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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 1 4ème année du Département Génie Électrique

Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 15 4ème année du Département Génie Électrique

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 1

4ème année du Département Génie Électrique

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 2

Premier état des lieuxPremier état des lieuxDeux points importants :la plupart des antennes sont métalliquesla grande majorité est de type antennes résonantes

Dans un métal, les électrons libres se déplacent par défaut de façon erratique. Quand on crée une différence de potentiel (sinusoïdale par exemple), le champ interne

commande alors la répartition de ces charges.

Les courants et charges créés sont alors autant de sources élémentaires de champ électromagnétique.

Mais selon leur répartition et leurs phases relatives, le champ global délivré par un élément métallique est la somme de

toutes les contributions de ces sources élémentaires.

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 3

Mécanisme de rayonnementMécanisme de rayonnement

Des charges transitant sur un métal droit à vitesse constante ne produisent pas de rayonnement.

+++

Si les charges rencontrent une discontinuité (rupture, courbure...) leur vitesse change, il y a alors rayonnement.

+++

pas de rayonnement

rayonnement

+++

rayonnement

Dans une structure en résonance, les charges oscillent en permanence, créant un flux de rayonnement continu.

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 4

La ligne bifilaire sur une chargeLa ligne bifilaire sur une charge

xxx

jβBejβAei

Zr

Rappels sur les lignes de transmission :

x

Ligne bifilaire fermée sur une chargesuperposition d’une onde incidente et d’une onde

réfléchie

ligne sans pertes

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 5

La ligne bifilaire ouverteLa ligne bifilaire ouverte

yr

jiyriy

ri

yi sin2jβejβe

Ligne en circuit ouvert :

y

tyZcrv

tyi cossin

,

Ligne en circuit ouvert phénomène d’ondes stationnaires

C.O.

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 6

Ligne en résonanceLigne en résonance

yr

jiyriy

ri

xi sin2jβejβe

tyZcrv

tyi cossin

,

Ligne en circuit ouvert phénomène d’ondes stationnaires

C.O.

En pratique, quand les brins sont relativement proches, les courants étant en opposition de phase, le champ global rayonné est

pratiquement nul (heureusement d’ailleurs).

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 7

Écartement des brinsÉcartement des brins

L’approximation classique considère que si on écarte les brins de la ligne, la répartition du courant reste la même.

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 8

Le dipôle rayonnant Le dipôle rayonnant

On se retrouve alors avec des

courants en phase permettant un rayonnement

efficace : principe de l’antenne dipôle

Pb : en pratique, il y a désadaptation. On cherchera alors une antenne résonante présentant une impédance d’entrée adaptée à une ligne en onde progressive.

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 9

Rappels sur le champ EMRappels sur le champ EM

Pour l’étude de phénomènes de propagation des ondes électromagnétiques, un milieu sera définit par :

Sa permittivité électrique complexe

''' jSa perméabilité magnétique complexe

Sa conductivité

(F/m)

''' j

(S/m) pertes ohmiques

Caractéristiques du milieu :

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 10

Sources de rayonnementSources de rayonnement

Des courants et des charges présents dans ce milieu sont appelés sources primaires :

Densité surfacique de courants

Densité volumique de charges

Ces sources créent :

pI

Des champs électrique et magnétique

D’autres courants et charges

(A/m²)

pQ (Cb/m3)

E (V/m)

H (A/m)

cI cQet

phénomènes d’induction

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 11

Equations de MaxwellEquations de Maxwell

Dans le cas de milieux homogènes et isotropes on obtient les équations suivantes :

0

bdivqddiv

eiedt

eehrot

hbt

herot

c

c

Les sources peuvent présenter des densités linéiques, surfaciques ou même volumiques.

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 12

Domaine de résolutionDomaine de résolution

On considère deux domaines distincts de résolution de ces équations : en présence de charges et courants ou hors de toute charge ou courant.

La résolution en présence de charges et courants permet de déterminer le champ produit par une

répartition linéique, surfacique ou volumique de charges et courants (ce qui conduit au diagramme de

rayonnement de l’antenne).

Le second type de résolution permet de calculer les ondes électromagnétiques propagées en espace libre.

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 13

Régime sinusoïdalRégime sinusoïdal

Toujours dans le cas de milieux homogènes, isotropes en régime harmonique on obtient les équations suivantes :

0

BdivQDdiv

EjEHrotHjErot

C

On peut alors résoudre ces équations pour déterminer le champ produit par les charges et courants présents sur un conducteur.

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 14

Relation à la surfaceRelation à la surface

Le champ électrique est toujours perpendiculaire au conducteur. Le champ magnétique est toujours tangent au conducteur. Le champ électrique est proportionnel aux charges à la surface. Le champ magnétique est proportionnel aux courants à la surface.

Interface avec un conducteur parfait

1, 1, 1

1E 1H

0.

.

0

1

1

1

1

Hn

QEn

IHn

En

S

S

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 15

Potentiels électromagnétiquesPotentiels électromagnétiquesPour évaluer les effets d’une source isotrope en un point P de l’espace on peut introduire les potentiels vecteur et scalaire :

),(),( trAtrB

t

)t,r(A)t,r(V)t,r(E

0BdivPuisque on peut écrire

o

x

y

zP

r

Le vecteur A est donc défini à un gradient près, il existe alors une

fonction V vérifiant :

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 16

Potentiels électromagnétiquesPotentiels électromagnétiquesEn exprimant les équations de Maxwell en fonction des potentiels, on obtient les équations d’ondes :

L

rj

l

L

rj

l

dlr

erIA

dlr

erQV

.)(4

.)(4

1

0

potentiel scalaire

potentiel vecteur

Q

t

VV

2

22

It

AA

2

22

La résolution (complexe basée sur les fonctions de Green) donne pour une répartition linéique :

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 17

Source élémentaireSource élémentaireLe doublet électrique élémentaire est un élément

conducteur de taille négligeable dl où l’on peut supposer le courant constant sur la longueur (vitesse infinie).

+q

-qi(t)

r

P

z

x

)r(E

r0

r1

C’est un outil théorique qui permet de déduire le comportement de toute antenne comme la somme de sources élémentaires.

tjQe charges

Qjcourant

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 18

Calcul du champ rayonnéCalcul du champ rayonnéLe problème apparaît à symétrie de révolution par

rapport à Oz. Le potentiel vecteur n’a qu’une composante Az :

Champ magnétique à une seule composante

r

edlIAz

rj

m

..4

On obtient alors :

H

0rH

0H

2

1.sin..

4

1

rr

jedlIH rj

m

H

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 19

Calcul du champ électriqueCalcul du champ électriqueOn peut déduire par la suite le champ électrique produit :

Champ électrique à deux composantes et

E

32

1.cos..

2

1

rjredlIE rj

mr

0E

32

1.sin..

4

1

rjrr

jedlIE rj

m

rE E

On se retrouve donc finalement avec 3 composantes de champ rayonné.

Suivant la distance du point d’observation P par rapport à la source, on va faire des approximations différentes pour

simplifier les expressions.

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 20

Approximations en fonction de rApproximations en fonction de r

32

1.cos..

2

1

rjredlIE rj

mr

32

1.sin..

4

1

rjrr

jedlIE rj

m

2

1.sin..

4

1

rr

jedlIH rj

m

Les termes en 1/r représentent le champ rayonné (prédominant quand r grand), les termes en 1/r2 donnent

les champs induits et les termes en 1/r3 le champ électrostatique.

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 21

Les zones de rayonnementLes zones de rayonnement

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 22

Les zones de rayonnementLes zones de rayonnement

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 23

)(

)(

sin2

),(

sin2

),(

rtj

rtj

edlIr

jtrE

edlIr

jtrH

377120),(

),(

o

o

trH

trE

Rayonnement du doubletRayonnement du doubletApproximation en champ lointain :

dans le vide

i(t)

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 24

Propagation champ lointainPropagation champ lointain

00

BdivDdiv

EjHrotHjErot

En revenant aux équations dans le cas de milieux homogènes, isotropes et ne contenant pas les sources primaires, en régime harmonique on obtient les équations suivantes :

Rq : Dans ce cas, on constate que les équations en E et H sont presque symétriques, la seule différence étant l’absence de charges et courants magnétiques. On peut alors introduire des sources magnétiques fictives pour symétriser ces équations. La solution du problème électrique donne alors celle du problème magnétique et inversement.

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 25

Equations de propagationEquations de propagationLes équations de propagation pour les champs et (exprimés en valeurs instantanées complexes) s’écrivent sous la forme suivante : 

0t

ee

2

2

0t

hh

2

2

Elles deviennent dans le cas où la propagation se fait selon la direction Oz :  et 

Le rapport représente la vitesse de propagation de l’onde. Sachant que généralement on considère que (sauf milieux ionisés et magnétiques) on écrit : 

 

0t

e

z

e2

2

2

2

0t

h

z

h2

2

2

2

1v

1r

n

cc11v

rr00

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 26

SolutionsSolutions

En régime sinusoïdal, ces équations admettent des solutions de la forme : 

et

avec : (paramètre de phase de l’onde) Le rapport des modules de et exprime l’impédance d’onde du milieu considéré (en W) : 

c’est une quantité réelle.

)kzt(jexpE)t,z(e )kzt(jexpH)t,z(h

2

vk

E H

H

E

Valeur dans l’air : 377 ohms

uHE

On a alors la relation fondamentale :

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 27

Onde sphérique - onde planeOnde sphérique - onde plane

Une source ponctuelle (charge Q) produit le rayonnement d’une onde sphérique.En effet la résolution des équations de potentiels dans le cas d’une source ponctuelle est à symétrie de révolution sphérique, et donne pour solution :

2

1.

4

1)(

rr

jeQrE rj

En champ lointain, cela donne :

rjer

EorE )(

La surface d’onde est une sphère centrée sur la source

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 28

Approximation d’onde planeApproximation d’onde plane

Sens de propagation

front d’onde

E

H

l

zdztEE

cos0

Les solutions des équations de Maxwell sont nombreuses (dépendant des conditions initiales).

Toutes peuvent s’exprimer comme la somme d’ondes planes.

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 29

Puissance transportéePuissance transportée

Quand la condition de champ lointain est respectée, la surface d’onde peut être assimilée à un front d’onde plane. La puissance transportée par l’onde est traduite par le vecteur de Poynting : *

HE2

1P

x

y

zEE

H

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 30

Polarisation de l’ondePolarisation de l’ondeOn sait qu’en champ lointain E et H sont perpendiculaires

entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation.Par contre, suivant le type de source utilisé, l’orientation de

ces vecteurs dans le plan d’onde peut varier.

En se basant sur les variations de l’orientation du champ E au cours du temps, on définit la polarisation de l’onde.

En repère sphérique, le champ E d’une onde plane est décrit par ses composantes :

uEuEE

atAE sin btBE sinavec et

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 31

Polarisation rectilignePolarisation rectilignePremière hypothèse : les composantes vibrent en phase

ba

uBuAtE

sin

Plusieurs possibilités : polarisation horizontale,

verticale ou oblique

E

E

E

animation

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 32

i(t)Polarisation rectiligne verticale

Exemple d’un doubletExemple d’un doublet

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 33

i(t)Polarisation rectiligne horizontale

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 34

i(t)Polarisation rectiligne oblique

Exemple de 2 doublets en phaseExemple de 2 doublets en phase

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 35

Polarisation circulairePolarisation circulaireDeuxième hypothèse : les composantes vibrent en quadrature de phase et leurs modules sont égaux

2 ab

uatuatAE

cossin

E

EE

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 36

i(t)Polarisation circulaire par dé-synchronisation

Page 37: Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 15 4ème année du Département Génie Électrique

Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 37

3 modes de polarisation– polarisation rectiligne

• verticale, horizontale (plan H ou E)

– polarisation circulaire• droite ou gauche

– polarisation elliptique• droite ou gauche

Polarisation elliptiquePolarisation elliptique

animations

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 38

Les grands théorèmesLes grands théorèmes

Pour l’étude du fonctionnement des antennes, quatre grands théorèmes fondamentaux sont à connaître :

le théorème de réciprocité de Lorentzle théorème de Huygens-Fresnel

la théorie des imagesle principe de Babinet

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 39

Réciprocité de LorentzRéciprocité de Lorentz

Si on considère deux distributions de courants I1 et I2 qui sont à l’origine de champs E1 et E2, on montre d’après les

équations de Maxwell :

vv

dvIEdvIE .... 2112

les systèmes rayonnants sont réciproques (attention seulement dans le cadre des antennes

passives).

Pf Pr

PfPr

Page 40: Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 15 4ème année du Département Génie Électrique

Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 40

Principe de Huyghens-FresnelPrincipe de Huyghens-FresnelPrincipe permettant de calculer le rayonnement à

l’infini de n’importe quel type de source

sources

surface arbitraire

champs nuls

sources superficielles équivalentes

(électriques et magnétiques)

Page 41: Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 15 4ème année du Département Génie Électrique

Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 41

Application radarApplication radarPrincipe permettant de calculer le rayonnement à

l’infini de n’importe quel type de source

cible

Le champ reçu en P est la somme du champ que l’on recevrait sans obstacle (connu) et du champ diffracté par

l’obstacle. On peut alors à l’inverse calculer la surface constituée de sources fournissant un tel champ.

onde plane

point d’observation

Page 42: Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 15 4ème année du Département Génie Électrique

Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 42

Théorème des imagesThéorème des imagesAu niveau d’un point d’observation, le champ créé par une source +q placée au-dessus d’un plan réflecteur parfait de

dimensions infini est équivalent au champ créé par l’association de cette charge avec son image par symétrie par

rapport au plan de charge –q.

+q

Px

+q

Px

-q

Page 43: Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 15 4ème année du Département Génie Électrique

Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 43

Images en courantImages en courant

Le même principe s’applique pour les sources de courants.L’image sera formée de la symétrie de la répartition de

courant de signe opposé (opposition de phase).

Px

Px

I I

I

à la base de très nombreuses applications en antennes

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 44

Principe de BabinetPrincipe de Babinet

Le théorème de Babinet reprend l’aspect symétrique des équations de Maxwell.

EH

cas 1 cas 2

Le champ total du cas 1 va être égal au champ diffracté du cas 2 et inversement.

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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 45

Application aux antennesApplication aux antennes

Toute fente pratiquée dans un plan de masse de grande dimension aura le même comportement en

rayonnement que l’antenne métallique complémentaire à ceci près que les champs E et H sont inversés.

E H