C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, S&ie II b, p. 1385-1390, 1999 InstabilitC et turbulence//nstabi/ity and turbulence

Geom&rie de I’intermittence en turbulence dCveloppCe Diogo QUEIROS-COND&

Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge, Silver Street, Cambridge CB3 9EW, United Kingdom

Courriel : D.J. Queiros-Conde@damtp.cam.ac.uk

(Rqu le 27 janvier 1999, accept6 aprks rkvision le 26 juillet 1999)

RCsumC. Une interprktation gbomkique de l’intermittence en turbulence dCveloppCe est r&lide g&e k une hiCrarchie de structures fractales Sz, de dimensions Ap likes entre elles par les relations GP + 1 c QP (i.e. Ap + 1 < 4)

y=((1+3/~)1’3+(1-33/~)1”)3 et y = ( Ap + 1 - A-)/( Ap - Am) avec

et A, = 1. Ceci est obtenu par l’introduc- tion d’un saut d’entropie, defini g 1’Cchelle r, AS,< r) = ($ + 1 - 4) In ( r/rO) ca- racdrisant le niveau d’ordre de chaque sous-structure GP et vkrifiant une relation 1inCaire AS,< r ) = y AS, _ ,( r). 0 1999 Acadkmie des sciencesklitions scientifiques et mkdicales Elsevier SAS

turbulence / intermittence / fractales

Geometry of intermittency in fully developed turbulence

Abstract. A geometrical interpretation of intermittency in fully developed turbulence is realized through an hierarchy offractal structures QP of dimensions Ap linked each other by the relations Q,,+‘l~i2p (i.e. Ap+,<AJ and y=(Ap+l-A,)l(Ap-A,) with

y = ( ( 1 + 3/V% )“, + ( 1 - 3n/8 )1’3 )3 and A, = 1. Z’his is obtained by the intro- duction of an entropy jump, defined at the scale r, AS,< r) = ( Ap + 1 - 4) In ( r/TO) characterizing the order level of each sub-structure s;Z, and verifying a linear relation AS,< r ) = y AS, _ ,( r). 0 1999 Acadimie des science&ditions scient$ques et mt!dicales Elsevier SAS

turbulence / intermittency /fractak

A bridged English Version

The statistical description of intermittency in fully developed turbulence is often implicitly linked to a particular geometry for the energy dissipation support. Kolmogorov’s theory [l] assumes a homogeneous field (space-filling) for the dissipation, /?--model [3] uses the fractal description [4] and, more recently, the multifractal approach [5] has been proposed. We present here a new geometrical description for the energy dissipation field. Statistics of velocity or energy fluctuations are usually described using the structure functions (6VF) or (E!), where SV, is the velocity increment between two points sepa- rated by a distance r, and E, the rate of energy dissipation averaged over a ball of size r. If universal scaling exists over an inertial range then it is expected that (SV~) - @ and (E:) - rTp. Kolmogorov’s

Note prksentke par RenC MOREAU.

12X7-4620/99/032701385 0 1999 Acadhie des scienceshlitions scientifiques et mkdicales Elsevier SAS. Tous droits r&en& 1385

D. Queiros-Cond6

theory [l] predicts [, = p/3; however, experimental [8] and numerical [9] studies display a significant departure from this linear behaviour and others show the existence of highly intermittent structures with a filamentary form [12, 131. In this paper, intermittency of energy dissipation is interpreted through a set of fractal structures QP of dimension AP linked by a relation of inclusion: Sz, + , c Q, (i.e. AP + r < AJ. Each structure QP represents the support of the active part from energy dissipation field of moment (SE:) where &, = 1 E, - (&,)I is the fluctuation of rate of energy dissipation E, rela- tively to its average (E,). AP varies from the dimension of filaments A, = 1 (where the largest &, events occur) to the embedding dimension A0 = d = 3. The dimension A, is associated to the classical fractal dimension: A1 = Df The number of configurations of structures s;Z, + r contained in the struc- ture Sz, at the scale r (ra is the integral scale) can be written VP< r )/VP + 1( r) = ( r/ro)*~ + 1 - ‘FJ where V,(r) = (r&)*p 4 corresponds to the volume occupied by the structure QP at the scale r. We then introduce the entropy jump AS,< r ) = ( AP + r - $) In ( r/ro) corresponding to this number of con- figurations. This quantity characterizes the level order of the structure Q, + I developed over the struc- ture .QP. A justification for this quantity is the recent observation that fully developed turbulence is a mixing of disordered but weakly intermittent structures and highly intermittent ordered objects (fila- ments) [ 161. Since these structures are dynamically linked, we propose a deterministic expression be- tween successive entropy jumps through the linear relation AS,< r) = y AS, _ r( r) with 0 < y I 1. A recursive relation between all the AP dimensions is then deduced: y = ( A,, + t - AP )/( AP - AP _ r ) or ~=($+l-Arn)/(A~p-~).M oreover, the quantity &. average of BE, over the active parts of the energy dissipation field is defined, and it is assumed that & N r”. A determination of (Y as a function of geometrical quantities can be realized by considering that the active zone is supported by a fractal support of dimension Of; it can be written &, = ( vi lr, ) ( r/r,, )or - d where v. is the typical velocity associated with the integral scale, where energy is injected; this leads to (Y = Of- d. These assump- tions allow a prediction of rP exponents and their corresponding &, exponent: rP = 2( y - 1) p + 2( 1 - yP ) et [,, = [ ( 2 y - 1)/3] p + 2( 1 - yp’3 ). The parameter y can be deter- mined exactly by using the result [17, 181; it y=((1+3/vw3

Df=2+& gives

+(1-3/~)1’3)3=0.68.Byusingy=(A~+~-A,)/(A~-A,)forp=l,it becomes possible to establish a link between some statistical quantities such as the moments (EC) and geometrical ones such as the fractal dimension Df of turbulent interfaces. We obtain y=(Df-A,)l(d-A,)whichgivesDf= 2.36 (d = 3, A, = 1) in very good agreement with experi- mental measurements [17, 19, 201. We finally propose a way to demonstrate the dimensions AP ex- perimentally based on a particular thresholding of the energy dissipation field. As a conclusion, a geo- metrical description of the energy dissipation in terms of what could be called fructal skins of turbulence emerges from our study. Fully developed turbulence would be described by a hierarchy of fractal structures linked to each other by a recursive relationship,

1. Introduction

La statistique des fluctuations de vitesse ou d’energie en turbulence developpee a suscite un grand nombre d’etudes depuis la theorie fondatrice de Kolmogorov [ 11 et les observations experimentales de Batchelor et Townsend [2]. Cherchant surtout a comprendre le phenomene de l’intermittence, la statistique proposee pour decrire l’intermittence est toujours implicitement like a une geomttrie sous-jacente. Ainsi, la theorie de Kolmogorov [l] (qui ne prend pas en compte l’intermittence) correspond a un champ homogene (il remplit l’espace), le P-model [3] utilise une description fractale

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CGomCtrie de I’intermittence en turbulence dheloppke

[4] et, enfin, citons l’approche multifractale et sa statistique associee [5]. Nous nous proposons, dans le cadre de ces Comptes Rendus, d’introduire une nouvelle description geometrique du support spatial de la dissipation d’energie.

2. Turbulence dCvelopp6e

On d&it habituellement la turbulence developpee par les fonctions de structure (&‘$!) ou (E$) oil SV, est la fluctuation de vitesse entre 2 points distants de r et E, le taux de dissipation d’energie moyennee sur une boule de dimension r. Dans une gamme inertielle d’echelles, Kolmogorov [l] postule l’existence de lois universelles :

(sv$?-$ (&$-4P (1)

En consid&ant une dissipation homogbne, il aboutit a &, = p/3. L’hypothese de similarite raffinee [6] conduit a && = p/3 + z,,,. Par ailleurs, Kolmogorov [7] obtient le resultat exact & = 1 (i.e. r1 = 0). Cependant, la realite physique, cemee a travers des etudes experimentales [8] et numeriques [9], ne cadre pas avec cette vision et se manifeste par un comportement clairement non-lineaire des exposants &,. Ce phenomene, attribue au caracdre intermittent de la dissipation d’energie, est aujourd’hui appele intermittence. Certaines etudes theoriques [ 10, 1 l] ont suppose que les structures les plus intermittentes possedaient une forme filamentaire qui a Cte identifiee numeriquement [ 121 et experimentalement [13]. De multiples modeles ont CtC proposes afin de saisir l’evolution des exposants &, [14]. Notre approche per-met une determination des exposants &, reposant sur l’exis- tence d’une structure geometrique particuliere pour le champ de dissipation. Introduire cette gCom&rie represente l’objectif de ces Comptes Rendus de 1’AcadCmie des Sciences.

3. DCfinitions g&hales

La premiere &ape de notre travail requiert l’introduction de quantids adequates dont certaines sont familieres a la description multifractale [5]. Soit un domaine de dimension d caracterid par une Cchelle r,. La quantite VT = 4 represente, dans le cas d’une turbulence tridimensionnelle (d = 3), le volume total couvert par l’echelle integrale ro. Considerons un ensemble de structures fractales (notees Sz, par convenance) ayant des dimensions Ap allant de A0 = d a une valeur specifique A, avec A, < A0 oti p est un entier positif variant entre 0 et l’infini. Pour chaque structure QPr nous dkfinissons la fraction de volume correspondante f,( r) = VP< r)lV, oh V,( r), le volume couvert par la structure Sz, a l’echelle r, s’exprime par VP< r) = ( rolr)‘p 4. 11 vient f,( r) = (~-/./r~)~ - 4. Dans le cadre de ces notations, on voit que VT = Vo( r) ; ainsi, f,( r) peut Ctre definie avec plus de gCnCra.litt par f,(r) = VP< r)lV,( r). Nous obtenons :

yvs r) &(r>=m= (2)

La quantitk W,(r) = l/f,< ) r re p resente le nombre de configurations a l’echelle r que peut prendre la structure s;Z, se developpant sur un volume V,(r) lorsqu’elle est plongee dans le champ total 9, dont le volume est Vo( r). Nous pouvons done introduire une entropie d’echelle ,I$( r) = In ( W,( r) ). Definissons alors le << saut d’entropie B a l’echelle r entre les structures Q, et 52 p+lp~ASp(r)=Sp+l ( r) - S,( r). Si les structures sZp sont fractales alors, en utilisant (2), on montre que AS,< r ) = ( Ap + i - A,,) In (rho). Ce saut AS,< r) = In (V,( r)lV, + 1(r)) est inter- prete comme l’entropie associee au nombre de configurations d’une structure Qp + i plongee dans une structure sZP + 1 vtkifiant QP + 1 c 0, (et done $ + i < AJ.

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D. Queiros-CondC

4. Application h la turbulence dCveloppCe (grand nombre de Reynolds)

Nous nous interessons a la fluctuation &, du taux local de dissipation d’energie a, par rapport a sa moyenne spatiale (a,) rCalisCe sur un volume i-$ : &, = 1 c, - (E,) 1. Puisque r1 = 0 [71, les moments (&F) suivent les memes lois d’echelles que les moments classiques definis plus haut : (&F) - r’p.

Nous ferons les hypotheses suivantes :

i) Le support spatial du moment (SE:) est une structure fractale Q, de dimension Ap : cela signifie que la partie active du champ de dissipation d’energie contribuant au moment (6~:) est developpee sur s2,. Pour p = 0, le support spatial Sz, est le champ lui-meme : A0 = d. Si p = 1, la partie active du moment (se,) se repartit sur une structure fractale de dimension A, (c’est l’idee du /?-model) qui represente la dimension fractale classique Df A, = Df Enfin, le moment (8~;) obtenu pour p + w caracterise le plus fortes fluctuations par rapport a la moyenne du taux de dissipation d’energie supposees avoir lieu sur des filaments de dimension A, = 1.

ii) La moyenne ST de la fluctuation de dissipation d’energie sur les parties actives par unite de masse obeit a une loi de puissance : %, - ra.

iii) Les sauts d’entropie entre les structures Qp _ 1, Qp et Sz,, Qp + t sont lies par une relation linCaire:AS,(r)=yAS,-l(r),O<yI1.

L’hypothese (i) trouve son origine darts la question suivante : si les plus fortes fluctuations &, ont lieu sur des filaments, oti surviennent done les fluctuations legbrement inferieures h celles-ci ? Une reponse simple est de considerer que chaque niveau de fluctuation defini par le moment (Jew) possede sa structure s2* correspondante. Observons que, si Qp + 1 est le support spatial de la partie active du moment (se:), alors Sz, + r sera une partie de la partie active du moment (SE:) qui, par definition, a comme support spatial la structure Q,. Ceci implique : Sz, + r c Sz, et Ap + 1 < Ap. Citons, dans ce contexte, le travail de Gledzer et al. [ 151 developpant la notion de q< puits de dissipation D associee aux structures filamentaires. Cette image semble adequate pour illustrer la relation d’inclusion Sz, + t c Q, qui suggere ainsi une hierarchic de puits de dissipation.

Une justification de l’hypothese (ii) repose sur l’observation que l’energie est concentree sur une zone active du champ. Nous supposons ici que ces zones actives possedent une fluctuation moyenne %, du taux de dissipation d’energie dependant de I’echelle consideree mais caractetisee par un seul exposant (Y. (Y n’est done pas un exposant << local D car il caracterise une moyenne sur l’ensemble de la zone active et non un comportement local. Nous ne nous interesserons pas ici a une possible variation locale de cet exposant (Y caracteristique de la description multifractale [5]. L’exposant (Y peut Ctre determine en considerant que la zone active de la dissipation d’energie est fractale de dimension Df Soit P le taux d’energie dissipee qui, dans des conditions d’equilibre d’injection et de dissipation, est suppose constant ; on peut Ccrire P = (~6) V; lra ou va est la vitesse caracteristique associee a I’echelle integrale et p la masse volumique du fluide. Puisque %, est un taux d’energie dissipee par unite de masse alors & = P/m( I-) oti m( I-), la masse de fluide contenue dans le support fractal a l’echelle r, s’exprime par m( r ) = p& r/r, )d - Df d’oti & - rof - d et (Y = Df - d. On peut alors &-ire &, = ( vi lrO ) ( r/r, )Df - d.

La relation (iii) traduit une vision de la turbulence developpee qui tend a s’imposer depuis quelques an&es [16, 131 : un melange de structures desordonnees qui sont le support de fluctuations d’energie fai- bles et de structures ordonnees (filaments) qui sont, elles, le lieu des plus fortes fluctuations. Essayer de quantifier cet ordre renvoie inevitablement a la notion d’entropie statistique. L’existence d’une dynami- que liant ces structures impose alors une relation deterministe entre l’entropie caracterisant chacune des structures. Observons que la quantite pertinente ici n’est pas l’entropie << absolue B S,( r) mais la diffe-

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C6ometrie de I’intermittence en turbulence dkvelopp6e

rence d’entropie AS,< T-) entre 2 structures successives. Ceci signifie que pour chaque structure Sz, + i, son niveau d’ordre doit &re calcule non par rapport au champ total Q,, mais par rapport a la structure

s2,* Pour calculer les moments (BEG), il faut considerer deux contributions : la premiere 74 est due a la

v&itable partie active du champ et la deuxibmef,( r) est un facteur d’intermittence qui tient compte de l’aspect lacunaire de 1acJissipation d’energie. Ainsi, on peut Ccrire (se:) -Fe&( r) qui, en appli- quant (2), devient (8$) -&$( r/rO)d - A P. Si des lois d’echelles universelles existent vraiment, l’hy- pothese ii) nous permet d’ecrire rp = arp + d - Ap. On montre alors, en associant l’hypothbse iii) et la dCfinitiondeAS,(r),quey=(A~-Ap+,)/(Ap,_,-A,,)p our tout p. Puisque Ap varie de A0 = d i% A, lorsque p varie de 0 a M, nous en deduisons que y = ( Ap + i - A, )/( Ap - A-) et par suite

A,=A,+(d-A,) yp (3)

Les relations rp = crp + d - Ap et (3) kites pour p = 1 ainsi que le resultat exact r1 = 0 [7] permettent d’obtenir CY = ( d - A, ) ( y - 1). Ce resultat peut Ctre atteint autrement en utilisant les CgalitCs (Y = Of- d, Ai = Of et y = (A, - A-)/( d - A-). En injectant les expressions de (Y et Ap dans l’equation rp = cup + d - Ap et en utilisant d = 3 et A, = 1, nous obtenons :

rp=2(y- l)p+2(1 -y”), cp= [(2y- 1)/3]p+2(1 -Y~‘~) (4)

Pour le cas particulier y = 1, on retrouve la theorie de Kolmogorov correspondant au cas non- intermittent avec Ap = d pour tout p. Notons que les relations (4) sont les mi?mes que celles obtenues par She et Leveque [lo], mis a part la valeur de y qui presente une difference comme on le verra plus loin. Cependant, notre travail relbve d’une approche fondamentalement differente car elle repose sur une geometric particuliere du support spatial de la dissipation d’energie. En effet, le modele de She et Leveque ne fait pas reference a des considerations geometriques sur ce support excepd le fait que les zones les plus intermittentes sont filamentaires. Nous nous proposons dans un prochain Comptes Rendus de detailler les liens qui existent entres ces deux approches.

5. Determination du param&re y et dimension fractale des interfaces turbulentes

Pour determiner le parametre y, nous utilisons le travail de Sreenivasan et al. [17] qui, par une hypoth&se d’independance des caracteristiques diffusives vis-a-vis du nombre Reynolds, ont Ctablit la relation Of= 2 + [i, resultat Cgalement obtenu de man&e tbeorique par Constantin et al. [18]. Precisons qu’il s’agit la de la dimension fractale des interfaces visualisees grke a l’injection d’un scalaire passif (fumee, colorant) et marquant une front&e turbulent-non turbulent. En exprimant Of= Ai a l’aide de (3) et [i par le biais de (4), nous obtenons alors une equation pour y dont la solutionest~=((1+3/fi)1’3+(1-3/fi)113)3=0,68.

Notons que ce resultat exact sur la valeur de y nous permet d’obtenir une valeur exacte pour la dimension fractale puisque, d’apres (3), Df = 1 + 2 y. Nous parvenons ainsi B Df = 2,36. Soulignons que cette valeur a CtC determinCe experimentalement dans un grand nombre d’etudes suggerant une Cventuelle universalite [ 17, 19, 201 qui est ici retrouvee par l’introduction d’une geometric particu- like sur le champ de dissipation d’energie.

6. Mise en Cvidence expkimentale des dimensions AP

11 devrait 6tre possible de mesurer les dimensions Ap grace a un seuillage adequat sur le champ de dissipation. Celui-ci serait divise en cubes de cBtC r (avec r I rO) et la fluctuation du taux d’energie dissipee par unite de masse note &?Z( r) mesure dans chaque cube. Seuls les cubes oti

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D. Queiros-CondC

6E( r) 2 SE,( ) r serait conserves, SE,( r) &ant la valeur du seuillage. La dimension fractale D de l’ensemble des cubes ainsi selectionnes serait alors mesure. On voit immediatement que, si bE,( r) = 0 alors D = d, si SE,( r) = &, alors D = Of= A, et, pour les plus grandes valeurs de 6E,( r), on ne retiendrait que des filaments d’ou D = A,. Le probleme est de relier cette valeur du seuillage SE,( r ) a l’ordre p. Or, nous voyons que puisque AP est la dimension du support spatial du moment (se!), qui s’ecrit (&$T) -Z&j!< r/r, )d - * P, la quantite SE,( r ) devrait &tre identifiee a %$ : 6E,( I) = %$I d’oti p = in (SE,( r) )/ln( %,). En utilisant (3), on en deduit que,

Cette demike quantite consideree a une Cchelle r fixe devrait done &tre une constante pour des variations de SE,( r ) et permettre ainsi la mesure experimentale des dimensions AP.

7. Conclusion

La structure spatiale de la turbulence developpee serait constituee d’une hiCrarchie de structures fractales likes les unes aux autres (en cascade) par une relation de recurrence : ~=(A~+1-Am)/(A~-Am)avecy=((1+3/~)”3+(1-3/~)1’3)3etA,=l.Cesstructu- res peuvent &tre vues comme les peazm @-act&s de la turbulence ; la structure 0, est la premiere des peaux, la plus accessible car la plus &endue spatialement, tandis que la structure filamentaire 52, serait une peau ultime beaucoup plus confinee spatialement. Ces diverses structures seraient cependant liees dynamiquement. Bien entendu, cette vision merite de plus amples developpements et precisions que nous esperons apporter dans un avenir proche.

Remerciements. Toute ma reconnaissance au Professeur M.G. Rocha pour les discussions passionnantes que ce travail a induit.

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