Licence de Mathematiques. Universite de Rennes IAnalyse reelle et complexe TP No 5.

Integration numerique avec MATLAB

1. Methode de quadrature elementaire

Soit f : [a, b] → R une fonction continue. On rappelle les formules approchees pour l’integrale∫ b

af(x)dx. Pour cela, on choisit d’abord une subdivision

a = a0 < a1 < · · · < an = b.

de l’intervalle [a, b]. La formule de Chasles donne∫ b

a

f(x)dx =

n−1∑i=0

∫ ai+1

ai

f(x)dx.

On est donc ramene au probleme d’evaluer l’integrale de f sur un petit intervalle [ai, ai+1]. Ce calculest effectue au moyen de formules approchees (qui peuvent etre a priori differentes sur chacun desintervalles [ai, ai+1]), appelees methodes de quadrature.- Methodes de quadrature elementaires:

∫ b

a

f(x)dx ≃n−1∑i=0

(ai+1 − ai)f(ξi), ξi ∈ [ai, ai+1].

• ξi = ai methode des rectangles a gauche.• ξi = ai+1 methode des rectangles a droite.

• ξi =ai+1+ai

2methode du point milieu.

Exercice 1. Ecrire un programme qui approche l’integrale d’une fonction sur un intervalle [a, b]en utilisant chacune des methodes ci-dessus.

- Methodes de quadrature composees:

∫ b

a

f(x)dx ≃n−1∑i=0

(ai+1 − ai)

li∑j=0

ωi,jf(ξi,j), ξi,j ∈ [ai, ai+1].

• Si on prend li = 1, ξi,0 = ai, ξi,1 = ai+1 et ωi,j = 1/2 on obtient la methode dite des trapezes.• La methodes de Simpson correspond a:

li = 2, ξi,j = ai + jai+1 − ai

2, where ωi,0 = ωi,2 = 1/6, ωi,1 = 2/3

Exercice 2. Reprendre l’exercice 1 avec la methode des trapezes et de Simpson. Comparer lesresultats sur des exemples concrets.

La fonction de MATLAB trapz(x,y) approche l’integrale de y par rapport a x en utilisant lamethode de trapeze.

Exercice 3.

(a) Utiliser la commande trapz(x,y) pour approcher la valeur de l’integrale∫ e

1

1

xdx. Comparer avec

la valeur exacte, calculer la taille de l’erreur pour des maillages avec 4, 16, 64 points.(b) Refaire (a), mais en remplacant la methode des trapezes par la methode des rectangles a gauche.

I

II

MATLAB possede deux autres fonction pour integration numerique a savoir quad et quadL basesur des methode de quadrature adaptee permettant de considerer des fonctions presentant desirregularites. La description de ces deux commandes peut-etre obtenu avec help.

Exercice 4. En utilisant les fonctions quad et quadL avec tolerance standard, evaluer l’integrale

f(x) =

∫ 4

1

√x dx

2. Decomposition orthogonale dans L2(−1, 1)

On considere l’integrale suivante

f(t) =

∫ t

0

e−x2

dx

utilisee en diverses applications numeriques.

Exercice 5.

(a) Calculer (theoriquement) la limite de f(t) quand t tend vers +∞.(b) Calculer (numeriquement) f(1) en utilisant les commandes matlab trapz et quad.

(c) En utilisant le developpement en serie entiere de e−x2

, construire des polynomes qui ap-prochent f(t).

(d) En evaluant ces polynomes en t, on obtient une approximation de f(t). Ecrire un programmequi dessine un graphe avec les 10 premieres approximations a la fonction f sur l’intervalle [0, 2].

Les polynomes de Legendre sont definies par

Pn(x) =

N∑k=0

(−1)k(2n − 2k)!

2n(n− k)!(n − 2k)!xn−2k

ou N = n/2 si n est pair et N = (n − 1)/2 si n est impair. La famille (Pn)n∈N est une baseorthogonale de l’espace L2(−1, 1). On rappelle la formule∫

1

−1

Pn(x)Pm(x)dx = δn,m ·2

2n+ 1.

Le polynome Pn est la fonction de Legendre de degre n et d’ordre 0. Pour un vecteur ligne x, lacommande MATLAB legendre(n,x) evalue les fonctions de Legendre de degre n et d’ordre 0, . . . , nen x. Pour connaitre les valeurs du polynome Pn en x, il suffit donc de regarder la premiere lignede la matrice legendre(n,x).

Exercice 6.

La fonction x ∈ [−1, 1] 7→ e−x2

possede une decomposition par rapport a la famille (Pn)n∈N despolynomes de Legendre dans L2(−1, 1). Evaluer numeriquement les coefficients

Bn =2n+ 1

2

∫1

−1

Pn(x)e−x2

dx.

de cette decomposition pour n = 1, . . . , 10, en utilisant la commande trapz. Dessiner la fonction∑10

n=1Bn · Pn(x) et comparer avec e−x2

.

A rendre : Vos programmes pour les Exercices 3, 5(b), 5(d), 6.