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11 © NATHAN - La photocopie non autorisée est un délit. 11 Géométrie dans le plan et l’espace 13 Échauffez-vous ! 1 1 Reliez chaque solide usuel à son nom. Cube Parallélépipède Pyramide Cylindre Cône Sphère rectangle 2 Chaque objet suivant est constitué à partir de plusieurs solides usuels. Reliez chacun de ces objets aux différents solides usuels correspondants. Cube Parallélépipède Pyramide Cylindre Cône Sphère rectangle 3 Un meuble de rangement, schématisé ci-contre, est constitué de trois éléments cubiques. Complétez. Les droites (AH) et (NC) sont sécantes et leur point d’intersection est N. La droite (OC) et le plan (PMN) sont sécants et leur point d’intersection est O. PMH ) et (AFC ) sont sécants et leur droite d’intersection est (BE). AFI ) et (NCD) sont sécants et leur droite d’intersection est (IJ). P M N O E D B A F G L K H I C J

Géométrie dans le plan 1 et l’espacemathssciences.free.fr/Manuels/Manuels Nathan/Nathan Maths Tale... · s s s s s s Cube Parallélépipède Pyramide Cylindre Cône Sphère rectangle

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Géométrie dans le plan et l’espace

13

Échauffez-vous !

1

1 Reliez chaque solide usuel à son nom.

Cube Parallélépipède Pyramide Cylindre Cône Sphère rectangle

2 Chaque objet suivant est constitué à partir de plusieurs solides usuels.Reliez chacun de ces objets aux différents solides usuels correspondants.

Cube Parallélépipède Pyramide Cylindre Cône Sphère rectangle

3 Un meuble de rangement, schématisé ci-contre, est constitué de trois éléments cubiques.

Complétez.Les droites (AH) et (NC) sont sécantes et leur point d’intersection est

N.La droite (OC) et le plan (PMN) sont sécants et leur point d’intersection

est O.PMH ) et (AFC ) sont sécants et leur droite d’intersection

est (BE).AFI ) et (NCD) sont sécants et leur droite d’intersection est

(IJ).

P

MN

O

ED

BA

F

G

L K

H I

C

J

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Échauffez-vous !

Vocabulaire

Droites perpendiculaires

et droites orthogonales

Ci-contre :les droites (BC ) et (CI ) sont perpendiculaires ;les droites (BC) et (DJ) sont orthogonales (on ne dit pas qu’elles sont perpendiculaires, car elles ne sont pas sécantes).

4 On reprend la figure de l’exercice 3 précédent.

Cochez les cases correspondant aux réponses exactes.a) Les droites (GJ ) et (JO) sont :

parallèles perpendiculaires orthogonales non parallèles et non perpendiculaires

b) Les droites (GC ) et (FJ ) sont : parallèles perpendiculaires orthogonales non parallèles et non perpendiculaires

c) La droite (PE ) et le plan (ABF ) sont : parallèles perpendiculaires ni l’un, ni l’autre

d) La droite (AN ) et le plan (GIL) sont : parallèles perpendiculaires ni l’un, ni l’autre

e) Les plans (HBE ) et (PDC ) sont : parallèles perpendiculaires ni l’un, ni l’autre

f) Les plans (GAF ) et (NOJ ) sont : parallèles perpendiculaires ni l’un, ni l’autre

5 Sur la figure représentée ci-contre, dans laquelle le triangle ABC est rectangle en B, on sait que AB = 3 ; BC = 4 ; CD = 3,1 ; DA = 3,9 ; CE = 4 et EA = 3.Rayez les encadrés inexacts.

a) AB2 + BC2 = / 25, donc

AC2 = / 25, d’où AC = / 5.

b) CD2 + DA2 = / 24,82 et

AC2 = / 25, donc le triangle CDA

est / n’est pas rectangle en D.

c) CE2 + EA2 = / 25 et AC2 = / 25, donc le triangle CEA

est / n’est pas rectangle en E.

Aide

Pythagore

Pour un triangle ABC :ABC est rectangle en B équivaut àAC2 = AB2 + BC2.

A

B

C

DE

P

MN

O

ED

BA

F

G

L K

H I

C

J

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1315CHAPITRE 1 GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN ET L’ESPACE

6 Sur la figure représentée ci-contre, dans laquelle les droites (BC) et (DE) sont parallèles, on sait que :AB = 2,2 ; AC = 2,4 ; BC = 1,3 ;AD = 1,4 ; AF = 0,9 ; AG = 1 ;AI = 1,1 et AJ = 1,2. Complétez.a) Calcul de AE et DE.

BC ) et (DE) sont parallèles,

donc AE

�� AC

= AD

�� AB

, c’est-à-dire AE

�� 2,4

= 1,4

�� 2,2

, d’où

AE = 2,4 1,4

�� 2,2

1,527, à 0,001 près.

BC) et (DE) sont parallèles,

donc DE

�� BC = AD

�� AB

, c’est-à-dire DE

�� 1,3 = 1,4

�� 2,2

, d’où

DE = 1,3 1,4

�� 2,2

0,827, à 0,001 près.

b) (FG) et (BC) sont-elles parallèles ?

AF �� AB

0,9

�� 0,409 et AG

�� AC

= 1

2,4 0,417, donc AF

�� AB

≠ AG

�� AC

.

On en déduit que (FG) et (BC) ne sont pas parallèles.c) (IJ ) et (BC ) sont-elles parallèles ?

AI �� AB

= 1,1 �� 2,2

= 0,5 et AJ

��� AC

= 1,22,4 = 0,5,

donc (IJ ) et (BC) sont parallèles.

7 Le plan est rapporté à un repère (O ; zi, zj ).Complétez les coordonnées à partir de la figure. A (1 ; 3) ; B (3 ; 2) ;

ROA (1 ; 3) ; ROB (3 ; 2) ;

z

i (1 ; 0) ; zj (0 ; 1) ; RAB (2 ; –1).

8 Le plan est rapporté à un repère (O ; zi, zj ).Soit

r

u un vecteur et A (xA ; yA) et B (xB ; yB) des points tels que EAB = r

u.Cochez la case correspondant à la réponse exacte.a) Les coordonnées du vecteur

r

u sont : (xB + xA ; yB + yA) (xB – xA ; yB – yA) (xA – xB ; yA – yB)

b) La norme �r

u � du vecteur r

u est égale à :

0

(xB + xA)2 + (yB + yA)2

(xB – xA)2 + (yB – yA)2

0

(xB – xA)2 + (yB – yA)2

A

O

B

ei

ej

Aide

Thalès

On se place dans n’importe lequel des trois cas de figure suivants.

A

B B

BC

C

C

E

E

E

D

D

D

A

A

Les droites (BC) et (DE) sont parallèles équivaut à

AD �� AB

= AE �� AC

.

Si l’une de ces deux propriétés est vérifiée, on a, de plus, les égalités

AD �� AB

= AE �� AC

= DE �� BC

.

GF

A

B

C

EJ

I

D

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1 Figures planes usuelles obtenues à partir d’un solide

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1. Extraire une figure plane d’une représentation d’un solide

Exemple

À partir de la représentation (1) ci-contre (pièce méca-nique), les figures planes usuelles « visibles » quel’on peut « extraire » sont des rectangles et des cercles.

Après avoir ajouté deux segments à la représentation (1), on obtient la représentation (2), à partir de laquelle on peut « extraire », en plus, un triangle.

Activité

Complétez.a) À partir de la représentation (1) (pièce de bâtiment), les figures planes usuelles visibles que l’on peut extraire sont des

rectangles.b) Après avoir ajouté deux segments, en (2),

on peut extraire, en plus, un triangle. c) Ajoutez sur (2) un segment, pour obtenir un carré à extraire. (1) (2)

2. Comment construire une figure plane extraite d’une représentation d’un solide ?

Méthode 1

Étape 1 Repérer la figure sur la représentation du solide.Étape 2 Utiliser les propriétés du solide et les données de l’énoncé.Étape 3 Construire la figure, avec des dimensions adéquates.

Le solide ABCDEF représenté ci-contre est tel que les quadrilatères ABED et BCFE sont des carrés, de longueur d’arête 2 cm, et les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.1. Construisez en vraie grandeur le triangle ABC.2. Déduisez-en la construction du quadrilatère ACFD.

Solution

1. Étape 1 Le triangle ABC à construire est la face ABC du solide.Étape 2 Le triangle ABC est isocèle et rectangle en B car :

AB = BC = 2 et les droites (AB) et (BC)sont perpendiculaires.

Étape 3 Complétez la figure ci-contre pour obtenir le triangle ABC.

14

(1)

(2)

F

C

BA

D E

BA

C

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15CHAPITRE 1 GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN ET L’ESPACE 17

2. Étape 1 Le quadrilatère ACFD à construire est la face (ACFD) du solide.Étape 2 Le quadrilatère ACFD est un rectangle, car les droites (AD) et (AC ) sont perpendiculaires, ainsi que les droites (CA) et (CF), et les droites(DA) et (DF).Étape 3 En reportant une dimension prise sur la figure précédente, complétez la figure ci-contre pour obtenir le quadrilatère ACFD.

A

D

C

F

3. Comment représenter la section d’un solide usuel par un plan ?

Méthode 2

Étape 1 Déterminer, à partir des données, les points d’intersection du plan avec les arêtes du solide et ses segments ou courbes d’intersection avec les faces ou surfaces du solide.

Étape 2 Tracer la section dans le solide et préciser sa nature.

On sectionne le parallélépipède rectangle ABCDEFGH par le plan � parallèle à la droite (BF) et passant par les points I et J.Représentez sur la figure la section obtenue.

Solution

Étape 1 Les droites d’intersection du plan � avec les plans (ABF ) et (BCG )passent respectivement par I et J et sont parallèles à la droite (BF).On note respectivement K et L les points d’intersection de ces droites avec les droites (AB) et (BC). Placez ces points sur la figure.Étape 2 Tracez toutes les arêtes de la section, qui est un rectangle.

On sectionne la pyramide ABCD par le plan � parallèle au plan (ABD) et passant par le point E.Représentez sur la figure la section obtenue.

Solution

Étape 1 Les droites d’intersection du plan � avec les plans (BCD) et (CAD) passent par E et sont respectivement parallèles aux droites (BD) et (AD).On note respectivement F et G les points d’intersection de ces droites avec les droites (BC) et (AC). Placez ces points sur la figure.Étape 2 Tracez toutes les arêtes de la section, qui est un triangle.

15

H G

DC

BA

EI

J

F

KL

D

C

FBA

E

G

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2 Géométrie plane dans l’espace

18 16

1. Exploiter dans l’espace des résultats de géométrie plane

Exemple

On considère une sphère de diamètre [AB], sur laquelle est placé un point M distinct de A et de B. On s’intéresse à la nature du triangle AMB, extrait de la sphère.

Pour cela, on se place dans la figure plane qui est la section de la sphère par le plan (AMB), pour exploiter des résultats de géométrie plane.

Activité

Cochez la case correspondant à la réponse exacte.a) La section � de la sphère par le plan (ABM) est un cercle �, représenté ci-contre, qui a pour diamètre [AB], qui passe par le point M.

Vrai Fauxb) Le triangle AMB est inscrit dans le cercle � et [AB] est un diamètre de �, donc le triangle AMB est rectangle en M.

Vrai Faux

2. Comment utiliser Thalès dans l’espace ?

Méthode 3

Étape 1 Isoler une figure plane, extraite ou section du solide par un plan, avec des triangles

placés dans l’un des trois cas de figure de Thalès.Étape 2 Utiliser Thalès dans cette figure plane.Il faut parfois extraire successivement plusieurs figures planes du solide.

ABCD est un tétraèdre (pyramide à base triangulaire).E et F sont les milieux respectifs des côtés [AD] et [BD].Dans le plan (BCD), la droite passant par F et parallèle à la droite (BC) coupe la droite (CD) au point G.Montrez que les droites (EG) et (AC) sont parallèles.

Solution

Étape 1 Dans le plan du triangle ADC, extrait du tétraèdre, les triangles EDG et ADC sont placés dans un cas de figure de Thalès .

Étape 2 Dans le triangle ADC, le point E est le milieu du côté [AD].Donc, d’après Thalès, pour prouver le parallélisme de (EG ) et (AC ), il suffit de prouver que G est le milieu du côté [CD].On se place dans le triangle BDC, lui aussi extrait du tétraèdre.

D’après Thalès, puisque F est le milieu de [BD] et la droite (FG ) estparallèle à la droite (BC ), le point G est bien le milieu de [CD] .

M

OA B

M�

OA B

A B

C

D

G

EF

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1719CHAPITRE 1 GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN ET L’ESPACE17

3. Comment utiliser Pythagore dans l’espace ?

Méthode 4

Étape 1 Isoler une figure plane, extraite ou section du solide par un plan, avec un triangle

approprié pour utiliser Pythagore.Étape 2 Utiliser Pythagore dans cette figure plane.Il faut parfois extraire successivement plusieurs figures planes du solide.

Le cube représenté ci-dessous a ses arêtes de longueur 1.Calculez la longueur CE de la « diagonale ».(Donnez la valeur exacte et arrondie à 0,01 près.)

A B

CD

E F

H G

Solution

Étape 1 Le segment [CE] est un côté, par exemple du triangle ACE, extrait du cube.

Complétez la figure par le segment [AC].On peut calculer CE en utilisant Pythagore dans le triangle ACE à condition

que les droites (AE) et (AC) soient perpendiculaires et que

les longueurs AE et AC soient connues.

AE) et (AC) :

la droite (AE) et le plan (ABC) sont perpendiculaires, donc toute

droite du plan (ABC) passant par A est perpendiculaire à (AE) ;

c’est le cas de la droite (AC).

AE et AC :

la longueur AE est connue, égale à 1, puisque le segment [AE] est une arête du cube ;la longueur AC peut être calculée avec Pythagore, par exemple dans le

triangle ABC, extrait du cube, rectangle en B et tel que AB = BC = 1 .

Étape 2 ABC, d’après Pythagore,

AC2 = AB 2 + BC 2 = 2 ; d’où AC = 22 .

ACE du début, d’après Pythagore,

CE2 = AC 2 + AE 2 = (22) 2 + 12 = 3 ; d’où CE = 23 1,73.

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3 Coordonnées cartésiennes dans l’espace

20 18

1. Utiliser un repère formé avec des vecteurs

O et trois vecteurs zi, zj et rk z

y

x

O

M

ei

ej

ek

non nuls et de directions différentes for-ment un repère de l’espace, noté (O ; zi, zj , rk ) . Le repère est orthogonal lorsque ses axes sont perpendiculaires deux à deux ; il est orthonormal lorsque, de plus, les trois vec-teurs zi, zj et rk ont pour norme (longueur) 1.Lorsqu’on utilise un repère (O ; zi, zj , rk ) , on dit que l’espace est rapporté à ce repère, ou encore qu’il est muni de ce repère.

O ; zi, zj , rk ) , tout point M est caractérisé par un triplet(x ; y ; z) de coordonnées, où x, y et z sont res-pectivement l’abscisse, l’ordonnée et la cote de ce point. On écrit : M(x ; y ; z).

Activité 1

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal (O ; zi, zj , rk ) , on a placé le point A(−1 ; 1 ; 2) et les points B et C. Complétez les coordonnées des points B, C et O à partir de la figure.B(3 ; 2 ; 1) ; C(2 ; – 2 ; 2) ; O(0 ; 0 ; 0).

2. Déterminer les coordonnées d’un vecteur

L’espace est rapporté à un repère (O ; zi, zj , rk ) .

O

A

U

B

ei

ej

ek

eu

xA

zA

zB

xB

yA yB

eu

Soit r

u un vecteur et A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB) des points tels que

RAB = r

u.Les coordonnées (a ; b ; c) de

r

u sont :a = xB – xA, b = yB – yA et c = zB – zA.Ce sont aussi celles du point U tel que UOU =

r

u.On écrit :

r

u(a ; b ; c).

Activité 2

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (O ; zi, zj , rk ) .Soit A(3 ; −2 ; −1), B(−1 ; −3 ; 2) et C(0 ; 4 ; −2).Reliez chaque vecteur à ses coordonnées. RAB (3 ; − 6 ; 1) TOB (1 ; 7 ; − 4) RCA (– 4 ; − 1 ; 3) TBC (−1 ; − 3 ; 2)

O

C

A

Beiej

ek

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1921CHAPITRE 1 GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN ET L’ESPACE19

3. Comment placer un point M(a ; b ; c) dans l’espace muni d’un repère orthonormal (O ; ri, rj, tk) ?

Méthode 5

Étape 1 Placer le point M1 de cordonnées (a ; b) dans

O

M

Δ

c

z

a

by

x

ei

ej

ek

M1

le plan (Oxy) muni du repère (O ; zi, zj ) .Étape 2 Tracer la droite parallèle à l’axe (Oz) et

passant par M1.

Étape 3 Placer le point M sur la droite de façon que UM1M = c rk.

Placez sur la figure ci-contre le point A(1 ; 2 ; 3).

Solution

O

z

y

x

A1

2

3

A

Δ

ejei

ek

Étape 1 On place le point A1(1 ; 2) dans le plan

(Oxy) muni du repère (O ; zi, zj ) .Étape 2 On trace la droite parallèle à l'axe (0z) et passant par A1 .Étape 3 On place le point A sur la droite , de façon que IA1A = 3 rk .

4. Comment calculer la norme � ru� d’un vecteur ru à partir de ses coordonnées dans un repère orthonormal ?

Méthode 6

Étape 1 Déterminer les coordonnées (a ; b ; c) de r

u.Étape 2 Calculer la norme (longueur) �

r

u � de r

u avec l’égalité �r

u � = 9a2 + b2 + c2.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (O ; zi, zj , rk ) .

Soit A(3 ; − 2 ; 4) et B(− 2 ; 5 ; − 0,5). Calculez � TOB� et � RAB� .

Solution

Étape 1 On calcule les coordonnées de YOB et TAB :YOB (xB ; yB ; zB), soit YOB(–2 ; 5 ; –0,5).TAB (xB – xA ; yB – yA ; zB – zA), soit TAB (–5 ; 7 ; –4,5).

Étape 2 Pour YOB : � ROB� = 0(–2)2 + 5 2 + (–0,5) 2 = 829,25 .

Pour TAB : � EAB� = 0(–5) 2 + 7 2 + (–4,5) 2 = 894,25 .

Ainsi à 0,1 près, � ROB� 5,4 et � EAB� 9,7.

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1 Le solide est constitué à partir d’un cylindre et d’une sphère.

2 Le solide est constitué à partir d’un parallélépipède et d’une pyramide.

3 a) Le solide de départ est un cube.b) Le solide enlevé est un cône.

4 a) Le solide de départ est un cube.b) Le solide enlevé est un parallélépipède rectangle.

5 a) Les droites (FG) et (NJ) sont perpendiculaires.b) La droite (GC) et le plan (IJKL) sont perpendiculaires.c) Le plan (ABCD) et le plan (MNOP) sont parallèles.d) Le plan (EFGH) et le plan (IJNM) sont perpendiculaires.

6 L’intersection de la droite (BH) et du plan (ADE) est le point H, car la droite (BH) coupe le plan (ADE) en H.

7 Le point S appartient aux deux plans (SAC) et (SDB).Le point O appartient au segment [BD], donc O appartient au plan (SDB).Le point O appartient au segment [AC], donc O appartient au plan (SAC).On déduit de ce qui précède que l’intersection des plans (SAC) et (SDB) est la droite (OS).

8 1. a) Les plans (KLMN) et (GHIJ) sont parallèles au plan (DAC).b) Les plans (DEMN) et (HCFI) sont parallèles à la droite (BL).c) Les droites (KN) et (HI) sont parallèles à la droite (GJ).2. a) Les plans (KLMN) et (GHIJ) sont perpendiculaires à la droite (BL).b) Les droites (KL) et (IJ) sont perpendiculaires au plan (BEM).c) Les droites (AK) et (CH) sont perpendiculaires à la droite (AB).d) Les droites (ND) et (IF) sont orthogonales et non perpen-diculaires à la droite (AB).

9 1.K

C

GH

D

JIFE

A B

L

2. Le quadrilatère EFGH est un rectangle tel que EH = AD = 3 cm et EF = AB = 4 cm.

KGH

J

I FE

L

10 1.

A B

C

A C

S

A B

S

2. En reportant les longueurs BC, BS et CS prises sur les figures précédentes, on obtient :

CB

S

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21CHAPITRE 1 GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN ET L’ESPACE 21

11 1. ABCD est un carré tel que AB = 3 cm.

0

A

D C

B2. Le triangle DSB est isocèle, car SD = SB. O est le milieu de [DB], car les diagonales d’un carré se coupent en leurs milieux. On en déduit que la médiane (OS) du triangle DSB est aussi médiatrice et le triangle SOB est rectangle en O. En reportant la longueur OB de la figure précédente.

0

S

B3.

BA

S

12 a)

P

b)

P

13 a)

P

b)

P

14 a) P

b)

P

15 1. a) Le triangle EFG, extrait du cube, est rectangle et isocèle en F. Dans le plan du triangle EFG, on applique le théorème de Pythagore, EG2 = EF2 + FG2 = 42 + 42 = 32 et EG = 532 = 412.De même, en considérant le triangle EFB, on calcule EB2 = 32 et EB = 532 = 412 et en considérant le triangle GBC, on calcule GB2 = 32 et GB = 532 = 412.b) EG = EB = GB, donc le triangle EGB est équilatéral.2. a) Dans le plan du triangle EGB, les triangles EBG et IBJ sont placés dans un cas de figure de Thalès.I est le milieu de [EB] et J est le milieu de [GB], donc d’après Thalès la droite (IJ) est parallèle à la droite (EG).

b) De plus, d’après Thalès, IJ = 12

EG = 212.

16 1. s est un cercle de centre H.2. Le triangle MHO est rectangle en H donc, d’après Pytha-gore, OM2 = OH2 + HM2, d’où HM2 = OM2 – OH2 = 22 – 12 = 3et HM = 13.

17 A(2 ; 2 ; 3).

18 B(2 ; – 1 ; – 2).

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- L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

ée e

st u

n dé

lit.

22

19 C(– 2 ; 1 ; 1).

20

O

z

y

x

ei

ejek A

A1

B

B1

Δ’ Δ

21

O

z

y

x

ei ej

ek

N

N1

M

M1

Δ’Δ

22

O

z

y

x

eiej

ek

C

D1

D

C1

Δ’

Δ

23 1. EAB(– 6 ; 3 ; – 2).2. ||EAB|| = 0(–6)2 + 32 + w(–2)2 = 549 = 7.

24 1. EAB(3 ; 4 ; – 2).2. || EAB|| = 032 + 42 + w(–2)2 = 529 .

25 1. TMN(2 ; – 1,5 ; 3).2. MN = || TMN|| = 022 + (–1,5)2 w+ 32 = 915,25.

26 1. EAB(2 ; – 1 ; – 2),AB = ||EAB|| = 022 + (–1)2 w+ (–2)2 = 29 = 3.EAC(1 ; – 2 ; 2), AC = ||EAC|| = 012 + (–2)2 w+ 22 = 29 = 3.2. AB = AC, donc le triangle ABC est isocèle en A.

27 1. TMN(– 2 ; 0 ; – 2),MN = ||TMN|| = 0(–2)2 + 02 w+ (–2)2 = 28 = 222.TNP(3 ; – 4 ; 1), NP = || ENP|| = 032 + (–4)2 w+ 12 = 526.TPM(– 1 ; 4 ; 1), PM = || TPM|| = 0(–1)2 + 42 w+ 12 = 518.

2. Dans le plan (MNP), NP2 = 26 et MN2 + PM2 = 8 + 18 = 26,donc, d’après Pythagore, le triangle MNP est rectangle en M.

28 1. EEA(2 ; 0 ; – 2,5),EA = || EEA|| = 022 + 02+ w(–2,5)2 = 910,25.EEB(0 ; 2 ; 2,5), EB = ||EEB|| = 002 + 22+ w2,52 = 910,25.EEC(1 ; – 3 ; – 0,5),EC = ||EEC|| = 012 + (–3)2+ w(–0,5)2 = 910,25.EED(– 2 ; 0 ; – 2,5), ED = || EED|| = 0(–2)2 + 02+ w(–2,5)2 = 910,25.On a bien EA = EB = EC = ED.2. On en déduit que les points A, B, C et D appartiennent à la sphère de centre E et de rayon 910,25.

29 1. Les plans (MNP) et (ABC) sont parallèles au plan (EFG).b) Les plans (MNP) et (ABC) sont parallèles à la droite (FH).c) Les droites (MK) et (GC) sont parallèles à la droite (AE).2. a) Les plans (MNP) et (EFG) sont perpendiculaires à la droite (AE).b) Les plans (FBC) et (MKL) sont perpendiculaires au plan (EFG).c) Les droites (FB) et (GC) sont perpendiculaires à la droite (FG).d) Les droites (NE) et (QL) sont orthogonales et non per-pendiculaires à la droite (FG).3. a)

Q

L

E

AB

FD

C

G

H

K

MN

P

J

I

b) I appartient au segment [BD], donc I appartient au plan (FBD).I appartient au segment [AC], donc I appartient au plan (ACG).J appartient au segment [FH], donc J appartient au plan (FBD).J appartient au segment [EG], donc J appartient au plan (ACG).On en déduit que l’intersection des plans (FBD) et (ACG) est la droite (IJ).c) H appartient au plan (FBH) et au plan (MKH).P appartient au plan (FBH) et au plan (MKH).

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23CHAPITRE 1 GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN ET L’ESPACE 23

On en déduit que l’intersection des plans (FBH) et (MKP) est la droite (HP).

30 1. Dans le carré ABCD extrait de la pyramide, AO = 12

AC.

Or, d’après Pythagore, AC2 = AB2 + AC2 = 50, soit AC = 550 = 522, d’où AO = 5

222 cm.

Le triangle ASC est isocèle, car SA = SC.O est le milieu de [AC], car les diagonales d’un carré se coupent en leurs milieux.On en déduit que la médiane (OS) du triangle ASB est aussi médiatrice et que le triangle SOA est rectangle en O. Alors, d’après Pythagore, AS2 = AO2 + OS2, d’où OS2 = AS2 – AO2 = 52 – �5

222�2 = 25 – 50

4 = 25

2

et OS = 5

252

= 512

= 512

2 cm.

2. L’aire du carré ABCD est égale à 5 5 = 25 cm2 et le

volume de la pyramide est égal à 13

 25 5122

≈ 29,46 cm3.

31 1. a) Dans le plan du triangle DAC, les triangles DAC et IAJ sont placés dans un cas de figure de Thalès.

AI = 14

AD, donc AIAD

= 14

.

AJ = 14

AC, donc AJAC

= 14

.AI

AD = AJ

AC, donc les droites (IJ) et (DC) sont parallèles.

b) Dans le plan du triangle DBC, les triangles DBC et LBK sont placés dans un cas de figure de Thalès.BL = BD – DL = BD – 3

4BD = 1

4BD, donc BL

BD = 1

4.

BK = BC – KC = BC – 34

BC = 14

BC, donc BKBC

= 14

.BLBD

= BKBC

, donc les droites (LK) et (DC) sont parallèles.

c) On en déduit que les droites (IJ) et (LK) sont parallèles.2. a) Dans le plan du triangle BDA, les triangles BDA et LDI sont placés dans un cas de figure de Thalès.

DL = 34

DB, donc DLDB

= 34

.

DI = DA – AI = DA – 14

DA = 34

DA, donc DIDA

= 34

.DLDB

= DIDA

, donc les droites (IL) et (AB) sont parallèles.

b) Dans le plan du triangle ACB, les triangles ACB et JCK sont placés dans un cas de figure de Thalès.CJ = CA – AJ = CA – 1

4CA = 3

4CA, donc CJ

CA = 3

4.

CK = 34

CB, donc CKCB

= 34

.CJCA

= CKCB

, donc les droites (JK) et (AB) sont parallèles.

c) On peut en déduire que les droites (IL) et (JK) sont paral-lèles.3. On déduit des réponses aux questions 1.c) et 2.c) que le quadrilatère IJKL est un parallélogamme.

32 Dans le plan du triangle LBK, les triangles LBK et IBJ sont placés dans un cas de figure de Thalès.

BIBL

, en se plaçant dans le plan du triangle ALB.

Les triangles ALB et ELI sont placés das un cas de figure de Thalès. Les droites (EI) et (AB) sont parallèles, donc BIBL

= EIAB

= EIEF

, car EF = AB.

Or, I est le milieu de [EF], donc BIBL

= 12

.

BJBK

, en se plaçant dans le plan du triangle BKC.

Les triangles BKC et JKG sont placés dans un cas de figure de Thalès.Les droites (JG) et (BC) sont parallèles, doncBJBK

= JGBC

= JGFG

, car BC = FG.

Or, J est le milieu de [FG], donc BJBK

= 12

.

BIBL

= BJBK

et d’après

Thalès que les droites (IJ) et (LK) sont parallèles.

33 1. B�94

; – 54

; – 64� ; A�– 3

4 ; – 5

4 ; – 18

4 � ; C�– 34

; 154

; – 64� ;

D�– 34

; – 54

; – 64�.

2. EAB�124

; 0 ; – 124 �, soit EAB(3 ; 0 ; – 3).

AB2 = || EAB||2 = 32 + 02 + (– 3)2 = 18.

EBD�– 124

; 0 ; 0�, soit EBD(– 3 ; 0 ; 0).

BD2 = || EBD||2 = (– 3)2 + 02 + 02 = 9.

EAD�0 ; 0 ; – 124 �, soit EAD(0 ; 0 ; – 3).

AD2 = || EAD||2 = 02 + 02 + (– 3)2 = 9.BD2 + AD2 = 9 + 9 = 18 et AB2 = 18, donc d’après Pytha-gore, le triangle ADB est rectangle en D.

3. EDC�0 ; 204

; 0�, soit EDC(0 ; 5 ; 0).

DC2 = || EDC||2 = 02 + 52 + 02 = 25.

EBC�– 124

; 204

; 0�, soit EBC(– 3 ; 5 ; 0).

BC2 = || EBC||2 = (– 3)2 + 52 + 02 = 34.BD2 + DC2 = 9 + 25 = 34 et BC2 = 34, donc d’après Pytha-gore, le triangle BDC est rectangle en D.

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COMMEÀ L’ÉCRAN

28 24

On a construit à l’aide du logiciel Geospace le cube ABCDEFGH et la section de ce cube par un plan passant par le point M du segment [EG] et parallèle au plan (DBFH). On a aussi obtenu les distances IJ, KL, LI, JK et LJ.On a enfin tracé une figure extraite du cube : le triangle DBG (en rouge).

1. Quelle est la nature de cette section ? Justifiez, avec les distances obtenues.

Le quadrilatère IJKL est un rectangle. En effet, (LI) // (KJ), (KL) // (JI), et l'angle

JKL est droit, car JL2 = KJ2 + KL2 (KJ = 3 = LI, JL = 5 et IJ = LK = 4).

2.a) Quelle est la nature du triangle DBG ? Justifiez.

Le triangle DBG est équilatéral. En effet, les segments [BD], [BG] et [GD]

sont de même longueur, car ce sont les diagnonales de trois carrés ayant

des arêtes de même longueur.b) La parallèle à la droite (BD) passant par le milieu O du segment [BG] coupe le segment [DG] en un point P. Quel est ce point ? Justifiez.

P est le milieu de [DG]. En effet, dans le plan du triangle DGB, les triangles

DGB et PGO sont placés dans un cas de figure de Thalès.

(OP) // (BD) et O milieu de [BG], donc P est le milieu de [DG].

Section par un plan et figure extraite d’un cube, avec un logiciel de géométrie dans l’espace

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25CHAPITRE 1 VECTEURS

Évaluation

CHAPITRE 1 GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN ET L’ESPACE 29

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Nom

Prénom

Classe

Date

25

Exercice 1 4 points

On considère les deux solides usuels représentés ci-dessous.H

G

BA

C

D

FE

I

B

A

CD

J

1. On sectionne le cube ABCDEFGH par le plan � parallèle au plan (ACG) passant par le point I. Représenter sur la figure la section obtenue.

2. On sectionne la pyramide ABCD par le plan Q parallèle au plan (ADC) passant par le point J. Représenter sur la figure la section obtenue.

Exercice 2 6 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (O ; zi, zj, rk).On considère les points A(1 ; 0 ; 2) et B(− 1 ; 2 ; 1).

1. Compléter la figure en plaçant le point C(0,5 ; − 0,5 ; 2).

2. a) Calculer les coordonnées des vecteurs EAB, RAC et RBC.

RAB(–1 –1 ; 2 – 0 ; 1 – 2) soit EAB(–2 ; 2 ; –1).EAC(0,5 –1 ; –0,5 – 0 ; 2 – 2) soit EAC(–0,5 ; –0,5 ; 0).EBC(0,5 +1 ; –0,5 – 2 ; 2 – 1) soit EBC(1,5 ; –2,5 ; 1).b) Calculer les valeurs exactes des normes des vecteurs EAB, RAC et RBC.

||RAB||= 0(–2)2 + 22 + x(–1)2 = 19 = 3.||RAC||= 0(–0,5)2 + (–x0,5)2 x+ 02 = 50,5.||RBC||= 01,52 + (–2,5x)2 + 12 = 59,5.c) En déduire que le triangle ABC est rectangle en A.

BC2 = ||ZBC||2 = 9,5 et AB2 + AC2 = || ZAB||2 + ||ZAC||2 = 9 + 0,5 = 9,5,donc AB2 + AC2 = BC2, et d'après Pythagore le triangle ABC est rectangleen A.

O

z

y

x

eiej

ek

BC

A

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26

Exercice 3 10 points

On a construit à l’aide du logiciel Geospace une pyramide, à base carrée, SABCD telle que les triangles SAB et SAD sont rectangles en A. On a tracé en rouge une figure extraite de cette pyramide : le triangle SDB.

1. a) En utilisant des longueurs données par le logiciel, calculer les valeurs exactes des longueurs SB, SD et BD.

Le triangle SAB est rectangle en A, et d'après Pythagore

SB2 = AS2 + AB2 = 72, donc SB = 572 = 612. De même, SD2 = AS2 + AD2 = 72

et SD = 612. De même, BD2 = AD2 + AB2= 72 et BD = 612.

b) En déduire la nature du triangle SDB.

SB = SD = BD, donc le triangle SDB est équilatéral.

2. a) En utilisant des longueurs données par le logiciel, montrer que les droites (IJ) et (DB) sont parallèles.

Dans le plan du triangle DSB,les triangles DSB et ISJ sont placés

dans un cas de figure de Thalès. SISD

= 3,4612 et SJ

SB =

3,4612 .

Ainsi, SISD

= SJSB

, donc les droites (IJ) et (DB) sont parallèles.

b) En déduire la longueur IJ.

De plus, IJDB

= SISD

= 3,4612 , donc IJ =

3,4612 DB,

soit IJ = 3,4612 612 = 3,4.