Geometría Solu 2ºbach estepona

8/17/2019 Geometría Solu 2ºbach estepona

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SOLUCIONES GEOMETRÍA

Ejercicio nº 1.-

sea jic queformade e halla;k j2i b; ji2a vectoreslosDados y x y x +=−+=−=

.a quemódulomismoely tenga b alar perpendicu

Solución:

( ) ( ) ( )0,,c1,2,1b0,1,2a y x −−

54

2

55ac

020bcbc

222222 =+

−=

=+→=+→=

=+→=→⊥y y

y x

y x y x

y x ·

−=→==→−=→=→=

2121

155 22 x y

x y y y

Hay dos soluciones:

( ).0,1,2caecorrespondque,1,2 −−==• y x

( ).0,1,2caecorrespondque,1,2 −=−=• y x

Ejercicio nº 2.-

Halla las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A (3, 1, 2) y B( 2, 2, 4) en tres partes iguales.

Solución:

=

++−−= 2,

31

,31

342

,3

21,

323

P

( ) ( ) ( )

=

++−−= 4,

32

,32

3422

,3

212,

3232

Q

Ejercicio nº 3.-


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Estudia la posici n relativa de las rectas r 1 y r

2!

λ−= λ+=

λ−=

=−+−=+−+

3

31

3

"12

"12

21

z y

x

r z y x

z y x

r ::

#a$ona la respuesta.

Solución:

( ) ( ) ( )( )−→−==→=

−−−=−×−=0,1,01,00 si :puntoUn

3,5,11,1,22,1,1d :direccióndeVector :

1

11

R y x z r

( )( ) −−=

0,1,0 :puntoUn

3,3,3d :direcciónVector :

2

22

R r

( )0,2,021 =R R

infornos yd,d !ectoreslosdescoordenadalaspor for adaatri"laderan#o$l 2121 R R

sobre la posición relati!a de r 1 y r

2:

( ) 012%23331

&2020

333351 ≠=−⋅−=−−

−−−=−− −−−

cru"an.serectaslastanto,'or 3.es (,d,d) deran#o$l 2121 R R

Ejercicio nº 4.-

a) Halla los valores de m y n para que los siguientes planos sean paralelos!

π 1! 2 x y z %= " y π 2! mx ny 2 z 3 = "

&) '&t n la ecuaci n de un plano paralelo a π1 que pase por el punto A(3, 2, 1).

Solución:

a( *i π1 y π

2 +an de ser paralelos, se tiene que:

2,412

12−==→=

−= nmnm

b( $l plano buscado +a de ser de la for a: 2 x − y + z + D = 0


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*i contiene al punto A, debe !erificarse:

2 & 3− 1) − 2( + 1 + D = 0 → D = −

$l plano ser-: 2 x − y + z − = 0

Ejercicio nº5.-

Halla la ecuaci n del plano que contiene a la recta!

=+−+=−+−

"43

"22

z y x

z y x r :

y al punto P (2, 3, 1). Explica el procedimiento.

Solución:

1o

. Halla os un punto, R ∈

r . 'or e e plo, +aciendo x =

0 obtene os:

R )0, − 1, 1(

: dedirección!ector ,d Halla os.2 o r r

( ) ( ) ( )/,3,21,3,11,1,2d −=−×−=r

:buscadoplanoalnor alser- d !ector $l.3 o r RP ×

( )0,2,2 −RP

( ) ( ) ( )2,14,14/,3,20,2,2d −−=−×−=× r RP

( ).1//n to ar 'ode os −,,

4o. $l plano pasa por P )2, − 3, 1( y es perpendicular a )/, /, − 1(. *u ecuación ser-:

/) x − 2( + /) y + 3( − 1) z − 1( = 0 → / x − 14 + / y + 21 − z + 1 = 0

→ / x + / y − z + = 0

Ejercicio nº 6.-


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Estudia la posici n relativa de las siguientes rectas seg n los valores de !

323

y%4

32

1 z y

x !

z y x r

−==−=−=− ::

Solución:

( ) ( )

( ) ( )( )k RS

k S s

R r

s

r ,3,2

,0,33,1,2d:

0,3,15,4,2d:−=

=→=

=→=

: yd,d descoordenadalaspor for adaatri"laderan#oelos$studiare RS sr

31

02%2%32

312542

=→=+−+−=−

k k k k

serectaslastantopor es,dependientelineal entson yd ,d !ectoreslos 31

*i RSk sr =cru"an.serectaslas ,

31 *icortan. ≠k

Ejercicio nº".-

Halla la posici n relativa de los siguientes planos seg n el valor del par*metro #!

µ+=µ−λ=

µ+λ−=π

21

23

1

z

y

x

:

π2! 4 x #y 2z = %

Solución:

π1, e presado de for a i pl cita, es:

2 x + 2y − z = 5

s , tene os el siste a:


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=−+=−+

524522

z ay x z y x

• os coeficientes de las incó#nitas son proporcionales si a = 4.

$n tal caso, los planos son paralelos, pues sus t6r inos independientes no si#uen lais a relación de proporcionalidad que los coeficientes de las incó#nitas.

• *i a ≠ 4, los planos se cortan en una recta, pues el siste a es co patibleindeter inado de ran#o 2.

Ejercicio nº $.-

Halla la ecuaci n del plano π que contiene a la recta r y es paralelo a la recta ! ,siendo!

11

2"

1

1"

+3

42 z y x !

z x

z y r =−

−=−−=−=

::

Solución:

$l !ector de dirección de r se obtiene a partir de los !ectores nor ales a los planos quedefinen la recta r .

( ) ( )3,0,1n,2,1,0n 21 −=−=

( ) ( ) ( )1,2,33,0,12,1,0d =−×−=r

:tanto'or .d yd alar perpendicuesbuscado planoal ,n nor al,!ector $l sr π

( ) ( ) ( )5,2,31,1,11,2,3n −−=−×=

'uesto que π contiene a r , localice os un punto de π a partir de r :

$n r , si z = 0, se obtiene y = − 4, x = − .

Ejercicio nº%.-

alcula la distancia entre los planos siguientes!

π ! x 3 y z 1" = " π -! 2 x y 2z 3 = "

Solución:

os dos planos son paralelos pues los coeficientes de sus incó#nitas son proporcionales.'or tanto, la distancia entre ellos es la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos alotro.


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P )1, 0, ( es un punto del plano π .

'or tanto:

( ) ( ) 4/,34423

43%4

3&21&2

7,7, ==++++

=π=ππ P dist dist

Ejercicio nº 1&.-

alcula la distancia de P (1, ", 2) a la recta r ! (2 λ , λ , 1 λ ).

Solución:

1a

forma:

• 'lano π que pasa por P y es perpendicular a r :

( ) ( ).201 por 'asa .112n :rectaladedirección!ector elesnor al!ector *u ,,P ,, −=

*u ecuación es:

π : 2) x − 1( − y + )z − 2( = 0 → π : 2 x − y + z − 4 = 0

• 8ntersección de π y r :

*ustitui os las coordenadas de r enπ

:

( ) ( )

−→

=

−=

=

→=λ→=−λ→=−λ++λ+λ23,

21,17

23

21

1

2103%0412&2 P

z

y

x

• 9istancia pedida:

( ) ( ) ( ) /1,022

23

221

117,,

222

==

−+

+−== P P dist r P dist

2a forma:

( )

( )

( )20,1, 'unto

1,1,2d

1,0,0: ecta

P

R r

−


7/10

( )

( )

=++=

=++=×

−=××

==

%114d

3111d

1,1,1d

d

d

;ase


8/10

[ ] 1111

021

101

7d ,d , =−

−−

=RS

( )1,1,27d d −−−=×

%1147d d =++=×

( ) 41,0%

1, ==sr dist

Ejercicio nº 12.-

A (", 1, 2), B(", 2, 3) y ' (", 2, %) son tres v rtices de un tetraedro. El cuarto v rtice, ( ,est* so&re la recta!

1

1

11

2 −==−− z y x

r :

Halla las coordenadas de ( para que el volumen del ortoedro sea 2 unidades c &icas.

Solución:

D es un punto de r → D)2 − λ , λ , 1 + λ (

[ ] AD AC ABV ABCD ,,&%1=

( )1,1,0= AB

( )3,1,0= AC

( )1,1,2 −λ−λλ−= AD

=λ→=−λ−=λ→=λ−=λ−→=

−λ−λλ− 124241224

12242112

310110

&%1

Hay dos soluciones:

D)%, − 4, − 3( y D)− %, , (.

Ejercicio nº 13.-

Halla el punto sim trico de P (1, ", 3) respecto del plano π ! x y 2z = 1.


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Solución:

Halla os la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano π .

( )2,1,1nd −==r

λ+=λ−=λ+=

23

1:

z y x

r

=btene os el punto, M , de corte de r y π :

1 + λ + λ + 2)3 + 2 λ ( = 1 → %λ = − % → λ = − 1 → M )0, 1, 1(

$l punto que busca os, P 7) x , y , z (, es el si 6trico de P respecto de M .

:tene os ,''7 deediopuntoeles >o o M

( ) ( )1,2,171,2,11,1,02

3,

2,

21 −−→−==−=→=

++ P z y x z y x

Ejercicio nº 14.-

Halla la ecuaci n de la recta ! que pasa por P (2, ", 1) y corta perpendicularmente a

.21

1

2

2: rectala

z y xr =−−=−

Solución:

( ) :quecuentaenteniendo ,,,7d, dedirector !ector el;usca os c bas =

02207dd7dd =+−→=→⊥• c ba·


10/10

( ) 0220110

2122,7d,dcortanse y =++−→=−

−→=→• c bac ba

PR ransr

: rectalade!ectoreslosson022022 :siste adelsolucionesas s

c bac ba

=++− =+−

( )λλ−λ−= ,2,27d

( )1,2,27d1 'ara −−=→=λ

s :

λ+=

λ−=λ−=

1

222

:

z

y x

s

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