GESTION DES RISQUES Assurance Voitures

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Un modle de tarification optimal pour lassurance automobile dans le cadre dun march rglement : application la Tunisiepar Olfa N. Ghali Cahier de recherche 01-09 Dcembre 2001 ISSN : 1206-3290

Lauteure tient remercier deux arbitres pour leurs commentaires et Mathieu Maurice pour son aide dans les estimations.

Un modle de tarification optimal pour lassurance automobile dans le cadre dun march rglement : application la Tunisiepar Olfa N. Ghali

Olfa N. Ghali est enseignante lInstitut Suprieur de Gestion de Tunis, Universit de Tunis.

Copyright 2001. cole des Hautes tudes Commerciales (HEC) Montral. Tous droits rservs pour tous pays. Toute traduction ou toute reproduction sous quelque forme que ce soit est interdite. Les textes publis dans la srie des Cahiers de recherche HEC nengagent que la responsabilit de leurs auteurs.

Un modle de tarification optimal pour lassurance automobile dans le cadre dun march rglement : application la Tunisiepar Olfa N. Ghali

Rsum Lobjet de cet article est danalyser le systme de tarification de lassurance automobile tunisien laide dun modle de tarification optimal. Pour ce faire, nous utilisons un modle de tarification bas sur les caractristiques des individus et leur nombre daccidents passs (Lemaire 1995, Dionne et Vanasse, 1992). Notre base de donnes, qui stale sur cinq ans (1990-1995) et contient 46 337 observations, nous a permis destimer, partir de donnes annuelles et laide des modles de comptage (Poisson et binomiale ngative), limportance relative des facteurs qui expliquent le nombre daccidents durant une priode et de construire des tables bonus-malus optimales. Nous arrivons la conclusion que dautres variables que la puissance et l'usage des vhicules (qui sont utilises comme seuls critres de tarification dans la rgime actuel) sont significatives pour expliquer le nombre daccidents (rgion de rsidence de lassur, les garanties auxquelles il souscrit, la marque et lge de lautomobile) et que, par ailleurs, la table bonusmalus adopte par le ministre des Finances nest pas optimale. Mots cls : Information prive, scurit routire, bonus-malus, tarification de lassurance automobile, modles de comptage.

Abstract This article is intended to analyze the Tunisian automobile insurance rating system, using an optimal rating model. In this regard, we apply a rating model based on the characteristics of policyholders and their number of past accidents (Lemaire 1995, Dionne and Vanasse 1992). Our data base is structured for a five-year period (1990-1995) and contains 46,337 observations, allowing us to evaluate, from annual data with the use of models for count data (Poisson and negative binomial), the relative importance of factors explaining the number of accidents during a period and to build up optimal bonus-malus tables. We come to the conclusion that other variables than the power and the use of vehicles (which are the two rating criteria in the actual regime) are significant to explain the number of accidents (insured residence, insured coverages, model and age of vehicles) and also, in other respects, that the bonus-malus table put in place by the ministry of Finance is not optimal. Keywords : Private information, road safety, bonus-malus, automobile insurance rating, count data models.

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INTRODUCTION Le systme de tarification automobile utilis en Tunisie, instaur en 1993, se base essentiellement sur la puissance et lusage de lautomobile, et d'un systme bonus-malus pour la responsabilit civile. Il est rserv lusage priv et appliqu selon la mme rgle tous les assurs par toutes les compagnies dassurances. Le principal problme de lassurance automobile en Tunisie est le faible niveau des primes, dtermines par le ministre des Finances, pour les diffrentes catgories de vhicules en fonction de la hausse croissante des cots. En rgle gnrale, ce secteur connat de longs dlais dans les rglements des sinistres et est affect par des problmes de manque de clart et de diffrends (les dlais de ddommagement sont trs longs) entre assureurs et assurs. Nous nous proposons, dans cette tude, de formaliser un modle optimal de tarification bas sur les caractristiques des assurs (un modle a priori) et sur le nombre daccidents passs des individus (un modle a posteriori), afin dajuster les primes individuelles selon le degr de risque intrinsque travers le temps, de sorte que chaque assur paye une prime proportionnelle sa frquence daccident et que lassureur soit financirement quilibr. Le modle utilis sinspire de deux recherches ce sujet (Lemaire, 1995 ; Dionne et Vanasse, 1992). Les donnes sur lesquelles nous allons nous baser pour constituer notre modle sont celles dune compagnie dassurances prive qui dtenait plus de 7 % du march dassurance automobile en 1994 et dont la clientle tait distribue dans toutes les rgions du pays. Cette base de donnes stale sur cinq ans (1990-1995) et est compose des variables suivantes: sexe, rgion de rsidence (gouvernorat), puissance de lautomobile, marque de la voiture, nombre daccidents, ... Elle nous permettra destimer, partir des modles de comptage (Poisson et binomiale ngative), limportance relative des facteurs qui expliquent le nombre daccidents durant une priode et de construire des tables bonus-malus optimales. Les bonus-malus ont t introduits dans la littrature conomique avec lapparition des contrats dassurance sur plusieurs priodes. Ces contrats sont justifis, en gnral, par la prsence dasymtrie dinformation entre assurs et assureurs (slection adverse et risque moral). Le bonus-malus est un mcanisme qui ajuste les paramtres des contrats dassurance en fonction de lexprience passe des assurs. Par exemple, on peut ajuster la prime selon les accidents passs des individus ou le nombre de points dinaptitude accumuls (Dionne et Vanasse, 1992, 1997). Cest une tarification a posteriori qui rvise la tarification a priori, en ajustant linformation des critres de classification des risques. En effet, lexprience montre que lutilisation des variables observables pour estimer le risque dun assur ne fournit pas toujours une segmentation assez prcise de la population. Les classes de risque sont encore htrognes aprs tarification a priori. Le systme bonus-malus permet damliorer la tarification a posteriori en utilisant linformation rvle par les accidents passs de lassur, et donc de rendre les classes de risque plus homognes. Il permet aussi de maintenir les incitations la prudence et de rduire les inefficacits associes au risque moral (Boyer et Dionne, 1989 ; Henriet et Rochet, 1991 ; Bressand, 1993 ; Dionne et al., 1992, 1997).

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La justification de lutilisation du bonus-malus est aussi associe lquit, qui consiste faire payer aux assurs des primes correspondantes leur niveau de risque (Lemaire, 1985 ; Dionne et al., 1992,1997). La mthodologie utilise pour estimer la frquence daccidents individuelle est celle propose par Dionne et Vanasse (1992), qui consiste utiliser des modles de distribution Poisson et binomiale ngative (voir aussi Van Eeghen, Greup, and Nijssen, 1983 ; Ferreira, 1974 ; Van Der Laan, 1988 ; Cameron et Trivedi, 1986) avec composante de rgression, afin dutiliser toute linformation disponible sur lindividu dans lestimation de la distribution daccidents. Elle permet galement de dvelopper un systme bonus-malus qui intgre en mme temps linformation a priori et a posteriori sur une base individuelle. Notre apport personnel, dans cette tude, consiste, aprs avoir test ce genre de modle sur des donnes tunisiennes, intgrer dautres variables de tarification a priori (marque, puissance, ge de lautomobile et types de garanties auxquelles lassureur souscrit) et de comparer la table bonus-malus optimale celle applique par le ministre des Finances. Larticle est divis en huit sections. La section 1 dcrit le systme bonus-malus tunisien, la section 2 prsente les modles conomtriques de comptage pour la distribution daccidents utiliss comme modle destimation, la section 3 est consacre la description des donnes et variables, la section 4 explique comment sont construites les variables et quelles sont leurs significations, la section 5 dcrit nos attentes vis--vis des signes des coefficients de lestimation conomtrique. La section 6 prsente les rsultats des analyses conomtriques et leurs interprtations. La section 7 dcrit le modle de bonus-malus optimal tabli par Dionne et Vanasse (1992) et, enfin, la section 8 est une application du modle de la section 7. La conclusion rsume les rsultats obtenus et aborde des suggestions pour des tudes ultrieures.

DESCRIPTION DU MARCH DE LASSURANCE AUTOMOBILE EN TUNISIE Avec un trs faible taux de pntration,1,7% du P.I.B. seulement (contre 6,7% U.E.), lassurance en Tunisie connat un dveloppement trs marginal, qui contraste avec un potentiel assurable norme. 24 compagnies dassurance exercent en Tunisie, dont 17 sont rsidentes et 7 ne le sont pas. Parmi les socits rsidentes, on compte 11 compagnies dassurances multi-branches, 3 socits spcialises dans lassurance vie, deux autres dans lassurance crdit lexportation et une dans la rassurance. Tous les produits dassurance stagnent, hormis lassurance automobile. Il est lorigine (de 1979 1998) de 295,2 millions de dinars de dficit pour tout le secteur, soit 32,59 % des missions de la branche et 9,17 % de lensemble des missions. Pour certains assureurs, cette situation est due une conjonction de plusieurs facteurs. Dans un premier temps, le prix des assurances a stagn entre 1968 et 1975, alors que le prix des voitures et le montant des indemnisations ont explos. Ensuite, la rvision trs modre des prix depuis 1975 na pas chang grand chose, mme si la

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prime moyenne est passe de 100 dinars en 1987 189 dinars en 1998, une augmentation de 85 %. Mais cette hausse est insuffisante. Pour arrter lcart entre les indemnisations et le chiffre daffaire de la branche, on estime quil faut relever la prime minimale (responsabilit civile) de 25 30 %, ce qui est trs loin de laugmentation de 8,08 % de 1999. Au regard de lentreprise de lassurance, cette branche saccompagne de certaines contraintes lies la gestion du risque, dont la matrise lui chappe. Les primes responsabilit civile sont, en effet, fixes par le ministre des Finances et les indemnisations par les magistrats ; lassureur gre ce risque de manire passive, en ce sens o : dune part, la tarification ntant pas libre, il ne peut donc appliquer le taux technique, cest-dire le prix du risque en fonction des rsultats rels enregistrs ; dautre part, les indemnisations ntant pas tablies par des barmes, mais fixes par les magistrats, lassureur ne peut provisionner correctement les sinistres en suspens, qui subissent souvent dnormes fluctuations, puisque chaque juridiction est souveraine dans la dtermination de lincapacit, la valeur du point et le mode de calcul du prjudice matriel moral.

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Par ailleurs, en Tunisie, le taux daccident mortel est suprieur la moyenne mondiale, selon une tude ralise par la Banque mondiale sur le secteur des assurances en Tunisie (1995) : pour un million de vhicules en circulation et 9 089 000 dhabitants, la Tunisie aurait pu afficher une moyenne de 1 950 dcs contre 304 en moyenne en Europe. Ces chiffres ont t obtenus par extrapolation : en 1996, il y a eu 10 209 accidents ayant fait lobjet dun procs-verbal de police pour 665 000 vhicules en circulation, avec 1 297 dcs constats. On explique ce taux daccidents mortels trs important par lge moyen du parc (50 % des vhicules ont plus de 10 ans dge), son manque dentretien, ltat des routes et, surtout, le manque de vigilance des chauffeurs.

DESCRIPTION DU SYSTME BONUS-MALUS TUNISIEN En application de la circulaire 3/91 du 17 aot 1991 du ministre des Finances, le systme bonusmalus a t adopt le 1er janvier 1992, et appliqu le 1er janvier 1993. Le systme bonus-malus nest applicable quaux vhicules relevant de lusage priv ou affaire. La prime dassurance varie chaque chance principale du contrat. Elle est dtermine en multipliant la prime de base pour la responsabilit civile (fixe par le ministre des Finances selon la puissance de la voiture) hors taxes par un coefficient de rduction ou de majoration fix conformment au tableau 1.

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Tableau 1 Table bonus-malus tunisienne Classes 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Coefficients du niveau des primes 200 160 140 130 120 115 110 105 100 95 90 85 80 75 70 65 60

Au 1er janvier 1992, tous les assurs ont t mis au niveau de la classe 9. Les dplacements sur lchelle des classes soprent selon le mcanisme qui suit. Lassur qui ne cause aucun accident durant une anne dassurance bnficie dun rabais de prime (bonus) de 5 %. La prime diminue ensuite de 5 % pour chaque anne sans accident. Les rabais cumuls ne peuvent toutefois jamais dpasser 40 % de la prime de base. Lassur subit une majoration de prime sil est responsable dun ou plusieurs accidents durant une anne dassurance. Cette majoration est de 10 % pour un accident, 30 % pour deux accidents et 100 % pour trois accidents et plus.

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Le coefficient rduction-majoration acquis au titre du vhicule dsign au contrat est automatiquement transfr en cas de remplacement du vhicule ou en cas de changement dassureur. Dans le cas o lassur ne peut pas justifier une assurance antrieure pour un vhicule en circulation, il est mis automatiquement la classe 14, qui correspond au coefficient 130. Dans ce cas tout assur qui dpasse la classe 14 dans la compagnie o il souscrit son assurance a intrt de changer de compagnie dassurance pour devenir inscrit comme nouvel assur. Les primes responsabilit civile en DT pour lanne 1998 (1 DT = 0,67 $US) pour lusage priv et affaire suivant la classe bonus-malus sont reprsentes dans le tableau 2.

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Tableau 2 Primes de responsabilit civile suivant la classe bonus-malus Classe 17 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 1A2CV 101,400 81,120 70,980 65,910 60,840 58,305 55,770 53,235 50,700 48,165 45,630 43,095 40,560 38,025 35,490 32,955 30,420 3A4CV 118,800 95,040 83,160 77,220 71,280 68,310 65,340 62,370 59,400 56,430 53,460 50,490 47,520 44,550 41,580 38,610 35,640 5A6CV 150,600 120,480 105,420 97,890 90,360 86,595 82,830 79,065 75,300 71,535 67,770 64,005 60,240 56,475 52,710 48,945 45,180 7A10CV 168,000 134,400 117,600 109,200 100,800 96,600 92,400 88,200 84,000 79,800 75,600 71,400 67,200 63,000 58,800 54,600 50,400 11A14CV 217,400 173,920 152,180 141,310 130,440 125,005 119,570 114,135 108,700 103,265 97,830 92,395 86,960 81,525 76,090 70,655 65,220 >=15CV 260,800 208,640 182,560 169,520 156,480 149,960 143,440 136,920 130,400 123,880 117,360 110,840 104,320 97,800 91,280 84,760 78,240

Avant 1993, la prime tarife pour la responsabilit civile tait celle correspondant la classe 09, cest--dire quelle tait essentiellement base sur lusage et la puissance de lautomobile, plus un rabais pour certaines catgories professionnelles. En 1999, une augmentation moyenne de 8,08 % des primes, toujours bases sur la puissance et l'usage de lautomobile, a t apporte au tableau prcdent en application dune circulaire du ministre des Finances. Par ailleurs, un systme de permis points, institu par le nouveau code de la route, est entr en vigueur le 1er fvrier 2000. Avec cette nouvelle rglementation, le conducteur se voit retirer un certain nombre de points toutes les fois quil commet une infraction. Le nombre de points retirs dpend de la gravit de linfraction. partir de 14 points, le conducteur se voit retirer son permis de conduire. Ce nouveau systme a rapidement subi une modification importante par un dcret, le 13 avril 2000, portant le capital allou au permis de 14 25 points.

MODLES CONOMTRIQUES DE COMPTAGE POUR LA DISTRIBUTION DACCIDENTS Ce type de modle a fait son apparition dans lanalyse conomique rcemment. Gilbert (1979) a utilis ce genre de modle pour estimer le nombre de fois o on fait les courses pour une priode donne, Hausman, Hall et Griliches (1984), pour le nombre de brevets dposs par les firmes,6

Cameron et Trivedi (1986), pour le nombre de consultations chez le mdecin, Boyer, Dionne et Vanasse (1992) pour le nombre daccidents, Winkelman (1994), pour expliquer le nombre de fois o les individus changent demploi. Les modles de comptage sont souvent utiliss en biologie, car les phnomnes sapparentent des lois particulires, comme dans le cas du nombre daccidents dun individu. Le modle de Poisson univari (sans composante de rgression) Le nombre daccidents dans lesquels un individu est impliqu durant une priode donne est une variable discontinue, qui prend des petites valeurs non ngatives et entires. Il est donc logique de penser que la probabilit dtre impliqu dans un accident satisfait les conditions suivantes : la probabilit instantane davoir un sinistre est proportionnelle la longueur de la priode considre ; la probabilit instantane dun accident est constante sur la priode considre (le risque est stable dans le temps) ; la probabilit davoir plus dun accident durant une priode est faible ; les accidents sont indpendants entre eux.

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-

La probabilit quun individu soit impliqu dans k accidents durant une priode donne est gale : e k P(k , ) = k! ,

(1)

tant le paramtre de la loi de Poisson estimer. Il reprsente la moyenne et la variance de la distribution. Pour expliquer comment une telle variable discrte dpend dautres variables, le modle linaire classique se rvle inadquat pour principalement deux raisons : le nuage des observations na pas une forme adapte un ajustement linaire (Gouriroux, 1989), et lhypothse de normalit ne peut tre pose, puisque la variable endogne prend un petit nombre de valeurs et ne peut pas prendre de valeurs ngatives. La distribution de Poisson est traditionnellement retenue pour reprsenter la distribution des accidents, car elle satisfait ces hypothses. Le modle binomial ngatif Utiliser une distribution Poisson pour reprsenter la distribution daccidents dun groupe dindividus suppose implicitement que les contiennent toute linformation pour expliquer la probabilit daccident. Cette caractristique est trs restrictive.

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Si, dautre part, nous supposons que les ne contiennent pas toute linformation et que, pour un individu donn, la distribution daccidents suit une distribution de Poisson, il est appropri de supposer que suit une distribution de paramtre a et . La fonction de distribution de est alors f() : f ( ) = a e a 1 (a ) . (2)

La moyenne est gale

a a et la variance 2 . La fonction (a) est la fonction Gamma.

La probabilit quun individu choisi au hasard ait k accidents est dfinie de la faon suivante (Lemaire, 1985 ; Boyer et al., 1992) :

e P(k / a , ) = 0=

k

f ( )d

k! (a + k ) a (3)

(k + 1)(a )(1 ) k +a

La moyenne est gale

a a 1 et la variance est gale (1 + ) .

Les modles de comptage avec caractristiques des individus et leur application Supposons que la variable Ki est le nombre daccidents dans lequel un individu i est impliqu dans une priode donne. Si Ki est indpendante des autres variables Ki pour i i, lensemble de ces variables suit une loi de Poisson de paramtre i. La forme fonctionnelle qui relie le paramtre i aux caractristiques individuelles est : i = exp(X i) (4)

o est un vecteur de paramtres (mx1) estimer et i correspond la moyenne et la variance. Lemploi de lexponentielle nous permet davoir une moyenne et une variance non ngatives, ce qui exclut les modles de rgression linaires. Ainsi, la probabilit quun individu i soit impliqu dans ki accidents pendant une priode considre est donne par :

8

e exp (X i ) exp X i P(K i = k i ) = ki! La fonction du maximum de vraisemblance est donne par :

( )

ki

.

(5)

e exp (X i ) exp(X i ) i L ( k i , ) = . i =1 ki!n k

(6)

La monotonicit de la fonction logarithmique nous permet de maximiser le simple logarithme plutt que la fonction elle-mme. tant donn que la fonction logarithmique du maximum de vraisemblance nest pas linaire en , le systme dquation doit tre rsolu en utilisant un algorithme itratif, comme dans la mthode de Newton Raphson (Gouriroux, 1989) : t +1

t = H t

t g ,

1

(7)

o g(.) dnote le gradient de la fonction logarithmique de vraisemblance et t , une valeur arbitraire de dbut. La procdure ditration se termine lorsquun critre de convergence est satisfait (le logiciel Limdep permet de procder facilement lestimation de ). La formulation prcdente prsente nanmoins deux inconvnients. Dune part, le modle repose sur une hypothse dindpendance entre les vnements successifs, et, dautre part, lesprance et la variance de ki, sont gales par dfinition. De plus, les variables Xi expliquent elles seules toutes les probabilits daccidents. Ces deux proprits ne correspondent pas toujours aux observations ralises sur les accidents de la route. Une solution pour remdier ces problmes est de supposer que le vecteur Xi des caractristiques nest pas suffisant pour capturer toutes les diffrences entre les individus et supposer que les caractristiques additionnelles non observes peuvent tre reprsentes par une variable alatoire supplmentaire i, de sorte que : = exp X i + i ,i

(

)

(8)

o i reprsente diverses erreurs dans la spcification du paramtre i telles que loubli de variables explicatives inobservables ou le degr daversion au risque. La probabilit marginale quun individu i soit impliqu dans ki accidents devient alors :

9

e (X i + i ) exp (X i + i ) P [k i / X i , i ] h ( i )d i = h ( i )d i ki!ki

(9)

o h(i) est la fonction de densit de probabilit de i, qui est la forme gnrale de la distribution de Poisson compose. La forme particulire que nous allons considrer (Dionne et Vanasse, 1989) est dcrire que : i = exp X i + i = exp X i i et en supposant que i = exp i suit une fonction de densit Gamma : f ( ) = a 1e a a a (a ) (10)

(

)

( )

( )

avec une moyenne gale 1 (la moyenne de i tant suppos gale 0) et une variance 1/a. tant donn que E ( i ) = 0 i , la moyenne de i sera exp(Xi) et sa variance 1 exp X i 2 . En a intgrant lexpression de la fonction de densit par rapport la distribution daccidents, nous trouvons : P[K i = k i / X i ] = e exp (X i )i [exp(X i ) i ] i ia 1a ai a a d k i !(a )k

( )

(11) (k i + a ) exp(X i ) = k i !(a ) a k

exp(X i ) 1 + a

(k i + a )

qui est lexpression de la distribution binomiale ngative avec paramtres a et exp(Xi). Sa moyenne est E(Ki) = exp(Xi) et sa variance V(Ki) = E(i) [ 1 + E(i) Var(i) ], (12)

qui est alors une transformation croissante et convexe de la moyenne (McCullagh et Nelder, 1983). Les tests de spcification (Gilbert, 1979 ; Dionne et Vanasse, 1989 ; Cameron et Trivedi, 1986, 1990 ; Winkelman, 1994) Les problmes de spcification des modles de comptage tournent autour de la violation de lhypothse dgalit de la moyenne et de la variance du modle de Poisson ; il est donc logique de partir du modle de Poisson pour les tests de spcification.

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Pour les modles sans composante de rgression, il sagit de tester lalternative : H0: Poisson = 0 H1: binomiale ngative > 0. Nous allons considrer les tests utilisant les principes de Wald, du x2Goodness of fit statistic et du ratio du maximum de vraisemblance. Ces deux derniers tests sont quivalents.

Donnes et variables Notre base de donnes nous provient des fichiers production automobile et sinistres dune compagnie dassurances tunisienne importante, qui dtient sept pour cent du march de lassurance automobile en Tunisie pour la priode 1990 1995. Pour chaque assur, nous avons pu dgager linformation suivante : le sexe ; le gouvernorat o il rside ; la puissance de son automobile ; la marque de sa voiture ; les garanties auxquelles il a souscrit (responsabilit civile, vol, incendie, dommages) ; lge de la voiture (nous ne disposons pas dinformation sur lge pour toutes nos observations) ; la date des sinistres pour chacune des priodes 1990/1991, 1991/1992, 1992/1993, 1993/1994, 1994/1995) ; sa responsabilit dans le sinistre.

Afin dviter le problme des donnes manquantes, nous avons supprim toutes les polices o il y avait un doute sur linformation relie au sexe de lassur, sa rgion de rsidence, la marque de son automobile ou bien aux dates de contrats. Une fois les fichiers annuels nettoys, le nombre dobservations retenues pour chaque anne est de 7 549 pour la priode 1990/91, 7 482 pour 1991/92, 9 641 pour 1992/93, 10 218 pour 1993/94 et 11 447 pour 1994/95. La population de cette compagnie dassurances devrait tre reprsentative du comportement des conducteurs tunisiens, tant donn quelle dtient des succursales dans presque tous les gouvernorats de la Tunisie et que les critres de tarification pour la responsabilit civile sont les mmes pour toutes les compagnies. Il ny a donc pas de concurrence de prix ou de marketing. Par ailleurs, cette banque de donne est intressante, puisquelle nous permet davoir des statistiques individuelles sur plusieurs annes (cinq ans) et, plus encore, elle nous permet dtudier les frquences daccidents avant et aprs linstauration du systme bonus-malus (1992).

CONSTRUCTION ET SIGNIFICATION DES VARIABLES DU MODLE

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En utilisant linformation contenue dans les fichiers de notre assureur priv, nous allons tenter de rpondre la question suivante : quel est le lien statistique entre le nombre daccidents dun individu, ses propres caractristiques et les caractristiques de son automobile ? Dans cette partie, nous avons choisi de modliser le risque daccident automobile, quelle que soit la gravit de ceux-ci, mais en tenant compte du fait que lassur est responsable (le systme bonus-malus tunisien se base sur la responsabilit civile). La variable que nous tentons dexpliquer est la suivante (variable dpendante) : nombre daccidents annuels avec responsabilit. Cest une variable discrte, prenant des valeurs non ngatives, qui ne dpassent gnralement pas cinq. Ces variables explicatives sont dcrites dans le tableau 3. Tableau 3 Liste des variables utilises dans lanalyse conomtrique Variable Sexe SexeH SexeF Code ville Dfinition Deux catgories dichotomiques groupe masculin (groupe de rfrence) groupe fminin 13 variables catgories qui tiennent compte du gouvernorat dans lequel lassur habite (en ralit, la Tunisie est divise en 23 gouvernorats, mais nous avons fait des regroupements de certains gouvernorats, tant donn le faible taux dassurs appartenant certaines rgions). Le critre de regroupement est le ratio nombre daccidents en 1993/ nombre dhabitants de la rgion. Les rgions prsentant des ratios semblables ont t groupes le gouvernorat de Tunis est le groupe de rfrence 1 si lassur habite le gouvernorat de Sfax ; 0 sinon 1 si lassur habite le gouvernorat de Sousse ; 0 sinon 1 si lassur habite le gouvernorat de Nabeul ; 0 sinon 1 si lassur habite le gouvernorat de Bizerte ; 0 sinon 1 si lassur habite le gouvernorat dAriana ; 0 sinon 1 si lassur habite le gouvernorat de Ben Arous ; 0 sinon 1 si lassur habite le gouvernorat de Monastir ; 0 sinon 1 si lassur habite le gouvernorat de Mdenine ou de Bj ; 0 sinon 1 si lassur habite le gouvernorat de Mehdia ; 0 sinon 1 si lassur habite le gouvernorat de Gabs, Zaghouan ou Tozeur ; 0 sinon 1 si lassur habite le gouvernorat de Jendouba, Kasserine ou SidiBouzid ; 0 sinon 1 si lassur habite le gouvernorat de Kairouan, Kef ou Siliana ; 0 sinon 1 si lassur habite le gouvernorat de Tataouine ou Kbili ; 0 sinon12

Cville1 Cville2 Cville3 Cville4 Cville5 Cville6 Cville7 Cville8 Cville910 Cville12 Cv132023 Cv141517 Ck161819 Cvil2122

ge de la voiture

Agev-3 Agev3a5 Agev6a8 Agev911 Agev1214 Agev1517 Agev18P Marque de la voiture France Italie Allemand Anglaise Asie Est Mardiv Garantie Inc Vol Dom

Sept catgories dichotomiques qui nous donnent une ide de ltat de la voiture utilise. Ces variables nont pas t utilises dans toutes les rgressions cause du grand nombre dobservations manquantes voiture ge de moins de trois ans (groupe de rfrence) 1 si la voiture est ge de 3 5 ans ; 0 sinon 1 si la voiture est ge de 6 8 ans ; 0 sinon 1 si la voiture est ge de 9 11 ans ; 0 sinon 1 si la voiture est ge de 12 14 ans ; 0 sinon 1 si la voiture est ge de 15 17 ans ; 0 sinon 1 si la voiture est ge de plus de 18 ans ; 0 sinon Sept catgories dichotomiques qui captent leffet du pays dorigine de la voiture voiture franaise (groupe de rfrence) 1 si la voiture est dorigine italienne ; 0 sinon 1 si la voiture est dorigine allemande ; 0 sinon 1 si la voiture est dorigine anglaise ; 0 sinon 1 si la voiture est dorigine asiatique (japonaise, corenne, etc...) ; 0 sinon 1 si la voiture est dorigine de lex-Europe de lest (polonaise, russe...etc.) ; 0 sinon 1 si autre que les marques cites ci-dessus ; 0 sinon 3 catgories dichotomiques qui captent leffet de protection de lassur 1 si lassur assure sa voiture contre lincendie ; 0 sinon 1 si lassur assure son automobile contre le vol ; 0 sinon 1 si lassur prend la garantie collision ; 0 sinon

Les trois dernires variables du tableau 3 peuvent tre considres comme des variables de protection de lassur et donnent une information a priori sur le risque de lassur ou sur son aversion pour le risque.

ATTENTES VIS--VIS DES SIGNES DES COEFFICIENTS Dans cette partie, nous allons tenter danticiper les signes des variables explicatives du modle en nous basant sur les statistiques agrges du pays et les tudes antrieures faites ce sujet. En ce qui concerne la variable SexeF, nous nous attendons ce quelle soit dote dun coefficient estim de signe ngatif car, daprs les statistiques de 1993 du ministre de lIntrieur, seulement 3,31 % des accidents sont dus la responsabilit civile des femmes. Leffet de la variable sexe est souvent reli celui de lge de lassur (Dionne et Vanasse, 1992). Pour 1993, 29,96 % des accidents impliquent des jeunes gs entre 20 et 30 ans, et 26,87 % impliquent ceux ges entre 31 40 ans. Par contre, les accidents dont les personnes responsables sont ges de plus de 41 ans13

sont en moyenne de 15 % et ne sont pas trs importants par rapport aux accidents des gens qui ont moins de 20 ans, et qui reprsentent 12 % du total des accidents pour 1993 (il est remarquer quen Tunisie, lge requis pour conduire est 20 ans). Mais comme nous ne dtenons pas ce genre dinformation, nous nous limiterons limpact de la variable sexe sur les frquences daccident. Pour la variable Cville, nous nous attendons ce que la plupart des signes des coefficients des variables soient ngatifs et significatifs, hormis pour les rgions Cville2 (Sfax), Cville3 (Sousse) et Cville4 (Nabeul), cause de leurs particularits. En effet, le gouvernorat de Sfax est trs mouvement, aussi bien sur les plans conomique, administratif et social, mais galement cause dune autre particularit. En effet, cette rgion est caractrise par un usage massif de vhicules deux roues, comme les vlos et les motos, ce qui a un grand impact sur le nombre daccidents automobiles. Sa situation gographique est aussi spciale, puisque la route principale qui relie le nord au sud de la Tunisie traverse en long cette rgion. En ce qui concerne les rgions de Sousse et de Nabeul, situes sur la cte, elles gnrent des activits touristiques trangres et tunisiennes trs denses, surtout pendant la saison estivale, o le flux migratoire est trs important. Pour les variables marque et ge de la voiture, nous navons pas de prdiction a priori. Les diffrentes variables relies la puissance de la voiture devraient prsenter des coefficients positifs et significatifs, car plus la puissance est leve, plus lindividu fera de la vitesse et provoquera ainsi plus daccidents. Les variables Inc et Vol ne devraient pas, a priori, nous donner dide sur le nombre daccidents, puisquelles ninterviennent pas dans les activits de conduite de lassur et nont donc pas deffet sur la probabilit daccident. Elles peuvent cependant nous indiquer le degr de riscophobie de lindividu, car plus un individu est riscophobe, plus il prendra de garanties supplmentaires. En ce qui concerne la variable Dom, son coefficient devrait tre positif et significatif.

ESTIMATIONS ET INTERPRTATIONS DES RSULTATS Pour les besoins de notre modle, nous avons procd deux sortes destimations : des estimations qui ne tiennent pas compte des caractristiques des assurs : Poisson univari et binomiale ngative univarie ; des estimations qui tiennent compte des caractristiques des individus et de leur voiture : Poisson et binomiale ngative avec composante de rgression.

-

Toutes les estimations ont t faites avec la mthode du maximum de vraisemblance.

14

Rsultats des estimations univaries Le modle de Poisson Pour les cinq priodes considres (1990/91, 1991/92, 1992/93, 1993/94, 1994/95), nous avons procd des estimations laide du modle de Poisson (voir annexe pour les estimations) et nous avons obtenu les rsultats du tableau 4. Tableau 4 Rsultats des estimations laide du modle de Poisson univari Priode 1990/91 1991/92 1992/93 1993/94 1994/95 0,07074 0,08259 0,070736 0,074088 0,072861 x2 Goodnes of fit statistic 50,49 19,628 8,637 30,793 80,807 Likelihood ratio - 2244,061 - 2194,329 - 2516,697 - 2770,741 - 3067,733

En utilisant les paramtres estims, nous avons vrifi lapproximation des effets thoriques avec les effectifs observs. Nous avons obtenu de trs mauvais rsultats, puisque tous les x2Goodness of fit statistic calculs (Gilbert, 1979; Dionne et Vanasse, 1989; Lemaire, 1985) nous ont conduits rejeter la distribution Poisson, donc rejeter lhomognit des individus. Le modle binomial ngatif Nous avons estim les paramtres a et pour les cinq priodes et nous avons obtenu les rsultats du tableau 5. Tableau 5 Rsultats des estimations laide du modle binomial univari Priode 1990/91 1991/92 1992/93 1993/94 1994/95 0,9445 0,9538 1,3806 0,7655 0,7160 11,228 11,548 19,5176 10,332 9,827 x2Goodness of fit statistic 1,52 0,0040 0,041 0,049 1,155 Log Likelihood -2232,939 -2183,983 -2511,578 -2753,939 -3047,120

Nous avons calcul les prdictions des frquences daccident partir des paramtres estims, que nous avons compars aux observations (voir lannexe pour les dtails des calculs). Nous avons test nos rsultats avec le test du x2Goodness of fit statistic. Pour les cinq priodes, nous ne rejetons pas la binomiale ngative.

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Ces conclusions sont appuyes par le test du ratio du maximum de vraisemblance, qui consiste calculer -2(LLPoisson-LLBinomiale ngative), que lon compare la valeur critique du test pour un niveau de confiance de 5 % (x21,95 % = 7,82). Les valeurs des ratios pour les cinq priodes sont reprsentes dans le tableau 6. Tableau 6 Valeurs des ratios du maximum de vraisemblance Priode 1990/91 1991/92 1992/93 1993/94 1994/95 Log-Likelihood ratio 22,224 20,692 10,238 33,604 41,226

Pour les cinq annes, les ratios sont suprieurs la valeur critique 7,82, do le non-rejet de la binomiale ngative. 1 sont tous significatifs lorsquon leur applique un test de Wald H0 : a Poisson = 0 vs H1: binomiale ngative avec 0. Par ailleurs, les = Ceci revient faire un test Student classique T = Varasymptotiquement

N(0,1) .

Le modle binomial ngatif reprsente donc bien la distribution daccidents de notre chantillon. Avant de calculer les primes, il nous faut cependant intgrer ce modle les caractristiques individuelles des assurs, afin disoler limpact de chacune de celles-ci sur le nombre daccidents. Cette mthode rejoint celle suggre par Dionne et Vanasse (1989). Rsultats des estimations de la binomiale ngative avec composante de rgression Lestimation des cinq priodes, en tenant compte des variables sexe, Inc, Vol, Dom, Puiss, Cville et Marque, nous a permis dobtenir les paramtres et du tableau 7. Tableau 7 Rsultats des estimations laide du modle binomial ngatif avec composante de rgression Priode 1990/91 1991/92 0,72314 (2,902) 0,55019 (2,127)16

1,3828 1,8175

Log-Likelihood -2168,766 -2099,649

0,34548 2,894 -2433,970 (1,452) 1993/94 0,79565 1,2568 -2661,596 (3,030) 1994/95 0,80964 1,235 -2922,675 (3,498) Nous constatons que les estims pour les cinq priodes sont tous significatifs 95 %, sauf pour la priode 1992/93, o il nest significatif qu 90 %, et dune manire unilatrale. Ceci est tout fait confirm lorsquon effectue un test de Wald (Cameron et Trivedi 1986). Nous avons compar les avec la rgression binomiale ngative sans composante de rgression et ceux obtenus avec la composante de rgression (voir tableau 8). Tableau 8 Comparaison des rsultats avec la binomiale ngative avec et sans composante de rgression Priode 1990/91 1991/92 1992/93 1993/94 1994/95 binomiale-ngative univari 0,9445 0,9538 1,3806 0,76552 0,7160 binomiale-ngative multivari 1,3828 1,8175 2,894 1,2568 1,235

1992/93

Nous constatons que les du modle binomial ngatif avec composante de rgression sont tous plus grands que les du modle univari, autrement dit, que les = 1/a estims (qui reprsentent les variances du terme derreur pour chacune des priodes) sont plus levs pour la binomiale univarie. On en conclut quune partie de la vraisemblance est bien explique par les variables a priori (sexe, rgion, etc..). Par mesure de prcaution, nous avons galement utilis les mmes variables pour faire des rgressions Poisson avec la mthode du maximum de vraisemblance et avons compar les logarithmes de vraisemblance des rgressions Poisson et binomiales ngatives pour les cinq annes. Les rsultats obtenus sont au tableau 9. Tableau 9 Rsultats du test du ratio de maximum de vraisemblance des rgressions entre le modle de Poisson avec composante de rgression et le modle binomial ngatif avec composante de rgression Anne 1990/91 1991/92 1992/93 1993/9417

-2(LLPoisson-LLbinomiale-ngative) 13,392 8,314 3,288 17,746

1994/95

20,724

Sous lhypothse nulle, le test statistique est -2(LLPoisson-LLBinomiale Ngative) et ce ratio est asymptotiquement distribu comme un x21. Les valeurs critiques du x2 sont, pour un niveau de confiance de 10 %, de 2,706 et, pour un niveau de confiance de 5 %, de 3,84. Pour la priode 1992/93, nous rejetons le modle de Poisson pour un niveau de confiance de 10 %, alors que pour les autres priodes, le modle de Poisson est rejet pour un niveau de confiance de 5 %. Nous avons galement vrifi sil y avait un gain estimer le modle binomial ngatif avec une composante de rgression par rapport un modle binomial univari. Les calculs sont prsents dans le tableau 10. Tableau 10 Rsultats du test de ratio de vraisemblance entre le modle binomial univari et le modle binomial avec composante de rgression Priode 1990/91 1991/92 1992/93 1993/94 1994/95 Log-Likelihood ratio 128,346 168,668 155,216 183,966 248,89

Sous lhypothse nulle, le test statistique du ratio du maximum de vraisemblance est asymptotiquement distribu comme un x230. Pour toutes les annes, nous rejetons lhypothse du modle binomial univari. La valeur critique du test un niveau de confiance de 5 % est de x230,95 % = 43,77. Le modle bas sur la distribution binomiale ngative avec composante de rgression nest pas rejet, car il reprsente de faon significative la distribution daccident de notre chantillon. Dautre part, il nous permet destimer la probabilit davoir k = 0,1... etc. accidents. Chaque coefficient obtenu par ce type de modle sinterprte comme limpact de la variable explicative sur le nombre daccidents moyen estim (voir Rgression 4, en annexe). En ce qui concerne les variables explicatives, la variable sexeF ne semble pas significative par rapport sexeM, sauf pour lanne 1992. Ceci peut sexpliquer par le fait que notre chantillon est compos denviron 25 % de femmes et 75 % dhommes et que, dautre part, nous navons pas dinformation sur les groupes dge. Dionne et Vanasse (1992) ont obtenu des rsultats de sorte que les hommes de moins de 35 ans ont moins daccidents que le groupe de rfrence, les femmes ges de moins de 19 ans. Ils ont aussi constat que les hommes de moins de 35 ans nont pas plus daccidents que le groupe de rfrence et, enfin, que les femmes de 35 et 65 ans reprsentent de faibles risques. Les variables Inc et Vol ne sont pas significatives pour les cinq priodes, ce qui rejoint nos anticipations. En effet, sassurer contre lincendie et le vol ne modifie pas nos habitudes de

18

conduite et ne diminue pas notre nombre daccidents futurs. Par contre, ces variables peuvent nous renseigner sur le degr de riscophobie de lindividu. La variable Dom est significative 99 % pour toutes les priodes, sauf pour lanne 1990. Pour 1991/92, les individus qui sassurent contre le dommage collision ont 2,5 fois plus de chances davoir des accidents par rapport ceux qui ne prennent pas cette garantie, 3,35 fois plus en 1992/93, 2,72 fois en 1993/94 et, enfin, 2,95 fois en 1994/95. Ces rsultats sont compatibles avec nos prvisions. En ce qui concerne la variable Puiss, nous constatons que, dune manire stable, les variables Puiss4 et Puiss5 ne sont pas significatives pour les cinq priodes par rapport la variable Puiss-4 (groupe de rfrence). Les individus qui possdent ce type de voiture nont donc pas plus daccidents que ceux qui ont des voitures de puissance moindre. La variable Puiss6 est significative pour les priodes 1990/91, 1992/93 et 1993/94. Puiss7, quant elle, est significative pour les priodes 1990/91, 1991/92, 1993/94 et non significative pour les deux autres priodes. Puiss8 est significative pour toutes les annes, sauf pour la priode 1994/95. Puiss9 nest significative que pour les annes 1991/92 et 1993/94 et, enfin, Puiss10P est significative pour les priodes 1990/91, 1991/92 et 1992/93. Nous pouvons donc conclure que les voitures de puissance de plus de 6 chevaux ont plus daccidents que celles de moins de 4 chevaux, mais que le degr de risque des individus possdant ce genre de voitures nest pas ncessairement croissant avec le degr de puissance de leur voiture, puisque les coefficients associs ne sont pas ncessairement croissants avec la puissance. Par exemple, pour la priode 1993/94, les coefficients associs la variable puissance augmentent pour Puiss6, diminuent pour Puiss7, remontent encore pour Puiss8, puis baissent la Puiss9 et plus. Ceci peut dpendre de lusage quotidien et non de lautomobile et de sa valeur montaire. Un individu possdant une BMW 730 (Puiss11), sera plus prudent quun conducteur dune Ford Escort (7 chevaux). En ce qui concerne les rgions (Cville), le signe associ aux coefficients des variables est toujours ngatif, sauf quelquefois pour les rgions 6 et 7, qui ont pour particularit dtre presque confondues avec la rgion de rfrence Tunis. La rgion 6 na dailleurs t significative que pour les priodes 1991/92, pour un niveau de confiance de 5 %, et pour lanne 1994, pour un niveau de confiance de 10 %. Quant la rgion 7, elle na t significative que pour la priode 1994/95. La rgion de Sfax (Cville2) est significative pour toutes les annes, sauf pour lanne 1994 (en 1994, daprs les statistiques, cette rgion a eu plus daccidents au niveau agrg que la rgion de Tunis). La variable Cville3 (Sousse) est significative pour toutes les annes, sauf pour la priode 1990/91. Les variables Cville8, Cvil910, Cv132021, Cv141517 et Cvil2122 sont significatives pour les cinq priodes.

19

La rgion 12 nest pas significative pour les priodes 1990/91 et 1994/95, et la variable Ck161819 na pas t significative pour les priodes 1993/94 et 1994/95. Ici, contrairement aux rsultats obtenus par Dionne et Vanasse (1992) pour le Qubec, nous confirmons lusage de la zone gographique comme critre de tarification. Concernant limpact du pays dorigine de la voiture utilise sur le nombre daccidents, nous remarquons que lorigine de lautomobile nexplique pas le nombre daccidents. La seule variable significative concernait les voitures fabriques en Asie pour 1993/94, pour un niveau de confiance de 10 % et un signe ngatif. Ce qui signifie que les voitures franaises ne sont pas impliques dans plus daccidents que les autres marques dautomobiles en Tunisie. Nous avons repris les trois dernires priodes 1992/93, 1993/94, 1994/95, et nous avons fait des rgressions en rajoutant des variables de classes dge des voitures. Les rsultats obtenus sont prsents dans lannexe (Rgression 5). tant donn le manque dobservations concernant lge de lautomobile, nous avons perdu des assurs et nos observations annuelles ont t rduites 7 542 (contre 9 641) pour 1992/93, 8 498 (10 218) en 1993/94 et 9 868 (11 447) en 1994/95. Les estims pour toutes les annes sont trs significatifs, selon un test de Wald. Nous avons repris le mmes observations pour chacune des priodes (lorsquon ajoute les classes dges) et nous avons refait nos rgressions sans tenir compte des classes dges (Rgression 6). Nous avons test lhypothse de nullit de la variable ge de la voiture par lintermdiaire dun test du ratio de maximum de vraisemblance (Log-Likelihood ratio) et nous avons obtenu les rsultats du tableau 11. Tableau 11 Rsultats du test du ratio du maximum de vraisemblance entre la rgression sans lge de lautomobile et celle qui tient compte de lge Priode 1992/93 1993/94 1994/95 -2(LLRgression sans lge-LLRgression avec lge) 9,65 6,758 17,776

chaque fois, nous rejetons la rgression sans lge pour un x26,95 % = 1,635. La variable ge de lautomobile explique donc bien le nombre daccidents.

DESCRIPTION DUN SYSTME BONUS-MALUS OPTIMAL Dionne et Vanasse (1992) ont critiqu les mthodes destimation proposes par Lemaire (1985), et Van Eeghen, Greup et Nijssen (1983), car les tarifications a priori et a posteriori sont traites sparment, comme des problmes compltement diffrents.

20

En effet, ce genre de modle consiste utiliser des modles de rgression linaire en une premire tape, pour identifier les variables de classes de risques, dterminer les classes de tarif et calculer les primes de base (modle a priori). Dans une seconde tape, des modles de distribution binomiale ngative univarie sont utiliss pour estimer les frquences daccident et les primes de base sont ajustes en fonction du temps et des expriences passes des individus. Le modle propos par Dionne et Vanasse englobe les deux processus de tarification, a priori et a posteriori, dans la mme analyse et sur une base individuelle. En effet, les estimations des frquences daccident sont bases sur le modle binomial ngatif avec composante de rgression, qui nous donne, en une seule fois, les coefficients significatifs et nous permet de calculer les frquences daccident individuelles pour la priode suivante du contrat, selon les coefficients significatifs associs aux caractristiques des assurs. Comme nous allons le dmontrer dans cette partie, le modle dvelopp par ces conomistes est optimal, car non seulement il utilise la thorie baysienne, mais il est quitable, car il fait payer chaque assur une prime proportionnelle ses sinistres. De plus, il est quilibr financirement, cest--dire que la moyenne des primes est gale la prime actuarielle moyenne. Notre apport personnel par rapport ce modle est, aprs lavoir test avec des donnes dun pays trs diffrent de la province du Qubec aux points de vue de la rglementation et de la tarification, dintroduire des variables diffrentes relies aux caractristiques de la voiture utilise (marque, puissance, ge de lautomobile, garanties souscrites). Le thorme de Bayes Si nous nous intressons la distribution a priori des accidents dun individu ayant k accidents durant la priode t, nous voulons vrifier, laide du thorme de Bayes, que si la distribution a priori de est une Gamma de paramtres (a,), alors la distribution a posteriori est galement une Gamma de paramtres (a + Yi , a + i ). Supposons que la frquence daccidents dun individu i pour la priode j est ji X ij , i , fonction des caractristiques de lindividu la priode j reprsentes par le vecteur X ij = X1 j , ..., X ikj . i Supposons que la variable alatoire i a une fonction de densit de distribution f(i). Supposons que Yij reprsente le nombre daccidents dun individu i la priode j. Lassureur a besoin de calculer le meilleur estimateur de la vraie distribution du nombre daccidents la priode t+1. Si nous supposons que les i sont indpendants et identiquement distribus travers le temps et que lassureur minimise une fonction de perte quadratique, Dionne et Vanasse (1989) ont montr que le meilleur estimateur (sous des conditions similaires prsentes par Lemaire 1985), est gal : ti+1 Yi1 ,..., Yit ; X1 ,..., X it +1 = i

(

(

)

)

(

)

t +1 i 0

(X

t +1 i , i

)f (

t +1 1 i / Yi ,...,

Yit , X1 ,..., X it dti+1 i

)

(13)

21

o, par le thorme de Bayes : f ( et par dfinition : P (Yi1 ,...., Yit ) / X1 ,...., X it = P (Yi1 ,...., Yit ) / ti+1 , X1 ,...., X it f (ti+1 )dti+1 . i i0 t +1 i

P((Yi1 ,...., Yi1 ) / ti+1 ; X1 ,...., X it )f (ti+1 ) i / Y ,...., Y ; X ,...., X ) = 1 1 P ((Yi ,...., Yi ) / X 1 ,...., X it ) i1 i t i 1 i t i

(14)

(

)

[(

)]

(15)

Lorsquon applique le modle de distribution binomiale ngative, la probabilit de la squence ( Yil ,...., Yit ), tant donn le vrai nombre espr daccidents t+1 et les caractristiques des individus, est une distribution Poisson t dimensions. ji tt

P((Yi1 ,...., Yit ) / ti+1 ; X1 ,...., X it ) = i

e

j=1

( ji )j=1 j

Yij

(Yi !)j=1

t

(16)

o : ji = exp(X ij) i ji i . (17)

La distribution non conditionnelle de Yi1 ,..., Yit , lorsque i suit une distribution Poisson avec une moyenne gale 1 et une variance =1 /a, est donne par : Yi (a + Yi ) a a jit j=1j

(

)

P (Yi1 ,...., Yit / X1 ,...., X it ) = i

( ji !) j=1 o : Yi =

t

(a + i )

Yi + a

(18)

j=1

t

Yij et i =

ji .j=1

t

(19)

Lorsquon utilise le thorme de Bayes, on vrifie que :

22

f (ti+1

/ Yi1 ,...., Yit ; X1 ,...., X it ) i

[a + i ]Y +a e (a + ) ia 1+Y =i i i

i

(a + Yi )

(20)

correspond une distribution Gamma avec paramtres (a + Yi , a + i ) . Ainsi, lestimateur baysien optimal de la frquence daccident dun individu i est : a + Yi . ti+1 (Yi1 ,...., Yit ; X1 ,...., X it ) = ti+1 i a + i (21)

Lorsque t = 0 1i = 1i = exp(X1) , ce qui implique qu la premire priode, il ny a quune i classification a priori utilise. Un tel systme de primes possde les proprits suivantes. La prime ne dpend que du nombre total daccidents sur les t annes, et non de leur squence. Ce systme bonus-malus est financirement t +1 t +1 t +1 E( i ) = i = exp(X i ) est gale :

quilibr,

cest--dire

que

t +1 t t +1 1 t +1 t +1 t +1 i t +1 0 i a + i P((Yi ,...., Yi ) / i ; X i ,...., X i )f ( i )d i Yij

a + Y

(22)

ce qui est quivalent : a + i = t +1 a + i = t +1 . ti+1 i i a + i a + i a + i (23)

Cet estimateur dfinit la prime pure et correspond la formule du multiplicateur de tarif lorsque la prime de base est la frquence a priori ( ti+1 ), et que le facteur bonus-malus est reprsent par lexpression entre parenthses. La valeur du facteur bonus-malus est gale 1 dans lquation (23), lorsque E( Yi / X i ) = i .

APPLICATION DU SYSTME BONUS-MALUS OPTIMAL Le but de Dionne et Vanasse tait de construire un systme bonus-malus bas sur le nombre daccidents passs et sur les caractristiques des individus. Le but tait donc dajuster les primes individuelles travers le temps. Un tel systme est optimal dans la mesure o chaque assur aura

23

payer une prime proportionnelle sa frquence de rclamation et o les assureurs sont lquilibre financier. Lorsquun nouvel assur se prsente une compagnie dassurances, celle-ci, ne connaissant pas le risque quil reprsente, suppose quil est dans la moyenne de la distribution des accidents de lensemble des assurs. Cette moyenne est gale . Supposons, par exemple, que la frquence daccident est en moyenne de dix pour cent. Si le cot moyen dun accident est de 1 000 DT, la compagnie chargerait au nouvel assur une prime actuarielle (on ne tient pas compte du facteur de charge de lassurance) de 100 DT, correspondant la prime en priode 1, soit P1. Par la suite, utilisant lexprience passe de lindividu comme ses accidents, la prime a posteriori aprs t priodes deviendra une fonction de t et de k, le nombre total daccidents au dossier de lassur. a + Yi Pt +1 = 1000ti+1 a + i a + Yi 1000ti+1 correspond la prime de base et est le facteur bonus-malus. a + i Ce systme bonus-malus, bas sur le principe de la valeur espre, est optimal du point de vue actuariel. Nous avons commenc par utiliser les coefficients estims de lanne 1992, sans tenir compte de lge de lautomobile et nous avons utilis les coefficients significatifs pour calculer la frquence estime ti+1 pour des individus reprsentant des caractristiques diffrentes. Daprs nos estimations, un individu qui habite Tunis, possde une voiture franaise de quatre chevaux et ne prend pas la garantie DOM aura une frquence daccident estime de : ti+1 = exp(2,8375) = 0,0586 , alors que la probabilit moyenne de ceux qui habitent Tunis est de 0,065419. Par contre, un individu ayant les mmes caractristiques qui habite Bj, toutes choses tant gales par ailleurs, aura une esprance mathmatique d'accident value ti+1 = 0,01950 et la probabilit moyenne de ceux qui habitent cette rgion est de 0,02178. Un troisime individu, habitant Sousse, aura une frquence daccident estime t+1 gale ti+1 = 0,0407 . (24)

24

Cette estimation est tout fait rationnelle, puisquen regardant les statistiques nationales de 1993 et de 1994, nous constatons que la rgion de Sousse a toujours plus daccidents que celle de Bj et moins que la rgion de Tunis. Remarque : Lorsquon utilise la rgression sans lge de lautomobile, le coefficient ti+1 ne change pas dans le temps, mais il reste en fonction des caractristiques de lindividu qui sont significatives dans la rgression binomiale ngative. Nous avons calcul les bonus-malus pour un individu qui habite Tunis et un autre qui habite Bj et qui ont tous les deux des voitures franaises de puissance quatre chevaux et ne souscrivent que la garantie responsabilit civile. Nous obtenons les tables 12 et 13. Tableau 12 Table bonus-malus pour un homme qui possde une voiture franaise de puiss4, habite Tunis et ne prend que la garantie responsabilit civileY=0 Y =1 Y=2 Y=3 Y=4 Y=5 Y=6

1992/93 1993/94 1994/95 1995/96 1996/97 1997/98

1 0,98 0,96 0,94 0,92 0,91

1,32 1,30 1,27 1,24 1,22

1,66 1,62 1,59 1,56 1,54

2 1,96 1,93 1,88 1,85

2,33 2,29 2,24 2,20 2,16

2,67 2,62 2,57 2,523 2,47

3,01 2,95 2,90 2,84 2,79

Tableau 13 Table bonus-malus pour un homme qui possde une voiture franaise de puiss4, habite Bj et ne prend que la garantie responsabilit civileY=0 Y =1 Y=2 Y=3 Y=4 Y=5 Y=6

1992/93 1993/94 1994/95 1995/96 1996/97 1997/98

1 0,99 0,986 0,98 0,97 0,967

1,33 1,327 1,32 1,31 1,30

1,68 1,67 1,66 1,65 1,63

2,02 2,01 1,996 1,98 1,97

2,37 2,35 2,33 2,32 2,30

2,71 2,69 2,67 2,66 2,64

3,05 3,03 3,01 2,99 2,97

Si nous supposons que le cot moyen des sinistres est de 1 000 DT et que nous voulons calculer les tables de primes pour les deux assurs cits ci-dessus, les primes devant tre payes par les deux assurs, selon leur nombre de sinistres antrieurs, sont prsentes dans les tableaux 14 et 15. Tableau 14 Table de primes pour un homme qui habite Tunis25

Y=0

Y =1

Y=2

Y=3

Y=4

Y=5

Y=6

1992/93 1993/94 1994/95 1995/96 1996/97 1997/98

58,6 57,43 56,32 55,24 54,20 53,21

77,35 76,18 74,42 72,94 71,55

97,28 94,93 93,17 91,65 90,01

116,96 114,68 113,04 110,40 108,35

136,54 134,13 131,56 129,09 126,75

156,46 153,53 150,60 147,85 145,09

176,50 173,04 169,76 166,60 163,55

Tableau 15 Table de primes pour un homme qui habite BjY=0 Y =1 Y=2 Y=3 Y=4 Y=5 Y=6

1992/93 1993/94 1994/95 1995/96 1996/97 1997/98

19,5 19,36 19,24 19,11 18,99 18,86

25,93 25,88 25,70 25,54 25,37

32,74 32,53 32,32 32,11 31,88

39,43 39,17 38,92 38,67 38,41

46,14 45,82 45,51 45,22 44,94

52,82 52,47 52,12 51,79 51,44

59,51 59,12 58,73 58,34 57,97

Nous constatons que les coefficients malus sont suprieurs pour lassur qui habite Bj mais quil paie une prime moindre, tant donn sa caractristique rgionale. Nous avons par ailleurs tabli une table de facteurs bonus-malus similaire celle prsente pour la rgle bonus-malus instaure par le ministre des Finances (tableau 16). Nous la comparons la table calcule pour lassur qui habite Tunis (tableau 17). Nous constatons que les deux tables tendent se rapprocher pour un nombre daccidents moyen Y = 3 , mais qu partir de Y = 4 , lapplication de la tarification avec bonus-malus gnralise nous donne dautres niveaux de primes, tant donn la distribution des frquences daccidents rclams travers la priode. La table du ministre des Finances, quant elle, atteint un plafond. La table du ministre est donc incomplte ; son chelle de mcanisme bonus-malus devrait stendre plus et elle devrait tenir compte des caractristiques individuelles, plutt que de sen tenir la puissance de lautomobile comme critre de tarification. Tableau 16 Table de coefficients bonus-malus selon le systme de tarification du ministre des Finances pour la responsabilit civileY=0 Y =1 Y=2 Y=3 Y=4 Y=5 Y=6

1992/93 1993/94 1994/95 1995/96 1996/97 1997/98

1 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75

1,1 1,05 1 0,95 0,90

1,3 1,25 1,20 1,15 1,10

2 1,95 1,90 1,85 1,80

2 1,95 1,90 1,85 1,80

2 1,95 1,90 1,85 1,80

2 1,95 1,90 1,85 1,80

Tableau 17 Table des coefficients bonus-malus calculs selon le systme de tarification optimal

26

pour un assur qui habite Tunis et possde une voiture franaise de puissance quatre chevaux (selon les rsultats de la rgression binomiale pour la priode 1992/93)Y=0 Y =1 Y=2 Y=3 Y=4 Y=5 Y=6

1992/93 1993/94 1994/95 1995/96 1996/97 1997/98

1 0,98 0,96 0,94 0,92 0,91

1,32 1,30 1,27 1,24 1,22

1,66 1,62 1,59 1,56 1,54

2 1,96 1,93 1,88 1,85

2,33 2,29 2,24 2,20 2,16

2,67 2,62 2,57 2,52 2,48

3,01 2,95 2,90 2,84 2,79

Nous avons effectu les mmes calculs pour les priodes 1993/94 et 1994/95 et avons obtenu les rsultats suivants. Tableau 18 Table bonus-malus : coefficients calculs pour la priode 1993/94Y=0 Y =1 Y=2 Y=3 Y=4 Y=5 Y=6

1993/94 1994/95 1995/96 1996/97 1997/98 1997/98

1 0,96 0,93 0,90 0,87 0,85

1,73 1,68 1,62 1,57 1,52

2,50 2,42 2,34 2,27 2,20

3,27 3,16 3,06 2,97 2,88

4,04 3,90 3,78 3,66 3,55

4,8 4,65 4,50 4,35 4,22

3,01 2,95 2,90 2,84 2,79

Tableau 19 Table bonus-malus : coefficients calculs pour la priode 1994/95Y=0 Y =1 Y=2 Y=3 Y=4 Y=5 Y=6

1993/94 1994/95 1995/96 1996/97 1997/98 1997/98

1 0,94 0,89 0,84 0,80 0,76

1,70 1,61 1,53 1,45 1,38

2,47 2,33 2,21 2,10 2,00

3,23 3,05 2,89 2,75 2,62

3,99 3,77 3,57 3,40 3,24

4,75 4,49 4,42 4,05 3,85

3,01 2,95 2,90 2,84 2,79

Nous constatons que les tables de primes des deux dernires priodes sont diffrentes de celles de la priode 1992/93, mais quelles se rapprochent entre elles. Ceci peut tre d aux effets de la rgle du bonus-malus sur les individus. En effet, nous constatons que la stabilit des individus a beaucoup diminu aprs 1993. En effet, plusieurs assurs quittent la compagnie dassurances considre. Ceci peut sexpliquer par le fait que les gens qui atteignent des classes de malus suprieures la classe 14 sortiront pour aller sassurer dans une autre compagnie dassurances qui, nayant aucun moyen de vrifier le nombre des sinistres antrieurs de ces individus, les mettra la classe 14. Nous pouvons donc conclure que le ministre des Finances navait pas anticip leffet de la faille de sa loi concernant la classe 14.

27

Le systme appliqu par le ministre des Finances diffre sur de nombreux points du modle thorique. Les pnalits pour les accidents sont infrieures celles dtermines par le modle thorique. Par contre, les bonus sont suprieurs. Une anne sans sinistre donne un bonus de 5 % et un sinistre donne une majoration de la prime de 10 %. Par contre, nous trouvons, avec le modle optimal, que le coefficient du malus devrait tre de 1,70 pour la priode 1993/94 et le bonus de seulement 3,5 %. Lchelle des coefficients du ministre des Finances est borne suprieurement. Les coefficients dpendent de lordre des accidents (un individu peut revenir la classe 9, niveau de base, aprs deux annes conscutives sans sinistre).

-

Bressand (1993) pense que ces lments concourent tous limposition aux bas risques dune solidarit financire avec les hauts risques, car la prime moyenne verse par lensemble des a assurs correspond ; la prime de base laquelle est appliqu le bonus-malus est alors suprieure la frquence moyenne de la population. Cette solidarit financire est ncessaire pour rduire la non-assurance, ainsi que la non-dclaration des accidents, surtout lorsquil sagit de sinistres matriels de faible cot. En nous basant sur les rsultats obtenus par les rgressions qui tiennent compte des variables de classe dge des automobiles, nous avons calcul des tables de bonus-malus et, par la suite, nous avons calcul des tables de primes.

Tableau 20 Table de bonus-malus pour un homme qui habite Tunis et possde une voiture allemande ge de 2 ans en 1992Y=0 Y =1 Y=2 Y=3 Y=4 Y=5

1992/93 1 1993/94 0,965 1,39 1994/95 0,933 1,350 1995/96 0,904 1,307 la variable classe dge varie 1996/97 0,885 1,280 1997/98 0,867 1,254 1998/99 0,850 1,229

1,826 1,766 1,709 1,674 1,642 1,608

2,257 2,183 2,113 2,07 2,03 1,987

2,687 2,598 2,516 2,464 2,414 2,367

3,117 3,015 2,918 2,858 2,801 2,746

Tableau 21 Table de bonus-malus pour un homme qui habite Bj et possde une voiture allemande ge de 2 ans en 199228

Y=0

Y =1

Y=2

Y=3

Y=4

Y=5

1992/93 1993/94 1994/95 1995/96 1996/97 1997/98 1998/99

1 0,988 0,977 0,966 0,959 0,952 0,945

1,428 1,413 1,396 1,386 1,376 1,367

1,869 1,848 1,827 1,814 1,80 1,787

2,3098 2,283 2,257 2,241 2,224 2,208

2,750 2,718 2,68 2,66 2,64 2,62

3,19 3,15 3,11 3,09 3,07 3,05

Tableau 22 Table de primes pour un homme qui habite Tunis et possde une voiture allemande ge de 2 ans en 1992Y=0 ti+1 = 0,0520 ti+1 = 0,0793 ti+1 = 0,0793 ti+1 = 0,0793 ti+1 = 0,0520 ti+1 = 0,0520

Y =1

Y=2

Y=3

Y=4

Y=5

1992/93 1993/94 1994/95 1995/96 1996/97 1997/98

52,000 76,520 73,986 71,687 46,02 45,084

110,227 107,055 103,645 166,564 65,208

145,167 140,0438 135,523 85,384 83,616

178,980 173,112 167,561 107,64 105,56

213,0791 206,021 199,503 128,128 125,528

247,178 239,089 231,3974 145,667 142,792

Tableau 23 Table de primes pour un homme qui habite Bj et possde une voiture allemande ge de 2 ans en 1992Y=0 ti+1 = 0,0172 ti+1 = 0,02623 t +1

Y =1

Y=2

Y=3

Y=4

Y=5

i

= 0,02623

ti+1 = 002623 ti+1 = 0,01722 ti+1 = 0,01722

1992/93 1993/94 1994/95 1995/96 1996/97 1997/98

17,220 25,915 25,626 25,338 16,514 16,393

37,456 37,063 36,617 23,867 23,695

49,023 48,473 47,922 31,237 30,996

60,586 59,883 59,201 38,590 38,297

72,1325 71,293 70,296 45,805 45,461

83,674 82,6245 81,575 53,296 52,865

Dans ce cas, la frquence estime ti+1 nest pas constante, comme dans les autres tables calcules prcdemment et elle est largement rduite lorsque la voiture vieillit. Par exemple, cette frquence passe de 0,0793 0,0520 la cinquime anne pour un individu qui habite Tunis, car on passe de classe Agev35 Agev68. Pour lindividu qui habite Bj, cette frquence est de 0,02623 au dbut de la priode et devient 0,01722 aprs quatre priodes. Ceci nous permet donc de tirer la conclusion que les anciennes voitures sont impliques dans moins daccidents que celles qui sont plus neuves. Nous constatons galement que, contrairement aux tables calcules auparavant, hormis la rgion de rsidence, le temps et lge de la voiture ont un effet ngatif sur la prime de lindividu.

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30

CONCLUSION En nous basant sur un modle de tarification financirement balanc qui tient compte des caractristiques individuelles a priori et a posteriori, nous avons pu dmontrer que le systme de tarification automobile tunisien pour lusage priv nest pas efficace. En effet, la prime de base est rglemente par le ministre des Finances et le systme bonus-malus ne tient compte que de la puissance et lusage de la voiture comme critres de slection entre les individus. Cette tude avait par ailleurs lobjectif dutiliser les modles de comptage, dont lusage est trs rcent, dans les problmes micro-conomiques. Les rsultats obtenus sont trs intressants. Ils tendent dmontrer la non-optimalit du systme de tarification tunisien. En effet, des variables autres que la puissance sont significatives pour expliquer le nombre daccidents. Celles que nous avons pu dgager dans cette tude sont la rgion de rsidence des assurs, les garanties auxquelles ils souscrivent et les caractristiques de leur automobile (marque, puissance, ge). Une avenue de recherche sera dabord dtablir des tables bonus-malus qui tiennent compte de la gravit des accidents des individus et de tester limpact des spcificits de la voiture sur les cots daccidents.

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ANNEXE

Rgression 1 Estimation de la distribution Poisson sans composante de rgression (Poisson univarie) Variables Coefficients Coefficient Coefficients Coefficients Coefficients estims estims estims estims estims 1990/91 1991/92 1992/93 1993/94 1994/95 -2,475 (-62,382)) 7 549 -2 244,061 -2,494 (-61,994) 7 482 -2 194,329 -2,649 (-69,172) 9 641 -2 516,697 -2,602 (-71,605) 10 218 -2 770,741 -2,619 (-75,641) 11 447 -3 067,733

Constante Nombre dobservations Log-Likelihood

Rgression 2 Estimation de la distribution binomiale ngative sans composante de rgression Coefficients Coefficients Coefficients Coefficients Coefficients estims estims estims estims estims 1990/91 1991/92 1992/93 1993/94 1994/95 -2,4755 (-59,857) 1,059 (3,687) 7 549 -2 232,939 -2,494 (-59,531) 1,049 (3,579) 7 482 -2 183,983 -2,649 (-67,501) 0,72432 (2,664) 9 641 -2 511,578 -2,602 (-68,472) 1,306 (4,407 1 0218 -2 753,939 -2,619 (-72,215) 1,397 (4,858) 11 447 -3 047,120

Variables

Constante ALPHA

Nombre dobservations Log-Likelihood

32

Rgression 3 Estimation de la distribution Poisson avec composante de rgression Coefficients Coefficients Coefficients Coefficients Coefficients estims estims estims estims estims 1990/91 1991/92 1992/93 1993/94 1994/95 -2,886*** (-10,233) Cste 0,159 (1,156) -0,238 (-1,178) 0,268 (1,109) 0,404** (2,100) Cste 0,362 (1,328) 0,431 (1,633) 0,634** (2,276) 0,655** (2,436) 0,813*** (2,933) 0,460 (1,522) 0,678** (2,137) Cste -0,378*** (-2,915) -0,279* (-1,768) -0,315 (-1,531) -0,329 (-1,387) -3,260*** (-8,849) Cste -0,123 (-1,167) 0,203 (0,868) 0,921*** (5,661) 0,159 (0,747) Cste 0,646* (1,848) 0,671* (1,949) 0,584 (1,625) 0,836** (2,389) 0,803** (2,222) 0,989*** (2,681) 1,095*** (2,895) Cste -0,630*** (-4,460) -0,465*** (-2,666) -0,777*** (-3,116) -0,451* (-1,759) -2,839*** (-10,659) Cste -0,234** (-2,228)) 0,0532 (0,302)) 0,1211*** (7,646) 0,127 (0,736) Cste 0,164 (0,622) 0,272 (1,061) 0,448* (1,682) 0,287 (1,093) 0,541** (1,996) 0,339 (1,158) 0,531* (1,736) Cste -0,231** (-1,989) -0,359* (-1,948) -0,857** (-3,019) -0,468* -1,765 -3,110*** (-9,853) Cste -0,0698 (-0,735) -0,0662 (-0,446) 1,004*** (6,489) 0,319** (2,121) Cste 0,412 (1,353) 0,484 (1,613) 0,717** (2,344) 0,651** (2,142) 0,940*** (3,043) 0,641* (1,951) 0,573* (1,661) Cste -0,395*** (-3,523) -0,191 (-1,198) -0,947*** (-3,466) -8,865*** (-2,821) -2,574*** (-9,484) Cste -0,0407 (-0,470) 0,0567 (0,395) 1,085*** (7,525) 0,0140 (0,101) Cste 0,211 (0,821) 0,0242 (0,095) 0,00132 (0,005) 0,180 (0,690) 0,269 (1,005) 0,205 (0,721) 0,185 (0,636) Cste -0,150 (-1,517) -0,531*** (-2,955) -0,807*** (-3,427) -0,219 (-0,954)

Variables

Constante SexeM SexeF Inc Dom Vol Puiss-4 Puiss4 Puiss5 Puiss6 Puiss7 Puiss8 Puiss9 Puiss10P Cville1 Cville2 Cville3 Cville4 Cville5

33

Cville6 Cville7 Cville8 Cvil910 Cville12 Cv132023 Cv141517 Ck161819 Cvil2122 France Italie Allemand Anglaise Asie Est Marqdiv

0,0356 (0,215) -0,164 (-0,955) -0,975*** (-3,404) -1,377*** (-5,292) -0,443 (-1,306) -0,462** (-2,308) -1,776** (-3,052) -1,060*** (-3,419) -1,925*** (-3,306) Cste -0,120 (-0,744) 0,0828 (0,888) 0,0357 (0,086) -0,117 (-0,323) 0,411 (0,976) -0,685 (-1,174) 7549 -2175,462

-0,402** (-2,143) -0,147 (-0,914) -0,744*** (-2,876) -1,155*** (-4,538) -1,352** (-2,327) -0,894*** (-3,519) -1,510** (-2,593) -1,333*** (-3,474) -2,804*** (-2,797) Cste 0,143 (0,933) 0,151 (1,630) -0,102 (-0,225) 0,207 (0,708) 0,232 (0,455) -0,499 (-0,984) 7482 -2103,806

0,0715 (0,430) 0,216 (1,482) -1,066*** (-3,449) -1,098*** (-5,187) -0,621* (-1,725) -0,528** (-2,557) -1,155** (-2,287) -0,503** (-1,998) -1,055** (-2,543) Cste -0,0590 (-0,371) -0,0915 (-1,007) 0,363 (1,071) -0,665* (-1.709) 0,234 (0,512) 0,367 (1,019) 9641 -2435,614

-0,0868 (-0,544) 0,00956 (0,064) -0,834*** (-3,323) -1,172*** (-5,503) -1,226** (-2,434) -0,798*** (-3,444) -0,680* (-1,767) -0,314 (-1,476) -0,808*** (-2,694) Cste -0,200 -1,239 -0,0521 (-0,611) -0,916 (-1,578) 0,398* (1,730) 0,627 1,724* 0,326 (1,011) 10218 -2670,829

0,242* (1,831) -0,333** (-2,005) -0,764*** (-3,223) -1,808*** (-7,204) -0,523 (-1,546) -0,901*** (-3,948) -1,502** (-2,574) -1,039*** -3,815 -1,794*** (-4,269) Cste -0,0551 (-0,369) 0,116 (1,456) 0,326 (1,105) 0,268 (1,203) -1,258 (-1,253) 0,324 (1,088) 11447 -2933,037

Nombre d'observations Log-Likelihood

34

Rgression 4 Estimation de la distribution binomiale ngative avec composante de rgression Variables Coefficients Coefficients Coefficients Coefficients Coefficients estims estims estims estims estims 1990/91 1991/92 1992/93 1993/94 1994/95 -2,889*** (-9,694) Cste 0,1589 (1,439) -0,225 (-1,209) 0,270 (0,988) 0,391** (2,119) Cste 0,364 (1,309) 0,435 (1,601) 0,638** (2,215) 0,654** (2,373) 0,815*** (2,819) 0,458 (1.473) 0,675** (2.092) Cste -0,378*** (-2.822) -0,278 (-1,676) -0,315 (-1,479) -0,327 (-1,367) 0,0368 -3,264*** (-8,193) Cste -0,122 (-1,079) 0,204 (0,883) 0,911*** (5,377) 0,162 (0,764) Cste 0,650* (1,757) 0,669* (1,838) 0,586 (1,540) 0,836** (2,265) 0,799** (2,098) 0.984** (2,526) 1,091*** (2,739) Cste -0,627*** (-4,295) -0,460** (-2,463) -0,780*** (-3,080) -0,452* (-1,798) -0,402**35

Constante SexeM SexeF Inc Dom Vol Puiss-4 Puiss4 Puiss5 Puiss6 Puiss7 Puiss8 Puiss9 Puiss10P Cville1 Cville2 Cville3 Cville4 Cville5 Cville6

-2,8375*** (-10,835) Cste -0,236* (-2,155) 0,0528 (2,263) 1,210*** (7,296) 0,126 (0,638) Cste 0,165 (0,652) 0,271 (1,095) 0,447* (1,710) 0,290 (1,132) 0,540** (2,062) 0,340 (1,173) 0,536* (1,785) Cste -0,232** (-1,875) -0,363 (-1,912) -0,859 (-2,859) -0,469* (-1,760) 0,0745

-3,110*** (-9,105) Cste -0,0692 (-0,682) -0,0634 (-0,394) 1,003*** (6,233) 0,312* (1,803) Cste 0,416 (1,267) 0,488 (1,513) 0,720* (2,193) 0,649** (1,984) 0,943*** (2,835) 0,637* (1,824) 0,580 (1,540) Cste -0,397*** (-3,282) -0,187 (-1,096) -0,944*** (-3,559) -0,860*** (-2,636) -0,0923

-2,571*** (-9,241) Cste -0,0338 (-0,369) 0,0619 (0,390) 1,084*** (6,960) 0,00552 (0,035) Cste 0,206 (0,776) 0,0206 (0,079) -0,00327 (-0,012) 0,180 (0,672) 0,265 (0,954) 0,197 (0,665) 0,183 (0,600) Cste -0,149 (-1,431) -0,527*** (-2,720) -0,803*** (-3,348) -0,223 (-0,937) 0,244*

Cville7 Cville8 Cvil910 Cville12 Cv132021 Cv141517 Ck161819 Cvil2122 France Italie Allemand Anglaise Asie Est Marqdiv Alpha

(0,199) -0,157 (-0,890) -0,973*** (-3,198) -1,374*** (-5,016) -0,448 (-1,388) -0,465** (-2,129) -1,777*** (-2,931) -1,062*** (-3,182) -1,923*** (-3,223) Cste -0,119 (-0,671) 0,0843 -(0,853) 0,0331 (0,069) -0,109 (-0,319) 0,424 (0,852) -0,679 (-1,087) 0,723*** (2,902) 7549 -2168.766

(-2,052) -0,148 (-0,870) -0,747*** (-2,732) -1,155*** (-4,327) -1,349** (-2,246) -0,893*** (-3,305) -1,507** (-2,508) -1,330*** (-3,319) -2,804*** (-2,760) Cste 0,150 (0,908) 0,151 (1,537) -0,101 (-0,205) 0,213 (0,665) 0,216 (0,356) -0,485 (-1,104) 0,550** (2,127) 7482 -2099.649

(0,439) 0,210 (1,413) -1,066*** (-3,337) -1,100*** (-5,139) -0,622* (-1,648) -0,530 (-2,332) -1,155** (-2,201) -0,508** (-2,043) -1,056 (-2,456) Cste -0,0602 (-0,356) -0,0916 (-0,998) 0,363 (1,077) -0,661 (-1,616) 0,235 (0,541) 0,375 (0,932) 0,345* (1,452) 9641 -2433.970

(-0,543) 0,00717 (0,043) -0,832*** (-3,256) -1,172*** (-5,011) -1,225* (-2,338) -0,796*** (-3,073) -0,683** (-1,845) -0,316 (-1,369) -0,808** (-3,021) Cste -0,197 (-1,158) -0,0521 (-0,0579) -0,915 (-1,471) 0,434* (1,687) 0,628 (1,354) 0,339 (1,012) 0,796*** (3,030) 10218 -2661.956

(1,771) -0,340** (-2,107) -0,755*** (-3,158) -1,810*** (-6,697) -0,532 (-1,424) -0,903*** (-3,782) -1,512** (-2,398) -1,042 (-3,644) -1,795*** (-4,105) Cste -0,0523 (-0,331) 0,122 (1,456) 0,327 (1,023) 0,279 (1,133) -1,255 (-1,209) 0,305 (0,799) 0,810*** (3,498) 11447 -2922.675

Nombre d'observations Log-Likelihood

36

Rgression 5 Estimation de la distribution binomiale ngative avec composante de rgression en tenant compte de lge de la voitureVariables Constante SexeM SexeF Inc Dom Vol Puiss-4 Puiss4 Puiss5 Puiss6 Puiss7 Puiss8 Puiss9 Puiss10P Cville1 Cville2 Cville3 Cville4 Cville5 Cville6 Cville7 Coefficients estims 1992/93 -2,753*** (-8,618) Cste -0,184 (-1,495) 0,0401 (0,186) 1,392*** (6,716) 0,0997 (0,466) Cste -0,0995 (-0,361) 0,0055 (0,021) 0,257 (0,914) 0,0651 (0,236) 0,355 (1,237) 0,124 (0,385) 0,338 (1,021) Cste -0,207 (-1,473) -0,371* (-1,692) -0,833** (-2,494) -0,481 (-1,491) 0,189 (0,985) 0,295* (1,768) Coefficients estims 1993/94 -2,954*** (-7,446) Cste -0,0684 (-0,626) -0,179 (-1,074) 1,124*** (6,179) 0,305 (1,671) Cste 0,415 (1,139) 0,463 (1,298) 0,669* (1,847) 0,533 (1,469) 0,910** (2,481) 0,573 (1,469) 0,640 (1,570) Cste -0,424*** (-3,149) -0,195 (-1,056) -0,842*** (-3,026) -0,842** (-2,321) -0,154 (-0,793) 0,125 (0,704) Coefficients estims 1994/95 -2,570*** (-8,446) Cste -0,0307 (-0,307) 0,022 (0,128) 1,251*** (7,181) -0,0324 (-0,188) Cste 0,128 (0,452) -0,0874 (-0,317) -0,0637 (-0,220) 0,0965 (0,343) 0,214 (0,735) 0,168 (0,541) 0,215 (0,674) Cste -0,238** (-2,058) -0,537*** (-2,608) -0,905*** (-3,447) -0,187 (-0,774) 0,237 (1,624) -0,385** (-2,170)

37

Cville8 Cvil910 Cville12 Cv132021 Cv141517 Ck161819 Cvil2122 Agev-3 Agev35 Agev68 Agev911 Agev1214 Agev1517 Agev18P France Italie Allemand Anglaise Asie Est Marqdiv ALPHA

-1,025*** (-3,012) -1,106*** (-4,632) -0,480 (-1,237) -0,494 (-1,921) -0,837 (-1,562) -0,528** (-1,976) -1,254** (-2,376) Cste 0,420** (2,262) 0,222 (1,280) 0,359** (2,157) 0,226 (1,193) 0,0362 (0,155) 0,150 (0,609) Cste -0,0704 (-0,372) -0,202* (-1,840) 0,185 (0,390) -1,148** (-2,124) -0,0452 (-0,084) 0,417 (0,931) 0,446 (1,629) 7542 -1964,434

-0,744*** (-2,829) -1,134*** (-4,550) -1,223** (-2,124) -0,745** (-2,558) -0,384 (-0,986) -0,311 (-1,288) -0,727** (-2,571) Cste -0,124 (-0,761) 0,0897 (0,571) -0,0508 (-0,352) -0,0647 (-0,420) 0,160 (0,820) 0,272 (1,401) Cste -0,202 (-1,094) -0,0458 (-0,452) -0,723 (-1,152) 0,477* (1,777) 0,562 (1,030) 0,287 (0,817) 0,717*** (2,685) 8498 -2291,224

-0,903*** (-3,413) -2,050*** (-6,458) -0,549 (-1,379) -0,898*** (-3,558) -1,475** (-2,321) -1,119*** (-3,485) -1,689*** (-3,505) Cste -0,104 (-0,681) 0,468*** (3,330) 0,217* (1,837) 0,227* (1,712) 0,155 (0,896) 0,375** (2,197) Cste 0,00338 (0,020) 0,126 (1,352) 0,467 (1,411) 0,337 (1,278) -1,176 (-1,122) 0,117 (0,257) 0,790*** (3,159) 9868 -2549,559

Nombre Log-Likelihood

38

Rgression 6 Estimation de la binomiale ngative avec composante de rgression sans tenir compte de lge de lautomobile et avec le mme nombre dobservations que celle en tenant compte de lge de lautomobile Variables Coefficients estims 1991/92 -2,526*** (-8,973) Cste -0,202 (-1,642) 0,0481 (0,225) 1,242*** (6,952) 0,103 (0,483) Cste -0,0765 (-0,285) -0,00368 (-0,014) 0,240 (0,864) 0,0624 (0,228) 0,317 (1,133) 0,0987 (0,311) 0,289 (0,877) Cste -0,210 (-1,544) -0,358* (-1,663) -0,798** (-2,408)39

Coefficients estims 1992/93 -2,932*** (-7,825) Cste -0,0717 (-0,665) -0,187 (-1,132) 1,101*** (6,686) 0,297 (1,629) Cste 0,377 (1,055) 0,479 (1,353) 0,676* (1,881) 0,552 (1,535) 0,975*** (2,683) 0,622 (1,613) 0,681* (1,679) Cste -0,388*** (-3,019) -0,177 (-0,965) -0,841*** (-3,052)

Coefficients estims 1993/94 -2,419*** (-8,360) Cste -0,0529 (-0,530) 0,0292 (0,171) 1,096*** (6,593) -0,0303 (-0,179) Cste 0,0824 (0,299) -0,0809 (-0,297) -0,0711 -0,249 0,122 0,437 0,226 (0,780) 0,174 (0,562) 0,198 (0,623) Cste -0,182 (-1,617) -0,512** (-2,496) -0,882*** (-3,392)

Constante SexeM SexeF Inc Dom Vol Puiss-4 Puiss4 Puiss5 Puiss6 Puiss7 Puiss8 Puiss9 Puiss10P Cville1 Cville2 Cville3 Cville4

Cville5 Cville6 Cville7 Cville8 Cvil910 Cville12 Cv132021 Cv141517 Ck161819 Cvil2122 France Italie Allemand Anglaise Asie Est Marqdiv Alpha

-0,445 (-1,387) 0,190 (0,995) 0,306* (1,854) -1,036*** (-3,050) -1,114*** (-4,700) -0,471 (-1,220) -0,492* (-1,936) -0,816 (-1,523) -0,534** (-2,019) -1,244** (-2,367) Cste -0,0307 (-0,164) -0,189* (-1,819) 0,202 (0,436) -1,145** (-2,150) 0,0225 (0,042) 0,397 (0,898) 0,459* (1,655) 7542 -1969,257

-0,840** (-2,330) -0,145 (-0,752) 0,136 (0,772) -0,721*** (-2,791) -1,095*** (-4,468) -1,089 (-2,066) -0,721** (-2,497) -0,382 (-1,004) -0,277 (-1,154) -0,703** (-2,556) Cste -0,223 (-1,226) -0,0923 (-0,953) -0,749 (-1,188) 0,423 (1,587) 0,509 (0,929) 0,254 (0,725) 0,725*** (2,765) 8498 -2294,603

-0,163 (-0,674) 0,239 (1,643) -0,375** (-2,138) -0,866** (-3,267) -1,99*** (-6,311) -0,503 (-1,259) -0,880*** (-3,501) -1,448** (-2,270) -1,056*** (-3,353) -1,640*** (-3,404) Cste 0,0228 (0,139) 0,113 (1,253) 0,519 (1,560) 0,300 (1,175) -1,149 (-1,101) 0,0919 (0,202) 0,832*** (3,296) 9868 -2558,447

Nombre d'observations Log-Likelihood

40

Test 1 Test des distributions Poisson et binomiale ngative univaries pour la priode 1990/91 Nombre daccidents individuels pour une priode donne Nombre dindividus observs ayant k accidents pour 1990/91 Nombre prdit dindividus ayant k accidents pour 1990/91 Poisson Binomiale ngative = 0,9445, = 11,228 = 0,07074 6 939,80 6 964,71 583,78 537,96 24,55 42,77 0,69 3,72 0,01 0,30 x2 = 50,49 x2 = 1,52 x22,95 % = 5,99 x21,95 % = 3,84 LL = -2 244,061 LL = -2 232,939

0 1 2 3 4+

6 964 541 38 6 0

Test 2 Test des distributions Poisson et binomiale ngative univaries pour la priode 1991/92 Nombre daccidents individuels pour une priode donne Nombre dindividus observs ayant k accidents pour 1991/92 Nombre prdit dindividus ayant k accidents pour 1991/92 Poisson Binomiale ngative = 0,08259 = 0,9538, = 11,548 6 888,83 6 912,17 568,95 525,38 23,49 40,90 0,65 3,21 0,01 0,25 0 0,02 2 2 x = 19,628 x = 0,0040 x22,95 % = 5,99 x21,95 % = 3,84 LL = -2 194,329 LL = -2 183,983

0 1 2 3 4 5+

6 912 526 41 2 1 0

41

Test 3 Test des distributions Poisson et binomiale ngative univaries pour la priode 1992/93 Nombre daccidents individuels pour une priode donne Nombre dindividus observs ayant k accidents pour 1992/93 Nombre prdit dindividus ayant k accidents pour 1992/93 Poisson = 0,070736 0 1 2 3 4+ 8 998 607 33 3 0 8 975,77 634,91 22,45 0,53 0,01 x2 = 8,637 x22,95 % = 5,99 LL = -2516,697 Binomiale ngative = 1,3806, = 19,5176 8 995,053 605,281 35,115 1,928 0,10 x2 = 0,0410 x21,95 % = 3,84 LL = -2 511,578

Test 4 Test des distributions Poisson et binomiale ngative univaries pour la priode 1993/94 Nombre daccidents individuels pour une priode donne Nombre dindividus observs ayant k accidents pour 1993/94 Nombre prdit dindividus ayant k accidents pour 1993/94 Poisson = 0,074088 9 488,33 702,96 26,045 0,6430 0,0119 0 X2 = 30,793 x22,95 % = 5,99 LL = -2 770,741 Binomiale ngative = 0,76552, = 10,332 9 520,314 643,129 50,099 4,075 0,338 0,028 x2 = 0,049 x21,,95 % = 3,84 LL = -2 753,939

0 1 2 3 4 5+

9 520 645 48 4 1 0

42

Test 5 Test des distributions Poisson et binomiale ngative univaries pour la priode 1994/95 Nombre daccidents individuels pour une priode donne Nombre dindividus observs ayant k accidents pour 1994/95 Nombre prdit dindividus ayant k accidents pour 1994/95 Poisson =0,072861 10 642,619 775,431 28,2493 0,68609 0,01249 0 x2 = 80,807 x22,95 % = 5,99 LL = -3 067,733 Binomiale ngative =0,7160, = 9,827 10 679,593 706,239 55,965 4,679 0,401 0,035 x2 = 1,155 2 x 1,95 % = 3,84 LL = -3 047,120

0 1 2 3 4 5+

10 679 710 51 6 1 0

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