Interactions dans une chaîne de sphères ou de cavités alignées. Plasmons de surface et énergie de Van der Waals

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Interactions dans une chaine de spheres ou de cavites alignees. Plasmons de surface et energie de Van der Waals A. RONVEAUX, A. MOUSSIAUX ETA. A. LUCAS Dipurtemct~t de Physiclire, FtrcirltPs Utliversitnires Notre-Dcime de lo P a i , ~ , 61, rue de Brlr.~elles, B-5000 Nlrt?llrr, Belgiqlre R e ~ u le 2 mars 1977 Les modes propres d'oscillation des plasmons de surface d'un nombre quelconque de spheres ou de cavites sphtriques alignees sont donnees par un developpement en strie de puissance du rapport rayon-distance. L'Cnergie de Van der Wads est calculte en prernit1.e approximation pour une chaine quelconque et en seconde approximation pour un ensemble de deux trous ou de deux spheres. L'erreur commise en ne gardant que I'interaction des proches voisins est analysie en dttail ainsi que les bandes de la chaine infinie dans I'npproximation proche voisin. The eigenmodes of surface plasmon oscillation for an arbitrary number of aligned spheres or spherical cavities are given by a power series of the radius-distance ratio. The Van der Waals energy is calculated in first approximation for an arbitrary chain, and in second approximation for an array of two holes and two spheres. The error due to the neglect of all interactions except that between nearest neighbors is analysed in detail together with the bands of the infinite chain in the nearest neighbor approxima- tion. Can. J . Phys.,55, 1407(1977) [Journal translation] 1. Introduction L'Cnergie d'interaction entre petites parti- cules ou petites cavitts prCsente un inttr&t thCori- que et pratique considtrables. P a h i ces inter- actions, les forces de Van der Waals jouent un r6le important a courte distance: 'Malheureuse- ment, on ne dispose que de rtsultats fort frag- mentaires sur I'intensitt de ces forces entre solides ou cavitts microscopiques bien que le formalisme gCnCral ait Ctt longuement ttudit (Langbein 1973). L'objet du prtsent travail est d'examiner en dttail le cas d'une chaine lintaire de sphkres ou de cavitts sphtriques de longueur arbitraire. Ce cas se rencontre notamment dans les mttaux soumis B certains traitements thermomCcaniques ou aux radiations ionisantes qui peuvent provo- quer I'apparition de chapelets rectilignes e t quel- quefois m&me de rtseaux tridimensionnels de cavitis (Vook 1975). Dans I'ttude des interactions de Van der Waals entre sphkres, nous adoptons le point de vue de London - Lifshitz - Van Kampen d'apris lequel la cohision est due B la modification de l'tnergie de point-zCro des modes propres d'oscil- lations ClectromagnCtiques du plasma Clectron- ion autour des surfaces. Le problkme est donc de calculer les frkquences propres d'oscillations superficielles de plasma en fonction du rayon R et de la distance D des sphkres (Lifschitz 1955). Le travail est agenct de la faqon suivante: la sect. 2 prtsente en toutes gCnCralitCs, le probleme mathtmatique caractkrisant les modes de plas- mons de surfaces de particules ou cavitts quel- conques dans I'hypothkse de l'absence de retard. La section 3 dtveloppe en dttail le cas de N spheres aligntes et l'tquation caracteristique cor- respondante est dtduite dans la sect. 4. Les modes propres d'une chaine de N spheres ou cavitts sphtriques sont dtvelopptes en strie par rapport au paramktre s = RID dans la sect. 5 et les propriktts de ces modes sont examintes dans la sect. 6 (Botron et Censier 1975-1976). Le cas particulikrement important de deux sphkres et deux cavitts est Ctudit en grand dttail dans la sect. 7 dans laquelle on donne une ap- proximation d'ordre supkrieur sur les modes propres (Adam et Seghers 1975-1 976; Ronveaux et 01. 1975). La section 8 donne les interactions de Van der Waals au premier ordre pour la chaine finie et infinie et les interactions au second ordre pour les paires de sphkres ou voids. Les difftrents rtsultats sont enfin rtsumts et analysts dans la sect. 9. 2. Formulation mathCmatique Les modes propres des oscillations tlectro- magnktiques de surface dans une gtomttrie quel- conque s'obtiennent en rtsolvant le probleme Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 11/14/14For personal use only.1408 CAN. J. PHYS. VOL. 5 5 . 1977 inathimatique suivant (Lucas et at. 1975): soit V(r) ei"' le potentiel instantank au point r. causC par les charges dCposCes par l'oscillation du plasma electronique sur les surfaces de dpara- tion. Ntgligeant le retard, le potentiel V(r) satisfait: ( I ) lyCquation de Laplace V2V(r.) = 0 hors des surfaces; (2) des conditions de regu- larite: V(r) born6 et nu1 a I'infini; (3) V(v) continu a la traversCe de chaque surface; (4) a vIN/an = h avoUT/an ou a/an est la dCrivCe normale A chacune des surfaces et h est une constante a dkterminer. Ces conditions dCfinissent un probltme aux valeurs propres pour la constante h. Lorsque toutes les surfaces sont situCes a distances finies, le spectre {h) est discret. La constante hest Cgale 2 la constante diklectrique ~ ( o ) ou &-'(a) selon la situation choisie: h = &(a) si les rigions intkrieures sont des cavitCs vides (voids): h = &-'(a) si les rCgions extkrieures sont vides (&OUT = 1). Le spectre (1) est reliC aux modes propres des oscillations ClectromagnCtiques de surface par "I'Cquation d'Ctat" du modele: l'exemple que nous considkrons en dCtail est celui du plasma Clectronique des mCtaux dits simples pour les- quels la constante diklectrique est: ou o, est la friquence classique du plasma, n et In reprisentent respectivement la densit6 tlectroni- que et la masse de 1'Clectron. I1 rCsulte de cette dCpendance fonctionnelle en w que les modes ov et op correspondant aux gComCtries complB mentaires ou voids (a,) et pleins (a,) sont CchangCs, sont reliCs par la relation fondamen- tale suivante (E + E-I). Les conditions (3) et (4) sont les conditions habituelles de 1'ClectromagnCtisme. La condition (3) est Cquivalente a la condition de continuit6 du champ Clectrique tangentiel E,IN = E P ~ ~ . La condition (4) traduit la continuitt de la com- posante normale de l'induction D = &(o)E. 3. Solution g6nCrale pour N sph6res alignCes RCsolvons le probleme prCcCdent lorsque les surfaces de sCparation sont constituCes de N spheres alignCes (axe z). Soient Ri le rayon de la ieme sphere et Di la distance entre les centres des spheres i et i + 1. Soient ri, 0,, +i les coordonnCes spheriques habituelles d'un point P par rapport B I'origine de la ieme sphere. A I'intkrieur de la ieme sphere, le potentiel rCgulier B I'origine s'Ccrit sous for~ne gCnCrale (Morse et Feshbach 1953): Nous utilisons les harmoniques sphCriques paires (e) et impaires (0) dCfinies explicitement par: cos m+i ~ ~ ( ~ ) " ' ( ~ ' ( 0 ~ , +i) = Pl"'(c0s Oi) sin m+i Les relations d'orghonalitCs s'tcrivent alors: A I'extCrieur de toutes les spheres la solution gCnCrale pour le potentiel (nu1 a I'infini) s'Ccrit: Par suite de l'alignement des centres sur l'axe z, il est Cvident que 4, = 4, = ... +,, = +. Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 11/14/14For personal use only.RONVEAUX E T AL. ( I ) Conditions aux limites (a) La conditions de continuite du potentiel B la surface de la s p h i r e j s'Ccrit: Les harmoniques sphCriques Y 1 ~ O ~ m ( c ) ( O j , k , +) peuvent s7Ccrirent en fonction des Y l ~ , ~ l " ( c ) ( O j , +) utilisant le thkorime d'addition des harmoniques sphkrique (Robin 1957) Les relations d'orthogonalitC pour les composantes paires et le theoreme d'addition transforme I'Cquation de continuit6 du potentiel en la relation suivante: 03 (- l)l-lllr ( 1 + l ' ) ! Rjl ' + i=$+, lz,f c 1 1 7 1 , ( 1 - m l ) ! (ml + l l ) ! ( d j , i ) l + r r + i Utilisant les relations d'orthogonalite pour les composantes impaires, on obtient de la meme f a ~ o n une relation identique entre les constantes Blfl,, , i et D,,,, , . j . (b) La continuit6 de la composante normale de l'induction: donne la relation suivante : (c) L'tlimination des constantes AllI j entre les relations [9] et [ l l ] donne un systime homogene d'tquation lineaire pour les variables rkduites . Cll1," Xlll,' = -qr E j l + ( I + 1 ) ~ 2 1 + 1 E - E j = ( m + l ) ! (5) Dj [MjI,, + Nj1,I Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 11/14/14For personal use only.1410 CAN. J . PHYS. VOL. 55, 1977 I j - I a, ( k + I ) ! D ~ ~ + ' D ; Mjl,,, = C 2 xk,,li(-l)l-lll-- i = l ~ = I I I (Ic - rn)! (d j , i )a+l+l i = N m Nil,,, = 2 x i ( - l )k- l ' l ( k + I ) ! D ~ ~ + ~ D ~ ~ k~rl i = j + l L = I I , (Ic - rn)! ( d J + l + l pour j = 1,2, . . . , N. I 4. Notations matricielles Lorsque les N sphhres sont Cgales Rl = R, = R , = R et tquidistantes D = D l = D , - , , le syst6me infini d'Cquation 13 peut s'kcrire aisknlent sous la forine inatricielle suivante, utilisant pour simplifier les notations: akll'r = ( - I ) ~ - " ~ ( / C + l ) ! l . bki"l = (- l ) i - l ' l ( / ~ -. + 1 ) ! / R =- ( k - r n ) ! ( r ~ + ] ) ! I ' (lc - I I I ) ! ( I I I + 1 ) ! 1 ' D Le tableau 1 lnontre la structure dc la lnatrice composke de N2 blocs de dimension infinie. Le tableau 2 donne l'kquation caractkristique obtenue B partir de la table 1 en kchangeant une infinitk de lignes. Chaque bloc contient maintenant la mCmc puissailce de s. 5. Modes propres ( I ) Approxitnation de I'hq~tntioti caractkristiq~re En premiere approximation, nous pouvons nkgliger dans le tableau 2 les terines de degre supkrieur B 2171 + 1. Le tableau 3 donne le dkterminant ainsi obtenu. La rkgle des mineurs appliquke une infinit6 de fois donne: ou A est la matrice de dimension N par N. ( 2 ) Correction du premier ordre pour. Ies rnodes o,,,,,,, Lorsque les constantes diklectriques des cavitCs sphkriques sont Cgales E, = E, = ... E,, le probleme se simplifie en utilisant les notations suivantes: L7Cquation aux valeurs propres devient dtm (tns2"'+ ' M - AE) = 0 Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 11/14/14For personal use only.R O N V E A U X ET AL Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 11/14/14For personal use only.CAN. I. PHYS. VOL. 5 5 , 1977 Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 11/14/14For personal use only.avec : RONVEAUX ET AL. ou plus simplement: dtm (M - h'E) = 0 avec: Le systeme des Nspheres est maintenant invariant sous le groupe des rCflexions par rapport au plan de symCtrie nature1 du systeme. Les modes peu- vent donc 2tre classts suivant leur caractere symitrique ou antisymktrique. Le problkme aux valeurs propres initial de dimension N est donc rCduit i une probleme de dimensions N/2 ou (N - 1)/2 selon la paritk de N. Lorsque N est pair (2n) les valeurs propres de la matrice M Ccrite sous la forme [t i] cob- cident avec celle des matrices A & BT ou T est 170pCrateur de rkflexion Lorsque N est impair (2n + 1) les valeurs propres de M coincident avec celles de deux matrices A - BT et A' + B'T par un dtcoupage approprii de la matrice M. A - BT donne les n modes symktriques et A' + B'T donnent les n + 1 modes antisymktriques. Les valeurs propres A' sont donnCes numC- riquement dans le tableau 4 lorsque le nombre de spheres Nest infCrieur ou Cgal a 5. Les modes propres (m, m) des plasmons de surfaces autour de NcavitCs sphkriques identiques et Cquidistantes sont donc au premier ordre: ( E ~ = 1, E = 1 - op2/02) On constate qd'il n'y a aucune correction au mode monoplaire (m = 0) du trou sphkrique is016 (Lucas et al. 1975). Ces m2mes coefficients hf(m) donnent Cgale- ment les modes propres (m, m) de N spheres identiques et Cquidistants: (E = 1, E~ = 1 - op2/w2) : Les figures 1 et 2 donnent les modes o,,,,,,, pour les trous et spheres en fonctions de s (correction du premier ordre seulement). (3) Correction du premier ordre pour les modes o 1 . m Les puissances ti garder dans le tableau 1 s'kchelonnent maintenant de s2"+ ' a s2'+'. Im- posant A nouveau pour chaque k, m + 1 5 k I I, une dipendance k + (k + 1 ) ~ = XsZk+', et simplifiant dans le determinant du tableau 2 N lignes par s2"+', on obtient, appliquant A nouveau la r6gle des mineurs, la matrice de la tableau 2. Par suite de I'tgalitk des coeffi- cients a,'~" et b,',", tous deux Cgaux A [(-I)'-" 1(21)!]/[(1 - m)!(l + m)!], et apparaissant dans chaque terme, ce coefficient s'incorpore dans la valeur propre. La matrice [18] est la seule matrice a diagonaliser pour trouver tous les modes de N sphBres (au premier ordre). Les valeurs propres (1,m) different des valeurs propres (m, m) dans les rapports a ' I n (- 1)'-~"(21)! 1- all1 (1 - m)!(l + m)! 6. PropriCtCs des modes des voids et des sphbres ( 1 ) Rggle de sornme La matrice [IS] Ctant de trace nulle, on dCduit Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 11/14/14For personal use only.CAN. J . PHYS. VOL. 55 , 1977 TABLEAU 4 kn - 2 cos -- N + l h' immtdiatement Ch' = 0 pour chaque mode. Au premier ordre le centre de gravitC du carrC des modes ou des modes eux-mEmes reste donc in- change. Cette propriCtC gtnCralise pour N voids ou spheres la propriCtC connue lorsque N = 2(h = f I). (2) Cotnparaisotz des modes a, et o , , Les modes (1, 1) des N trous s'kcrivent: Les inodes (l,O), tenant compte du facteur 2 dans les valeurs propres (I = m + 1 = 1) La correction au premier ordre de chaque mode (1, 0) (modes invariant par rotation autour de I'axe des centres) est double de la correction de chaque mode (1, 1). La propriCtC est bien connue lorsque N = 2 pour des spheres (London 1930) et pour des voids (Lucas et al. 1975). (3) InfEuence des interactions des splzdres uoisines Lorsque dans les conditions aux limites, la sommation ne s'ktend pas h toute la chaine mais est tronqute aprts k termes, les 2k spheres en- tourant la sphere j modifient seules les modes de la sphere j. La troncature (C,,,,' = 0, i > j + k) revient B garder dans la matrice M les 2k quasi diagonales entourant les diagonales principales. Dans le cas important ou l'on ne considere que les premiers voisins (k = 1) la matrice tri- diagonale se diagonalise aisCment quelque soit N (DerwiduC 1957). Le calcul montre alors que dans cette approximation, les valeurs propres pour tout m sont a remplacer par - 2 cos kn/(N + I), k = 1, ... , N. Le tableau 4 donne la comparaison entre les h' et les valeurs propres dans l'approximation simple voisin. (4) Bande de la clzaitie infitlie dans l'appt-oxima- tion des premiers voisitzs Dans cette approximation, les modes des trous d'une chaine finie s'tcrivent: kn S2a1+ 1 x cos - , (k = 1, ... N + 1 Lorsque la chaine devient infinie, les carrCs des modes (m, m) se localisent dans une bande de largeur 4m/(2m + ~ ) ( R / D ) ~ centrCe sur le mode du trou isolt. Cette largeur est double du splitting occasionne par deux trous. Dans le cas gCnCral (1, 177) par suite du rem- placement de h' par h' a,'"'/alH les bandes cen- trtes autour du mode du trou is016 sont de lar- geur : Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 11/14/14For personal use only.RONVEAUX ET AL. 41 (2 1) ! 3 7. Cas particulier: N= 2 1261 m ( 1 - m ) ! ( l + m ) ! ( g ) Lorsque le probleme se rCduit A deux spheres ou deux cavids, 1'Climination des constantes et Pour la bande la plus large est de type 1,s calculs peuvent &tre conduits beaucoup plus ( I , 0) et la plus Ctroite de type (11). loin. Les deux relations [9] et [ lo] ne contien- ( 5 ) Cornparaison des voids et des sphzres nent plus que deux types de constantes c,,,,' et Un facteur 2 apparait A nouveau lorsque l'on CltnIT2. I1 est donc possible de poursuivre 1'Cli- compare les modes (1, 1) des spheres et des trous mination d'une des constantes CltII2 par exemple (m/(m + I ) + 1) ainsi que les modes (1, 0). sous la forme: S s 0 I I 1 I I - 0 I I 1 1 - 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 FIG. I . Modes d'une chaine a N termes (N = 2, 3). Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 11/14/14For personal use only.CAN. J. PHYS. VOL. 55, 1977 Y = (-) s = R,D T - trou S - sphere FIG. 2. Modes d'une chaine B N terrnes (N = 4, 5). 2 (- l)'-'"(E - E2)1 CkIll1(k + l)! C'"' = [IE, + ~ ( l + I)](, + m ) ! ~ " ' z,, (k - m)!Dk R 2 2 ' + 1 ou djSj-, = Dj-, = D distance entre les deux centres. (L'Climination utilise dans ce choix le 2eme theoreme d'addition 7 avec j = 2 et k = 1.) Le remplacement de C,l,12 dans l'autre equation donne pour chaque m, un systeme infini d7Cquations linCaires et homogenes pour les CjIll1 dont le dCtermi- nant CgalC A zCro donne l'tquation caracttristique. Les tltments de matrices s'ecrivent de f a ~ o n gCnCrale : Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 11/14/14For personal use only.RONVEAUX ET AL = k(k + l)!(k + j)!l (k - m)!(k + m)! ( j - m)!(l + m)! avec ~ 2 9 1 al jk( l l~) = kl(k + l)!(j + k)! (Ic - m)!(k + m)!(j - m)!(l + m)! Les m systimes infinis d'kquation linkaire s'kcrivent maintenant ou par la suite de la dkfinition des polynomes de Legecdre associks P,"' (cos 0) les indices varient dans les domaines suivants : La tableau 5, donne les coefficients a,;("') et les tableaux 6, 7 et 8 les kquations caractkristiques dans les cas m = 0, m = 1 et m = 2 pour deux cavitks kgales (st = s2 = s). ( I ) Correction du premier ordre pour les modes o,,,,, Lorsque les deux cavitks identiques sont infiniment kloignkes (s -t 0) on vtrifie immkdiatement que le dkterminant (diagonal) se rkduit B zkro pour E = -1/(1 + 1) qui sont les solutions exactes pour une sphire isolke (Lucas et al. 1975). L'ordre le plus bas dans chaque dkterminant provient du terme k = 1 dans la sommation des termes diagonaux: Les valeurs propres aux premiers ordres sont donc: (21)! s21+ 1 1 + 1 ( 1 - m)!(l + m)! I Les modes propres des plasmons de surfaces autour des deux cavitks sont donc donnks par: et autour de deux sphires: Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 11/14/14For personal use only.TABLEAU 6. Les equations caracteristiques dans les cas ti1 = 0 pour deux cavites e'gales j TABLEAU 7. Les tquations caracteristiques dans les cas 117 = 1 pour deux cavites egales j Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 11/14/14For personal use only.R O N V E A U X ET AL. 1419 On vkrifie immkdiatement que: ( I ) lorsque I = nz on obtient les corrections Ctablies prkcideinment dans le cas des N cavitCs (h'(m) = f l ) , ( 2 ) on obtient a nouveau les rksultats prCvus dans le cas N = 2. ( 2 ) C01.1.ectio17~ du seco~~dordrepour. les nzodes o f+ , ,, La correction suivante fait intervenir des termes non diagonaux des diffkrents determinants. De f a ~ o n gCnkrale, les determinants 2 par 2 pour chaque nz s'kcrivent apres dCveloppements: La correction est ensuite kcrite sous la forme: Apres reinplacelnent et gardant les termes les plus bas, on montre que N = 41 + 4 et on calcule ensuite les diffkrentes valeurs de X ( I = nz, 1 = nz + 1). Les equations 37 et 38 donne pour les deux cavitks les modes au second ordre. Modes m, m Modes m + 1, in 2(nz + 1)(2n7 + 3) 2 , , , + 3 m(2w + 1)(2n1 + 3)' s4,.+4 E m + ~ , n l = - - (nz + 2) + m + 2 (nz + 2) C381 in + 2 Xrn + l l 2 s2f,1+3 - m(nz + I ) ( 2 n 1 + I ) (2rn + 3, s4m+4\ ( m + 2) ( m + 2) / 8. Energie de Van der Waals 1' 3 / 1 ) N cauitks correctiorz ( 1 ~ 1 premier ordre 1401 (%)1 ,1 = & ( I - 7 s , , La connaissance des modes propres des plasn~ons de surface permet de calculer l'knergie d'interaction de Van der Waals par I'intermC- diaire de la relation de Van Kampen (Van et Kampen et al. 1968). h' C411 (CAN. J. PHYS. VOL. 55. 1977 W W W h h h - - - p + y + ; + ' y ' y : y + + - + * * a - A A N N N - - - - 4 . z N C, N a " & - : La somme Chi2 est donnte par la trace de la matrice M2 qui Ctait syniCtrique s'kcrit: Sommant le long des quasi-diagonales on obtient : ou encore: Lorsque la cliaine est infinie, les soinrnes prCcC- dentes solit donnCes par la fonction Zeta de Riemman (Abramowitz et Stegun 1965) D'autre part, l'approximation des premiers voi- sins donne: L'Cnergie d'interaction est donc d a m cette ap- proxiniation N - 1 fois l'energie d'interaction entre deux cavitts (additivite des interactions de paires). L'erreur commise en nCgligeant l'interaction des voisins autre que les deux plus proches (Ccart h l'additivitt) est donc pour la cliaine infinie: ou BG est le nombre de Bernoulli d'ordre 6 = 1/42. NumCriquement, l'erreur est donc de l'ordre de 17%. Le tableau 9 permet de chiffrer ]'influence de N sur 1'Cnergie d'interaction ainsi que l'erreur commise lors de l'approximation proche voisin. Le cas N = 2 redonne 1'Cnergie d'interaction: dCjA calculte A partir des modes obtenus en co- ordonnies bisphCriques. Le m&me calcul pour les N sph6res donne, etant donnC le facteur 2 dans la correctioll de chaque mode: Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 11/14/14For personal use only.RONVEAUX ET AL. TABLEAU 9" [50] WS(D) = - 2' z h i t 2 s 6 TABLEAU 10. Valeurs de (w/wp),,, en fonction de s (voids) Le rapport Cnergie d'interaction voids et sphtre est donc (pour les termes dominants): 1 ole, 151 1 WS(D)/ Wv(D) = 2 4 2 1 (+{I T ~ ~ ~ - ~ s ~ + ~ s ~ T ~ 1 1 27 9 Le rapport, dCjB obtenu en coordonnkes bisphi- 16' } riques, est donc maintenant i~zdkpendant de N. 2 (2) De~rx cauitks correction du s e c o ~ ~ d ordre L'analyse prCcCdente montre que seuls les modes (1, 1) et (1, 0) contribuent dans le premier terme de l'interaction de Van der Waals (modes en s3). Les carrCs des modes (1, 1) et (2, 1) con- tiennent des corrections en s8 au second ordre mais les modes (1, 0) et (2, 0) contiennent Cgale- ment des ternles en s8 dans la correction du troisitme ordre que l'on obtient comme prtct- demment par la technique des coefficients indC- terminks. Les tableaux 10 et 11 donnent pour les voids et pour les sphtres, le dkveloppement des pre- miers modes. L'Cnergie d'interaction de Van der Waals s'Ccrit alors jusque l'ordre 8. et pour les sphGres, en accord avec les rtsultats de Brako et al. (1976) 1 1 9 1 &{I T J S 3 - E s 6 + i s 8 T & s 9 ) 3 (;{lT%s7} 9 2 3s5 - - s t ' + 25s") 2 8 1 3 &{l 9s5 - s1 - 105.~") Le rapport des deux energies s'Ccrit ensuite: [I - 2.26s' + 0(s4)] [54] --- =- W,(D) 2$ Dans des situations gComCtriques et physiques identiques, 1'Cnergie d'interaction est moins grande entre trous qu'entre sphGres. Le risultat Wv(D) donnC par [52], est en dksaccord avec Mukhopadhuyay et Lundwvist (1975). 9. RCsultats et conclusions [53] Wp(D) = hwp[- ads6 L'interaction de Van der Waals dans une chaine de spheres ou de cavitCs sphiriques a Ctt - 15 ($ - 4:) s s ] analyske sour un double aspect: (a) Calcul des modes propres d'oscillations des plasmons de Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by CONCORDIA UNIV on 11/14/14For personal use only.1422 CAN. J. PHYS. VOL. 55, 1977 TABLEAU 11. Valeurs de (o/o,),,, en fonction de s (spheres) surface; (b) Energie de Van der Waals de la chaine. (a) L'tquation caracttristique donnant les modes propres est donnte en toute gtntralitt et contient donc toutes les composantes multi- polaires de chaque mode compte-tenu de tous les voisins. Les calculs prtctdents montrent que: ( I ) le mode monopolaire du trou isolt ne subit aucune correction par suite de la prtsence des autres trous de la chaine quelle que soit la proximitt de ceux-ci (woo = w,). (2) La premiere correction pour le multipole caracttrist par ( I , m) est en aussi bien pour les sph6res que pour les trous. ( 3 ) L'approximation proche voisin conduit a une erreur pouvant ttre considtrable pour les premiers multipoles, mais qui tend vers ztro lorsque l'ordre multipolaire augmente (tableau 4). (4) La chaine de sph2res.o~ cavitts se comporte comme la paire de mtme type en ce qui concerne: la r6gle de somme relative aux corrections du premier ordre; le facteur 2 dans la cornparaison des modes (1, 0) et (1, 1); le facteur 2 dans les corrections des modes (1, 0) ou (1, 1) des spheres et des cavitts. (5) La correc- tion du second ordre pour le carrt des modes est au moins en (b) L'tnergie de Van der Waals est donnte en premiere approximation pour un nombre quel- conque de spheres ou cavitts et en seconde ap- proximation pour la paire. Les rtsultats mon- trent que: ( I ) le rapport 2 3 entre les inter- actions des spheres et les interactions des trous est indtpendant de N; (2) I'erreur commise en ntgligeant les voisins autres que les plus proches est ntgligeable ttant plus petite que 27, en valeur relative. ( c ) LYinttr&t des dtveloppements analytiques prtctdents rtside notamment dans la perspective d'application au cas de particules ou voids a courtes distances pour l&quelles l'interaction de Van der Waals devien compttitive avec les autres mtcanismes d'interaction. Cet aspect du probleme est particulikrement important pour la description des processus de nucltation, croissance, agglomtration et ordonancement des voids. Remerciements Les auteurs se font un plaisir de remercier Mesdemoiselles Marie-Paule Adam, Arlette Botron, Maggy Censier et Chantal Seghers, ttudiantes au dtpartement de mathtmatique, pour leur participation importante aux nombreux dtveloppements analytiques. ABRAMOWITZ, M. et STEGUN, I. A. 1965. Handbook of mathematical functions. Dover Publ., Inc., New York, NY. ADAM, M. P. et SEGHERS, CH. 1975-1976. Memoire de licence en mathematiques. FacultCs Universitaires Notre-Dame de la Paix, Namur, Belgique. BOTRON, A. et CENSIER, M. 1975-1976. Memoire de li- cence en mathematiques. Facultes Universitaires Notre-Dame de la Paix, Namur, Belgique. BRAKO, R., SUNJIC, M. et SIPS, V. 1976. Institute "Rudger Boskovic", Zagreb. Publication interne. DERWIDUE, L . 1957. Introduction a I'aigebre superieure et au calcul numknque algebrique. Masson, Pans, France. LANGBEIN, D. 1973. J. Phys. A, 6, 1149. LIFSCHITZ, M. 1955. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 29, 94. Engl. transl. 1956. Sov. Phys. JETP, 2,73. LUCAS, A. A . , RONVEAUX, A,, SCHMEITZ, M. et DE- LANAYE, G. 1975. Phys. Rev. B, 12, 12. MORSE, P. M. et FESHBACH, H. 1953. Methods of theoreti- cal physics. McGraw-Hill, New York, NY. MUKHOPADHUYAY, G. et LUNDWVIST, S. 1975. Solid State Commun. 17,949. ROBIN, L . 1957. Fonctions spheriques de Legendre et fonctions sphero'idales. Gauthier-Villars, Paris, France. RONVEAUX, A., LUCAS, A. A., SCHMEITZ, M. et DE- LANAYE, F . 1975. Phys. Lett. A, 54,4. VAN KAMPEN, N . G., NIJBOER, B. R. A. et SCHRAM, K. 1968. Phys. Lett. A, 26,30. VOOK, F. L. 1975. 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