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Éric Thiébaut – Bordeaux, 19/04/2012 41 Interférométrie stellaire et tomographie médicale interférométrie astronomique faire interférer des télescopes distants résolution angulaire ~ 0.001 seconde d'arc (5×10 -9 rd) couverture parcimonieuse des fréquences spatiales tomographie médicale mesures de projections d'un objet 3-D analogue à mesure de coupes dans le plan de Fourier méthode de reconstruction nécessaire

Interférométrie stellaire et tomographie médicalespi.labri.fr/sites/default/files/PI-Thiebaut2.pdf · É r i c T h i é b a u t – B o r d e a u x, 1 9 / 0 4 / 2 0 1 2 43 Principe

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Interférométrie stellaire et tomographie médicale

●interférométrie astronomique

– faire interférer des télescopes

distants

– résolution angulaire ~ 0.001 seconde

d'arc (5×10-9 rd)

– couverture parcimonieuse des

fréquences spatiales

●tomographie médicale

– mesures de projections d'un objet 3-D

– analogue à mesure de coupes dans le

plan de Fourier

●méthode de reconstruction nécessaire

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Interférométrie optique

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Principe de l'interférométrie optique

V 1,2t = I 1,2 T 1∗t T 2t

mesure = visibilité complexe instantanée :

transformée de Fourier de la

distribution d'intensité de l'objet

fonctions de transfert de l'amplitude

complexe des télescopes

longueur d'onde

base projetée (B)

1,2 =r2−r1

fréquence spatiale :

instrument

couverture du plan (u,v)

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Réponse impulsionnelle brute, couverture (u,v)

(u,v) coverage for Arcturusfréquences spatiales observées

réponse impulsionnelle brute

objet : α Boo (Arcturus)

IOTA/IONIC interferometer

source : S. Lacour et al. (2007)

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Le problème de la turbulence

T k t = ei k t

(après calibration

photométrique)

fonction de transfert d'amplitude complexe :

déphase aléatoire : k t =2 k t

⟨V 1,2t ⟩ = I 1,2 ⟨T 1∗t T 2 t ⟩ = 0

0

V 1,2t = I 1,2 T 1∗t T 2t mesure de visibilité complexe instantanée :

il faut trouver des estimateurs non-linéairesinsensibles à la turbulence

temps de cohérence de la turbulence ~ 1 ms

en intégrant pendant une pause :

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Mesures eninterférométrie optique

V j , k t = I j , k T j

∗t T k t

T k t = ei k t

⟨V 1,2t ⟩ = I 1,2 ⟨T 1∗t T 2 t ⟩ = 0

visibilité complexe instantanée :

bispectre :

⟨V 1,2t V 2,3t V 3,1t ⟩ = I 1,2 I 2,3 I 3,1 ⟨ei [2 t −1 t ]i [3t −2 t ]i[1 t −3 t ]⟩

= I 1,2 I 2,3 I∗ 1,2 2,3

spectre de puissance : ⟨∣V 1,2t ∣2⟩ = ∣I 1,2∣

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Difficultés

●non-linéarités

●pauvreté de la couverture du plan (u,v)

●manque de mesures de phase de Fourier

(e.g. 1 clôture de phase pour 3 amplitudes)

●contraintes

– positivité

– normalisation (calibration)

●transformation de Fourier (échantillonnage spectral

irrégulier)

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Approche de type Problèmes Inverses

xbest = arg min x { f data x f prior x } tel que : xk≥0,∀ k ∑k=1

k=N

xk = 1et

reconstruction d'image reformulée comme un problème

d'optimisation sous contraintes :

modèle direct :

régularisation(cohésion du modèle

avec les a priori,

e.g. champ de vue limité)

attache aux données(cohésion du modèle

avec les données,

e.g. chi-2 : χ2)

positivité normalisation

I j = ∑k=1

k=N

A j ,k x kI = ∑k=1

k=N

xk bk T.F.

base de fonctions

paramètres

interpolationspectrale

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Terme d'attache aux données

hypothèse : bruit Gaussien (2D)

pour une mesure complexe

f data x = A⋅x−d T⋅W⋅A⋅x−d

=1

2∥A⋅x−d∥2

mesures de visibilités complexes :

radio-astronomie

f data x = ∑k

1

k

2∣x j1,k x j2,k x j3,k

∗ −dk∣2

mesures de bispectre :

séparation des mesures de module et de phase (enroulement de phase)

interférométrie optique (visible / IR)

non-convexe

x≡A⋅xavec

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Imaging Beauty Contest 2008

MACIM(Ireland et al., 2008)

building-blocks method(Hofmann & Weigelt, 1983)

MiRA(Thiébaut 2008)

BSMEM(Baron et al. 2008)

objet

(AGN)

reconstructions

(C

otto

n e

t a

l., 2

00

8)

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Reconstruction avec/sansinformation de phase

objet couverture (u,v) objet à la résolution

de l'interféromètre

reconstruction (spectre

de puissance + clôtures)

reconstruction

(sans phase de Fourier)

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Application à des données

T Leporis

(le

B

ou

qu

in

e

t a

l., 2

00

9, A

stro

n.

& A

stro

ph

ys. L

ett. 4

96

, L

1)

Chi-Cygni

(L

ac

ou

r e

t a

l., 2

00

9,

Astro

ph

ys. J

. 7

07

, 6

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)

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application àla tomographie médicale

●bénéficier des avantages de l'approche inverse

– modélisation plus réaliste des mesures (instrument et bruits)

– images exploitables (pour diagnostic) à partir de moins de mesures ou

de mesures de moindre qualité

– moins de rayonnement absorbé par le patient (et le praticien)

– objectif : tomographie dynamique (x,y,z,t)

●modèle plus fin que l'état de l'art (distance driven)

– modèle continu de l'objet sur une base de B-splines

– projections (parallèle, fan beam et conique) approximées comme

étant séparables le long des axes du détecteur

●reconstruction itérative avec contrainte de régularisation

– reconstruction sous régularisation moindre

→ plus de détails préservés

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Comparaison avec état de l'art

reconstructions à partir de 60 projections

(Momey et al., 2011, conf. GRETSI)

(Momey et al., 2011, conf. IEEE-MIC)

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reconstruction dynamique

objet vrai reconstruction(à partir de 25 projections/trame)

(Momey et al., 2012)

- modèle B-spline amélioré

- régularisation spatio-temporelle type variation totale (TV 2-D + t)

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Reconstruction d'image en astronomie et imagerie bio-médicale

● déconvolution d'image

– quelle régularisation ?

– mesures quantitatives sur des images reconstruites ?

● données multivariées

– imagerie hyper-spectrale en spectrographie intégrale de champ

● déconvolution aveugle

– coronarographie

– microscopie 3-D

● réponse variable dans le champ

● interférométrie et tomographie

– interférométrie optique

– tomographie dynamique

● détection

– exo-planètes

– particules en holographie numérique

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Holographie numérique : principe

Montage en ligne de type Gabor

Applications : détection, comptage et vélocimétrie de

particules

Modèle analytique dans l'approximation de Fresnel et des faibles densités

10

0 p

artic

ule

s

Position de la figure de diffraction → (x,y), forme → (z,r)

10

p

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ule

s

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Holographie numérique : algorithme

Soulez, Denis, Thiébaut, Fournier & Goepfert, JOSA-A 24, 3708 (2007).

minimisation de fdata

par un algorithme glouton (greedy) avec raffinements des paramètres

avec I (a) = I0−∑k=1

n

αk m(a−ak , zk ,r k)

posit

ion

profondeur

intensit

é

laser

taille

f data = ∑aw (a) [ I (a)− I (a)]

2

données

m

odèle

poid

s

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Holographie numérique : détection

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Holographie numérique : détection

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Holographie numérique : détection

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Holographie numérique :Précision de localisation

méthode classique : précision de l'ordre de 4 µm (z), 3 µm (x,y)

approche inverse : précision meilleure que 0.3 µm (partout)

erreurs en position latérale (x,y) erreurs en profondeur (z)

inside inside

Soulez, Denis, Fournier, Thiébaut & Goepfert, JOSA-A 24, 1164 (2007).

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Holographie numérique :approche parcimonieuse

ho

lo

gra

mm

ere

co

nstru

ctio

n

cla

ssiq

ue

ap

pro

ch

e

in

ve

rse

x = argmin x {12 ∥A . x− y∥2

2 ∥x∥1}

∥x∥1 = ∑k=1

k=N

∣xk∣

reconstruction avec contrainte de parcimonie

(Denis et al. 2009, Opt. Lett. 34, p. 3475)

avec

x = objet 3-D

y = image holographique

A = opérateur de Fresnel

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Interféromètre classique

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Interféromètre de Bracewell

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Darwin

R(θ ,λ , t)F (θ ,λ , t)

A(λ , t) = ∫∫ R(θ ,λ , t) F (θ ,λ , t ) d2θ

observable instrument objet observé

longueur d'onde

tempsdirection

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Détection d'exop-planètes

cartes du critère f = fdata

+ fprior

en fonction de la position

supposée de la planète et

compte tenu des planètes déjà

détectées

spectre reconstruit

(Thiébaut & Mugnier, 2006, IAU conf.)

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Imagerie bio-médicale et astronomique

● des similitudes

– données manquantes (troncature, projection, etc.)

– bas flux (rapport signal/bruit défavorable)

– réponse instrumentale pas/mal étalonnée

● fertilisation croisée

– méthodes itératives non-paramétriques

– déconvolution aveugle

– réponse variable

● développements

– réponse variable auto-étalonnée

– données multi-variées (spatio-temporel/spectral)

– méthodes non supervisées (automatisation)

→ utilisables par des non-experts