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Génie alimentaire
Auteur(s) JEANTET Romain
Date de création du document
Table des matières
I Introduction : De l'intérêt de l'étude des transferts......................................................................7
II Définitions........................................................................................................................................9
II.1 Les différents modes de transfert........................................................................................... 9
II.2 Régimes transitoire et stationnaire.......................................................................................10
II.3 Grandeurs extensives et intensives - bilans..........................................................................11
II.4 Unités.......................................................................................................................................12
III Transferts par conduction.......................................................................................................... 13
III.1 Transferts de chaleur : loi de Fourier.................................................................................13
III.1.1 Loi de Fourier................................................................................................................13
III.1.2 Etablissement du régime stationnaire dans une plaque infinie................................ 13
III.1.3 Transfert de chaleur dans une plaque infinie en régime stationnaire.....................14
III.1.4 Transfert de chaleur dans une plaque composite en régime stationnaire...............15
III.1.5 Transfert de chaleur en régime non stationnaire...................................................... 16
III.2 Transferts de matière : loi de Fick......................................................................................18
III.2.1 Loi de Fick..................................................................................................................... 18
III.2.2 Transfert de matière dans une plaque infinie en régime transitoire.......................19
III.2.3 Transfert de matière dans une plaque infinie en régime stationnaire..................... 20
III.3 Transferts de quantité de mouvement................................................................................21
III.3.1 Loi de Newton................................................................................................................21
III.3.2 Analogie entre transferts..............................................................................................23
III.3.3 Application au calcul des écoulements dans les conduites en régime laminaire : Loi
de Poiseuille................................................................................................................................23
IV Transferts par convection...........................................................................................................26
IV.1 Introduction à la similitude géométrique et physique : l'expérience de Reynolds.........26
IV.2 Intérêt de la similitude..........................................................................................................26
2
IV.3 Similitude totale.................................................................................................................... 28
IV.4 Similitude partielle................................................................................................................30
IV.4.1 Invariants de similitude dans le domaine de la dynamique...................................... 30
IV.4.2 Invariants de similitude dans le domaine énergétique.............................................. 31
IV.5 Analyse dimensionnelle........................................................................................................ 32
IV.5.1 Théorème Pi...................................................................................................................32
IV.5.2 Déplacement d'une sphère dans un fluide sous l'action d'une force........................ 33
IV.5.3 Perte de charge dans une conduite cylindrique..........................................................34
IV.5.4 Détermination des coefficients de transfert de chaleur............................................. 37
3
Présentation
Les caractéristiques du module Ce module présente les lois fondamentales associées aux transferts de chaleur, de matière et de quantité de mouvement et leur résolution en mode conductif. Il présente notamment les coefficients de facilité associés, et permet d’introduire la notion de facteur limitant les transferts. Enfin, une introduction aux méthodes et similitude et d’analyse dimensionnelle qui permettent d’accéder aux coefficients de facilité en mode convectif, est proposée. La dernière partie est consacrée à des exercices corrigés, qui permettent à l’apprenant de s’approprier ces notions essentielles.
Les finalités et objectifs A l’issue de ce module, l’étudiant ou le stagiaire sera capable de :
● Utiliser de façon rigoureuse les lois de transfert (chaleur, matière et quantité de mouvement) dans le cadre du système international d’unités ;
● D’aborder les méthodes de similitude et analyse dimensionnelle ;
● De mettre en œuvre des bilans rigoureux d’énergie et de matière.
Le contenu du cours 1. Intérêt de l’étude des transferts
2. Définition - Mode de transferts - Régime transitoire et stationnaire - Grandeurs extensives et intensives – Bilans - Unités (unités primaires, règles d’écriture, analyse dimensionnelle)
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3. Transfert par conduction - Transfert de chaleur : Loi de Fourier - Transfert de matière : Loi de Fick - Transfert de quantité de mouvement : Loi de Newton
4. Transfert par convection - L’expérience de Reynolds - Intérêt de similitude et similitude géométrique - Similitude totale - Similitude partielle - Analyse dimensionnelle
5. Exercices - Paroi d’échange de chaleur - Viscosimétrie - Chauffage du lait par tube à passage de courant
Les ressources d'apprentissage Vous disposez dans ce module :
Sur la page d’accueil de la plate forme Moodle
● Une boîte aux lettres
● Un forum
● Un chat
● L’accès au cours
● L’accès à un lexique spécialisé
Dans la partie cours
● La présentation du module, document que vous lisez actuellement,
● Un cours (bouton « Cours »),
● La description de l'ensemble des activités proposées dans ce module accessible par le bouton « Activités »,
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● Un glossaire accessible par le bouton « Glossaire » reprenant les termes essentiels du cours,
● Des ressources associées au cours accessibles par le bouton « Ressources » et comprenant : une bibliographie, une « webographie » qui reprend les sites Internet mentionnés dans le cours, une table des illustrations,
● Une aide pour présenter les différents tuteurs à votre disposition,
● La possibilité d'imprimer le cours en format PDF,
● La possibilité d'imprimer les illustrations soit à partir de la « Table des illustrations » accessible par le bouton « Ressources », soit à partir du cours à l'ouverture de l'illustration.
L'encadrement Durant toute la durée du module, un tuteur sera disponible pour vous guider dans votre parcours d’apprentissage. Ce tuteur peut vous aider à résoudre des problèmes relatifs aux cours, clarifier un point de méthodologie, effectuer avec vous un suivi individuel de vos activités. Il prend également en charge l’animation du forum ainsi que les corrections et l’évaluation de vos travaux.
Les créditsAuteur : Romain JEANTET, Enseignant chercheur en génie des procédés et technologie laitière, Agrocampus Ouest. Scénarisation : Equipe des auteurs du module,Equipe d’Ingénierie du CIRM-Université de Rennes 1. Production : Equipe de production du CIRM – Université de Rennes 1.
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I INTRODUCTION : DE L'INTÉRÊT DE L'ÉTUDE DES TRANSFERTS
La transformation des matières premières d'origine agricole en produits finis alimentaires peut être analysée de différentes manières. La première consiste à aborder ces diverses transformations par filière, en établissant pour chacune d'elle une monographie des différentes opérations réalisées. Cette vision des choses est rapidement redondante, dans la mesure où l'on retrouve les mêmes opérations unitaires dans différentes filières.
EXEMPLE
Peu de choses, à l'exception des caractéristiques du produit ou du type de matériel utilisé, différencient une pasteurisation en brasserie ou en laiterie, une concentration en laiterie ou en sucrerie, ou encore l'extraction par de l'eau du sucre d'une betterave de l'extraction par un solvant de la matière grasse d'un tourteau d'oléagineux.
Ces redondances peuvent être limitées dans une deuxième approche, qui consiste à étudier ces différentes transformations par opérations élémentaires (dites encore opérations unitaires), telles que la filtration, la centrifugation, la pasteurisation ou le séchage. Cependant, cette approche peut également être rationalisée, car ces opérations unitaires sont fondamentalement liées à trois types d'échanges (qualifiés encore de transferts) résultant de l'écart d'une grandeur physique (température, concentration ou vitesse) entre deux endroits du système considéré : transferts de chaleur (déplacement d'énergie thermique d'un point chaud vers un point froid), transferts de matière (déplacement de matière d'un point concentré vers un point dilué) et transferts de quantité de mouvement (déplacement de quantité de mouvement d'un point animé d'une vitesse donnée vers un point animé d'une vitesse inférieure).
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EXEMPLE
● Les transferts de chaleur ont un rôle prépondérant dans les opérations élémentaires de pasteurisation, de stérilisation ou de concentration ;
● Les transferts de matière régissent principalement les opérations d'extraction par diffusion.
Cependant, les transferts sont souvent couplés et interdépendants : par exemple, dans une opération de séchage, le transfert de chaleur est à l'origine du transfert de matière du produit concerné vers son environnement.
Il apparaît donc comme essentiel d'aborder le génie des procédés par une étude préalable de ces transferts, qui seront appliqués aux différentes opérations unitaires. Ces mêmes opérations unitaires, enchaînées, constitueront les processus de fabrication des aliments.
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II DÉFINITIONS
II.1 LES DIFFÉRENTS MODES DE TRANSFERT
On distingue trois modes de transfert :
● Par conduction (dits encore par diffusion) 1 : dans ce cas, la matrice dans laquelle se fait le transfert peut être considérée comme immobile dans la direction de celui-ci.
EXEMPLE
Le transfert de chaleur dans un solide est de facto de type conductif, dans la mesure où la matrice n'autorise aucun déplacement relatif d'élément de matière. Dans un liquide, un transfert peut être de type conductif si l'énergie est transférée par agitation moléculaire, à l'exclusion de tout déplacement d'éléments liquides dans la direction du transfert ;
● Par convection 2 : dans ce cas, le transfert est assuré par le déplacement d'une partie de la matrice qui transporte une quantité de chaleur, de matière ou de quantité de mouvement d'un point à un autre.
EXEMPLE
Le chauffage central est de type convectif à deux plans : la chaleur produite par la chaudière est transportée vers les radiateurs par la circulation forcée de l'eau dans les conduites, et des radiateurs vers le local par déplacement convectif d'air ;
1
2
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● Par rayonnement 3 : ce type de transfert, qui est spécifique aux transferts de chaleur, se fait par propagation d'une onde électromagnétique et ne nécessite pas de support matériel.
EXEMPLE
Le dorage de produits alimentaires peut être réalisé par rayonnement infrarouge.
IMPORTANT
Ces trois modes de transfert peuvent coexister. Le rayonnement peut être considéré comme dominant dans les cas de très hautes températures, car il est proportionnel à la puissance 4 de la température absolue. Cependant, dans la majorité des cas en industrie alimentaire, les températures mises en oeuvre (entre -20 °C et +150 °C) sont faibles et le rayonnement peut être négligé par rapport aux deux autres modes de transfert ; seuls ceux-ci retiendront donc notre attention dans ce module.
II.2 RÉGIMES TRANSITOIRE ET STATIONNAIRE
En général, dans un système, les grandeurs physiques varient d'un point à un autre et, en un point donné, varient au cours du temps. Ce système est en régime non stationnaire (encore appelé régime transitoire). Cependant, si le milieu extérieur au système est invariant, le système tend, au bout d'un temps variable qui le caractérise, vers un état d'équilibre tel qu'en tout point les grandeurs physiques deviennent invariantes dans le temps. Un tel système a alors atteint un régime stationnaire (encore appelé régime permanent). Si G désigne une grandeur physique quelconque en un point du système, le régime stationnaire est caractérisé par :
3
10
IMPORTANT
Le régime stationnaire n'exclue pas que la grandeur G varie d'un point à un autre du système considéré, c'est à dire qu'il existe des variations de G en fonction de la position (encore appelées gradient de G).
II.3 GRANDEURS EXTENSIVES ET INTENSIVES - BILANS
On distingue deux types de grandeurs physiques :
● Les grandeurs extensives (encore appelées extensités) : il s'agit des grandeurs physiques additives par rapport à la masse, telles que la masse (kg), les quantités de chaleur ou l'enthalpie (J), ou encore la quantité de mouvement (kg.m.s-1) ;
● Les grandeurs intensives (encore appelées potentiels) : ces grandeurs physiques ne sont pas additives par rapport à la masse, c'est à dire qu'elles sont indépendantes de la quantité de matière considérée et sont définies ponctuellement. On peut citer par exemple la température (K), la vitesse (m.s-1), la pression (Pa), la concentration (kg.kg-1) ou le potentiel électrique (V).
Les systèmes physiques échangent de l'extensité en tendant vers l'égalité de leur potentiel. Ainsi, dans une tasse de café où l'on jette un sucre, le facteur de potentialité est la concentration en sucre, nulle dans le café et très forte dans le morceau de sucre au départ. Le système [café + morceau de sucre] va tendre vers un état où la concentration en sucre sera égale en tous points par migration du sucre des zones les plus concentrées vers les zones les moins concentrées, et de l'eau des zones les moins concentrées vers les zones les plus concentrées. Un tel système sera alors qualifié d'homopotentiel.
IMPORTANT
Une démarche souvent fructueuse dans l'étude des procédés réside dans l'écriture et la résolution d'équations de bilans qui par définition ont trait aux grandeurs extensives pour un système clairement délimité. L'écriture générale d'un bilan d'extensité pour une durée considérée est la suivante : Efinale = Einitiale + Eentrante + Eproduite - Esortante - Edétruite
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où E désigne la quantité d'extensité.
II.4 UNITÉS
Après de nombreux errements, la communauté internationale se dirige résolument vers l'adoption, dans les faits, du système international d'unités (SI), tel que défini par la norme ISO 1000 : 1992 (F). Cette norme met en oeuvre sept unités primaires pour la mesure des longueurs (m), des masses (kg), des températures (K), du temps (s), des intensités de courant (A), des intensités lumineuses (cd) et des quantités de matière élémentaire (mol). Il est indispensable de se conformer aux règles d'écriture des unités définies dans cette norme :
● Unités issues du nom de personnages historiques : en toutes lettres minuscule (pascal, joule et newton) et symbole majuscule (Pa, J, N) ;
● Autres unités : tout minuscule ;
● Le pluriel n'est jamais utilisé avec les symboles ;
● Ecriture des dimensions : par exemple, la conductibilité thermique s'exprime en W.m-1.K-1, ou éventuellement en W / (m.K), mais pas en W / m / K ou W / m.K.
Cas particulier des unités de concentration : compte tenu de la multiplicité des référentiels possibles, il est impératif d'être précis : % massique et kg.kg-1, % molaire (fraction), kg.m-3, etc.
IMPORTANT
Des unités primaires découlent les dimensions d'un ensemble de grandeurs dérivées, dont par exemple la vitesse (m.s-1), la force (N ; kg.m.s-2), la puissance (W ; J.s-1) ou encore la pression (Pa ; N.m-2). Même si certaines unités hors système sont encore utilisées, voire tolérées (kilowattheure kWh, minute min, etc.), il faut s'astreindre à rester dans le cadre des unités SI primaires et dérivées.
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III TRANSFERTS PAR CONDUCTION
En mode conductif, les vitesses de transfert sont liées aux caractéristiques propres du système considéré et sont directement proportionnelles à la surface d'échange et au gradient de potentiel. C'est la raison pour laquelle on observe une grande analogie entre les équations décrivant les transferts de chaleur, de matière et de quantité de mouvement.
III.1 TRANSFERTS DE CHALEUR : LOI DE FOURIER
III.1.1 Loi de Fourier
La loi de Fourier s'exprime par la relation vectorielle :
est le vecteur de densité de flux de chaleur (W.m-2), c'est à dire la valeur scalaire (dA : surface d'échange élémentaire ; m2) multipliée par le vecteur unitaire normal à la surface isotempérature :
Le facteur de proportionnalité entre densité de flux de chaleur et gradient de température est la conductibilité thermique (W.m-1.K-1), caractéristique du produit considéré. Voici quelques valeurs de utiles dans le secteur laitier : tableaux 1 et 2 Ce document est disponible sur la version en ligne du module de formation..
III.1.2 Etablissement du régime stationnaire dans une plaque infinie
Le modèle géométrique le plus souvent rencontré dans la pratique est celui de la plaque infinie, solide supposé homogène et isotrope, délimité par deux plans parallèles. Ce modèle figure, en particulier, la paroi à travers laquelle s'échange de l'énergie thermique dans un
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échangeur à plaques, qui peut être considérée comme infinie dans la mesure où l'influence des bords est négligeable sur le transfert de chaleur. Dans ce modèle, les surfaces isotempératures ont des plans parallèles aux faces de la plaque
considérée, et l'équation s'intègre alors pour l'ensemble de la surface d'échange A en :
, puissance ou flux de chaleur, se note encore . Si, partant d'une température uniforme , on porte brusquement une face de cette plaque à la température , un transfert de chaleur va avoir lieu sous l'action du gradient de température dans une direction normale à la plaque. Au bout d'un certain temps, le profil de température sera celui représenté sur la figure 1. Si l'on considère
l'équation , la quantité de chaleur dQ qui entre en un intervalle de temps dt dans la tranche d'épaisseur dx au travers de la surface isotempérature à la côte x est de toute évidence supérieure à celle sortant au travers de la surface isotempérature à la côte x+dx. Il s'accumule donc de la chaleur dans cette tranche, ce qui se traduit par une augmentation de la température dans cet élément de plaque. Le phénomène va se poursuivre jusqu'à ce que ce qui rentre en x soit égal à ce qui sort en x+dx, c'est à dire
jusqu'à ce que soit le même pour toutes les surfaces isotempératures ou encore que le profil de température soit linéaire dans la plaque (figure 2). 1
III.1.3 Transfert de chaleur dans une plaque infinie en régime stationnaire
Comme nous venons de le voir, le transfert de chaleur dans une plaque infinie en régime stationnaire se caractérise par un gradient de température linéaire (figure 2). L'expression de s'intègre de la manière suivante :
1
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avec :
d'où :
avec : , appelé coefficient de transfert de chaleur (W.m-2.K-1), permet de caractériser l'aptitude de la plaque à laisser passer la chaleur, puisqu'il intègre à la fois sa conductibilité thermique et son épaisseur.
III.1.4 Transfert de chaleur dans une plaque composite en régime stationnaire
Une paroi est souvent constituée d'une succession de barrières au transfert de chaleur : plaque d'échange elle-même, dépôts encrassants éventuels, couches limites de fluides au contact des surfaces, etc. Le modèle de la plaque composite est donc intéressant compte tenu de ses multiples applications. En régime stationnaire, le flux surfacique est constant et le même dans chacune des sous plaques constituant la plaque composite (figure 3).
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La densité de flux de chaleur est donc proportionnelle à l'écart de température et à un coefficient constant de transfert relatif à l'ensemble des sous plaques que l'on désigne par a (W.m-2.K-1), encore appelé coefficient global de transfert de chaleur, et tel que :
Plus généralement, pour un empilement de i couches successives :
Les termes de la forme sont qualifiés de résistances thermiques. En effet, par analogie avec les résistances électriques, la résistance thermique globale d'un système est la somme des résistances thermiques élémentaires qui le compose.
III.1.5 Transfert de chaleur en régime non stationnaire
Dans l'étude des transferts de chaleur, il est fréquent que l'on néglige la phase de mise en régime pour ne s'intéresser qu'au régime stationnaire : pasteurisateur ou stérilisateur à lait, corps d'évaporation sous vide, etc. Cependant, il est parfois nécessaire d'étudier des transferts en régime transitoire. Un exemple très illustratif concerne le calcul des barèmes de stérilisation, qui se base sur la connaissance de l'évolution de la température au coeur du produit au cours du temps. Afin de simplifier notre approche, nous resterons dans le modèle géométrique de la plaque infinie.
Les conditions initiales sont :
● La totalité de la plaque est à une température uniforme ;
● Au temps 0, on porte brusquement une face à la température , qui sera ensuite supposée constante au cours du temps, l'autre face étant maintenue à ;
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Pour évaluer ce transfert, il suffit de mettre en équation la description qualitative faite au chapitre 3.1.2. La quantité de chaleur qui entre en un intervalle de temps dt dans la tranche d'épaisseur dx au travers de la surface isotempérature à la côte x est :
La quantité de chaleur sortant dans le même intervalle de temps au travers de la surface isotempérature à la côte x+dx est :
La quantité de chaleur qui s'accumule dans cette tranche est donc :
Par ailleurs, cette accumulation de chaleur dans la tranche d'épaisseur dx, de volume , et de masse , se traduit par une variation de température
satisfaisant la relation : étant la chaleur spécifique du produit. Les tableaux 3 et 4 Ce document est disponible sur la version en ligne du module de formation. donnent quelques valeurs
de utiles dans le secteur laitier. D'où, en égalant les expressions : et .
avec : Dq est la diffusivité thermique (m2.s-1).
Cette équation trouve des solutions analytiques pour des formes géométriques simples telles que plaque infinie (figure 4.1), cylindre infini (figure 4.2) ou sphère (figure 4.3), qui sont traduites par des abaques permettant de calculer les transferts de chaleur et les
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évolutions de température qui en découlent. Ces abaques donnent l'évolution de la température réduite en fonction du nombre de Fourier Fo à une position donnée de la forme considérée. et Fo sont des fonctions de la température et du temps, exprimées sous forme adimensionnelle :
où L est une longueur caractéristique de la forme géométrique considérée. L correspond à la demi-épaisseur d'une plaque infinie ou au rayon d'un cylindre infini ou d'une sphère, conventionnellement notés et Rmax, respectivement. A partir de ces abaques, il est également possible de donner l'évolution de la température dans des solides finis constitués par l'intersection de ces formes infinies. Par exemple, une boîte de conserve est considérée comme l'intersection d'une plaque infinie et d'un cylindre infini. Dans ce cas, la température réduite en un point du solide fini est égale au produit des températures réduites au même point dans les solides infinis qui le constitue. Les méthodes de discrétisation du temps et de l'espace offrent des solutions plus générales à la résolution de cette équation. Bimbenet et Loncin B donnent un très bon aperçu de ces méthodes.
III.2 TRANSFERTS DE MATIÈRE : LOI DE FICK
III.2.1 Loi de Fick
La loi de Fick s'exprime par la relation vectorielle :
est le vecteur de densité de flux de matière (kg.s-1.m-2), c'est à dire la valeur scalaire
B Voir bibliographie
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(dA : surface d'échange élémentaire ; m2) multipliée par le vecteur unitaire normal à la surface iso-concentration :
Le facteur de proportionnalité entre densité de flux et gradient de concentration (kg.m-3) est le coefficient de diffusion (m2.s-1), caractéristique du système considéré. Le tableau suivant Ce document est disponible sur la version en ligne du module de formation. donne quelques valeurs de utiles dans le secteur laitier.
On remarquera l'analogie existant entre les équations et
1 La loi de Fourier décrit l'échange de quantité de chaleur sous l'action d'un gradient de température, et la loi de Fick l'échange de quantité de matière sous l'action d'un gradient de concentration. En d'autres termes, il suffit de remplacer Q par m, par et par C pour passer de l'équation de Fourier à celle de Fick.
IMPORTANT
Il en découle une totale similitude dans l'intégration des lois de Fourier et de Fick en régime transitoire et stationnaire pour une géométrie donnée.
III.2.2 Transfert de matière dans une plaque infinie en régime transitoire
La quantité de matière dm qui entre en un intervalle de temps dt dans la tranche d'épaisseur dx au travers de la surface isoconcentration à la côte x est de toute évidence supérieure à celle sortant au travers de la surface isoconcentration à la côte x+dx (figure 5). Il s'accumule donc de la matière dans cette tranche, ce qui se traduit par une augmentation de la concentration dans cet élément de plaque. Le phénomène se poursuit jusqu'à ce que ce le profil de concentration soit linéaire dans la plaque.
1 Cf : 3.1. Transferts de chaleur : loi de Fourier
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Pour traiter ce cas de figure, analogue à celui du transfert de chaleur en régime transitoire (cf 3.1.5), il suffit de remplacer dans le développement d'équations Φq par Φm, λ par et
par dans les équations et . On obtient finalement :
Les solutions de cette équation appliquée à des formes géométriques simples sont communes à celles de la loi de Fourier. En conséquence, les abaques des figures 4.1, 4.2 et 4.3 permettent d'accéder à la concentration réduite à un temps (valeur de Fo) et une position donnée pour chacune des formes géométriques considérées. Transferts de chaleur ou de matière non stationnaires dans une plaque infinie : Transferts de chaleur ou de matière non stationnaires dans un cylindre infini : Transferts de chaleur ou de matière non stationnaires dans une sphère :
III.2.3 Transfert de matière dans une plaque infinie en régime stationnaire
Ce cas, analogue à celui développé au chapitre 3.1.2 pour le transfert de chaleur dans une plaque infinie en régime stationnaire, se caractérise par un gradient de concentration linéaire (figure 6).
L'équation s'intègre alors de la manière suivante :
avec ΔC = C1-C0 >0 D'où :
avec :
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est appelé coefficient de transfert de masse (m.s-1).
III.3 TRANSFERTS DE QUANTITÉ DE MOUVEMENT
Dans ce cas, la notion de mode conductif s'assimile à un transport de quantité de mouvement par frottement de couche en couche perpendiculairement à celles ci, à l'exclusion de transferts d'éléments liquides dans ce sens. Ce type d'écoulement, qualifié de laminaire, peut s'illustrer dans le cas d'une conduite cylindrique par le déploiement des différents segments d'une antenne de radio, chaque segment figurant une couche de liquide en frottement sur les deux couches adjacentes. Le régime d'écoulement laminaire est donc fondamentalement différent du régime d'écoulement turbulent, qui se caractérise par un déplacement chaotique des éléments de liquide. Il relève de transferts de quantité de mouvement en mode convectif, qui seront traités au chapitre 4. 1
III.3.1 Loi de Newton
Le modèle sur lequel se fonde cette loi consiste en deux plaques parallèles, l'une fixe et l'autre d'aire A animée d'une vitesse constante sous l'action d'une force tangentielle F. Entre ces plaques, distantes de Δx, se trouve un fluide en écoulement laminaire : Par analogie avec ce qui a été vu précédemment sur les transferts de chaleur et de matière, ce modèle peut également, en régime stationnaire, se représenter selon la figure suivante : Pour mieux comprendre la Loi de Newton, visualisez l'animation en cliquant ici : 2
1 Cf : Transferts par convection
2
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La loi de Newton s'exprime par la relation vectorielle : est le vecteur de densité de flux de quantité de mouvement (kg.m-1.s-2), c'est à dire la
valeur scalaire (dA : surface d'échange élémentaire) multipliée par le vecteur
unitaire normal à la surface iso-vitesse :
Le facteur de proportionnalité (Pa.s) est par définition la viscosité dynamique. Les tableaux suivants Ce document est disponible sur la version en ligne du module de formation. donnent quelques valeurs de utiles dans le secteur laitier.
Sachant que :
L'équation permet donc d'expliciter la force impliquée dans l'écoulement d'un liquide en régime laminaire. Cette force est proportionnelle à la surface A
et au module de la composante du gradient de vitesse :
La force par unité de surface est la contrainte tangentielle (Pa) et le gradient de vitesse se note classiquement : Le modèle de Newton suppose que est constant quel que soit le gradient de vitesse, ce qui caractérise un liquide dit newtonien. Dans ce cas, la contrainte est proportionnelle au gradient de vitesse. Cependant, dans le secteur alimentaire en général et laitier en particulier, beaucoup de liquides ont des comportements non newtoniens. L'étude de ces comportements relève de la rhéologie, science qui étudie les déformations d'un corps en fonction des contraintes qui lui sont appliquées. Quelques modèles de fluides classiquement rencontrés sont décrits dans la figure 9. Si la viscosité décroît avec le gradient de vitesse, le comportement est rhéofluidifiant
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(figure 9 - courbe 2). La déformation peut éventuellement ne se produire qu'au-delà d'un seuil de contrainte (figure 9 - courbes 3 et 4). Ces comportements sont appelés viscoplastiques. Le modèle décrit par la courbe 4 dont le comportement est Newtonien au-delà de est appelé « plastique de Bingham » :
III.3.2 Analogie entre transferts
REMARQUE
Finalement, les trois lois fondamentales se ramènent à une seule et même loi :
Densité de flux d'extensité = Coefficient facilité Gradient d'intensité
III.3.3 Application au calcul des écoulements dans les conduites en régime laminaire : Loi de Poiseuille
La connaissance des relations décrivant les écoulements de liquides dans différents types de conduites est nécessaire pour dimensionner correctement les installations (section des conduites, pompes, etc.). Par ailleurs, ces relations permettent d'atteindre des grandeurs de contrôle fondamentales pour l'optimisation des procédés mettant en oeuvre des écoulements.
● Ecoulement dans une conduite cylindrique : loi de Poiseuille :
Considérons une fraction de volume de liquide cylindrique de longueur L et de rayon x se déplaçant à une vitesse v au centre d'une conduite cylindrique coaxiale de longueur L et de rayon R (figure 10). En régime stationnaire (v constant), la résultante des forces s'appliquant au centre de gravité de cet élément de liquide est nulle. Ces forces sont : - Forces motrices liées aux différences de pression entre l'amont et l'aval de l'élément de liquide considéré :
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- Résistance à l'écoulement (frottements sur les côtés de l'élément de liquide considéré) : Où est la contrainte tangentielle sur les faces latérales de l'élément de liquide considéré. En égalant ces deux expressions, il vient :
Cette relation s'applique pour peu que le régime d'écoulement soit laminaire dans l'intervalle compris entre la paroi de la conduite et l'élément de volume considéré, même si l'écoulement à l'intérieur de celui-ci est turbulent. Dans le plan médian, est nulle, et à la paroi, est maximale et égale à :
En combinant les équations et , on obtient :
Cette expression s'intègre de x à R, la vitesse étant maximale pour x = 0 (vmax), égale à vx en x et étant nulle à la paroi (vR = 0) :
On obtient finalement :
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La figure suivante donne l'allure de v et en fonction de la position x. Conformément à
l'équation , est maximale à la paroi et nulle pour x = 0. La fraction de débit volumique correspondant à l'écoulement dans la fraction de section
, de contrainte , est :
D'où : sachant que , avec vitesse moyenne du liquide dans la conduite, on obtient :
et
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IV TRANSFERTS PAR CONVECTION
IV.1 INTRODUCTION À LA SIMILITUDE GÉOMÉTRIQUE ET PHYSIQUE : L'EXPÉRIENCE DE REYNOLDS
Les travaux d'Osborne Reynolds, physicien anglais (1842-1912), se sont en particulier attachés à l'étude et à la caractérisation des écoulements de liquides dans des conduites cylindriques. En 1883, il visualise par un colorant le régime d'écoulement de l'eau dans des tubes en verre de section cylindrique. Il constate que la transition entre écoulement laminaire et turbulent sous diverses conditions expérimentales (vitesse du fluide v, diamètre de la conduite D, caractéristiques du fluide et ) se produit systématiquement
pour la même valeur du rapport , environ égal à 2000, aujourd'hui appelé nombre de Reynolds (Re). Son inventeur remarque qu'il est le rapport des forces d'inertie sur les forces de viscosité (donc sans dimensions), et qu'il permet de caractériser l'écoulement. Cette expérience pose les fondements des études portant sur des systèmes géométriquement et physiquement semblables : les conduites étudiées par Reynolds sont toutes cylindriques et supposées infinies (diamètre petit devant la longueur), et les comportements d'écoulement sont les mêmes pour des rapports de forces d'inertie sur forces de viscosité identiques. Pour mieux comprendre l'expérience de Reynolds, visualisez l'animation en cliquant ici : 1
IV.2 INTÉRÊT DE LA SIMILITUDE
La description des phénomènes physiques est accessible facilement dans le cas des transferts en mode conductif, dans la mesure où l'on connaît les lois fondamentales. Par contre, dans le cas de transferts en mode convectif, ces lois ne s'appliquent plus, et l'état actuel des connaissances ne permet pas de prévoir l'évolution d'un système donné et d'en calculer les valeurs caractéristiques. Dans ces conditions, la prévision du comportement des systèmes physiques se fonde sur les résultats expérimentaux, suivant deux démarches en réalité très proches :
1
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● L'étude sur maquette consiste à faire un modèle généralement réduit du système étudié, semblable géométriquement et aussi semblable que possible physiquement, puis d'extrapoler les résultats obtenus à ce système ;
● L'étude de systèmes géométriquement définis, en général assez simples (conduite cylindrique infinie, paroi plane infinie, sphère, etc.) et couramment rencontrés, permet d'étendre les relations obtenues entre grandeurs physiques à tout système géométriquement semblable.
Il découle de ceci que la similitude géométrique est une base indispensable pour l'étude de phénomènes physiques. Il convient en particulier de caractériser l'échelle d'agrandissement géométrique de deux systèmes semblables par le rapport de deux longueurs homologues choisies de façon conventionnelle.
EXEMPLE
Une longueur caractéristique classiquement utilisée pour les conduites de fluides est le diamètre hydraulique (Dh) défini par la relation :
où le périmètre mouillé désigne le périmètre de la section de la conduite en contact avec le fluide. L'expression de Dh dépend par conséquent de la géométrie de l'élément d'écoulement considéré :
● Section circulaire
Dans ce cas, prend la forme de :
On retrouve assez logiquement une valeur de égale au diamètre géométrique de la conduite.
● Section rectangulaire
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En considérant
● Section annulaire
d'où :
REMARQUE
Notons que la valeur critique de 2000 du nombre de Reynolds est valable dans le cas des conduites cylindriques, mais est entièrement dépendante de la géométrie considérée. Par exemple, dans le cas de conduites à section rectangulaire, cette valeur est généralement beaucoup plus faible, de l'ordre de 200 environ.
IV.3 SIMILITUDE TOTALE
La similitude géométrique implique que les rapports de longueurs homologues des deux systèmes soient constants.
Elle entraîne la constance des échelles d'agrandissement des surfaces (A+=l+2) et des volumes (V+=l+3).
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Des similitudes physiques peuvent se définir selon le même principe. Par exemple, dans le cas de la figure précédente, la similitude physique des vitesses est obtenue à la condition qu'en tous points homologues, le rapport des vitesses soit constant :
Les fluides utilisés dans les deux systèmes peuvent être différents, en particulier en ce qui concerne leurs masses volumiques. Dans ce cas, l'échelle d'agrandissement des masses volumiques est :
Ce qui implique une échelle d'agrandissement des masses : Bimbenet et Loncin font remarquer qu'avec des échelles d'agrandissement des longueurs , des vitesses , et des masses volumiques respectivement égales à 10, 5 et 1, l'échelle d'agrandissement des viscosités dynamiques qui en découle est , et celle des tensions superficielles . S'il est éventuellement possible de multiplier la viscosité par 50 par emploi d'un épaississant, il n'existe pas de fluide ayant une tension superficielle 250 fois supérieure à un autre.
IMPORTANT
Il en résulte qu'il est pratiquement impossible de réaliser des systèmes totalement semblables, et qu'il faudra donc se contenter de similitudes partielles relatives au phénomène étudié en s'assurant que l'on peut négliger les autres. Par exemple, l'étude des relations entre forces d'inertie et forces de viscosité réalisée par Reynolds n'aurait pas de sens dans un tube capillaire où les forces de tension superficielle sont prépondérantes.
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IV.4 SIMILITUDE PARTIELLE
IV.4.1 Invariants de similitude dans le domaine de la dynamique
Dans le domaine de la dynamique, les systèmes étudiés sont supposés semblables sur le plan des forces d'inertie, celles-ci servant de référence pour les autres forces. Le rapport de forces de différentes natures permet de faire apparaître des nombres sans dimensions encore appelés invariants de similitude. La valeur d'un invariant de similitude fixe l'importance relative des deux types de forces qui entrent dans son calcul. L'expression de l'identité des forces de pression ( ) et des forces d'inertie (
) conduit à invariant de similitude appelé nombre d'Euler ( ) :
Si les systèmes sont semblables quant aux forces de gravité ( ) et aux forces d'inertie, on a constance du nombre sans dimension appelé nombre de Froude ( ) :
Comme vu précédemment, le nombre de Reynolds est le rapport des forces d'inertie et de
viscosité ( )
De la même façon, si les systèmes sont semblables quant aux forces de tension superficielle et aux forces d'inertie, on a constance du nombre sans dimension appelé nombre de Weber ( )
30
EXEMPLE
Un coagulateur en continu est constitué d'un tube vertical thermostaté de 0,1 m de diamètre (D) et 3 m de hauteur. A sa base, on introduit du rétentat d'ultrafiltration de lait emprésuré, qui coagule en 15 minutes à mi parcours dans le tube. A la partie supérieure sort donc un cylindre de caillé. On décide de réaliser l'étude de ce système sur une maquette à l'échelle 1/2, avec le même rétentat. A quelle vitesse (v') doit on faire circuler le rétentat pour que les systèmes soient semblables ? Il est clair que dans ce système, les forces de viscosité et d'inertie sont prépondérantes dans l'écoulement, et qu'il faut donc égaler pour les deux systèmes les Re, et étant les mêmes :
D'où :
Il faut donc doubler la vitesse. Remarquons qu'avec une échelle de réduction des longueurs égale à 2, on obtient une échelle de réduction des volumes égales à 23 = 8. Cependant, si l'on examine le rapport des débits volumiques, on s'aperçoit que l'échelle de réduction n'est qu'égale à 2.
IV.4.2 Invariants de similitude dans le domaine énergétique
Comme pour les phénomènes dynamiques, il est possible de définir des invariants de similitude dans le domaine énergétique. On admet généralement que les transferts de chaleur en mode convectif peuvent être décrits par le modèle suivant .
● Au sein du liquide (dit encore « noyau turbulent »), la convection est telle que l'on peut considérer que la température est constante en tous points ;
● A la paroi et en raison des frottements sur celle-ci, on admet la présence d'une couche de liquide appelée « couche limite » dans laquelle l'écoulement du fluide
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est laminaire. L'épaisseur de cette couche, qui dépend de la géométrie du système, des caractéristiques du fluide et de sa vitesse, est statistiquement égale à e, cette statistique étant malheureusement très mal connue. C'est pourquoi on regroupe en général et e dans l'expression du coefficient local de chaleur
selon l'expression .
Parmi les différents nombres sans dimension couramment utilisés dans le domaine énergétique, les nombres de Nusselt (Nu) et Prandtl (Pr) décrivent le transfert de chaleur entre la masse d'un fluide et une paroi au travers d'une couche limite :
IV.5 ANALYSE DIMENSIONNELLE
IV.5.1 Théorème Pi
De nombreux phénomènes physiques ne peuvent être décrits par des équations, faute de connaissances des éléments fondamentaux les régissant. Cependant, il est souvent possible d'identifier les facteurs qui interviennent sur ces phénomènes. On a alors recours à l'expérimentation pour établir les liaisons entre ces facteurs. L'analyse dimensionnelle permet de réduire l'expérimentation en regroupant l'ensemble des variables dans un nombre plus restreint d'invariants de similitude, les liaisons s'exprimant alors par des relations entre ces invariants. Cette analyse est basée sur le postulat suivant : les relations qui lient les phénomènes physiques sont dimensionnellement homogènes et sont identiques quel que soit le système cohérent d'unités utilisé.
IMPORTANT
Ce postulat conduit au théorème : « Toute grandeur physique G fonction de p variables indépendantes mesurées par q unités
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fondamentales peut être décrite par une fonction implicite de [p - q + 1] nombres sans dimension. »
Dans les paragraphes suivants seront développés quelques exemples d'applications de ce théorème dans les domaines de la dynamique et de la thermique.
IV.5.2 Déplacement d'une sphère dans un fluide sous l'action d'une force
Une sphère de diamètre D se déplace à une vitesse constante v dans un fluide de masse volumique et de viscosité . Dans ces conditions, la force motrice F est égale à la force résistante (traînée), F étant une fonction de D, , v et . Loncin (1976) fait remarquer qu'une étude expérimentale de F par détermination de l'action réciproque des quatre variables D, , v et conduit, pour dix valeurs de chacune de ces variables, à la réalisation de 105 essais : une telle étude est bien évidemment irréaliste. Le théorème permet de représenter l'ensemble du phénomène par une relation entre deux invariants de similitude. En effet, F est fonction de quatre grandeurs indépendantes mesurées par trois unités fondamentales (longueur, masse et temps), et peut donc être décrite par une fonction de [4 - 3 + 1 = 2] nombres sans dimension. Ces nombres sont Re et le nombre de Newton (Ne), dont le nombre d'Euler est issu :
Ne exprime la similitude de deux systèmes quant aux forces d'inertie. l, longueur caractéristique des systèmes étudiés tant pour Ne que pour Re, sera dans ce cas logiquement le diamètre de la sphère D, et conventionnellement on adapte Ne en faisant
apparaître en lieu et place de l 2 et v2 la surface du maître couple et . On obtient alors un nombre de Newton modifié, Ne' :
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L'expérimentation permet d'établir les relations suivantes :
10-3 < Re < 2 Ne' = 24.Re-1
2 < Re < 5.102 Ne' = 18,5.Re-0,6
5.102 < Re < 2.105 Ne' = 0,45
Il est essentiel de remarquer que les relations qui lient Ne' et Re sont indépendantes de la cause du déplacement, et ne traduisent que les relations qui lient F et v en fonction des caractéristiques du fluide et du diamètre de la sphère.
IMPORTANT
Si la force motrice F est uniquement liée à la pesanteur, et qu'on l'explicite en fonction du poids de la sphère et de la poussée d'Archimède, on aboutit pour Re < 2 à l'équation de Stockes qui explicite la vitesse v de déplacement de la particule (m.s-1) en fonction de D et
, diamètre (m) et masse volumique (kg.m-3) de la particule, et , viscosité (Pa.s) et masse volumique (kg.m-3) du fluide et g l'accélération gravitationnelle (m.s-2) :
IV.5.3 Perte de charge dans une conduite cylindrique
La perte de charge dans une conduite de section circulaire ayant un diamètre D et une longueur L, dépend de la vitesse moyenne du fluide, de sa viscosité et de sa masse volumique . est donc fonction de cinq grandeurs indépendantes (L, D, , et ) mesurées par trois unités fondamentales (longueur, masse et temps), et peut être décrite par une fonction de [5 - 3 + 1 = 3] invariants de similitude.
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Ces trois invariants sont généralement choisis comme étant Re, Eu et , nombre sans dimension relatif à la géométrie de la conduite. Re et Eu sont adaptés au cas considéré de la manière suivante :
La relation liant ces 3 invariants de similitude peut s'écrire :
ou encore, en remplaçant par sa valeur et en faisant apparaître :
La perte de charge, pour un fluide incompressible, est proportionnelle à la longueur de la
conduite : il est donc possible de faire sortir de dans l'expression précédente, pour garder la relation homogène au plan dimensionnel. Il vient :
, qui n'a pas de dimension, est le nombre de Darcy ( ) :
L'expérimentation permet d'établir les relations suivantes :
● Si Re < 2.103, le régime d'écoulement est laminaire, et l'on a alors :
ce qui conduit à l'équation de Poiseuille (cf 3.3.3) :
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Quand l'écoulement est laminaire, la masse volumique n'apparaît plus dans la relation Da - Re, car seules les forces de viscosité influent sur le phénomène. L'équation de Poiseuille est utilisée, par exemple, pour décrire les phénomènes de filtration. En effet, dans ce cas, le régime d'écoulement est laminaire car le diamètre des pores des membranes et la vitesse de passage du fluide dans ceux-ci sont faibles ;
● Si 2.103 < Re < 105, le régime d'écoulement est turbulent et pour les conduites lisses on utilise classiquement la relation de Blasius :
Pour les conduites rugueuses, on prend en compte la , hauteur moyenne des aspérités, et on fait apparaître un invariant supplémentaire : la/D (rugosité relative). Des graphiques donnent les relations liant Re, Da et la/D. Le graphique suivant représente Da en fonction de Re dans le cas de l'écoulement d'un fluide dans une conduite cylindrique lisse. Une démarche similaire peut être reprise pour caractériser les pertes de charge dans des conduites à section rectangulaire. En régime laminaire, la relation issue de l'équation de Poiseuille est :
En régime turbulent, on peut utiliser l'expression de Karman-Nikuradse : Cette équation permet de calculer Da à partir de Re par approximations successives, ce qui conduit ensuite à la perte de charge, donnée généralement recherchée pour le dimensionnement des installations.
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IV.5.4 Détermination des coefficients de transfert de chaleur
Le coefficient local d'échange de chaleur 1 dépend :
● de facteurs liés à la géométrie du système considéré (géométrie caractérisée conventionnellement par une de ses dimensions L) ;
● des conditions d'écoulement du fluide (caractérisées par la vitesse moyenne ) ;
● des caractéristiques physiques du fluide (masse volumique , chaleur spécifique Cp, conductibilité thermique , viscosité ).
, fonction de ces six grandeurs indépendantes s'exprimant par quatre unités fondamentales (longueur, masse, temps et température), peut être décrit par une fonction de [6 - 4 + 1 = 3] invariants de similitude. Les invariants classiquement choisis sont Re, Nu et Pr. La relation entre les sept grandeurs précédentes peut se ramener à une relation Nu = f (Re, Pr) et les données expérimentales relatives à une géométrie et à un type d'écoulement donnés peuvent être ajustées à une équation du type : où C, m et n sont des constantes.
EXEMPLE
Quelques exemples de relations relatives à des situations particulières souvent rencontrées sont donnés ci-après.
● Fluide en mouvement forcé dans une conduite cylindrique.
Pour 8.103 < Re < 106, 6.10-1 < Pr < 5.102 et > 50
1 Cf : paragraphe 2.4.3
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La longueur caractéristique pour Nu et Re est le diamètre intérieur (D) de la conduite. est la viscosité au sein du fluide et la viscosité à la paroi : le rapport est voisin de 1 pour les gaz, mais peut être non négligeable pour les liquides.
● Fluide en mouvement forcé parallèle à une paroi plane.
Pour Re < 105 La longueur caractéristique à prendre en compte est la distance parcourue par le fluide le long de la paroi et la vitesse est la vitesse moyenne du fluide .
D'autres relations ont été établies pour les situations courantes dans les transferts de chaleur : lits fluidisés, cuves munies d'agitateurs, transferts en convection libre, transferts avec changement d'état (condensation, ébullition), etc.
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ANNEXES
ANNEXE :
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BIBLIOGRAPHIE
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Bimbenet JJ, Loncin M
(1995). Bases du génie des procédés alimentaires. Masson, Paris.
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