Groupe modulaire, fractions continues et approximation diophantienne en caractéristique p

$Page 1: Groupe modulaire, fractions continues et approximation diophantienne en caractéristique p$
Groupe modulaire, fractions continues et

approximation diophantienne en caracteristique p

(Modular Group, Continuous Fractions and Diophantine Approximation

in Characteristic p)

FREDERIC PAULIN$

Laboratoire de Mathematiques UMR 8628 CNRS, Equipe de Topologie et Dynamique

(Bat. 425), Universite Paris-Sud, 91405 ORSAY Cedex, France.e-mail: [email protected]

(Received: 16 November 2000; in final form: 17 July 2001)

Abstract. The aim of this paper is to give a geometric interpretation of the continued fractionexpansion in the field K ¼ FqððX

�1ÞÞ of formal Laurent series in X�1 over Fq, in terms of the

action of the modular group SL2ðFq½X �Þ on the Bruhat–Tits tree of SL2ðK Þ, and to deducefrom it some corollaries for the diophantine approximation of formal Laurent series in X�1

by rational fractions in X.

Mathematics Subject Classifications (2000). 20E08, 20G25, 11J70, 11J61.

Key words. Bruhat–Tits tree, continued fraction, diophantine approximation, formal Laurentseries field, modular group.

1. Introduction

Sur le corps fini k ¼ Fq, considerons A ¼ k½X � l’anneau des polynomes, K ¼ kðX Þ le

corps des fractions rationnelles, K ¼ kððX�1ÞÞ le corps des series formelles de Laurent

en X�1 et O ¼ k½½X�1�� l’anneau des series formelles en X�1. Alors K est un complete

de K pour la valuation en l’infini v1, avec v1ðPÞ ¼ �degP pour P 2 A, et O est sonanneau de valuation (voir par exemple [Ser1]).

Soit G ¼ SL2ðKÞ, et G ¼ SL2ðAÞ le groupe modulaire de Weil. Soit Tq l’arbre de

Bruhat–Tits de G, qui est un arbre regulier de degre qþ 1, muni d’une action par

automorphismes de G, et dont les sommets sont les classes d’homothetie de

O-reseaux dans K K (voir, par exemple, [Ser2]).

Le but de ce papier est de donner une interpretation geometrique du developpe-

ment en serie formelle de Laurent et du developpement en fraction continue des ele-

ments de K, en fonction de l’action du groupe modulaire G sur l’arbre de Bruhat–TitsTq. Nous utilisons cette interpretation pour retrouver de maniere geometrique les

$Nouvelle adresse: Departement de Mathematiques et Applications UMR 8553 CNRS Ecole

Normale Superieure, 45 rue d’Ulm, 75230 Paris Cedex 05, France. e-mail: [email protected]

Geometriae Dedicata 95: 65–85, 2002. 65# 2002 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

resultats de base de l’approximation diophantienne des elements de K par les ele-

ments de K (voir [Laj, BN] pour d’excellents survols).

Cette interpretation est analogue a celle de Ford–Artin pour le developpement en

fraction continue d’un nombre reel, en fonction de l’action de SL2ðRÞ sur le demi-

plan de Poincare, muni du pavage dual au pavage de Farey (voir par exemple

[For, Seri]).

L’espace des bouts @Tq de Tq s’identifie avec P1ðKÞ ¼ K [ f1g. De meme, l’en-

semble lkðxÞ des aretes issues d’un sommet x de Tq s’identifie avec la droite projective

P1ðkÞ ¼ k [ f1g, de sorte que l’arete pointant vers 1 2 @Tq soit 1 2 lkðxÞ. Ainsi,

les aretes orientees de Tq, ne pointant pas vers 1 2 @Tq, sont etiquetees par un ele-

ment de k.

PROPOSITION 1.1. Soit f 2 K, la geodesique orientee entre les bouts 1 et f de Tq

parcours des aretes successives de Tq d’etiquettes fi si et seulement si f ¼P

i��1 fiX�i.

Toute serie formelle de Laurent f 2 K admet un developpement en fraction con-

tinue (voir par exemple [Laj, Sch])

avec an dans A et degðanÞ > 0 si n > 0. La fraction rationnelle Pn=Qn obtenue en

tronquant au rang n est appelee le n-eme convergent de f.

L’orbite du bout 1 de Tq par le groupe modulaire est l’ensemble des points

rationnels K [ f1g. Le groupe modulaire admet un domaine fondamental DG dans

Tq, qui est le rayon d’origine la classe du reseau standard OO et de bout1 2 @Tq.

Notons G1 le fixateur du bout 1 dans G et HB1 l’orbite de DG par G1.

Nous montrons (en section 6) que les elements de la famille G-equivarianteðgHB1Þg2G=G1

se rencontrent deux a deux en au plus un point et recouvrent Tq. Cha-

que element admet un unique bout, qui est un point rationnel. Pour la notion natu-

relle d’horoboule dans les arbres (voir section 4), ces parties sont des horoboules.

PROPOSITION 1.2. La suite des horoboules traversees par la geodesique orientee

entre les bouts 1 et f 2 K est exactement la suite des horoboules de bouts les con-

vergents de f.

En fait, le groupe des translations par element de A agit simplement transitive-

ment sur les aretes sortant de HB1, et l’inversion z 7!� ð1=zÞ preserve cette famille

66 FREDERIC PAULIN

d’horoboules. Le developpement en fraction continue de f, suite d’inversions et de

translations par element de A, peut se lire sur la suite des horoboules traversees

par la geodesique entre1 et f (voir section 6): on effectue (un conjugue de) la com-

position de l’inversion avec une translation par un element de A pour passer d’une

horoboule a la suivante.

Nous montrons (en section 6) que les proprietes d’approximation diophantienne

des series formelles de Laurent peuvent se lire sur l’arbre de Bruhat–Tits. Nous expli-

quons geometriquement comment lire la valuation a l’infini du denominateur d’une

fraction rationnelle (proposition 6.1), pourquoi les convergents sont les meilleures

approximations, pourquoi le developpement en fraction continue de f est periodique

si et seulement si f est quadratique sur K (proposition 6.3), ainsi que (section 6.5) la

nature du developpement en fraction continue des elements algebriques de classe IA,

i.e. les solutions d’equations de la forme

f ¼ ðaf ps

þ bÞ=ðcf ps

þ d Þ

avec a; b; c; d 2 A; ad� bc ¼ 1, et p la caracteristique de k.

Nous concluons cette introduction par quelques remarques.

(1) La restriction au corps residuel k fini est de pure convenance, les arbres etant

dans ce cas localement finis et les groupes localement compacts.

(2) Avec A. Broise, nous utilisons dans [BP] le developpement en fraction continue

pour coder le flot geodesique sur le rayon modulaire GnnTq, nous expliquons

geometriquement pourquoi la mesure de Haar est invariante par l’application

d’Artin (qui a une serie formelle f, non nulle et de terme constant nul, associe

la partie fractionnaire de 1f), et nous etudions ses proprietes dynamiques.

(3) Une analyse analogue existe (voir [Pau]) pour l’approximation des points du

bord de l’arbre de Bruhat–Tits de GðKÞ par l’orbite d’un bout cuspidal pour

tout reseau non uniforme G de GðKÞ (par exemple arithmetique), avec G un

groupe algebrique simple de rang 1 sur K, et plus generalement pour G ungroupe discret geometriquement fini (voir [Pau]) d’automorphismes d’arbre.

2. Rappels sur le developpement en fractions continues des series formelles

de laurent

Tout ce chapitre est compose de rappels, essentiellement dus a E. Artin et K. Mahler,

pour lesquels nous renvoyons par exemple a [Ser1, Laj, Sch].

Soit k ¼ Fq un corps fini, de cardinal q ¼ pn une puissance d’un nombre premier p.

Soit A ¼ k½X � l’anneau des polynomes en une variable X sur k, et K ¼ kðX Þ le corps

des fractions rationnelles sur k, muni de la valuation (dite en l’infini)

v1ðP=QÞ ¼ � degP� ð� degQÞ:

Soit K le complete de K pour la valuation v1 (voir, par exemple, [Ser1]).

GROUPE MODULAIRE, FRACTIONS CONTINUES ET APPROXIMATION . . . 67

Le corps K s’identifie avec le corps kððX�1ÞÞ des series formelles de Laurent en X�1

sur k. Les elements de K sont des series formelles

f ¼X

i��1

fiX�i

avec fi dans k, nul pour i suffisamment petit. Il est muni de la valuation etendant v1,

que l’on notera de meme, avec

v1ð f Þ ¼ supf j 2 Z j 8i < j; fi ¼ 0g;

de la valeur absolue

j f j1 ¼ q�v1ð f Þ

et de la distance induite par cette valeur absolue.

d1ð f; gÞ ¼ j f� gj1;

qui est ultrametrique, i.e. satisfait d1ð f; gÞ4 supfd1ð f; hÞ; d1ðh; gÞg pour tous f; g; h.

Comme k est fini, le corps totalement discontinu K est localement compact.

Notons que Xn converge vers þ1 (i.e. sort de tout compact) et que X�n converge

vers 0 dans K quand n tend vers þ1.

Notons O ¼ f f 2 K; v1ð f Þ5 0g l’anneau de la valuation v1 dans K, c’est-a-dire le

sous-espace compact-ouvert k½½X�1�� des series entieres formelles en X�1 sur k, qui est

la boule fermee de rayon 1 et de centre 0 dans K. On a O=X�1O ¼ k, qui est appele le

corps residuel de v1.

Pour tout f dans K, il existe un unique couple forme d’un polynome en X sur k, note

½ f � 2 A, et d’une serie entiere formelle en X�1 sur k, de terme constant nul, notee

f f g 2 X�1O, tels que f ¼ ½ f � þ f f g. On appelle ½ f � la partie entiere de f et f f g ¼ f� ½ f �

la partie fractionnaire de f. L’application C: X�1O� f0g ! X�1O definie par

Cð f Þ ¼1

f

� �¼1

f�1

f

� �

est appelee l’application d’Artin.

Pour f dans K� K et n dans N, posons a0 ¼ ½ f � et pour n5 1,

an ¼1

Cn�1ð f� a0Þ

� �:

Nous avons an 2 A avec deg an > 0 si n5 1. On definit par recurrence deux suites de

polynomes ðPnÞn2N[f�1g; ðQnÞn2N[f�1g dans A par

P0 ¼ a0; P�1 ¼ 1; Q0 ¼ 1; Q�1 ¼ 0

et pour tout n dans N,

Pnþ1 ¼ anþ1Pn þ Pn�1 et Qnþ1 ¼ anþ1Qn þQn�1:

On a Pnþ1Qn �Qnþ1Pn ¼ ð�1Þn, donc Pn;Qn sont premiers entre eux dans A. On

montre que, pour n 2 N,

68 FREDERIC PAULIN

On convient que P�1=Q�1 ¼ 1. On appelle Pn=Qn le n-eme convergent de f. Il est

facile de voir que f ¼ limn!þ1Pn=Qn, ce que l’on note

On appelle la suite ðanÞn2N le developpement en fraction continue de f. Le developpe-

ment en fraction continue de Ckð f� a0Þ est ð0; ðanþkþ1Þn2NÞ pour tout k dans N. Si f

est dans K, nous conviendrons que le developpement en fraction continue de f est une

suite finie.

Les deux resultats suivants disent que les convergents de f sont les meilleures

approximations rationnelles possibles de f.

PROPOSITION 2.1. Pour tout n dans N,

f�Pn

Qn

��1

¼1

janþ1j1 jQnj21

:

Comme deg anþ15 1, on a en particulier

f�Pn

Qn

��1

41

qjQnj21

:

PROPOSITION 2.2. Si P;Q 2 A avec Q 6¼ 0 verifient

f�P

Q

��1

<1

jQj21;

alors P=Q est un convergent de f.

Une serie de Laurent formelle f 2 K est dite algebrique de degre n sur K si elle est

solution d’une equation polynomiale de degre n a coefficients non tous nuls dans K,

avec n minimal.


PROPOSITION 2.3. Si f 2 K, alors f est quadratique sur K si et seulement si son

developpement en fraction continue est periodique a partir d’un certain rang.

Le resultat suivant dit que les elements de K algebriques sur K ne sont pas tres bien

approchables par des elements de K.

THEOREME 2.4 ðK: Mahler ½Mah�Þ. Si f 2 K est algebrique sur K de degre n5 2,

alors il existe une constante c > 0 telle que

8P;Q 2 A; Q 6¼ 0; f�P

Q

��1

5c

jQjn1: &

Le but de ce qui suit est de donner une interpretation geometrique aux trois pre-

miers resultats ci-dessus. Le probeme de comprendre de maniere geometrique les

developpements en fraction continue des elements de K algebriques sur K est large-

ment ouvert (voir toutefois [Chr] pour l’aspect algorithmique), mais nous traiterons

quelques cas ci-dessous.

3. Rappels sur l’arbre de Bruhat–Tits de SL2ðK Þ

Tout ce chapitre est compose de rappels, essentiellement tires de [Ser2].

Notons G ¼ SL2ðKÞ, qui est un groupe localement compact, et G ¼ SL2ðAÞ, qui est

un reseau dans G (i.e. un sous-groupe discret de covolume fini (pour la mesure de

Haar de G)), appele le groupe modulaire.

L’arbre de Bruhat–Tits Tq de ðSL2; KÞ est defini par

(1) Les sommets de Tq sont les classes d’homothetie (par K) L ¼ ½L� de O-reseaux

(i.e. O-sous-modules libres de rang deux) L dans K K.

(2) Deux sommets L;L0 sont joints par une arete si et seulement s’il existe des

representantsL;L0 deL;L0 tels queL0 � L etL=L0 est isomorphe aO=X�1O ¼ k.

Nous noterons d la distance dans Tq. Nous noterons x� ¼ ½OO� la classe du

reseau standard. On montre (voir [Ser2]) que Tq est un arbre regulier de degre

qþ 1, que l’action naturelle de G sur les O-reseaux s’etend en une action sans inver-sion sur Tq, transitive sur les aretes, et de stabilisateur de x� le groupe SL2ðOÞ.

Pour x sommet de Tq, notons lkTqðxÞ l’ensemble des sommets de Tq a distance 1

de x, identifie avec l’ensemble des aretes orientees d’origine x.

Soit L0 un O-reseau et L0 sa classe. Le quotient L0=X�1L0 est un plan vectoriel

sur le corps residuel O=X�1O ¼ k. L’ensemble lkTqðL0Þ s’identifie (voir [Ser2]) avec

la droite projective PðL0=X�1L0Þ ’ P1ðkÞ, par l’application qui a la classe d’un

O-reseau ½L� avec L � L0 et L0=L ’ k associe la droite L=X�1L0 du plan vectoriel

L0=X�1L0. Notons que la droite projective PðL0=X

�1L0Þ ne depend pas du represen-

tant L0 de L0, et que si g est dans G, alors la bijection induite par g de lkTqðL0Þ

dans lkTqðgL0Þ est la transformation projective sur k de PðL0=X

�1L0Þ dans

PðgL0=X�1gL0Þ induite par g.

70 FREDERIC PAULIN

Nous identifions dans la suite l’arbre Tq avec sa realisation geometrique, ainsi

qu’un chemin d’aretes de Tq avec le chemin associe dans la realisation geometri-

que. Notons @Tq l’espace des bouts de l’espace topologique localement compact

Tq, qui est l’espace des classes d’equivalence de rayons geodesiques dans Tq, ou

l’on identifie deux rayons geodesiques si leur intersection est encore un rayon geo-

desique. L’action de G sur Tq s’etend continuement en une action par homeomor-

phismes de G sur @Tq.

Soit L0 un O-reseau et L0 sa classe. L’espace @Tq s’identifie (voir [Ser2]) avec la

droite projective PðK KÞ ¼ P1ðKÞ, par l’application qui a l’extremite d’un rayon

geodesique issu de L0, de suite des sommets consecutifs ðLnÞn2N, associe l’unique

droite de K K contenant l’intersection des O-reseaux Ln, avec ðLnÞn2N l’unique

suite de O-reseaux dans K K telle que ½Ln� ¼ Ln et Lnþ1 � Ln. Notons que cette

identification @Tq ¼ P1ðKÞ est un homeomorphisme G-equivariant, qui ne depend

pas du choix du reseau L0 modulo transformation projective.

NotonsG� le groupe des matrices 2-2, a coefficients dansA, de determinant�1. Son

action sur les O-reseaux induit une action isometrique sur l’arbre de Bruhat–Tits Tq.

3.1. ACTION DU GROUPE MODULAIRE

Le rayon geodesique DG issu de x�, de suite des sommets consecutifs

ð½O X�nO�Þn2N, est un domaine fondamental pour l’action du groupe modulaire

G sur l’arbre de Bruhat–Tits Tq. Nous renvoyons par exemple a [Ser2, BH, BL] pour

les rappels sur les graphes de groupes. Le graphe de groupe quotient GnnTq est

avec G�1 ¼ SL2ðkÞ, G00 ¼ G�1 \ G0 et, pour tout n dans N,

Gn ¼a b0 1

a

� �; a 2 k; b 2 A; deg b4 nþ 1

� �:

Notons G1 le fixateur dans G du bout du rayon DG. C’est le sous-groupe de G

forme des matrices triangulaires superieures. Nous noterons G1 ¼S

n2N Gn, qui

est exactement l’intersection de G et de G1, c’est-a-dire le fixateur du bout de DG

dans G.

4. Fonctions de Buseman, horospheres et distance de Hamenstadt

Tout ce chapitre est compose de rappels, essentiellement tires de [BH, HP1], et vient

de la structure d’espace metrique CAT(�1) des arbres (loc. cit.).

Soit T un arbre localement fini, d sa distance, et o un bout de T. Si x; x0 sont deuxbouts distincts de T, nous noterons �x; x0½ l’unique geodesique entre x et x0, orienteede x vers x0.


On appelle fonction de Buseman en o l’application bo:T T ! R definie par

boðx; yÞ ¼ limt!þ1

dðy; cðtÞÞ � dðx; cðtÞÞ

avec c : ½0;þ1½! T un rayon geodesique convergeant vers o. Elle ne depend pas duchoix de c, et verifie la relation de cocycle boðx; yÞ þ boð y; zÞ ¼ boðx; zÞ: En fait l’ap-plication t 7! dðy; cðtÞÞ � dðx; cðtÞÞ est constante a partir d’un certain temps. Le rayon

geodesique ½x;o½ rencontre le rayon geodesique ½y;o½ en un rayon geodesique ½ p;o½et boðx; yÞ ¼ dð y; pÞ � dð p; xÞ.

On appelle horosphere centree en o toute ligne de niveau d’une fonction

x 7! boðx; y0Þ pour n’importe quel y0 dans T. Par la relation de cocycle, deux pointsx; y sont sur une meme horosphere centree en o si et seulement si boðx; yÞ ¼ 0.On appelle horoboule (ouverte) ( fermee) centree en o toute image reciproque d’un

intervalle minore non majore (ouvert) (ferme) de R par une fonction x 7!boðx; y0Þpour un y0 dans T. La frontiere dans T d’une horoboule est une horosphere, dite

associee a l’horoboule.

SoitH une horosphere centree en o. Pour tous points u; v du bord de T distincts deo, la geodesique �o; u½ rencontre H en un point h et la geodesique �o; v½ en un rayongeodesique �o; p� si u 6¼ v. On note ðu; vÞo;H la distance algebrique du point h au point

p sur la droite orientee �o; u½ si u 6¼ v, et þ1 sinon. Par la relation de cocycle,

ðu; vÞo;H ¼ ðv; uÞo;H.

On appelle alors distance de Hamenstadt sur @T� fog do;Hðu; vÞ ¼ 9�ðu;vÞo;H . (Le

choix de la constante q vient du fait que dans la suite l’arbre T est regulier de degre

qþ 1.) Il est demontre dans [HP1] que do;H est une distance. Il est facile de voir que

c’est une distance ultrametrique induisant la topologie des bouts sur @T� fog, etque, en posant boðH;H0Þ ¼ boðx; x

0Þ pour toutes horospheres H;H0 centrees en o,et pour tout x dans H et x0 dans H0, alors do;H0 ¼�boðH

0;HÞ do;H:

Figure 1. Fonction de Buseman et distance de Hamenstadt.

72 FREDERIC PAULIN

5. Une interpretation geometrique des series formelles de Laurent

Si V est un plan vectoriel sur un corps C, tout choix d’une base ðe1; e2Þ de V permet

d’identifier la droite projective PðV Þ avec C [ f1g, en envoyant la droite (dite ‘a l’in-

fini’) Ce1 sur1 et, pour tout a 2 C, la droite Cðae1 þ e2Þ sur a 2 C. Cette identifica-

tion est equivariante pour l’action projective de GLðVÞ sur PðVÞ et l’action par

homographies de GL2ðCÞ sur C [ f1g (le choix de la base induisant un isomor-

phisme de GLðVÞ sur GL2ðCÞ). Nous appelerons une telle identification

PðVÞ ¼ C [ f1g projective.

En particulier, la base canonique ðð1; 0Þ; ð0; 1ÞÞ du plan vectoriel K K sur K

donne une identification @Tq ¼ PðK KÞ ¼ P1ðKÞ ¼ k [ f1g. Remarquons que 1

est le point de @Tq, bout du rayon geodesique DG (issu de x�, de suite des sommets

consecutifs ð½O X�nO�Þn2N).

Notre premier resultat dit que l’ecriture d’une serie formelle de Laurent en X�1 sur

k se lit sur l’arbre de Bruhat–Tits de SL2ðkððX�1ÞÞÞ. Notons HB1 l’horoboule (fer-

mee) de centre 1 2 @Tq dont l’horosphere associee H1 passe par x�.

PROPOSITION 5.1. Il existe une et une seule identification projective de

lkTqð½L�Þ ¼ PðL=X�1LÞ avec k [ f1g pour tout O-reseau L, telle que

ð1Þ la droite a l’infini de L=X�1L est la droite correspondant a l’unique arete issue de

½L� et pointant vers le bout 1 2 @Tq,

ð2Þ Si f 2 K, alors f ¼P

i��1 fiX�i si et seulement si ð fiÞi2Z est la suite des etiquettes

des aretes orientees consecutives de la geodesique �1; f ½ entre les points 1 et f de

@Tq ¼ ~K [ f1g, de telle sorte que f0 soit l’etiquette de l’arete de �1; f ½ sortant de

l’horoboule HB1.

Figure 2. Etiquetage des aretes pour q¼2.


La premiere condition permet d’etiqueter les aretes issues de chaque sommet et ne

pointant pas vers 1 2 @Tq par un element du corps residuel k. C’est cet etiquetage

qui est utilise dans la deuxieme condition.

Notons que ces identifications lkTqð½L�Þ ¼ k [ f1g sont projectivement equivar-

iantes par G, au sens que si g 2 G, alors pour tout sommet x de Tq, l’application

lkTqðxÞ ! lkTq

ðgxÞ induite par g est une homographie k [ f1g ! k [ f1g.

Notons que la suite des etiquettes de toute geodesique issue de 1 2 @Tq com-

mence par des 0, ce qui est parfaitement compatible avec l’ecriture d’une serie de

Laurent formelle.

Preuve. L’unicite est immediate. Montrons l’existence.

Pour tout sommet x de Tq, le plan vectoriel L=X�1L sur k ne depend pas du choix

d’un representant L de x. Nous allons fixer une base de ce plan, ce qui donnera une

identification projective lkTqðxÞ ¼ PðL=X�1LÞ ¼ k [ f1g.

L’anneau k½X;X�1� des polynomes de Laurent est un sous-anneau dense du corps

K des series formelles de Laurent, et nous noterons v0 sa valuation (dite ‘en 0’)

v0X

�1�i�þ1

fiX�i

!¼ � inff j 2 Z j 8i > j; fi ¼ 0g:

Pour n 2 Z, notons Un � Un�1 le sous-groupe de G, fixant le point 1 2 @Tq,

suivant:

Un ¼1 a0 1

� �; a 2 k½X;X�1�; v0ðaÞ5 nþ 1

� �:

Pour n dans Z, notons H1;n l’horosphere de centre 1 passant par la classe du

O-reseau O X�nO. Il est immediat de voir que Un agit simplement transitivement

sur H1;n.

Pour tout sommet x de Tq, soit n 2 Z l’unique entier tel que x appartient a H1;n.

Il existe donc un unique a dans k½X;X�1� avec v0ðaÞ5 nþ 1 tel que l’image par1 a0 1

� �de ½O X�nO� est x. Avec ðe1; e2Þ la base canonique de K K, le O-reseau

L de base (en tant que O-module libre) B ¼ ðe1;X�nðae1 þ e2ÞÞ represente x et B

induit une base (sur le corps O=X�1O ¼ k) de L=X�1L. Celle-ci fournit donc une

identification projective lkTqðxÞ ¼ PðL=X�1LÞ ¼ k [ f1g. La premiere propriete est

immediate a verifier. De plus, si a ¼P

�1�i4 nþ1 fiX�i, alors la suite des etiquettes

du rayon geodesique entre 1 2 @Tq et x est exactement ð fiÞi4 nþ1.

Pour verifier la deuxieme propriete, notons U1 le sous-groupe de G, fixant le point

1 2 @Tq, forme des matrices triangulaires superieures unipotentes:

U1 ¼1 f0 1

� �; f 2 K

� �:

Remarquons que U1 est l’adherence deS

n2Z Un dans G et qu’il agit simplement

transitivement sur @Tq � f1g ¼ ~K. Pour tout f ¼P

�1�i fiX�i dans K, posons

74 FREDERIC PAULIN

an ¼P

�1�i4 nþ1 fiX�i, qui appartient a k½X;X�1�, et gf ¼

1 f0 1

� �. Alors gf envoie la

geodesique �1; 0½ sur la geodesique entre �1; f ½, et agit sur H1;n comme1 an0 1

� �2 Un. Ceci montre le resultat. &

Remarque. Tout ce que nous avons utilise ci-dessus, ce sont les axiomes de BN-

paire scindee de SL2ðkððX�1ÞÞÞ (voir [BT]).

Le corollaire bien connu suivant decoule immediatement de cette description geo-

metrique des series de Laurent.

COROLLAIRE 5.2. Soit H1 l’horosphere de Tq de centre1 et passant par x�. Alors

la distance de Hamenstadt d1;H1sur @Tq � f1g ¼ ~K coıncide avec la distance d1 sur

K induite par la valuation v1. &

6. Une interpretation geometrique des fractions continues

Soit S le 1-squelette du pavage dual du pavage de Farey du demi-plan de PoincareH2, egal a la preimage du cut locus du cusp de SL2ðZÞnH2. Le developpement en

fraction continue d’un nombre reel x 2 R peut se comprendre de maniere geometri-

que par le cheminement dansH2 de la geodesique verticale d’extremite x: la suite descomposantes connexes de H2

� S qu’elle rencontre est precisement celle des compo-santes connexes dont le point a l’infini est le n-eme convergent de x (voir [For]).Nous donnons ci-dessous une interpretation geometrique du developpement en

fraction continue de f 2 K en utilisant cheminement dans Tq de la geodesique entre

les bouts 1 et f de Tq.

6.1. PROJECTION DES GEODESIQUES DE Tq DANS LE RAYON MODULAIRE

Notons p la projection naturelle de Tq sur GnTq. Pour tout f dans K, l’image de la

geodesique �1; f ½ dans GnTq est un chemin cð f Þ d’aretes partant du bout du rayon

GnTq, qui converge vers le bout de GnTq si et seulement si f est rationnel ( f 2 K), car

l’orbite de 1 par G est exactement K [ f1g.

Figure 3. Comment lire la valuation sur l’arbre de Bruhat–Tits.


Si f 62 K, alors cð f Þ est constitue d’abord d’un rayon d’aretes allant du bout du

rayon GnTq jusqu’a son origine (il ne peut y avoir de demi-tour avant l’origine de

GnTq, car �1; f ½ est geodesique et le fixateur d’une arete (sauf la premiere) de

GnnTq, orientee vers le bout de GnTq, est egal au fixateur de son origine (voir section

3)), puis d’une infinite d’aller-retours a partir de l’origine du rayon GnTq. Nous ver-

rons ci-dessous que les hauteurs de ces aller-retours sont exactement les degres des

coefficients (a partir de a1) du developpement ðanÞn2N en fraction continue de f. Ceci

explique aussi pourquoi le degre de an est au moins 1 pour n5 1.

6.2. LA FAMILLE G-EQUIVARIANTE MAXIMALE D’HOROBOULES D’INTERIEURS

DISJOINTS

Rappelons que HB1 est l’horoboule centree en 1 2 @Tq dont l’horosphere associee

H1 passe par x�. C’est l’orbite du rayon fondamental DG par le fixateur G1 du point

1 2 @Tq dans le groupe modulaire G. Pour tout g dans G, notonsHBg1 ¼ gHB1, qui

est l’horoboule centree en g1 dont l’horosphere associee passe par gx�. Il est facilede voir que ðHBg1Þg2G=G1

est la famille des adherences des composantes connexes de

la preimage par p du rayon GnTq prive de son origine. Donc les horoboules de cette

famille se rencontrent deux a deux en au plus un point (sur l’intersection des horo-

spheres associees), et leur reunion est egale a Tq.

Comme l’involution t ¼ 1 00 �1

� �2 G� preserve HB1, pour tout g dans G� � G et a

dans G, on a gHBa1 ¼ gatHB1 et gat appartient a G. Donc G� preserve la famille

d’horoboules ðHBg1Þg2G=G1.

PROPOSITION 6.1. Pour tout point rationnel P=Q dans @Tq ðavec P;Q premiers

entre eux dans A, Q non nulÞ,

v1ðQÞ ¼ 12dðHB1;HBP

QÞ:

Preuve. La formule est evidente si P ¼ 0, car alors Q est constant non nul,

v1ðQÞ ¼ 0 et dðHB1;HB0Þ ¼ 0. On suppose donc P non nul. Notons u la projection

de P=Q sur la geodesique entre les bouts1 et 0 de Tq. Supposons que u soit entre x�

Figure 4. Aller-retours dans GnTq.

76 FREDERIC PAULIN

et 0. On se ramene a ce cas, par transitivite de l’action par translation de A sur H1.

En effet, ajouter a P un multiple de Q ne change pas v1ðQÞ, ni dðHB1;HBP=QÞ, car

les translations par un element de A sont des isometries qui preservent HB1.

Notons y le sommet de Tq, intersection de la geodesique entre 1 et P=Q avec

l’horosphere HPQassociee a HBP

Q. Comme le rayon geodesique entre x� et 0 est con-

tenu dans l’horoboule HB0, d’interieur disjoint de celui de HBPQ, le point y n’est

pas contenu dans l’interieur du segment entre x� et u.

Alors

dðHB1;HBPQÞ ¼ dðx�; yÞ ¼ dðx�; uÞ þ dðu; yÞ:

Notons ‘0 ¼ dðx�; uÞ et ‘ ¼ dðu; yÞ. Par le corollaire 5.2, ‘0 ¼ vaðP=QÞ.

Considerons l’element g ¼�

Q 0

01Q

�de G, qui est un automorphisme de Tq fixant

les bouts 1 et 0 (donc preservant la geodesique entre ces bouts).

Montrons que g envoie l’horoboule HBPQsur l’horoboule HBPQ. En effet, prenons

U;V dans A avec PU�QV ¼ 1. Posons

a ¼P VQ U

� �et b ¼

PQ �11 0

� �:

En particulier, a et b sont dans G, et verifient aH1 ¼ HPQet bH1 ¼ HPQ. Or

b�1ga ¼1 U

Q

0 1

� �, qui preserve chaque horosphere centree en 1. Donc

gHPQ¼ gaH1 ¼ bðb�1gaÞH1 ¼ bH1 ¼ HPQ:

Comme PQ est dans A, les horoboules HBPQ et HB1 se rencontrent exactement

en un point. Donc gu est contenu dans HB1, et HBPQ \HB1 est reduite a gy. Puis-que g est une isometrie, et puisque gy et x� sont sur la meme horosphere

centree en 1,

‘ ¼ dðgu; gyÞ ¼ dðgu; x�Þ ¼ v1ðPQÞ;

cette derniere egalite decoulant du corollaire 5.2. Donc

Figure 5. Distance entre horoboules et valuation du denominateur.


dðHB1;HBPQÞ ¼ ‘0 þ ‘ ¼ va

P

Q

� �� v1ðPQÞ ¼ �2v1ðQÞ: &

Remarque. Soient P;Q premiers entre eux dans A, avec Q non nul et

degðPÞ4 degðQÞ. Si Q est constant, on pose U ¼ 0 et V ¼ 1=Q. Sinon, par le theo-

reme de Bezout, soit ðU;VÞ l’unique couple dans A tel que PU�QV ¼ 1 et

degðUÞ < degðQÞ, degðVÞ < degðPÞ. Posons a ¼ P VQ U

� �. Alors ½x�; ax�� est le seg-

ment geodesique entre les horospheres (distinctes) H1 et HPQ.

Preuve. Notons tout d’abord que le point d’intersection avecH1 de la geodesique

entre 1 et P=Q est x� si et seulement si degðPÞ4 degðQÞ. Nous procedons par

recurrence sur n ¼ degðPÞ þ degðQÞ. Si n4 0, c’est immediat. Sinon, effectuons la

division euclidienne de Q par P, avec Q ¼ PS� R et degðRÞ < degðPÞ. Posons

U0 ¼ V et V0 ¼ SV�U. Alors degðRÞ4 degðPÞ, RU0 � PV0 ¼ 1, degðU0Þ < degðPÞ et

degðV0Þ < degðRÞ. Cette derniere inegalite decoule de l’egalite PV0 ¼ RV� 1, en

remarquant que si R et V sont constants, et si V 6¼ 0; alors S ¼ U=V et V0 ¼ 0.

Comme degðRÞ þ degðPÞ < n, par l’hypothese de recurrence, on en deduit, en posant

a0 ¼ R V0

P U0

� �, que ½x�; a0x�� est le segment geodesique entre les horospheres H1 et HR

P.

Notons b ¼ 0 1�1 S

� �, qui est dans G et fixe x�. Comme a ¼ ba0, on en deduit que b

envoie l’horosphere HRPsur l’horosphere HP

Q, donc le segment geodesique entre x� et

HRPsur celui entre x� et HP

Q. Par consequent, ½x�; ax�� est le segment geodesique entre

les horospheres H1 et HPQ. &

6.3. CHEMINEMENT DES GEODESIQUES DANS LA FAMILLE D’HOROBOULES

La geodesique entre 1 et f traverse successivement des horoboules de la famille

ðHBg1Þg2G=G1. La premiere est HB1, il y en a au moins deux, car une horoboule

Figure 6. Parcours des geodesiques dans les horoboules.

78 FREDERIC PAULIN

ne contient pas de geodesique, et les horoboules traversees sont en nombre fini si et

seulement si f est dans K, car si un rayon geodesique est contenu dans une horoboule,

alors il converge vers le centre de cette horoboule.

PROPOSITION 6.2. Si f 2 K, alors la geodesique �1; f ½ traverse successivement les

horoboules de la famille ðHBg1Þg2G=G1centrees en les convergents de f.

Preuve. Comme Pn=Qn converge vers f, la geodesique �1;Pn=Qn½ converge

(uniformement sur les compacts de Tq) vers la geodesique �1; f ½. De plus, pour

k < n, le k-eme convergent de Pn=Qn est defini et coıncide avec le k-eme convergent

de f. Il suffit donc de montrer que, pour tout n 2 N, la suite (finie) des horoboules

traversees par la geodesique entre1 et Pn=Qn est celle des horoboules centrees en les

convergents de Pn=Qn.

Nous raisonnons par recurrence sur la longueur n du developpement en fraction

continue d’une fraction rationnelle P=Q. Si n ¼ 0 (i.e. si P=Q est dans A), alors

comme les horoboules de la famille centrees aux elements de A rencontrent HB1

en un point, le resultat est clair. Supposons le resultat vrai pour n� 1, et soit P=Q

dans K de developpement en fraction continue ðaiÞi¼0;...;n, avec n5 1. Notons

1;P0Q0

; . . . ;Pn�1

Qn�1;Pn

Qn¼

P

Q

les convergents de P=Q. Soit P0=Q0 l’element de K de developpement en fraction con-

tinue ðaiþ1Þi¼0;...;n�1, qui est de longueur n� 1. Par recurrence, la geodesique entre1

et P0=Q0 traverse la suite des horoboules centrees en les convergents

1;P00

Q00

; . . . ;P0n�1

Q0n�1

¼P0

Q0

de P0=Q0. Posons g ¼ 0 11 �a0

� �2 G�. Par definition de a0, l’isometrie g envoie

P0Q0

;P1Q1

; . . . ;Pn�1

Qn�1;Pn

Qn¼

P

Qsur 1;

P00

Q00

; . . . ;P0n�1

Q0n�1

¼P0

Q0;

donc la geodesique entre P0=Q0 et P=Q sur celle entre1 et P0=Q0. En appliquant g�1,on voit donc que la suite des horoboules traversees par la geodesique entre P0=Q0 et

P=Q est celle des horoboules centrees en les convergents non infinis de P=Q. La

geodesique entre 1 et P=Q est contenue dans la reunion de la geodesique entre 1

et P0=Q0 et de celle entre P0=Q0 et P=Q. La projection de P0=Q0 sur la geodesique

entre 1 et P=Q est contenue dans l’interieur de l’horoboule HB1, car deg a1 > 0.

Ceci demontre le resultat. &

Remarque 1. Notons g�1 ¼ id et, pour tout n5 0, gn ¼ gn�1½an� avec ½an� ¼an 11 0

� �, qui sont des elements de G�. Par definition des Pn;Qn, on montre par re-

currence que, pour n 2 N,


Pn Pn�1

Qn Qn�1

� �¼ gn:

En particulier, pour tout n dans N, gnþ1g�1n ¼ gn½anþ1�g

�1n est l’unique (par simple

transitivite de PGL2ðK Þ sur les triplets de points de P1ðK Þ) element de G� (modulo

�id) qui envoie

HBPn�1Qn�1

sur HBPnQn

; HBPnQn

sur HBPnþ1Qnþ1

et HBPn�1þPnQn�1þQn

sur HBPnþPnþ1QnþQnþ1

:

Notons que HBPnQn

est la ðnþ 2Þ-eme horoboule traversee par la geodesique entre1 et

f (la premiere etant celle centree en 1).

Remarque 2. Soit xn le sommet de Tq intersection de HBPn�1Qn�1

et HBPnQn, et yn le point

de penetration maximale de la geodesique �1; f ½ dans l’horoboule HBPnQn

, c’est-a-dire

tel que le maximum sur la geodesique �1; f ½ de la fonction de Buseman bPnQnð�; x�Þ

centree en Pn=Qn est precisement atteint en yn (voir Figure 6). Notons que yn est le

milieu du segment geodesique entre xn et xn�1. Avec les notations de la remarque

precedente, gn ¼ ðgng�1n�1Þ . . . ðg1g

�10 Þg0 envoie la classe du reseau standard sur xn.

Notons tu ¼1 u0 1

� �pour tout u dans K. Remarquons que ½an� ¼ tan

0 11 0

� �, et que la

matrice 0 11 0

� �preserve la classe du reseau standard. Alors

xnþ1 ¼ gnþ1x� ¼ gntanþ1x� ¼ gntanþ1g�1n xn:

La translation par anþ1 sur l’horosphere H1 preserve cette horosphere et envoie la

classe du O-reseau standard x� sur une classe a distance �2v1ðanþ1Þ de x�. On en

deduit que gn tanþ1 g�1n preserve l’horosphere centree en Pn=Qn en envoyant xn sur

xnþ1, et que

dðxn; ynÞ ¼1

2dðxn; xnþ1Þ ¼ �v1ðanþ1Þ:

Remarque 3. Par le corollaire 5.2, on a, puisque les geodesiques de1 a Pn=Qn et

de 1 a f se separent au point yn,

v1 f�Pn

Qn

� �¼ dðx0; ynÞ ¼ dðx0; xnÞ þ dðxn; ynÞ:

On a vu ci-dessus que dðxn; ynÞ ¼ �v1ðanþ1Þ. Par la proposition 6.1, on a dðx0; xnÞ ¼

�2v1ðQnÞ. Ceci remontre bien la formule d’approximation diophantienne

f�Pn

Qn

��1

¼1

janþ1j1jQnj21

:

Remarque 4. Comme la geodesique entre1 et f ne rentre strictement dans aucune

autre horoboule HBPQque celles centrees en les convergents, si u est la projection de P

Q

sur �1; f ½, que l’on suppose par exemple entre x0 et f, alors

80 FREDERIC PAULIN

v1 f�P

Q

� �¼ dðx0; uÞ4 dðx0;HBP

QÞ ¼ �2v1ðQÞ

(par la proposition 6.1), donc

f�P

Q

��1

51

jQj21:

Ceci explique geometriquement pourquoi les convergents de f sont les meilleures

approximations diophantiennes de f.

6.4. ELEMENTS QUADRATIQUES ET FRACTIONS CONTINUES PERIODIQUES

Rappelons (voir par exemple [Ser2]) qu’un automorphisme g d’un arbre T est ou bien

elliptique (i.e. fixe un point de l’arbre), ou bien hyperbolique (i.e. translate non trivia-

lement une unique geodesique de l’arbre; les deux bouts de la geodesique sont alors

les seuls bouts fixes de l’arbre). Nous appelons ‘ðgÞ ¼ minx2Tdðx; gxÞ la distance de

translation de g, le minimum etant atteint exactement sur l’ensemble des points fixes

de g si g est elliptique, ou sur l’axe de translation de g sinon. Des methodes geome-

triques permettent de remontrer le resultat bien connu suivant.

PROPOSITION 6.3. Pour tout f dans K, les propositions suivantes sont equivalentes:

ð1Þ f est quadratique sur K,

ð2Þ le developpement en fraction continue de f est periodique a partir d’un certain

rang,

ð3Þ f est un point fixe d’un element hyperbolique g de G.

Si ‘ est la distance de translation de g, alors pour ðaiÞi2N le developpement en fraction

continue de f, il existe un entier p tel que pour tout N assez grand,

‘ ¼Xpi¼0

�2v1ðaiþNÞ:

Preuve. Il est bien connu que f est quadratique sur K si et seulement s’il existe

a; b; c; d dans A avec

ad� bc ¼ 1; c 6¼ 0; v1ðaþ dÞ < 0 et f ¼afþ b

cfþ d:

Ce qui signifie exactement que f est un point fixe de g ¼ a bc d

� �2 G, avec g hyperbo-

lique de distance de translation �2v1ðtr gÞ > 0 (voir, par exemple, [Ser2]).Supposons le developpement en fraction continue de f periodique, de periode p a

partir d’un certain rang. Par definition de gn, il existe donc un entier n0 et un elementa dans G� tel que gn0þnp ¼ gn0a

n pour tout n dans N. En particulier, pour tout n,

gn0þðnþ1Þpg�1n0þnp ¼ gn0ag

�1n0. Par la remarque 1, comme


gn0þðnþ1Þpg�1n0þnp ¼ ðgn0þðnþ1Þpg

�1n0þðnþ1Þp�1Þ . . . ðgn0þnpþ1g

�1n0þnpÞ;

on en deduit qu’un sous-rayon du rayon entre x� et f est envoye strictement dans lui-

meme par g ¼ gn0ag�1n0. Donc g est hyperbolique et fixe f. Comme g2 est dans G, ceci

montre que f est un point fixe de l’element hyperbolique g2 de G.Reciproquement, si f est un point fixe de l’element hyperbolique g de G, alors le

rayon entre x� et f rencontre l’axe de translation de G en un rayon. Comme g pre-serve la famille des horospheres ðHBa1Þa2G=G1

, il existe donc un entier r tel que genvoie Pn=Qn sur Pnþr=Qnþr pour tout entier n assez grand. Quitte a remplacer gpar g2, on peut supposer que r est pair. Soit ln 2 A� f0g tel que

gPn

Qn

� �¼ ln

Pnþr

Qnþr

� �:

Comme le determinant de Pi Piþ1

Qi Qiþ1

� �est ð�1Þiþ1, on en deduit que lnlnþ1 ¼ 1. En par-

ticulier, ln appartient a k� f0g et ln ¼ 1=lnþ1 ¼ lnþr. Comme tout element de k est

d’ordre fini, quitte a remplacer g par une puissance gs et r par rs, on en deduit que

gPn

Qn

� �¼

Pnþr

Qnþr

� �

pour tout n assez grand. Donc g envoie aussi

Pn þ Pnþ1

Qn þQnþ1sur

Pnþr þ Pnþrþ1

Qnþr þQnþrþ1:

Par la remarque 1, on en deduit que

ggn½anþ1�g�1n g�1 ¼ gnþk½anþkþ1�gnþk�1

et que g0 ¼ g�1nþkggn 2 G� fixe les bouts 1; 0; 1. Donc g0 vaut �id, et comme

g0½anþ1�g0�1 ¼ ½anþkþ1�, on a an ¼ anþr pour tout n assez grand.

Par la remarque 2, on a dðxn; xnþ1Þ ¼ �2v1ðanþ1Þ. La derniere formule en

decoule. &

6.5. DEVELOPPEMENT EN FRACTION CONTINUE DES ELEMENTS ALGEBRIQUES DE

CLASSE IA

Soit p la caracteristique de k. Notons s : x 7!xp l’automorphisme de Frobenius de k.

Il s’etend en un endomorphisme (non surjectif ) du corps K, encore note s, preservantA. Nous noterons aussi s l’application K2 ! K2 definie par ð f; gÞ 7!ðsð f Þ; sðgÞÞ,qui est un endomorphisme s-lineaire du plan vectoriel K2 sur K. Notons que s nor-malise G ¼ SL2ðK Þ et G ¼ SL2ðAÞ. En effet, si g est dans G (resp. G), en notant gs lamatrice g ou l’on a applique s a tous les coefficients, alors gs est dans G (resp. G) etsg ¼ gss:Notons ~G le sous-monoıde des endomorphismes s-lineaires de K2, engendre par G

et s, et ~G � G celui engendre par G et s. On a des suites exactes de monoıdes

82 FREDERIC PAULIN

G�! ~G�!N et G�! ~G�!N:

Notons f le morphisme ~G�!N (ainsi que sa restriction a ~G), de sorte que fðsÞ ¼ 1.Notons que s envoie base de K2 sur base de K2, et que si deux bases de K2 engend-

rent le meme O-reseau, alors, comme s normalise G, leurs images par s engendrentaussi le meme O-reseau. Donc s induit une application de l’ensemble des classesd’homothetie de O-reseaux dans lui-meme, que nous noterons encore s. Notonsque sð½O X�nO�Þ ¼ ½O X�pnO� (en particulier s fixe le reseau standard). Pourtout couple de sommets ðx; yÞ de Tq, il existe un element de G qui envoie x sur x�et y sur la geodesique entre1 et 0. Puisque s normalise G, et comme G agit par iso-metrie sur Tq, on a donc, pour tous sommets x; y de Tq, dðsx; syÞ ¼ pdðx; yÞ:

En particulier, s s’etend en une application continue injective de Tq dans lui-

meme, en envoyant une arete par une homothetie de rapport p sur le segment geo-

desique entre les images par s des sommets de l’arete. Cette extension verifie encoredðsx; syÞ ¼ pdðx; yÞ pour tous x; y dans Tq. Nous dirons que s est un endomorphisme

affine de Tq.

Soit g un element de ~G tel que fðgÞ 6¼ 0. Une adaptation au cas des endomor-phismes affines de l’arbre Tq qui est localement fini (donc complet) des resultats

de [Lio] pour les automorphismes affines des arbres reels complets (voir, par exem-

ple, [Sha1] pour la definition d’un arbre reel) montre que g possede un unique pointfixe xg dans Tq (pas forcement un sommet).

Soit g un element de ~G tel que fðgÞ 6¼ 0, et f 2 K un bout deTq fixe par g. Nous sup-poserons de plus que v1ðtrðgÞÞ 6¼ 0. Ceci equivaut exactement a dire que f est un ele-ment de K algebrique sur K de classe IA, i.e. solution d’une equation de la forme

f ¼af p

w

þ b

cf pwþ d

ou a; b; c; d 2 A, w 2 N � f0g avec ad� bc ¼ 1 et aþ d =2 k. Comme s normalise G etsHB1 � HB1, la famille des horoboules ðHBa1Þa2G=G1

est preservee par les elements

de ~G. Comme le rayon entre xg et f est invariant par g, la suite des horoboules de cettefamille rencontrees par ce rayon est aussi invariante par g. De plus, g agit sur cerayon comme une homothetie de rapport pfðgÞ. La geodesique entre1 et f rencontre

le rayon entre xg et f en un rayon. Il existe donc s 2 N � f0g tel que pour tout n assez

grand, g envoie l’horoboule centree au n-eme convergent de f sur celle centree au

ðnþ sÞ-eme. Comme dans la partie reciproque de la preuve de la proposition 6.3,

quitte a remplacer g par une puissance, en utilisant le fait que s est d’ordre finisur k, on peut prendre s pair, et on montre que g envoie non seulement Pn=Qn

sur Pnþs=Qnþs et Pnþ1=Qnþ1 sur Pnþsþ1=Qnþsþ1, mais aussi

Pn þ Pnþ1

Qn þQnþ1sur

Pnþs þ Pnþsþ1

Qnþs þQnþsþ1:

Par la remarque 1, on en deduit que ggn½anþ1�g�1n et gnþs½anþsþ1�g�1nþsg sont deux

elements de ~G ayant meme image par ~G ! N et donnant meme image a


Pn�1=Qn�1;Pn=Qn;Pnþ1=Qnþ1, donccoıncident.Or g0 ¼ g�1nþsggn estun elementde ~G (cars est pair), fixant les bouts1; 0; 1, avecfðg0Þ ¼ fðgÞ, et verifiant g0½anþ1� ¼ anþsþ1g0. Onen deduit, en ecrivant g0 ¼ g00sfðg

0Þ avec g00 2 G, que g00 fixe1; 0; 1, donc vaut l’identite.

Par consequent sfðgÞðanþ1Þ ¼ anþsþ1 pour tout n assez grand.

Ceci montre que le developpement en fraction continue de f verifie les proprietes

suivantes de ‘periodicite’ (voir par exemple [Sch]):

PROPOSITION 6.4. Soit f un element de K algebrique sur K de classe IA, et ðaiÞi2N

son developpement en fraction continue. Alors il existe des entiers r; s;w dans N � f0g

tells que arþisþj ¼ siwðarþjÞ pour tous i dans N et j ¼ 1; . . . ; s. &

Remarque. Pour travailler avec des automorphismes, on peut etendre le corps K

en lui rajoutant les racines ps-emes de X pour tout s 2 N, et en etendant la valuation

v1 par v1ðffiffiffiffiXp

pÞ ¼ �1=p. Notons

^K le corps value obtenu. La nouvelle valuation n’est

pas une valuation discrete (l’ensemble de ses valeurs est Z½1=p� qui est dense dans R).

L’arbre de Bruhat–Tits Tq associe a SL2ð^K Þ n’est plus un arbre simplicial mais un

arbre reel (ses sommets forment un ensemble dense), voir par exemple [Sha1, Sha2].

L’automorphisme de Frobenius de k induit un automorphisme du corps^K et

un homeomorphisme affine de l’arbre reel Tq, auquel cas les resultats de [Lio]

s’appliquent sans adaptation, en utilisant le fait que le sous-arbre Tq de Tq est

localement fini et invariant par s.

Remerciement

Je remercie Michel Waldschmidt et Alain Lasjaunias de leur aide pour les references.

References

[BL] Bass, H. et Lubotzky, A.: Tree Lattices, Progr. Math. 176, Birkhauser, Basel, 2001.[BN] Berthe, V. et Nakada, H.: On continued fraction expansions in positive characteris-

tic: equivalence relations and some metric properties, Exposition. Math. 18 (2000),257–284.

[BH] Bridson, M. R. et Haefliger, A.: Metric Spaces with Non-positive Curvature, Grun-

dlehren Math. Wiss. 319, Springer-Verlag, New York, 1998.[BP] Broise, A. et Paulin, F.: Dynamique sur le rayon modulaire et fractions continues en

caracteristique p, prepublication Univ. Orsay, juin 2002.

[BT] Bruhat, F. et Tits, J.: Groupes reductifs sur un corps local (donnees radiciellesvaluees), Publ. Math. I.H.E.S. 41 (1972), 5–252.

[Chr] Christol, G.: Ensembles presques periodiques k-reconnaissables, Theoret. Comput.Sci. 9 (1979), 141–145.

[For] Ford, L.: Rational approximations to irrational complex numbers, Trans. Amer.Math. Soc. 99 (1918), 1–42.

[HP1] Hersonsky, S. et Paulin, F.: On the rigidity of discrete isometry groups of negatively

curved spaces, Comm. Math. Helv. 72 (1997), 349–388.[HP2] Hersonsky, S. et Paulin, F.: Diophantine approximation for negatively curved mani-

folds, I, �a paraıtre dans Math. Z.

84 FREDERIC PAULIN

[Laj] Lasjaunias, A.: A survey of diophantine approximation in fields of power series,

Monat. Math. 130 (2000), 211–229.[Lio] Liousse, I.: Actions affines sur les arbres reels, Math. Z. 238 (2001), 401–429.[Mah] Mahler, K.: On a theorem of Liouville in fields of positive characteristic, Canad. J.

Math. 1 (1949), 397–400.[Pau] Paulin, F.: Groupes geometriquement finis d’automorphismes d’arbres et approxi-

mation diophantienne dans les arbres, prepublication ENS Ulm, septembre 2002.

[Sch] Schmidt, W.: On continued fractions and diophantine approximation in power seriesfields, Acta Arith. XCV (2000), 139–166.

[Ser1] Serre, J.-P.: Corps locaux, Hermann, Paris, 1962.[Ser2] Serre, J.-P.: Arbres, amalgames, SL2, Asterisque 46, Soc. Math. France (1983).

[Seri] Series, C.: The modular surface and continued fractions, J. London Math. Soc. 31(1985), 69–80.

[Sha1] Shalen, P.: Dendrology of groups: an introduction, Dans: S. M. Gersten (ed.), Essays

in Group Theory, M.S.R.I Publ. 8, Springer-Verlag, New York, 1987, pp. 265–319.[Sha2] Shalen, P.: Dendrology and its applications, Dans: E. Ghys, A. Haefliger, et A.

Verjovsky (eds), Group Theory from a Geometrical Viewpoint, World Scientific,

Singapore, 1991, pp. 543–616.


Documents

Groupe modulaire, fractions continues et approximation diophantienne en caractéristique p