MECHANICS RESEARCH COMMUNICATIONS Vol. 19 ( 1 ) , 16-20, 1992 P r i n t e d in t he USA 0093-6413/92 $8.00 + .00 Copymlgh~ (c) 1991 Perg..mon PPess plc

INTERPRETATION PROBABILISTE DE LA VISCOELASTICITE LINEAIRE

N. Bouleau LAMM, Centre d'Enseignement et de Recherche en Math4matiques appliqu~es, Ecole Na- tionale des Ponts et Chauss4es, 28 rue des Saints P~res, 75007, Paris, France.

(Received 11 April 1991; accepted for print 21 April 1991)

Introduction

On sait que certaines 4quations de la physique et les probl~mes aux limites associ4s peu- vent recevoir une interpretation probabiliste. Le cas le plus connu est celui de l'4quation de la chaleur ou des 4quations elliptiques du second ordre associ4es au mouvement brownien ou aux processus de diffusion, et plus g4n4ralement des 4quations faisant intervenir un op4rateur lin4aire int4gro-diff4rentiel v4rifiant le principe du maximum positif auquel peut ~tre associ6 un processus de Markov avec sauts, ceci est 4tudi4 par la th~orie probabiliste du potentiel (cf. par exemple [1][2][3]) D'autres 4quations peuvent aussi trouver certaines interpr4tations (cf. [4]).

Nous montrons que les ph4nom~nes visco41astiques lin4aires sont susceptibles d'une in- terpr4tation probabiliste par des processus discontinus. Les grandeurs physiques y appa- raissent, comme dans les cas pr4c4dents, comme esp4rance de fonctionnelles du processus. N4anmoins, le temps qui r4git le mouvement de la particule probabiliste n'est pas ici le temps qui r4git le ph4nom~ne physique comme c'~tait le cas pour l'4quation de la chaleur et le mouvement brownien sous-jacent.

Une fonction q~ : 11%+ ---) ]R+ est une fonction de Bernstein si ~b _> 0 et (-1)"Dnq~ _< 0 Vn >_ 1. Ces fonctions interviennent math4matiquement dans la caract4risation des semi- groupes de convolution de probabilit4s sur IR+ avec lesquels elles sont en correspondance biunivoque (cf [5]) ainsi done qu'avec les processus ~. aecroissements ind~pendants croissants ou subordinateurs.Ces fonctions forment un c6ne stable par composition dont la structure est trSs complexe. Elles interviennent aussi, ceci est corr41atif, dans la th4orie du calcul symbolique sur les g(~n4rateurs infinit4simaux de semi-groupes de Markov (cf [5], [6], [7]).

I1 est assez remarquable que ce soit exacteraent cette classe de fonctions qui intervi- enne dans les ph4nom~nes de relaxation tels que la visco41asticit4 lin4aire qui sont r4gis par une math~matique a pr ior i sans rapport avec les objets pr4c4dents. Plus pr4cis4ment: Les ph4nom~nes de relaxation tels que la visco~asticit4 lin4aire sont d4crits par des opSrateurs dis- sipatifs et sont donc li4s d'apr~s le th~or~me de Lumer-Phillips ([8] p.250) k des semi-groupes k contraction mais ces semi-groupes n'ont aucune interpr4tation probabiliste en g4n~ral car ils n'op~rent pas positivement sur les fonctions; dans cette situation c'est le raisonnement par variables cach~es qui fait apparMtre des objets li4s ~ des semi-groupes de Markov. Nous approfondissons cette observation dans la pr~sente communication en ce qui concerne le cas multivari4 et certaines de ses cons4quences.

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I . T h e r m o d y n a m i q u e et viscoelast ici td.

Les restrictions que la thermodynamique impose aux ~volutions des phdno- m~nes visco~lastiques ont ~t~ 6tudi~es par plusieurs auteurs (cf. no tamment [9] [10] [11] [12] [13] [14]). Nous nous pla~ons sous les hypotheses de la th~orie de M. Blot [11]. De m~me que celle-ci, les considerations qui suivent s 'appliquent £ d 'autres ph6nom~nes (r~actions chimiques, 61~ctricitd, etc.) que la visco~lasticit~ dont nous conservons n~anmoins le langage pour la simplicitY.

Consid~rons un syst~me soumis £ des forces ext~rieures g6n~ralis~es Qi, i = 1 , . . . , n e t d(!crit par n pararnbtres g~om~triques associ~s qi, i = 1 , . . . , n tels que le travail des forces ext6rieures s'~crive ~Qidqi. Au voisinage d 'une position d'~quilibre stable off on a ~)ris, qi = 0 Vi, le potentiel

1 thermodynamique du syst~me s'~crit W - ~ ~_,aijqiqj off la matrice (aij)

i,j est sym~trique semi-d~finie positive. En calculant la variation d'entropie durant un court intervaUe de temps on obtient pour des vitesses qi sup- pos6es petites et en n~gligeant les forces d'inertie, que la puissance dissip~e

1 s'6crit D = ~ .~. bijdlidlj off la matrice (bij) est sym~trique d'aprbs le principe

t,3

d 'Onsager et semi-d~finie positive par le second principe de la thermody- namique. L'~quation d'~volution est alors

(1) Qi = ~'~aijqj + bijglj. J

Le cas de la visco61asticit6 lin6aire sans vieillissement est celui off les coefficients aij et bij sont constants. Dans ce cas la relation lin6aire entre les histoires (Qi(t)) et (qj(t)) commute avec les translations du temps et est connue par la matrice des rdponses aux dchelons unitds fly(t) du parambtre qi £ la force Qj. Si parmi les n parambtres (qi), seulement q l , ' " , qm, m < n sont observables les autres 6tant des variables cach6es, la r6solution du systbme (1) par rappor t ~ q l , ' " , qm fournit (cf. [13] [14]) la forme n6cessaire des r6ponses aux (~chelons unit6s

n

(2) fii(t) = E J } ~ ) ( 1 - e - ~ t ) + K i j t + L i j i , j = 1 , . . . , m , k = m + l

off les matrices J~:), Kij, Lij sont sym6triques, semi-d~finies positives et Ak > O, k - - m + l , . . . , n .

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Pour un syst~me d@pendant d 'une infinit@ de param~tres dont m sont observables on obtient (cf. [14], [15]) la elasse suivante de r@ponses aux @chelon unit@s

(3) f i j( t)= f~,+(1-e-tX)duij(x)+Kijt+Lij i , j = l , . . . ,m ,

o/1 (vii) est une matrice sym@trique semi-d@finie positive de mesures a - f in i e s sur IR+ telles que frt'+(x A 1)dluijl(x ) < +o~.

b a n s la suite nous dirons simplement r@ponse pour r@ponse ~ l'@ehelon unit@.

II. Visco~lasticitd et P.A.I.S. • cas d 'un seul param~tre observable.

Si m = 1, la formule (3) montre que les r@ponses f des mat@riaux visco~lastiques lin6aires sans vieillissement sont exactement les fonctions de Bernstein (cf. [5]). I1 leur correspond done naturellement (cf. [6]) un P.A.I.S. X ~ valeurs IR+ (ou subordinateur) . Nous noterons les indices des processus al~atoires pax des lettres grecques pour @viter toute confusion. Cette correspondence est donn@e par

(4) IEe -t(X'-X°) = e -~(/(t)-/(°)) Vt, T > 0

x 0 = f ( 0 ) .

ou encore pax, en notant AX~ le saut de X en a,

(5) f ( t )= IE [L + Kt +o<~<l ~ (I--e-tAX°)] "

Dens la formule (5), L e s t la valeur de X en 7 = 0, K son coefficient de d~rive, v sa mesure de L~vy. Ceci donne done le dictionnaire suivant •

• Mat~riau de Maxwell ( f ( t )= (~- + t)l{t_>0} ) 1 ! issue du point ~. ¢~ t ranslat ion uniforme de vitesse

Mat@riau de Kelvin-Voigt (f(t) = 1 c ~(1 - e-~-) l{t>0}) @ \

a d'intensit@~. ¢* processus de Poisson de sauts d 'ampli tude ~ et

• Combinaison finie d'amortisseurs et de ressorts (f(t) = (Ej Aj(i - e-"P) + bt +

¢* somme de processus de Poisson ind@pendants de sauts d 'ampl i tude #j, d'intensit@ Aj et d 'une translat ion uniforme de vitesse b issue du point a.

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III.Visco~lasticit~ et P.A.I.S. • cas de plusieurs paramhtres observ- ables.

Pour 6tre 6tendue au cas de plusieurs param~tres observables, l ' interpr6tation ci-dessus doit 6tre raffin6e. Consid6rons un P.A.I.S. (Y~)~>0 £ valeurs IR 'n, de partie brownienne de matrice (Kij) et de mesure de Ldvy u telle clue s lyl ^ 1 d . (y ) < ~ donc ~ sauts sommables:

(6) Y ~ = Y 0 + Y ~ + • AY~ O<a<_r

Nous d6finissons alors un P.A.I.S. Z (t) £ part ir de Y e n modifiant la longueur des sauts et en posant

/xy~ (7) Z (t) = Y0 + v/tY: + E ~/1 - e-tl~XYo[ -

0<._<~ ILxY, I

Le P.A.I.S. Z (t) a pour crochet oblique :

(8) < z(')',z(')' [Yo'Yoq + -u,jt + f (1 - e-,l l) y'yJ

Le membre de droite de (8) correspond biunivoquement aux matrices r~ponses obtenues en (3) et fournit donc l ' interpr~tation

(9) f i j ( t) = < Z(t)i,z(t)J >1

Ainsi, les matrices r@onses des matdriaux viscodlastiques sont les cro- chets obliques des P.A.I .S . it sauts sommabIes renormalisgs selon (7). On notera que cette renormalisation consiste 5, faire jouer £ chaque saut le r61e qu'il aurait dans un processus de Poisson (mat6riau de Kelvin-Voigt) et d 'en faire la somme g6om6trique.

IV. Matfiriaux visco~lastiques conjugu~s.

Si l 'on consid~re un matdriau dont le module rh6ologique est la mise "en s6rie" de ceux de deux mat6riaux 1 et 2 donc tel que les rdponses v6rifient f i j ( t) = f[])(t) + f(2)(t) i , j = 1 , . . . , m , on voit que ceci est compatible avec l 'addition des processus Z(t) ci-dessus : Z (t) = Z(t)(1) + Z(t)(2) pourvu que Z (t)O) et Z (t)(2) soient pris ind6pendants. Qu'en est-il pour des modules

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mis en paralltle ? Pour le voir, consid6rons les fonctions de relaxations rij(t) qui sont relides aux r6ponses par la relation

f~k,rk~ 6o.1 i j

en notant I la matrice identit6, les d~rivdes ~tant prises au sens des dis- tributions. On peut alors montrer en utilisant les r6sultats de [7] sur la transform6e de Stieltjes que les fonctions de relaxation sont les distribu- tions de la forme

(11) rij(t) - - A i j -b B i j S o +

off (Aij), (Bij) et (~oij) sont sym~triques semi-d~finies positives, les pij dtant des mesures telles clue

1 (12) f0 1 + x 'dl~'¢l(x) < +c¢

Si on note Ri¢(t) les primitives nulles sur l'axe n6gatif des rij(t), on voit que les fonctions Rq(t) sont exactement toutes les fonctions de la forme (3). I1 en r6sulte qu'il existe un mat6riau visco61astique dont les r@onses sont les Rq(t) , que nous appellerons mat6riau conjugug du mat6riau initial. La mise "en s6rie" des mat6riaux initiaux correspond ~ la "rnise en parall~le" des mat6riaux conjugu6s et r6ciproquement.

Dans le cas d 'un seul param~tre observable, cela fournit, par l 'interprStatior probabiliste, une relation de conjugaison parmi les subordinateurs. Seul le processus stable unilat6ral d'ordre 1 est son propre conjugu6, il correspond

la r@onse f ( t) = 2 ~ .

Remarques. 1) Les formules (4) (5) et (8) (9) permettent la construction d'un grand nombre de

modules rh&)logiques explicites en utilisant les P.A.I.S. connus et la subordination au sens de Bochner.

2) La rdponse d'un mat6riau visco~lastique hun param~tre observable (ou d'un syst~me physique relevant de la th~orie de Biot) peut Stre consid~rSe comme une horloge. Ces horloges ont entre elles la propriStd suivante : Considdrons

a) un mobile A anim$ d'une vitesse rectiligne uniforme en zSro h l'instant 0, b) deux index B et C li6s respectivement aux r6ponses de matdriaux (1) et (2) et pouvant

se d@lacer parall~lement h A. Si on note les positions successives ao = O, ax," • •, am," " de A lorsque B atteint des distances rSguli~res 0, h , 2 h , . . . , n h , . . . , alors, les positions successives ao = 0, a l , . . . , a , , , . . , de A

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lorsque C atteint les an sont aussi celles qu'il atteindrait lorsqu'un corps visco~lastique D volt son index atteindre les distances nh. Cette propri@t~ est due k la stabilitd par composition du cSne des fonctions de Bernstein.

3) La th@orie de Blot a fait l'objet de nombreuses extensions, d'abord au cas avec vieil- lissement, @galement avec des concepts de g~om@trie diff@rentielle, les param~tres caches 6tant suppos@s tensoriels (cf. [16]) et k des cas non lin@aires (cf. [17]). I1 est vraisemblabie qu'une partie de ces extensions peut recevoir une interpretation k partir des caract@ristiques locales des semi-martingales.

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