (cf. [Dem-1], chapitre III et [Lel]). La dualité enquestion implique alors que toutes les formes positives sont réelles, (les formesfortement positives étant réelles). Soit

u = ip2 ∑

|K|=|H |=puK,H ζ

∗K ∧ ζ ∗

H

316 N. Pali

une (p, p)-forme et ξt = ∑k (λt,k ζk + λt,k ζk), t = 1, . . . , p, vecteurs réels. On

désigne par λ = (λt,k) ∈ Mp,n(C) la (p, n)-matrice associée aux coefficients λt,k .Les identités

ξ1 ∧ Jξ1 ∧ . . . ∧ ξp ∧ Jξp = 2p(−i)pξ1,01 ∧ ξ0,1

1 ∧ . . . ∧ ξ1,0p ∧ ξ0,1

p

et ip2(−1)p(p−1)/2 = ip impliquent les égalités

u(ξ1, J ξ1, . . . , ξp, J ξp) =2p(−i)pu(ξ1,01 , ξ

0,11 , . . . , ξ1,0

p , ξ0,1p )

=2p(−i)p(−1)p(p−1)/2u(ξ1,01 , . . . , ξ1,0

p , ξ0,11 , . . . , ξ0,1

p )

=2p∑

|K|=|H |=puK,H det λK · (det λH ).

On aura alors que la (p, p)-forme u est positive si et seulement le dernier terme del’égalité précédente est positif pour toute matrice λ. Dans le cas p = 1 la matricehermitienne (uk,h) associée au coefficients de la forme u est semidéfinie positiveet une diagonalisation de celle ci montre qu’on peut exprimer u sous la formeu = ∑

1≤t≤r i αt ∧ αt , où r est le rang de la forme u. On a donc que la notionde positivité coïncide avec celle de forte positivité en degré (1, 1) et par dualitéaussi en degré (n− 1, n− 1) (et bien évidement en bidegré (0, 0) et (n, n)). Nousmontrons maintenant un premier résultat qui exprime la relation forte qui existeentre les formes positives et les fonctions plurisousharmoniques.

Lemme 1.0.1. Soit f ∈ C2(X,R). Alors f ∈ Psh(X, J ) si et seulement si la formei∂J∂Jf est positive.

Preuve. Nous commençons par montrer la nécessité de la positivité de la formei∂J∂Jf . En effet soit ξ ∈ TX,x un vecteur réel. Il existe alors une courbe

J -holomorphe γ telle que γ (0) = x et ξ = dγ(∂∂x |0

)(voir par exemple l’article

de Sikorav, théorème 3.1.1 dans l’ouvrage de Audin et Lafontaine [Au-La] ou lapreuve du théorème 2.2 qui suivra). Le fait que la courbe γ soit J -holomorpheimplique la première et troisième des égalités suivantes:

i∂J∂Jf (ξ, J ξ) = i∂

J∂Jf

(dγ

( ∂∂x

|0), dγ

( ∂∂y

|0))

= γ ∗i∂J∂Jf

( ∂∂x

|0 ,∂

∂y|0

)= i∂

j∂j(f ◦ γ )

( ∂∂x

|0 ,∂

∂y|0

)

= i∂2(f ◦ γ )∂z ∂z

(0) dz ∧ dz( ∂∂x

|0 ,∂

∂y|0

)= 1

2(f ◦ γ )(0)

CE qui montre la nécessité de la positivité. Le même calcul, avec z ∈ Bδ à la placede 0, montre aussi la suffisance de la positivité. ��Définition 1.7. Une fonction f ∈ C2(X,R) sur une variété presque complexe(X, J ) est dite strictement J -plurisousharmonique s’il existe une métrique her-mitienne ω ∈ C0(�1,1

JT ∗X)(X) sur le fibré tangent telle que i∂

J∂Jf ≥ ω.

Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type 317

Quelques exemples élémentaires de fonctions strictementJ -plurisousharmonique.

Exemple 1. On déduit facilement que si (z1, . . . , zn) sont des coordonnées C∞telles que J (0) = J0 et f (z) = |z|2, on a l’écriture

i∂J∂Jf (ξ, J ξ)(z) = 2

k,l

∂2f

∂zk∂zl(z) ξkξl +O(|z|)(ξ, ξ ).

On a alors que la fonction f (z) = |z|2 est strictement J -plurisousharmonique surun voisinage de l’origine des coordonnées.

Exemple 2. Soit FλJ := SλTX,J une puissance de Schur du fibré tangent et consid-érons une métrique hermitienne sur FλJ telle que la courbure au sens de Griffithssoit strictement négative en un point x. Soit (σk)k ⊂ E(F λJ )(U) un repère localpresque-holomorphe spécial au point x ∈ U . En utilisant le lemme précédent ondéduit, d’après les remarques faites dans [Pal], que les fonctions fk := |σk|2h sontstrictement J -plurisousharmoniques au voisinage du point x. ��Pour réduire l’hypothèse de régularité de la fonction f , on a besoin de donnerquelques éléments de la théorie des courants positifs sur les variétés presque com-plexes. Pour faire ceci on a besoin de quelques résultats et notions préliminairesque nous présentons tout de suite.

2. Plongements par feuilles courbes J -holomorphes et champs de vecteursJ -plats sur les variétés presque complexes

On désigne parBn2r ⊂ Cn la boule ouverte de dimension 2n, de rayon 2r et de centre

l’origine. On veut plonger dans une variété presque complexe (X, J ) de dimensioncomplexe n le cylindre B1

δ × Bn−1δ ⊂ C

n, avec δ > 0 suffisamment petit, de tellesorte que les disques B1

δ × p, p ∈ Bn−1δ se plongent de façon J -holomorphe

dans X. De plus on veut pouvoir plonger dans toutes les “positions possibles”les cylindres précédents. L’existence de ces plongements est directement liée à lanotion de champ de vecteurs J -plat qu’on introduit ci-dessous.

Définition 2.1. Un champ de vecteurs réel ξ ∈ E(TX � 0X)(U) au dessus d’unouvert U est dit J -plat s’il vérifie l’équation différentielle non linéaire de premierordre [ξ, J ξ ] = 0 sur l’ouvertU . On désigne parP

J(U, TX) l’ensemble des champs

de vecteurs J -plats au dessus de U .

D’après le théorème de Newlander-Nirenberg on déduit que si la structure presquecomplexe est intégrable alors tout champ de vecteurs réel holomorphe ξ ∈ O(TX�

0X)(U) au dessus d’un ouvertU quelconque estJ -plat. On a le résultat général suiv-ant qui assure la possibilité d’effectuer des plongements du cylindre, dont les feuillessont des courbes J -holomorphes, en toutes les positions possibles et l’existence lo-cale “en grande quantité” des champs de vecteurs J -plats.

318 N. Pali

Théorème 2.2. Soit (X, J ) une variété presque complexe de dimension complexen. Pour tout point x0 ∈ X il existe un voisinage ouvert Ux0 de x0 et un voisinageouvert B(TUx0

) ⊂ TUx0, B(TUx0

) � Ux0 ×Bn, de la section nulle sur Ux0 tels que:

A) Il existe une application de classe C∞

� : B11 × B(TUx0

) −→ X

telle que pour tout v ∈ B(TUx0) l’application z ∈ B1

1 �→ �(z, v) est une courbeJ -holomorphe qui vérifie la condition ∂t�(0, v) = v, z = t + is.

B) Il existe une famille de plongements (�α : B1δ × Bn−1

δ −→ X)α∈I de classeC∞ telle que pour tout α ∈ I et z2 ∈ Bn−1

δ les applications

z1 ∈ B1δ �→ �α(z1, z2)

sont des courbes J -holomorphes, �α(B1δ × Bn−1

δ ) ⊃ Ux0 et

TX,p � 0p ={λ∂t�α(0, 0) | λ ∈ R � 0, α ∈ I

}=

{ξ(p) | ξ ∈ P

J(Ux0 , TX)

}

pour tout p ∈ Ux0 , (z1 = t + is).

Des versions analogues de ce resultat peuvent se retrouver dans l’article classiquede Nijenhuis-Woolf ([Nij-Woo]) et dans les articles de Sikorav et McDuff, dansl’ouvrage de Audin et Lafontaine [Au-La]. Avant de passer à la preuve du théorème2.2 on a besoin de quelques préliminaires techniques. Soit J0 la structure presquecomplexe usuelle sur R

2n identifié avec Cn via l’identification z ≡ (x, y). Nous

considérons un système de coordonnées locales centrées en x0 ∈ X et on suppose,quitte à effectuer un changement linéaire de coordonnées, que J (0) = J0. Onconsidère aussi une boule ouverte Bn2r ⊂ C

n sur laquelle l’endomorphisme J + J0est inversible et on pose par définition

qJ := (J0 + J )−1 · (J0 − J ) ∈ C∞(EndR(R2n))(Bn2r ).

On remarque que qJ (0) = 0. On suppose pour simplifier les notations qui suivrontque r = 1. Si γ : B1

1 −→ (Bn2 , J ) est une courbe J -holomorphe, la condition deJ -holomorphie ∂sγ = J (γ )∂tγ, z = t + i s peut être écrite de façon équivalentesous la forme

∂zγ + qJ (γ )∂zγ = 0 (2.1)

où ∂z := 12 (∂t + J0∂s) et ∂z := 1

2 (∂t − J0∂s). En effet en utilisant les identités

∂t = 12 (∂z + ∂z) et ∂s = J0

2 (∂z − ∂z) on peut écrire la condition ∂sγ = J (γ )∂tγ

sous la forme

(J0 + J (γ )) ∂zγ = (J0 − J (γ )) ∂zγ.

L’inversibilité de l’endomorphisme J+J0 donne alors l’écriture sous la forme (2.1).On rappelle aussi (voir l’article de Sikorav dans l’ouvrage de Audin et Lafontaine[Au-La] pour plus de détails) que l’opérateur

P : Ck+µ(B11 ; C

n) −→ Ck+µ+1(B11 ; C

n),

Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type 319

k ∈ N, µ ∈ (0, 1) défini par la formule Pγ (z) := P ′γ (z)− P ′γ (0), avec

P ′γ (z) := 1

2πi

ζ∈B11

γ (ζ )

ζ − zdζ ∧ dζ ,

vérifie les propriétés suivantes: ∂z ◦ P = I et pour tout entier k ∈ N et µ ∈ (0, 1)il existe une constante ck,µ > 0 telle que pour toute courbe γ ∈ Ck+µ(B1

1 ; Cn) on

a l’estimation

‖Pγ ‖k+µ+1 ≤ (2 + ck,µ)‖γ ‖k+µ, (2.2)

où ‖·‖k+µ désigne la norme de Hölder usuelle surB11 . Pour prouver le théorème 2.2

on utilisera la remarque essentielle suivante, utilisée par McDuff (voir le lemme 1.4dans [McD] ) et aussi par Sikorav pour prouver le théorème 3.1.1 dans l’ouvrage[Au-La]: une courbe γ : B1

1 −→ (Bn2 , J ) est J -holomorphe si et seulement si lacourbe

γ0 := γ + P(qJ (γ ) ∂zγ

)

est J0-holomorphe. De plus on a l’égalité γ0(0) = γ (0).On aura besoin de quelques remarques élémentaires de topologie différentielle quiseront utilisées plusieurs fois dans la suite.

Remarque 1. Soitf : X×Y −→ Z une application entre espaces topologiques telleque l’application�f : X×Y −→ X×Z, �f (x, y) := (x, f (x, y)) soit ouverte.Alors pour tout (x0, y0) ∈ X × Y , pour tout voisinage ouvert Vy0 ⊂ Y de y0 etpour tout compactK ⊂ fx0(Vy0) (ici on pose par définition fx := f (x, ·)) il existeun voisinage ouvert Ux0 ⊂ X de x0 tel que pour tout x ∈ Ux0 on a fx(Vy0) ⊃ K .L’hypothèse précédente est vérifiée par exemple si f est une application de classeC1 entre variétés de Banach telle que pour tout x ∈ X l’application fx : Y −→ Z

soit un plongement ouvert, autrement dit fx est injective et

dyfx : TY,y −→ TZ,fx(y)

est un isomorphisme pour tout y ∈ Y . En effet dans ce cas le théorème d’inversionlocale implique que l’application �f est ouverte.

Remarque 2. Dans le cas où l’application fx0 : Y −→ Z est un plongement ouvertseulement en un point x0 ∈ X on a d’après le théorème des fonctions implicitesque pour tout compact K ⊂ Z il existe un voisinage ouvert VK ⊂ Z de K , unvoisinage ouvert W ⊂ Y de f−1

x0(VK) et un voisinage ouvert Ux0 ⊂ X de x0 tel

que pour tout x ∈ Ux0 l’application

fx : f−1x (VK) ∩W −→ VK

soit un difféomorphisme de classe C1.

320 N. Pali

Remarque 3. Le théorème des fonctions implicites implique que si f : X×Y ′ −→Z est une application de classe C1 entre variétés de Banach telle qu’il existe unpoint x0 ∈ X et un ouvert relativement compact Y ⊂ Y ′ (donc Y ′ est de dimensionfinie) tels que fx0 : Y −→ Z soit injective et

dyfx0 : TY ′,y −→ TZ,fx0 (y)

soit un isomorphisme pour tout y ∈ Y , alors il existe un voisinage ouvert Ux0 ⊂ X

de x0 tel que pour tout x ∈ Ux0 l’application fx : Y −→ Z est un plongementouvert.

Preuve du théorème 2.2.Preuve de la partie APour tout entier k ∈ N, k ≥ 2 nous considérons l’application de classe Ck−1

F : [0, 1] × Ck+µ(B11 × Bn1 × Bn1 ; Bn2 ) � Ck+µ(B1

1 × Bn1 × Bn1 ; Cn)

(ε, φ) �−→ φ + Pz

(qJ (εφ) ∂zφ

)

oùµ ∈ (0, 1) est une constante fixée et (Pzφ)(z, x, v) :=(Pφ(·, x, v))(z), (z, x, v)∈ B1

1 ×Bn1 ×Bn1 . Considérons aussi l’application holomorpheH ∈ O(B11 ×Bn1 ×

Bn1 ; Bn2 ) définie par la formule H(z, x, v) := x + zv.Le fait que l’application

F0 := F(0, ·) : Ck+µ(B11 × Bn1 × Bn1 ;Bn2 ) −→ Ck+µ(B1

1 × Bn1 × Bn1 ; Cn)

soit l’inclusion canonique entraîne, d’après la remarque 2, l’existence d’un voisi-nage ouvert Vk ⊂ Ck+µ(B1

1 ×Bn1 ×Bn1 ;Bn2 ) deH (avec Vk ⊃ Vk+1), d’un voisinageouvert

Wk ⊂ Ck+µ(B11 × Bn1 × Bn1 ;Bn2 )

de Vk , Wk ⊃ Wk+1 et de ε0 ∈ (0, 1] tel que pour tout ε ∈ [0, ε0] l’application

Fε : F−1ε (Vk) ∩ Wk −→ Vk

est un difféomorphisme de classe Ck−1. On pose alors par définition φε := F−1ε (H)

et on remarque que l’application ε φε ∈ C∞(B11 ×Bn1 ×Bn1 ;Bn2 ) est J -holomorphe

par rapport à la variable z ∈ B11 . Nous considérons maintenant l’application de

classe C∞

χ : [0,ε0] × Bn1 × Bn1� Bn2 × C

n

(ε, x, v) �−→ (x, ∂tφε(0, x, v)),

z = t + i s. On rappelle que φε(0, x, v) = x. Le fait que l’application χ0 :=χ(0, ·, ·) soit l’inclusion canonique entraîne, d’après les remarques 3 et 1, quequelque soit r ∈ (0, 1) et ρ ∈ (0, r) il existe ε1 = ε1(r, ρ) ∈ (0, ε0] tel que pourtout ε ∈ [0, ε1] l’application

χε : Bnr × Bnr −→ χε(Bnr × Bnr ) ⊃ Bnρ × Bnρ

Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type 321

est un difféomorphisme de classe C∞. On considère l’application χ−1ε : Bnρ ×

Bnρ −→ Bnr × Bnr et on définit l’application

�ε :B11 × Bnερ × Bnερ

� Bn2

(z, x, v) �−→ εφε(z, χ−1ε (ε−1x, ε−1v)).

Si on pose par définitionUx0 := Bnερ et B(TUx0) := Bnερ×Bnερ on a que l’application

�ε vérifie les conditions de la partie A de l’enoncé du théorème 2.2. On verra desuite que pour satisfaire aussi la conclusion B du théorème 2.2 il est nécessaire deconsidérer un voisinage ouvert Ux0 plus petit.Preuve de la partie BOn rappelle qu’on désigne par J0 la structure presque complexe usuelle sur R

2n

identifié à Cn via z ≡ (x, y). Avec cette identification on voit le groupe Gl(n,C)

comme sous-groupe du groupeGl(2n,R). PrécisémentA ∈ Gl(n,C) ⊂ Gl(2n,R)si et seulement si AJ0 = J0 A. Dans la suite on désignera par U(n) := O(2n) ∩Gl(n,C) le groupe unitaire. Soit δ = ρ/2 et

l : Bnδ × Bn−1δ × U(n) −→ Bnρ ⊂ R

2n ≡ Cn

l’application définie par la formule

l(p, z2, A) = p + A(x2 · ∂

∂x2+ y2 · ∂

∂y2

),

avec l’identification z2 ≡ (x2, y2) et x2 ≡ (x2, . . . , xn), y2 ≡ (y2, . . . , yn).Considérons donc l’application de classe C∞

� :[0, ε1] × (B1δ × Bn−1

δ )× Bnδ × U(n) � Bn2

(ε; (z1, z2); (p,A)) �−→ φε

(z1, χ

−1ε

(l(p, z2, A);A ∂

∂x1

)),

où φε := F−1ε (H) est l’application définie dans la preuve de la partie A. Avec

l’identification�(ε; (z1, z2); (p,A)) ≡ �p,Aε (z1, z2) on a les propriétés suivantes:

�p,Aε (0, z2) = l(p, z2, A)

∂t�p,Aε (0, z2) = A

∂x1

�p,A0 (z1, z2) = t A

∂x1+ s A

∂y1+ l(p, z2, A)

(rappelons que z1 := t + i s). Soit δ1 ∈ (0, δ) un réel suffisamment petit pourpouvoir assurer l’inclusion Bnδ1

⊂ �p,A0 (B1

δ × Bn−1δ ) pour tout p ∈ Bnδ1

et A ∈U(n). On aura alors que l’image du plongement

�0 × I :(B1δ × Bn−1

δ )× Bnδ1× U(n) � Bn2 × Bnδ1

× U(n)

((z1, z2); (p,A)) �−→ (�p,A0 (z1, z2); (p,A))

322 N. Pali

contient le compactBnδ1×Bnδ1

×U(n) (rappelons que le groupeU(n) est compact).On aura d’après les remarques 3 et 1 l’existence de ε2 ∈ (0, ε1] tel que pour toutε ∈ (0, ε2] et (p,A) ∈ Bnδ1

× U(n) l’application

�p,Aε : B1δ × Bn−1

δ −→ �p,Aε (B1δ × Bn−1

δ ) ⊃ Bnδ1

est un difféomorphisme de classe C∞. Nous considérons donc l’application

�ε : (B1δ × Bn−1

δ )× Bnεδ1× U(n) −→ Bn2

définie par la formule �p,Aε := ε �ε−1p,Aε , (p,A) ∈ Bnεδ1

× U(n) et on remarquequ’elle vérifie les propriétés suivantes:

∂z1�p,Aε + qJ (�

p,Aε ) ∂z1�

p,Aε = 0 �p,Aε (0, 0) = p

�p,Aε (B1δ × Bn−1

δ ) ⊃ Bnεδ1∂t�

p,Aε (0, z2) = εA

∂x1

On définit les champs de vecteurs J -plats

ξp,A := ∂t�p,Aε ◦ (�p,Aε )−1 ξp,A(p) = εA

∂x1

sur l’ouvert Bnεδ1. Le fait que l’action de U(n) est transitive sur la sphère S2n−1,

(voir [Bo-Tu]) entraîne que la famille

{λξp,A ∈ PJ (Bnεδ1, TX) | λ ∈ R � {0}, (p,A) ∈ Bnεδ1

× U(n)}engendre ponctuellement (au sens ensembliste) TX|Bnεδ1 �0X, ce qui prouve la partie

B du théorème 2.2 avec Ux0 := Bnεδ1et I := Bnεδ1

× U(n). ��Le lemme élémentaire suivant montre que tout champ de vecteursJ -plat provient

localement d’un plongement dont les feuilles sont des courbes J -holomorphes.

Lemme 2.0.2. Soit (X, J ) une variété presque complexe de dimension complexe net ξ un champ de vecteurs J -plat sur un ouvert U . Pour tout x ∈ U il existe unvoisinage ouvertUx ⊂ U de x et une carte locale (Ux, σ

−1ξ ), σξ : B1

δ ×Bn−1δ −→

Ux , compatible avec l’orientation canonique de (Ux, J ) telle que pour tout z2 ∈Bn−1δ , les applications z1 ∈ B1

δ �→ σξ (z1, z2) sont des courbes J -holomorphes etdσξ (

∂∂x1) = ξ ◦ σξ , z1 = x1 + iy1.

Preuve. Soient v2, . . . , vn ∈ TX,x des vecteurs tels que ξ(x), v2, . . . , vn soit unebase sur C de TX,x et τ des coordonnées locales centrées en x telles que:

dτ−1( ∂

∂x1|0

)= ξ(x) dτ−1

( ∂

∂y1|0

)= Jξ(x)

dτ−1( ∂

∂xk|0

)= vk dτ−1

( ∂

∂yk|0

)= Jvk

pour tout k = 2, . . . , n, (on désigne par (x1, y1, . . . , xn, yn) les coordonnéessur R

2n). On désigne par φξ , φJξ : Vx × (−δ, δ) ⊂ X × R −→ X les flots

Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type 323

respectifs des champs ξ et Jξ au voisinage Vx de x (pour simplifier les notations onutilisera dans la suite l’identificationφξ (x, t) ≡ φtξ (x)) et on considère l’applicationσξ : Im τ −→ X définie par la formule

σξ (x1, y1, . . . , xn, yn) := φx1ξ ◦ φy1

Jξ ◦ τ−1(0, 0, x2, y2, . . . , xn, yn)

= φy1Jξ ◦ φx1

ξ ◦ τ−1(0, 0, x2, y2, . . . , xn, yn).

D’après le théorème d’inversion locale on a l’existence d’un voisinage ouvertUx ⊂ U de x tel que (Ux, σ

−1ξ ) soit une carte locale compatible avec l’orientation

canonique de (Ux, J ) telle que

dσξ

( ∂

∂x1

)= ξ ◦ σξ et dσξ

( ∂

∂y1

)= Jξ ◦ σξ .

Si on suppose σ−1ξ (Ux) = B1

δ ×Bn−1δ ⊂ R

2×R2n on en déduit que les applications

(t, s) ∈ B1δ �→ σξ (t, s, a2, b2, . . . , an, bn) sont des courbes J -holomorphes pour

tout (a2, b2, . . . , an, bn) ∈ Bn−1δ . ��

On aura besoin aussi du lemme suivant.

Lemme 2.0.3. Soit (X, J ) une variété presque complexe de dimension complexe net soit γ : B1

δ −→ X une courbe J -holomorphe lisse. Il existe alors un plongementσ : B1

ρ × Bn−1ρ −→ X, ρ ∈ (0, δ) de classe C∞ qui préserve les orienta-

tions canoniques tel que les applications σ(·, z2), z2 ∈ Bn−1ρ soient des courbes

J -holomorphes et σ(·, 0) = γ .

Preuve. Soit Bn2 ⊂ X une boule coordonnée telle que J (0) = J0 et γ (0) = 0. Soitµλ : B1

1 −→ B1λ, µλ(z) = λz l’homothétie de facteur λ > 0 et γλ, λ ∈ (0, δ] la

courbe J -holomorphe définie par la formule γλ := γ ◦µλ. Considérons la famillede courbes J0-holomorphes (uλ)λ∈(0,δ] définie par la formule

uλ := λ−1[γλ + P

(qJ (γλ) ∂zγλ

)].

Considérons des vecteurs ξ2, . . . , ξn ∈ R2n ≡ C

n tels que les vecteursλ∂tuλ(0), ξ2,

. . . , ξn forment une base J0-complexe de R2n et la famille d’applications

J0-holomorphes

(Hλ)λ∈(0,δ] ⊂ O(B11 × Bn−1

1 ;Bn2 ),définie par la formule Hλ(z1, z2) = uλ(z1) + ξ · z2. Nous considérons aussil’application

F : [0, 1] × Ck+µ(B11 × Bn−1

1 ; Bn2 ) −→ Ck+µ(B11 × Bn−1

1 ; Cn)

définie comme dans la preuve du théorème 2.2. Le fait que l’ensemble

(Hλ)λ∈(0,δ] ⊂ Ck+µ(B11 × Bn−1

1 ; Bn2 )soit compact, (pour tout k ≥ 1) entraîne, d’après la remarque 2 de la preuve duthéorème 2.2, l’existence d’un ρ ∈ (0, δ] pour lequel il existe les applications

324 N. Pali

φε := F−1ε (Hε), ε ∈ (0, ρ], (les applications F−1

ε sont définies comme dans lapreuve du théorème 2.2). De façon explicite on a donc l’identité

φε + Pz1

(qJ (εφε) ∂z1φε

)= Hε.

On déduit alors, grâce à l’inégalité (2.2), que pour ε > 0 suffisamment petit, (disonsε ∈ (0, ρ]), on a l’inégalité

‖φε −Hε‖k+µ+1 ≤ εCk,µ‖d0qJ ‖ · ‖φε‖k+µ · ‖dφε‖k+µ,

qui compte tenu de la compacité de la famille (φε)ε∈(0,ρ] ⊂ Ck+µ(B11 ×Bn−1

1 ; Bn2 ),(pour tout k ≥ 1) implique l’inégalité

‖φε −Hε‖k+µ+1 ≤ C′k,µε.

On considère le plongement linéaire L(z1, z2) := d0γ (z1)+ ξ · z2 et on remarquel’inégalité

‖Hε − L‖k+µ+1 = ‖uε − d0γ ‖k+µ+1 ≤ εC′k,µ‖d0qJ ‖ · ‖d0γ ‖2,

pour tout ε ∈ (0, ρ]. On déduit alors que les applications φε sont des plongementspour ρ > 0 suffisamment petit (voir lemme 1.3 du chapitre 2 dans l’ouvrage deHirsch [Hir]) . On considère donc les plongements ψε := εφε et on remarque leségalités

[ψε + Pz1

(qJ (ψε) ∂z1ψε

)](·, 0) = εuε = γε + Pz1

(qJ (γε) ∂z1γε

)

qui montrent l’égalité ψε(·, 0) = γε. On déduit alors que l’application

(z1, z2) ∈ B1ρ × Bn−1

ρ �→ σ(z1, z2) := ψρ(ρ−1z1, z2)

est le plongement voulu. ��

3. Courants positifs sur les variétés presque complexes

3.1. Généralités

On commence par rappeler quelques définitions générales de la théorie des courants.

Définition 3.1. Soit X une variété différentiable de dimension n, orientable et ori-entée par une forme de volume ψ ∈ E(�nT ∗

X)(X). Soit � ∈ D′k(X) un courantde degré k et d’ordre zéro sur X. Une masse du courant � est une mesure deRadon positive µ sur X telle que si A ⊂ X est un ensemble de Borel alorsµ(A) = 0 si et seulement si

∫A�(ξ1, . . . , ξk) ·ψ = 0 pour tout champ de vecteurs

ξ1, . . . , ξk ∈ E(TX)(X).

Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type 325

On remarque que si µ1 et µ2 sont deux masses du même courant alors l’une estabsolument continue par rapport à l’autre. Il est bien connu, (cf. [Fed], [G-M-S])que tout courant d’ordre zéro admet une masse qui peut être définie par la formule

µg(�)(U) := supϕ∈Dn−k(U)

|ϕ|g≤1

∣∣∣∣∣∣

U

� ∧ ϕ∣∣∣∣∣∣

pour tout ouvert U ⊂ X relativement compact dans X, (ici g est une métriqueRiemannienne sur X). Avec les notations de la définition 3.1 on a par conséquencedu Théorème de Radon-Nikodym l’existence d’une k-forme θµ,ψ telle que pourtout champ de vecteurs ξ1, . . . , ξk ∈ E(TX)(X) la fonction θµ,ψ(ξ1, . . . , ξk) ∈L1loc(X,BX,µ) (ici BX désigne la σ -algèbre de Borel) est définieµ-presque partout

par la formule

θµ,ψ(ξ1, . . . , ξk)(x) := limr→0

1

µ(Br(x))

Br(x)

�(ξ1, . . . , ξk) · ψ

où Br(x) est une boule de rayon r relative à un ouvert coordonné quelconque. Onaura alors pour tout Borelien A ∈ BX l’égalité

A

�(ξ1, . . . , ξk) · ψ =∫

A

θµ,ψ(ξ1, . . . , ξk)dµ

qu’on dénote souvent sous la forme�=θµ,ψ ·µ. Nous rappelons maintenant quelquesrésultats de base de la théorie des courants d’ordre zéro (cf. [Fed], [G-M-S]).

Théorème 3.2 (Compacité faible de la masse). Soit {�ν}ν ⊂ D′k(X) une suite decourants d’ordre zéro telle que supν µ(�ν)(U) < ∞ pour tout ouvert relativementcompact U de X. Il existe alors une sous-suite {�νj }νj de {�ν}ν convergentepour la topologie faible des courants d’ordre zéro vers un courant d’ordre zéro� ∈ D′k(X).

Ce théorème est juste une conséquence du théorème classique de Banach-Alaoglu.Le théorème précédent admet un réciproque que nous énonçons sous la formesuivante.

Théorème 3.3. Soit {�ν}ν ⊂ D′k(X) une suite de courants d’ordre zéro telle quesupν | 〈�ν, ϕ〉 | < ∞ pour toute forme à support compact ϕ ∈ C0(�n−kT ∗

X)(X).Alors les masses des courants �ν sont localement équi-bornées au sens suivant :pour tout ouvert relativement compact U de Xon a supν µ(�ν)(U) < ∞.

Ce théorème est simplement une conséquence du théorème classique de Banach-Steinhaus. Nous avons aussi la lemme très utile suivant.

Lemme 3.1.1. Soit {�ν}ν ⊂ D′k(X) une suite de courants d’ordre zéro conver-gente faiblement vers un courant d’ordre zéro� ∈ D′k(X). Si supν µ(�ν)(X) < ∞alors la suite {�ν}ν converge vers le courant� dans la topologie faible des courantsd’ordre zéro.

326 N. Pali

Considérons à partir de maintenant une variété presque complexe (X, J ) de classeC∞ et de dimension réelle 2n munie d’une métrique ω ∈ E(�1,1

JT ∗X)(X) et les

(p, p)-formes fortement positives ωp := 1/p!ωp pour p = 0, . . . , n. On re-marque que ωn est la forme de volume associée à la métrique ω. Les notationsprécédentes seront utiles pour montrer l’équivalence des définitions suivantes.

Définition 3.4. Un courant� ∈ D′p,p(X) sur une variété presque complexe (X, J )

est dit positif si il vérifie une des trois propriétés équivalentes suivantes.

a) Pour tout champ de vecteurs réels ξ1, . . . , ξn−p ∈ E(TX)(X) et pour touteforme ϕ ∈ D2n(X) positive on a l’inégalité

〈�(ξ1, J ξ1, . . . , ξn−p, J ξn−p), ϕ〉 ≥ 0.

b) Le courant� est d’ordre zéro et le courant�∧ωp détermine une masse ‖�‖ωdu courant � telle que quel que soit le représentant

θω ∈ θ‖�‖ω,ωn ∈(E(�n−p,n−p

JT ∗X)⊗EX(C) L1

loc(BX, ‖�‖ω))(X)

de la forme θ‖�‖ω,ωn on a que la forme θω(x) ∈ �n−p,n−pJ

T ∗X,x est positive pour

‖�‖ω-presque tout x ∈ X.c) Pour tout (p, p)-forme ϕ ∈ E(�p,p

JT ∗X)(X) fortement positive le courant�∧ϕ

détermine une mesure de Radon positive.

Le cône des courants positifs de bidimension (p, p) sera noté par D′p,p(X)

+.

Preuve de l’equivalence. Nous montrons les implications a) �⇒ c) et c) �⇒b). L’implication b) �⇒ a) est évidente. Commençons par prouver l’implicationa) �⇒ c).Soit U ⊂ X un ouvert coordonnée, soit (ζ1, . . . , ζn) un repère du fibré T 1,0

X,J |U et(ρε)ε>0 une famille de noyaux régularisants usuels. Si

� = i(n−p)2 ∑

|K|=|H |=n−p�K,H ζ

∗K ∧ ζ ∗

H

est l’expression locale du courant � on définit les (n− p, n− p)-formes

� ∗ ρε := i(n−p)2 ∑

|K|=|H |=n−p�K,H ∗ ρε ζ ∗

K ∧ ζ ∗H .

Soient de plus ξ1, . . . , ξn−p ∈ E(TX)(U) des champs de vecteurs à coefficientsconstants par rapport au repère (ζ1, . . . , ζn). L’égalité

�(ξ1, J ξ1, . . . , ξn−p, J ξn−p) ∗ ρε = (� ∗ ρε)(ξ1, J ξ1, . . . , ξn−p, J ξn−p)

entraîne que les formes�∗ρε sont positives. Pour tout (p, p)-formeϕ ∈ E(�p,pJT ∗X)

(X) fortement positive on a alors l’inégalité (�∗ρε)∧ϕ ≥ 0. En passant à la limiteon obtient la conclusion voulue.Nous montrons maintenant l’implication c) �⇒ b). Montrons d’abord que lecourant� est d’ordre zéro. SoitU ⊂ X sur lequelTX|U est trivial et soit (ζ1, . . . , ζn)

Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type 327

un repère ω-orthonormé du fibré T 1,0X,J |U . Les formes ωp s’expriment alors par

rapport au repère choisi sous la forme

ωp = ip2

2p∑

|K|=pζ ∗K ∧ ζ ∗

K.

Pour tout multi-indice |L| = n − p on désigne par R := �L le multi-indicecomplémentaire de L dans l’ensemble {1, .., n}. On a alors que le courant

�L,L · ωn = ip22−n� ∧ ζ ∗

R ∧ ζ ∗R

peut être identifié avec une mesure de Radon positive sur l’ouvertU . Nous reprenonsmaintenant un calcul fait par Demailly dans [Dem-1], chapitre III. On désigne parR := �K, Q := �H les multi-indices complémentaires deK etH dans l’ensemble{1, .., n} et avec ε• := ±1, ±i. Avec ces notations on aura alors:

�K,H · ωn = ±ip22−n� ∧ ζ ∗

R ∧ ζ ∗Q = ±2−n� ∧

1≤s≤piζ ∗rs

∧ ζ ∗qs

= 2−n� ∧∧

1≤s≤p

( ∑

as∈(Z/4Z)

εasi

4(ζ ∗rs

+ ias ζ ∗qs) ∧ (ζ ∗

rs+ ias ζ ∗

qs)).

En effet il suffit de remarquer l’identité extérieure

4ζ ∗j ∧ ζ ∗

k = (ζ ∗j + ζ ∗

k ) ∧ (ζ ∗j + ζ ∗

k )− (ζ ∗j − ζ ∗

k ) ∧ (ζ ∗j − ζ ∗

k )

+i(ζ ∗j + iζ ∗

k ) ∧ (ζ ∗j + iζ ∗

k )− i(ζ ∗j − iζ ∗

k ) ∧ (ζ ∗j − iζ ∗

k ).

(3.1)

On obtient donc l’expression

�K,H · ωn = 2−n� ∧∑

a∈(Z/4Z)p

εa∧

1≤s≤p

i

4(ζ ∗rs

+ ias ζ ∗qs) ∧ (ζ ∗

rs+ ias ζ ∗

qs). (3.2)

Le fait que les formes

γa :=∧

1≤s≤p

i

4(ζ ∗rs

+ ias ζ ∗qs) ∧ (ζ ∗

rs+ ias ζ ∗

qs),

a ∈ (Z/4Z)p sont fortement positives entraîne, par hypothèse, que les courants�K,H ·ωn peuvent être identifiés avec des mesures de Radon complexes sur l’ouvertU , ce qui montre que le courant � est d’ordre zéro. D’autre part on a les égalités

2−n� ∧∧

1≤s≤p

( ∑

as∈(Z/4Z)

i

4(ζ ∗rs

+ ias ζ ∗qs) ∧ (ζ ∗

rs+ ias ζ ∗

qs))

= 2−n� ∧∧

1≤s≤p(iζ ∗

rs∧ ζ ∗

rs+ iζ ∗

qs∧ ζ ∗

qs)

= 2−n� ∧∑

t∈Eip

2ζ ∗Mt

∧ ζ ∗Mt

=∑

t∈E�Ht ,Ht · ωn

328 N. Pali

oùE est un ensemble d’indices de cardinalité inférieure ou égale à 2p,Mt ⊂ R∪Qest un p-multi-indice etHt := �Mt . En utilisant l’expression (3.2) on obtient alorsl’inégalité suivante:

∣∣∣∣∣∣

A

�K,H · ωn

∣∣∣∣∣∣≤ 2p

L⊃K∩H

A

�L,L · ωn < +∞ (3.3)

pour tout BorelienA ⊂ U . On remarque de plus que le courant�∧ωp s’écrit sousla forme

� ∧ ωp = 2n−p

|L|=n−p�L,L

· ωn.

Le courant � ∧ ωp détermine une mesure de Radon Positive ‖�‖ω donnée ex-plicitement par la formule

‖�‖ω(A) := infU⊃A

U

� ∧ ωp

pour tout sous-ensemble A ⊂ X relativement compact. L’inégalité (3.3) montrealors que les mesures de Radon complexes déterminées par les courants �K,H ·ωn sont absolument continues par rapport à la mesure ‖�‖ω restreinte à l’ouverttrivialisantU , ce qui prouve que la mesure de Radon ‖�‖ω est une masse du courant�.Nous montrons maintenant que la forme θω(x) ∈ �n−p,n−p

JT ∗X,x est positive pour

‖�‖ω-presque tout x ∈ X. On désigne par FPp(TX,x) ⊂ �p,pJ

T ∗X,x l’ensemble

des (p, p)-formes fortement positives au point x et par

FPp(ζ ) ⊂ E(�p,pJ

T ∗X)(U)

l’ensemble des (p, p)-formes fortement positives à coefficients constants par rap-port au repère (ζ1, . . . , ζn) et on considère un sous-ensemble (ϕν)ν∈N ⊂ FPp(ζ )

dense dans FPp(ζ ). Soit ξω ∈ E(�n,nJTX)(X) le (n, n)-champ de vecteurs tel que

ωn(ξω) = 1 sur X. On remarque que pour tout (p, p)-forme ϕ ∈ E(�p,pJT ∗X)(X)

et tout Borelien A ⊂ X on a les identités∫

A

� ∧ ϕ =∫

A

(� ∧ ϕ)(ξω) · ωn =∫

A

(θω ∧ ϕ)(ξω) ‖�‖ω.

On a alors que l’ensemble

Eν := {x ∈ Dom θω ∩ U | θω(x) ∧ ϕν(x) < 0}est un ensemble de ‖�‖ω-mesure nulle (ici Dom θω désigne le domaine du représen-tant θω). Le fait que

FPp(TX,x) = {ϕ(x) |ϕ ∈ FPp(ζ )}

Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type 329

pour tout x ∈ U combiné avec le fait que, par densité, pour tout ϕ ∈ FPp(ζ ) ilexiste une suite (νl)l telle que ϕ = liml→+∞ ϕνl entraînent

θω(x) ∧ ϕ(x) = liml→+∞

θω(x) ∧ ϕνl (x) ≥ 0

pour tout point x ∈ Dom θω ∩U \ ∪νEν . Ceci entraîne la conclusion voulue sur laforme θω. ��

Voyons maintenant quelques exemples fondamentaux de (1, 1)-courant positif surles variétés presque complexes.

3.2. Exemples fondamentaux de courants positifs sur les variétés presquecomplexes.

On commençe par une définition.

Définition 3.5. Une sous-variété Y ⊂ X de dimension 2p d’une variété presquecomplexe (X, J ) est dite presque complexe si J (TY ) = TY .

Un exemple de sous-variété presque complexe est constitué par les images γ (P1C) ⊂

X des courbes J -holomorphes régulières. Les résultats qui suivront vont assurerl’existence d’exemples de sous-variétés presque complexes de dimension complexesupérieure à un. On commence par rappeler la proposition suivante (voir [McD-Sa]).

Proposition 3.6. SoitX une variété différentielle de dimension réelle 2n. S’il existeune 2-forme ω ∈ E(�2T ∗

X)(X) non dégénéré alors l’espace des structures presquecomplexes compatibles avec ω

JX,ω :={J ∈ E(T ∗

X ⊗RTX)(X) | J 2 = −I, ω(Ju, Jv)

= ω(u, v), ω(u, Ju) > 0 ∀u, v ∈ TX,x � {0x}}

est non vide et contractile.

On a aussi la proposition suivante, (voir l’article de Audin dans l’ouvrage [Au-La]).

Proposition 3.7. SoitX une variété différentielle de dimension réelle 2n admettantune 2-forme ω ∈ E(�2T ∗

X)(X) non dégénérée et soit Y ⊂ X une sous-variétételle que i∗Yω soit non dégénérée. Il existe alors une structure presque complexeJ ∈ JX,ω telle que (Y, J|Y ) soit une sous-variété presque complexe de (X, J ).

On a le résultat fondamental suivant du à S.K Donaldson (voir [Don]).

Théorème 3.8. Soit (X, ω) une variété symplectique compacte de dimension réelle2n. Pour tout p = 1, . . . , n il existe des sous-variétés symplectiques (Yp, i∗Ypω)fermées de dimension réelle 2p.

330 N. Pali

Le premier exemple de courant positif qu’on considère est le courant d’intégrationsur une sous-variété presque complexe Y de dimension 2p de mesure localementfinie avec l’orientation canonique donnée par la structure presque complexe J|Y ∈E(T ∗

Y ⊗RTY ). Le courant [Y ] ∈ D′

2p(X) s’identifie naturellement avec un élément

de l’espace D′p,p(X) étant

∫Yϕ = ∫

Yϕp,p pour tout ϕ ∈ D2p(X), où ϕp,p désigne

la composante de type (p, p) de la forme ϕ. Le courant [Y ] est évidemment positifgrâce à la propriété 3.4.c. Sous les hypothèses du théorème 3.8 on a alors l’existencede courants [Yp] lesquels sont de bidegré (n − p, n − p) et positifs par rapport àune structure presque complexe Jp ∈ JX,ω. De plus les courants en question sontfermés, i.e d[Yp] = 0 en conséquence de la formule de Stokes. La notion intuitivede la masse ‖[Y ]‖ω est clarifiée par le lemme suivant qui est une généralisationimmédiate d’un résultat bien connu dans le cas des variétés complexes (voir lechapitre III dans l’ouvrage de Demailly [Dem-1]).

Lemme de Wirtinger 3.3. Soit Y ⊂ X une sous-variété orientable et orientée dedimension 2p d’une variété presque complexe (X, J ) munie d’une métrique ω ∈E(�1,1

JT ∗X)(X). Si on désigne par dVY,ω la forme de volume associée à la restriction

à TY de la métrique riemannienne g(·, ·) := ω(·, J ·) associée à la métrique ω on al’existence d’une fonction α ∈ C0(Y, [−1, 1]) telle que ωp|Y = α · dVY,ω. De plus|α| = 1 si et seulement si Y est une sous-variété presque complexe. Dans ce casα = 1 si l’orientation de Y coïncide avec l’orientation canonique donnée par lastructure J|Y et α = −1 sinon. La fonction α est identiquement nulle si et seulementsi Y est une sous-variété ω-isotropique.

Le théorème suivant nous fournit un autre exemple fondamental de (1, 1)-courantpositif.

Théorème 3.9. Soit (X,J )une variété presque complexe connexe etf ∈Psh(X,J ).Alors ou bien f ≡ −∞ ou bien f ∈ L1

loc(X). Dans ce dernier cas le (1, 1)-couranti∂J∂Jf est positif.

Preuve.Intégrabilité locale de f . Avec les notations du théorème 2.2 on a que pour toutx ∈ Ux0 l’application

ϕx : (0, δ)× S1 × S2n−1(TX,x) � X

(r, θ, v) �−→�(reiθ , v)

est une submersion de classe C∞. Par hypothèse on a l’inégalité de la moyenne

f (x) ≤ 1

2πr

2π∫

0

f ◦ ϕx(r, θ, v) dθ.

On considère les ouverts relativement compacts

Cr1,r2(x) := ϕx

((r1, r2)× S1 × S2n−1(TX,x)

), 0 < r1 < r2 < δ

Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type 331

et la forme de volume de classe C∞

dVx(p) :=∫

(r,θ,v)∈ϕ−1x (p)

dr dθ dσ(v)

sur l’ouvert Imϕx , où dσ désigne la forme de volume sur la sphère S2n−1(TX,x).Avec ces notations on a alors

p∈Cr1,r2 (x)f (p) dVx(p) =

v∈S2n−1(TX,x)

dσ (v)

r2∫

r1

dr

2π∫

0

f ◦ ϕx(r, θ, v) dθ ≥ f (x)Kr1,r2

(3.4)

oùKr1,r2 > 0 est une constante. SoitW ⊂ X l’ensemble des points p ∈ X tels quela fonction f soit intégrable sur un voisinage de p. Par définition le sous-ensembleW est ouvert en X et f > −∞ presque partout sur W . Si p ∈ W , on peut choisirun point x ∈ W tel que f (x) > −∞ et p ∈ Cr1,r2(x). On déduit alors d’aprèsl’inégalité (3.4), que la fonction f est intégrable sur le voisinage Cr1,r2(x) de p, cequi montre que p ∈ W et donc queW est aussi fermé enX. On a alors soitW = X,soit W = ∅. Dans le dernier cas l’inégalité (3.4), implique f ≡ −∞. On a doncprouvé que soit f ≡ −∞ soit f ∈ L1

loc(X).Positivité du courant i∂

J∂Jf . On montre d’abord que pour tout ξ ∈ P

J(Ux0 , TX) la

distribution i∂J∂Jf (ξ, J ξ) est positive surUx0 . Pour tout x ∈ Ux0 soient (Ux, σ

−1ξ )

σξ : B1δ × Bn−1

δ −→ Ux ⊂ Ux0

les coordonnées du lemme 2.0.2. En rappelant l’expression explicite (1.1) ducourant i∂

J∂Jf on aura pour tout ξ ∈ E(TX)(Ux0) les égalités suivantes:

i∂J∂Jf (ξ, J ξ) = 2∂

J∂Jf (ξ1,0, ξ0,1) = 2(ξ1,0. ξ0,1. f − [ξ1,0, ξ0,1]0,1. f )

= 1

2(ξ. ξ. f + Jξ. J ξ. f + J [ξ, J ξ ]. f )

Le fait que dans notre cas [ξ, J ξ ] = 0, implique les expressions:

i∂J∂Jf (ξ, J ξ)=2ξ1,0. ξ0,1. f = 1

2(ξ. ξ. f + Jξ. J ξ. f ) = 1

2(σ−1ξ )∗z1(f ◦ σξ )

oùz1 := ∂2x1

+ ∂2y1

désigne le Laplacien par rapport à la variable z1 = x1 + i y1 ∈B1δ dans l’ouvert B1

δ ×Bn−1δ . Grâce au théorème de Fubini on en déduit l’inégalité

B1δ×Bn−1

δ

(f ◦ σξ ) ·z1ϕ dλ ≥ 0

pour tout ϕ ∈ D(B1δ × Bn−1

δ ), ϕ ≥ 0. Le Laplacien z1(f ◦ σξ ) est donc positif,ce qui prouve la positivité de la distribution i∂

J∂Jf (ξ, J ξ) sur l’ouvert Ux0 pour

tout champ ξ ∈ PJ(Ux0 , TX). Nous montrons maintenant que le courant i∂

J∂Jf

est d’ordre zéro.

332 N. Pali

Soit ζ1, . . . , ζn un repère complexe du fibré des (1, 0) vecteurs tangents T 1,0X,J |Ux0

.

On déduit d’après l’identité extérieure (3.1), (avec ζ à la place de ζ ∗) l’existencede champs de vecteurs ρk ∈ E(T 1,0

X,J )(Ux0), k = 1, . . . , n2 du type ρk = ζsk +iak ζtk , ak ∈ Z/4Z tels que les (1, 1)-champs de vecteurs (ρk ∧ ρk)

n2

k=1 formentun repère complexe du fibré �1,1

JTUx0

. On choisit un point x ∈ Ux0 et ξk ∈PJ(Ux0 , TX) tels que ξ1,0

k (x) = ρk(x). On aura alors que les (1, 1)-champs de

vecteurs (ξ1,0k ∧ξ0,1

k )n2

k=1 forment un repère complexe du fibré�1,1JTVx ouVx ⊂ Ux0

est un voisinage ouvert du point x. L’identité

i∂J∂Jf (ξk, J ξk) = 2∂

J∂Jf (ξ

1,0k ∧ ξ0,1

k )

montre alors que le courant i∂J∂Jf est d’ordre zéro.

Venons-en maintenant à la positivité du courant en question. Soit µ une masse ducourant i∂

J∂Jf et considérons l’écriture i∂

J∂Jf = θ · µ. Nous montrons que la

forme θ(x) ∈ �1,1JT ∗X,x est positive pour µ-presque tout x ∈ X. On désigne par

QTX|Ux0:= TX|Ux0

∩ (Q2n × Q2n),

en supposant que l’ouvert Ux0 est un ouvert coordonné. D’après la preuve duthéorème 2.2 il existe une famille dénombrable de champs (ξν)ν∈N ⊂ P

J(Ux0 , TX)

telle que pour tout v ∈ QTX|Ux0� 0X il existe ν ∈ N tel que ξν(π(v)) = v (π

désigne la projection canonique π : TX → X) et pour tout x ∈ Ux0 l’ensemble(ξν(x))ν∈N est dense dans TX,x . La positivité de la distribution i∂

J∂Jf (ξν, J ξν)

sur l’ouvert Ux0 entraîne que l’ensemble

Eν := {x ∈ Dom θ ∩ Ux0 | θ(ξν, J ξν)(x) < 0}

est de µ-mesure nulle (ici Dom θ désigne le domaine du représentant θ ). Pour toutpoint

x ∈ Dom θ ∩ Ux0 \ ∪νEνet pour tout v ∈ TX,x considérons une suite (νl)l telle que v = liml→+∞ ξνl (x). Lalimite

θ(v, Jv)(x) = liml→+∞

θ(ξνl , J ξνl )(x) ≥ 0

entraîne alors la conclusion voulue sur la forme θ . ��

4. Les potentiels des courants positifs de type (1, 1) sur lesvariétés presque complexes

Dans cette section nous proposons une conjecture réciproque du théorème 3.9 qu’onénonce sous la forme suivante.

Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type 333

Conjecture 1. Soit (X, J ) une variété presque complexe de dimension complexe net soit u ∈ D′

2n(R)(X) une distribution réelle telle que le (1, 1)-courant i∂J∂Ju ∈

D′1,1(X) soit positif. Alors il existe une unique fonction f ∈ Psh(X, J )∩L1loc(X)

telle que la distribution correspondante coïncide avec la distribution u.

Il est bien connu que la conjecture est vraie dans le cas complexe intégrable (voir[Dem-1]).

Remarque 1. On considère l’opérateur

dcJ

:= i

2(∂J

− ∂J).

En degré zéro il se réduit à la forme dcJ

:= − 12df ◦ J . En utilisant les identités

fondamentales de la géométrie presque complexe on déduit facilement qu’en degrézéro on a l’identité

i∂J∂J

= ddcJ

+ iθJ∂J

− iθJ∂J,

qui montre de quelle façon la torsion de la structure presque complexe représentel’obstruction pour le (1, 1)-courant i∂

J∂Ju à être d-fermé. D’après l’identité précé-

dente on déduit alors l’égalité

ddcJu (ξ, J ξ) = i∂

J∂Ju (ξ).

On a donc que le (1, 1)-courant i∂J∂Ju est positif si et seulement si pour tout

champs de vecteurs réel ξ la distribution ddcJu(ξ, J ξ) est positive. On remarque

de plus que comme dans le cas complexe intégrable, (cf. [Dem-1]) on a d’après laformule de Stokes l’égalité

U

ϕ ∧ ddcJψ − ddc

Jϕ ∧ ψ =

∂U

ϕ ∧ dcJψ − dc

Jϕ ∧ ψ (4.1)

pour tout ouvert U ⊂ X relativement compact à bord C1 par morceaux et pour toutϕ ∈ C2(�p,p

JT ∗X)(U) et ψ ∈ C2(�q,q

JT ∗X)(U), p + q = n − 1. En utilisant la

formule précédente et le fait que ∂J∂J

+ ∂J∂J

= 0 en bidegré (n − 1, n − 1), ondéduit pour tout ϕ ∈ Dn−1,n−1(X) les égalités suivantes

X

i∂J∂Ju ∧ ϕ =

X

ddcJu ∧ ϕ =

X

u · ddcJϕ =

X

u · i∂J∂Jϕ.

Remarque 2. Soit ω ∈ E(�1,1JT ∗X)(X) une métrique hermitienne sur TX,J . On

définit le Laplacien de u ∈ D′2n(R)(X) par rapport à la structure presque com-

plexe J et la métrique ω par la formule

J,ωu := Traceω(i∂J ∂J u) = n · i∂

J∂Ju ∧ ωn−1

2 · ωn .

334 N. Pali

Soit (ξk)k ∈ E(TX,J )(U)⊕n un repère local complexe ω-orthonormé du fibré TX,Jet soit ζk := ξ

1,0k . En rappelant l’écriture locale (1.2) on obtient l’égalité

J,ωu =

n∑

k=1

(ζk .ζk. u− [ζk, ζk]0,1. u)

= 1

4

n∑

k=1

(ξk . ξk .u+Jξk . J ξk .u+ J [ξk, J ξk] .u) = 1

2

n∑

k=1

i∂J∂Ju(ξk, J ξk).

Ce calcul montre que le symbole de J,ω

coïncide avec le symbole du Laplacienclassique ≡

J0,ω0sur C

n, où ω0 = i2∂J0

∂J0

|z|2 est la métrique J0-invarianteplate sur C

n. On obtient alors que l’opérateur de Green de J,ω

coïncide avecl’opérateur de Green classique de au sens des opérateurs pseudodifférentiels.Si le courant i∂

J∂Ju est positif alors

J,ωu est une mesure de Radon positive. On

déduit alors d’après la théorie classique des opérateurs elliptiques d’ordre deuxque u ∈ W 1,1

loc (X) := {v ∈ L1loc(X) | dv ∈ L1

loc(T∗X)(X)}, (cf. [Sta], paragraphe 9,

théorèmes 9.1 et 9.4).On rapelle aussi la remarque élémentaire suivante faite dans la section 1.

Remarque 3. Soit f : U −→ [−∞,+∞) une fonction semi-continue supérieure-ment sur un ouvert U ⊂ R

m telle que l’ensemble f−1(−∞) soit fermé et f ∈SH(U � f−1(−∞)). Alors f ∈ SH(U).Nous montrons maintenant la conjecture dans le cas particulier suivant.

Théorème 4.1. Soit (X, J )une variété presque complexe etf : X −→ [−∞,+∞)

une fonction semi-continue supérieurement telle que f soit continue sur l’ensembleX�f−1(−∞), f ∈ L1

loc(X) et telle que le (1, 1)-courant i∂J∂Jf ∈ D′1,1(X) soit

positif. Alors f ∈ Psh(X, J ).Preuve. Le fait que f ∈ L1

loc(X) implique que l’intérieur de l’ensemble f−1(−∞)

est vide. On déduit que pour tout x ∈ f−1(−∞) et pour tout r > 0 il existe y ∈Bnr (x) � f−1(−∞). L’hypothèse de semi-continuité combinée avec la continuitéde la fonction f sur l’ensemble X � f−1(−∞) entraînent alors la continuité dela fonction ef sur tout X. On deduit en particulier que l’ensemble f−1(−∞) estfermé dans X.Il suffit de montrer que la fonction f est J -plurisousharmonique sur l’ouvert X �

f−1(−∞). En effet si on montre ceci on aura que pour tout courbe J -holomorpheγ : B1

ρ −→ X la fonction f ◦ γ sera sous-harmonique sur B1ρ � γ−1(f−1(−∞))

et la conclusion va decouler de la remarque 3.A partir de maintenant on peut donc supposer f continue sur X et on remarqueque pour tout courbe J -holomorphe γ : B1

ρ −→ X la fonction f ◦ γ est sous-harmonique sur B1

ρ si et seulement si elle est sous-harmonique sur l’ouvert

{z ∈ B1ρ | dzγ �= 0}.

Ceci découle du fait que l’ensemble {z ∈ B1ρ | dzγ = 0} est fini (voir [McD-1],

chapitre II) et de la remarque 3. On peut donc supposer que la courbe J -holomorpheγ : B1

ρ −→ X est un plongement.

Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type 335

D’autre part une fonction continue u : � ⊂ Rn −→ R est sous-harmonique si et

seulement si u ≥ 0. En effet en considérant une famille de noyaux régularisantsusuels (ρε)ε>0 on a 0 ≤ (u) ∗ ρε = (u ∗ ρε). On déduit alors l’inégalité

1

λ(Br(x))

Br(x)

u ∗ ρε dλ ≥ (u ∗ ρε)(x).

En passant à la limite pour ε tendent vers zéro on déduit la sous-harmonicité de u.On va donc montrer l’inégalité(f ◦γ ) ≥ 0 pour tout plongement J -holomorpheγ : B1

ρ −→ X. D’après le lemme 2.0.3 on a, quitte à restreindre ρ > 0, l’existenced’un plongement

σ : B1ρ × Bn−1

ρ −→ σ(B1ρ × Bn−1

ρ ) ⊂ X

qui préserve les orientations canoniques tel que σ(·, z2) soit une courbeJ -holomorphe pour tout z2 ∈ Bn−1

ρ et σ(z1, 0) = γ (z1), z1 = t + is. Le fait

que le champ ξ := dσ( ∂∂t) ◦ σ−1 soit J -plat sur l’ouvert σ(B1

ρ × Bn−1ρ ) implique

les égalités

i∂J∂Jf (ξ, J ξ) = 2ξ1,0. ξ0,1. f = 1

2(ξ. ξ. f + Jξ. J ξ. f ) = 1

2(σ−1)∗z1(f ◦ σ)

oùz1 := ∂2t + ∂2

s désigne le Laplacien par rapport à la variable z1 = t + i s ∈ B1ρ

dans l’ouvert B1ρ × Bn−1

ρ . Le fait que le plongement σ préserve les orientationscanoniques implique l’inégalité

z1(f ◦ σ) ≥ 0

sur l’ouvert B1ρ × Bn−1

ρ . Considérons maintenant une famille de formes positives

(δε)ε>0 ⊂ Dn−1,n−1(Bn−1ρ )+

convergentes faiblement vers le courant de Dirac δ0 ∈ D′n−1,n−1(Bn−1ρ )+ en 0

lorsque ε tend vers 0, (sur le cône des courants positifs la topologie faible coïncideavec la topologie faible des courants d’ordre zéro). Si on désigne par p2 : B1

ρ ×Bn−1ρ −→ Bn−1

ρ la deuxième projection on a

[B1ρ × 0] = lim

ε→0p∗

2δε,

où la limite est considéré dans la topologie faible des courants d’ordre zéro.Pour tout forme ϕ ∈ D1,1(B1

ρ×Bn−1ρ , J0)

+ positive par raport à la stucture presquecomplexe canonique de C

n on a

0 ≤∫

B1ρ×Bn−1

ρ

z1(f ◦ σ) p∗2δε ∧ ϕ =

B1ρ×Bn−1

ρ

(f ◦ σ) p∗2δε ∧z1ϕ.

336 N. Pali

Si on désigne par j : B1ρ → B1

ρ ×Bn−1ρ , j (B1

ρ) = B1ρ × 0, l’immersion canonique

on a∫

B1ρ

(f ◦ γ ) j∗ϕ =∫

B1ρ

(f ◦ γ )(j∗ϕ) =limε→0

B1ρ×Bn−1

ρ

(f ◦ σ) p∗2δε ∧z1ϕ ≥ 0.

La surjectivité de l’application ϕ ∈ D1,1(B1ρ × Bn−1

ρ , J0)+ �→ j∗ϕ ∈ D1,1(B1

ρ)+

permet alors de conclure. ��

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