Mécanique - I - 1 / 8

I GEOMETRIE – CALCUL VECTORIEL

Ce chapitre est un rappel des définitions et propriétés de base du calcul vectoriel, outil

mathématique essentiel dans l’étude de la physique en général, où la plupart des grandeurs

son représentées par des vecteurs.

1. Point matériel Définition :

La mécanique décrit le mouvement des objets matériels relativement à certains corps de

référence au cours du temps.

Si ces objets sont de dimension suffisamment faible pour qu’on puisse négliger leur structure

interne et les décrire par leur seule position globale, on parle de points matériels.

Propriété :

Tous les systèmes réels à considérer évoluent dans l’espace physique dont l’image

mathématique est l’espace euclidien (ε).

C’est un espace à 3 dimensions (ensemble ordonné de 3 réels x, y et z) dont les éléments sont

les points.

On note un point A(x,y,z), dont x, y, et z sont les coordonnées canoniques.

2. Vecteur

a). Définitions

(i) On appelle bipoint tout couple ordonné de deux points : son origine A et son extrémité B

On le note (AB)

Un bipoint (AB) est défini par :

- son origine A

- son support D

- son sens (de A vers B)

- sa norme (distance entre les points A et B)

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Les composantes canoniques du bipoint (AB) sont :

(xB - xA) , (yB - yA) et (zB - zA)

Deux bipoints sont dits équipollents s’ils ont :

- des supports parallèles

- même sens

- même norme

(ii) L’ensemble des bipoints équipollents au bipoint (AB) constitue une classe d’équivalence

appelée vecteur et notée V!

.

Le bipoint (AB) est un représentant de la classe d’équivalence V!

et s’écrit AB .

Le vecteur AB est l’ensemble ordonné des 3 composantes canoniques du bipoint associé, on

le note :

−−−

=AB

AB

AB

zzyyxx

AB

(iii) On appelle vecteur unitaire un vecteur dont la norme vaut 1 : VVu!!! =

b). Propriétés

L’ensemble (E) des vecteurs associés à (ε) possède une structure d’espace vectoriel sur R, car

il vérifie les deux lois de composition suivantes :

! une loi interne, l’addition vectorielle, qui à tout couple de vecteurs ( )V,U!!

associe le

vecteur somme VU!!

+ . (structure de groupe commutatif)

! Une loi externe, la multiplication par un réel, qui à tout vecteur V!

et réel λ associe le

vecteur colinéaire V!

λ .

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Définition :

On appelle base de l’espace vectoriel (E), de dimension 3, tout triplet de vecteurs

indépendants ( )zyx e,e,e !!! permettant d’exprimer linéairement, de façon unique, tout vecteur V!

de (E) :

zyx ezeyexV !!!!++=

les réels x, y et z sont les composantes de V!

dans la base ( )zyx e,e,eB !!! .

Définition :

Un repère R de l’espace affine (ε), associé à l’espace vectoriel (E), est constitué par :

- Un point, origine du repère, noté O

- Une base ( )zyx e,e,eB !!! de l’espace vectoriel (E)

Ce repère est noté ( )zyx e,e,e,OR !!!=

Propriété :

A tout point M de (ε) on peut associer le vecteur V!

de (E) tel que OMV =!

.

Cette application de ε dans (E) est une bijection.

Définition :

Si le vecteur V!

a pour composantes (x,y,z) dans la base ( )zyx e,e,eB !!! , on a :

zyx ezeyexOM !!! ++=

les réels x, y et z sont les coordonnées du point M dans le repère ( )zyx e,e,e,OR !!!= .

On note : R)z,y,x(M .

c). Opérations

(i) Addition vectorielle :

ACBCAB =+ (Relation de Chasles)

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Soient 1V!

et 2V!

, deux vecteurs de (E), dont les composantes dans la base ( )zyx e,e,eB !!! sont

respectivement )z,y,x( 111 et )z,y,x( 222 .

+++

=

+

=+

21

21

21

2

2

2

1

1

1

21zzyyxx

zyx

zyx

VVBBB

!!

Remarque : Pour pouvoir additionner deux vecteurs, il faut que ceux-ci soient exprimés dans

une même base, ceci est valable pour toutes les opérations vectorielles.

(ii) Produit scalaire

Définition : On appelle produit scalaire l’application de R3xR3 dans R qui a deux vecteurs 1V!

et 2V!

de (E) associe le scalaire 21 V.V!!

défini par :

θ= cosVVV.V 2121

!!!!

où θ est l’angle entre 1V!

et 2V!

.

Propriétés :

Figure

|θ|

Angle

cos(θ)

21 V.V!!

Valeur

A retenir : 02121 =⇔⊥ V.VVV!!!!

Interprétation : Le produite scalaire 21 V.V!!

est la projection de 2V!

sur la droite de support 1V!

.

Propriétés :

- Commutativité

- Distributivité → Structure d’espace vectoriel

- Associativité

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Remarques : - Norme d’un vecteur : 111 V.VV!!!

=

- Dans une base ( )zyx e,e,eB !!! orthonormée : 1=== zzyyxx e.ee.ee.e !!!!!!

et 0=== zxzyyx e.ee.ee.e !!!!!!

Expression analytique :

212121

2

2

2

1

1

1

21 zzyyxxzyx

.zyx

V.VBB

++=

=!!

et 21

21

211 zyxV ++=

!

(iii) Produit vectoriel

Définition :

On appelle produit vectoriel l’application de R3xR3 dans R3 qui à deux vecteurs 1V!

et 2V!

associe le vecteur 21 VVV!!!

∧= tel que :

! )V,Vsin(VVVV 212121

!!!!!!=∧

! 1VV!!

⊥ et 2VV!!

⊥

! )V,V,V( 21

!!! forme un trièdre direct

Propriété : (à retenir) 02121

!!!!!=∧⇔ VVV//V

Interprétation : 21 VV!!

∧ correspond à l’aire du parallélogramme engendré par 1V!

et 2V!

.

Propriétés : -Anti-commutativité : 1221 VVVV!!!!

∧−=∧

- Distributivité : 3121321 VVVV)VV(V!!!!!!!

∧+∧=+∧

- Associativité : )VV(V)V( 2121

!!!!∧λ=∧λ

Remarque :

Dans le cas d’une base ( )zyx e,e,eB !!! orthonormée directe : 0!!!!!!! =∧=∧=∧ zzyyxx eeeeee

, ,x y z y z x z x ye e e e e e e e e∧ = ∧ = ∧ =! ! ! ! ! ! ! ! !

, ,x z y y x z z y xe e e e e e e e e∧ = − ∧ = − ∧ = −! ! ! ! ! ! ! ! !

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Expression analytique :

−−−

=

∧

=∧

1221

1221

1221

2

2

2

1

1

1

21yxyxxzxzzyzy

zyx

zyx

VVBBB

!!

(iv) Produit mixte

Définition :

On appelle produit mixte l’application de R3xR3xR3 dans R qui à 3 vecteurs 1V!

, 2V!

et 3V!

associe le scalaire )V,V,V(M 321

!!!= défini par :

1 2 3 1 2 3( , , ) .( )V V V V V V= ∧! ! ! ! ! !

Propriétés :

- Si les vecteurs )V,V,V( 321

!!! définissent un espace direct ⇒ M>0

- Si les vecteurs )V,V,V( 321

!!! définissent un espace indirect ⇒ M<0

- La valeur de M se conserve par permutation circulaire

Interprétation : Le produit mixte )V,V,V( 321

!!! correspond au volume du parallélépipède engendré

par 1V!

, 2V!

et 3V!

Expression analytique :

1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3

1 2 3

( , , ) ( ) ( )x x x

V V V x y z y z x z x y x y z y z x z x y y y yz z z

= + + − + + =! ! !

(déterminant)

Remarque : Dans une base orthonormée directe on a : 1=)e,e,e( zyx!!!

( (v) Division vectorielle, cf TD)

3. Systèmes de coordonnées Propriété :

Dans R3, 3 paramètres sont nécessaires et suffisants pour définir la position d’un point

matériel (des longueurs et/ou des angles suivant les cas)

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a). Coordonnées cartésiennes

Dans l’espace muni d’un repère cartésien ( )zyx e,e,e,OR !!!= la position d’un point M est

définie de façon unique par :

zyx ezeyexOM !!! ++=

xe.OMx !=

avec ye.OMy !=

ze.OMz !=

(projections de OM sur B)

Ce sont les composantes (ou abscisse) du vecteur OM dans R. On note :

=

zyx

OMB

b). Coordonnées cylindriques

Dans les problèmes avec un axe fixe (rotation autour de ze! par exemple) on utilise un système

de coordonnées cylindriques.

Soit M un point de l’espace, les coordonnées cylindriques de M sont )z,,( θρ définies par :

- ρ = Distance de M à l’axe fixe ze! :

PMOH ==ρ , ∈ R+.

- θ = Angle polaire = )OH,e( x! , [ ]π∈ 20 ,

- z = Côte (ou hauteur) = OP , ] [+∞∞−∈ ,

Base cylindrique locale

On définit une base orthonormée directe liée à M (locale) : ( )zc e,e,eB !!!θρ telle que :

ρ=ρ OHe! , ze! fixe et ze e eθ ρ= ∧! ! ! (tangent au cylindre de même sens que θ )

La position de M dans le repère ( )zc e,e,e,OR !!!θρ= est alors définie par :

ρ=+ρ= ρ z

ezeOMcB

z 0!!

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Remarque :Il faut bien différencier les coordonnée de M des composantes du vecteur OM .

c). Coordonnées sphériques

Dans les problèmes dits centraux (où les propriétés dépendent de la distance à un point

central) on utilise un système de coordonnées sphériques.

Soit M un point de l’espace, les coordonnées sphériques de M sont ),,r( ϕθ définies par :

- r = Distance de M à l’origine = OM ,

+∈ Rr

- θ = azimut ou longitude = )OH,e( x! ,

[ ]π∈θ 20 ,

- ϕ = Colatitude = )OM,e( z! , [ ]π∈ ,0

Base sphérique locale :

On définit une base orthonormée directe liée à M : ( )ϕθ e,e,eB rs!!! .

C’est le support (tangentes) des variations de chacune des coordonnées, orientés dans le sens

où les variations croissent.

- r varie seul → demi-droite [OM) : rOMer =!

- ϕ varie seul → demi-cercle dans le plan méridien )OH,e( z!

- θ varie seul → cercle de centre O et d’axe ze!

Dans le repère ( )ϕθ= e,e,e,OR rs!!! , la position de M est définie par :

==

00r

erOMSB

r!

d). Courbes

Définition :

On appelle courbe ou trajectoire le support géométrique de toutes les positions de M au cours

du temps (lorsque t varie).

⇒ Pour trouver l’équation de la trajectoire, on élimine le temps.