Introduction aux plans d’expériencesP. Lambert

D’après J.-M. Fuerbringer, Design of Experiments, http://doe.epfl.chMai 2006

BEAMS

Aperçu

• Exemple de départ• Méthodologie des plans d’expériences –

Plans factoriels• Exemple du vélo• Fiabilité des résultats

BEAMS

Exemple de départ

Enoncé Plan d’expériences élémentaire et son codage

BEAMS

Exemple de départ

Plan d’expériences optimal et son codage

Poids d’eau placé à gauche pour équilibrer les plateaux

Poids de tarage

Poids de l’objet 1 (jaune)

BEAMS

Exemple de départ

Plan d’expériences optimal et son codage

X

1 1 -1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 -1 1

1 1 1 1

BEAMS

Exemple de départ

Plan d’expériences optimal et son codage

X

1 1 -1 -1

1 -1 1 -1

1 -1 -1 1

1 1 1 1

BEAMS

Exemple de départ

• Espace expérimental

BEAMS

Exemple de départ

• Comment choisir un plan efficace?• Comment évaluer un plan a priori?• Comment obtenir les coefficients d’un

modèle?

BEAMS

Aperçu

• Exemple de départ• Méthodologie des plans d’expériences –

Plans factoriels• Exemple du vélo• Fiabilité des résultats

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Système et Modèle

Model

Factors (X) Responses (Y)

XfY

BEAMS

Modèle linéaire sans interaction

• Exemple d’un modèle à 3 paramètres:

• Effets– a0, effet constant

– ai, demi-effet principal

– ε, résidu (mesure de l’erreur entre le modèle et le système)

BEAMS

Modèle linéaire sans interaction

• Répétition d’expériences:

xij=valeur du paramètre i dans l’expérience j

Y(i)=réponse du système dans l’expérience i

• Formulation matricielle:

BEAMS

Modèle linéaire avec interactions

• Exemple d’un modèle à 3 paramètres:

• Effets– a0, effet constant– ai, demi-effet principal– aij, demi-effet d’interaction d’ordre 1– aijk, demi-effet d’interaction d’ordre 2– ε, résidu (mesure de l’erreur entre le modèle et le système)

BEAMS

Méthodologie

• Choix du modèle• Matrice du modèle X• Evaluation de X• Mesures Y• Détermination de la matrice des coefficients

A

Itération

BEAMS

Evaluation du modèle

• Matrice d’information

• Matrice de dispersion

• Matrice de corrélation

• Critères d’évaluation– A: Trace de la matrice de dispersion (à minimiser)– D: Déterminant de la matrice de dispersion

)(')('1

k

N

kk xfxfXXCij

(vij) = (X'X)-1

)var()var(

cov

ji

ij

jjii

ijij

aa

a

vv

vr

BEAMS

Evaluation du modèle

• Illustration

BEAMS

Evaluation du modèle

BEAMS

Détermination des coefficients

BEAMS

Méthodologie

• Choix du modèle• Matrice du modèle X• Evaluation de X• Mesures Y• Détermination de la matrice des coefficients

A

Itération

BEAMS

Aperçu

• Exemple de départ• Méthodologie des plans d’expériences –

Plans factoriels• Exemple du vélo• Fiabilité des résultats

BEAMS

Exemple du vélo

• On cherche l’influence de 3 paramètres sur le temps de parcours:– Hauteur de selle– Régime alimentaire– Dérailleur

• Modèle avec interactions

BEAMS

Plan factoriel

BEAMS

Matrice du modèle, X

BEAMS

Résultats et traitement

BEAMS

Analyse

a1 a2 a3 a12 a13 a23 a123

BEAMS

Aperçu

• Exemple de départ• Méthodologie des plans d’expériences –

Plans factoriels• Exemple du vélo• Fiabilité des résultats

– Seuillage– Anova– Normal Plot– Moindres carrés (Least Squares)

BEAMS

Signifiance d’un effet

• Seuillage

a1 a2 a3 a12 a13 a23 a123

BEAMS

Signifiance d’un effet

• Anova

BEAMS

Signifiance d’un effet

• Normal plot

BEAMS

Signifiance d’un effet

• Normal plot

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Références

• Lectures conseillées– J.-M Fuerbringer, http://doe.epfl.ch– Box, Statistics for Experimenters, Wiley, 2005– Baléo et Al., Méthodologie expérimentale,

Editions Tec et Doc de l’école des mines de Nantes