GOL503 - TP Évaluation de la performance (C) Forme duale et les « Écarts » DEA Version 2011

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Évaluation de la performance (C)Forme duale et les « Écarts » DEA Version 2011

Forme duale du modèle CCRRappel• Le contexte d’analyse prend en compte:

o n unités à analyser (entreprises, filiales, succursales, etc.);o Les n unités oeuvrent dans le même secteur d’activités;o Chaque unité possède m entrées et s sorties.

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Note: Dans cette présentation et dans les notes de cours, la variable représente l’unité sous étude ou sous analyse. Ainsi, xi signifie la i-ième entrée de l’unité sous étude et que peut prendre la valeur de 1 à n.

Forme duale du modèle CCRRappel• Le modèle CCR de la méthode DEA

o Le modèle déjà rencontré est

h est la fonction d’objectif de la maximisation pour l’unité sous étude (1 n);

Ur et vr sont des pondérations à trouver afin de maximiser h;

yr est la r-ième sortie de l’unité , xi est la i-ième entrée de l’unité ;

3

1

1

1 1

max ,

. . ,

0, 1,2,..., ;

, ;

s

r rr

m

i ii

s m

r rj i ijr i

r i

h u y

s a v x C

u y v x j n

u v

Note: Il s’agit en fait de la forme primale du modèle CCR.

Forme duale du modèle CCRForme duale et les ensembles de référence• La forme duale conduit à la même solution que la primale

o Voici la forme duale du modèle CCR

est la fonction d’objectif à minimiser;

j est le facteur de pondération pour l’unité j;

o Une différence majeure entre la forme duale et la forme primale est l’utilisation de facteurs de pondération .

4

1

1

min ,

. , 1,2, , ;

, 1,2, , ;

0, 1,2, , ;

n

j ij ij

n

j rj rj

j

s a x x i m

y y r s

j n

Note: Il y a n facteurs pondération au lieu de m + s facteurs comme c’était le cas dans la forme primale..

Forme duale du modèle CCRForme duale et les ensembles de référence• Avantage de la forme duale du modèle CCR

o On peut déterminer aisément l’appartenance des unités à des ensembles de référence. En effet les contraintes stipulent que,

la somme pondérée des entrées des autres unités doit être inférieure ou égale à celle de l’unité sous étude;

De plus, la somme pondérée des sorties des autres unités doit être supérieure ou égale à celle de l’unité sous étude;

o Donc, une unité j fait partie de l’ensemble de référence de l’unité sous étude si et seulement si j et que j 0 .

5

1

, 1,2, ,1

, 1,2, , .n

j rj rj

n x x i mj j ij i

y y r s

Note: Mon ensemble de référence contient les unités qui sont plus efficaces que moi.

Forme duale du modèle CCRForme duale et les ensembles de référence• Exemple numérique – 2 entrées, 1 sortie

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Sortie Entrées

Succursale Location film/video Heure Surface

B1 1000 20 300

B2 1000 30 200

B3 1000 40 100

B4 1000 20 200

B5 1000 10 400

B6 1000 15 350

B7 1000 31 250

B8 1000 50 100

B9 1000 45 100

B10 2000 80 200

B11 2000 18 750

B12 2000 45 410

Forme duale du modèle CCRForme duale et les ensembles de référence• Forme duale de l’exemple

• À l’aide des valeurs du tableau précédent, l’efficacité de la succursale B1 est alors donnée par la solution du système d’équations suivant:

7

1 1B1 2 1B2 12 1B12 1

1 2B1 2 2B2 12 2B12 2

1 1B1 2 1B2 12 1B12 1

min

. .

0, B1,B2,...,B12j

x x x x

x x x xs a

y y y y

j

1 2 12

1 2 12

1 2 12

min

20 30 45 20

300 200 410 300. .

1000 1000 2000 1000

0, B1,B2,...,B12j

s a

j

Forme duale du modèle CCRForme duale et les ensembles de référence• Obtenir l’efficicaté de l’unité B1

o Or, la solution de la forme duale implique la minimisation de la fonction d’objectif ;

o Malheureusement n’est pas explicitée directement;o Par contre, apparaît implicitement dans les contraintes du

problème:

o Il est donc possible de minimiser x1 ou x2 car x1 et x2 sont des constantes.

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Note: Même si la fonction d’objectif est une fonction implicite, on peut toujours l’optimiser.

1 1B1 2 1B2 12 1B12 1

1 2B1 2 2B2 12 2B12 2

x x x x

x x x x


o Utilisons Excel pour faire les calculs…

9

11

N

j jj

y

11

N

j jj

x

21

N

j jj

x

1j jy1j jx 2j jx 1 jx 2 jx

Note: Dans cet exemple, nous allons choisir “theta * entrée 1” comme cible.


o Les paramètres du solveur sont:

10

Variables dont la valeur est à déterminer: 1à 12,

Cible à minimiser: x1B1 ou x2B1. Prenons x1B1 pour cet exemple

1 1B11

n

j jj

y y

= l’unité B1. Les données de cette unité sont inscrites sur la 2e ligne du chiffrier

1 1B11

n

j jj

x x

2 2B11

n

j jj

x x


o Voici le résultat

11

j

Note: B1 a comme ensemble de référence B4 et B11.


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Succursale Efficacité Ensemble de reference

(valeur de )

B1 0,838 B4 (0,706), B11 (0,147)

B2 0,857 B4 (0,7143), B10 (0,1429)

B3 1

B4 1

B5 0,927 B4 (0,0244), B11 (0,4878)

B6 0,880 B4 (0,3822), B11 (0,3089)

B7 0,740 B4 (0,8519), B10 (0,0741)

B8 1

B9 1

B10 1

B11 1

B12 0,945 B4 (1.8740), B10 (0,0630)

Forme duale du modèle CCRForme duale et les ensembles de référence• Conclusion

• B3, B4, B8, B9, B10 et B11 sont des unités efficaces;• Ensemble de références pour :

o B1 B4, B11o B2 B3, B10o B5 B4, B11o B6 B4, B11o B7 B4, B10o B12 B4, B10

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Forme duale du modèle CCRForme duale et les ensembles de référence• En terminant…

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Contrainte primale Variable duale

j 0, j = 1,2,…, n

Variable primale Contrainte dualevi 0, i =1, 2,…, m

ur 0, r =1, 2,…, s

1

m

i iiv x C

1 1

0, 1,2,...,s m

r rj i ijr i

u y v x j n

1

0n

i j ijj

x x

1

n

j rj rj

y y

Prochaine section – les écarts DEA

Les « écarts » du DEAComment placer une unité inefficace sur la frontière d’efficacité• Reformuler la forme duale du modèle CCR en y ajoutant des variables

d’écarto Encore une fois utilisons la méthode d’optimisation LP

e- et e+ sont des variables d’écart des entrées et des sorties; * est l’efficacité relative des unités sous études; j sont les pondérations des unités sous études;

xij est l’entrée i de l’unité j;

yrj est la sortie r de l’unité j.

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1 1

*

1

max ,1,2, ,

,1

, 1,2, ,

0, 1,2,

m s

i ri r

i

n

j rj r rj

j

e ei m

n x e xj j ij i

y e y r s

j n


d’écarto La solution du système d’équation (l’obtention des e- et e+ ― les

écarts des entrées et des sorties) donne pour l’unité sous étude... La diminution (ou le maintien) des entrées pour atteindre

l’efficacité

ET/OU La diminution (ou le maintien) des sorties pour atteindre

l’efficacité.

PAR RAPPORT À SON ENSEMBLE DE RÉFÉRENCE

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*

1

N

j ij i ij

x e xL’effort « en trop » donné aux entrées

1

N

j rj r rj

y e yL’effort « en trop » produit aux sorties

Note: Dans le système, seules les unités dans un ensemble de référence possèdent un 0.


d’écarto Reprenons l’exemple numérique sur les succursales de location

vidéo. Trouvons les écarts pour l’unité B5

Son ensemble de référence est B4 (4 = 0,0244), B11 (11 = 0,4878) alors

Maximiser

Sujet à des contraintes:

20 1+ 30 2 + … + 45 12 + e-heure = 0,927 10

300 1+ 200 2 + … + 410 12 + e-surface = 0,927 400

1000 1+ 1000 2 + … + 2000 12 + e+location = 1000

1, 3 , … 12 ≥ 018

Succursale Efficacité Ensemble de reference

(valeur de )

B4 1

B5 0,927 B4 (0,0244), B11 (0,4878)

B6 0,880 B4 (0,3822), B11 (0,3089)

heure surface locatione e e *1B5x

*2B5x

1B5y

Source:Sherman, Zhu, Service productivity management, 2006.



vidéo. Solution pour l’unité B5

Pour l’unité B5, seules B4 et B11 ont des valeurs de 0Donc,

20 4+ 18 11 + e-heure = 9,27

200 4+ 750 11 + e-surface = 370,8

1000 4+ 2000 11 + e+location = 1000

19Source:Sherman, Zhu, Service productivity management, 2006.



vidéo. Solution pour l’unité B5

Remplacer la valeur des unités B4, B5 et B11 donne

20 (0,0244) + 18 (0,4878) + e-heure = 9,27

200 (0,0244) + 750 (0,4878) + e-surface = 370,8

1000 (0,0244) + 2000 (0,4878) + e+location = 1000


Système à 3 équations et 3 inconnus

e-heure = 0,0016 e-

surface = 0,07 e+location = 0



vidéo. Interprétation des écarts

e-heure = 0,0016

– L’unité B5 a dépensé 0,0016 heures (moins 0,1 minutes) de plus que les unités se trouvant dans son ensemble de référence;

– Diminuer de 0,0016 heures pour atteindre l’efficacité de B4 et/ou B11.

e-surface = 0,07

– L’unité B5 a utilisé 0,07 m2 de plus que les unités se trouvant dans son ensemble de référence.


e+location = 0 donc

maintenir le niveau de la sortie (location des fils/vidéos)

DEARetour vers le concept d’efficacité• Deux types possibles

o Efficacité DEA Pleine Une unité est qualifiée d’efficacité pleine si elle

Possède = 1 et toutes ses variables d’écart e-, e+ à zéro

o Efficacité DEA faible Une unité est qualifiée d’efficacité faible si elle

Possède = 1 et un sous-ensemble de ses variables d’écart e-, e+ zéro


DEARetour vers le concept d’efficacité• Remarques sur les unités avec efficacité faible

o Ces unités, lorsque éliminées de l’analyse, n’aurons pas d’influence sur les autres unités Elles n’influencent pas l’efficacité des autres unités.

o Éviter, dans la mesure du possible, de mettre les unités avec efficacité faible dans un ensemble de référence Raison: voir la première remarque.

o Ces unités si elles sont présentes exigent une analyse approfondie à l’aide d’autres méthodes que celle du DEA. Pourquoi?


DEALa technique• Deux grandes étapes

o Calculer l’efficacité relative des unités et identifier les ensembles de références;

o Calculer les écarts afin d’identifier le chemin vers l’efficacité des unités inefficace.

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C’est simple n’est-ce pas?

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