This article was downloaded by: [University of Waterloo]On: 06 September 2013, At: 07:55Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: Mortimer House,37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

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Générateurs et Certaines Relations D'une Algèbre Pré-Lie sur les Arbres EnracinésAbdellatif Saïdi a & Ridha Chatbouri aa Faculté des Sciences de Monastir , Monastir , TunisiePublished online: 25 Aug 2013.

To cite this article: Abdellatif Saïdi & Ridha Chatbouri (2013) Générateurs et Certaines Relations D'une Algèbre Pré-Lie sur lesArbres Enracinés, Communications in Algebra, 41:11, 4033-4045, DOI: 10.1080/00927872.2012.699574

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Communications in Algebra®, 41: 4033–4045, 2013Copyright © Taylor & Francis Group, LLCISSN: 0092-7872 print/1532-4125 onlineDOI: 10.1080/00927872.2012.699574

GÉNÉRATEURS ET CERTAINES RELATIONS D’UNEALGÈBRE PRÉ-LIE SUR LES ARBRES ENRACINÉS

Abdellatif Saïdi et Ridha ChatbouriFaculté des Sciences de Monastir, Monastir, Tunisie

Soit K un corps de caractéristique zéro. Une algèbre pré-Lie à gauche est un K-espacevectoriel muni d’un produit � tel que X � �Y � Z�− �X � Y� � Z = Y � �X � Z�− �Y �X� � Z. Dans cet article, on construit un produit noté � sur l’espace vectoriel � ′

engendré par les arbres enracinés qui contiennent au moins une arête: On montre toutd’abord que �� ′��� est une algèbre pré-Lie à gauche engendrée par deux générateurs.Puis on montre que cette algèbre n’est pas libre en donnant deux familles non trivialesde relations.

In this paper, K is a field of characteristic zero. A left pre-Lie algebra is a K-vectorspace with product � such that X � �Y � Z�− �X � Y� � Z = Y � �X � Z�− �Y � X� � Z.In this paper, we construct a product denoted by � on the vector space � ′ spannedby the rooted trees :we show first that �� ′��� is a pre-Lie algebra spanned by twogenerators. Finally, we show that the pre-lie algebra �� ′��� is not free, by giving twofamilies of relations.

Mots clé: Algèbres pré-Lie; Algèbre pré-Lie libre; Arbres enracinés; Produit de Butcher.

Classification MSC (2000): 16W30; 05C05; 17D25; 18D50.

1. ALGÈBRES PRÉ-LIE

Définition 1. Une algèbre pré-Lie à gauche ou algèbre de Vinberg [1] est un couple�A� �� où A est un K-espace vectoriel et � � A× A −→ A application bilinéaire avecles compatibilités suivantes:

X � �Y � Z�− �X � Y� � Z = Y � �X � Z�− �Y � X� � Z� ∀ X� Y� Z ∈ A� (1)

De même, une algèbre pré-Lie à droite est un couple �A� �� où A est un K-espacevectoriel et � une application bilinéaire tel que

X � �Y � Z�− �X � Y� � Z = X � �Z � Y�− �X � Z� � Y� ∀ X� Y� Z ∈ A� (2)

Received April 10, 2012; Revised May 10, 2012. Communicated by A. Elduque.Address correspondence to Abdellatif Saïdi, Faculté des Sciences de Monastir. Avenue de

l’environnement 5019 Monastir, Tunisie; E-mail: Abdellatif.Saidi@fsm.rnu.tn

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Remarque 1. Si �A� �� est une algèbre pré-Lie à gauche, alors l’algèbre opposée�A� �op� est une algèbre pré-Lie à droite, où pour tout X� Y ∈ A on a:

X �op Y = Y � X�

Proposition 2. Soit �A� �� une algèbre pré-Lie. Alors le crochet suivant:

�X� Y� = X � Y − Y � X�

défini un crochet de Lie sur A.

Preuve. Ce crochet est évidemment antisymétrique. On vérifie facilement Jacobi.�

Exemples 1.

1. Les algèbres associatives sont des algèbres pré-Lie.2. Soit W = K�x1� � � � � xn�� �i = �

�xiet A l’espace vectoriel engendré par

�U�i� U ∈ W � i ∈ 1� � � � � n��

On définit

U�i � V�j = U�i�V��j�

On vérifie facilement que �A� �� est pré-Lie à gauche.

Définition 2. Soit V un espace vectoriel. On définit l’algèbre pré-Lie libre sur Vnotée PL�V� par la propriété universelle suivante: il existe i � V ↪→ PL�V� tel quepour toute algèbre pré-Lie A et toute application linéaire f � V −→ A il existe ununique morphisme d’algèbres pré-Lie f̃ � PL�V� −→ A tel que le diagramme suivantcommute:

2. L’ALGÈBRE PRÉ-LIE DE GREFFE SUR LES ARBRES ENRACINÉS

Dans ce paragraphe, on va donner l’exemple fondamental des algèbres pré-Lie: L’espace des arbres enracinés muni de la greffe [3].

Définition 3. Un arbre enraciné est un graphe connexe et simplement connexe,muni d’un sommet particulier dit racine de l’arbre.

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ALGÈBRE PRÉ-LIE ARBRES ENRACINÉS 4035

On dessine souvent les arbres enracinés avec la racine en bas.Soit T l’ensemble des arbres enracinés:

Soit � = vect�T�.

Définition 4. On définit un produit sur T noté → appelé produit de greffe [5] par

t → t′ = ∑s sommet de t’

greffe de t sur s�

Par exemple,

On va étendre linéairement ce produit dans � .

Proposition 3. L’espace �� �→� est une algèbre pré-Lie à gauche [3–5].

On obtient le résultat connu [3, 4] suivant.

Théorème 4. L’algèbre pré-Lie libre à un seul générateur est l’algèbre pré-Lie degreffe �� �→�.

3. UNE AUTRE ALGÈBRE PRÉ-LIE SUR LES ARBRES ENRACINÉS

Pour tout n ∈ �∗, T ′n désigne l’ensemble des arbres qui contiennent n arêtes.

Soit T ′ l’ensemble des arbres enracinés qui contiennent au moins une arête. Soit� ′ = vect�T ′�� donc � ′ = ⊕

n≥1 �′n où � ′

n = vect�T ′n�.

Définition 5. Pour s� t ∈ T ′,

s � t = ∑v∈v�t�

s �v t�

où s �v t est l’arbre obtenu en fusionnant la racine de s au sommet v de t. On étendulinéairement ce produit sur � ′ [2, 7].

Remarque 5. Ce produit provient de l’opérade NAP (non associativepermutative) [6].

Exemples 2.

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Definition 6. On définit le produit de fusion de deux arbres t1 et t2 par t1 × t2 quiest l’arbre obtenu en fusionnant les racines de t1 et t2.

Exemples.

Notation. Pour tout p ∈ �∗, on désigne par Ep l’echelle à p arêtes et par Cp lacouronne à p arêtes.

On introduit les deux familles d’arbres suivantes:

1) Tn�p = Ep × Cn−p.2) Vn�p = Ep × E2 × Cn−p−2. On remarque que Tn�2 = Vn�1 et Tn�1 = Cn.

Exemple 1.

Proposition 6. L’algèbre �� ′��� est une algèbre pré-Lie à gauche.

Preuve. Soient s� t� u ∈ T ′, on a

u � �s � t� = ∑v∈v�t�

∑w∈v�s�vt�

u �w �s �v t�

= ∑v∈v�t�

∑w∈v�t�

u �w �s �v t�

+ ∑v∈v�t�

∑w∈v�s�

u �w �s �v t�

− ∑v∈v�t�

�u× s� �v t�

or

�u � s� � t = ∑v∈v�s�

∑w∈v�t�

�u �v s� �w t�

Ainsi u � �s � t�− �u � s� � t = ∑v∈v�t�

∑w∈v�t� u �w �s �v t�−

∑v∈v�t� �u× s� �v t.

On remarque que dans les expressions précédentes il y a une symétrie en u ets, ce qui montre que l’algèbre �� ′��� est une algèbre pré-Lie à gauche. �

Lemme 7. Soit n ≥ 2. Pour tout t ∈ T ′n, il existe �t ∈ � tel que

t = ∑t′ � t′′ + �tCn� (3)

où, dans chaque terme de la somme, t′ ∈ � ′p et t′′ ∈ � ′

q avec p ≥ 1� q ≥ 1 et p+ q = n.

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ALGÈBRE PRÉ-LIE ARBRES ENRACINÉS 4037

Preuve. La démonstration se fait par récurrence sur n.

1) Pour n = 2, on a or

Ainsi ∀t ∈ T ′2, t vérifie (3).

2) Soit n ≥ 2, on suppose que pour tout l ∈ 2� � � � � n− 1, pour tout t ∈ T ′l , il existe

�t ∈ � tels que

t = ∑�t�

t′ � t′′ + �tCl�

(où, dans chaque terme de la somme, t′ ∈ � ′p et t′′ ∈ � ′

q avec p+ q = l), etmontrons que la propriété (3) est vérifiée pour tout t ∈ T ′

n.

Soit t ∈ T ′n, montrons que t vérifie (3) par récurrence décroissante sur la

valence de la racine dans T ′n.

a) Dans T ′n, valence= n est atteinte par la couronne Cn.

− Dans T ′n, valence= n− 1 atteinte par E2 × Cn−2, or

E2 × Cn−2 =1

n− 1E1 � Cn−1 −

1n− 1

Cn�

ce qui prouve que E2 × Cn−2 vérifie (3).

Soit t ∈ T ′n. Il existe t1� � � � � tk arbres tels que t = B+�t1� � � � � tk�.

b) Si k ≥ 2, soit i0 ∈ 1� � � � � k tel que ti0 contient au moins deux sommets. Quitteà permuter on peut supposer que t1 contient au moins deux sommets.Etape 1.

t = t1 � B+�•� t2� � � � � tk�− t1 × B+�•� t2� � � � tk�

−k∑

j=2

B+�•� t2� � � � � t1 � tj� � � � tk��

Le terme B+�•� t2� � � � � tk� appartient à T ′p où p < n, ainsi d’après l’hypothèse de

récurrence sur le degré on a

B+�•� t2� � � � � tk� =∑

s1 � s2 + Cp� ∈ ��

Par suite t1 � B+�•� t2� � � � � tk� =∑

t1 � �s1 � s2�+ �t1 � Cp�� De même pourtout j ∈ 2� � � � � k� t1 × B+�•� t2� � � � � t1 � tj� tj+1� � � � � tk� vérifie l’équation (3)(hypothèse de récurrence décroissante sur la valence de la racine). Il reste le terme

k∑j=2

B+�•� t2� � � � � t1 � tj� tj+1� � � � � tk��

on va le traiter dans l’étape 2 suivante

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Etape 2. Soit j ∈ 2� � � � � k. On a

B+�•� t2� � � � � t1 � tj� tj+1� � � � � tk�

= 12�t1 � tj� � B+�•� t2� � � � � •� tj+1� � � � � tk�

− 12�t1 � tj�× B+�•� t2� � � � � •� tj+1� � � � � tk�

− 12

k∑i=2�i �=j

B+�•� t2� � � � � �t1 � tj� � ti� · · · •� tj+1� � � � � tk�

Les deux premiers termes vérifient (3) pour la même raison que dans l’étape 1.On réordonne les branches

B+�•� t2� � � � � �t1 � tj� � ti� � � � � •� tj+1� � � � � tk� = B+�•� •� t2� � � � � �t1 � tj� � ti� � � � � tk��

En réitérant la procédure autant de fois que nécessaire, on aboutit à la fin auterme B+�•� � � � � •� = Cn, ce qui prouve le résultat.

c) Si t = B+�t1�. Comme

on procède comme quand k ≥ 2.

Théorème 8. Pour tout n ≥ 1:

1) D’une part on a:

En = A+ �nCn�

où A est une expression qui s’écrit à l’aide de � et des arbres de degré strictementplus petit que n et �n est un coefficient rationnel. On trouvera exactement

En = En−1 � E1 +∑

k+j=n

�−1�j−1

j! Ek � Cj +�−1�n−1

�n− 1�!Cn�

2) Et d’autre part on a

En = B + nCn�

où B est une expression qui s’écrit à l’aide de � et des arbres de degré strictementplus petit que n et n = �−1�n−1n�n−1�

2�n−1�! � Par suite on obtient que pour tout n ≥ 3� �n �= n. Ce qui nous donne

∀n ≥ 3� Cn =A− B

n − �n�

Preuve. La démonstration de ce théorème nécessite les deux lemmes suivants. �

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Lemme 9. Pour tout n ≥ 2 et tout p ∈ 1� � � � � n, on a

Tn�p = C + �−1�p−1�n− p�!�n− 1�! Cn�

où C est une expression qui s’écrit à l’aide de � et d’arbres de degré strictement pluspetit que n.

Preuve. On a

Tn�p =1

n− p+ 1�Ep−1 � Cn−p+1 − Tn�p−1��

Ainsi une démonstration par récurrence sur p nous donne

Tn�p = C + �−1�p−1�n− p�!�n− 1�! Cn�

�

Lemme 10. Pour tout n ≥ 3 et tout p ∈ � tel que n− p− 2 ≥ 0, on a

Vn�p = D + �−1�p�n− p− 2�!�np− p�p+1�2 − 1�

�n− 1�! Cn�

où D est une expression qui s’écrit à l’aide de � et d’arbres de degré strictement pluspetit que n.

Preuve. On a

Vn�p =1

�n− p− 1�

(Ep−1 � Tn−p+1�2 − Tn�p+1 − B+�Tp�p−1�× Cn−p−1 − Vn�p−1

)

or

B+�Tp�p−1�× Cn−p−1 =1

�n− p�

(Tp�p−1 � Cn−p − Tn�p−1

)

= · · · + �−1�p+1�n− p+ 1�!�n− p��n− 1�! Cn�

où “· · · ” est une expression qui s’écrit à l’aide de � et d’arbres de degré strictementplus petit que n. Par suite,

Vn�p = · · · + �−1�p+1�n− p− 2�!�n− 1�! Cn

+ �−1�p�n− p+ 1��n− p− 2�!�n− 1�! Cn −

1�n− p− 1�

Vn�p−1

= · · · + �−1�p�n− p− 2�!�n− 1�! �n− p�Cn −

1�n− p− 1�

Vn�p−1�

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De même on trouve

Vn�p−1 = · · · + �−1�p−1�n− p− 1�!�n− p+ 1��n− 1�! Cn −

1�n− p�

Vn�p−2�

Par itération, on obtient

Vn�2 = · · · + �n− 4�!�n− 2��n− 1�! Cn −

1�n− 3�

Vn�1�

Or Vn�1 = Tn�2 = · · · + −1�n−1�Cn.

Ainsi

Vn�p = · · · + �−1�p�n− p− 2�!�n− p�

�n− 1�! Cn −1

�n− p− 1�Vn�p−1

= · · · + �−1�p�n− p− 2�!�n− p�

�n− 1�! Cn

− 1�n− p− 1�

(�−1�p−1�n− p− 1�!�n− p+ 1�

�n− 1�! Cn −1

�n− p�Vn�p−2

)�

Par suite par récurrence on montre que

Vn�p = Dn +�−1�p�n− p− 2�!

�n− 1�! �np− p�p+ 1�2

− 1�Cn�

où Dn est une expression qui s’écrit à l’aide de � et des arbres de degré strictementplus petit que n. �

Démonstration du théorème (suite).

1) On a

En = En−1 � E1 − Tn�n−1

= A+ �−1�n−1

�n− 1�!Cn

(A l’aide d’un calcul simple on peut montrer que A = En−1 � E1 +∑k+j=n

�−1�j−1

j! Ek � Cj).2) On a

En = En−2 � E2 − B+�Tn−1�n−2�− En−2 × E2 or:

B+�Tn−1�n−2� = Tn−1�n−2 � E1 − Tn�n−2�

et

En−2 × E2 = En−3 × T3�2 − B+�Tn−2�n−3�× E1 − Vn�n−3 − Tn�n−1

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De même,

B+�Tn−2�n−3� =12�Tn−2�n−3 � C2 − Tn�n−3��

Ainsi

En = Bn +�−1�n−1n�n− 1�

2��n− 1�!� Cn�

où Bn est une expression qui s’écrit en fonction de � et d’arbres de degréstrictement plus petit que n.

Par suite l’égalité �n = n s’obtient si et seulement si n = 2.Par suite si n ≥ 3, on trouve

Cn =An − Bn

n − �n�

�

Corollaire 11. Pour tout n ≥ 3� n ∈ �, et pour tout t ∈ T ′n on a

t = ∑t′ � t′′� (4)

où, dans chaque terme de la somme, t′ ∈ � ′p et t′′ ∈ � ′

q avec p ≥ 1� q ≥ 1 et p+ q = n.

Remarque 12. On peut remarquer que l’algèbre pré-Lie �� ′��� n’est pasmonogène. Si elle était, pour des raisons de graduation elle serait engendrée parOr la sous-algèbre pré-Lie engendrée par ne contient pas car

On obtient alors le théorème suivant.

Théorème 13. L’algèbre �� ′��� est engendrée par les deux générateurs et .

Preuve. Une simple récurrence sur n (nombres d’arêtes), en utilisant l’équation (4)on trouve le résultat. �

4. RELATIONS DANS ���� ′��� AUTRES QUE LES RELATIONS PRÉ-LIE

Dans cette paragraphe, on montre que �� ′��� n’est pas libre en déterminantdeux familles non triviales de relations.

On désigne par T •�� l’ensemble des arbres enracinés à sommet noir ou blanc.Soit � •�� l’espace vectoriel engendré par les arbres à sommets blancs ou noirs.L’espace � •�� muni de produit de greffe “→” est une algèbre pré-Lie libre engendréepar les deux générateurs • et � qui sont respectivement l’ arbre à un seul sommetnoir et l’arbre à un seul sommet blanc [3, 4].

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Soit alors � l’unique morphisme d’algèbres pré-Lie de �� •���→� dans �� ′���

tels que

Remarque 14. D’après théorème 13, � est surjective. Les relations dans �� ′���

sont le noyau de �.

Définition 7. Soient t1� � � � � tk k arbres dans T •��, On définit:

1) L’opérateur de greffe sur un sommet noir noté B•+, par B

•+�t1� � � � � tk� �= l’arbre

obtenu en greffant les arbres t1� � � � � tk sur le même sommet noir •.2) L’opérateur de greffe sur un sommet blanc noté B�

+, par B�+�t1� � � � � tk� �= l’arbre

obtenu en greffant les arbres t1� � � � � tk sur le même sommet blanc �.

Définition 8. On définit le produit de Butcher de deux arbres t1 et t2 par

t1 � t2 = B•+�t1�× t2�

où “×” est le produit de fusion.

Lemme 15. Pour tout s� t� u ∈ T •��, on a

s � �t � u� = �s � t� � u+ t � �s � u�� (5)

Preuve. Un calcul simple nous donne le résultat [7]. �

Lemme 16. Pour tout s� t ∈ T •��, si on désigne par T = ��t� et S = ��s� �S� T sontdeux sommes finies d’arbres), alors on a

��B•+�s� t�� = T � S + S � T�

Preuve. Soient s� t ∈ T •��, comme B•+�s� t� = s → �t → •�− �s → t� → •, alors

Dans le passage de deuxième égalité à la troisième égalité, on a utilisé le Lemme 15.�

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Théorème 17.

1. Pour tout s� t� u ∈ T •��, on a:

B•+�t� u� s� ∈ ker��

2. Tout arbre t dont un sommet noir possède au moins trois branches est dans le noyaude �.

Preuve. 1. Soient t� s� u trois arbres dans T •��. On note par S = ��s�� T =��t� et U = ��u�. On a:

B•+�t� s� u� = t → B•

+�u� s�− B•+�t → u� s�− B•

+�u� t → s�� (6)

donc

��B•+�t� s� u�� = ��t� � ��B•

+�u� s��− ��B•+�t → u� s��− ��B•

+�u� t → s��

= T � �U � S + S � U�− �T � U� � S − S � �T � U�

− U � �T � S�− �T � S� � U

= 0�

On a utilisé les Lemmes 15 et 16.

2. Ce résultat est une conséquence immédiate de 1. �

Théorème 18.

1. Pour tout s� t� u� v arbres dans T •��, on a

B�+�s� t� u� v� ∈ ker�� (7)

2. Pour tout arbre t qui contient un sommet blanc dont sort quatre branches, t ∈ ker�.

Preuve. La démonstration de ce théorème est une conséquence immédiate dulemme suivant.

Lemme 19.

1. Pour tout s� t ∈ T •��, on a

où T = ��t� et S = ��s�.

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4044 SAÏDI AND CHATBOURI

2. Pour tout s� t� u ∈ T •��, on a

où S = ��s�� T = ��t� et U = ��u�.

Preuve. 1. Soit s� t ∈ T •��. On note T = ��t� et S = ��s�� Comme:

B�+�s� t� = s → B�

+�t�− B�+�s → t�

= s → �t → ��− �s → t� → ��

Ainsi:

2. Soient s� t� u ∈ T •��. On note par S = ��s�� T = ��t� et U = ��u�. Comme:

B�+�s� t� u� = u → B�

+�s� t�− B�+�u → s� t�− B�

+�s� u → t��

on applique �, puis en utilisant 1, on trouve le résultat. �

Suite (démonstration du Théorème 18).Soient s� t� u� v ∈ T •��. On a

B�+�s� t� u� v� = v → B�

+�s� t� u�− B++�v → s� t� u�− B�

+�s� v → t� u�− B�+�s� t� v → u��

(8)

On applique le Lemme 19 et en utilisant le fait que � est un produit pré-Lie, onmontre que B�

+�s� t� u� v� ∈ ker�. �

Remarque 20. Le morphisme � est homogène de degré zéro, i.e., la graduationdans T •�� est la suivante: un sommet noir est de poids 1, un sommet blanc est depoids 2. Dans � ′ la graduation est donnée par le nombre d’arêtes. Pour tout n ∈ �∗,on note par �n � �

•��n → � ′

n , où � •��n désigne l’espace des arbres à sommets noirs ou

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ALGÈBRE PRÉ-LIE ARBRES ENRACINÉS 4045

blancs de poids n. On obtient que:

1. �1� �2 et �3 sont des isomorphismes;2. ker�4 est engendré par un seul élement qui est la couronne C3;3. dim

(ker�5

) = 7. On est arrivé à déterminer 4 éléments, mais les trois autressont combinaisons des arbres à sommets noirs ou blancs, qui n’est pas simpleà le décrire comme les deux familles de relations déterminées dans la sectionprécédente.

REMERCIEMENTS

Nous remercions vivement Dominique Manchon pour ces discussions, ainsique le referee pour ses remarques et ses suggestions pertinentes qui nous ont permisd’apporter de nombreuses améliorations au texte.

REFERENCES

[1] Agrachev, A. A., Gamkrelidze, R. V. (1981). Chronological algebras and nonstationaryvector fields. J. Sov. Math 17:1650–1675.

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[6] Livernet, M. (2006). A rigidity theorem for pre-Lie algebras. J. Pure Appl. Alg. 207:1–18.[7] Manchon, D., Saïdi, A. (2011). Lois pré-Lie en interaction. Communications in Algebra

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