Formes harmoniques sur une surface deRiemann

Formes harmoniques sur une surface de I~EMA~

par RooE~ BADv,~ et WERNER SSRENSEN

A l'origine de ce travail a) se trouve une question pos6e dans [4] et d6js 6tudi6e dans [8]. et [5]. I1 s'agissait de caract~riser ou de construire des diff6- rentielles m6romorphes ou m6roharmoniques sur une surface de RIEMX~N non compacte (probl~me de CovsrN), diff6rentielles qui se distingueraient, dans la classe de celles ayant les m~mes singularit~s et les m~mes p~riodes, par un comportemcnt r6gulier s la fronti+re de la surface.

Nous nous sommes d'embl6e limit6s ici aux diff6rentielles r6elles. Dans les trois travaux cites et dans d'autres [11] on a fair largement usage

des m6thodes de g~om~trie diff6rentielle qui sont utilis6es pour aboutir aux th~or~mes de dgcomposition de KODAIRA-DE RItAM. Suivant une idle par- tiellement exploit~e dans [9], nous avons fait un usage encore plus syst~ma- tique de ces m~thodes, en douant la surface de RI~.~L~N d'une m6trique particuli+re, c'est-s en la consid~rant comme un espace de RI~.MA~. Comme m6trique nous avons pris celle qui est induite naturellement par une diff~- rentielle ab61ienne de premiere esp+ce et de norme finie. Sauf sur un ensemble de points isol6s (les z6ros de la diff~rentielle) la m6trique est loealement eucli- dienne et cela revient en quelque sorte s representer de fa~on bien d6termin~e ]a surface de RIEI~L~WN comme surface de recouvrement (feuillets plans) du plan de GAuss.

L'avantage de ee choix quelque peu arbitraire de la m~trique consiste essen- tiellement en la possibilit6 d'utiliser les fonctions de GREEN et de NE~MA~ pour l'~tablissement des noyaux de GREEN-DE RttAM; ceux-ci ont alors une expression qui g6n~ralise celle du cas euclidien oh l'on sait qu'elle est parti- euli~rement simple. D'autre part on peut alors, par rapport s cette m6trique, poser des probl~mes aux limites sur la surface non compacte, ce qui permet en particulier de pr6ciser le comportement s la fronti~re des diff6rentielles s singularit6s polaires de fa~on s rendre leur dgtermination unique.

Pourtant, bien que cette m6trique d6rive d 'un 616ment de la surface de RIE- MA~ (la diff6rentielle ab6fienne choisie) qui lui est intimement li6, nous n'avons pas pu, sauf dans des eirconstances particuli~res, d~limiter l'influence de ce choix sur les r~sultats obtenus. Nos r~sultats restent donc, pour la plupart, ]i6s ~ cette diff6rentielle particuli~re, mais leur expression relativement simple n'exclut pas la possibilit~ d'en d~montrer le caract~re intrins~que: peut-~tre

1) Travail subventionn6 par le Fonds national suisse de la recherche scientifique (subsides n ~ 788 e t 1029) .

ROGER BADER ] WERNER S{)RENSEN F o r m e s h a r m o n i q u e s sur u n e sur face de R r ~ r 141

faudrait-il pour cela avoir quelques renseignements sur la distribution des z6ros d'une telle diffdrentielle?

Profitant des particularit6s de l'espace de RIEMANN envisag6 (deux dimen- sions, presque partout localement euclidien), nous avons plutSt port6 notre attention sur les diffdrents probl6mes aux limites qui se posent naturellement pour l'6quation de POISSON et dont un seul (le probl~me de NEUMANN) sert finalement s la r6solution propos6e du probl~me de CousIN. Nous avons re- marqu6 que, moyennant des hypotheses raisonnables sur la surface de RIE- MANN (hypothbses (N) et (F~ les 6nergies des potentiels de NEUM).NN et de GREEN, relatifs ~ la m6trique, ddpendent continuement des masses) on ob- tenait des indgalitds du type de POINCAR]~. (majoration de la norme ordinaire en fonction de la D-norme pour certaines classes de formes diff6rentielles) qui sont ndcessaires et suffisantes ~ la rdsolution des probl6mes aux limites posds. I1 devient donc raisonnable de penser ou d'esp6rer que ces in6gahtds de POIN- CA~ seront les hypoth6ses de base s faire sur des espaces de RIEMANN quel- conques pour poser correctement les diffdrents problbmes aux limites: une fois en possession de ces indgalit6s on doit pouvoir en effet, bien que nous ne l'ayons pus fair systdmatiquement dans notre cas s cause des singularitds de la m6trique, rdsoudre les problbmes aux limites par l'utilisation des m6thodes de l'espace de HILBERT et d 'un thdor~me de DE RHAM sur la rdgularit6 des solutions d'une dquation de PolssoN [2].

Signalons enfin que l'dtude des probl6mes aux limites a permis de prdeiser le thdorbme de ddcomposition de KODAIRA-DE RHAM duns les cas envisagds comme cela est fair pour les espaces de RIE~ANN compacts (existence et pro- pridtds de l'opdrateur G).

1. Notions relatives ~ une diff~rentielle

1.1. La surface S~. Les espaees ~ , ~n, ~ , ~ . , 9~n, 9~, ~1 , ~ . Sur toute surface de RIEMANN S , d'ordre de connexion sup6rieur K 1, il

existe une diff6rentielle ab6henne r r6guli~re sur S e t K intdgrale de DIRICHLET finie [3].

Soit r = dz l'expression de r en coordonn6es locales. En posant ds 2 =-

dz .dz , on ddfinit une mdtrique sur S, singulibre aux points isolds en lesquels q~ = 0. Pour abrdger, nous appelons ces points les points r et nous d6signons par Sv l'espace de RIEM).NN obtenu en excluant les points q} de la surface S.

A toute forme C ~ sur Sv, q, correspond sur S~ une forme adjointe . ~ 6galement C ~ sur S~, ddfinie par:

,~ =2 i / g z A -~z, . ( a d z q- adz) = i ( - - adz q- adz), . A d z A dz = -- 2 i A

142 RooEB BADER/WSRNER ~REI~SE~

A route forme C ~ sur S, ~, correspond sur S une diff6rentielle d~ ~galement C ~ sur S, d~finie ind~pendamment de ~ par:

d/--- dz -I- ~z dz, d (adz ~- adz) = dz A ~zz, d (Adz A dz) ~-- 0

A route forme C ~ sur S~, ~, correspond sur S~ une codiffdrentielle O~ dgalement C | sur S~, d~finie par:

0[ = 0, O(adz + adz) = -- 2 ( ~ ~- 0-~] Oal' O(Adz A dz)---- 2[ Oz dz -- -o~OA dzz) .

On dira qu'une forme ? , C ~ sur Sv, est C ~ sur S si son comportement au voisinage des points ~ permet un prolongement par continuit~ en ces points et si la forme ainsi prolongde, toujours not6e ~, est C ~ sur S.

d~signera l'espace des formes qui sont C ~ sur S. ~ . d~signera le sous- espace de ~ form~ des dl~ments dont les diff~rentielles d'ordre ~ n, ainsi que leur adjointe, appartiennent s ~ . A cause des singularit~s qui peuvent sur- venir aux points ~ dans le calcul de l'adjointe et de la codiffdrentielle, ces espaces sont strictement inclus les uns dans les autres [9].

~), ~)~ ddsigneront les sous-espaces de ~, ~ , formds des dldments s support compact sur S.

~I. ddsignera le sous-espace de ~ formd des dldments dont les diffdrentielles d'ordre ~ n sont de A-norme finie (A(~) -~ (~, r ~ ~ A .~0).

Avec le produit scalaire (~, F) ~- j '~ A *~ les espaces ~ et 2n sont prd- hilbertiens et partout denses dans leur compl~td commun, l'espace des formes de A-norme finie, qui sera d~sign~ par !~I.

~1 (resp. *iBm) ddsignera le sous-espace de ~ des formes ~ qui sont ~ld- ments de 2 ainsi que leur diffdrentielle d~ (resp. codiffdrentielle 0~). ~ (resp. �9 ~) d~signera l'espace de HrLBERT des formes ~ telles que ~ e 2 et d~ e ~I (resp. 0~ ~ ~[).

Nous appellerons D-norme de ~ la quantit~ D(~0) ---- (d~, d~) -~ (0~, 0~). L'op~rateur 0 est le transpos6 m6trique [1] de l'opdrateur d sur l'espace

~)1. L'op6rateur de Laplace, A = dO + 0d est son propre transpos~ m~trique sur ~1-

1.2. Topologies sur les espaees de formes. Courants.

Un ensemble ~J~ de formes ~ est dit localement born~ au point psi , dans un voisinage compact de p, les d~rivdes partielles d'ordre ~ k des coefficients des formes ~ sont borndes, quel que soit/c.

est born~ dans ~ s'il est localement born~ en tout point p. I1 est dit bornd dans ~ s'il est born6 dans ~ et si routes les formes de ~[R ont leur support compris dans un compact fixe [1].

F o r m e s h a r m o n i q u e s su r u n e s u r f a c e d e R~ .~ANN 143

~J~ est born~ dans ~i si l 'ensemble des A-normes des ~0 est bornd. sera dit bornd dans ~ (ou ~),) si les formes ~0 appar t iennent s ~ , (ou ~)~)

et si 9~t est bornd dans ~ (ou ~)). ~J~ sera dit bornd dans 9~ s'il est bornd dans ~ et si l 'ensemble des normes

des diffSrentielles d 'ordre ~ n des formes ~o est borne. I1 conviendra d 'appeler courant toute fonctionnelle lin~aire (T, ~) sur ~)o,

continue dans le sens suivant : [ (T, ~) ] reste born~ sur tou t ensemble de formes born5 dans ~)0-

L 'espace vectoriel des courants , dual de ~0, est not~ ~o- Nous ddsignerons de mSme par ~ l 'espace des fonctionnelles lindaires continues sur ~)~.

La diffdrentielle d T d 'un courant T sera l 'dldment de ~ d5fini par :

( d T , ~) ~- ( T , 5q~) , q~ ~ ~)1 �9

La d5finition de la codiffdrentielle 5T d 'un courant comme ~ldment de ~ r et des diffdrentielles d 'ordre n de T comme dl~ments de ~ est compl~tement analogue.

1.3. Valeurs ~ la frontii~re

Le courant T est continu en moyenne s l 'infini si [ (T, ~) ] reste born~ sur t ou t ensemble de formes de ~)0 qui est bornd dans ~I.

Soit alors ~0 une forme quelconque de ~ ~ ~ . I1 existe une suite de formes ~o~ ~ ~o telles que:

1. le suppor t de ~0 --~0, soit extdrieur ~ tou t compact K pourvu que n soit assez grand,

2. A (~0 -- ~0~) tende vers 0. On voi t que (T, ~0,) converge vers une limite inddpendante de la suite (~0.)

ehoisie, si T est cont inu en moyenne ~ l 'infini ([1], p. 167, prop. 6). Lad~fini- t ion de (T, ~) peut done ~tre ~tendue, si T e s t cont inu en moyenne s l'infini, s t ou t ~0 e {~ ~ 9/, en posant :

(T, ~) ~ lim (T, ~0,).

Ces d~finitions s '6 tendent de mani&re dvidente au cas oh T e s t une fonc- t ionnelle lingaire de ~)~.

Si T et d T sont des fonctionnelles lindaire continues en moyennes ~ l'infini, la fonctionnelle lindaire:

( F T , q~) : ( d T , q~) - - ( T , (~ )

est d~finie pour tou t ~ e *!B1. Elle est nulle sur ~1 et r ep rdsen te / a / ron t i~ re de T .

144 ROGER BADER/WERNER S~RENSEN

On volt imm~diatement que/a/ronti~re de �9 Test la fonctionnellc lin~aire:

( F ' T , ~) : (OT, q~) -- (T, dq~) ,

d~finie et continue sur ~ si T et (~T sont continus en moyenne & l'infini.

2. Espaces de champs harmoniques. Formules de dbcomposition [5, 11]

Une forme C ~ , ~, est un champ harmonique si elle v4rifie sur S~ les 4quations

d~ ~ 0 , t~ = 0

Les champs harmoniques de degrd 0 sont les constantes Les champs harmoniques de degrd 1 sont, sur tout domaine simplement connexe, diffgrentiel- les de fonction harmonique Les champs harmoniques de degr~ 2 sont les cons-

tantes mtfltipli~es par dz A dz.

Proposition 2.1. Les champs harmoniques de 9/ forment un espace de HrLBERT ~ .

La proposition est triviale pour les degr~s 0 et 2. Pour le degr~ 1 il suffit de constater qu'une suite de CAUCHY en A-norme de champs harmoniques est, dans tout domaine simplement connexe, une suite de diffdrentielles de fonctions harmoniques qui forment une suite de CAUCHY avec la norme intdgrale de DmIC~[LET.

Un champ harmonique de 9 /es t dit symdtrique si son adjointe est nulle ~ la fronti~re ; il est (lit antisymdtrique s'il est nul & la fronti~re. Ces deux notions sont inddpendantes de ~ .

Proposition 2.2. Les champs harmoniques sym6triques (antisym6triques) constituent un sous-espace ~8 (~a) de E.

En effet, la relation (c,~, d / ) ~ 0 pour tout / r ~1 entraine la relation (c, d[) = 0 pour la limite c de la suite de CAUCHY en A-norme, c,.

Proposition 2.3. Dans le cas du degr6 1 le compl~mentaire orthogonal ~{ (~a ~) de E,(~a) dans E est le sous-espace ~a(Et) des champs homologues (cohomologues) ~ zdro de 9/:

I1 est imm~diat que si ~ = d/, ~ ~ . Pour d6montrer la r~ciproque, ~tablissons d'abord le lemme suivant.

Lemme 2. Soit C un cycle quelconque de la surface. La forme ferm~e 7

Formes ha rmon iques sur uno surface de R w . ~ N 145

associ~e ~ la fonctionnelle S~ dSfinie sur l'espace des formes ferm~es de 9~ par C

C

est un champ harmonique sym~trique. Remarquons d'abord que j'~ est une fonctionnelle lin~aire continue sur l'es-

C pace des formes fermSes de 9~, qui est manifestement un sous-espace de ~I. L'existence de 7 est done assur~e par le th~or~me de RIssz.

Prenons ~ : d], oh ] e s t s support compact. L'~quation

(7, ~) = (7, dr) = S d / - ~ 0 devient c

(~7, /) = 0 .

Elle entralne que 87 ~ 0. Par suite 7 est un champ harmonique. Comme ~ d f ~- 0 vaut pour tout [ c ~1, on a (67, f) -~ (7, dr) pour routes

C ees formes, ce qui signifie que �9 7 est nulle s la fronti~re. 7 est done un champ sym~trique.

La proposition r~sulte immgdiatement du lemme. Soit en effet c un champ queleonque de ~ , c, sa projection sur l'espace des champs sym~triques. Soit C un cycle quelconque, 7 le champ sym~trique associ~:

(c -- c~, 7) : 0 done j'c -- c, = 0. c

Toutes les p6riodes de c -- c~ sont donc nulles, c - - c 8 : d[ est done homologue ~ z~ro.

Un champ harmonique de degr~ 1 est dit a n a l y t i q u e s'il est s la lois homologue et cohomologue s zSro. Un tel champ du -~ . d r est un effet la partie r~elle de la diff~rentielle d] d'une fonetion analytique uniforme ] (z).

Proposition 2.4. Les champs harmoniques analytiques de 9/ forment un sous-espace ~ de ~ .

On appelle c h a m p de SOHOrTKr [4] un champ harmonique de 9/orthogonal k tout champ harmonique analytique. L'espace des champs de SCHOTTKY ~S est le compl~mentaire orthogonal de ~A dans r :

Proposition 2.5. L'espace ~z des champs de SC~OTTKY est la fermeture de la somme r -~- ~, des espaces de champs antisym~triques et sym~triques:

1 4 6 RO6ER BADER/WERNER S~RENSEN

L'inclusion ~s D ~a ~ ~ est immddiate car Es D Ea et ~s D E s . D'autre part ~ e~a l et ~ eE~ entralne ~ ~ - - ~ et ~ -~ d/ respectivement, donc

c~A ~ - ~ . Cecientralne ~ a H - ~ s D ~s- Dans le cas d'un domaine relativement compact s fronti~re tr~s r~guh~re,

tout champ de SCHOTTKY admet une ddcomposition unique:

C S ---- C a --I- C s

en un champ antisym~trique et un champ symdtrique [4]. De plus, comme ~ et ~ sont de dimension finie et disjoints, il existe deux constantes finies K' et K" ne ddpendant que du domaine, telles que

A (Ca) ~ K ' A (c, H- c~) (C) A(c~) ~ K " A ( % § c~)

quels que soient les champs ca et c~. Nous dirons d'une surface greenienne qu'elle vdrifie l'hypoth~se (C) s'il existe

deux constantes finies K ' et K" ne d6pendant que de la surface telles que les conditions (C) soient v6rifides quels que soient les champs % et c~ 2).

Cette hypoth~se est ind~pendante de la m~trique.

Proposition 2.6. Sur une surface greenienne vdrifiant l 'hypoth~se (C), tout champ c de degrd 1 de ~I admet une d6composition

C ~ - C h -Jr C c

c he t c~ dtant respectivement homologue et cohomologue s zdro, off

A (ch) ~ L ' A (c), A (co) ~ L " A (c),

L' et L" deux constantes finies ne d~pendant que de la surface. I1 suffit 5videmment, s cause de la ddcomposition orthogonale E ---- ~A H- ~ s ,

de prouver la propridt~ pour un champ de SCItOTTKY C S . a) L'hypoth~se (C) entraine immddiatement E~ ~ E~ ---- O. Par suite:

~ s = ( ~ ~ ~ ) + ( ~ ~ ~ ) �9

b) L'hypoth~se (C) entralne ~ § E. ---- ~ + E~. Donc tout ~l~ment c s peut s'dcrire :

C S ~-- C a ~ Cs

c) Envisageons un ~l~ment c s de C s de la forme

C S ~ - r c -2 r- C h

2) L ' h y p o t h ~ s e (C) r ev i en t ~ suppose r les espaces ~a e t {~8 non a s y m p t o t i q u e s au sens de J . D ixmie r : E t u d e s sur les var i6t4s e t les op6ra teurs de JULIA avec que lques appl ica t ions , Bull . Soc. Math . de F rance , 77 (1949), p. 21.

F o r m e s h a x m o n i q u e s s u r u n e s u r f a c e de I~IE~.WN 147

et soit c~ un 61dment quelconque de ~s qu 'on peu t toujours dcrire, d 'apr6s b), sous la fo rme: ! ! !

CS ~ Ca if_ Cs .

f On a (cr = (c~,c~) = (Cs,C,), d 'oh (c~,c's)2<~ A ( c s ) K " A (C's), pour t ou t ! c'est-b~-dire A (c~) <~ K " A (Cs). CS

De fa~on analogue on t rouve :

A (c~) < K' A (%) .

A cause de a) et c): Es = Eh ~, Es -4- E~ ~, Es ,

et la proposi t ion est ddmontrde, avec L ' = 1 -~ K' , L" ~- 1 ~- K " .

Remarque: E t a n t donn6 une forme ~ de 9j, nous appellerons Cq, Cacti , etc., les project ions de q dans les espaees E, Ea, etc.

3. Probli~mes 616mentaires relatifs it l'6quation AT = U dans le cas du degr6 z6ro

3.1 . Probli~me de DtmCHLET sur une surface greenienne

Nous allons d ' abo rd 6tablir la proposi t ion su ivante :

Proposition 3 . 1 . 1 . Sur une surface greenienne F 1 :/: 0. Pou r cela il suffit de construire une forme ~ ~ *~1 telle que (1, ~v) # 0.

E t a n t donnd un domaine r e l a t ivemen t compac t ~2, s front ibre tr~s rdguli6re, ne con tenan t pas de points r eonsiddrons la mesure ha rmon ique co de la fronti6re de S par r a p p o r t s S - - ~2 [10]. On sait que 0 < D s _ z ( ~ ) . Pro- longeons co dar ts /2 de fagon s obteni r une fonct ion C ~ sur S, r Avec ~ = d ~

o n a ~ 0 E , ~ l e t

(1, (~v) = (1, ~ ) ~ = - - j '*~v --~ - - f , d e o ~-- - - Ds_z(eo ) < O.

Le principe de DmIOrrLET [6, 7] nous pe rm e t alors d 'd tabl i r un premier rd- su l ta t con tenu dans la proposi t ion su ivan te :

Proposition 3 . 1 . 2 . Soit U une dis t r ibut ion dons le suppor t compor te un nombre fini de points d 'une surface greenienne. L 'dqua t ion A T = U a d m e t une e t une seule solut ion T, cont inue en moyenne ~ l ' infini ainsi que dT, et telle que F T = 0.

L 'unie i t6 est imm6dia te : A T = 0, T et dT continus en moyenne ~ Fin- fini, F T ---- 0 en t r a lnen t que dT r E [1] et que :

(dT, dT) ---- O,

doric T ~ const . La proposi t ion 3 . 1 . 1 . ent ra lne alors T = 0.

148 ROGER BADER/WERNER SSRENSEN

Pour l 'existence de la solution, t rai tons d 'abord le cas oh C U = 0 (le champ de ~ , C T , est d6fini pour tou t courant T continu en moyenne h l'infini par ( C T , q) = (T, C~) ; [1]). Nous allons construire la solution de ce pro-

blbme pour les domaines S~ d 'une exhaustion canonique de S (S~ c S~+ 1 ; support de U c So), puis obtenir T par passage/~ la limite.

Soit to la fonction harmonique avec singularit6s sur So, prolongeable par symdtrie sur le double de SC~OTTKY de So [8], telle que la distr ibution assoei6e T o = v p t o (valeur prineipale) satisfasse l '6quation A T = U (to existe car C U = 0). Soient t~, v > 0 les fonctions harmoniques avee singularitds sur Sv, prolongeables par antisymdtrie sur le double de SC~OTTKY de S~, telles que les distributions assocides T~ = vpt~ satisfassent l 'dquation A T = U. Appelons encore t~ et T~ les fonctions et distributions prolongdes au de l l de S~ par 0. Tv, v > 0, vdrifie la relation:

(dT~, q~) = (T~, 6q~), pour tou t ~ f $ ~ 1 "

a) La suite (dtv) converge en A-norme sur S -- So : Formons v v = t ~ - - t o , r~es t C 1 s u r S ~ e t v e s t C ~ A T e = 0 dans

So et dans S~ -- fro. Ainsi, pour 0 < / z < v :

D(r~ -- rg, x~) = 0 , done D(rg) = D(rv) -q- D(T~ -- rt,)"

Done la suite de nombres positifs DO:~) est monotone d~croissante et tend vers un hombre d. Lorsque/x et v-+ co, D(T~)-+ d, D(vv)--~ d et par suite D(T~ -- ~ ) ~ 0. Or D(~v -- ~ ) = D(tv - - tt, ).

b) Les fonctions t~ sont born6es uniform6ment hors de So : La fonction t~ est harmonique sur S~ -- So. Comme t~, au voisinage du

support de U, prend des valeurs positives et n6gatives, car C U = 0, il en est ainsi sur S~. t admet done un min imum ndgatif m~,l et un max imum positff M , , 1 sur S~. m~, o et M~,0 6tant d6finis de la mgme manibre, on a:

m~, o ~ my, 1 et M~, o ~ M~,~ d 'oh Osi(t~) ~ Os~)(t~),

0s~ (tv) d~signant l 'oscillation Mv,i -- m~,i. Cette relat ion vau t pour v > 1.

D'apr~s un lemme de Jo~A~cssoN [8], il existe une constante k ind~pendante de v, telle que 0s~ (t,) ~< kOs,o(tl). Done t v e s t born~ inddpendamment de v

sur So, et par suite sur S v -- So. c) Soit (tn) une suite partielle de tv, convergent uniformdment sur tou t

compact, ainsi que les diff~rentielles dr,,, vers une fonetion t, respectivement vers la diff~rentielle dt. T - = v p t est une solution du probl~me posd qui, d'aprbs a) et b) est continue en moyenne ~ l'infini ainsi que d T . En effet

F o r m e s h a r m o n i q u e s s u r t ree s u r f a c e d e R m ~ N ~ 149

A T -~ U , car t ous l e s t n ont m~mes singularitds. De plus, pour tou t ~v c *!Dx, o n a

(T, ~ ) ~ lim (Tn, Oq~) , ( dT , el) ~ lira (dT~, q~) .

Comme ( T , , ~q~) ~ (dT~, q~) pour tou t n, on a bien F T ~ O. Le cas g~ndral oh C U :/: 0 peut ~tre main tenan t ob tenu en r emarquan t

s implement que la fonct ion de GREEN, g(p , q), rdsoud le probl~me AT (~q, Oq mesure de Dirac au point q, T , d T continus en moyenne s l'infird, F T ---- O. La propridtd F g ~- 0 s 'obt ient de nouveau par passage s la l imite: pour les domaines S ve t les fonctions de GREE~r gv (P, q) supposdes prolong~es par zdro en dehors de Sv, on a

(dgv(p, q) , cp(p)) : (gv(p, q), O~(p)) pour tou t ? E . ~ .

Or la suite (gv) converge uniform~ment sur tou t compact de S -- (q) vers g, les g~ sont borngs dans leur ensemble t~ l 'extdrieur d 'un voisinage de q, enfin les hombres Ds_ ~(gv), ~ compact contenant q, sont borngs; donc par passage t~ la limite F g ~ O.

3.2 . Probl~me de NEUMANN sur une surface greenienne

Proposition 3.2 . Soit, sur une surface greenienne, U une dis t r ibut ion don t le suppor t comporte un nombre fini de points, orthogonale aux champs de ~ , C U ~ 0. L '6quat ion A T ~ U admet une solution unique T cont inue en moyenne ~ l'infini ainsi que d T , telle que F ' d T ---- O, c'est-k-dire (dT , d~)

--~ ( U , ~ ) pour tou t T e ~ _ ~ l , e t t e l l e q u e C T : O. Remarquons que la condit ion C U ---- 0 est n~cessaire pour avoir F ' d T ~ 0

car (SdT , c) ~ O. L'unici t6 de la solution rdsulte du fair que A T ~ 0, T , d T continus en

moyenne i~ l 'infini entralne que d T est un 616ment de ~ donc de Eh ; or F d T ---- 0

entralne que d T ~ , ; donc d T : O car ~ ~ O; donc T : c o n s t . et C T : O entra lne T : 0 .

Nous allons d6montrer l 'existence en construisant la solution de ce pro-

blame pour les domaines Sv d 'une exhaust ion canonique de S (S~ c S~+~; suppor t de U ~ So) puis obtenir T par passage t~ la limite.

Soit t~ la fonct ion harmonique avec singularitds, prolongeable par symdtr ie sur le double de SCHOTTKY de S~, dont la dis tr ibut ion associ~e T~ = vp t~ satisfait l 'dquat ion A T = U (~ existe car C U = 0), T~ vgrifie la condi t ion (dT~, dq~) = ( U , q~), pour t ou t ~ e ~ ~ !B 1 .

a) (dt~) converge en A-norme sur tou t compact de S-suppor t de U; l 'ensemble des A-normes de (dtv) dans S~ -- S O est bornd:

Formons v~-----t~--t o sur S0

t~ sur S~ -- S-o �9

11 CMH vol. 34

] 50 ROGER BADER/WER17ER S~.NS~,N

~v est C ~ duns S oe t duns S v -- So; de plus .d~v est continue au travers de

Envisageons l 'ensemble des formes ~, (~)v, v4rifiant les conditions: ~ est

C ~ d a n s S 0 , ~ v e s t C ~ d a n s S ~ - - ~ , ~ + t o est C o d a n s S ~ - s u p p o r t d e U, Dv(~v ) < oo. v~ fai t partie de cet ensemble. Montrons que D~(vv) ~ D~(~v):

D ~ ( ~ - - 3~, 3 ~ ) = 0

DA~) = D~(~ -- ~) + D~(3~) d'o~ 1)v(~) ~< D~(~).

Soit /~ < v. On a (~v)~ ~ (~v)v. Par suite 3~ e (~v)~. Donc:

D~(~) ~< D~(3~) ~< Dv(3v).

Los nombres D~(v~) forment une suite monotone croissante. De plus:

D,(v~ -- T~) = D~(v~) + D~(~) -- 2D,(3~, 3,)

car D~(3,, T,) = n~(v~, 3~) + D , (3 , -- v , , 3,) = n , ( v ~ , 3 , ) .

La classe (~)s n 'es t pus vide: par exemple / t t - - t o ~ (q0)s si / est une

fonction C ~ , 4gale h 1 sur So, h 0 sur S -- S~. Soit d -- inf D (~). Quel que soit 9o ~ (~)s, on a:

D~(v~) ~ D~(V) ~ n ( ~ ) , par suite D~(v~) ~ d .

Los hombres D~(v~) sont donc born4s. Il e n e s t de m6me des nombres D s _ s 0 (t~). Comme los premiers forment une suite croissante, ils convergent.

Par suite D~,(v~ -- 3~) tend vers 0. Los d3~ forment une suite de C),UCHY en A-norme sur tout compact. I1 en est de m~me pour les formes dt~ sur tou t compact de S-support de U. Ainsi los dtv convergent uniform4ment sur tou t compact de S-support de U.

b) Si l 'on fixe la constante arbitraire dont d4pend t~ en posant t~ (P) = 0, P ~ So, (t~) converge uniform4ment sur tout compact vers une fonction t ; la distr ibution associ4e T permet de construire la solution (1 - - C ) T du pro- blame. E n effet:

(dT~, d~f)v = ( U , q~) pour tout ~ ~ {~ ~ ida, et par suite F ' d T = 0;

3.3. Solution de A T = U sur une surface non greenienne

Proposition 3.3. Soit, sur une surface non greenienne, U une distr ibution dont le support comporte un nombre fini de points, orthogonale aux champs de C, C U = 0; l '4quation A T = U admet une solution unique T continue en moyenne s l'infini ainsi que d T , telle que C T = O.

F o r m e s h a r m o n i q u e s sur u n e s u r f a c e de RIEMANN 151

La condit ion C U ~ 0 est ndcessaire, sinon l '~quation AT = (~q aurai t une solution, ce qui dquivaudrai t ~ l 'existence de la fonction de Green, con- t ra i rement ~ l 'hypoth~se.

L'unicitd est immddiate car AT -~ O, T , dT continus en moyenne s l'infini signifie que T e s t une fonct ion harmonique t~ int6grale de DIRIC~mET finie car dTe~I ; donc T = c o n s t . [3] et la condit ion C T = O entraine T~-- 0.

Pour d~montrer l 'existence on peut procdder soit comme en 3.1., cas C U = 0, e n p r e n a n t T - - C T , s o i t c o m m e e n 3 . 2 .

4. Les op~rateurs F, F o et N . Hypotheses relatives ~ la surface

4.1. D~finitions

La solution du problbme de Dn~IcHLET (surface greenienne) pour (U, q) -~ (q) est la fonct ion de GREEn, t~ une singularit6 logari thmique + en q. Nous

la ddsignerons par g(p , q). La solution du probl6me de NEU~ANN (surface greenienne) pour (U, ~) =

~(q) -- ~(qo) est la fonct ion de N~VMANN g~n~ralis~e s une singularit6 loga- r i thmique ~- en q et une singularit6 logari thmique -- en qo. Nous la d6signe- rons pa r n ( p ; q, qo).

Pour une surface non greenienne d6signons encore par g(p;q, qo) la solu- t ion de l '~quation de PoIsso~ pour (U, ~) ~-- ~ (q) -- ~ (q0) construi te pa r la mdthode du n ~ par n(p ;q , qo) la solution normalisde par CT-- -O. g et n different d ' au plus une constante. Nous les appellerons encore fonctions de GREEN et de NEUMA~ g~n~ralis~es.

Soit k (p , q) la forme double:

k(p, q) = l ~ l q ~- (dx~dxq d- dy~dy~) + dx~,A dy~.dxqA dy~

oh dx ~ - idy = dz est la diff~rentielle ab~lienne ~ . Consti tuons les formes doubles :

7~ q) = g(p, q)k(p, q), 7(P; q, q0) = g(P; q, qo)k(p, q)

v(p; q, qo) -~ n(p; q, qo)k(p, q).

Soient F , F ~ et N les op~rateurs a d m e t t a n t 7, 70 et v pour noyaux m~triques:

r ~ ( p ) = (7(P; q, q0), ~(q)) , F~ = (7~ q), ~(q))

;V~(p) = (~(p; q, q0), ~(q)) �9

Pour tou t ~ e:~, les formes F ~ , F~ et N ~ sont d6finies. F0~ est C ~. /~9 e t / V 9 sont C ~ sauf en p ~- qo oh leurs coefficients pr6sentent la singularit6 :

1 2~ log I Pqo I (k(p, q), ~(q)) .

Ce sont donc encore des formes C ~ sur S lorsque C9 ---- 0.

152 ROQER BADER/WERNER S~REI~SEN

Prepos i t i on4 . 1 . Les formes ~ , F ( 1 - C)~ et N ( 1 - C)~ sont d6fi- nies et C ~ ; elles v6rifient sur S~ les relat ions:

A r ~ = ~ , A t ( 1 - - C ) ~ = A N 0 - - C ) ~ = (1 - - C ) ~ .

La d6monstra t ion peu t se faire par calcul direct ; pour une autre d6monst ra t ion [9, p. 23].

Soulignons que F ~ ~0 est seulement d~finie si la surface S est greenienne et que l ' o p ~ r a t e u r / " ne sera utilis6 que dans le cas oh S est non greenienne.

4.2 . Hypoth~se (N)

Dans la suite de ce t ravai l nous faisons l 'hypoth6se que N (1 -- C)~0 a une 6nergie filfie pour tou t ~0 ~ 9~ de degrd 0 et que cet te 6nergie d6pend continuement de ~ sur 9~ :

D ( N ( 1 -- C)~) ~< const. A ( ~ ) , pour tou t ~ Eg~, de degrd 0 .

Cette hypoth6se est 6v idemment satisfaite si la surface est compacte ou si elle est cons t i tu te pa r un domaine re la t ivement compact ~ frontibre tr6s r6- guli6re d ' une autre surface de RIEMAI~r Nous ignorons si elle est r6alis6e sur route surface de RIEMA~N. I1 conviendrai t d ' abord de savoir dans quelle mesure elle d6pend du choix de ~ .

Si la surface est non greenienne l 'hypoth6se (N) ent ra ine que F(1 -- C)~, qui ne diff6re de N (1 -- C)~ que d ' un champ de E, a 6galement une 6nergie finie d6pendant cont inuement de ~ sur ~ .

4.3 . Hypoth~se (/'o)

Sur une surface greenienne nous faisons p o u r / ' 0 l 'hypoth~se correspondante (N), ~ savoir que le potent ie l / '0~ a une 6nergie finie pour tou t ~ de 9~ et

que cet te dnergie ddpend cont inuement de ~ sur 9~ :

D ( F O ~ ) < ~ c o n s t . A ( ~ ) , p o u r t o u t ~ r d e d e g r d 0 .

Concernant la r~alisation de cet te hypoth~se, ou sa d6pendance de ~ on pout faire los m~mes remarques que pour l 'hypoth~se (N).

4 .4 . Proposition 4 .4 .1 . Sur line surface non greenienne les formes F(1 - - C) et . / ' ( 1 - - C)~ sont nulles ~ la fronti~re, pour tou t ~ de 9~.

Envisageons d ' abord l e c a s du degr~ 0 et posons (1 -- C)~ ---- / :

/'(1 -- C)~ = (g(p; q , q o ) , / ( q ) ) �9

Nous avons: ( d ~ g ( p ; q, qo), ~0(p)) ----- (g (p ; q, q0), O~0(p)) , pour tou t ~v de �9 !B~, comme il est montr6 au n o 3.1. L 'hypoth~se (N) entra ine que d / ' ( 1 - - C)

Formes h a r m o n i q u e s sur une surface de RIEMANN 153

est un op~rateur born~ sur ~I. L'~galit~ pr~cddente mont re que son transpos~ m~trique, c 'est-s (dE(1 -- C)) ' , est tel que:

(dF(1 -- C) ) '~ = (1 -- C)F'O~p, pour tou t ~ de *!D1.

On peu t donc ~crire:

(dF/, ~p) = (/, F ' r pour tou t ~0 de , ~ 1 .

Prenons ~--- -dFg, Cg = O, g o 2 . O n a :

(dFf, dFg) ---- (/, F ' g ) .

Cette relat ion mont re que (p tg , (1 -- C)~) existe pour tou t ~ de ~[, de degr6 0. Or (F'g, q~) existe pour tou t ~ de 3 , donc (F'g, C?) ~-- (F 'g , 1)C~ existe pour tou t ~ de ~I. La relat ion:

( r ' g , ~) = ( r ' g , (1 -- C)~) + ( r ' g, 1)C~ ,

montre alors que 1"'g d6finit une fonctionnelle lin6aire cont inue sur 9~ car:

t (F'g, q~) ] = I (dF/, dFg) I ~ D�89189 ~ const. Ai(~v)A�89 ;

( 1 - - C)F ' (1 -- C) est donc un op6rateur born~ sur 9~. Son transpos6 m6tri- que est (1 - - C)F(1 -- C). Ainsi:

(1-,'9, l) = (9, F I ) ,

et on a bien: (dF/, to) -~ (1,,"/, 5y~), pour tou t ~ de . !~ 1. Notons encore: D (1"(1 -- C)? ) : ( / ' (1 -- C)~ , (1 - - C)~v), pour tou t ~0 de 2 , de degr~ 0. Le cas du degr~ 2 se t ra i te de la mSme mani~re car ~ ~v de degr~ 2, dIdment

de ~ , correspond ~0' ~ . ~ de degr~ 0, dgalement 4ldment de 9~ et D (1"(1 -- C)~) = D (1"(1 -- C)~ ' ) .

Dans le cas du degr6 1, posons ~ ~ (1 -- C)~ --~ adx -}- bdy.

1. C ~ ' = 0 implique Ca ~ Cb ~ O. En effet C~v'--~ 0 implique ( ~ , dx) - ~ 0 , e'est-~-dire (a, 1 ) = 0 , d 'oh C a = O ; d e m S m e ( T ' , d y ) ~ - - ( b , 1 ) ~ 0 entralne Cb -~ O.

2. 1-,(1 -- C)cp ~- 1"adx + 1"bdy. Comme A (qJ) = A (a) + A (b), q~' ~ 2 implique a �9 9~ et b �9 9~, donc F a et Fb sont de A + D-norme finie. D'apr~s le rSsultat ci-dessus, les coefficients 1"a et Fb sont nuls ~ la fronti~re.

L 'a f f i rmat ion rdsulte du lemme suivant :

Lemme 4 .4 . Si une forme 2' ~ A d x + B d y a des coefficients de A -[- D- norme finie, nuls k la frontiOre et finis sur S, F et �9 F sont nuls h la fronti&re.

154 RooER BADSR/WEANER ~RENSEN

F est bien de A ~- D-norme finie. Soit ~ - ~ / d x A dy une forme de *~1. I1 s 'agit de p rouver que:

(dF, y,) -~ (F, ~ ) .

On note que yJ c *~B1 signifie que [ e s t de A ~- D-norme finie. Pa r suite [dx e t / d y appar t i ennen t ~ . !B. Les relat ions:

(dA, cf) ---- (A, &f) , (dB, ~) : (B, ~ ) , pour tou t ~ * ! B ~ ,

sont encore vraies pour tou t ~ E , ~ , car *!B1 est dense sur *~B avec la norme A ~ (~, 5) (d'apr~s [2], p. 79 nous savons que A ~ sur S o est dense sur , !B, or A | sur Sv est contenu dans *!B1). Ainsi:

(dF, y~) : (dA, ]dy) ~- (dB, ]dx) : (A, (~(]dy)) ~- (B, O(]dx))

a/ at : ( A , ~ y ) - ~ ( B , ~ x ) : ( A d x ~- Bdy, ~y dX - -~xdY)

(dF, ~p) : (F, ~v2) .

On ddmontre de la m6me mani~re que ((~F, yJ) ~ (F , dye), pour tou t ~ e ~ . Comme, de fa~on gdndrale, pour tous ~, ~' don t les coefficients sont de

A ~- D-norme finie, ~ ~ adx -~ bdy, rf' ~-- a'dx ~ b'dy

D(~ , of') ~-- (da, da') + (db, db') -- (da, ,db') + (db, ,da') ,

on a: D(~ , ~) ~ ((da, da)�89 -k (db, db)�89 2 ,

et par suite, d 'apr~s ce qui prdc~de:

(F(1 -- C)9~, (1 - - C)~) ---- D (/ ' (1 - - C)~) ~ const. A ( ~ ) ,

pour tou t ~o de 9~. La continuit6 de l 'op6rateur dF(1 - -C) , suppos6e vraie pour le degr6 0

est donc d6montr6e pour les degr6s 1 et 2. La continuit6 de l 'op6rateur (1 -- C)F(1 -- C) est d6montr6e pour les 3 degr6s.

Proposition 4.4.2. Pour tou t ~ de ~ , de degr~ 0, la forme .dN(1 -- C)cf est nulle h la fronti~re. De m~me, pour tout ~0 de 9~, de degr6 2, &V(1 -- C)~ est nulle h la fronti~re.

Examinons le cas du degrd 0. Nous avons:

(d~,n(p; q, qo), d~(p)) = v/(q) -- v/(qo ) , pour tou t ~o de ~3~,

comme il est montr6 au n o 3.2. L 'hypoth~se (N) entra lne que dN(1 - -C) est un op6rateur born6 sur 9~. L'6galit6 pr6c6dente mont re que son transpos6 m6tr ique (dN(1 -- C)) ~ est te l que:

(dN(1 -- C))'dv 2 - - (1 - - C) (v/(q) -- v?(q0)) ---- ~0,

Formes harmorLiques sur une surface de RIgMAtVS 155

pour tout y~ de ~31. On peut donc 6crire (m~mes notations qu 'en 4 .4 .1 ):

(dN/ , dyJ) ~- (/, ~p),

ce qui d6montre l 'affirmation. Pour ~ de degr6 2, ~0' : . r est de degr6 0 et N(1 -- C)~0 --~ *N(1 -- C)~0',

(~N(1 -- C)q9 = -- , d N ( 1 -- C)q0'.

Proposition 4 .4 .3 . Sur une surface greenienne les formes F~ et ,F~ sont nulles s la fronti6re, pour tou t ~0 de 92[.

La d6monstrat ion peut se faire exactement de la m6me manibre que eelle de la proposition 4 .4 .1 . , moyennan t quelques simplifications dues ~ la dis- pari t ion du facteur (1 -- C).

On a iei:

(F~ of) ~-- D(F%f) ~ const. A(~) , pour tout ~0 de 9~.

De nouveau, la continuit6 de l 'op6rateur dF o, suppos6e vraie pour le degr6 0 est donc d6montr6e pour les degr6s 1 et 2. La continuit6 de l 'op6rateur F ~ est d6montr6e dans les 3 eas.

5. In6galit6s du type de POINCARI~

En se fondant sur les hypoth6ses (/lo) et (N), il est possible d'6tablir simplement quelques in6galit6s fondamentales qui bornent la norme ordinaire d 'une forme par sa D-norme.

Proposition 5.1. I1 existe une constante finie, ne d6pendant que de la surface, telle que pour toute forme ~ de A -t- D-norme finie v6rifiant C~0 -~ 0, on ait:

A (~0) ~< const. D (r

Envisageons d 'abord le cas du degr6 0. Soit / une fonction de A q -D- norme finie, C / ~ O. En uti l isant la proposition 4 .4 .2 . :

A2([) -~ (dNf , d/) 2 ~ D ( N / ) D ( / ) ~ const. A ( [ ) D ( [ ) .

Ainsi: A (/) ~ const. D (/) .

La d6monstrat ion est la m6me pour le degr6 2. Envisageons main tenan t le cas du degr6 1.

a) Sur une surface greenienne, consti tuons:

q~' --_ ~FOdqj q- dT'O ~cp .

1 5 6 Roo~.~ BADER / WERNER SORENSEN

On v~rifie imm4dia tement que

d~ ' - - - -d~ , J~'---- ~ , C ~ ' = 0 . I)onc ~ ' = ~ . P a r suite:

A�89 <~ A�89176 + A�89176 = (F~ d9) + (F~ ~59) ,

en uti l isant la proposi t ion 4 .4 .3 . Donc:

A (9) ~ const. D ( 9 ) , en ut i l isant l 'hypoth~se (F ~ .

b) Sur une surface non greenienne, la formule:

AF(1 -- C)9 = 9 -- C 9 , mont re que:

Cd 9 = d~F(1 -- C)d 9 -- d 9 = d(~F(1 - - C)d 9 -- 9) 0 0 9 = ~ d F ( 1 - - C ) 0 9 - - ~ 9 = ~ ( d F ( 1 - - 0 ) ~ 9 - - 9 ) �9

Si l 'on n ' a pas iden t iquement Cd 9 = 0, il existe donc une forme c~ de A- norme finie pour laquelle . d a = 1. Si l 'on n ' a pas C89 ---- 0, il existe de m~me une forme fl pour laquelle Off = 1.

Soit 9 une forme de A + D-norme finie telle que C 9 = 0. Const i tuons:

9 ' ---- OF(1 -- C)d 9 + dF(1 -- 0 )09 + (1 - - C)~(*Cdg) + (1 -- O)flC~59 .

On v4rifie imm4dia tement que:

d9'----d9, 0 9 '= dg, C 9'--0. Donc 9'-----9. Pa r suite :

A�89 ) ~< A�89 ((~F(1 -- C)d9) + A�89 (dE(1 -- C)09) +

+ A�89 ((1 -- C)o,( ,Cdg)) + A�89 ((1 -- C)~C~9) .

En appl iquant la proposi t ion 4 .4 .1 . pour les formes de degr4 0 et 2 ~ ~9 et dg, on volt qu'i l existe une constante finie telle que A (9) ~ const. D (9), ce qu'il fallait ddmontrer .

Proposition 5 .2 . Sur une surface greenienne, il existe une cons tante finie ne d4pendant que de la surface, telle que pour t ou te forme 9 de A + D- norme finie, satisfaisant h F 9 = 0, F ' 9 = 0, on ai t :

A (9) ~< c o n s t . / ) (9) �9

Pour une forme de degr4 0, nulle ~ ]a fronti~re, nous avons:

A(9) = (~aF~ 9) = D(F~ 9) < Di(F~189 <~ const. A�89189 )

Formes harmoniques stir une surface de R;mM~rs 157

ce qui d~montre la proposition dans ce cas. La d~monstration est analogue dans le cas du degr~ 2.

Dans le cas du degr~ 1, posons ~ - - - - ( 1 - C)~-~ C~. Nous venons de montrer que:

A ((1 -- C)~) ~ const. D(~) .

Nous pouvons poser (proposition 2.6.) Cq~ -= dh o ~ ~h2. Nous avons (proposition 2.6.) :

A (dho) ~ const. A (C~), A (Oh2) ~ const. A (CT).

Or on peut supposer sans restriction que Ch o ~ Ch 2 = 0. La proposition 5.1. permet alors d'4crire:

A (h0) ~ eonst. A (C~), A (h~) ~ const. A (C~). Par ailleurs:

A (CqJ) ~-- (q~, C~) -~ (el, dho) + (~, ~h2).

Comme ~ et , ~ sont nuls s la fronti~re, on a donc:

A(C~) = (O~,ho) ~- (d~, h2). Par suite:

A (Cr ~ A�89189 + Ai(d~)A�89 ~ const. A�89

I1 existe donc une constante finie telle que

A (C~) ~ const. D(~)

ce qu'il restait ~ ddmontrer.

Proposition 5.3. Sur une surface greenienne il existe une constante ne ddpendant que de la surface, telle que pour route forme ~ vdrifiant les conditions F ~ = 0 et C ~ = 0 , ona i t :

A (~) ~ const. D(~) .

Pour le degr4 0, la propri4t~ revient h la proposition 5.2. puisqu'alors Ca~ -~ 0 est automatiquement r~alisge.

Pour le degr~ 2, la proposition revient s la proposition 5.1. puisqu'alors F ~ ~ 0 est automatiquement r~alis~e.

Pour le degr~ 1, remarquons d'abord que F r ~ 0 implique Cdq~-~ O. Formons alors :

~0' = ON(1 -- C)d9 + dF~

On v6rifie imm6diatement que ~o' est nul ~ la fronti~re. En effet, pour tout

�9 . ! B ~ :

158 Ro(~.l~ BADER / WERNER S~RENSEI~I

(d~', y~) = (dq~, ~ ) , (~', &p) = ( t N d ~ , &p) + (dFOO~, 5~2) -~ ( A N d s , v2) ----- (d~, v2) .

Comme d~' ---- d~, ~?' ~- (~, ~' ne diff~re de ~ que par un champ de (~. Or C ~ ' = 0 . Donc ~ ' ~ . 0 n a :

A�89 ~ const. (A�89 + A�89 ,

ce qui d~montre la propri~td.

6. Formes pseudoharmoniques

Une forme ~ ~ (~ est dite pseudoharmonique si elle v~rifie sur S~ l '~quation ~ ---- 0. La forme est harmonique si elle appart ient h ~1.

Proposition 6 .1 . I1 existe une forme pseudoharmonique a de A + D-norme fmie, v~rifiant les conditions suivantes:

a) a -~ dt ~- dt e n r dz -~ tdt ,

b) a - ~ a ~ ) ~ a q ~ , oh l a l < c~ e n t o u t a u t r e p o i n t ~ ,

c) F ~ = F ' ~ = 0 .

Soient en effet u et v les fonctions v~rifiant les conditions suivantes:

a) u et v sont harmoniques, de D-norme finie hors d 'un compact conte- nan t r

b) u est singuli~re comme R ( 1 ) , en~0 ; ves t singulibre en r comme I ( t ) ,

c) u et v sont nulles ~ la fronti~re.

Constituons la fonction complexe / ---- u + iv , puis

=/r + / ~ .

I1 est imm~diat que a est pseudoharmonique et v~rifie les conditions a) et b). Les fonctions u et v peuvent 6tre construites par la m~thode utilis~e au n o 3.1. Elles sont donc de A + D-norme finie en dehors d ' un compact contenant ~0; de plus elles sont nulles A la fronti~re. La propri~t~ c) se d~montre alors comme le lemme 4.4. car a est de A + D-norme finie.

Les deux formes a e t �9 a seront appel~es les deux/ormes pseudoharmoniques dldmentaires attach~es au point ~o. Le cas oh dz -~ tndt, n > 1, se traite de fagon analogue: il y a alors 2n formes pseudoharmoniques ~l~mentaires a t ta- ch~es au point ~o.

Remarquons encore iei, ce dont nous aurons besoin plus loin (n o 7), qu'en ver tu de l '~tude de la convergence faite au n o 3.1., a est limite uniforme sur

F o r m e s h a r m o n i q u e s s u r u n e s u r f a c e d e RIEMANI~ 159

t ou t compac t des o v correspondants aux domaines Sv et que les nombres D~ (or) 3- Av (o~) sont born~s dans leur ensemble.

Proposition 6 .2 . Sur une surface greenienne, d tant donn~ une forme con- t inue, ~, de A 3- D-norme finie, il existe une forme pseudoharmonique co t e l l e q u e F ( c o - - ~ ) ~ - - F ' ( e o - - a ) = 0.

a) Considdrons les formes ~ de ~ , nulles ainsi que leur �9 aux points r Les formes ~ q- q fo rmen t un ensemble convexe dans l 'espace des formes de A q- D-norme finie. La norme D(or 3- q~) a t t e in t un m i n i m u m d. I1 existe une suite min imale ~% ~--0r 3- %~, telle que D( r d, suite de CAUCHY en D-norme. La suite ? . est donc 6galement une suite de CAUCHY en D-norme, donc en A 3- D-norme, en ve r tu de la proposi t ion 5.2. I l existe donc une limite ~ telle que (A 3- D ) ~ < oo et D ( a 3- ~ ) ~- d; nous dcrirons

b) E n ~crivant que D(o) , ~0) ~ 0 pour tou t ~ ~ ~ ~ suppor t compac t sur So , on voi t que ~ est ha rmon ique sur S~.

c) E t a n t donnd un compac t ~ fronti~re tr~s rdguli~re ~ , con tenan t un seul point ~b0, appelons 0 la forme pseudoharmonique 6gale ainsi que son �9 ~ cr au point q~0, 6gale ainsi que son �9 ~ r sur ~2 ~ [9]. On a:

D~(a, 0 - - co) = l im D~(a, o - - ~o~) = lira j ' (a - - w~)A , d a - - &~A *(0 -- c%) = O. n n ~ '

Done D o (a) ~< D a (w). Si o9 n '~ ta i t pas ~gale ~ o dans Q on pour ra i t fo rmer r convergent vers co ~ l 'ext~rieur de 12 et v e r s o dans ~ , qui aura i t une suite o~n

une D-norme infdrieure s celle de w, ce qui est absurde. Nous avons donc d~montr~ q u ' a u x points ~ , eo est C ~. Ainsi w e s t pseudoharmonique .

Nous avons encore la proposi t ion suivante , va lab le sur tou te surface.

Proposit ion 6 .3 . Les formes pseudoharmoniques de A 3- D-no rme finie cons t i tuen t un espace de HmBERT en A 3- D-norme.

La proposi t ion est immedia te pour les formes de degrd 0 et 2 car les formes pseudoharmoniques sont alors harmoniques .

Pour une forme pseudoharmonique de degr~ 1, 0 ~--adx 3- bdy , a et b sont des fonct ions harmoniques sur S~. Ces fonct ions peuven t presenter aux points r des singularit~s, telles toutefois que 0 soit C r en ces points.

a) Si 0~ converge en A-norme vers 0, on peu t dire, puisque A (0) -~ A (a) 3- 3- A (b), que les fonctions harmoniques sur Sa , a m et b. convergent en no rme vers les fonetions harmoniques sur So, a et b : en effet (a~, A~) ~ 0 pour tou t ~ 0 ~ , done ( a , z ~ ) ~ - - 0 , done Aa~--O sur S~.

b) Les coefficients des 0~ : o~dt 3- ~ exprimds dans une un i formisan te locale dt convergent en chaque poin t ~ . E n effet, on peu t choisir une fo rme

160 RoG~,~ BAD~.R / WER~ER S6~,NS~,Z~

pseudoharmonique ~ dans un compact ~2 contenant un seul point ~0, nulle ainsi que son �9 sur ~2' (suppos~e trbs r~guli~re) telle que pour tous les a~ :

Da(a~, q)---- ~a=A . d ~ - ~ A . a , = R ( ~ ( 0 ) ) ou I (a=(0)) . r

c) Soient a~ les formes pseudoharmoniques dans ~Q, ~gales en q}0 s la l imite a des a~, s m~mes valeurs que les a~ sur ~2' (pour l 'existence de ces formes pseudoharmoniques dans un domaine re la t ivement compact k fronti~re tr~s r~guli~re [9]). Soit eo la forme pseudoharmonique ~gale s a en q}o et sur ~2'. On a

Da(o~ - - a~) ---- ~(w - - o'~)A , d ( o -- a~) -- ~(o~ -- a~)A ,(o~ -- a~)-> 0 .

Donc a~--> o~ en D-norme. Or an--a~--> 0 en D-norme. Ainsi D ~ ( ~ o - a ) = 0 donc m = a car m = a s u r / 2 ' . Ainsi a est pseudoharmonique.

7. L'~quation zip = ~ dans le cas greenien

Nous allons rdsoudre l 'dquat ion zlp = ~ en imposant ~ la solution trois sortes de conditions aux limites.

7.1. Probl~me de DmlCHLET

Proposition 7.1 . Si v 2 ~ 9~ 0, l '~quation A# ---- ~ admet dans 9~ 1 une solu- t ion unique vdrifiant les conditions aux limites F/~ = Fr/x ---- 0, et telle que

D ( # , q) = (~, ~ ) , pour tou t ~ c ~ 1 , F { p ---- F ~ ---- 0 .

Unicitd. Si /x e t # ' sont deux solutions, / ~ - # 'E ~I1 est une forme harmonique. D ( # - - # ' , ~ ) = 0 pour t ou t q~9.I1, Fq~ = F'qD= 0, implique, puisqu 'on peut prendre ~ ----/x - - /x ' que /~ - - /~ ' est un champ de E. Mais F ( # - - / ~ ) = F ~ ( # - - / ~ ' ) = 0 entra lne que /x - - # ' ~ ( ~ a ~ f i i s , donc # = # ' .

Existence. Des proposit ions 5 .2 et 6 .3 . il d~coule que l 'ensemble des formes pseudoharmoniques de A A- D-norme finie nulles ainsi que leur �9 ~ la fronti~re consti tue un espace de HILBV.RT avee la norme D. I1 en r~sulte que (yJ, a) est une fonctionnelle lindaire cont inue dans cet espace. I1 existe donc une forme pseudoharmonique H ~ de A -]- D-norme finie, telle que F H ~ = F ' H ~ = 0, sat isfaisant k la re la t ion

D(H~ a) = (v 2, a ) ,

pour tou t a pseudoharmonique de A ~- D-norme finie, telle que F a = F'a = O.

Formes h a r m o n i q u e s s u r uno s u r f a c e de RmMA~r~r 1 6 1

Montrons que la forme:

= - ( F o + H o ) w , ~ e ~ ,

est la solution du probl6me. /~ e ~ v6rifie sur S , l '6quat ion A# = ~. D ' a u t r e p a r t F # = F'~u = 0. Le fa i t que /t ~ ~1 d6coule des deux lemmes su ivants :

L e m m e 7 . 1 . 1 . La forme F~ oh ~ c 9~, v6rifie la re la t ion:

D ( / ' ~ a) = 0 ,

pour t ou t a pseudoharmonique de A + D-no rme finie. Soit g, (p, q) la fonct ion de GRE~,~r re la t ive ~ S v. Posons:

F~ = (gv (P, q)k(p, q), v/(q))s~ .

Supposons d ' a b o r d le suppor t K de ~ compac t et contenu dans Sv. I1 rd- sul te des remarques fna les de la proposi t ion 3 .1 . 2 . que :

D~(F~ -- F~ O, Ds_~(F~ I'~v?) bornd,

quel que soit le compac t 27. P a r sui te :

D(Folo, q~) = lira D,(F~ ~, 9 ) ,

sous la seule condit ion D ( ~ ) < oo. Cette re la t ion a lieu en par t icul ier si 9 ----- a est une fo rme pseudoharmonique de A + D-norme finie. Or:

D . ( r ~ ") = (r~ + S / .VA . d . - - = 0 ,

puisque o o l P y ~ ___ *F,~v = 0 sur S, e t q u ' a u x points ~b les singularit6s de , d a et de ~a sont compens6es pa r les z6ros de /~,~v et �9176

Donc D(F~ a) ~ 0 si ~ est pseudoharmonique de A + D-no rme finie et ~v E ~ . Montrons que cet te re la t ion v a u t pour tou t ~ E 9~. Soit !P~ ~ ~), o n a

D ( F o ( v / - - ~ ) ) = (F0(~v - - ~ ) , ~ - - ~ ) ~ const. A(~o - - ~ ) .

Donc si A ( ~ - - ~v~)-~ 0, on a 6galement D(F~ - - ~ ) ) - ~ 0. Donc:

D(F~ ~) = 0 ent ra ine D(F~ a) = 0 .

L e m m e 7 . 1 . 2 . L a re la t ion D( / , , ~) = (zl#, a) , pour tou t a pseudoharmonique de A + D - n o r m e finie te l que F a - - F ' a = 0, en t ra lne /~ ~ 9~t, si # e (~, A# et # 6 tan t r e spec t ivemen t de A et D -no rme finie.

E n effet, on a pour les deux formes pseudoharmoniques 616mentaires a t t a -

ch6es en un point ~o :

D ( # , a) = (A#, a) + S a A ,d/~ - - 8#A , a , ~0

162 ROGER BADER/WER~rER S6RENSEN

puisque l'~galit~ est vraie pour les a v correspondants ~ a dans Sv et que le passage ~ la l imite est possible en ve r tu de la remarque faite ~ la proposit ion 6 .1 . (d/~, ~#, A/~ E ~ ) . I1 en r~sulte que :

S a A . d # -- ~#A *a = 0 , ~e

pour ces deux formes. Un ealcul local [9, p. 10] mont re que ces deux conditions en t ra lnent la r~gularit~ de .d/~ et de ~/~ au point ~o. Done /~ ~ ~ l -

Le ra isonnement fai t correspond au cas oh d z -~ tdt mais s '~tend sans aut re au cas oh dz ~ t ndt par la considerat ion des 2n formes pseudoharmoniques ~l~mentaires attach~es alors au point ~o,

La derni~re propri~t~ qu'i l reste ~ v~rifier est contenue dans le lemme sui- r a n t :

Lemme 7 . 1 . 3 . Si D ( # , a ) ~ (~, a), pour tou t a pseudoharmonique de A + D - n o r m e finie tel que F a ~ F r a ~ 0, alors D(# ,q~)~- ( ~ , ~ ) , pour t o u t T d e A ~ - D - n o r m e f i n i e t e l q u e F ~ - - - - F ' ~ 0 , ~0c9~, ~ e t / ~ 6 t a n t respec t ivement de A et D-norme finie.

Pour tous ces ~ et pour tous les ~. s suppor t compact , nuls ainsi que l e u r . aux points r :

D(/~, r - - (~2, ~) = D(/~, ~ + ~ ) -- (~, ~ + ~ ) .

Or, on a montr~ (proposition 6.2 ) qu 'on peut choisir ~ de telle manibre que ~ + ~ tende en A + D-norme vers une forme pseudoharmonique de A + D-norme finie nulle ainsi que son �9 h la frontibre Donc on a bien:

D ( # , ~ 0 ) = ( ~ o , ~ ) , p o u r t o u t ~ e ~ l , F ~ = F ' q ) = O .

Remarques 1) L 'exis tence de F ~ Jr H ~ aurai t pu ~tre obtenue d i rec tement par project ion dans l 'espace des formes de A ~ D-norme finie nulles ainsi que l e u r . s la fronti~re.

2) La derni~re propri~t~ ~tablie, qui entralne l 'unicit~ du probl~me pourra i t ~tre satisfaite par route solution # e 9~ de A/~ --~ ~ telle que F # : F ' # --~ 0 si on savai t mon t re r que ~d/~, dO/~ ~ ~ , ou encore si l 'on savai t d~montrer que ~ est dense dans l 'espace des formes de A ~ D-norme finie nulles ainsi que leur �9 ~ la fronti~re.

7 .2 . Probl~me de NEUMANN

Proposition 7.2 . Si, mais seulement si, ~ ~ 9~ o v~rifie la condit ion C~ ---- 0, l '~quation A # - ~ / admet dans 9~ une solution v~rifiant la condit ion s la fronti~re F ~ # ----- Ffd/~ ~ O. La solution est unique si l 'on exige C/~ -~ 0.

Unicitd. Si # et # ' sont deux solutions, D ( / ~ - / ~ ' , ~ ) ~ 0, pour tou t

Formes ha r m on ique s sur une surface de R I E M A ~ 163

c 21 implique, puisqu 'on peu t prendre ~ ~ # - - /~ ' , que ;u - - /d est un champ d e ~ . Comme C(/~ -- #1) : 0, o n a /~-- /~r .

Exi s t ence : La condit ion C 9 : 0 est bien n~cessaire ear:

0 : D ( / ~ , c ) ~-- (9, c ) , pour tou t champ d e ~ .

De la proposit ion 5.1. et de la proposi t ion 6.3. il d~coule que l 'ensemble des formes pseudoharmonique de A ~- D-norme fin]e, orthogonales aux champs de ~ , est un espace de HILBERT avec ]a norme D. On en ddduit l 'existence d 'une forme pseudoharmonique H 9 de A ~- D-norme fin]e, telle que CHq~ ~ 0, v~rifiant la re la t ion:

D ( H 9 , a) -~ (9 , a ) ,

pour tou t a pseudoharmon]que de A ~- D-norme fin]e, C a = O. I1 est im- m~diat que cet te relat ion vau t alors pour tou te forme pseudoharmonique de A ~ D-norme fin]e.

Montrons que la forme:

= (1 -- C ) ( r 0 + H ) 9 , ~ , ~ ,

est la solution du probl6me. /~ satisfait sur S o/~ l '6quation A/t : 9 . /z v6ri- fie la re la t ion D(/z, a) ----- (9, a), pour tou t a pseudoharmonique de A § D- norme fmie, en ve r tu du lemme 7 .1 .1 . e t de la propri6t6 de H 9. E n ver tu du lemme 7 .1 .2 . , /~ �9 ~1 et par suite # �9 21.

De fagon analogue au lemme 7 .1 .3 . on a le lemme suivant :

Lemme 7 . 2 . 1 . Si D ( # , a ) : (9, a), pour tou t a pseudoharmon]que de A + D-norme fin]e, alors D (/z, ~v) : (9, ~), pour tou t ~v �9 2a , 9 e t / t 6rant respec t ivement de A- et D-norme fin]e.

I1 r~sulte enfin du lemme suivant que dO# et Od/z sont de A-norme fmie et que F 0# : F Id# : 0. Appelons G l 'opgrateur:

a = (1 -- C ) ( F ~ + H ) ( I -- C) .

Lemme 7 . 2 . 2 . Les deux d6composit ions: rf ----- dOGcp n a ddGq~ ~- Ccf , cf = H I ? -}- H2q) 2r- Col) , pour tou t ~ �9 2 ,

(HI~ �9 adhdrence de d ~ sur S o dans 2 , H2~0 �9 o ~ ; [2, p. 72]) sont identiques.

On peu t poser Hl~0 = dec; dec est limite en A-norme de deck, ec~�9 sur So. A cause de la proposi t ion 5.2. ec est l imite en A -+- D-norme de la suite (e~). Donc Fec = 0. De m6me on peut poser H ~ ---- (~fl, avec .F1fl ~ O,

fl l imite en A + D-norme de fl~ �9 ~ sur S o.

164 ROQER BADER/WERN~R S6RENSEN

Formons ? . ~ d ~ . - ~ - ~fln et ~ n ~ d I ' ~ OF~ On a d o ~ . ~ f l . , ~o~ ~ ~. e t oJ~ appar t i en t ~ ~ i . D'au t re pa r t :

(a~, &p) + (fin, dv2) = ( ~ , ~ ) ,

(eiG%,, Or2) --k (dG%,, dr2) = ( ~ , v2), pour tou t ~p de ~I 1 .

E n p renan t ~ ~ G ~ -- eo~ et en sous t rayan t membre ~ membre les deux relat ions pr~cddentes on obt ient a , = 8 G ~ et fin -~ dG%,. Or G t ransforme route par t ie borneo de ~ en une par t ie bornde de l 'espace des formes de A ~- D- norme finie, comme nous le verrons inddpendamment en 9c). Donc quand a~ et fl, t enden t en A-norme v e r s a et t , ~ t end vers (1 - - C)~0 et on a:

a = ~GqJ , fl----- dGqJ , c . q . f . d .

7.3 . Probli~me mixte

Proposition 7 .3 . Si, mais seulement si, ~ c 9~ v~rifie la condit ion Ca~ ~ 0, l '~quation A/~ ~--~ admet dans E[~ une solution vdrifiant la condit ion k la fronti~re F # ~ 0, et FO/~ -~ 0 dans le sens g~ndra]isd:

D ( # , ~ ) : ( y J , ~ ) , pour tou t r F ~ - - - - 0 .

La solution est unique si l 'on exige que C~/~ ---- 0.

Unicitd. Si /~ et /~ sont deux solutions, D ( / ~ - / ~ ' , ~ ) ~ 0, pour tou t ~ 9~, F ~ ~-- 0. Comme on peu t prendre ~ --~/~ -- ~u ~ , /~ -- #~ est un champ

d e ~ , d o n c d e ~ . Comme C~(# -- #') -~ 0, o n a # ~ # ' .

Existence. L a condit ion Ca~ -~ 0 est bien ndcessaire car:

0 ---- D (/~, c~) ~-- (~, c , ) , pour tou t champ de ~a �9

De la proposit ion 5.3. et de la proposi t ion 6.3. rdsulte que l 'ensemble des formes pseudoharmoniques de A ~ - D - n o r m e finie, telles que F a ~ 0 et C~a -~ O, est un espace de HrLB~.RT avec la norme D. On en ddduit l 'existence d 'une forme pseudoharmonique Hay~ de A ~ D-norme finie orthogonale aux champs de ~ , nulle s la fronti~re, satisfaisant k la relat ion:

D ( H ~ v d, a) ----- (y~, a) ,

pour tou t a pseudoharmonique de A q- D-norme finie, F a = O, C~a ---- O. I1 est imm~diat que ce t te re la t ion v a u t alors pour tou te forme a pseudoharmonique de A q- D-norme finie, telle que F a ---- 0.

Montrons que la forme

= (1 -- C~)(~ ~ + Ho)~

est la solution du probl~me. # vOrifie sur 8~ l 'Oquation A# ----- ~. /~ vOrifie la

Formes ha r m on ique s sur une surface de R m ~

condit ion aux hmites F p -~ 0. p satisfait ~t

D ( ~

pour tou t ~ pseudoharmonique de ver tu du lemme 7 .1 .2 . , on a donc finie.

165

, a) = (~, a)

A -4- D-norme finie, tel que F a = 0. En /x eg~x, car p e ~ et est de A + D-norme

On a de la mgme manibre que le lemme 7 .1 .3 . :

Lemme 7.8. Si D(g, a ) = (~, a), pour tou t a pseudoharmonique de A + D-norme fmie tel que F a = 0, alors D(~t, ~) = (~, ~) pour tou t ~ de A + D-norme finie tel que F q = 0, ~ e ~ , ~ e t /~ dtant respec t ivement de A- et D-norme finie.

8. L'6quation A/~ = ~ dans le cas non greenien

Nous ne consid6rerons duns la suite que des surfaces non greeniennes qui, munies de la mf t r i que induite par q~, sat isfont/~ l 'hypothbse (N). Nous supposerons en outre que sur ces surfaces:

Toute forme harmonique de A + D-norme finie est un champ de E. Notons que pour les formes de degrds 0 et 2, cet te propridt6 est v6rifide sur

toute surface non greenienne, puisqu 'une fonct ion harmonique ~ int~grale de Dmmn1ET finie est une constante sur une telle surface. Pour les formes de degrd 1, nous supposerons que cet te propridtd a heu, sans savoir si cet te hypothbse restreint la classe des surfaces envisagdes.

Proposition 8.1 . Sur une surface non greenienne du type envisag6, route forme de A -4- D-norme finie est nulle ainsi que son �9 la frontibre.

Ddmontrons d ' abord la proposi t ion duns le eas du degrd 1 : a) Tou t champ de E est nul ainsi que son �9 a la frontibre. Cela r~sulte immddia tement des d~eompositions orthogonales c = c8 A-d/

et c = c a -4- ~ dtabhes duns la proposit ion 2.3. et du fair que les seules fonctions harmoniques s intdgrale de DmicrmET finie sont les constantes.

b) Toute forme de A + D-norme finie or thogonale aux champs de E est nulle ainsi que son , K la fronti~re. Nous allons le prouver en m o n t r an t que tou t ( 1 - C)~ de A + D-norme finie est l imite en A + D-norme de (1 -- C)~o, oh q est s suppor t compact .

Envisageons l 'espace de HUMBERT des formes orthogonales aux champs, muni de la D-norme (voir proposi t ion 5.1.). ~ o n t r o n s que le sous-ensemble des formes (1 -- C)~0, oh ~0 E ~ , y est dense. Soit # un ~l~ment de l 'espace or thogonal au sous-ensemble, c'est-~-dire tel que D(/~, ~0)= 0 pour tou t ~0 r ~ . On dtabli t successivement que:

12 CMH vol. 34

166 ROOER BADER / WERNER S(SRENSEN

1) # est harmonique sur S~ ; en effet, si 10 a son suppor t sur S , , D ( # , 10) = 0 s'~crit (A/~, 10) ----- 0 d 'oh l 'on t i re A/~ --~ 0.

2) # est pseudoharmonique ; en effet, si • est un compact ne contenant qu 'un point ~ et si a d6signe la forme pseudoharmonique don t les coefficients ont m6me valeur que ceux de /~ sur ~ ' et en ~5 (oh # est continu), on a D(/~,/~ -- a) = 0 et D ( a , # - - a) ---- 0 d 'oh l 'on t ire ais6ment # = a .

3) # est harmonique ; en effet, pour tou t 10 ayan t son suppor t dans ~9,

D ( # , 10) = 0 s'dcrit

$10 A , d f f - - ~ f f A .10 = o . r

Comme le d~veloppement de 10 en q~ est arbitraire, on en t ire que . d # et art sont r~guliers en q~. Done # ~ ~1.

4) /~ est nul ; en effet, sur la surface envisag~e, la forme harmonique tt est nn champ ; or tt est or thogonal aux champs.

Tou t ( 1 - C)~ de A 4 - D - n o r m e finie est done l imite en D-norme de (1 - - C)10, oh i0 E ~ . E n ver tu de la proposi t ion 5.1., il est aussi limite de ees m~mes formes en A 4- D-norme.

Pou r les formes de degrd 0, c 'est-s les fonctions, on constate d ' abord que d 'apr6s ce qui prdc6de:

( 1 , 6 1 0 ) = 0 pour tou t 10~*!D1,

car l'~galit~ vau t pour t ou t 10 de !~ ~, . ~ , donc pour tou t 10 de 92[ 1 c !D ~, .!D donc pour tbu t 10 de . ~ car 9 ~ de Sr est dense sur . !~ ( [2], p. 79) et ~ de S , est contenu dans 9~1. Done t o u s l e s champs de degrd 0 sont nuls s la fron- ti6re.

On peut alors refaire le mgme ra isonnement que plus hau t : l 'ensemble des ( 1 - - C)10, 10 e ~3, de degr6 0 est ici dense dans !D.

L a proposi t ion se d6montre de mani6re analogue pour les formes de degr6 2 e t e s t ainsi compl6tement 6tablie.

Corollaire 8. Sur les surfaces non greeniennes envisag6es route forme de est nulle ~ la fronti~re.

E n effet d 'apr6s la proposi t ion prdcddente, si 10 ~ !~ ~ .!D on a:

(10, t~) = (d10, ~) pour tou t ~0 ~ .!D ;

la relat ion est donc vraie pour tou t 10 E 9~1 ~ !B ~ .!D, done pour tou t 10 r 9 ~ sur S~ et eomme 9 ~ sur S , est dense sur ~ , l'6galit6 v a u t pour tou t 10 de !D.

Proposition 8 .2 . Si, mais seulement si, ~ r ~Io vdrifie la condit ion Cv 2 ---= 0, l '~quation A# ~-y~ admet dans 9~x nne solution unique telle que C#-----0 et que d~/x, td/x r 9~,

Formes ha rmon iques sur une surface de R I E ~ 167

L'unicit~ est immddiate.

Existence. La condit ion C 9 ---- 0 est bien ndcessaire car:

0 : D ( # , c ) - ~ ( 9 , c ) , pour tou t champ d e ~ .

Comme dans le cas greenien on d6finit H g , forme pseudoharmonique de A 4- D-norme finie satisfaisant ~ :

D ( H 9 , a ) : (9, a ) ,

pour toute forme pseudoharmonique a de A 4- D-norme finie. Pour la f o r m e / ' 9 on a l e lemme suivant , correspondant au lemme 7 .1 .1 . :

Lemme 8.1 . La forme F 9 , oh 9 e92, C9 = 0, vdrifie la re la t ion:

D ( F ( 1 -- C)9 , a) -~ 0 ,

pour tou t a pseudoharmonique 616mentaire. Posons F 9 = a d x + bdy , a = a ' d x + b ' d y . A l 'ext6rieur d ' un compact

e qui cont ient le point q~ oh a n 'es t pas nul a , b, a ' , b' sont de A -5 D-norme finie et on peut 6crire:

D s _ ~ ( F 9 , a) -~ (da, da ' ) s_ ~ -5 (db, db ' ) s_ ~ - - (da, , d b ' ) s _ ~ -5 (db, , d a ' ) s _ , .

Comme a et b sont nuls ~ la fronti~re (rdsultat ~tabli au cours de la ddmons- t ra t ion de la proposi t ion 4 .4 .1 . ) le deuxi~me membre vau t :

.[ Oa A * 1~9 - - F 9 A * da . r

Or cet te quanti td t end vers 0 quand le compact e se reserre au tour du point

l%Iontrons ma in tenan t que la forme:

/Z = ( 1 - - C) (F + H ) ~

est la solution du probl~me. On a d ' abord /Z ~ 3 ~ * ~ , A# = 9. Ensu i te /Z e ~ . Pour voir que /Z c ~ on appl ique le lemme correspondant au lemme 7 .1 .2 . :

Lemme 8.2 . Si /Z ~ (~ ~ ~B ~ .~3, la re la t ion D (/Z, a) ---- (A/z, a), pour t o u t a pseudoharmonique ~14mentaire, entra lne /Z c ~ .

L a d4monst ra t ion de ce lemme est ident ique ~ celle du lemme 7 .1 .2 . L a derni~re propri4t4 de /Z, savoir d0/z, 0d# E 9/ r4sulte du lemme cor-

respondant au lemme 7 .2 .2 . :

Lemme 8 .3 . E n appe lan t G l 'op4ra teur (1 - - C ) ( F - 5 H)(1 - - C), les deux d4eompositions :

168 RoaER BAI)~a/W~.B~T~R SSR~.~s~

q~ ~ d~Gq~ -~ &tGq~ ~ Cq~, q~ = H~q~ ~ H~q~ ~ Cq~, pour tou t ~ �9 ~I, sont identiques.

Ce lemme peu t se d~montrer de mani~re tr~s analogue k ce qui est fair au lemme 7 .2 .2 . I1 fau t d ' abord remarquer qu 'on a:

D(Gq~, v2) ~--- ((1 - - C)ep, v2) , pour tou t y~ a 9 ~ .

E n effet cet te ~galitd vau t pour tou t (1 - - C)V~, v2 �9 ~ et pour tou t a pseudoharmonique ~l~mentaire, donc pour tou t ~o de ~ ~ ,iD et 9~ c i D ~ �9 ~3.

I1 suffit alors de poser H~0 --~ d~, H~0 ---- (~fl, de consta ter que (1 -- C)~ et ( 1 - - C ) f l sont limites en A + D - n o r m e de ( 1 - - C ) a . , ( 1 - - C ) f l , , oh ~ . , ft. a 3 , et enfin d 'ut i l iser la forme co. construi te comme ~' h la proposi- t ion 5.1. :

o~, = ~I ' ( l -- C)3 . + d r ( l - - C)o~, + (I - - C)~o(,Cfl. ) + (I -- C)3o(C~.)

(ici ao, flo d~signe le couple g, fl de la proposition 5. I. !). La suite du raisonne- ment est imm6diate en p renan t de nouveau ~ -~ d ~ ~- ~ .

9. Propri~t~s de l'op6rateur G

a) G est son propre transpos~ m~trique. E n effet nous avons, parce que G ~ c ~I1, pour tou t ~ c ~Io et que CG ~ ----- 0,

F6Gq~ = F I d G ~ ~ 0 :

n(Gq~, G~) : (G~, v2) : (q~, Gv/) ,

pour tou t ~, ~ E ~I0, donc pour tou t ~, ~ ~ ~I. b) GAcf -~ cp - - Cop, pour tou te forme de ~)2. Soit ~ une forme quelconque de D0. l~ous avons:

(GA7~, ~) = (A~ , Gy,) -~ (~, ~JGw) = (q~, W - - CW) = (~ - - C ~ , ,;,)

puisque ~ et ~ sont k suppor t compact . D 'oh l'~galit~ annonc6e en tou t point de S.

c) L 'op4ra teur G t rans forme une pa t t ie born~e de ~I 0 en une par t ie bornde de •2.

En effet l 'op6rateur H est cont inu dans ~I ; d'apr~s la proposi t ion 5.1. :

A ( H ~ ) ~ const. D ( H ~ ) = const. (~, H ~ ) ~ const. A�89189

done: A ( H e ) ~ const. A (~) .

Plus, l 'op6rateur H t ransforme route par t ie born6e de ~I en une par t ie bor- n~e de !~I0. En effet, la convergence en A-norme de fonct ions harmouiques

Formes harmoniques sur une surface de RI~MAm~ 169

entra lne leur convergence uniforme sur tou t compact . Au voisinage d 'un point ~ , on peu t 6crire:

H ~ ~ a(dt ~- dr) ~ h ou i~ (d t - - dr) ~ h, ~ -~ const., h harmonique ,

et on a vu, lemme 6.3., que si (H~0) est une suite de CAUCHY en A-norme, (a) est une suite convergente, donc (h) est une suite de CAUCHu en A-norme ; H ~ appa r t enan t ~ G0, (HT) est donc born6 dans 9~ o si (?) est born4 dans ~I.

De m~me l 'op~rateur C t ransforme toute par t ie born6e de ~ en une par t ie born~e de ~0.

Enfin, l 'op~rateur F ~ a un noyau mdtrique C~ en dehors de la diagonale p--~ q oh il a une singularit6 logari thmique. Un ra isonnement ident ique celui de DE RHAM ([1], p. 139) mont re alors que F ~ t ransforme tou te pa t t ie born6e de 9~ o en une par t ie bornde de Go parce que F~ ~ Go. On peu t faire le mSme ra isonnement avec l 'op~rateur 1"(1 -- C) dans le cas non greenien.

On a (proposition 5.1.) :

A (Gq~) ~ const. D(GqJ) ~ (~, Gq~) ~ const . A(~) ,

ce qui mont re qu 'une pa t t ie born~e de 9~ 0 a pour image par G, non seulement une pa t t ie bornde de 9~0, mais de ~ l car G~ e ~ l ; enfin c'est mSme une part ie b o r n d e d e ~ 2 c a r G ~ e ~ , e t :

(d~G~, d~G~) ~- (&IG~, ~dGq~) = (AG~, AGq~) = (q~, (1 -- C)~) ~ const. A(~) .

d) G v4rifie pour toute forme de ~)l les formules:

dGd~ ~ O, O G ~ -~ O.

Pour d~montrer la premiere, par exemple, diff~rentions les deux membres de l '~quation:

AGdq~ ~- dq~ - - C d7~ dAGdqn ~ AdGdq~---- 0 ;

dGdq~ est donc une forme harmonique. Seul le cas du degr~ 2 n 'es t pas tr ivial . Comme F ~dGd~ ~ 0 cet te forme harmonique est un champ de ~ , donc 0 en ver tu de la proposi t ion 3 .1 .1 . dans le cas greeuien et du fair suivant dans le cas non greenien: ~ cause de la proposi t ion 8.1. tou t champ de degr6 2 de a son �9 nul ~ la fronti~re donc dG~d~ qui est un champ (route fonct ion harmonique ~ int6grale de DIRICHLET finie est une constante) est or thogonale aux champs, donc iden t iquement nulle.

e) La par t ie G 1 de G, relat ive aux formes de degrd 1, vdrifie pour route forme de ~)l les formules :

dG~ &f = r , ~G~d W = ~p .

170 ROGER BADER/WERNER S~EENSEI~"

Diff~rentions en effet les deux membres de l '~quation:

A G I ~ = ~ -- CO~, on obt ient :

d A G l ~q9 ---- A d G I ~q~ ~ Aq~ ,

d 'oh A (dGl (~ ~ - - 9)) = 0 .

La forme dGl(~q9--q~ est donc harmonique et l 'on peut conclure comme e n d ) .

f) Si T e s t un courant cont inu en moyenne & l'infini, les propri~tds de G signal4es en c) pe r me t t en t de d~finir G T e n posant :

( G T , cf) : ( T , Gcf) , p o u r t o u t ~ e : D 0 .

Cette ddfinition s 'dtend na ture l lement au cas de fonctionnelles lindaires con- t inues de ~D'I ou :D~, pour peu qu'elles soient continues en moyenne & l'infini.

g) Si T e s t cont inu en moyenne A l'infini, on a dans :D'2 :

A G T -= T - - C T .

E n effet: ( A G T , q~) = ( G T , A ~ ) ---- ( T , G Acf) ~- ( T , q~ - - Ccf) ~- ( T - - C T , c2),

pour tou te forme de :D2. h) Si T et �9 T sont nuls & la fronti&re on a dans :D~ :

d G d T ---- 0 , (~G(~T -~ 0 , d G I 6 T =- T , 5 G ~ d T ~- T .

Ces formules s 'obt iennent par t ransposi t ion & par t i r de celles de d) et e). Sur une surface non greenienne, il suffira de supposer T , d T et 6T continus

en moyenne A l'infini parce qu'alors le corollaire 8 entra lne imm4dia tement que T et * T sont nuls & la fronti~re.

i) Si T , * T , * d T , ~ T sont nuls ~ la fronti&re, on a:

GAT ---- T -- CT.

E n effet : (Gd(~T, ~) : (d(~T, Gq~) = ((~T, (~Gq~) -=-- ( T , d~Gcf) ,

( G ~ d T , ~) = (OdT , Gcf) = ( d T , dGq~) = ( T , (~dGq~) ,

pour tou t ~0 e :Do, d 'oh :

( G A T , ~f) ----- ( T , nG~f) -~ ( T , q~ - - C~) = ( T - - C T , ~) .

!Virtue remarque qu 'en h) dans le cas non greenien: il suffit alors de supposer T , d T , ~ T , d ~ T et OdT continus en moyenne & l'infini.

10. Application au probl~me de CousIN [12]

Un couran t T sera di t fe rmi , coferm~ ou harmonique selon que d T ~ 0

dans :D~, ~T ~- 0 dans :D~ A T -~ 0 dans :D/ Nous utiliserons dans la suite

Formes h~rmonlques sur tree surface do R m ~ r 171

la proposi t ion su ivante qui adap t e A notre cas l ' i m p o r t a n t th6or~me de r~gularit~ des courants harmoniques de DE R U M ( [1], p. 149).

Proposit ion 10. U n courant ha rmonique dans un domaine r e l a t i vemen t compac t Q est une forme ha rmonique dans Q.

L 'essent ie l de ce t te proposi t ion r~sulte donc du th6or~me eit~ de DE Rm~M qui, appliqu~ A Sr nous app rend que le couran t ha rmonique est une forme ha rmonique sur Sr ~ tg, soit ~. I1 reste A mon t r e r que ~ e G1 sur Y2, c 'est- A dire A ~tudier le c o m p o r t e m e n t de a aux points ~b.

I1 rSsulte de As : 0 darts ~)~ que, pour tou t ~0 E ~ , nul en dehors d ' u n compac t con tenu dans t~ e t ne con tenan t q u ' u n seul poin t q~, soit q~o, on doit avoir :

J'~A , d~ - - ~ A *da 4- ~ A * ~ - - ~ A *~ = 0 . ~o

Supposons comme toujours que ~ = tdt en ~b o. Consid@ons d ' a b o r d le cas du degrd 0. Montrons que a E G ---- G0 = G I e n

p r o u v a n t que le d6ve loppement de ~ en r 0 ne peu t contenir l ' express ion:

a 0 1 o g t t 4 - ~ 4 - , a 0 r6e l ,

en m o n t r a n t que la re la t ion ~crite plus hau t entra~ne ao = a , = 0. Ceci s 'ob-

t i en t en p r enan t suecess ivement ~ = ] pour ao, q) = [(a~t n 4- -a,T ~) pour a~, n ~ 0 (~ ~tant une fonct ion C = , ~gale ~ 1 dans un voisinage de q~0, don t le suppor t compac t contenu dans $2 ne renferme pas d ' au t r e s points q~ que r L a proposi t ion est ainsi d6montrSe dans le cas du degr6 0 et du m6me coup dans le cas du degr~ 2 car alors . ~ est un couran t ha rmonique de degr6 0!

Consid@ons f inalement le cas du degr~ 1. ~r que ~ e G = Go, c 'est- A-dire que le d6ve loppement de a en q~0 ne peu t contenir l ' express ion:

log t t (aotdt 4- -~otdt) 4- ~ 4. tdt 4- ~ 4- -[dt,

en m o n t r a n t que no t re re la t ion e n t r ~ n e ao ---- a . =- 5,~ = O. Ceci s ' ob t i en t en

p r enan t success ivement q~ = [ (aotdt d- -aot-dt-) pour ao, q9 ---- ] (a~t-[n dt 4- -a~tt'~dt) pour a~ e t ~ = [(b~tn+Idt 4- b~-[~+~d-[) pour b . . Pour mon t r e r que ~ e G~ il

suffit, pa r exemple , de prendre ~ = l(dt 4- d~ et ~ : i t (dt -- d~ ([9], p. 15) e t ceci achSve la d~mons t ra t ion de la proposit ion.

10.1. E x a m i n o n s le probl~me de Covs r~ su ivant , in t@essant en thgorie des

fonctions, e t qui regarde sp~cia lement le degr6 1. On donne dans des ouver t s V, f o rm an t un r ecouvremen t de S des formes

172 ROGER BADER / W I a N ~ S S ~ S E N

~ ferm4es et coferm4es en dehors d 'un point singulier q~ de Vi, v6rifiant la condition de compatibilit4 suivante: co t -- ~ est une forme ferm~e et co- ferrule dans V~ ~ Vj. On demande de t rouver une forme ferm4e et coferm4e dans tou t domaine de la surface S -- (q~) telle que co -- w~ soit un champ harmonique dans V i.

La forme ~o n 'est pas caract4ris4e univoquement par ses parties singuli~res et ses p~riodes. I1 faut lui imposer en outre une condition de r4gularit4 l'infini. Nous choisirons la suivante: le courant T = v p ~ doit ~tre continu en moyenne ~ l'infini.

Soit Tj = vp eo~ le courant associ4 dans V~ k la forme %. Soient U 0 et Us les courants ou plus exactement les formes lin4aires continues sur ~D1, d4finies localement pas 0T~ et dTj , d4finitions possibles grs aux conditions de com- patibilit4 :

~(T i-Tk)=O, d(Tj--Tk)=O, dans V~, V~.

Le courant cherch4 T doit satisfaire aux conditions suivantes: l) dT = Us, , ) T = Uo. 2) T e s t continu en moyenne ~ l'infini. 3) T e s t orthogonal aux champs de E. Les conditions 1) et 2) d4terminent la solution s un champ harmonique de pros (proposition 10). La condition 3) fixe celui-ci univoquement . La solu-

t ion est donc unique si elle existe. Pour que la solution existe il suffit que les fonctionnelles U0 et �9 U, soient

nulles s la fronti~re. Formons le courant T = GI(dU o + ~U~), ce qui est possible puisque l 'hy-

poth~se fai te implique que dU o et 8U, sont continus en moyenne s l'infini. V4rifions qu'il satisfait aux conditions.

l) Les formules de 9.h) sont applicables:

d T = dGI~U ~ = U, , ~T ~- ~GadU o = U o dans ~D'x.

2) dUo et OU, 4rant eontinus en moyenne ~ l'infini, il e n e s t de m~me de GidUo et G~ ~U, et par suite de T.

3) C T = C G , ( d U o + 8U~) = O.

Remarque. Si les singularitgs sont en nombre fmi, l 'hypoth~se faite sur U 0 et �9 U~ est au tomat iquement r4alis4e. Cette hypoth~se est de toute mani~re n4cessaire si l 'on exige que pour la solution T , les fonctionnelles ~T et , d T

soient nulles ~ l'infini. Dans le cas non greenien il suffit, s cause du corollaire 8, de supposer U0, dUo, U~ et 8U~ eontinus en moyenne K l'infini.

][0.2. Examinons enfin le probl~me suivant , int~ressant sur tout pour le degr4 0.

On donne dans des ouverts V~ formant un reeouvrement de S des formes

Formes harmoniques sur une surface de RrEMA~rN 173

m6roharmoniques ~ , v6rifiant la condit ion de compatibif i t~ su ivan te : ~ - - ~j est une fo rme ha rmonique dans V~ ~ Vj. On demande de t rouver une forme m6roharmonique ~ tcl]e que ~ - - ~ soit ha rmonique dans V i quel que soit i .

Soient T i = vpoJ i le couran t associ6 dans V t ~ o~, T = vpoJ le courant associ~ ~ la solution ~ , si elle existe.

Fo rmons dans V i la fonctionnelle U~ = ATe . Les U i d6finissent globale- m e n t une fonctionnelle U de ~)~ et le probl~me pout ~tre formul6 comme sui t : r~soudre l '6quat ion A T ---- U.

Dans le cas greenien d ' abord , supposons que U soit cont inu en moyenne l'infini. E n cherchan t une solution continue en moyenne ~ l 'infini ainsi que ses diff6rentielles premieres, on d6termine le probl~me s une forme ha rmouique (proposi t ion 10) de A + D-no rm e finie pr~s. Imposons lui done d ' e t r e nulle ainsi clue son �9 ~ la fronti~re et la solution sera unique.

E n appe lan t G o l 'op6ra teur F ~ + H ~ la solution est alors donn6e par G o U. R e m a r q u o n s d ' a b o r d que G O est son propre t ranspos6 m6t r ique : pour t ou t

c o u p l e ~ , ~ e A o o n a :

D(G~ G~ = (G~ ~) ---- (~, G~

donc cet te derni~re 6galit6 v a u t encore pour t ou t couple ~, v 2 c 93. On a d ' a u t r e p a r t G ~ 1 6 2 = r pour tou t ~ c~)2, comme le mon t r e un

calcul direct analogue s ce qui est fai t sous 9b). Des deux propri6t~s pr6c6dentes il r~sulte que:

AG ~ U dans ~)~.

On mont re , comme en 9c) que G O t r ans fo rme tou te par t ie born~e de 93o en une par t ie born6e de 931, done aussi toute par t ie born6e de 93 en une par t ie bornde de ~ ~ , !D.

Montrons que F G ~ U --- .F' G o U = O. Nous avons besoin pour cela de re- ma rque r que G ~ et G~ p e u v e n t ~tre d6finis comme 616ments de 93 pour t ou t ~ de 93: consid6rons G~ pour ~ �9 ~ ; nous avons, pour t ou t ~ ~ 93:

(G~ ~, v2) = (~9, G~ = (9, dG~ ;

comme fo rme lin6aire cont inue sur 93, G~ d6pend donc con t inuement de dans 93 ( ~ est dense dans 93) e t on peu t d6finir G O ~ pour t ou t ~ de 93 pa r la re la t ion pr6c6dente car si ~ �9 *!B1 on a aussi (FG~ = 0):

(~p, dG~ _--- ( ~ , G~ = ( G 0 ~ , ~ ) .

Ceci mon t r e que si ~ ~ ~)x t end vers ~ dans 93,

(dG~ ~,) = (U , G~ t end vers ( U , G ~

174 Roo~.R BADER/WERNER S0RENSEI~ Formes harmoniques sur une surface de RIE~s

Cette relation nous montre que dG ~ U est cont inu en moyenne s l'infini. ] ) ' au t re part , si ~ E , ~ on a ( ~ e ~)1, ~ tend vers ~ dans 9~) :

(dG ~ U , ~f) = lira (dG o U , q~,) ~- ( U , G O (~q~) -~ (G O U , 8q~) ,

ce qui montre bien que F G ~ U ~ O.

De la mSme maniSre on peut obtenir que F ' G O U -~ 0. Dans le cas non greenien la condition n~cessaire et suffisante pour que

l '~quat ion AT ~ U, oh U est continu en moyenne & l'infini, ait une solution T continue en moyenne s l'infini ainsi que ses diffSrentielles premieres et se- condes, est que C U --~ 0. La solution est unique avec la condit ion C T ~ O.

D'apr~s le corollaire 8 une telle solution satisfait s F S T ~ F ' d T ~ 0 et d o n c o n a b i e n (c, U ) - ~ ( c , ~ ] T ) = 0 pour t o u t c d e r

La solution est G U. On a ~videmment A G U ~ U , d'apr~s les propri~t~s de l 'op~rateur G et on peut montrer que d G U , (~GU, d S G U et 6 d G U sont continus en moyenne ~ l'infini comme on a montr~ que d G ~ et 6 G ~ l 'Staient. On remarque en effet ici qu 'on peut d~finir Gdq~, G~q~, Gd(~q~, G(~dq~ comme ~l~ments de ~ pour tout ~0 de 9~ par les relations (~ e ~) :

( a d ~ , ~p) = (q~, 8G~p) , (GOT, ~) : (~f , d a ~ ) , (GdSq~, ~) - : (~f, d(~G~), (G5dq~, y~) -~ (q~, (~dGy,) ,

ce qui permet de conclure comme plus haut .

B I B L I O G R A P H I E

[1] G. DE RHAM, Varidt$s di/#rentiables, Paris, Hermann (1955). [2] G. DE R H ~ , Sur certaines dquations de la th$orie des/ormes di//~rentielles harmoniques. Se-

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(Re~u le 5 septembre 1959)

Documents

Formes harmoniques sur une surface deRiemann