INITIATION PRATIQUE AU CALCUL INTÉGRALCalcul d’aire algébrique - Notion d’intégrale

Intégrale définie

L’intégrale d’une fonction f(x), ou f(t) selon la variable qui définit cette fonction, définie entre deux bornes x1 et x2 (ou t1 et t2) de la variable, est égale à l’aire algébrique (comptée positive si elle est au-dessus de l’axe de la variable, et négative dans le cas contraire) de la surface délimitée par les 2 bornes x1 et x2 entre l’axe d’une part et la courbe de la fonction f(x) d’autre part.On remarque sur la figure 1 qu’en première approximation l’aire hachurée en rouge peut se calculer par l’aire du trapèze:

A f x2 f x1

2 . x2 x1 f x1 moy

. x

l’approximation est d’autant plus fondée que l’écart x entre les 2 bornes x1 et x2 sera faible; en zoomant encore davantage (x2 x1) on se rend compte alors que f(x2) f(x1) et que l’aire A f(x1) . xon va noter dx le petit accroissement x de la variable x à partir de la borne x1; dans ce cas la petite aire hachurée est quasiment celle du rectangle de base dx et de hauteur f(x1);on va noter dA l’aire de la petite surface ainsi obtenue;

si on veut maintenant calculer l’aire d’une grande surface entre 2 bornes éloignées, on va décomposer l’intervalle en un grand nombre de petits trapèzes dont on va calculer les aires en les approximant par des petits rectangles de largeur x dx et de hauteur f(xn), soit:

A f xn x1

x3

. x que l’on notera: A f xnx1

x3

. dx

A s’appelle l’intégrale définie entre x1 et x2 de la fonction f(x) et se lit:Intégrale de x1 à x2 de f(x).dx ou encore Somme de x1 à x2 de f(x).dx

application au calcul de l’aire de l’alternance positive de la sinusoïde (figure1):on calcule l’aire de chaque bandelette de largeur 1 carreau (6°) et de hauteur f(xn) soit A = f(xn) . 6°on remarque qu’au-delà de 180°, A devient négatif et que le cumul décroit.

xn 0 6 12 18 24 30 36

f(xn) 0 10 21 31 41 50 59

aire bandelette 0 60 126 186 246 300 354aire cumulée 0 60 186 372 618 918 1272

xn 42 48 54 60 66 72 78f(xn) 67 74 81 87 91 95 98

aire bandelette402 444 486 522 546 570 588aire cumulée 1674 2118 2604 3126 3672 4242 4830

xn 84 90 96 102 108 114 120

f(xn) 99 100 99 98 95 91 87

aire bandelette594 600 594 588 570 546 522aire cumulée 5424 6024 6618 7206 7776 8322 8844

xn 126 132 138 144 150 156 162

f(xn) 81 74 67 59 50 41 31

aire bandelette486 444 402 354 300 246 186aire cumulée 9332 9776 10178 10532 10832 11078 11264

xn 168 174 180 186 192 198 214

f(xn) 21 10 0 -10 -21 -31 -41

aire bandelette126 60 0 -60 -126 -186 -246aire cumulée11390 11450 11450 11390 11264 11078 10832

l’aire totale de l’alternance positive vaut donc 11450 (valeur cumulée au point x=180°); la valeur moyenne de l’alternance est égale à l’aire divisée par l’intervalle choisi, soit 360°; la valeur moyenne vaut donc: 11450 / 180 = 63,6on sait en électricité que la valeur moyenne d’une alternance se calcule par :Vmoy = 2.Vmax / soit 2.100 / 3,1416 = 63,66

Intégrale indéfinie

L’intégrale indéfinie d’une fonction f(x) correspond au cas où les bornes x1 et x2 ne sont pas spécifiées; dans le cas général on peut définir une fonction F(x) appelée Intégrale indéfinie de f(x) ou encore Primitive de f(x) notée:

F x f x . dx

Bernard PONTALIER INITIATION PRATIQUE AU CALCUL INTÉGRAL p.1/4

l’intégrale définie est alors égale à: A f xx1

x2

. dx F x2 F x1

Remarque: Les fonctions intégrales sont les fonctions inverses des fonctions dérivées.

Bernard PONTALIER INITIATION PRATIQUE AU CALCUL INTÉGRAL p.2/4

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

x1 x2 x3

figure 1

Ce calcul peut être automatisé au moyen d’une feuille de calcul Excel.

A B C D

1

2

3

4

x (°) f(x) f(x) . dx aire cumulée

0 0 0 0

=A2+6 =100*SIN(RADIANS(A3)) =B3*6 =D2+C3

=A3+6 =100*SIN(RADIANS(A4)) =B4*6 =D3+C4

Les courbes ci-dessous représentent l’évolution de la fonction f(x) en bleu et de son intégrale (en mauve) calculée par l’aire cumulée à partir de l’origine (x = 0) jusqu’à x = 360°

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Les initiés reconnaitront aisément dans la courbe mauve la fonction (-cos x) multipliée par un coefficient K qui ici est de l’ordre de 5750 et décalée d’une quantité égale à la même valeur.

La variable x n’étant pas exprimée en radians comme le veut la mathématique, mais en degrés, nous écrirons pour l’expression de la fonction y1 = f(x):

y1 = f(x) = 100 sin 2x

360

la courbe y2 = F(x) représentant l’intégrale calculée de y1 = f(x) s’écrira:

y2 = F(x) = - K cos 2x

360 K avec K = 5750 déduit de la courbe

Les mathématiques nous enseignent que la dérivée de la fonction y2 s’écrit:

y'2 = F'(x) = - - K sin 2x

360 .

2

360

y'2 = 5750 . 2

360 sin 2

x

360 = 100,3 sin 2

x

360 y1 = f(x)

l’erreur commise par l’approximation que nous faisons lorsqu’on assimile l’aire du trapèze à l’aire d’un rectangle est minime (ici 0,3%)

Quelques couples de fonctions Dérivées-Intégrale usuelles

intégrationfonction primitive

dérivationdérivée fonction

f(x) = 0 F(x) = C (constante indéterminée)f(x) = A (constante) F(x) = A.x + C

f(x) = a.x+b F(x) = a.x2 / 2 + b.x + C

f(x) = A.sin(x) F(x) = -A.cos(x) + Cf(x) = A.sin(b.x) F(x) = -(A/b) cos(b.x) + Cf(x) = A.cos(x) F(x) = A.sin(x) + Cf(x) = A.cos(b.x) F(x) = (A/b).sin(b.x) + C

f(x) = A.ex F(x) = A.ex + C

f(x) = A.eb.x F(x) = (A/b).eb.x + C

f(x) = A/x F(x) = A.Ln(x) + Cf(x) = A/b.x F(x) = (A/b).Ln(b.x) + C

remarque: toutes les intégrales sont définies à une constante C près appelée constante d’intégration; la valeur de cette constante dépend des conditions initiales au calcul d’aire; dans l’exemple précédent calculé avec Excel, on a initialisé le calcul d’aire cumulée à zéro en écrivant dans la cellule “D2” la valeur 0; le calcul ci-contre de la fonction intégrale y2 = F(x) pour la valeur initiale (x = 0) donne bien : y2 = -K.cos(0)+K = -K+K = 0

Bernard PONTALIER INITIATION PRATIQUE AU CALCUL INTÉGRAL p.3/4

Travaux pratiques:

Nous allons vérifier à l’aide du tableur-grapheur Excel le bien-fondé des formules mathématiques.

• cas de la fonction afine: f(x) = a x + b

A B C D E

1

2

3

4

5

6

7

paramètres de calcul:paramètres de calcul:

dx = 0,05 pas de calcul a = 0,5

Ao = 0 aire initiale b = 1

x f(x)=ax+b f(x) . dx aire cumulée F(x)

0 =ax+b =B6+dx =Ao =b*x+(a*x^2)/2

=A6+dx =ax+b =B7+dx =D6+C7 =b*x+(a*x^2)/2

on donne le nom “dx” à la cellule B2, le nom “Ao” à la cellule B3, le nom “a” à la cellule E2 et le nom “b” à la cellule E3

F(x) = Intégrale de (a.x + b)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

f(x)=ax+baire cumulée

F(x)

on remarque que les courbes de l’aire cumulée et de la fonction F(x), intégrale de la fonction f(x), sont confondues

• cas de la fonction exponentielle: f(x) = ea.x

A B C D E

1

2

3

4

5

6

7

paramètres de calcul:paramètres de calcul:

dx = 0,05 pas de calcul a = 0,5

Ao = 0 aire initiale

x f(x)=exp(ax) f(x) . dx aire cumulée F(x)

0 =EXP(a*x) =B6+dx =Ao =(1/a)*EXP(a*x)

=A6+dx =EXP(a*x) =B7+dx =D6+C7 =(1/a)*EXP(a*x)

on donne le nom “dx” à la cellule B2, le nom “Ao” à la cellule B3 et le nom “a” à la cellule E2

F(x) = Intégrale de Exponentielle (a.x)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

f(x)=exp(ax)aire cumulée

F(x)

on remarque que les courbes de l’aire cumulée et de la fonction F(x), intégrale de la fonction f(x), sont identiques mais décalées d’une quantité constante C égale à 2 dans cet exemple;

on retrouvera ces exemples dans le fichier Excel “TP calcul intégral.xls” ainsi que ceux le la sinusoïde ou encore de l’hyperbole;

on constate à travers ces exemples que toutes les intégrales sont définies à une constante C près appelée constante d’intégration.

Bernard PONTALIER INITIATION PRATIQUE AU CALCUL INTÉGRAL p.4/4