Gestion des relations entre variables dans un environnement de programmation logo

CLAIRE DUPUIS ET DOMINIQUE GUIN

G E S T I O N D E S R E L A T I O N S E N T R E V A R I A B L E S D A N S

U N E N V I R O N N E M E N T D E P R O G R A M M A T I O N L O G O

Variables en Logo

RESUMI~. Notre propos est centr6 sur l'analyse des proc6dures de r6solution mises en oeuvre par les 616ves dans l'activit6 de programmation. Pour ce faire, nous proposons une m&hode d'analyse utilisant des crit6res. L'observation de ces crit6res sur des situations de programmation en Logo met en 6vidence les diff6rents types de difficult6s rencontr6es par les 616yes pour structurer et coordonner leurs proc6dures informatiques. Lorsqu'il y a codage par des variables, nous distinguons deux types de codages: analytique ou descriptif. L'analyse des cons6quences du choix entre ces deux types montre que le codage descriptif est une proc6dure de r6solution plus simple, car elle 6vite d'avoir h exprimer une relation entre des variables et permet de d6composer un probl6me complexe en plusieurs sous - probl6mes plus simples. Ce r6sultat concorde avec des observations faites en math6matiques dans des situations de raise en 6quations ou syst6me d'6quations.

MANAGEMENT OF RELATIONS BETWEEN VARIABLES IN A LOGO PROGRAMMING ENVIRONMENT

ABSTRACT. Our focus is the study of solution procedures used by students in programming. We propose a method of analysis by criteria. Applying these criteria to Logo programming situations gives evidence of the different types of difficulties met by students in structuring and coordinating their procedures. When variables are used, we distinguish two types of coding: analytic and descriptive. Analysis of the consequences of choosing each of these two types shows that descriptive coding is a simpler solution procedure as it avoids the need to express relationships between variables, and allows a complex problem to be decomposed into several simpler subproblems. This result agrees with observations of mathematical situations such as formulation of equations.

AVANT-PROPOS

Cette 6tude s ' int6gre dans un ensemble de recherches de l ' Ins t i tu t de

Recherche sur l 'Ense ignement des Math6mat iques de Strasbourg li6es

l ' in t roduc t ion de l ' in format ique dans le syst6me scolaire. Elle a pour cadre

le G R E C O "Didact ique et Acquis i t ion des Connaissances Scientifiques"

(du Centre Na t iona l de la Recherche Scientifique) qui coordonne le travail

de plusieurs 6quipes franqaises de recherche sur la Didact ique des Math6-

matiques et de l ' Informat ique . 1

U n des r6sultats essentiels de la psychologie cognitive consiste fi avoir mis

en ~vidence le r61e ~minent de la r~solution de probl~me dans le processus

d 'acquis i t ion des connaissances. Dans cette perspective, la connaissance

Educational Studies in Mathematics 20: 293-316, 1989. �9 1989 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

294 CLAIRE DUPUIS ET DOMINIQUE GUIN

s'aequiert et se eonstruit par r6solution de probl6mes. C'est dans cet esprit que nous avons con~u nos s6quences d'enseignement.

Le ehangement de l'enseignement des math6matiques, et de son eontenu, ~t partir d'une intervention de rinformatique, nous semble n6cessiter une &ude sur les concepts informatiques de variable, de r6cursivit6, de proc6dure en relation avec les concepts math6matiques pour avoir une certaine maitfise sur les repr6sentations des objets math6matiques que les 616ves se constru- iront. Si notre perspective est centr6e sur l'informatique comme "auxiliaire de pens6e", nous devons 6tudier le fonetionnement eognitif dans ce domaine de connaissance.

Le travail d'exp6rimentation (Dupuis, Egret et Guin, 1987) a 6t6 conduit sur des s6quenees didaetiques et des probl6mes tests: il s'agissait de construire des situations nous permettant de mettre en 6vidence des erit6res d'analyse des productions: analyse des coordinations et de la planifieation de raetion dans la t~che particuli6re qu'est la programmation, mise en 6vi- dence des diflieult6s des 616ves et des conceptions mises en oeuvre dans ces situations. Ces situations &aient des cons6quences de ce ehoix didaetique. Nous avons choisi le langage Logo, car il est particuli6rement adapt6 ~ une approche de l'activit6 de programmation par la r6solution de probl6me grace aux proc6dures qui permettent une programmation modulaire ou structur~e.

Actuellement, il n'existe pas en France d'enseignement de base obligatoire de l'informatique. S'il n'y a pas d'enseignement, il n'y a pas de diflieult~s sp6cifiques connues, rep~r~es, pas de conceptions spontan~es iden- tifi6es: nous essaierons de d~crire et d'analyser l'aetivit~ de programmation des 616ves, leurs diflieult~s, de d6gager des types d'erreurs. Ainsi nous pourrons apporter des 61~ments de r~ponse ~ ces questions et formuler d'autres probl6mes plus pr6cis grace aux r6sultats obtenus.

1. INTRODUCTION

Notre recherche se situe dans un ensemble d'~tudes sur les acquisitions conceptuelles relatives aux structures it~ratives et r6cursives au cours d'enseignements de programmation.

Le pr6sent article se situe en amont d'un enseignement de la r6cursivit6, dans une phase dont le but est de motiver l'introduetion de la r~eursivit~ et de permettre aux ~l~ves de consid~rer, par la suite, la r6cursivit6 comme un outll pour la r~solution d'une classe de probl~mes. Tous le s ingr6dients n6cessaires fi la r~cursivit6 sont pr6sents dans ces situations, saul l'auto- r~f~renee c'est ~ dire l'appel du programme h l'int~rieur de lui-m~me.

GESTION DES VARIABLES EN LOGO 295

Chaque procrdure fait appel, toujours de la m~me fa~on, ~t une autre procrdure de la m~me famille.

Notre propos est centr6 sur ranalyse des pror de rrsolution mises en oeuvre par les 616ves dans des problrmes de programmation. L'activit6 de programmation contraint les 616ves ~ expliciter, par un programme 6crit, leurs procrdures de rrsolution. Cette explicitation reflrte les connaissances acquises et les reprrsentations qu'ont les 616ves du fonctionnement du dispositif informatique. L'analyse des procrdures de rrsolution implique donc la drfinition de cfitrres d'analyse fondrs, non sur la ressemblance du rrsultat graphique obtenu avec le rrsultat demandr, mais sur les connaissances et les reprrsentations sous-jacentes. L'explicitation nrcessaire ~ la programmation pourra aussi &re exploitre comme moyen d'enseignement pour remrdier aux difficultrs apparues, grace aux rrsultats tirrs de l'analyse.

Nous avons donc poursuivi un double objectif:

1 - proposer une m~thode d'analyse par la d~finition de crit~res qui s'appuient sur une analyse a priori des situations e t a posteriori des procrdures de rrsolution. L'explicitation de mrthodes d'analyse nous para~t susceptible d'amrliorer la communication et la comparaison des recherches exprfimentales en didactique de l'informatique.

Plus que les rrsultats de recherche, ce sont sans aucun doute les m~thodes qui peuvent ~tre les plus utiles pour les enseignants, non pas les m&hodes de "preuves" des rrsultats mais plutrt les m~thodes d'analyse des situations proposres aux 616ves, ~ la fois lorsqu'il s'agit d'introduire des notions et quand il s'agit d'rvaluer des acquisitions. (Rogalski, 1986)

2 - mettre en 6vidence ies eomprtences acquises par les 616yes, les diflieultrs rencontrres et les procrdures raises en oeuvre par les 616ves pour les contourner 6ventuellement.

2. LE CONTEXTE

Nous travaiUons avec une classe de 19 61+ves (13-15 ans) de 46me puis de 36me. Les 61+ves suivent une heure hebdomadaire d'informatique en plus de leur horaire de math~matique normal. Cette heure supplrmentaire, mais obligatoire, est assurre par leur professeur de mathrmatique. Cet enseignement n'est pas institutionnel, ce qui nous laisse entirrement libres en ce qui concerne son contenu. Nous avons choisi le langage Logo parce qu'il peut 6tre abord~ avec des 616ves assez jeunes, qu'il donne rapidement des rrsultats gratifiants pour les 616ves et surtout parce qu'il est bien adaptr, grace ~ ses procrdures, h une structuration dans la rrsolution des prob- l+mes. L'utilisation de la rrcursivit6 y est une quasi-nrcessit6 par manque d'une itrration assez fiche. Contrairement au Pascal, l'utilisation de variables ne nrcessite pas une drclaration prralable.

296 C L A I R E D U P U I S ET D O M I N I Q U E G U I N

Notre enseignement s'est d6compos6 en trois phases:

- premiere phase: enseignement de base du langage Logo graphique et non graphique en insistant sur la structuration des programmes.

- deuxi~me phase: enseignement de la r6cursivit6. Cet enseignement tech- nique a pour but de mettre routil r6cursivit6 ~t la disposition des 616ves pour la r6alisation de projets ult6rieurs. Nous proposerons aux 616ves diff6rents mod61es afin que chacun d'entre eux puisse se construire une repr6sentation de la r6cursivit6.

- troisidme phase: approfondissement. I1 s'agira de proposer aux 616ves des situations dans laquelle la r6cursivit6 peut &re utilis6e ce qui permettra de r6aliser une 6valuation des acquis des 616ves en mati6re de r6cursivit6.

L'activit6 d6crite ici se place au d6but de la deuxi6me phase, apr6s 23 heures de pratique active de la programmation en Logo. A l'issue de la premi6re phase, un test individuei nous a permis d'estimer que les 616ves avaient acquis les 616ments de base de la programmation structur6e graphique (Dupuis, Egret et Guin, 1987). Nous verrons que ces acquisitions ne sont pas stabilis6es, ce qui ne nous a pas surprises puisque nous consid6rons, comme Rogalski (1988), que la p6riode d'alphab6tisation informatique s'6tend sur environ 50 heures. Par contre, il faut reconnaitre que nous n'avions pas pr6vu rampleur des difticult6s rencontr6es dans la gestion des variables et des relations entre les variables.

3. LA F A M I L L E DES " A R B R E S "

Ces courbes 2 ont 6t6 choisies pour motiver l'introduction de la r6cursivit6 comme outil: ind6niablement, eUes ont plu aux 616ves.

3.1. Prbsentation de la Consigne Donnbe aux gloves

Voici plusieurs courbes de la m6me famille. Ecris les programmes correspondants, en utilisant ~ ehaque fois le programme precedent.

I ! y y Fig. 1.

G E S T I O N DES V A R I A B L E S EN LOGO 297

3.2. Le Choix de l'Acth~itE

Cette famille de courbes a 6t6 choisie parce que les programmes correspondants pr6sentent une invarianee d'emlmttement lorsqu'on passe d'une courbe

la suivante dans la m6me famille. Le programme d'un arbre quelconque s'6crit, en y appelant toujours de la m~me fagon le programme de l'arbre pr6c6dent.

POUR ARBRE (i + 1) :C AV :C TG45 ARBRE(i) :C/2 TD90 ARBRE(i) :C/2 TG45 RE :C FIN

ARBRE2 ARBRE3

Fig. 2.

Ce ph6nom6ne d'invariance est ce qui permettra l'6criture r6cursive. Le programme r6cursif de l'arbre de niveau N dont le tronc a pour mesure C peut s'6crire:

POUR ARBRE :C :N SI :N = 0 ALORS [STOP] AV :C TG45 ARBRE :C/2 :N-1 TD90 ARBRE :C/2 :N-1 TG45 RE :C FIN

298 C L A I R E D U P U I S ET D O M I N I Q U E G U I N

Les quatre 6tapes explicit6es ne correspondent pas aux quatre premiers niveaux au sens r6cursif du terme. Les courbes repr~sent6es correspondent aux niveaux 1, 2, 3e t 5. Le niveau 4 a 6t6 volontairement orals; l'arbre fantOme, qui lui correspond, aurait sa place entre la troisi~me et la quatri~me 6tape explicit6e.

Fig. 3.

L'6criture d'une proc6dure pour la courbe fant6me est indispensable pour que soit r6alis6e l'invarianee d'emlmitement d'une courbe ~t la suivante dans la m~me famille.

3.3. La T~tche

La pr6sentation des trois premiers arbres et la consigne sont destin6es /t faire en sorte que les 616ves structurent leurs programmes: l'arbre n ~ i 6tant 6crit sous forme de proc6dure, il est 6conomique d'utiliser cette proc6dure pour l'arbre suivant. I1 s'agit d'emboiter les diff6rentes proc6dures comme des poup6es russes!

Les 616ves disposent des outils n6cessaires pour 6crire les programmes correspondants. Bien entendu, l'6criture ne sera pas r6cursive, 6tant donn6 qu'ils n'ont eu, ~ ce moment, aucun enseignement sur la r6cursivit6. I1 faut reconna~tre qu'il s'agit pour eux d'une activit6 assez complexe comportant des difficult~s de structuration et de coordination.

On notera 6galement une autre source de difficult6s: ia pr6sence de deux, trois puis cinq longueurs diff6rentes dans le m~me arbre. Aucune relation entre les longueurs n'6tait explicit6e dans la consigne et nous n'avons donn6 aucune indication orale.

4. A N A L Y S E DES ACTIVITIES DE P R O G R A M M A T I O N

La complexit6 des activit6s de programmation rend n6cessaire la d6finition de plusieurs crit6res d'analyse. Chaque crit6re qui intervient dans l'analyse

G E S T I O N D E S V A R I A B L E S EN LOGO 299

m

Q

0

'~ .=

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0

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0 O 0

Z Z

Z Z

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+

~ ~ ~ �9 . ~ ~ r.,.~ ~ r ~ ' ~

s z zo~ ~o O Zo ZZ Z

O Zo OO O

2; . , - , Z Z Z O ~ O O O Z O O Z Z Z

z z s ~ O Z Z OO O

z ~ ~


refl~te un des aspects de l'activit& Nous avons d~j~ d6velopp6 ce point de vue dans Dupuis, Egret et Guin (1988).

L'id6e de erit~re d'analyse, dans une recherche exp6rimentale en didactique, est proche de ceUe de variable qualitative avec le sens que lui donnent les statisticiens en analyse des donn6es. Pour eux, une variable qualitative

modalit6s est une application de l'ensemble des individus dans l'ensemble des modalit6s. Dans cette recherche, un "individu" est un ensemble de programmes ~crits par un groupe d'61~ves.

Nous d6finissons chaque crit6re et ses modalit6s ~ partir de l'analyse a priori de la situation, des observations ant6rieures et d'une analyse a posteriori des productions des 616ves. Chaque crit6re induit une partition de l'ensemble des programmes et permet donc d'expliciter, au-del~ des diff6r- ences apparentes ou superficielles, ce que certains programmes ont en commun. Bien entendu, nous ne nous contenterons pas d'observer seulement la r6ussite ou 1'6ehee. D'une part, la r6ussite peut, en programmation comme en math6matique, ~tre le r6sultat de proc6dures fort diff6rentes. D'autre part, l'6chec peut avoir des causes diverses que les crit6res d'analyse doivent distinguer ~t partir des indicateurs que sont les productions des 616ves.

Nous ne d6finirons ici que les crit6res et les modalit6s n6cessaires ~t l'analyse de la situation pr6sente. Ces crit6res sont mis en oeuvre darts le Tableau I.

4.1. Dbfinition des Crit~res d'Analyse

ETAT L'6tat de la tortue se caract6rise par sa position et son orientation. Nous ne distinguerons ici que deux modalit~s de prise ell eompte de l'6tat de la tortue

la fin des proc6dures graphiques (ou d'une liste d'instructions) destin6es 6tre int6gr6es ~ un projet. L'analyse des activit6s de programmation des

deux autres courbes implique la d6finition de deux autres modalit6s du crit6re (Dupuis et Guin, 1986).

PS: retour ~ une position "standard" ~t la fin de toutes les procedures destin6es g &re int6gr6es, c'est g dire correspondant fi l 'un des arbres (sauf 6ventuellement la derni6re). Une position "standard" est une position partir de laquelle la coordination de cette proc6dure avec les autres est 6conomique. n s'agit souvent de la position initiale.

sans PS: aucun retour ~ une position "standard" ne figure dans au moins une proc6dure destin~e ~t &re int6gr~e. Aucun mouvement de la tortue n'est effectu6 en plus de ceux qui sont n6cessaires au trac6.


Rbgularitb OUI: les programmes 6crits utilisent les symrtries de la courbe. NON: dans le cas contraire.

La non utilisation des rrgularitrs dans la programmation des arbres peut compliquer 6normrment la rrsolution.

Fantrme OUI: une procrdure est 6crite pour la courbe fantrme. NON: dans le cas contraire.

Coordination OUI: la coordination de toutes les procrdures est correcte. NON: dans le cas contraire. 0: aucune procrdure correspondant au dernier arbre n'a 6t6 6crite.

La coordination des procrdures sera observre ici sans tenir compte du respect ou non de la relation d'inrgalitr, observ6 par le critrre "Inrgalitrs".

Codage Trois modalitrs de codage des longueurs sont apparues: le codage descriptif, le codage analytique et l'absence de codage. Nous verrons que cette diffrrence de codage a de multiples consrquences pour le traitement.

descriptif: ~t chaque &ape, il y a autant de variables d'entrre dans la procrdure que de langueurs diffrrentes dans rarbre. De plus, les aoms des variables ehangent d'une ~tape ~ i'autre.

analytique: une m~me variable est utilis~e dans toutes les ~tapes; des relations entre les longueurs sont alors explieit~es en termes de variables (C et C/2, C et 2C ou C et C-10).

sans: aueune variable d'entrre n'est utilisre. Les longueurs donnres a priori sont modifires par approximations successives en fonction de l'aspect ~t l'rcran.

Inbgalitbs Nous observerons si les inrgalitrs entre les longueurs des branches du dernier arbre sont respectres. OUI: les cinq longueurs peuvent ~tre (en cas de codage descriptif) ou sont (en cas de codage analytique) de plus en plus petites. NON: dans le cas contraire. 0: aucune~proc~dure correspondant au dernier arbre n'a 6t6 6crite.


Emboitement OUI: la consigne d'emboitement des procgdures est respect~e. NON: dans le cas contraire.

4.2. Observation des Critkres (Tableau et Commentaires)

Huit groupes d'61+ves ont programm6 la famille des arbres. Tous ces groupes ont 6crit au moins une proc6dure par ~tape et, suivant la consigne, ils ont tous emboit~ la proc6dure ~crite ~ l'&ape pr6c6dente dans la procedure de l'6tape suivante. Le crit6re d'embo~tement ne figure donc pas dans le Tableau I, puisqu'il ne prend qu'une seule modalit6 sur l'~chantillon.

Les r6sultats pr6sent~s ici sont ceux qui ont 6t6 obtenus au bout de deux s6ances de travail (4 heures scolaires). Les 61+ves travaillent par groupes de deux ou trois; sur une m6me ligne figurent les 61~ves ayant travaill~ ensemble pour cette activit6.

La r6ussite complete, c'est-~-dire l'~criture et la coordination des procedures pour l'obtention des quatre courbes, se traduit donc par la s6quence de codes: OUI OUI dans les colonnes Coordination et In6galit6s. On remarque que la r6ussite compl&e est obtenue par les deux groupes ayant travaill~ en codage deseriptif et un groupe (SAR + MAG) qui, apr~s avoir +crit les proc6dures des trois premiers arbres en codage analytique, a 6crit la derni+re proc6dure en codage descriptif.

I1 semble bien que le codage descriptif soit la proc6dure de r6solution la plus efficace, dans cette situation, pour nos 61+ves. Dans le w nous expliciterons pourquoi, ~t notre avis, la procedure de r~solution par codage analytique est objectivement plus diflicile que la procedure de r~solution par eodage descriptif. Les difficult~s suppl~mentaires qu'implique la proc6dure de r6solution par codage analytique peuvent expliquer le changement de proc6dure au dernier niveau du groupe SAR + MAG.

Le fait d'~crire une procedure eorrespondant ~ la courbe fant6me n'est pas ici associ~ fi la r6ussite complete (contrairement ~ ce qui a 6t6 observ6 pour d'autres courbes Dupuis et Guin, 1986). Deux explications peuvent &re avanc&es. La premiere figure d6jfi dans l'alinga pr6c6dent car les deux groupes qui ont ~crit une proc6dure correspondant fi la courbe fant6me ont travaill6 en codage analytique (NAT + RAC et KLA + CAR). La deuxi~me explication est que ces deux groupes ont ~crit des pro- e~dures graphiques non structur~es, c'est ~ dire sans aucun retour ~ une position standard ni utilisation des r~gularit~s de la figure. La pr6sence de proc6dures de ce type montre que les connaissances acquises sur la


programmation structurre dans la premirre phase de l'exprrimentation ne sont pas stabilisres. L'rchec de ces procrdures graphiques non structurres prouve que la complexit6 de la situation avait 6t6 bien estimre: la t~che est faisable par les 616ves, mais pas n'importe comment!

Les trois autres groupes ont rrussi le placement relatif des branches les unes par rapport aux autres mais n 'ont pas respect6 toutes les relations entre les longueurs. Un groupe n'a utilis6 aucune variable; pourtant son arbre final a deux branches successives de m~me longueur. C'est aussi le cas pour les deux groupes qui ont utilis6 une procrdure de rrsolution par codage analytique. Ceci se comprend bien drs que l'on rralise le nombre d'op6rations que doit contr61er simultan6ment l'~l~ve qui choisit une proc6dure de r6solution par codage analytique.

C'est cette diff6rence de complexit6 entre les deux proc6dures de r6solu- tion, par codage analytique ou descriptif, que nous allons analyser dans le paragraphe suivant.

5. LES CHOIX DE CODAGE: DESCRIPTIF OU ANALYTIQUE

5.1. Consbquence des Choix de Codage

Le choix de la procrdure de rrsolution par eodage deseriptif est un bon choix pour nos 616yes dans cette situation, car il permet de traiter sueees- sivement deux probl~mes:

- d'abord l'~criture et la coordination de procrdures, off tousles objets qui ne sont pas reconnus comme 6gaux sont drsignrs par des variables diffrrentes,

- puis, au moment de l'exrcution, l'affectation de valeurs aux variables drsignant les longueurs.

Les 616ves qui ont fait ce choix, ont respect6 les inrgalitrs visibles, en donnant, au moment de l'exrcution, des valeurs de plus en plus petites aux branches d'un m~me arbre. Ainsi, il est patent que la relation d'in~galit~ a ~t~ per~ue. Mais cette relation ne peut pas ~tre exprim~e dans le texte d'un programme, contrairement h l'~galit~.

L'rgalit6 entre les branches d'un m~me arbre est la seule relation suffisamment simple pour &re exprimre par tousles 61~ves, au niveau de la drsignation: deux longueurs ~gales dans un m~me arbre sont toujours d~signres par la m~me variable. Ainsi l'arbre num~ro 3 est ~crk avec au maximum trois variables d'entrre.


La procgdure de rrsolution par eodage analyt ique est plus complexe puisqu'il faut alors traiter simultan6ment les deux problrmes suivants:

- l'rcriture et la coordination des procrdures, - l'expression, en termes de variables, d'une relation fonetionnelle entre les

longueurs et lagestion de la composition de cette relation avec elle-m~me, composition qui est due fi l'embottement.

Cette procrdure de rrsolution prrsuppose la drtermination d'une relation entre les longueurs.

Le codage analytique en programmation Logo s'apparente aux activitrs demandres aux 616ves en algrbre. Ainsi, Vergnaud, Cortes et Favre-Artigue (1988) notent que "en algrbre, . . , on rencontre rapidement le problrme de l'expression analytique d'une grandeur (ou d'une relation) en fonction d'une ou plusieurs autres".

Si nous analysons la situation suivant les catrgories g~nrrales d'utilisation de variables en Logo drgagres par Sutherland (1987), nous constatons que dans les deux types de codage il s'agit de la catrgorie G: "General superprocedure which uses a general subprocedure (if a procedure contains another subprocedure, it is referred to as a superprocedure)". En codage descriptif, il est nrcessaire d'utiliser plus d'une variable, ce qui entre dans la catrgorie N: "More than one variable input to a procedure". En codage analytique, les 616ves oprrent nrcessairement sur la variable ce qui entre dans la catrgorie O: "Variable input operated on within a procedure". En fait, ce n'est pas le nombre de variables qui caractrrise le codage descriptif, mais plut6t l'absence de toute expression d'une relation, l'absence de toute oprration sur une variable, comme nous aUons le voir. Notons enfin que si la rrcursivit6 (catrgorie R: General Recursive Superprocedure) n'est pas encore demandre ici aux 616ves, la rrcursivit6 /t laquelle nous voulons arriver avec eux n'est pas seulement terminale.

5.2. Exemples de Procedures en Codage Descriptif

Un groupe travaillant en codage descriptif (ALI + ST6 + SAB) a drfini les procrdures suivantes:

POUR ARBREI :COTE POUR ARBRE2 :COTEI :COTE2 POUR ARBRE3 :C1 :C2 :C3 POUR ARBRE4 :C4 :C5 :C6 :C7 :C8

GEST1ON DES VARIABLES EN LOGO 305

I1 y a dans chaque procrdure autant de variables d'entrre que de longueurs diffrrentes dans l'arbre correspondant, ce qui permet d'rviter l'expression d'une quelconque relation. Mais, en plus, les noms des variables changent d'une prochdure ~i l'autre ce qui permet d'rviter tout couflit de drsignatiou (voir w Le nombre de variables utilisres pourrait faire croire que ces ~l~ves possrdent ~t fond la notion de variable en Logo. En fait, c'est une illusion car elles ne font ici que drsiguer des objets diffrrents par des noms diffrrents.

L'activit6 de drsignation est fi la portre d'616ves bien plus jeunes e t a 6t6 6tudi~e par de nombreux auteurs (parmi lesquels: Hillel et Samurgay, 1985; Noss, 1986; Guin et Helm, 1984). Ces ~tudes se situent en amont de notre travail puisqu'elles ont ~t6 rralis~es avec des 61~ves plus jeunes et moins exprrimentrs en Logo. Les difficultrs de l'activit6 demandre ici aux 616ves vont bien au-delfi de la drsignation.

On notera cependant qu'un groupe de nos 616ves (GIL + CHR) a 6vit6 tout codage dans l'rcriture de ses procrdures. La rrsistance de certains 616ves ~ utiliser des variables lorsque ce n'est ni impos6 ni absolument nrcessaire pour rrsoudre le problrme de programmation a aussi 6t6 observre par Sutherland (1987). Dans l'activit6 "carrrs" dont il est question plus loin (w nous avons demand6 explicitement gt ces deux 616yes d'utiliser des variables, ce qu'ils ont fait alors; il s'agit bien de rrsistance et non d'ignorance de 1'existence des variables!

5.3. Analyse de la Procedure de Rksolution par Codage Analytique

Aucune relation n'rtant explicitre, l'616ve peut percevoir diverses relations entre les longueurs. Ce choix sera visible dans l'~criture d'ARBRE2. Prenons pour exemple le cas ot~ l'616ve (throrique) ~crit les deux procrdures suivantes:

~ C POUR ARBRE2 : C C / 2 AV :C

TG 45 ARBRE1 :C/2 TD 90 ARBRE1 :C/2 TG 45 RE:C FIN

Fig. 4.

AV :C RE:C FIN


Si l'on cherche ~i expliciter compl&ement l'analyse de la situation qui lui permettrait d'obtenir tousles arbres, on peut proposer la parabole qui suit: ~Chaque branche "m~re" donne naissance fi deux branches "filles" de m~me longueur.

Entre la longueur de la branche "m6re" et la longueur de chacune des branches "filles", on a la relation fonctionnelle suivante:

longueur d'une branche "fille" = longueur de la branche "m6re"/2.

OU

longueur de la branche "m~re"--. longueur d'une branche "fille" C ~ C/2.~

L'emboitement d'ARBRE1 dans ARBRE2 et la substitution de C/2 C faite ci-dessus dans la proc6dure ARBRE1 ne posent pas de probl6mes car il n'y a aucune op6ration arithm6tique sur C dans la proc6dure ARBRE1.

Par contre, l'emboitement d'ARBRE2 dans l'6tape suivante ARBRE3 pose deux nouveaux probl6mes:

- probl~me de composition: puisque toute branche "fille" devient "m~re" l'&ape suivante, il faut donc composer la relation C ~ C / 2 avec elle- m6me,

- probl6me de d6signation: jusque 1~, C d6signait la longueur du "tronc", c'est ~t dire de la branche "m6re" initiale (qui n'est fille de personne!). Qu'est-ce qui sera d6sign6 par C dans ARBRE3?

La r6solution de ces deux probl6mes imbriqu6s ressemble ~i une naviga- tion entre deux 6cueils que l'on ne peut 6viter tousles deux. Soit l'616ve choisit de g~rer d irectement la compos i t ion de la relation C ~ C/2 avec elle-m~me (w Soit l'616ve choisit de continuer ~ d6signer la longueur du "tronc" par C; il doit alors confier la gestion de la composition (ou plus exactement de la substitution de C/2 ~ C) au dispositif in format ique

(w

5.3.1. Composition Gbrbe Directement par l'El~ve

La composition de la relation avec elle-m6me est g6r6e directement par l'616ve qui affecte au "tronc" d'ARBRE3 une longueur 2 * C. La procedure ARBRE2 est utilis6e telle qu'elle est d6finie.

G E S T I O N D E S V A R I A B L E S E N L O G O 307

P O U R A R B R E 3 : C

A V : 2 * C

TG 45

A R B R E 2 : C

TD 9O

A R B R E 2 : C

TG 45

RE : 2 " C

FI_~N

Fig. 5.

I1 y a donc un conflit de d6signation puisque C est associ~ fi deux objets dont le statut et la mesure sont diff6rents dans les deux 6tapes. A l'&ape 2, C d6signe la longueur du "tronc" de I'ARBRE2; fi l'6tape 3, C d6signe la longueur d'une "branche" de I'ARBRE3. Mais de plus, les "troncs" des deux 6tapes ont la m~me longueur, que l'on d6signe par C fi l'&ape 2 et par 2 * C fi l'&ape 3. C a donc chang6 de valeur. Ce eonflit de d6signation est dfi ~ remboitement des proc6dures, fi la r6cursivit6 sous-jacente. 3

5.3.2. Substitution G~r~e par le Dispositif Informatique

I1 n'y a pas de conflit de d~signation si l'61~ve d6signe par C la longueur du "tronc" dans ARBRE2 et ARBRE3:

POUR ARBRE3 : C

AV :C

TG 45

A R B R E 2 : C / 2

TD 90

A R B R E 2 : C / 2

TG 45

RE : C

FI._NN

Fig. 6.

Dans ce cas, la proc6dure ARBRE2 :C est appel6e avec une valeur C/2 pour sa variable d'entr6e. I1 y a done substitution de C/2 a C dans toute la proc6dure ARBRE2. Cette substitution est g6r6e par le dispositif informatique et non pas directement par l'616ve. A ce niveau scolaire, tous les 616ves sont convaincus que (C/2)/2 = C/4 "en math6matique", mais ils ne sont pas tous assur6s du r6sultat s'ils confient la substitution de C/2 fi C au dispositif comme c'est le cas dans la proc6dure ci-dessus. Des difficult6s explicites ~ cette occasion permettent de mieux cerner leurs repr6sentations du fonctionnement du dispositif informatique.


5.4. Dbfinition du CritOre Gestion

L'analyse de la proctdure de r~solution par codage analytique nous amine fi dtfinir un crittre conditionnel de gestion de la relation, qui n'a de sens que si l'616ve a choisi ce type de codage e t a donc exprim6 la relation. Ce crit+re prend a priori deux modalit+s:

direete: la composition est gtr te directement par l'616ve dispositif: la substitution est gtrte par le dispositif informatique.

Deux groupes ici sont concernts par ce crittre, ceux qui ayant choisi un codage analytique, ont rtussi ~ placer correctement les branches du dernier arbre. SEB + CYR ont gtr6 directement la composition. MAR + KAR ont aussi gtr6 directement la composition, sauf pour le dernier emboitement et c'est lfi qu'ils se trompent. Mais nous n'avons 6videmment pas assez d'observations pour en conclure que les 61~ves prtf~rent la gestion directe; d'autres observations s'imposent!

6. UNE NOUVELLE SITUATION

6.1. Hypotheses 3 V~rifier

L'analyse de la procedure de rtsolution par codage analytique montre clairement toutes les ditficultts que pose cette procedure de r~solution. Ces difficult~s sont absentes si on choisit un codage descriptif.

Le fait d'utiliser autant de variables d'entrte dans la proctdure que de longueurs difftrentes dans la figure est objectivement une procedure de r~olution plus simple: elle ~vite d'avoir /t exprimer une relation entre des variables, et partant de lfi tous les probl~mes que l'expression de cette relation implique (composition, dtsignation ou substitution).

Dans la situation prtctdente, la dttermination de l'existenee de la relation est ~ la charge de l'616ve. On ne peut donc entitrement exclure l 'hypothtse alternative fi savoir que les 616ves, n'ayant per~u aucune relation fonctionnelle, ont simplement dtsign6 des objets difftrents par des noms difftrents comme cela se fait toujours en mathtmatique.

Nous avons voulu savoir si le eodage deseriptif 6tait effeetivement utilis~ pour eontourner des diflicult~s lors de la r~solution d'un probl~me de programmation, et ce m~me lorsqu'une relation fonctionnelle est connue. Cette premi6re hypoth6se est d'autant plus raisonnable que nous avions d6jfi un indite de cette utilisation du codage descriptif en Logo (w Cette utilisation peut aussi ~tre vue comme la manifestation en Logo d'une


stratrgie existant aussi en mathrmatique: utiliser plusieurs variables pour drcomposer un problrme complexe en plusieurs sous-problrmes plus sim- pies (w

Le deuxirme hypothrse que nous voulions mettre ~i l'rpreuve concerne la prrfrrence pour l'une ou l'autre des deux modalit6s de gestion de la relation dans le cas off le codage analytique est utilisr. Nous avons voulu savoir aussi si la gestion direete de la composition 6tait la seule modalit6 utilisre par les 616ves.

6.2. Un Indice en Programmation Logo

Nous avions drj~i un indice de l'utilisation du codage descriptif dans une situation oti la relation fonctionnelle 6tait connue: l'rcriture d'un programme permettant d'obtenir un polygone rrgulier quelconque aprrs la mise en 6vidence de la relation (nombre de c6trs �9 angle = 360). Une 616ve (ALI) a 6crit un programme correct, mais qui n'exprime pas les relations entre les variables ANGLE et NC:

POUR POLY : COTE : ANGLE : NC REPETE :NC [AV :COTE TD :ANGLE] FIN

Pour que l'exrcution de la procrdure ci-avant r~alise un polygone rrgulier, il faudra que les valeurs donnres aux variables respectent la relation NC �9 ANGLE = 360. Or cette 616ve fait partie de l'un des groupes qui ont programm6 les ARBRES en utilisant un codage descriptif. Coinci- dence ou procrdure de rrsolution?

6.3. Des Indices Concordant en Mathbmatique

Kourkoulos (~ para~tre) qui &udie, au m6me niveau scolaire, les difficultrs que pose la mise en 6quation, a attir6 notre attention sur la similitude avec les procrdures de rrsolution qu'il avait observres en mathrmatique.

Pour un grand nombre de problrmes linraires ~i rrsoudre par une mise en ~quation, Kourkoulos a observ6 une augmentation sensible de la rrussite ~i partir du moment off les 616ves "disposaient" de plusieurs variables, c'est dire aprrs un enseignement des syst6mes d'rquations. Cette augmentation de la rrussite est d 'autant plus 6vidente que le problrme est difficile. Kourkoulos explique cette augmentation du taux de rrussite par la possi- bilit6 d'utiliser plusieurs variables:

- I 'u t i l i sa t ion f l 'une s e u l e v a r i a b l e amine les ~lrves d traiter simultanbment des t~ches qui sont drjd difficiles isolrment,


- r u t i l i s a t i o n de p l u s i e u r s v a r i a b l e s permet de traiter s~par6ment ces t~ches, le traitement s6par6 pouvant en outre les rendre moins difficiles,

- quand on dispose de p l u s i e u r s v a r i a b l e s , il y a moins d e t r a n s f o r m a t i o n s

faire entre les donn~es du probl~me et leur forme alg~briquement exprimable que lorsqu'on ne dispose que d'une variable.

Cette analyse de l'effet de l'utilisation de plusieurs variables pour la r6solution de probl~mes impliquant une mise en 6quation rejoint celle que nous avions faite sur l'effet du choix du codage descriptif dans la programmation des arbres. I1 se trouve que Kourkoulos a aussi observ~ la classe qui travaiUe en Logo avec nous. Les observations rapport~es ici se situent au troisi~me trimestre de "quatri~me", lors de l'enseignement de la mise en ~quation et r~solution d'~quations & une inconnue. Elles se situent donc aussi avant la programmation des arbres en Logo. I1 a &6 observ6 que:

- plusieurs 61~ves ont mod~lis6 des probl~mes par un ensemble de plusieurs ~quations ~t plusieurs inconnues;

- pour les 61~ves, le syst~me ainsi obtenu constituait un probl~me ~ part enti~re, que souvent ils n'arrivaient pas ~t r~soudre;

- pour la plupart de ceux qui ont suivi cette m6thode, le fait de ne pas pouvoir r6soudre le syst~me ainsi obtenu n'a pas entra~n~ l 'abandon de cette m&hode;

- aucune orientation vers l'introduction de plusieurs variables n'avait &6 donn~e dans l'enseignement;

- l'utilisation de plusieurs variables est apparue dans deux groupes diff,- rents, sans communication entre les groupes et ~t peu pros au m~me moment;

- lors d'une mise en commun, elle a 6t6 communiqu6e ~ toute la classe. Par la suite, 13 61~ves ont utilis6 plusieurs variables au moins une fois dont 7 d'entre eux syst6matiquement (ALI, STY, SAB, ALE, FLO, NAT, KLA);

- l e s 5 61~ves (2 groupes) qui ont utilis~ un codage descriptif pour programmer les arbres appartiennent & ces 7 l&!

I1 y a donc, ~t la fois, convergence entre les raisons qui am~nent ~ utiliser plusieurs variables en math6matique et en Logo et coincidence entre les ~l~ves qui le font en math6matique et en Logo.

6.4. Les Carrbs

Nous avons donc d6cid6 de proposer u n e n o u v e l l e f a m i l l e d e c o u r b e s en

explicitant o r a l e m e n t u n e r e l a t i o n fonctionnelle. La d&ermination de l'existence de la relation n'est donc plus & la charge de l'616ve. Par contre, l'expression de cette relation en termes de variables reste & faire.


Nous avons propos6 la famille de carr6s suivante:

I I

I IEL_ (6tape 1) (6tape 2) (6tape 3)

Fig. 7.

avec la m~me consigne que pr6c6demment, plus l'indication:

"Chaque earr6 a pour c6t6 le tiers du c6t6 du earr~ qui l'entoure."

On remarquera que les trois 6tapes explicit6es correspondent aux niveaux 1, 2 et 4, au sens r6cursif du terme. I1 y a donc un carr6 fant6me.

6.5. Les Procedures de R~solution 4

Les sept groupes d'gl6ves qui ont travaill6 sur ce sujet ont 6crit leurs procgdures en u'utilisant qu'une seule variable. Leur codage peut donc ~tre qualifi6 d'analytique puisque la relation donn6e y est exprim~e, en fonction d'une seule variable. Trois groupes ont choisi de g~rer directement la composition et trois autres groupes ont choisi de confier la gestion de la substitution au dispositif informatique. Et pour chacune de deux modalit~s de gestion, deux groupes sur trois ont r6ussi fi programmer tousles carr6s.

6.6. Un Dbbat sur la Gestion

Un groupe de trois filles (ALI-ST6-SAB) qui avait, pour les arbres, utilis6 syst6matiquement la proc6dure de r6solution par codage descriptif a 6t6 observ6 pendant toute la s6ance par Michai] Kourkoulos. Remarquons que l'616ve (ALI) qui avait utilis6 un codage descriptif dans l'6criture de sa proc6dure POLYGONE fait partie de ce groupe (w

L'~tape 1.

L'6tape 1, CARRE :C, est 6crite sans probl6mes.


L'btape 2. ST6 propose d'utiliser plusieurs variables, comme pour les arbres (codage descriptif). ALI et SAB vont demander ~ l'enseignante s'il faut prendre la relation en compte dans l'6criture du programme et interpr6tent sa r6ponse comme: OUI. Elles 6crivent donc l'&ape 2, qu'elles appellent CROIX :C, en n'utilisant qu'une seule variable mais sans utiliser CARRE :C/3. Leur codage est ici analytique puisqu'il exprime, en termes de variables, les relations entre les diff6rentes longueurs. Mais ~i aucun moment elles n'ont confi6 au dispositif la substitution de C/3 fi C. Elles g6rent directement la relation. Leur programme comporte donc un certain nombre d'instructions AV :C/3. I1 refl6te la vision suivante de la figure: un grand carr6 avec une croix h l'int6rieur.

L'~tape 3. ALl et SAB veulent utiliser leur programme CROIX de l'&ape 2 en changeant la valeur de la variable. Elles se demandent comment la substitution va fonctionner.

ST6 n'accepte pas cette discussion: elle consid6re qu'il n'est pas possible qu'~t la place d'une "chose" appell6e C se trouve fi un moment C et ~ un autre moment C/3. Elle propose ~ nouveau d'utiliser plusieurs variables; le eodage descriptif r~appara~t ici pour eontourner l'obstaele de la substitution de C/3 ~ C.

ALI et SAB refusent d'utiliser plusieurs variables et continuent ~ discuter entre elles du r6sultat de la substitution. EUes admettent que C/3 sera substitu6 ~i C partout o3 C est 6crit mais se demandent quel sera l'effet de la substitution sur l'instruction AV :C/3 par exemple. A aucun moment, elles n'6voquent une expression du type :C/3/3. Elles h6sitent entre C/6 et C/9, mesurent sur le dessin, discutent, concluent qu'elles ne peuvent pas savoir et d6cident d'utiliser CROIX :C/ :A, d'une part pour relmusser jusqu'au moment de l'ex6cution le ehoix de la valeur de A, d'autre part parce qu'il n'est pas stir qu'il faille toujours diviser C par le m6me nombre. Une variable snppl6mentaire, donc un codage partiellement descriptif, r6ap- paraSt ici pour eontourner la diflieult6 que constitue la substitution. ST6 n'accepte pas cette proposition et d6cide d'6crire seule un programme n'utilisant aucune substitution.

Ces observations confirment notre hypoth6se: le eodage deseriptif est une proc6dure de resolution qui est utiHs6e pour contourner une difficult6. Ici la difficult6 n'est plus l'expression de la relation mais sa gestion. Sans ces observations, on aurait pu croire que ces trois 616ves n'ont pas r6ussi terminer l'6criture de la troisi6me &ape parce qu'elles n'ont pas fait de


retour ~ une position standard ~t la deuxirme &ape. En fait, la longueur du drbat qui les a opposres sur la gestion de la relation dans l'rcriture de la troisirme 6tape les a amenres ~ considrrer les 6tats de la tortue comme un problrme mineur, facile h rrsoudre par la suite.

7. CONCLUSION

Apprbhension OpOratoire de la Figure

L'utilisation des rrgularitrs de la figure, le retour systrmatique h une position standard dans une procrdure destinre h 6tre embokre dans une autre et le choix de la sous-figure la plus 6conomique relrvent de la m~me comprtence, de la capacit6 /t structurer des programmes en informatique. Dans les situations graphiques prrsentres ici, on peut considrrer qu'il s'agit d'une apprrhension oprratoire de la figure adaptre ~ un environnement de programmation Logo. I1 est 6vident que l'apprrhension de figures comme les arbres drpend du moyen par lequel on veut les rraliser, Logo ou crayon ~ papier, ou plus grnrralement de la t~iche demandre fi l'616ve (Duval, 1988).

Codage et Quantitk d'Information

Le codage descriptif est objectivement le plus 6conomique des deux types de codage, puisqu'il peut se rrduire ~ drsigner des objets diffrrents par des noms diffrrents. Du point de vue de la quantit6 d'information prise en compte, c'est le minimum nrcessaire pour que le programme 6crit puisse ~ventuellement permettre la rralisation demandre. Le codage descriptif est utilis6 ~ bon escient dans des situations off l'existence m~me d'une relation fonctionnelle est discutable. Le eodage analytique prend en compte beaucoup plus d'information, puisque le texte du programme implique l'explieitation des relations entre les diff~rentes variables. Cette explicitation est une t~che qui s'apparente ~ la mise en 6quations d'un probl6me de math6matique, activit6 qui est au programme de nos 61~ves.

Egalitds, non Egalitds et In~galitds

La diffrrence de nature entre ces trois types de relations est flagrante dans le traitement qui peut en ~tre fait dans les programmes. L'rgalit6 s'exprime dans la drsignation des objets par la m~me variable, la non 6galit6 s'exprime dans la dbsignation des objets par des variables diffrrentes, alors qu'une relation d'in~galit~ n'est ni fonctionnelle ni exprimable dans la d~signation.


Et Nos Hypothkses?

La programmation de la famille des carrrs a 6t6 proposre aux 616ves pour mettre ~ l'rpreuve deux hypothrses. Les observations faites ici et aupara- vant (w permettent d'affirmer que, m~me dans des situations ot~ une relation fonctionneUe est connue, la proe&lure de rrsolutiou par eodage deseriptif est utilisre pour contourner des diflieultrs rencontrres dans l'expression de cette relation ou la gestion de la relation. Le codage analytique est utilis6 tant qu'il n'y a pas de blocage.

Nous n'avons pas observ~ de preference entre les deux modalit~s de gestion de la relation, qui sont la gestion directe par l'61~ve et la gestion par le dispositif informatique. Les deux 616ves (MAR et SEB), qui avaient choisi la gestion directe dans la programmation de la famille des arbres, se rrpartissent entre les deux modalitrs. De plus, les quatre groupes qui ont rrussi ~t programmer les trois carrrs se rrpartissent aussi entre les deux modalitrs. On peut simplement remarquer la coincidence de la drcomposition la plus 6conomique avec le choix de confier la gestion de la relation au dispositif informatique. Nous n'y voyons pas de relation de cause ~t effet, mais la manifestation d'une meilleure apprehension ol~ratoire de la figure et d'une representation plus ~volu~ (statique) du fonctionnement du dispositif informatique.

Choix du Codage

Le choix d'un type de codage, descriptif ou analytique, dans la rrsolution de problrmes de programmation peut drpendre de la situation. Mais la possibilit6 de choisir d~pend surtout de la representation que l'~l~ve s'est construite du fouetionnement du dispositif informatique. Ce choix est donc un indice observable de cette reprrsentation. La simplicit6 des relations en jeu dans les deux situations drcrites: C ~ C/2 et C --* C/3 nous assure que les difficultrs ne se situent pas dans les prrrequis mathrmatiques mais bien dans la programmation. La comparaison des deux situations montre que, lorsqu'une relation fonctionnelle entre les variables est connue des 616ves, ils cherchent ~ l'exprimer par un codage analytique et ~t l'utiliser tant que cette procrdure de rrsolution est compatible avec leur reprrsentation mentale du fonctionnement du dispositif.

Reprbsentations Mentales du Fonctionnement du Dispositif Informatique

Les observations faites sur les choix de codage, la gestion des variables et des relations fonctionnelles confirment l'existence d'au moins deux types de reprrsentations du fonctionnement du dispositif informatique (Dupuis et Guin, 1989):


- une reprrsentation du fonctionnement en termes d'exrcution: le programme est vu comme une suite d'instructions qui prendront tout leur sens au moment de l'exrcution par le dispositif informatique. Un indice observable enes t la procrdure de rrsolution par codage descriptif, qui repousse jusqu'au moment de l'exrcution du programme, la prise en compte de certaines donnres du problrme. Lorsque la situation amrne l'616ve ~ utiliser un codage au moins partiellement analytique, l'impossi- bilit6 de confier la gestion des relations au dispositif informatique sera un indice d'une reprrsentation du fonctionnement en termes d'exrcution.

- une reprrsentation statique: le programme est vu comme un ensemble d'rtats du dispositif informatique et de relations entre ces 6tats. Un premier indice observable enes t la facilit6 ~t utiliser une procrdure de rrsolution par codage analytique, un second 6tant la capacit6 ~ loire g6rer des relations par le dispositif informatique.

L'existence des deux types de reprrsentations n'implique pas la partition des ~lrves en deux groupes strictement srparrs, les 616ves passant progres- sivement d'une reprrsentation du fonctionnement exclusivement en termes d'exrcution ~t une reprrsentation statique.

Codages, Reprbsentations et Enseignement de la Rkeursivit~

La programmation rrcursive se fait en codage analytique avec gestion confire au dispositif. S i l a gestion directe de la composition est la seule modalit6 de gestion comprise par les 616ves, cela constitue un obstacle h la eomprrhension de la rrcursivit& En effet, cette modalit6 de gestion, qui permet de programmer les carrrs sans la rrcursivitr, ne respecte pas l'invariance d'elnboltement n~cessaire ~ une ~criture rrcursive. Une repr6sen- tation du fonctionnement exdus ivement en termes d'exrcution est on obstacle

l'acquisition de la rrcursivitr.

Perspectives d' Avenir

Notre travail se poursuit par l'analyse d'un enseignement de la rrcursivitr, ces situations ayant 6t6 con~ues comme une introduction. L'rcriture de procrdures rrcursives d'une certaine complexit6 nrcessite, ~ notre avis, une reprrsentation statique. Pouvons-nous la faire acqurrir ~ tousles 616ves?

NOTES

1 On peut citer notamment Laborde, Balacheff et Mejias (1985), Mendelsohn (1985), Rogalski (1988), Samur~ay (1985).

316 CLAIRE DUPUIS ET D O M I N I Q U E G U I N

2 En fait, nous avions propos6 aux 61fives trois families de courbes: "Arbres", "Croix" et "Von Koch". Le lecteur int6ress6 par l'analyse des activit6s de programmation sur les deux autres families pourra se reporter fi Dupuis et Guin (1986). 3 Ce conflit de d6signation n'est pas forc6ment pergu par les 616yes. 4 Le lecteur int6ress6 par une analyse plus d6taill6e des proc6dures de r6solution pourra se reporter ~ Dupuis, Egret et Guin (1990).

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lnstitut de Recherche sur l 'Enseignement des Math~matiques,

UniversitO Louis Pasteur,

10 rue du gbnbral Zimmer, 67084 Strasbourg, Cedex,

France

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