Résumé—Les auteurs étudient numériquement,à l’aide d’une méthode implicite aux différencesfinies, la convection naturelle, laminaire,permanente et bidimensionnelle, dans un fluidesitué entre deux plaques verticales constituéesd’un matériau poreux (type granulaire) saturéd’air et traversées par des flux de chaleur dedensité constante. Dans le canal, ils admettent leshypothèses de la couche limite, utilisent l’équationde Bernoulli à l’entrée et considèrent la pressionconstante à la sortie tandis que, dans le matériauporeux, ils adoptent le modèle de Brinkman. Lescalculs montrent que, pour les grandes valeurs dela perméabilité, les plaques se comportent commedes enceintes remplies d’air et, pour les petitesvaleurs, comme un matériau solide. Si l’on veutobtenir des débits de ventilation élevés, il estpréférable d’utiliser un thermosiphon assez long etréalisé avec des plaques solides dont laconductivité thermique est grande ; si l’onsouhaite des températures de sortie élevées, il estplus judicieux d’utiliser des plaques fortementperméables, notamment aux grandes valeurs dunombre de Grashof modifié.

Mots-clés—Thermique, Mécanique des fluides,Thermosiphon, Ventilation.

M. Daguenet, Y. Semega, Ch. Mbow, Laboratoire deThermodynamique et Energétique, Université de Perpignan,Perpignan, 66860 France.tél.: (33) 468 66 20 76 , fax : (33) 468 66 52 91e-mail: daguenet@gala.univ-perp.frS. Jik Suh, College of Engineering, Inha University, 253Yong-Dong, Nom-Ku Inchon, 402-751, Korea.tél.: (82) 32 860 75 90 , fax : (82) 32 866 46 24e-mail: energeti@munhak.inha.ac.kr

I. INTRODUCTION

Bien qu’il existe de nombreuses publicationssur la convection naturelle, laminaire,permanente et bidimensionnelle qui sedéveloppe dans un fluide situé entre deux paroisverticales délimitant un thermosiphon, seulesquatre, à notre connaissance, prennent encompte les caractéristiques des plaques,supposées solides [1]-[4].

Dans cette étude qui vise essentiellement lesapplications des thermosiphons à la ventilationdes locaux, nous considérons, outre ces plaquespleines, des plaques constituées d’uneenveloppe infiniment mince contenant soit del’air, soit un matériau poreux saturé d’air.

Dans les études numériques, lesapproximations de la couche limite sontgénéralement admises [5]-[7]. L’alimentation dela couche limite s’effectuant par l’une desextrémités du canal, en l’occurrence par celle dubas, la vitesse du fluide n’est pas nulle au niveaudu bord d’entrée. Il est alors judicieux deprendre comme condition à l’entrée du canall’équation de Bernoulli reliant la pression à lavitesse et, à la sortie, une pression égale à lapression extérieure [5]. Il a été montré que lesvaleurs du débit issues du modèle établi à partirde ces hypothèses et celles obtenues à l’aide ducode SIMPLER associé à un modèles’affranchissant de ces simplifications diffèrentde moins de 10% pour des nombres de Grashofmodifiés inférieurs à 103 [8]. Ainsi, étant donnénotre objectif, le modèle simplifié, facile àmettre en oeuvre, constitue une approchesuffisamment précise.

Etude numérique de l’influence descaractéristiques des plaques d’un thermosiphon

sur ses performances en régime permanentlaminaire

Par Y. Semega, Ch. Mbow, S. Jik Suh et M. Daguenet

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0-7803-7117-8/01/$10.00 (C) 2001 IEEE

Nous nous intéressons principalement audébit de tirage, à la température moyenne dansla section de sortie et au nombre de Nussselt enfonction des caractéristiques des plaques.

Comme dans un milieu poreux, il convient dechoisir l’équation de mouvement selon la valeurde la perméabilité du milieu [9], nous nousappuyons sur l’équation de Darcy-Brinkmanpermettant d’exprimer la condition d’adhérencedu fluide sur des parois solides et adoptons leshypothèses de la couche limite dans le canal.

II. DESCRIPTION ET FORMULATION DUPROBLÈME

Considérons, dans un fluide de volume infini,de température T0 et de pression P0 (enl’occurrence de l’air), deux plaques verticalesdistantes de 2e, de hauteur H et de grandeprofondeur. Ces plaques d’épaisseur em sonttraversées par des flux de chaleur de densitésconstantes, uniformes et égales à q engendrantune convection naturelle supposéebidimensionnelle, laminaire et permanente.Pour étudier les transferts, nous supposons enplus que :- les propriétés physiques du fluide sontconstantes hormis, dans le terme de pesanteurdes équations du mouvement, la massevolumique qui varie linéairement avec latempérature conformément aux hypothèses deBoussinesq.- le rayonnement, le travail des forces depression et la dissipation visqueuse sontnégligeables.- le milieu poreux est en équilibre thermiquelocal et il existe des couches limites le long desfaces internes des parois délimitant le canal.- les faces inférieures et supérieures des plaquessont adiabatiques.

Afin de remédier à l'absence de conditionsaux limites pariétales pour la pression, nousformulons les équations de transfert à l'intérieurdes parois en utilisant le formalisme vorticité-fonction de courant. Les équations régissant lestransferts d'impulsion et de chaleur ainsi queleurs conditions aux limites associées sontdonnées dans [8].

III. MÉTHODE DE RÉSOLUTION DES ÉQUATIONSDE TRANSFERT

Les équations de transfert sont résolues parla méthode directe d'élimination de Gauss, quipermet un balayage horizontal prenant encompte les conditions aux limites et l'équationde conservation du débit. L’équation de lafonction de courant est résolue par la méthode

de sur-relaxation successive. L'équation decontinuité dans le canal est résolue aprèsl'équation du mouvement, compte tenu desconditions d'adhérence. Les calculs sont arrêtésquand les deux conditions suivantes, danslesquelles p désigne le numéro de l'itération,sont remplies :

Max Tj,k

°p+1 - Tj,k°p

Max Tj,k°p+1

< 10- 5 (1)

P° H° < 10-6 (2)

Dans un premier temps, les calculs itératifssont effectués avec un débit arbitraire jusqu’à ceque la condition (1) soit satisfaite, ensuite lacondition (2) est testée. Si elle est vérifiée, lescalculs sont arrêtés sinon ils sont repris avec unenouvelle valeur du débit calculée en appliquantla méthode de la bissection.

IV. RÉSULTATS

IV.1 Influence de la perméabilité des plaquesconstituées d’un matériau poreux saturé d’air

Fixons Pr =0.71, H°=10, re=1, rλ=1, rα=1 et1 ≤ Gr* ≤ 103.

Le nombre de Nusselt moyen relatif au canalNu augmente comme attendu avec le nombre deDarcy Da. Quand on considère les modèlesrelatifs à des plaques constituées respectivementd’un matériau solide et d’une enveloppe minceremplie d’air, les valeurs du nombre de Nusseltmoyen coïncident avec les valeursasymptotiques que l’on obtient en faisant tendrerespectivement Da vers 0 et vers l’infini.

Les écarts entre les valeurs du débitadimensionnel D0 correspondant à des plaquesconstituées d’une enveloppe mince remplie d’airet des plaques solides sont 0.1%, 2% et 10.5%respectivement pour Gr* = 10, 102 et 103 (fig.1).Pour la température moyenne 0

sT dans lasection de sortie, les écarts relatifs sont de5.82% et de 1.97% respectivement pour Gr* =103 et 10 (fig.2).IV.2 Influence du rapport rλ de la conductivitéthermique des plaques sur celle de l’air

Fixons Pr= 0.71, H°= 10, re=1, rα=1 et102 ≤ Gr* ≤ 103. Donnons à rλ des valeurscomprises entre 1 et 50.

75

Lorsque rλ augmente de 1 à 20, lestempératures pariétales à l'interface canal/plaque (fig.3,4,5), la température moyenne desortie du canal ainsi que le débit, augmentent.Au contraire, le nombre de Nusselt moyen dansle canal qui traduit l’importance du transfertconvectif de chaleur eu égard au transfertconductif diminue.

Au delà, l’augmentation de rλ influe trèsfaiblement sur les résultats, car la températurepariétale est quasi constante, comme le montrel'évolution en fonction de rλ de l'écart destempératures entre les valeurs maximale etmoyenne à l'interface plaque/canal (tableau 1 ).

Par exemple, pour un thermosiphon àplaques solides, quand rλ passe de 1 à 20, ledébit augmente de 34.50 et 35.72%respectivement pour Gr* = 102 et Gr* = 103

alors que cette augmentation n’est que de 1.47%et 1.71% entre 20 et 50.

V. CONCLUSION

Considérer des plaques constituées d’unmatériau poreux saturé d’air est intéressant car,pour les grandes valeurs de la perméabilité, ellesse comportent comme des enceintes rempliesd’air et, pour les petites valeurs, comme unmatériau solide.

Si l’on veut obtenir des débits de ventilationélevés, il est préférable d’utiliser unthermosiphon assez long et réalisé avec desplaques solides dont la conductivité thermiqueest grande. Les variations entre les débits desthermosiphons à plaques remplies d’air et àplaques solides pour Gr*=103 atteignent 10.5%,mais ne sont que de 2% pour Gr*=102. Pour unthermosiphon à plaques solides, quand rλ passede 1 à 20, le débit augmente de 34.50 et 35.72%respectivement pour Gr*=102 et Gr*=103 alorsque cette augmentation n’est que de 1.47% et1.71% pour rλ variant entre 20 et 50.

Si l’on veut des températures d’air de sortieélevées, il est judicieux d’utiliser lesthermosiphons à plaques remplies d’air oufortement perméables (Da>10-3), notamment auxgrandes valeurs du nombre de Grashof modifié.Les écarts relatifs entre les valeurs de latempérature moyenne dans la section de sortiedu canal correspondant à des plaquesconstituées d’une enveloppe mince remplie d’airet à des plaques solides sont 5.82% et de 1.97%respectivement pour Gr*=103 et Gr*=10.

RÉFÉRENCES

[1] T. BURCH, T. RHODES AN S. ACHARYA :"Laminar natural convection between finitelyconducting vertical plates", Int. J. Heat MassTransfer Vol. 28, n°6, PP. 1173-1186, 1985.

[2] S. H. KIM, N. K. ANAND, AND W. AUNG : "Effectof wall conduction on free convection betweenasymmetrically heated vertical plates: uniform wallheat flux", Int. J. Heat Mass Transfer Vol. 33, n°5,PP.1013-1023, 1990.

[3] J. FLEMING AND M. R. AMIN : "Conjugate naturalconvection in a planar thermosiphon with multipleinlets - I. Velocily and temperature fields", Int. J.Heat Mass Transfer Vol. 39, n°1, PP. 49-59, 1996.

[4] J. FLEMING AND M. R. AMIN : " Conjugate naturalconvection in a planar thermosiphon with multipleinlets - II. Heat transfer", Int. J. Heat Mass TransferVol. 39, n°1, PP. 61-68, 1996.

[5] A. M. DALBERT, F. PENOT, J. L. PEUBE :"Convection naturelle laminaire dans un canalvertical chauffé à flux constant ",Int. J. Heat MassTransfer, Vol. 24, 1463-1473, 1981.

[6] E.M. SPARROW AND J. L. GREGG : " Laminarfree convection from a vertical plate with uniformsurface heat flux ", Transactions of ASME,.435-444,1956.

[7] J. R. BODOU AND J. F. OSTERLE : "Thedevelopment of free convection between heatedvertical plates", Int. J. Heat Mass Transfer, Vol. 84,40-43, 1962.

[8] Y. SEMEGA :"Application des hypothèses de lacouche limite laminaire permanente bidimensionnelleà l'étude numérique des cheminées thermiques",Thèse de Doctorat de l'Université de Nice-SophiaAntipolis, France, juillet 1999.

[9] J. G. GEORGIADIS AND I. CATTON : "Freeconvective motion in an infinite vertical porousslot/the Non-Darcian regime", Int. J. Heat MassTransfer , Vol. 28, 2389-2392, 1985.

NOMENCLATURE

Lettres latines :

oD débit volumique adimensionnel dans le canal ;

ody

1

1

o0u2

1oD ∫

+

−=

Da nombre de Darcy relatif à une plaque du

thermosiphon ; Da= 2mek

e demi-largeur du canal mem épaisseur des plaques du thermosiphon mg accélération de la pesanteur m.s-2

Gr* nombre de Grashof modifié relatif à la demi-largeur

du canal ; Gr*= λ

2ν H

q5

etβ g 2

H hauteur du canal mHo facteur de forme relatif au canal ; Ho= e

H

K perméabilité des plaques m-2

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Nu nombre de Nusselt moyen relatif au canal calculéavec la température moyenne pariétale à l’interface

plaque/canal; Nu= opT1

P pression [N.m-2]

Po pression adimensionnelle ; Po= 2ρν

2)e0P(P−

Pr nombre de Prandlt relatif à l’air ; Pr= αν

q densité pariétale du flux de chaleur [W.m-2]

re épaisseur adimensionnelle des plaques ; re= eme

rα rapport de la diffusivité thermique de la plaque sur

celle de l’air ; rα= αmα

rλ rapport de la conductivité thermique de la plaque sur

celle de l’air ; rλ = λmλ

T température K

T0température adimensionnelle ; T

0 =( 2eq0TT−

)λ

osT température adimensionnelle moyenne dans la section

de sortie du canal ; osT = 2

1 o)dy

o(y

oT∫

opT température moyenne adimensionnelle à l’interface

plaque/canal

u vitesse suivant la coordonnée verticaleo

u valeur adimensionnelle de u ; νeu o

u =

y coordonnée horizontale mo

y coordonnée adimensionnelle horizontale ; eyo

y =

Lettres grecques :

α diffusivité thermique de l’air m2 s-1

αm diffusivité thermique des plaques m2 s-1

βt coefficient d’expansion thermique de l'air [K-1]λ conductivité thermique de l’air [W.m-1.K-1]

mλ conductivité thermique des plaques[W.m-1.K-1]

ρ masse volumique de l’air [Kg.m-3]ν viscosité cinématique de l’air m2 s-1

Indices :

m relatif aux plaquesp relatif à l’interface plaque/canal0 condition d’entrée (ou de référence)

Exposant :

° relatif aux valeurs adimensionnelles

Tableau 1 : Ecarts entre les températures maximale etmoyenne à l’interface canal/plaque en fonction du rapportde conductivité thermique pour Pr = 0.71, H° = 10, re = 1,rα = 1 et Gr* =102.

Type deplaques

Da= 10-1 Da= 10-3 solide

rλ= 1 1.508 10-1 1.107 10-1 1.097 10-1

rλ= 5 0.636 10-1 0.632 10-1 0.631 10-1

rλ= 10 0.328 10-1 0.327 10-1 0.327 10-1

rλ= 20 0.122 10-1 0.123 10-1 0.123 10-1

rλ= 50 0.0213 10-1 0.0214 10-1 0.0214 10-1

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(a)

(b)

(c)

(d)

Figure 1: Variations du débit adimensionnel D° en fonctiondu type de plaques utilisées pour Pr = 0,71, H°=10, re = 1,rα=1 et rλ=1 ( ): droite correspondant à la valeur obtenueavec un thermosiphon à plaques remplies d'air( ): droite correspondant à la valeur obtenueavec un thermosiphon à plaques solides( ): courbe obtenue avec des thermosiphons àplaques poreuses en fonction du nombre de Darcy desplaques a) Gr* = 1, b) Gr* = 10, c) Gr* = 102 et d) Gr* =103

(a)

(b)

(c)

(d)

Figure 2: Variations de la température moyenne dans lasection de sortie du canal en fonction du type de plaquesutilsées, pour Pr = 0,71, H° = 10, re = 1, rα=1 et rλ=1( ): droite correspondant à la valeur obtenue avecun thermosiphon à plaques remplies d'air( ): droite correspondant à la valeur obtenueavec un thermosiphon à plaques solides( ): courbe obtenue avec des thermosiphons àplaques poreuses en fonction du nombre de Darcy desplaques a) Gr* = 1, b) Gr* = 10, c) Gr* = 102 et d) Gr* =103

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Figure 3: Variations de la température àl’interfaceplaque/canal en fonction de l’abscisseadimensionnelle x° pour un thermosiphon à plaques solidespour H° = 10, Pr = 0,71, Gr* = 102, rα=1, re = 1 et pourplusieurs valeurs du rapport de conductivité thermique desplaques

Figure 4 : Variations de la température à l’interfaceplaque/canal en fonction de l’abscisse adimensionnelle x°pour un thermosiphon à plaques solides pour Pr = 0,71, H°= 10, Gr* = 103, rα=1, re = 1 et pour plusieurs valeurs durapport de conductivité thermique des plaques.

Figure 5: Variations de la température à l’interfaceplaque/canal en fonction de l’abscisse adimensionnelle x°pour un thermosiphon à plaques poreuses pour Pr = 0,71,H° = 10, Da = 10-1, Gr* = 102, rα=1, re = 1 et pour plusieursvaleurs du rapport de conductivité thermique des plaques

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