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Invariances d’échelle Des changements d’états à la turbulence Annick Lesne Michel Laguës Belin Collection ÉCHELLES 8, rue Férou 75278 Paris Cedex 06 www.editions-belin.com

Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

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Invariancesd’échelle Des changements d’états à la turbulence

Annick

Lesne

Michel

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8, rue Férou 75278 Paris Cedex 06www.editions-belin.com

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La collection « Échelles »

Privilégiant les savoirs les plus actuels, la collection « Échelles » propose des ouvragesscientifiques rédigés par des auteurs qui font autorité dans leur domaine. Par laprésentation simple de questions réputées complexes, elle exprime une certaine idée del’enseignement des sciences, en relation étroite avec le monde de la recherche et de sesapplications. La collection « Échelles » s’adresse à l’étudiant de 2e et 3e cycles universitaires, comme auchercheur ou à l’ingénieur. Elle est dirigée par Michel Laguës (ESPCI) et Annick Lesne(Université Paris VI).

Dans la même collection

Gouttes, bulles, perles et ondes, Pierre-Gilles de Gennes, Françoise Brochard-Wyart, David Quéré, 2002.

ADN, mots et modèles, Stéphane Robin, François Rodolphe, Sophie Schbath, 2003.

Introduction à la microfluidique, Patrick Tabeling, 2003.

L’héritage de Kolmogorov en physique, Roberto Livi, Angelo Vulpiani (sous la dir. de), 2003.

Liquides. Solutions, dispersions, émulsions, gels, Bernard Cabane, Sylvie Hénon, 2003.

À paraître

De la macromolécule au matériau polymère, Jean-Louis Halary, Françoise Lauprêtre.

Les nanosciences. Les nanotechnologies. Tome 1, Philippe Houdy, Claire Dupas, Marcel Lamany (sousla dir. de).

L’héritage de Kolmogorov en mathématiques, Éric Charpentier, Nicolaï Nikolski (sous la dir. de).

Photo de couverture : © Sunset/Bringard

Le code de la propriété intellectuelle n’autorise que « les copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé ducopiste et non destinées à une utilisation collective » [article L. 122-5] ; il autorise également les courtes citations effectuéesdans un but d’exemple ou d’illustration. En revanche « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, sans leconsentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » [article L. 122-4]. La loi 95-4 du 3 janvier 1994a confié au C.F.C. (Centre français de l’exploitation du droit de copie, 20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), l’exclusivitéde la gestion du droit de reprographie. Toute photocopie d’œuvres protégées, exécutée sans son accord préalable, constitueune contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

© Éditions Belin, 2003 ISSN (en cours) ISBN 978-2-7011-3175-7

REMERCIEMENTSLes auteurs remercient Pierre-Gilles de Gennes, Pierre Papon, Pierre Sonigo et Jean-Marc Victor pour leurs encouragements et leurs conseils ; Paul Sotta,Rodolphe Vuilleumier et tout particulièrement Laurent Pezard pour leurs relecturesattentives ; et bien sûr, leurs partenaires aux Éditions Belin, sans le travail desquels ce livre n'aurait pas abouti.

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TABLE DES MATIERES

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Chapitre 1 LES CHANGEMENTS D’ETAT DE LA MATIERE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Les changements d’etat brisent une symetrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 Bifurcations et divergences au point critique liquide-vapeur . . . . . . . . 163.2 Les exposants critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 L’helium superfluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1 Le modele du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Le magnetisme, les modeles, le modele d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Un modele minimal de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Le fluide de Van der Waals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5 L’aimant de Weiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.6 L’universalite de l’approche champ moyen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.7 Modele d’Ising 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 L’universalite des comportements critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1 Des mesures extremement precises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Inadequation des modeles et universalite des exposants . . . . . . . . . . . . 37

6 Les limites de l’approximation du champ moyen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.1 La theorie de Landau-Ginzburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.2 Les variations spatiales du parametre d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Chapitre 2 LA GEOMETRIE FRACTALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 La notion de dimension fractale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.1 Structures fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.2 La dimension fractale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.3 L’auto-similarite (ou invariance d’echelle) d’une structure fractale . 51

2 Structures fractales naturelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.1 Des proprietes fractales statistiques et limitees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2 Origine des structures fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Chapitre 3 L’UNIVERSALITE COMME CONSEQUENCE DE L’INVARIANCE

D’ECHELLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.1 Zoom arriere et decimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 Lois d’echelle, invariance d’echelle et hypothese du scaling . . . . . . . . . . . . 65

2.1 Lois d’echelle de Widom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2 Divergence de j et hypothese du scaling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3 Lois d’echelle revisitees par la decimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

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4 TABLE DES MATIÈRES

3 Transitions et hamiltoniens modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1 Le nombre de composantes du parametre d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2 Les interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.3 Le modele d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4 La resolution du probleme d’Ising a 1D et 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1 Les matrices de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Les proprietes du modele d’Ising 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3 Les proprietes du modele d’Ising 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 La renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.1 Breve histoire d’un concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2 Les etapes d’une renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3 Le flot de renormalisation dans un espace de modeles. . . . . . . . . . . . . . 815.4 Remarques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6 Les transitions de phase decrites par la renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . 866.1 Exemples de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2 Developpement en ´ 5 4− d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.3 Dans un espace a une dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4 Et dans un espace a deux dimensions ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.5 Le modele XY a 2 dimensions : la transition de Kosterlitz-Thouless . 95

7 Et dans les situations reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.1 Basculement d’une classe d’universalite a une autre . . . . . . . . . . . . . . . 987.2 Etablissement de l’equilibre et exposants critiques dynamiques . . . . 997.3 Decomposition spinodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.4 Transitions et invariance d’echelle dans un systeme de taille finie . . 102

8 Conclusion : du bon usage d’un modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Chapitre 4 LA DIFFUSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071 Diffusion : ce qu’on observe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

1.1 L’agitation thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081.2 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091.3 Auto-similarite des trajectoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101.4 Fronts de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1121.5 La diffusion : un mouvement a part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2 L’equation de diffusion et ses variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.1 Loi de Fick et equation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.2 Invariance d’echelle de l’equation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.3 Diffusion dans un milieu poreux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3 Descriptions stochastiques de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.1 Marche aleatoire ideale et diffusion normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.2 Modelisation mathematique : le processus de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . 126

4 D’une echelle a l’autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.1 Comment sont reliees les differentes descriptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.2 Formule d’Einstein et theoreme de fluctuation-dissipation . . . . . . . . . 1344.3 Irreversibilite de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5 Diffusion anormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.1 Origines possibles des anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.2 Vols de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.3 Mouvements browniens fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.5 La dimension spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

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TABLE DES MATIÈRES 5

Chapitre 5 LA TRANSITION DE PERCOLATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1541 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542 Statistique des amas et transition magnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603 La renormalisation des modeles de percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654 La structure de l’amas infini au seuil de percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695 Proprietes dynamiques au voisinage d’une transition de percolation . . . . 1706 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Chapitre 6 CONFORMATION SPATIALE DES POLYMERES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1761 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

1.1 De remarquables proprietes d’echelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1761.2 La longueur de persistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

2 Conformations d’un polymere flexible isole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1812.1 Polymeres et marches aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1812.2 Marches aleatoires auto-evitantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1812.3 Le role du solvant : le point Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1842.4 Lois d’echelle pour un polyelectolyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

3 Les outils theoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1883.1 La theorie de Flory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1883.2 Bons solvants, mauvais solvants et point Q : la theorie de

Flory-Huggins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1903.3 Approches par renormalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

4 Solutions de polymeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014.1 Fondus de polymeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014.2 Solutions semi-diluees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Chapitre 7 LES CUPRATES SUPRACONDUCTEURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2061 La supraconductivite et les supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

1.1 Mecanismes et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2071.2 Les familles de composes supraconducteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2111.3 Applications : des telecommunications a la

magneto-encephalographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2122 Le diagramme de phase des cuprates supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 213

2.1 Le dopage des cuprates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2132.2 La transition thermique dans les cuprates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

3 Les transitions quantiques dans les supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2233.1 Transition supraconducteur-isolant liee a l’epaisseur d’un film . . . . . 2253.2 Transitions liees au dopage dans les composes cuprates . . . . . . . . . . . . 226

4 Un domaine ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Chapitre 8 CROISSANCE ET RUGOSITE DES INTERFACES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2321 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

1.1 Modeles discrets, equations continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2341.2 Les exposants caracteristiques de la croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2351.3 Correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2371.4 Le modele de croissance aleatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

2 Approche lineaire incluant une relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2382.1 Etude des symetries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2392.2 L’equation d’Edwards-Wilkinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

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6 TABLE DES MATIÈRES

3 L’equation de Kardar-Parisi-Zhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2433.1 Construction de l’equation KPZ a partir d’arguments physiques . . . . 2433.2 Les exposants KPZ a partir d’arguments d’echelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

4 La renormalisation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2454.1 Les equations du flot de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2454.2 Les regimes KPZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

5 L’epitaxie par jets moleculaires ou MBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2485.1 Equation MBE lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2495.2 L’equation MBE non lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

6 La transition rugueuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2546.1 Modele continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556.2 Renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556.3 La transition rugueuse hors d’equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

7 Les classes d’universalite de la croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Chapitre 9 SYSTEMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE . . . . . . . . . . . . . . . 2621 Une vision differente de l’evolution d’un systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

1.1 Une « geometrie » de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2641.2 La notion de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2671.3 Analogie avec les transitions de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711.4 Formes normales et stabilite structurelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

2 Le chaos deterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2752.1 Quelques exemples remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2762.2 Description statistique et ergodicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2792.3 Les ingredients essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2802.4 Transition vers le chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2852.5 Portee et limites de la notion de chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

3 Le chaos pour fonder la mecanique statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913.1 L’hypothese ergodique de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913.2 Hypothese chaotique et mecanique statistique hors d’equilibre . . . . 2933.3 Chaos et phenomenes de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

4 L’intermittence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2954.1 L’intermittence apres une bifurcation nœud-col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2954.2 L’intermittence on-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

5 La turbulence developpee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3005.1 Invariance d’echelle des equations de l’hydrodynamique. . . . . . . . . . . . 3005.2 Le seuil de turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3015.3 Une image qualitative : la cascade de Richardson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3025.4 Des lois d’echelle empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3035.5 La theorie de Kolmogorov (1941) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3045.6 Pour aller dans les details : l’analyse multifractale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3055.7 Un domaine encore ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Chapitre 10 PHENOMENES CRITIQUES AUTO-ORGANISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3121 Un nouveau concept : la criticalite auto-organisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

1.1 Le tas de sable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3121.2 Les feux de foret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3151.3 Les ingredients essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3171.4 En pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

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TABLE DES MATIÈRES 7

2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3192.1 Fronts de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3192.2 Trafic routier et embouteillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3202.3 Tremblements de terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3202.4 Gonflement des poumons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3222.5 Ecosystemes et evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3222.6 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3243.1 Vers des schemas explicatifs : boucles de retroaction et stabilite

marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3243.2 Succes et reserves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Chapitre 11 INVARIANCE D’ECHELLE EN BIOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3281 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3282 Universalite dans le metabolisme des systemes vivants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

2.1 Observation de lois d’echelle allometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3302.2 Les explications proposees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3312.3 Fiabilite de la loi d’echelle : des objections ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3352.4 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

3 Correlations a longue portee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3363.1 Sequences codantes et non codantes dans l’ADN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3363.2 Le rythme cardiaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3393.3 Electro-encephalogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

4 Conclusion : une approche des systemes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

Chapitre 12 PUISSANCE ET LIMITES DES APPROCHES D’ECHELLE . . . . . . . . . . 3451 La criticalite et les lois d’echelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3452 Determination experimentale de lois d’echelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3463 La renormalisation et le statut des modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3484 Des perspectives ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

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PREFACE

L’opalescence d’un fluide pres de son point critique est un objet de curiosite depuisplus de cent ans. Mais l’organisation du fluide, lorsqu’il hesite entre liquide etvapeur, n’est comprise que depuis 40 ans – grace a une reflexion profonde de LeoKadanoff. Il y a la un acquis culturel majeur.On connaissait par ailleurs d’autres systemes « self similaires » : les fractals (objetsresultant de constructions geometriques assez simples) et aussi les ecoulementsturbulents (que nous maıtrisons encore mal). Mais l’exemple des points critiquesest devenu l’exemple-cle : difficile, mais accessible au raisonnement, et suffisam-ment vaste pour presenter des familles de comportement tres variees.Les techniques de calcul (le « groupe de renormalisation ») sont detaillees dans denombreux ouvrages, et synthetisees dans un beau texte de Toulouse et Pfeuty. Maisil fallait un livre panorama : le voici. Il part des liquides et des gaz, mais il montreaussi les echelles multiples que l’on rencontre dans le mouvement brownien, dansles polymeres flexibles, ou dans les amas de percolation. Et il ne manque pas d’au-dace, pour aborder des questions encore ouvertes : les cuprates supraconducteurs,la turbulence... Le theme le plus polemique, qui apparaıt au dernier chapitre, estcelui de la « criticalite self induite ». Pour certains, c’est un univers nouveau ; pourd’autres, un univers verbal. Mais en tout cas, le present livre donne une imageaccessible des cas encore incertains. Et, plus generalement, il invite a reflechir.Bon programme pour des jeunes curieux de science.

Pierre-Gilles de Gennes

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INTRODUCTION

La description physique de notre environnement consiste a relier quelques gran-deurs essentielles par des lois, des grandeurs identifiees a partir de l’observation,d’experiences et de verifications a posteriori. Une difficulte frequente est de relierles proprietes d’un systeme observe a une echelle donnee, a celles des echellesinferieures et superieures. En general, on separe les echelles en moyennant lesgrandeurs sur les echelles inferieures et en traitant comme des constantes lesgrandeurs variant sur des echelles superieures. De telles descriptions ne sont pastoujours utilisables, par exemple dans les situations ou de multiples grandeursphysiques entrent en jeu. C’est le cas des systemes dits critiques pour lesquelsdes echelles spatiales etalees sur plusieurs ordres de grandeur jouent toutes unrole essentiel. Nous decrivons ici de nouvelles approches adaptees a ces situations,parmi lesquelles les changements d’etat de la matiere qui furent les premiers pro-blemes abordes. On connaıt aujourd’hui une grande variete de situations critiquesdans la nature. L’objectif de ce livre est de degager les caracteristiques communesa ces phenomenes. La notion centrale de longueur (ou de temps) de coherencepermet de caracteriser les phenomenes critiques par la taille (ou la duree) desfluctuations. Les premiers exemples traites sont des phenomenes critiques spa-tiaux, associes a la divergence de la longueur de coherence, les transitions dephase du second ordre et la transition de percolation. Nous decrivons ensuite desphenomenes critiques temporels, voire spatio-temporels, associes a l’apparition duchaos.Difficulte nouvelle, la description de ces phenomenes sans echelle caracteristiquedoit etre globale, en impliquant simultanement toutes les echelles, en s’attachanta comprendre leur organisation mutuelle. Plus precisement, la facon dont les dif-ferentes echelles sont couplees les unes aux autres devient determinante. Desconcepts-cles sont introduits : l’invariance d’echelle et l’universalite. L’emergence

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10 INTRODUCTION

de ces idees a ete un tournant de la physique moderne en renouvelant profonde-ment l’etude de certains phenomenes physiques. L’analyse des caracteristiques aune echelle donnee cede la place a l’investigation des mecanismes de couplageentre les differentes echelles. Un outil essentiel, la renormalisation, permet cetteanalyse, il etablit des lois d’echelle, demontre le caractere universel des compor-tements physiques au sein de classes et leur insensibilite aux details microsco-piques. L’universalite d’une propriete en decoule, comme une propriete crucialeen ce qu’elle legitime l’emploi de modeles rudimentaires. Un modele reduit auxcaracteristiques essentielles suffit ainsi a decrire les caracteristiques communes atous les modeles d’une classe d’universalite. Parmi les exemples abordes dans cetouvrage, le celebre modele d’Ising, la percolation, l’application logistique ...Pour terminer cette introduction, il est juste de rendre hommage a Pierre Curie,qui eut cette intuition remarquable lors de son travail de these, en 1895 : « Il y ades analogies entre la fonction f(I,H,T ) 5 0 relative a un corps magnetique et lafonction f(D,p,T ) 5 0 relative a un fluide. L’intensite d’aimantation I corresponda la densite D, l’intensite du champ H correspond a la pression p, la tempera-ture absolue T joue le meme role dans les deux cas. [...] La maniere dont variel’intensite d’aimantation en fonction de la temperature dans le voisinage de latemperature de transformation, le champ restant constant, rappelle la facon dontvarie la densite d’un fluide en fonction de la temperature dans le voisinage de latemperature critique (la pression restant constante). L’analogie a lieu entre lescourbes I 5 w(T ), que nous avons obtenues, et les courbes D 5 w(T ) correspon-dant aux pressions critiques. La figure 14, construite avec les donnees determineespar M. Amagat sur l’acide carbonique, et la figure 15, construite d’apres mes expe-riences sur le fer, permettent de saisir cette analogie. »

1

0,8

0,6

0,4

0,2

00 50

D I

100 150 200 250

θ θ

400

300

2001751501251007540 50

65

85

80

70

60

50

40

30

20

10

730 740 750 760 770

1000

30010

0

1300

50

Fig. 14 Fig. 15

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CHAPITRE

1LES CHANGEMENTS D’ETAT

DE LA MATIERE

1. Introduction

C’est un fait d’experience et ce fut une superbe enigme durant un siecle : lamatiere pure se transforme de facon spectaculaire a des temperatures extreme-ment precises. Au XIXe siecle, des savants pionniers – de Gay-Lussac a Van derWaals – effectuerent des mesures minutieuses sur l’etat des fluides, ouvrant la voieaux descriptions microscopiques qui fondent aujourd’hui nos sciences de la nature.L’etude des proprietes des gaz de faible densite permit l’introduction de la tempe-rature absolue comme mesure de l’energie cinetique des molecules. La grandegeneralite du comportement thermique et mecanique de gaz aux proprietes chi-miques pourtant fort diverses etait ainsi elucidee. La thermodynamique et sesinterpretations microscopiques naissaient alors sur la vague de ce succes. Cepen-dant, les pionniers de l’observation des fluides s’attaquerent egalement a la des-cription des transformations liquide-vapeur, et leur decouvrirent une autre bellegeneralite peu evidente a priori : dans un gaz dilue, les molecules sont presqueisolees et l’on comprend que les proprietes chimiques importent peu, mais qu’enest-il dans un liquide ou les molecules sont en interaction permanente ?A l’aube du XXe siecle, l’etude des transformations magnetiques elargit le champdes changements d’etat etudies. Puis s’ajoutent d’autres situations ou l’on observeune modification brutale de la structure microscopique de la matiere : les alliagesmetalliques, les melanges binaires de fluides, la superfluidite de l’helium et biend’autres... Des questions se posent devant les observations experimentales : pour-quoi ces transformations ont-elles lieu a une temperature aussi precise ? Et quelleest l’origine de leur ressemblance etonnamment independante de la nature desproprietes physiques qui se transforment ? Il a fallu attendre les annees 1970 pour

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12 INVARIANCES D’ÉCHELLE

qu’une reponse satisfaisante puisse etre proposee a ces questions. Mais avant tout,pourquoi ces transformations se produisent-elles ?Une lecture naıve du deuxieme principe de la thermodynamique pourrait laisserpenser que tout systeme physique doit evoluer vers un desordre maximal pourpeu que l’observateur soit patient. Cependant, cette formulation est valide uni-quement pour un systeme isole. Dans la situation plus frequente ou le systemeechange de l’energie avec son environnement, le deuxieme principe peut etre sche-matise par les deux regles simples :

– a haute temperature, le systeme evolue vers un etat d’equilibre ou son desordreest grand, comme s’il etait isole ;

– a basse temperature, au contraire, il a tendance a s’ordonner pour reduire sonenergie interne.

L’enjeu de l’etude des changements d’etat, discute aux chapitres 1 et 3, est precise-ment de determiner a quelle temperature se situe la limite entre les deux regimes,et dans quelles conditions se produit la transition.

Entropie, energie interne et transitionL’augmentation de l’entropie prevue par le deuxieme principe de la thermodynamiquefournit un critere d’evolution des systemes isoles vers l’equilibre thermodynamique :le systeme evolue vers un etat a desordre microscopique plus eleve. Valide uniquementpour les systemes isoles, ce critere d’evolution doit etre modifie si le systeme consi-dere echange de l’energie avec son environnement (la situation la plus frequente). Atemperature constante par exemple, un systeme ferme evolue vers un etat d’energielibre, F 5 U − T S, minimale a l’equilibre.A « haute » temperature, c’est le terme entropique −T S qui domine : le systemeevolue vers un etat d’entropie plus elevee. En revanche, a « basse » temperature, c’estle terme energetique U qui domine, ce qui implique une evolution du systeme versun etat d’equilibre a energie interne plus basse.A la temperature de transition, les termes entropiques et energetiques sont du memeordre de grandeur.

En effet, les molecules ou les electrons peuvent diminuer leur energie en s’or-ganisant dans des configurations regulieres. Ces configurations s’imposent dansune region de temperature suffisamment basse pour que l’agitation thermiquene domine plus. Ainsi apparaıt-il spontanement dans les aimants (ou materiauxferromagnetiques) une aimantation macroscopique, au-dessous d’une tempera-ture dite de Curie, qui est l’effet d’une orientation identique de l’aimantationsur tous les sites atomiques. De la meme facon, lorsque l’on refroidit un gaz, il seliquefie ou se solidifie. Bien que le desordre regne dans l’etat liquide, il appa-raıt un ordre de densite au sens ou les molecules se confinent spontanementdans des regions denses. On peut citer bien d’autres situations physiques ou lamatiere change d’etat lorsque la temperature s’abaisse, dans les materiaux fer-roelectriques, les cristaux liquides, les supraconducteurs, les superfluides, etc.Quant a l’organisation fine de cet ordre a l’equilibre, elle a interroge les physi-ciens pendant un siecle : ils etaient incapables de calculer correctement ce que

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1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 13

prevoyait la thermodynamique au voisinage d’un changement d’etat. Pour com-prendre les raisons de leur entetement a resoudre ce probleme, il faut soulignerla finesse avec laquelle les etudes experimentales montraient une universalite descomportements dit critiques au voisinage immediat des changements d’etat. Onaura une idee de l’extreme precision de ces mesures si l’on considere le resultatde William Thompson (Lord Kelvin) qui etablit au XIXe siecle la variation du pointde fusion de la glace en fonction de la pression appliquee, −0,00812 ◦C pour uneatmosphere !L’etude des phenomenes critiques amorcee par Cagnard de Latour en 1822 connutun grand essor avec le travail de T. Andrews a partir de 1867. En 1869, celui-ciobserva une opalescence spectaculaire au voisinage du point critique du dioxydede carbone.L’opalescence critique est une des seules situations ou le desordre microscopiquefait irruption jusque dans notre champ visuel : lors du chauffage d’un tube fermecontenant un fluide a la densite critique, le menisque separant gaz et liquides’epaissit, devient trouble et diffus puis disparaıt sur place. Le tube ne contientplus alors qu’un fluide homogene. Au refroidissement, le menisque reapparaıt, defacon plus spectaculaire encore, au milieu d’un brouillard opalescent1.Andrews interpreta fort justement cette opalescence comme l’effet de fluctuationsgeantes de la densite du fluide, un signe de l’hesitation de la matiere entre lesdeux etats liquide et gazeux. Ces fluctuations geantes sont observees dans toutesles transitions dites de second ordre. Les theories proposees au debut du XXe sieclepar Einstein, Ornstein et Zernike puis Landau permettent de rendre quantitativel’intuition d’Andrews : les predictions de ces derniers s’appliquent tres bien a cer-taines situations physiques – par exemple les transitions ferroelectrique ou supra-conductrice ; cependant, des ecarts notables avec ces descriptions sont observesau voisinage de la transition pour la plupart des autres changements d’etats. C’estnotamment le cas des transitions liquide-vapeur et des transitions magnetiques.Le plus etonnant, et le plus agacant, est que l’universalite manifestee par desressemblances flagrantes entre les comportements critiques de ces systemes phy-siques fort differents, echappera entierement aux descriptions theoriques pendantun siecle.Les deux premiers types de changement d’etat a avoir ete etudies en detail, cor-respondent a des situations physiques a priori tres differentes, qui nous guiderontau cours de ce chapitre d’introduction :

– la transition ferromagnetisme ↔ paramagnetisme dans un solide cristallin,

– la transition liquide ↔ vapeur dans un fluide desordonne.

La disparition reversible de l’aimantation du fer au-dessus de 770 ◦C est connuedepuis la Renaissance, mais Pierre Curie etudia le premier les variations ther-miques du magnetisme, dans son travail de these soutenu en 1895. Son nom estainsi associe a la temperature critique de la transition ferromagnetisme ↔ para-magnetisme, ainsi qu’a la loi de variation du paramagnetisme en fonction de latemperature. De nombreux physiciens se sont illustres au cours de la premiere

1 Le lecteur interesse pourra trouver quelques images sur les sites internet :http://www.palais-decouverte.fr/discip/physique/phyptcri.htmhttp://www.physics.brown.edu/Studies/Demo/thermo/demo/4c5010.htm

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14 INVARIANCES D’ÉCHELLE

moitie du XXe siecle en proposant des descriptions de cette transition2. Il s’agis-sait, au depart, de decrire la facon dont l’aimantation varie en fonction de la tem-perature et du champ magnetique applique, puis ces travaux ont donne naissancea la theorie plus generale des transitions de phase. Une premiere description dela transition liquide ↔ vapeur fut proposee en 1873 par Van der Waals, egale-ment dans son travail de these. Cette description, qui fait l’objet du § 4.4, rendcompte du changement d’etat liquide-vapeur de facon globalement satisfaisante,mais ne le decrit pas correctement dans la region critique. Il en est de meme pourla description proposee en 1907 par Pierre Weiss pour l’apparition d’aimantationdans un materiau magnetique, description qui utilise le meme type d’approxima-tion nommee champ moyen. Elle conduit au meme comportement et presente lememe desaccord avec les mesures dans la region critique.Dans cette region critique ou la temperature est proche de la transition, lesmecanismes qui regissent l’etat du systeme sont complexes. Le fait que la matieresoit desordonnee a haute temperature et ordonnee a basse temperature n’im-plique pas que la transformation doive s’effectuer a une temperature precise :elle pourrait aussi bien s’etaler sur une large gamme de temperature commec’est le cas pour des melanges complexes ou des systemes de tres petite taille.La description de Van der Waals et celle de Weiss prevoient bien une transition aune temperature precise, mais qu’en serait-il dans le cas d’une resolution exactepouvait-on se demander jusqu’en 1944 ? Cette annee-la, le physicien Lars Onsagerresolut sans approximation un modele de transition ferromagnetique dont lesresultats montrent une transition bien precise pour un systeme de tres grandetaille. Pour autant l’enigme etait loin d’etre resolue, ces resultats exacts etant endesaccord a la fois avec l’experience et avec les previsions du type champ moyen :le mystere s’epaississait. Malgre d’innombrables tentatives, il faut attendre qu’unsiecle se soit ecoule apres les travaux de Van der Waals pour qu’une theorie soiten mesure d’ameliorer notablement ces descriptions et rende enfin compte del’universalite que confirmaient toutes les experiences. La puissance de cettenouvelle approche « d’echelle » permit ensuite de l’appliquer a des champs tresdivers.

2. Les changements d’état brisent une symétrie

Avant d’introduire les descriptions de Van der Waals et de Weiss, precisons cetteidee d’un ordre modifie lors de la transition. L’ordre qui nous interesse dans lestransitions de phase abaisse l’energie interne, mais comme nous l’avons vu pour latransformation liquide-vapeur, il ne conduit pas necessairement a une organisationreguliere, cristalline, de la matiere. Il faut lui trouver une definition plus generale.Le physicien russe Lev Landau a propose en 1937 un concept qui permet d’unifierle traitement des transitions de phase. On definit pour chaque transition un para-metre d’ordre, une quantite physique nulle aux temperatures superieures a la tem-perature critique Tc, puis qui augmente progressivement lorsque l’on abaisse latemperature au-dessous de Tc jusqu’a prendre une valeur maximale a temperature

2 Leon Brillouin, Paul Ehrenfest, Ernest Ising, Lev Landau, Paul Langevin, Louis Neel, KammerlingOnnes, Lars Onsager, Pierre Weiss pour n’en citer que quelques uns (par ordre alphabetique).

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1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 15

nulle. L’ordre peut etre mesure par un scalaire – par exemple la variation de densited’un fluide – ou par un vecteur comme l’aimantation. Il s’etablit en general sousplusieurs formes ou dans differentes orientations. Pour nos deux cas exemplaires :

– il existe plusieurs directions possibles pour l’aimantation,

– le fluide peut choisir l’etat gazeux ou liquide.

–1

1,5

0,5

0

0,5

1

Par

amèt

re d

'ord

re

Tc

Température–1,5

Figure 1.1. La caractéristique générale destransitions de phase du second ordre est de faireapparaître un nouveau type d’ordre au-dessousd’une température critique Tc. On mesure l’éta-blissement de cet ordre par un paramètre d’ordrequi peut en général prendre plusieurs valeurs.Dans le schéma ci-dessus, qui correspond parexemple à l’aimantation d’un solide mesurée sui-vant un axe cristallin, il peut prendre deux valeursopposées.

Le systeme s’ordonne suivant l’une de cesorientations ou dans l’un de ces etats :la transition correspond dans le diagramme(parametre d’ordre, temperature) aux deuxchemins qu’un systeme peut emprunter lorsde l’abaissement de la temperature au-dessous de Tc (FIG. 1.1), et a la relativemodification de symetrie. Isotrope et homo-gene au-dessus de la temperature critique,la matiere bifurque, a basse temperature,dans une region macroscopique donnee, versune orientation magnetique, ou une densitepreferentielle. En l’absence d’excitation exte-rieure – ici le champ magnetique appliqueou la pesanteur – rien ne permet de pre-voir a partir des equations ou des conditionsaux limites qui determinent le systeme, labranche choisie en un point donne de l’es-pace et a un instant donne. Il s’agit d’une bri-sure spontanee de symetrie, qui viole le prin-cipe etabli par Curie, selon lequel les compor-tements physiques qui resultent de certaines equations obeissent a la symetrie deces equations et de leurs conditions aux limites. Selon la proposition de Landau,le niveau d’ordre d’un etat est mesure par cet ecart a la symetrie de depart.Dans le cas des transitions ferromagnetisme ↔ paramagnetisme et liquide ↔vapeur, ce parametre d’ordre est respectivement :

– l’aimantation (comme ecart a l’etat haute temperature d’aimantation nulle),

– la difference de densite entre le liquide et le gaz (comme ecart a l’etat indiffe-rencie du fluide hypercritique).

Cette caracterisation d’une transition de phase par la modification de la symetried’un systeme sous l’effet de la temperature est tres generale.Suivant la terminologie introduite par Ehrenfest, les transitions de phase peuventetre du premier ou du second ordre. A la temperature d’une transition du premierordre, il apparaıt au sein du systeme des regions macroscopiques de proprietescompletement differentes, glace et liquide par exemple s’il s’agit de la fusion del’eau. D’une region a l’autre la configuration microscopique change de facon dis-continue. A l’echelle macroscopique, cela se traduit par une discontinuite de cer-taines derivees premieres des potentiels thermodynamiques, et notamment, parl’existence d’une chaleur latente de transition.

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16 INVARIANCES D’ÉCHELLE

0

–1

1

2

3

4

Den

sité

Liquide

Gaz

C

L

G

Température

Figure 1.2. La transition liquide ↔ vapeur estdu premier ordre (flèche en pointillés) si la densitédu fluide est différente de la densité critique, soiten tout autre point que C. Dans ce cas, lorsquel’on abaisse la température jusqu’à la courbe decoexistence (point L) il apparaît des bulles de gaz(point G) de densité très différente de celle dufluide de départ. Si la densité du fluide est la den-sité critique, la transition est du second ordre : aupoint critique C, il se forme des régions microsco-piques de type liquide et de type gaz dont les den-sités sont égales en ce point, puis se différencientde façon continue avec la température.

Lors des transitions de phase du secondordre, les derivees premieres des poten-tiels thermodynamiques sont au contrairecontinues, tandis que certaines deriveessecondes divergent. Aucun changement dis-continu n’est observe a l’echelle microsco-pique, mais seulement une divergence de lataille caracteristique des fluctuations.A mesure que l’on s’approche de la tempe-rature critique, se multiplient des regionsd’ordre tres etendues enchevetrees dans desregions de desordre egalement tres eten-dues. Cette difference est bien illustree surle diagramme (densite, temperature) d’unfluide (FIG. 1.2). On abaisse la tempera-ture d’un fluide hypercritique dont on fixe levolume, c’est-a-dire la densite moyenne. Sila densite du fluide est differente de la den-site critique, la transition liquide ↔ vapeurest du premier ordre (fleche en pointilles).En revanche, si la densite du fluide est egalea la densite critique, la transition est dusecond ordre. Seules nous interesseront lestransitions du second ordre.

3. Observations

3.1. Bifurcations et divergences au point critique liquide-vapeur

Dans notre environnement, la matiere est le plus souvent constituee de melangeset de structures complexes ; cependant, les cycles naturels conduisent parfois ala purification de certains corps. L’evaporation, la condensation, la filtration parles sols, purifient ainsi l’eau dont depend notre vie. L’eau est le premier corpspur dont nous observons quotidiennement les transformations. Ses changementsd’etat sont particuliers : la glace, a l’inverse de l’immense majorite des solides,se contracte de 7 % lorsqu’elle fond. Cela a des consequences spectaculaires, lesicebergs qui flottent, les roches qui eclatent lors du gel... Sans cette particularite,la Terre n’aurait pas le meme aspect : la banquise ne flotterait pas et ne joueraitpas son role d’isolant thermique efficace, l’equilibre thermique de la planete seraitprofondement different et la vie n’y serait pas apparue, du moins telle que nousla connaissons. Cette anomalie de l’eau vient des interactions electriques puis-santes nommees liaisons hydrogene entre les molecules. La glace ordinaire choisitune structure de type diamant, peu dense, qui lui permet d’utiliser au mieux cesinteractions pour abaisser son energie, c’est-a-dire augmenter sa cohesion. Dansl’eau liquide, les liaisons hydrogene jouent egalement un role important, mais ledesordre leur permet d’atteindre une plus grande compacite.

Page 17: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 17

50

40

30

20

10

10 100 10001 2

(kg . m– 3

)

A B

C

p (

bar)

Figure 1.3. Isothermes de l’eau dans le diagramme pression 5 f(densité) (d’après Binney et al. 1992).

La FIG. 1.3 represente, sur un reseau d’isothermes, la pression en fonction de ladensite pour l’eau. Le point C est le point critique (pc 5 22 bar, rc 5 0,323 kg/m3,Tc 5 647 K 5 374 ◦C). Lorsque l’on change la temperature d’un recipientferme contenant de l’eau, la transformation liquide-vapeur s’effectue a une den-site moyenne fixe, avec une chaleur latente donnee. Si la densite moyenne de l’eaudans le recipient est differente de rc la chaleur latente est non nulle, tandis quele liquide et la vapeur conservent chacun la meme densite durant toute la trans-formation : seule change la proportion des deux phases. La transformation est dupremier ordre comme nous en avons l’habitude a 100 ◦C, temperature d’ebulli-tion a la pression atmospherique. Au contraire, si la densite moyenne a la valeurcritique, les densites des deux phases sont strictement egales au point critique.Lorsque la temperature de transition augmente, la chaleur latente de la trans-formation liquide-vapeur diminue progressivement pour s’annuler continument aTc (FIG. 1.4).

0

0,5

1

1,5

2

2,5

400 500 600 700

Lv

(KJ

g–1)

T (K)

Figure 1.4. Chaleur latente de la transformationliquide-vapeur de l’eau en fonction de la températurede transition (d’après Binney et al. 1992).

La chaleur latente de l’eau se comportequalitativement comme l’aimantation dufer en fonction de la temperature : ellecaracterise de la meme facon la brisure desymetrie qui apparaıt a Tc lorsque la tem-perature baisse. En pratique, on choisitl’ecart de densite Dr (FIG. 1.3) entre lesphases vapeur (point A) et liquide (pointB) comme parametre d’ordre de la trans-formation. En dessous de la courbe decoexistence en pointilles, definie par cespoints, les etats homogenes correspon-dants sont inaccessibles pour de l’eau enequilibre thermodynamique.

Page 18: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

18 INVARIANCES D’ÉCHELLE

A la temperature critique, l’isotherme presente un palier horizontal a la densitecritique : la compressibilite kc diverge (voir l’exemple du xenon sur la FIG. 1.5) :

kc(T ) 51rc

≠r

≠p

∣∣∣∣Tc

(1.1)

Figure 1.5. Compressibilité duxénon, à la densité critique, enfonction de la température. Lacompressibilité diverge au pointcritique. La variation obéit à une loide puissance dont l’exposant est− 1,21, les préfacteurs étant dif-férents de chaque côté du pointcritique (d’après I.W. Smith et al.1971).

10– 4

10– 5

10– 6

10– 7

10– 4 10– 3 10– 2 5 x 10– 2

Température réduite, t =T – Tc

Tc

∂∂ T+

∂∂ T–

TC

ompr

essi

bili

té r

édu

ite,

∂ ∂(

g2 /erg

cm

3 )

3.2. Les exposants critiques

Lorsque la temperature est proche de la temperature critique, on observe que laplupart des quantites physiques impliquees presentent un comportement en loide puissance (T − Tc)x ou la quantite x est nommee exposant critique (FIG. 1.5).Nous verrons plus loin qu’un tel comportement est la signature de mecanismes

physiques precis. On utilisera un ecart de temperature reduit t 5T − TcTc

pour

decrire de facon generale les comportements critiques (TAB. 1.1). L’exposantassocie au parametre d’ordre, est conventionnellement nomme b. Sa valeurexperimentale est environ 0,32 pour la transition liquide-vapeur et 0,36 pourla transition ferromagnetique-paramagnetique. La divergence de la compressi-bilite kc et de la susceptibilite magnetique x est caracterisee par l’exposantcritique g. Sa valeur est voisine de 1,24 pour la transition liquide-vapeur del’eau (voir figure 1.5 ou g 5 1,21 pour le xenon), et de 1,33 pour la transitionferromagnetique-paramagnetique du nickel. L’exposant a caracterise convention-nellement la divergence de la chaleur specifique, l’exposant d la variation duparametre d’ordre en fonction de la pesanteur ou du champ magnetique h aT 5 Tc, l’exposant h la dependance spatiale des correlations (voir plus bas) etl’exposant n la longueur de coherence j. Nous introduisons ces deux dernieresquantites physiques au § 6, dans le contexte de l’approximation du champ moyen.

Page 19: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 19

Les valeurs de ces exposants sont etonnamment robustes par rapport aux change-ments de systeme physique. Non seulement elles sont les memes pour la transfor-mation liquide-vapeur de tous les fluides (FIG. 1.19) mais on les retrouve dans dessituations apparemment fort differentes : nous presentons au paragraphe suivantdeux exemples de transitions dans les melanges binaires de liquides et les alliages,ou les memes valeurs d’exposants sont observees.

Exposant Propriété physique Expression

a Chaleur spécifique C ∼ t− a

b Paramètre d’ordre f(T) m ∼ tb

gSusceptibilitéCompressibilité

x ∼ t− g

d Paramètre d’ordre à Tc , f(h) ou f( p) m(Tc,h) ∼ h1/d

h Fonction de corrélation G(Tc,r) ∼ r− (d − 21h)

n Longueur de cohérence j ∼ t− n

Tableau 1.1. Définition des exposants critiques.

La fonction de correlation G(r) d’une quantite f(x) est une grandeur statistiqueparticulierement utile dans l’analyse de la structure spatiale d’un systeme.Elle est definie comme la moyenne spatiale 〈· · · 〉 sur tous les couples de points(r0,r0 1 r) du produit des ecarts a la moyenne de la fonction f(x) en r et en 0 :

G(r) 5⟨(f(r) − 〈f(r)〉

) (f(0) − 〈f(0)〉

)⟩5 〈f(r)f(0)〉 − 〈f(r)〉 〈f(0)〉 (1.2)

La fonction de correlation peut etre normalisee a 1 : G(r 5 0) 5 1, en divisantl’expression precedente par

⟨f(0)2⟩−〈f(0)〉2. Si le systeme considere est isotrope,

la fonction G(r) ne depend que du module r et non pas de la direction r. « Norma-lement » la fonction G(r) montre une dependance exponentielle en r :

G(r) ∼ e−r/j

ou j definit la longueur caracteristique ou de correlation du systeme. Nous uti-liserons plus generalement le terme longueur de coherence j pour caracteriserl’echelle des variations spatiales du parametre d’ordre dans un systeme physiquedonne. La longueur de correlation est une evaluation formelle parmi d’autres dela longueur de coherence. La dependance en loi de puissance, de la fonctionG(r), G(r) ∼ r− (d− 21h), est la signature typique d’un comportement critiqueet reflete la divergence de la longueur de correlation j.La bifurcation qui accompagne le point critique est egalement observee pourd’autres proprietes, par exemple les proprietes dynamiques.La figure 1.6 illustre la bifurcation telle que l’on peut l’observer dans l’ethane dontle point critique est facilement accessible (Tc 5 32,32 ◦C, rc 5 0,207 kg/m3)pour deux proprietes dynamiques, le coefficient d’autodiffusion des molecules, etle temps de relaxation de resonance magnetique nucleaire.

3.2.1. Melanges binaires et alliages

Le meme type d’observation peut etre effectue au point critique de melangesbinaires de liquides ou pour des alliages metalliques : bifurcations et divergences

Page 20: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

20 INVARIANCES D’ÉCHELLE

permettent de mesurer les exposants critiques correspondants. Lorsque leur com-position est egale a la composition critique, on observe une separation de phaseau-dessous de la temperature critique.

TcLiquide

Vapeur

Température (°C)10 20 30 40 50 60

2

6

10

14

18

D11

(cm

2 /s

x 10

4 )

T1(

s )

Tc = 32,32 °C

Température (°C)

10 20 30 40 50 60010

14

18

22

26

30

34

Vapeur

Liquide

Fluidehypercritique

Fluidehypercritique

Figure 1.6. Transformation liquide-vapeur de l’éthane. Variation du coefficient d’autodiffusion (a) et du temps derelaxation T1 de résonance magnétique nucléaire (b), au voisinage de la température critique (d’après Critical Pheno-mena 1965).

Figure 1.7. L’opalescence critique mesurée par la divergencede la turbidité du liquide – l’inverse de la profondeur d’absorp-tion de la lumière – au voisinage du point critique de démixtiondans un mélange cyclohexane-aniline à la concentration critique(d’après Calmettes et al. 1972).

Tu

rbit

idé

(cm

– 1

)

10– 2

10– 1

1

10– 2

10– 1

1T – Tc (°C)

Figure 1.8. Bifurcation de la conductivité thermique d’unmélange binaire observée lors de sa démixtion (d’après Criti-cal Phenomena 1965).

x 10

4 (cal

/ cm

sec

°C

)

3,10

3,20

3,00

19,5 20,0 20,5

Température (°C)

C6H5NO2–C6H14

La FIG. 1.7 presente les variations de laturbidite du melange cyclohexane-anilineau point critique. Des mesures particulie-rement precises ont ete effectuees sur cesysteme, qui ont permis de caracteriseren detail son comportement critique. Dansle cas des melanges binaires, il est ega-lement possible d’observer bifurcation etdivergences sur des proprietes de transport(FIG. 1.8 et FIG. 1.9).

Page 21: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 21

1300

1200

1100

1000

Vit

esse

du

son

(m

/s)

56 58 60 62 64 66 68 70 72 74

mélangeAnilineHexane

mélangeTriéthylamineEau

Tc = 68,3°Tc = 17,9°

Température (°C) Température (°C)

Abs

orpt

ion

par

lon

gueu

r d'

onde

0,3

0,2

0,1

10 12 14 16 18 20 22 24 26 280

Figure 1.9. Bifurcation de la vitesse du son (mélange Aniline/Hexane) et divergence de l’absorption sonore (mélangetriéthylamine/eau) (d’après Critical Phenomena 1965).

3.2.2. L’ordre magnetique et l’ordre supraconducteur dans un solide

Les changements d’etat illustres aux paragraphes precedents sont induits par desmodifications de la position des atomes ou des molecules dans l’espace. Les confi-gurations des electrons dans un solide peuvent aussi evoluer a basse temperaturealors que la position des noyaux atomiques reste pratiquement inchangee. Il s’agitegalement de « changements d’etat de la matiere » au cours desquels ses proprie-tes electriques, optiques, etc. se modifient profondement. Il existe divers typesd’ordre electronique dans un solide. Nous en illustrons ici deux principaux : l’ordremagnetique et l’ordre supraconducteur. La transition supraconductrice est intro-duite brievement au chapitre 7. Retenons pour l’instant qu’il s’agit de la conden-sation d’electrons associes par paires dans un etat lie d’energie plus faible ques’ils restaient celibataires. Dans presque tous les materiaux connus, la supracon-ductivite et l’ordre magnetique s’excluent l’un l’autre (FIG. 1.10 et FIG. 1.11). Onconnaıt cependant des materiaux contenant plusieurs types d’electrons, ou unefamille conduit a la supraconductivite tandis qu’une autre est responsable de pro-prietes magnetiques. Les quelques cas ou l’on soupconne que les memes electronspourraient presenter les deux proprietes simultanement sont fort controverses.Une quinzaine d’elements sont ferromagnetiques a l’etat solide, tandis que lasupraconductivite est observee dans une cinquantaine d’elements, soit plus dela moitie des elements stables. Les temperatures de Curie relatives a la transitionferromagnetique depassent 1 000 K (1 390 K pour le cobalt), tandis que les tempe-ratures critiques de la supraconductivite n’atteignent pas 10 K (9,25 K pour le nio-bium). Pour les elements les energies caracteristiques du magnetisme sont ainsiplus de cent fois superieures a celles de la supraconductivite, bien que cette der-niere soit trois fois plus frequemment choisie a basse temperature par les cortegeselectroniques. Cette difference est due a la sensibilite particuliere du magnetismea la regularite parfaite du reseau cristallin. Il est frappant que certains alliages

Page 22: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

22 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Li3

2s

Su

prac

ondu

ctiv

ité

Mag

nét

ism

e

Ti22

3d2 4s2

0,4

V23

3d3 4s2

5,4

Cr24

3d5 4s

312

Sc11

3d4s

H1

1s Na1

1

3s K19

4s Rb37

5s Cs55

6s (1,5)

Fr87

7s

Be4

2s2

0,02

6

Mg1

2

3s2

Ca20

4s2

Sr38

5s2

Ba5

6

6s2

(5,4)

Ra88

7s2

Y39

4ds6

2

(2,5)

La57

5d6s

2

6,0

Ac89

6d7s

2

Lu71

4f14 6s2

0,1

Zr40

4d2 5s2

0,81

Hf72

5d2 6s2

0,13

Nb4

1

4d4 5s2

9,25

Ta7

3

5d3 6s2

4,47

Mo4

2

4d8 5s

0,92

W74

5d4 6s2

0,018

Mn2

5

3d8 4s2

96 Tc43

4d5 5s

7,8

Re75

5d5 6s2

1,70

Fe26

3d6 4s2

1040

Ru44

4d7 5s

0,49

Os7

6

5d6 6s2

0,66

Co27

3d7 4s2

1390

Rh45

4d8 5s

Ir77

5d9

0,11

Ni28

3d5 4s2

628

Pd46

4d10

Pt78

5d9 6s

Cu29

3d104s

Ag47

4d105s

Au79

5d106s

Zn30

3d104s

2

0,85

Cd48

4d105s

2

0,52

Hg80

5d106s

2

4,15

B5

2s2 2p

al13

3s2 3p

1,18

In49

5s2 5p

3,4

Tl81

6s2 6p

2,38

Ga3

1

4s2 4p

1,08

(7,5)

C6 2s2 2p2

Si14

3s2 3p2

(7,1)

Sn50

5s2 5p2

3,72

Pb82

6s2 6p2

7,19

Ga3

2

4s2 4p2

(6,3)

N7

2s2 2p3

P15

3s2 3p2

(5,8)

Sb51

5s2 5p3

(3,5)

Bl83

6s2 6p3

(8,5)

As33

4s2 4p3

(0,5)

O8

2s2 2p4

24 S16

3s2 3p4

Te52

5s2 5p4

(4,3)

Po84

6s2 6p4

Se34

4s2 4p4

(6,9)

F9 2s2 2p5

Cl17

3s2 3p5

I53

5s2 5p5

At85

6s2 6p5

Br35

4s2 4p5

Ne1

0

2s2 2p2

He2

Is2

Ar18

3s2 3p6

Kr36

4s2 4p6

Xe54

5s2 5p6

Rn86

6s2 6p6

Ce58

4f26s

2

1,7

Th90

6d2 7s2

1,38

12

Pr59

4f36s

2

Pa91

1,4

5f2 6d7s2

U92

0,25

5f3 6d7s2

Nq6

0

4f46s

2

19

Pm61

4f56s

2

Np9

3Pu

94

Sm62

4f66s

2

106

Am95

Eu63

4f76s

2

89

Cm96

Gd6

4

293

4f7 5d6s2

Bk9

7

Tb65

229

4f9 5d6s2

Cf98

Dy6

6

4f10 6s2

178

Es99

Ho6

7

4f11 6s2

132

Fm100

Ho6

8

4f12 6s2

95

Md1

01

Tm69

4f13 6s2

56

Yb70

4f14 6s2

Figu

re1.

10.

Les

prop

riété

sél

ectro

niqu

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sél

émen

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bass

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mpé

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gm

ater

ials

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Jan

Evet

ts,P

erga

mon

pres

s,Ox

ford

1992

).

Page 23: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 23

metalliques comme tungstene-molybdene, ne deviennent supraconducteurs quelorsqu’ils sont desordonnes a l’echelle atomique (FIG. 1.12) : le magnetisme n’estplus un gain energetique important dans un materiau desordonne, au contraire dela supraconductivite. Ces deux familles de transitions sont sensibles aux conditionsphysiques comme la pression.

Figure 1.11. Température de Curie(échelle de gauche) et tempéra-ture critique de supraconductivité(échelle de droite) des principauxéléments ferromagnétiques (carrés)ou supraconducteurs (cercles) pourles séries 4, 5 et 6 du tableau deMendeleiev. La couleur des cerclescorrespond aux conditions d’ob-servation de la supraconductivité :cercles gris pour des matériauxmassifs, cercles blancs pour desmesures sous pression, cercles grisfoncé pour des films ultraminces.

Co

Ca

CrZn Ga

Ti

GeSe

As

Co

Ni

Mn

V

Fe

Fe

Période 41500

1000

500

00,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0

4

8

T c d

e su

prac

ondu

ctiv

ité

(K)

Remplissage de la couche

Période 6300

200

100

00,0 0,2 0,4 0,8 1,0

0

4

8

LaBa

Ta

Bi

Pb

Hg

TlRe

OsIrL Hf W

0,6

Tb

Dy

Ho

ErTm

SmEu

Ce Nd

Gd

Cs Ce

Nb

Pd

Te

Tc

Zr MoRu

RhCd

In Sn Sb

Y

Sr

TC

uri

e (K

)

Période 5

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

4

8

Figure 1.12. Supraconductivité d’alliages métalliques en fonc-tion du nombre d’électrons sur la couche périphérique : en tiretéles alliages cristallisés, en continu les alliages désordonnés sousforme de verres métalliques (d’après Concise encyclopedia ofmagnetic & superconducting materials, Ed. Jan Evetts, Pergamonpress, Oxford 1992).

Page 24: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

24 INVARIANCES D’ÉCHELLE

3.3. L’hélium superfluide

25,0

p (

atm

)

1,0

2,7 4,2T (K)

HeIHeII

B

S

L

LV

Figure 1.13. Le diagramme de phase de l’hé-lium 4 (d’après Morandi et al. 2001).

Parmi tous les elements, l’helium presentedes proprietes uniques. A pression atmosphe-rique, il ne se solidifie pas quelle que soitla temperature, et ce n’est qu’au-dessus de25 atmospheres qu’il se solidifie a tempe-rature nulle (FIG. 1.13). Cette particulariteest due au fait que les atomes d’heliumpresentent de faibles interactions mutuellescomme tous les gaz rares. Etant en outre leplus leger d’entre eux, les mouvements « depoint zero » des atomes prevus par la meca-nique quantique sont suffisamment impor-tants pour que l’etat solide soit instable atemperature nulle.La caracteristique essentielle de l’isotope helium 4 est cependant qu’il possededeux phases liquides, une phase liquide normale et une phase superfluide dont laviscosite est nulle. L’autre isotope stable 3He de l’helium presente lui aussi unephase superfluide, mais au-dessous d’une temperature de 2,7 millikelvins, millefois plus basse que celle de la transition superfluide de 4He. Ces deux transitionscorrespondent a des mecanismes physiques differents, qui sont cependant appa-rentes tous deux a la supraconductivite (voir le chapitre 7).Pourquoi s’interesser autant a une physique certes riche, mais qui ne concernequ’un seul element ? Une premiere raison est que l’on dispose d’un corpus conside-rable de resultats experimentaux d’une extreme precision sur la transition super-fluide, accumules depuis les annees 1930 grace a la possibilite de purifier parfaite-ment le gaz et aux moyens cryogeniques puissants utilises. L’helium lui-meme estla base de tous les cryostats. Une autre raison reside dans la nature quantique de latransition superfluide : le parametre d’ordre est une fonction d’onde complexe. Latransition superfluide et la supraconductivite sont les meilleures illustrations dela situation physique modele XY ou le parametre d’ordre est une quantite a deuxcomposantes reelles. Traditionnellement, les situations ou le nombre n de com-posantes du parametre d’ordre est 1 ou 3 sont respectivement nommees modeled’Ising (n 5 1, voir § 4.2 de ce chapitre) et modele de Heisenberg (n 5 3).

4. Modèles

4.1. Le modèle du gaz parfait

Les transitions de phase sont dues aux interactions microscopiques, entre spinspour le magnetisme ou entre molecules pour la transition liquide ↔ vapeur. Il estfort difficile de prendre en compte de facon rigoureuse ces interactions, notam-ment parce qu’elles ne sont pas additives (leur effet ne double pas lorsque la tailledu systeme est multipliee par deux). Il n’est pas inutile de rappeler brievementles proprietes du modele du gaz parfait ou l’on neglige totalement les interactionsentre molecules. Depuis l’antiquite, les gaz – de Geist (esprit) nom propose auXVIIe siecle par Van Helmont – ont represente un etat ideal de la matiere. Les

Page 25: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 25

physiciens du XIXe siecle ont tire de l’etude de l’etat gazeux un modele de gazparfait, simple et efficace. Ce modele suppose pourtant que les molecules pre-sentent simultanement deux proprietes contradictoires :

– elles sont supposees interagir peu, au sens ou leur energie d’interaction doitetre negligeable par rapport a leur energie cinetique,

– elles sont supposees interagir souvent, le gaz parfait devant etre a l’equilibre achaque instant.

Moyennant cette pirouette conceptuelle, le modele du gaz parfait represente labase de toute description thermodynamique. Son equation d’etat s’ecrit pv 5 kTou v est le volume moyen occupe par chaque molecule, p la pression et T la tem-perature absolue et k la constante de Boltzmann. En se fondant sur cette loi empi-rique, Gay-Lussac proposa en 1802 l’existence d’un zero absolu de temperature,zero absolu dont Lord Kelvin fixa la valeur extremement precise de −273,15 ◦C undemi-siecle plus tard. Pour la plupart des proprietes des gaz reels et des solutionsdiluees, cette description simplifiee est suffisamment precise. Si l’on consideremaintenant les proprietes paramagnetiques d’un aimant, suivant la loi de Curiequi neglige toute interaction entre les spins, l’aimantation moyenne M est relieeau champ magnetique applique H et a la temperature T par la relation :

M 5C

TH (1.3)

Cette relation peut etre rapprochee de l’equation d’etat des gaz parfaits si l’onexprime dans cette derniere le volume moyen occupe par une molecule, en fonc-tion de la densite moleculaire n 5 1/v :

n 51kTp (1.4)

Dans les deux cas, la variable intensive – respectivement M et n− poprotionnelleau champ exterieur applique – la pression p pour le gaz et le champ magnetiqueH pour l’aimant – est inversement proportionnelle a la temperature. Comme nousle montrons ci-dessous, cette proportionnalite est la consequence du fait que lesmodeles negligent toute interaction entre les molecules du gaz ou entre les spinsde l’aimant. La forme de ces lois exprime les proprietes thermiques moyennescalculees pour une seule particule, que l’on multiplie ensuite par le nombre departicules. Par exemple, dans le cas d’un systeme de N spins mj 5 ±m, l’aimanta-tion moyennem par spin est obtenue a partir de la definition de la moyenne d’unevariable thermodynamique :

m 5< M >

N5

1N

∑i

Mie−Ei/kT

∑i

e−Ei/kT(1.5)

ou Ei l’energie totale du systeme dans la configuration i de l’ensemble {mj}des moments du systeme. En faisant apparaıtre explicitement ces moments, onobtient :

m 51n

∑{mj}

[∑j

mj

]e

PjmjH/kT

∑{mj}

e

PjmjH/kT (1.6)

Page 26: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

26 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Le calcul est tres simple dans ce cas puisque l’on neglige toute interaction entreles spins. En effet,m est alors simplement la valeur moyenne de l’aimantation d’unspin isole :

m 5m emH/kT − me−mH/kT

emH/kT 1 e−mH/kT 5 m tanh(mH/kT ) (1.7)

Si l’energie d’excitation mH reste petite devant l’agitation thermique kT , ce quicorrespond a la situation la plus frequente, au premier ordre en mH/kT la reponseM de N spins est proportionnelle a la cause :

M 5 NmmH

kT(1.8)

Cette reponse pour de faibles energies d’excitation Eex 5 mH se presente sous laforme generale suivante

Reponse 5 Reponse maximaleEexkT

(1.9)

Pour les gaz parfaits, ou le volume occupe par une molecule est vm, on retrouveainsi la loi n 5 p/kT :

n 51vm

pvmkT

(1.10)

Un autre exemple d’application de la loi (eq. 1.9) concerne la pression osmotiquequi gonfle les cellules biologiques proportionnellement a la concentration de selqu’elles contiennent : la relation entre la concentration et la pression est tresexactement la meme que celle du gaz parfait tant que la concentration n’est pastrop elevee. Autre exemple, l’elasticite entropique L d’une longue chaıne de poly-mere a laquelle on applique une force de traction F . Si l’on suppose que les Nchaınons de longueur a – les monomeres – sont sans interaction, on peut evaluersimplement la relation entre L et F :

L 5 NaFa

kT(1.11)

Cela conduit a une elasticite L 5C

TF d’origine entropique, ou la raideur est

proportionnelle a la temperature. Consequence etonnante : soumis a une forceconstante, un materiau polymere – par exemple un morceau de caoutchouc – secontracte lorsqu’on le chauffe, ce qui peut etre verifie experimentalement. Maiscontrairement au cas des gaz, le modele ci-dessus est insuffisant pour decrirequantitativement l’elasticite des polymeres dont les interactions entre chaınonsne peuvent etre negligees. Nous discutons plus loin cette question dite du volumeexclu des polymeres au chapitre 6.

4.2. Le magnétisme, les modèles, le modèle d’Ising

Pour aller plus loin, c’est-a-dire tenter de prendre en compte les interactions entreparticules ou entre spins, il faut construire des modeles, les resoudre et discuterleur pertinence comme outil de representation de la realite. C’est traditionnelle-ment dans le magnetisme que les physiciens ont puise leurs premieres descriptionset c’est du magnetisme que sont issus la plupart des modeles utilises.

Page 27: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 27

Le ferromagnetisme, propriete de presenter une aimantation en l’absence d’exci-tation exterieure, presente toutes sortes d’applications : c’est notamment gracea lui que nous archivons aujourd’hui une immense quantite d’informations surnos « disques durs ». Mais la raison de la place particuliere du magnetisme dansla modelisation des changements d’etat est liee a une situation microscopiquesimple, bien plus simple par exemple que celle des fluides : les spins des atomesy sont consideres comme fixes et regulierement disposes. Le modele de l’aimantparfait que nous venons de presenter ne prevoit aucune aimantation spontanee :chaque spin etant independant de son voisin, rien ne le pousse a s’orienter dansune direction plutot qu’une autre en l’absence d’un champ magnetique applique.Pour se rapprocher de la realite, il est necessaire de modeliser les interactions.Le modele d’Ising, propose par W. Lenz en 1920 et resolu a une dimension parErnest Ising en 1925, est le plus simple que l’on puisse imaginer. Malgre cela, ilpermet de decrire rigoureusement l’aimantation d’un solide et ses transitions dansla region critique, ainsi qu’un grand nombre de changements d’etat sans rapportapparent avec le magnetisme.

N

S

Figure 1.14. L’aimantation d’un matériau est la somme des aimantationsdues aux spins des électrons situés sur chacun de ses atomes. La phy-sique quantique stipule que la mesure physique quantique de l’aimantationd’un spin-spin suivant une direction donnée, ne peut prendre que quelquesvaleurs très précises. Dans le cas le plus simple, celui de spins 1/2, ce sontuniquement deux valeurs opposées que l’on peut observer. Ising a proposéun modèle simple où chaque spin est placé sur un réseau régulier et peutprendre les valeurs 1 1 (noir) ou − 1 (blanc), symbolisé ici par un damier.Le même modèle peut être appliqué aux alliages et aux mélanges binaires.

L’aimant de la FIG. 1.14est a basse temperature :l’ensemble des spinsest globalement orientemais l’agitation ther-mique oriente quelquesspins en sens oppose dela majorite. Ising decritle cas le plus simple d’unreseau regulier de spins1/2, ou la projection del’aimantation d’un spinsur une direction don-nee de l’espace ne peutprendre que deux valeursopposees. On choisit desunites adaptees de faconque ces valeurs mesu-rables soient 1 1 et −1.Grace a ce modele, on peut representer simplement l’etat d’un aimant contenantde tres nombreux spins, par exemple a l’aide d’un damier dont les cases sontnoires si les spins y sont dans l’etat 1 1, ou blanches s’ils sont dans l’etat −1(FIG. 1.14). Sous cette forme, le modele d’Ising s’applique bien a l’etude de l’ordredans un alliage binaire constitue de deux sortes d’atomes, noirs ou blancs. Nomme« gaz sur reseau », ce modele conduit en outre a des conclusions utiles lorsqu’ilest applique a la transformation liquide-vapeur : une case noire represente alorsun emplacement dans l’espace, noir s’il est occupe par une molecule, ou blanc s’ilest vide.Dans la majorite des situations reelles, deux spins voisins s’attirent quand ils ont lameme orientation – leur energie est alors abaissee de la valeur J, et se repoussentquand ils ont des orientations opposees – leur energie est alors augmentee de lavaleur J (FIG. 1.15). La quantite J se calcule a partir de la description quantique

Page 28: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

28 INVARIANCES D’ÉCHELLE

microscopique du materiau. Si J est positif, le materiau est dit ferromagnetique,sinon il est antiferromagnetique. Le fer, le cobalt, le nickel et bien d’autres metauxsont des exemples de metaux ferromagnetiques qui presentent une aimantationspontanee au-dessous de leur temperature critique.

Attraction Répulsion

– J

– J

J

J

Figure 1.15. Les quatre situations possiblesd’un ensemble de deux spins en interaction fer-romagnétique : les spins abaissent leur éner-gie lorsqu’ils sont dans la même direction, etils augmentent leur énergie, s’ils sont dans desdirections opposées.

Voyons comment se comportent deux spinsisoles du reste de l’univers, lorsque la tem-perature change. A tres basse temperature,l’agitation thermique ne joue plus aucunrole, et le systeme de deux spins est dans undes deux etats de plus basse energie ou l’ai-mantation est maximale, c’est-a-dire un etatou les deux spins ont la meme orientation.Au contraire, a tres haute temperature c’estl’agitation qui domine, assurant la meme pro-babilite d’occupation a tous les etats. Onobtient l’expression generale de la moyennede la valeur absolue de m, l’aimantation rap-portee a un moment, en appliquant l’eq. 1.5 :

m 51N

∑{mj}

abs

∑j

mj

eJ/kTPj,k

mjmk

∑{mj}

eJ/kT

Pj,k

mjmk(1.12)

Dans le cas de deux spins de valeur 1 1 ou −1, l’aimantation rapportee a sa valeurmaximale vaut 1 pour les deux etats ou les spins sont alignes, et 0 pour les deuxetats ou ils sont opposes. En sommant sur les quatre configurations de la FIG. 1.15on obtient :

m 512· 2 · 2x2

2x2 1 2x−2 5x2

x2 1 x−2 (1.13)

ou x 5 eJ/kT est le facteur de Boltzmann correspondant a deux spins voisins dememe orientation. L’aimantation m est egale a 1/2 a haute temperature (x 5 1).Ce resultat, etonnant car on s’attendrait a une aimantation spontanee nulle ahaute temperature, est du a l’extreme petitesse du systeme : il n’y a pas assez despins pour que l’aimantation tende vers zero a haute temperature. Pour le veri-fier, on peut effectuer le meme calcul sur un micro-aimant un peu plus grand, unsysteme de 4 spins.Sur la FIG. 1.16 sont representes les 16 etats possibles d’un tel micro-aimant de4 spins. A basse temperature, l’aimantation est maximale, et l’aimant occupe l’undes deux etats ou tous les spins sont alignes. Cet exemple permet d’illustrer unedifficulte essentielle de la prise en compte des interactions : l’energie resultant deces interactions n’etant pas additive, les outils habituels de la thermodynamiquene fonctionnent pas (l’energie due aux interactions croıt plus vite que la tailledu systeme). A haute temperature, l’agitation thermique donne autant de chancea chaque etat. En ponderant chaque etat par la valeur absolue de l’aimantationcorrespondante, on calcule la moyenne de la valeur absolue de l’aimantation mrapportee a l’aimantation maximale (5 4) de la meme facon que pour deux spins.

Page 29: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 29

On obtient ainsi :

m 514· 4 · x4 1 2 · 8x0 1 4 · x4

2x4 1 12x0 1 2x−4 5x4 1 2

x4 1 6 1 x−4 (1.14)

Les états microscopiques d'un aimant contenant 4 spins(pour un champ magnétique appliqué H = 0)

Aimantation ÉnergieSpinsen bas

0

1

2

3

4

4

2

0

– 2

– 4

– 4J

0

0

0

– 4J

Énergie

+ 4J

Figure 1.16. Un système de 4 spins peut se trouver dans 24 5 16 états microscopiques distincts si chaquespin peut prendre soit l’état 1 1 (en noir) soit l’état − 1 (en blanc). Ces états sont rangés ici en cinq familles paraimantation décroissante : lorsque tous les spins sont dans l’état 1 1 l’aimantation est maximale et égale à 4. Si 1, 2,3, ou 4 spins sont dans l’état − 1, elle vaut respectivement 2, 0, − 2 ou − 4. Si l’on compte les énergies d’interactionsuivant la règle de la FIG. 1.15, on identifie trois familles : a) les 2 états où tous les spins sont alignés avec l’énergieminimale et égale à − 4J b) 12 états où l’énergie est nulle car il y a autant d’interactions attractives que d’interactionsrépulsives c) 2 états d’énergie maximale 4J où les spins 1 1 et − 1 sont alternés ce qui conduit à des interactionstoutes répulsives.

Aim

anta

tion

(en

un

ités

d'a

iman

tati

on m

axim

ale)

0,5

0,0

1,0

0,1 1 10 100Température (J/k)

Micro-aimant à 2 spins

Modèle d'Ising 2D (Onsager)

Micro-aimant à 4 spins

Figure 1.17. L’aimantation de deux micro-aimants de2 ou 4 spins montre une transition progressive quandla température varie. L’aimantation du modèle d’Ising à2 dimensions calculée exactement par Onsager montreau contraire une transition très nette.

La FIG. 1.17 montre la comparaison decette transition en fonction de la tem-perature pour les micro-aimants de 2 et4 spins. Elle s’effectue progressivementlorsque la temperature T est telle quekT est de l’ordre de l’energie d’interac-tion J. La transition est ici etalee surdes temperatures variant de 1 a 10 enunites J/k, mais les changements d’etatque nous observons dans la realite se pro-duisent pour une temperature extreme-ment precise. Cette finesse de la transi-tion vient du tres grand nombre de spinsimpliques. Avant les annees 1970, seulela transition du modele d’Ising sur unreseau carre a 2 dimensions avait ete pre-vue par un calcul rigoureux, celui de LarsOnsager en 1944. La FIG. 1.17 montreque dans ce modele la transition se produit dans une fenetre de temperature parti-culierement etroite comparativement au cas des micro-aimants. Nous reviendronssur cette resolution exacte qui jeta le trouble dans la communaute des physiciens,apres avoir fascine les mathematiciens par sa complexite formelle. Auparavant,

Page 30: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

30 INVARIANCES D’ÉCHELLE

nous introduisons la description « classique » des transitions dans le cadre de l’ap-proximation dite du champ moyen.

4.3. Un modèle minimal de transition

Deux ingredients sont indispensables dans tout modele de transition ordre-desordre :

– l’existence d’interactions entre les particules,– une valeur maximale du parametre d’ordre.

Ce dernier point est intuitif aussi bien dans les aimants – tous les spins sont ali-gnes – que dans les gaz – toutes les molecules « se touchent » lorsqu’on atteintl’etat liquide. Cette idee a ete clairement exprimee en 1683 par Bernoulli quis’opposait a la loi de Boyle-Mariotte : suivant celle-ci, le volume d’un gaz pour-rait etre reduit a zero par une tres grande pression. Sa densite serait alors infinieremarquait Bernoulli. Il montrait qu’au contraire elle se sature a la valeur de ladensite du liquide et que celui-ci est pratiquement incompressible. Si l’on utiliseces deux proprietes, quelle est l’idee la plus economique qui prevoit l’apparitiond’une transition au sein d’un grand systeme de particules ?

Réponse = A x [Force + a (Réponse)]

Systèmephysique

Force Réponse

L’idee de champ moyen est d’ameliorerd’une facon minimale le modele de lareponse lineaire, pour prendre en compteles interactions : on suppose qu’une partiede la force appliquee sur le systeme – lechamp magnetique ou la pression – vientdu systeme lui-meme.Cette force reinjectee par l’ensemble desparticules sur chacune d’elles est le champmoyen.Pour le gaz, cette idee repose sur le fait que plus la densite du fluide est impor-tante, plus les interactions contribuent a une force attractive entre les molecules :les effets de la densite (la reponse) doivent s’ajouter aux effets de la pressionexterieure. De meme pour l’aimant, les effets de l’aimantation moyenne des spinsvoisins doivent s’ajouter au champ magnetique applique. Cette reecriture de lareponse lineaire ... n’est plus lineaire en general ! Elle fait apparaıtre une proprietecompletement nouvelle : meme en l’absence de champ exterieur, il peut exister unereponse qui s’auto-entretient. Il suffit pour cela que le poids de la retroaction acree un champ moyen d’intensite suffisante. Voyons les resultats que donne cettemethode pour les gaz puis pour les aimants.

4.4. Le fluide de Van der Waals

En 1873, Johannes Van der Waals propose la premiere application de cette ideeaux gaz : il part de la loi de Gay-Lussac en ajoutant a la pression une pressioninterne comme « champ moyen ». Il suppose que cette pression interne depend dela densite :

n 51kT

{p 1 a(n)} (1.15)

Page 31: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 31

Pre

ssio

n r

édu

ite

Densité réduite

0 0,5 1 1,5 20,5

1

Courbe de saturation

t = 0,05t = 0

t = – 0,05

Figure 1.18. Les isothermes tels qu’ils sont prévuspar l’équation de Van der Waals au voisinage de la

température critique t 5T − Tc

Tc5 0.

Cette relation montre que la densite n dufluide peut rester grande meme si la pres-sion est tres faible : un etat condense existea basse temperature quelle que soit la pres-sion. La pression interne remplace alorsla pression appliquee de l’exterieur. Enpratique, Van der Waals choisit une pres-sion interne proportionnelle au carre dela densite a(n) 5 a 3 n2 en raisonnantainsi : la pression interne est proportion-nelle au nombre de molecules par unitede volume n, multipliee par l’influence detoutes les molecules voisines sur chacuned’elles. Cette influence etant egalementproportionnelle a la densite n, on trouve leresultat de Van der Waals. Pour que le modele conduise a une transition de phase,il faut le rendre plus realiste en introduisant une limite maximale de la densite1/b. L’equation d’etat de Van der Waals est connue sous la forme equivalente, aupremier ordre :

( p 1 a/v2)(v − b) 5 kT (1.16)

ou v 5 1/n est le volume moyen occupe par une molecule. Cette equation d’etatdecrit correctement les transitions liquide ↔ vapeur, sauf pres du point critiquecomme nous le verrons plus loin. Elle prevoit l’existence d’un point critique, oul’isotherme correspondante possede un point d’inflexion de pente nulle, pour lesvaleurs suivantes :

vc 5 3b pc 5 8a/27kb Tc 5 a/27b2 (1.17)

Si l’on utilise les parametres reduits, p, f, u, qui sont respectivement, p, v, T ,rapportes a leur valeur critique, on obtient une equation d’etat universelle :

(p 1 3 / f2)(3f− 1) 5 8u (1.18)

Figure 1.19. La région d’équilibreliquide ↔ vapeur est limitée par la courbede saturation de la vapeur sur le diagrammetempérature/densité. Elle est représentéeici pour différents corps de façon à fairecorrespondre leurs points critiques (d’aprèsGuggenheim 1945). Les courbes sont trèsvoisines les unes des autres. L’étude numé-rique de la forme de cette courbe de saturationuniverselle conduit à la « loi empirique deGuggenheim » d’exposant 1/3 (courbe engris). En noir la courbe de saturation déduitede la loi de Van der Waals qui utilise l’ap-proximation du champ moyen. L’exposant 1/2prévu ne correspond pas à l’expérience.

0 1 20,55

1Gaz Réels

Van der Waals

Densité réduite

Tem

péra

ture

réd

uit

e

Page 32: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

32 INVARIANCES D’ÉCHELLE

La plupart des gaz reels obeissent tres bien a cette loi des etats correspondants,selon laquelle leur equation d’etat en parametres reduits est universelle. LaFIG. 1.19 represente les courbes de coexistence de huit gaz differents dans lescoordonnees reduites (1/f , u) : celles-ci sont remarquablement superposees.Cependant, la courbe de coexistence « universelle » que l’on deduit de l’equationde Van der Waals (eq. 1.18) ne rend pas du tout compte de l’experience.

4.5. L’aimant de Weiss

Pierre Weiss, apres une dizaine d’annees d’experiences sur les aimants, propose en1906 de modifier la loi de Curie de la facon dont Van der Waals avait modifie la loide Gay-Lussac :

M 5C

T{H 1 a(M)} (1.19)

Le choix de Weiss est que ce « champ moyen » a(M), nomme egalement champmoleculaire, soit simplement proportionnel a l’aimantation M . Cette loi de Weissrend bien compte des transitions magnetiques observees notamment par PierreCurie, sauf pres du point critique. Les predictions de Pierre Weiss surprirent lesphysiciens. Dans les quinze ans qui suivirent les mesures d’aimantation a bassetemperature par Kammerling Onnes, les amplifications des crepitements sonoresdus au retournement de regions magnetiques par Backhausen et les observationsdirectes des domaines magnetiques par Bitter lui donnerent entierement raison.En utilisant le champ moyen et une relation plus precise que celle de Curie entreM et H, relation proposee par Paul Langevin, Pierre Weiss put calculer la valeurde l’aimantation spontanee en fonction de la temperature dans l’approximationdu champ moyen.

Aim

anta

tion

(en

un

ités

d'a

iman

tati

on m

axim

ale)

Température (J/k)

Réseau Ising fini 2 spinsRéseau Ising fini 4 spinsIsing 2D exact (Onsager 1944)Premier ordre du Champ moyenPrédiction du Champ moyen

m = e2K/(e2K+e–2K)m = (4e4K+8)/(e4K+6+e–4K)m = [1–(1–th2K)4/16th4K]1/8

m = 31/2(4–T)1/2

m = th(Km)

0,0

0,5

1,0

1,5

0 1 2 3 4 5 6

Figure 1.20. L’aimantation calculée par Weiss grâce à l’idée du champ moyen (courbes en , et en aupremier ordre près de la transition) champ moyen, comparée à l’aimantation d’un aimant réel à deux dimensionscalculée par Onsager en 1944 (courbe en ). Pour comparaison, le comportement thermique d’un système dedeux spins (en ) et d’un système de 4 spins (en ). Le paramètre K est la constante de couplage réduiteK 5 J/kT .

Page 33: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 33

De facon plus quantitative si l’on reprend l’eq. 1.7 pour les spins independants,l’hypothese de Weiss s’ecrit dans un reseau ou chaque spin presente q voisins, aveclesquels il interagit avec une energie J :

m 5 tanh(qJm/kT ) (1.20)

L’on introduit la constante de couplage reduite K 5 J/kT . L’equation ci-dessus,qui s’ecrit m 5 tanh(4Km) pour un reseau carre, conduit a l’aimantation reduitepresentee sur la FIG. 1.20. Au premier ordre par rapport a l’ecart de temperaturea la temperature critique, la valeur de m est :

m ∼√

3 · (4 − t)1/2

La figure compare la variation de cette aimantation a celle calculee exactementpour un aimant a deux dimensions, telle qu’elle est prevue par le resultat d’On-sager. Malgre sa simplicite, l’approximation du champ moyen restitue bien lescaracteres essentiels du changement d’etat :

– aimantation maximale a basse temperature,– aimantation nulle a haute temperature,– transition a une temperature critique tres precise.

Bon accord a basse temperature

De plus, l’accord a basse temperature est excellent avec l’experience des que laquantite de couplage reduite K 5 J/kT s’eloigne sensiblement de la valeur cri-tique Kc 5 J/kTc : dans ces conditions, les spins sont en majorite alignes. Pourrenverser un spin dans cet alignement parfait sur un reseau carre, il faut trans-former quatre interactions −J en quatre interactions 1 J , operation d’un coutenergetique de 8J . Au premier ordre, l’aimantation reduite s’exprime grace aufacteur de Boltzmann correspondant :

m 5 1 − 2e−8K (1.21)

0,0

0,100

1 –

m

K

0,010

0,001

0,000

1,000

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Ising 2D (Onsager)Champ moyen2 e – 8K

Figure 1.21. Écart à l’aimantation maximale comparé pourle champ moyen et la résolution exacte du modèle d’Ising à 2dimensions : dès que la valeur du couplage K 5 J/kT est del’ordre ou supérieure à 1, l’approximation du champ moyenconduit à une valeur excellente de l’aimantation.

La FIG. 1.21 montre que l’approxi-mation du champ moyen et la valeurexacte pour le modele d’Ising 2Dse confondent avec la valeur donneepar l’eq. 1.21 des que K est supe-rieur ou egal a 1. On observe pour-tant que la description n’est pas cor-recte autour de la temperature cri-tique – la temperature de Curie – :ni la temperature elle-meme, ni sur-tout la forme de la variation ne sontreproduites fidelement.Nous venons d’explorer brievement,avec Johannes Van der Waals etPierre Weiss, l’idee que l’effetdes interactions entre particulespeut etre resume a un « champmoyen », qui s’applique de facon

Page 34: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

34 INVARIANCES D’ÉCHELLE

identique a chacune d’elles. Finalement, cette methode donne d’excellents resul-tats loin du point critique, et des resultats mediocres a son voisinage. Pendantpres d’un siecle, les physiciens furent confrontes au defi de trouver un meilleuroutil.

4.6. L’universalité de l’approche champ moyen

Johannes Van der Waals et Pierre Weiss n’avaient sans doute pas conscience queleurs approches etaient aussi apparentees dans leur principe. Mais surtout, ils nese doutaient pas que la majorite des tentatives pour les ameliorer, de fait toutesles tentatives jusque dans les annees 1970, conduiraient au meme comportementcritique et donc aux memes exposants. C’est ce que nous definissons plus loincomme une seule et meme classe d’universalite. L’universalite du comportementcritique qui decoule des approches du type champ moyen, et son inadequation ala description des transitions de phase reelles, tiennent au fait suivant : la por-tee des correlations y est supposee courte. Nous introduisons au § 6 cette notionde correlation qui mesure la facon dont le parametre d’ordre est relie entre deuxpoints quelconques d’un systeme. Pratiquement, que la portee des correlations –elle-meme nommee longueur de coherence – soit supposee nulle ou finie ne modifiepas le comportement critique obtenu. En effet, la portee des correlations divergeau point critique, et il existe donc toujours une region proche de Tc ou leur por-tee est plus grande qu’on ne l’a suppose. Dans cette region, la region critique, lesapproches champ moyen ne decrivent pas correctement les exposants. Le physi-cien Ginzburg a propose un critere pour evaluer quantitativement la region cri-tique. Nous le presentons au § 6 de ce chapitre.

Exposant a b g d h n

Valeur prévuepar le champ moyen

0 1/2 1 3 0 1/2

Dans certains systemes physiques, la region critique est tellement petite que l’onne peut l’observer. C’est le cas des transitions de phase que presentent les ele-ments supraconducteurs, les ferroelectriques, les cristaux liquides, etc., pour les-quelles les exposants prevus par l’approximation du champ moyen correspondentbien aux valeurs mesurees.

4.7. Modèle d’Ising 2D

En 1944, paraıt dans le volume 65 de la Physical Review (p. 117), un article deLars Onsager qui marque une etape essentielle dans la description des transitionsde phase. Il s’agit de la resolution exacte du modele d’Ising a 2 dimensions. Untravail formel habile et complexe permet de decrire rigoureusement le compor-tement critique de toutes les quantites physiques pour cette situation modele(tableau 1.2).Les exposants critiques calcules dans le cadre du modele d’Ising 2D sont differentsde ceux prevus par l’approximation du champ moyen (tableau 1.2). Ces resultatsconstituerent un defi pour les physiciens. De nombreux laboratoires s’attelerent a

Page 35: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 35

des mesures extremement precises pour departager ces deux approches. Parallele-ment, diverses approches numeriques ou formelles avaient egalement pour objectifd’evaluer les valeurs des exposants critiques. A la fin des annees 1960, une quan-tite considerable de resultats tres precis pouvaient etre compares aux previsions,mais sans grand succes.

ExposantPropriété

physiqueExposant du modèle

d’Ising 2DExposant du champ

moyen

a Chaleur spécifique 0 0

b Paramètre d’ordre f(T) 1/8 1/2

gSusceptibilité

Compressibilité7/4 1

dParamètre d’ordre àTc f(h) ou f( p)

15 3

hFonction decorrélation

1/4 0

n Longueur de cohérence 1 1/2

Tableau 1.2. Valeurs des exposants critiques prévues par les modèles d’Ising à 2D et de champ moyen.

5. L’universalité des comportements critiques

Pendant un quart de siecle, la mesure des comportements critiques fut une disci-pline en soi, avec ses specialistes, ses ecoles, ses congres. Ces nombreux travauxetablirent que les comportements critiques observes etaient caracterises par uneuniversalite, c’est-a-dire des exposants reproductibles, souvent identiques pour dessituations physiques fort differentes.

5.1. Des mesures extrêmement précises

Le tableau 1.3 reunit des resultats experimentaux representatifs parmi les plusprecis, correspondant a des familles de transitions diverses. Ces trois familles sontclassees en reference au nombre n de composantes du parametre d’ordre, quan-tite qui, comme nous le verrons, joue un role important dans la classification desfamilles de transitions :

– n 5 1 pour la transition liquide-vapeur. En effet, le parametre d’ordre est l’ecartde densite entre les deux phases, un scalaire. Le parametre d’ordre est ega-lement un scalaire pour d’autres familles de transitions qui ont ete beaucoupetudiees, les melanges binaires et les alliages metalliques (§ 3.3 ). A la precisionde mesure pres, les valeurs experimentales des exposants critiques sont confon-dues pour ces trois familles. Les modeles correspondants sont nommes modelesd’Ising.

Page 36: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

36 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Modèles Expérience

n 5 nombre decomposantes du

paramètre d’ordre1 quelconque 1 2 3

ExposantPropriétéphysique

Exposantdu

modèled’Ising

2D

Exposant duchampmoyen

Transitionliquidevapeur

Héliumsuperfluide

Transitionferromagnétique

(Fer)

aChaleur

spécifique0 0 0,113 ± 0,005 − 0,014±0,016 − 0,03 ± 0,12

bParamètre

d’ordre m(T)1/8 1/2 0,322 ± 0,002 0,34 ± 0,01 0,37 ± 0,01

gSusceptibilité

Compressibilité7/4 1 1,239 ± 0,002 1,33 ± 0,03 1,33 ± 0,15

d

Paramètred’ordre à TC

m(h) ou n( p)15 3 4,85 ± 0,03 3,95 ± 0,15 4,3 ± 0,1

hFonction decorrélation

1/4 0 0,017 ± 0,015 0,021 ± 0,05 0,07 ± 0,04

nLongueur decohérence

1 1/2 0,625 ± 0,006 0,672 ± 0,001 0,69 ± 0,02

Tableau 1.3. Les valeurs d’exposants critiques observées pour trois familles différentes de transition, comparées auxvaleurs prévues par les modèles Ising 2D et champ moyen.

– n 5 2 pour toutes les transitions « quantiques » ou le parametre d’ordre est unefonction d’onde complexe – superfluidite, supraconductivite –, mais aussi pourtous les cas classiques ou il ne presente que deux degres de liberte. C’est parexemple le cas des cristaux liquides nematiques. Les modeles correspondantssont nommes modeles XY .

– n 5 3 pour les transitions ferromagnetiques ou ferroelectriques dans un milieuisotrope. Les modeles correspondants sont nommes modeles d’Heisenberg.

Les resultats experimentaux peuvent se classer en deux categories (FIG. 1.22).Dans la premiere, on trouve par exemple la supraconductivite des metaux, les tran-sitions ordre/desordre dans les cristaux liquides et la transition ferroelectrique :pour ces transitions la description du type champ moyen conduit aux valeursd’exposants critiques observees. Dans les autres cas, les exposants critiques nesont bien decrits par aucun des deux modeles. Le critere de Ginzburg, presente au§ 6 , explique la difference entre ces deux categories : pour la premiere, la region« critique » de temperature autour de la transition est trop petite – par exempleinferieure au millikelvin – pour qu’elle puisse etre observee experimentalement.Lorsque cette region critique est accessible aux mesures, c’est le cas de la secondecategorie de transitions, les exposants critiques que l’on y mesure presentent desvaleurs dont on rend compte aujourd’hui par l’idee d’invariance d’echelle de l’etatcritique. Cette idee sera le fil conducteur des approches decrites dans ce livre.

Page 37: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 37

Figure 1.22. Exposants critiquesb et n : résultats expérimentauxobtenus sur sept familles différentesde transitions, comparés aux valeursprévues par les modèles champmoyen et Ising 2D.

(exp

osan

t du

par

amèt

re d

'ord

re)

0,4

0,2

0,6 0,8 1,0(exposant de la longueur de cohérence)

Champ moyen

Ising 2D

Supraconductivité (métaux)Cristaux liquidesFerroélectricité

Ferromagnétisme Fe

Superfluidité He4

Liquides vapeur et mélanges binaires

5.2. Inadéquation des modèles et universalité des exposants

Nous introduisons et developpons plus loin le concept d’invariance d’echelle. Il estcependant utile de preciser ici son origine et son efficacite. La difficulte formelleessentielle a laquelle se heurtent les descriptions de l’etat critique est la diver-gence de la longueur caracteristique sur laquelle portent les correlations, que l’onnomme longueur de coherence j. Une premiere discussion quantitative de ce pointest presentee au § 6 . Une facon de traduire cette divergence consiste a dire qu’aupoint critique :

rien d’important n’est modifie dans la physique de l’etat critiquesi l’on change l’echelle d’observation.

En diminuant par exemple le grossissement d’un microscope imaginaire, des quel’on ne voit plus les details microscopiques l’image du systeme physique reste sta-tistiquement inchangee. Cette propriete d’invariance d’echelle de l’etat critique,a ete soulignee et utilisee dans les annees soixante par Leo Kadanoff qui avait pres-senti qu’elle serait la cle d’une description efficace des phenomenes critiques. Defait, en 1970 plusieurs physiciens dont Kenneth Wilson proposerent un ensemblede methodes nomme « groupe de renormalisation » qui permettent de calculerles comportements critiques en tirant les consequences physiques de l’invarianced’echelle. Une de ces consequences est que, les details de la physique microsco-pique etant « gommes » aux grandes echelles, les comportements critiques n’endependent que peu. Ils dependent au contraire fortement des caracteristiques geo-metriques du systeme, la dimension d’espace et le nombre de composantes n duparametre d’ordre.

Page 38: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

38 INVARIANCES D’ÉCHELLE

(exp

osan

tdu

para

mèt

red'

ordr

e)

(exposant de la longueur de cohérence)

0,40

0,38

0,36

0,34

0,32

0,30

0,280,60 0,65 0,70

Ising 3D

XY 3D

Heisenberg 3D

Mélange binaireLiquide / Vapeur

Superfluidité He4

Ferromagnétisme Fe

Figure 1.23. Exposants critiques mesurés pour quatre familles de transitions,comparées aux valeurs prévues par les trois descriptions modèles correspon-dantes qui prennent en compte l’invariance d’échelle de l’état critique.

La FIG. 1.23 est unzoom de la FIG. 1.22 surlaquelle ont ete porteesles previsions du groupede renormalisation pourdes transitions dans unespace tridimensionnel.Les trois modeles envi-sages, Ising (n 5 1), XY(n 5 2) et Heisenberg(n 5 3) prevoient desvaleurs d’exposant quisont en excellent accordavec l’experience.

6. Les limites de l’approximation du champ moyen

6.1. La théorie de Landau-Ginzburg

En 1937, Lev Landau a propose une description generale des approches du type« champ moyen » [Landau et Lifshitz 1958]. Les transitions magnetiques y sontdecrites a partir de l’energie libre locale f(r), elle-meme exprimee en fonction duparametre d’ordre m(r) (pour magnetisation), du champ conjugue h(r) et de latemperature T . L’energie libre locale f integree sur tout le volume donne l’energielibre totale F , dont le minimum conduit aux valeurs d’equilibre dem(r) et de h(r)suivant les conditions aux limites appliquees. Ce cadre simple rend compte qua-litativement des deux caracteristiques observees pour le magnetisme, mais aussipour de tres nombreuses transitions de phase :

– si T < Tc, le parametre d’ordre prend spontanement une valeur finie en l’ab-sence d’excitation magnetique exterieure h. Lorsque l’on applique une telleexcitation que l’on inverse par variation progressive, la valeur du parametred’ordre – l’aimantation par exemple – bascule de facon discontinue en chan-geant brutalement d’orientation. Il s’agit d’une « transition du premier ordre » ;

– lorsque T tend vers Tc par valeurs inferieures, on observe que le saut du para-metre d’ordre produit par l’inversion du champ diminue, jusqu’a s’annuler pourT 5 Tc. Le comportement en fonction de h et de T devient continu, mais com-porte des singularites. Dans le vocabulaire etabli par Ehrenfest, il s’agit d’une« transition du second ordre », que l’on nomme aujourd’hui un « point critique ».

Page 39: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 39

L’expression de l’energie libre est obtenue en analysant les proprietes de symetriedu systeme physique autour de la transition : les premiers termes de son develop-pement sont directement determines par les symetries auxquelles obeissent lestransformations du systeme. Plus precisement, l’energie libre doit etre invariantepar les transformations du groupe de symetrie du systeme etudie. Nous illustronsici le cas le plus simple ou le parametre d’ordre est un scalaire, dont le signe peutetre positif ou negatif au-dessous de Tc. Dans ce cas, la fonction f est paire parrapport a m si h 5 0 :

f(m,h 5 0,T ) 5 f(−m,h 5 0,T ) (1.22)

En ne considerant que les deux termes les plus simples qui respectent cette syme-trie, on obtient, en incluant de plus un terme « elastique » | ∇m |2qui s’oppose auxvariations spatiales de m :

f(m,h,T ) 5 am2 1b

2m4 1 c |∇m|2 − hm (1.23)

ou les quantites a, b et c peuvent a priori dependre de la temperature. La formedes deux premiers termes de l’eq. 1.23 fut initialement proposee par Landau ensupposant que l’energie libre f du systeme est une fonction developpable en uneserie de Taylor au voisinage du point critique. Cette hypothese ne tient pas comptedu fait que le point de transition est un point singulier pour le potentiel thermo-dynamique. Cependant, la force et la generalite de l’approche de Landau reposentsur l’analyse des symetries du systeme physique considere. L’hypothese de Landauest que seul a varie avec T . Plus precisement, a change de signe a Tc et provoque latransition en introduisant dans f un terme negatif (le seul en l’absence de champmagnetique) :

a 5 a t 5 aT − TcTc

(1.24)

On peut calculer la relation entre le champ h local et l’aimantation m, obtenue apartir de l’expression eq. 1.23 de l’energie libre, a l’equilibre c’est-a-dire lorsquef est minimale. Sa valeur au premier ordre en m est en accord avec le modele deCurie-Weiss (voir § 5) :

h 5 2 a tm et x 5≠m

≠h5

12at

qui diverge a Tc. (1.25)

6.1.1. La solution homogene de Landau en champ nul

Lorsque le systeme est homogene et en champ nul, la condition d’equilibreconduit a une energie libre minimale f0 et une aimantation m0 :

f0(m,h 5 0,T ) 5 atm20 1

b

2m4

0 (1.26)

soit les trois etats suivants :

• m0 5 0 et f0 5 0 pour t > 0 (T > Tc)(1.27)

• m0 5 ±√

− atb

et f0 5 − a2t2

2bpour t < 0 (T < Tc)

Page 40: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

40 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Paramètre d'ordre m

Én

ergi

e li

bre

F

Température réduite T/Tc

Én

ergi

e li

bre

F0

Aim

anta

tion

m0

0 0 1 2– 1

0

0

1

0

m0

F0Lieu des minima

T > Tc

T < Tc

T = Tc

Figure 1.24. Les solutions de la description de Landau en l’absence de champ pour un système homogène.

Il faut remarquer que pour t > 0, l’etat m 5 0 reste un etat d’equilibre, mais d’unequilibre instable : f 5 0 correspond alors a un maximum.

On peut egalement calculer la chaleur specifique C 5 −T ≠2F

≠T 2 a champ nul dans

ce modele :

– pour t > 0 (T > Tc) C 5 0(1.28)

– pour t < 0 (T < Tc) C 5 Ta2

bT 2c

La chaleur specifique ne presente pas de divergence – son exposant critique a estegal a 0 dans l’approximation du champ moyen – mais elle subit un saut brutal

DC 5a2

bTca la transition. Ce saut est parfaitement observe dans certaines tran-

sitions de phase, ou l’approximation du champ moyen decrit bien la physique dusysteme.

Température (K)T2 (K2)

C /

T (

cal /

mol

e K

2 )

Ch

aleu

r sp

écif

iqu

e (j

oule

/ g

/ K)

0,004

0,003

0,002

0,001

0 5 10 15 20

15

10

5

1 2 3

H = 0

H = 692 G

H = 3000 G

Figure 1.25. a. Saut de chaleur spécifique observé lors de la transition supraconductrice du tantale pour plusieursvaleurs du champ magnétique (à 3 000 gauss la supraconductivité n’est plus observée). b. Divergence (logarithmique)de la chaleur spécifique observée lors de la transition superfluide de l’hélium (d’après Keesom et Désirant 1941).

Page 41: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 41

La FIG. 1.25 compare deux situations physiques appartenant a la meme famille(que nous definissons plus loin comme classe d’universalite ) ou le parametred’ordre est une fonction d’onde complexe : la supraconductivite et la superfluidite.Comme nous le voyons a la fin de ce chapitre, la difference entre ces deux systemestient a l’extension de la region critique. Dans le cas de la supraconductivite du tan-tale comme dans celle de tous les elements supraconducteurs, la region critiqueest inobservable tant elle est petite. La description de champ moyen s’appliquealors parfaitement et l’on observe un saut de chaleur specifique a la temperaturecritique. Au contraire, dans le cas de la superfluidite de l’helium, la region critiqueest etendue. On observe alors le comportement critique prevu par une descriptionrigoureuse : une divergence logarithmique ou la chaleur specifique varie commelog(t).

6.1.2. L’effet du champ

Les deux etats d’equilibre prevus a basse temperature sont equivalents tant quele champ h est nul. Dans cette situation ou l’on suppose le materiau homogene,l’application du moindre champ magnetique applique fait basculer tout le systemedans la direction de cette excitation, en une transition du premier ordre. On peutainsi calculer le champ h et la susceptibilite x, en tenant compte des deux premierstermes du developpement. A l’equilibre :

h 5 2atm0 1 2bm30 et x 5

≠m

≠h5

12at 1 6bm2

0

– pour h 5 0 et t > 0 (T > Tc) on obtient x 51

2at (1.29)

– pour h 5 0 et t < 0 (T < Tc) on obtient x 5 − 14at

Dans l’approximation du champ moyen, la susceptibilite x varie donc comme t−1.De facon generale, on nomme g l’exposant qui decrit la divergence de la suscepti-bilite.En pratique, meme a tres basse temperature, le systeme n’est pas homogene al’equilibre, ne serait-ce qu’en raison de ses dimensions finies : il se structureen general en regions macroscopiques – des domaines – ou le parametre d’ordrechange de valeur ou d’orientation de facon a minimiser les effets de surface. C’estprecisement pour l’etude de ces variations spatiales macroscopiques – c’est-a-direa une echelle bien superieure a la portee des interactions – que le formalisme deLandau est particulierement puissant.

6.2. Les variations spatiales du paramètre d’ordre

Nous reprenons l’expression generale de l’energie libre f (eq. 1.23) pour calculerles variations spatiales de h et m en presence d’une perturbation ponctuelle enr 5 0 :

dh(r) 5 h0d(r) et m 5 m0 1 dm(r) (1.30)

Page 42: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

42 INVARIANCES D’ÉCHELLE

ou m0 est un etat d’equilibre en l’absence d’excitation magnetique exterieure et

dm la petite variation qui resulte de dh. Il faut exprimer que F 5

∫fd3r est

minimale a l’equilibre pour calculer dm :∫d3rf(m,h,T ) 5

∫d3r

[atm2 1

b

2m4 − hm

]1

∫d3rc|∇m2| 5 minimale

(1.31)

En ne gardant que les termes lineaires en dm et en utilisant une integration parparties pour la deuxieme integrale, on obtient la variation de F :∫

d3rdm[2atm 1 2bm3 − h− c∇2m] 5 minimale (1.32)

Ce calcul variationnel conduit au minimum de F par rapport a dm comme pour lecalcul differentiel habituel. Une solution simple est que f soit elle-meme minimaleen chaque point :

df

dm5[2atm 1 2bm3 − h− c∇2m

]5 0 (1.33)

Cette equation etant verifiee pour m0 – dont le gradient est nul – lorsque h 5 0,en decomposant m on obtient l’equation que doit verifier dm au premier ordre :

∇2dm− 2c

(at 1 3bm20)dm 5 − h

c(1.34)

Suivant la temperature, cette equation prend deux formes voisines lorsque l’equi-libre est etabli :

t > 0 (T > Tc) m0 5 0 donne ∇2dm− 2atcdm 5 − h0

cd(r)

t < 0 (T < Tc) m0 5 ±√

− atb

donne ∇2dm 14atcdm 5 − h0

cd(r)

(1.35)

La resolution de cette equation en coordonnees spheriques dans un espace infini(sans effets de bord) de dimension d conduit a :

dm 5h0

4pce−r/j

rd−2 (1.36)

ou j prend les deux valeurs j1 ou j− suivant la temperature :

– pour t > 0 (T > Tc)j1 5

√c

2at5

√2j0t

−1/2

(1.37)

– pour t < 0 (T < Tc)j− 5

√c

−4at5 j0|t|−1/2

j0 5

√c

4aetant la longueur de coherence, c’est-a-dire la portee des correlations

(voir le paragraphe suivant), extrapolee a temperature nulle.

Page 43: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 43

On remarquera que si la perturbation initiale du champ est plus complexel’eq. 1.36 permet de calculer la reponse par convolution avec la forme de cetteperturbation. On nomme aussi cette reponse a une perturbation ponctuelle lafonction de Green du probleme.

Fonction de correlation et longueur de coherenceLa fonction dm(r)donnee par l’eq. 1.36 peut etre exprimee comme le produit deh0/kT par la fonction de correlation G(r) de m(r) (voir § 3.2) :

G(r) 5 〈m(r)m(0)〉 − 〈m(r)〉〈m(0)〉 (1.38)

En effet si l’on decompose le HamiltonienH enH 5 H0−∫ddrh(r)m(r) la valeur

moyenne de m s’ecrit :

〈m(r)〉 5Tr

{m(r)

[exp

(−H0/kT 1 1/kT

∫ddrh(r)m(r)

)]}Tr

[exp

(−H0/kT 1 1/kT

∫ddrh(r)m(r)

)] (1.39)

En differenciant cette expression par rapport a h, on obtient directement :

dm(r) 5 h0[〈m(r)m(0)〉 − 〈m(r)〉〈m(0)〉

](1.40)

L’expression de dm (eq. 1.36) conduit ainsi a la fonction de correlation :

G(r) 51

4pce−r/j

rd−2 (1.41)

La signification physique de la longueur de coherence j est la portee des correla-tions du parametre d’ordre dans le systeme : au-dela d’une distance r 5 j entredeux points, la fonctionG(r) est negligeable, c’est-a-dire que les etats physiques ences deux points peuvent etre consideres comme independants. Les equations 1.37nous montrent que dans l’approximation du champ moyen, j ∼ t−1/2. De facongenerale, l’exposant qui decrit la divergence critique de la longueur de coherenceest nomme n : j ∼ t−n.

6.2.1. Limites de l’approximation du champ moyen et critere de Ginzburg

Nous avons vu que l’approche champ moyen ne decrit en general pas correcte-ment le comportement critique. Nous en connaissons la raison : les correlationsmicroscopiques locales y sont negligees. Dans l’energie libre f(r), le terme macro-scopique c |∇m|2suppose m(r) continu. Ce terme correspond a des correlationsparfaites dans un volume « petit a l’echelle des variations de m », mais « granddevant les tailles atomiques ». Cela correspond bien a la premiere idee du champmoyen calcule a partir de la moyennem de tous les spins du systeme, soit une ideede correlation parfaite et de portee infinie (voir eq. 1.19).Si l’on omet au contraire ce terme en supposant c 5 0, on obtient j 5 0 soit uneportee nulle pour les correlations d’apres l’eq. 1.35. Il n’existe pas de juste milieudans le modele du champ moyen !En 1960, V.L. Ginzburg eut l’idee d’evaluer quantitativement l’effet de ces corre-lations et d’en tirer un critere de validite des resultats du champ moyen :

« Si l’amplitude moyenne 〈dm(t)〉 des fluctuations thermiques a la temperaturet est inferieure a m0, alors le champ moyen est applicable. »

Page 44: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

44 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Une dimension critique

Plusieurs arguments simples permettent d’evaluer cette limite de validite. On peutpar exemple evaluer l’energie libre liee a l’ordre du systeme dans un « volume decoherence » jd, la description de champ moyen etant valide si celle-ci est supe-rieure en valeur absolue a kT au point critique :∣∣f0j

d∣∣ > kTc (1.42)

On exprime ainsi que l’on peut negliger l’effet des fluctuations : l’idee est qu’a l’in-terieur d’un volume de coherence, l’ordre est « rigide ». Un volume de coherencecorrespond ainsi a un degre de liberte ou l’energie de l’agitation thermique est del’ordre de kT . Pour t < 0, les valeurs de f0 , DC et j− calculees au paragrapheprecedent conduisent a :

a2t2

2b

(c

4a |t|

)d/2

> kTc

ou encore :

|t|2−d/2 >2k

jd0DC(1.43)

La valeur absolue de t etant tres inferieure a 1 dans le regime critique, une pre-miere consequence de cette relation est qu’elle est toujours verifiee si l’exposantdu premier membre est negatif, soit d superieur ou egal a une dimension seuildite dimension critique dc 5 4. Cette conclusion, qui peut etre justifiee de faconplus rigoureuse, est d’une portee considerable. La theorie de Landau construitesans reference particuliere a la dimension d’espace du systeme physique, contientpourtant sa propre limite d’applicabilite :

La description champ moyen fournit un comportement critique correctpour tout systeme dont la dimension d’espace est superieure ou egale a 4.

Ginzburg donnait ainsi le premier argument solide pour expliquer l’influence dela dimension d’espace sur les caracteristiques des transitions de phases. Un argu-ment qui pouvait notamment expliquer la difference flagrante – et difficilementacceptable – entre les exposants mesures experimentalement dans des systemes atrois dimensions, et les previsions du modele d’Ising a 2 dimensions dont Onsageravait fourni une resolution exacte. Avec le critere de Ginzburg, la situation deve-nait particulierement frustrante en 1960 : notre espace a trois dimensions etait leseul pour lequel aucune prevision theorique n’existait !

Une region critique prevue quantitativement

Dans le cas ou la dimension d’espace est inferieure a 4, l’ eq. 1.43 fournit une

valeur frontiere de la region critique | tG |=∣∣∣∣ TG − Tc

Tc

∣∣∣∣ :

|tG | 5 1a

(2d11bkTccd/2

) 24−d

5

(2k

jd0DC

) 24−d

(1.44)

Page 45: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

1. LES CHANGEMENTS D’ÉTAT DE LA MATIÈRE 45

Dans la region critique | t | < | tG|, la description du champ moyen n’est pas appli-cable. Cette region peut aussi etre definie par une longueur de Ginzburg jG telleque le champ moyen n’est pas applicable pour j > jG, l’inegalite 1.40 n’etant pasverifiee :

jG 5 j0

(jd0DC

2k

) 14−d

(1.45)

Figure 1.26. La limite entre la région critique et larégion où l’approximation du champ moyen est appli-cable est prévue par le critère de Ginzburg. Les valeursdes exposants critiques choisies ici correspondent auferromagnétisme.

Par

amèt

red'

ordr

eln

()

Lon

gueu

rde

coh

éren

celn

()

β = 0,36

β = 0,5

ln(tG) ln(t)

ln(tG) ln(t)

ν = 0,69

ν = 0,5

Région critique Champ ymo enapplicable

En effet, dans un volume jdG l’ener-gie libre de condensation dans l’etatordonne peut etre evaluee par kTc ala distance |tG| de la temperature cri-tique. Lorsque la portee des correla-tions j est plus faible que jG, les fluc-tuations de l’ordre qu’elles produisentsont negligeables, et la descriptionchamp moyen est applicable. La quan-tite DC etant connue experimentale-ment, on en deduit une valeur nume-rique de l’ecart tG et de la longueurde coherence limite correspondante jGpour chaque transition.

Calcul plus rigoureux utilisant l’amplitude des fluctuations

L’eq. 1.42 est basee sur une evaluation abrupte de l’effet des fluctuations. Le cri-tere de Ginzburg peut etre etabli de facon plus rigoureuse en calculant l’amplitudecarree moyenne des fluctuations 〈(dm)2〉coh sur un volume de coherence jd :

〈dm2〉coh 51

(jd)2

∫jdddxddx′dm(x)dm(x′) (1.46)

ou encore, en tenant compte de la definition de la fonction de correlation G(r) etde l’invariance de translation :

〈dm2〉coh 51jd

∫jdddrG(r) (1.47)

Le critere de Ginzburg s’ecrit alors :

〈dm2〉coh < m20 (1.48)

Page 46: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

46 INVARIANCES D’ÉCHELLE

le lecteur verifiera a titre d’exercice que cela conduit aux resultats obtenus auparagraphe precedent, a une constante numerique pres, si l’on utilise l’expres-sion de G(r) donnee par l’eq. 1.41. Ce coefficient numerique peut cependantprendre une valeur importante, et modifier sensiblement l’evaluation qualitativede l’eq. 1.45. A trois dimensions, un calcul rigoureux donne :

|tG|3D 51

32p2 .k2

j60DC

2(1.49)

On remarquera la valeur elevee du facteur numerique qui corrige l’evaluation duparagraphe precedent : le calcul ci-dessus conduit a une region critique environmille fois moins etendue que celle basee sur l’inegalite 1.40.

Quelques exemplesSuivant les systemes physiques, la valeur de l’ecart tG prend des valeurs fort diffe-rentes :• Le ferromagnetisme. Dans le cas du fer par exemple, la valeur de j0 extrapolee aT 5 0 a partir de mesure de diffusion de neutrons est de 2 A et le saut de chaleurspecifique DC vaut 3 3 107 erg/cm3/K ce qui donne tG de l’ordre de 0,01. Etantdonne que Tc vaut plus de 1 000 K, la region critique de quelques dizaines de kelvinsest parfaitement observee sur plusieurs ordres de grandeur pour la valeur de l’ecartde temperature relatif t.• L’ordre dans les cristaux liquides. La transition smectique A/smectique S peutetre etudiee de la meme facon : la valeur de j0 extrapolee a T 5 0 est de 20 A etle saut de chaleur specifique DC vaut 106 erg/cm3/K ce qui donne tG de l’ordrede 10−5. La temperature critique etant de l’ordre de 300 K, la region critique estde l’ordre du millikelvin. Dans ce cas, la transition est bien decrite par le champmoyen dans la gamme des mesures experimentales habituelles.• Les supraconducteurs metalliques. Dans le cas des elements supraconducteurs,la longueur de coherence est grande : a T 5 0 elle est de l’ordre du micron et lesaut de chaleur specifique de quelques 104 erg/cm3/K. Cette tres grande longueurde coherence conduit a une region critique tG de l’ordre de 10−15 evidemmentimpossible a observer. Dans le cas des supraconducteurs metalliques, le champmoyen est parfaitement applicable (voir la FIG. 1.25). Attention, cela n’est pas vraipour les supraconducteurs a haute temperature (materiaux cuprates) qui sontbidimensionnels, et dont la longueur de coherence est de l’ordre de 15 A : dans cecas, la region critique peut atteindre des dizaines de kelvins.

Page 47: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

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Page 48: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

CHAPITRE

2LA GEOMETRIE FRACTALE

Nous venons de faire connaissance avec la notion d’invariance d’echelle dans lecontexte des transitions de phase. Cette invariance se traduit de facon directe-ment observable par l’apparition de structures spatiales sans echelle caracteris-tique, par exemple les fluctuations de densite dans un fluide critique ou les amasde spins « up » en T 5 Tc. Nous allons rencontrer au long de ce livre de nom-breux autres objets invariants d’echelle, auto-similaires au sens ou un detail grossiest impossible a distinguer de l’objet vu dans son integralite ; citons entre autresla trajectoire d’une particule animee d’un mouvement brownien, la conformationd’un polymere lineaire, les flocons de neiges, les eclairs, les fractures, les surfacesrugueuses, les amas de percolation, les poumons, les bassins hydrographiques,les reseaux vasculaires, les neurones, les colonies de bacteries, les attracteursetranges. Nous verrons que la presence de structures auto-similaires, baptiseesfractales par Mandelbrot [Mandelbrot 1977, 1982], est la signature spatiale desphenomenes critiques, refletant la divergence d’une longueur de correlation ets’accompagnant de lois d’echelle pour les differentes observables du systeme. Maisavant d’etudier les mecanismes physiques a l’origine de ces structures, nous allons,dans ce chapitre, les aborder avec l’œil du geometre et montrer que leur descrip-tion quantitative requiert des outils et des concepts radicalement nouveaux : ils’agit de la geometrie fractale.

1. La notion de dimension fractale

1.1. Structures fractales

Les mathematiciens connaissent depuis longtemps des objets invariants d’echelle(voir FIG. 2.1), mais ils les ont tout d’abord consideres comme des pathologies sansautre interet que de fournir des contre-exemples : courbes continues mais nullepart derivables (courbe de Hilbert, courbe de Koch), ensembles non denombrables

Page 49: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

2. LA GÉOMÉTRIE FRACTALE 49

(a)

(b)

(c)

(d)

Figure 2.1. Quelques fractales mathématiques renommées :a. l’ensemble de Cantor [Cantor 1883], ensemble non dénombrable mais de mesure nulle ; sa dimension fractale estdf 5 log 2/ log 3 < 1.b. la courbe de Hilbert [Hilbert 1891], courbe remplissant de façon dense une région du plan ; sa dimension fractaleest df 5 2 ;c. la courbe de Koch [Koch 1904], courbe continue mais nulle part dérivable ; sa dimension fractale estdf 5 log 4/ log 3 > 1 ;d. le tamis de Sierpinski [Sierpinski 1915], ensemble dont tous les points sont des points de branchement (où seraccordent les pointes de deux triangles) ; sa dimension fractale est df 5 log 3/ log 2 < 2.La figure montre l’algorithme générateur et le résultat après 3 itérations ; le lecteur extrapolera sans difficulté le résultatobtenu en itérant à l’infini le schéma de construction.

Page 50: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

50 INVARIANCES D’ÉCHELLE

mais de mesure nulle (ensemble de Cantor, tamis de Sierpinski), « inventes » audebut du siecle dernier. A l’epoque, ce n’etait pas l’auto-similarite de ces struc-tures mais ses consequences mathematiques, par exemple leur non derivabilite,qui etaient soulignees. C’est l’emergence de la notion d’invariance d’echelle enphysique et sa realite experimentale qui ont transforme le dedain initial en vifinteret et suscite de nombreux travaux, aussi bien en mathematiques qu’en phy-sique. Le resultat est une nouvelle geometrie, la geometrie fractale. Avec le recul,nous voyons maintenant que ses racines se trouvent dans les travaux de Perrinsur le mouvement brownien (que nous detaillerons au chapitre 4), dans l’ouvragedu biologiste anglais D’Arcy Thompson On growth and form [D’Arcy Thompson1917], et de facon plus ponctuelle dans divers travaux mathematiques (Hausdorff,Hilbert, Minkowski, Bouligand). Le merite revient a Mandelbrot, auteur de l’ou-vrage fondateur The fractal geometry of Nature [Mandelbrot 1982], d’avoir montrela realite, l’universalite et l’applicabilite de la geometrie fractale.Les structures mathematiques illustrees sur la FIG. 2.1 sont aujourd’hui utiliseespour definir les notions essentielles de la geometrie fractale, qu’on appliqueensuite, dans un sens statistique et restreint, a des structures naturelles. Leursalgorithmes de construction mettent en evidence leur auto-similarite : parexemple, la dilatation d’un facteur 3 de l’ensemble de Cantor (FIG. 2.1a) produitune structure qui est exactement la reunion de deux copies de l’ensemble de Can-tor initial. Le tamis de Sierpinski (FIG. 2.1d), dilate uniformement d’un facteur 2,se compose de trois copies du tamis initial. Le nombre n(k) de copies composantla structure dilatee d’un facteur k peut s’ecrire

n(k) 5 kdf (2.1)

ce qui fournit une premiere facon d’introduire la dimension fractale df . Onverifie que df 5 d pour une structure euclidienne de dimension d ; on trouvedf 5 log 2/ log 3 < 1 pour l’ensemble de Cantor et df 5 log 3/ log 2 < 2 pour letamis de Sierpinski. Mais cette definition repose trop sur le caractere exactementauto-similaire des fractales considerees, construites par un algorithme determi-niste itere a l’infini, pour etre exploitable. Nous allons lui preferer une approcheplus operatoire.

1.2. La dimension fractale

Les structures fractales echappent a la geometrie euclidienne parce qu’elles sontauto-similaires : un detail grossi est similaire au tout. En particulier, elles pre-sentent des details a toutes les echelles. En consequence, la mesure qu’on peut enfaire depend de l’echelle a laquelle on les observe. L’exemple typique est celui dela cote de la Bretagne [Mandelbrot 1967], dont la longueur varie avec le pas del’arpentage choisi pour la mesurer, jusqu’a diverger si on regarde a l’echelle desplus infimes anfractuosites des rochers. Le lecteur pourra tester cette propriete enmesurant la longueur de la cote sur des cartes d’echelles differentes, depuis l’atlasjusqu’a la carte d’etat-major ; c’est sur cette derniere qu’on obtient la longueur1

(en km) la plus grande. Cette propriete s’observe egalement, de facon d’ailleursplus rigoureuse, sur la courbe de Koch de la FIG. 2.1c. Ces exemples montrent que

1 Nous parlons bien sur ici des longueurs en kilometres, obtenues en multipliant la longueur du tracerepresente sur la carte – avec un curvimetre, par exemple – par l’echelle de la carte.

Page 51: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

2. LA GÉOMÉTRIE FRACTALE 51

la notion de longueur n’a plus de sens pour une courbe fractale. Il faut donc trou-ver un autre indice, plus objectif, pour les caracteriser quantitativement. L’auto-similarite permet de definir un tel indice ; c’est un nombre reel df (en generalnon entier), appele la dimension fractale et decrivant la facon dont le resultat dela mesure varie avec la resolution a de l’appareil de mesure : L(a) ∼ a1−df . C’estainsi le lien entre les mesures L(a) et L(ka) obtenues en choisissant des reso-lutions a et ka differentes qui donne acces a une caracteristique intrinseque, ladimension fractale df de la courbe, a travers la relation :

L(ka) 5 k1−df L(a) (resolution a) (2.2)

On retrouve une courbe euclidienne (« rectifiable » , en termes techniques) sidf 5 1. Pour df > 1, on a une courbe circonvoluee, de longueur infinie dansla limite ou a → 0 ; l’exemple typique est la courbe de Koch (FIG. 2.1c). Pourdf < 1, on a un ensemble lacunaire de longueur nulle dans la limite ou a → 0 ;l’exemple typique est l’ensemble de Cantor (FIG. 2.1a).Il faut des maintenant etre plus precis : la longueur mesuree depend non seule-ment de la resolution a mais aussi de l’extension spatiale l du fragment de courbeconsidere, ce que nous ecrirons L 5 L(a,l). L’auto-similarite s’ecrit, pour toutk > 0 : L(ka,kl) 5 kL(a,l), d’ou il s’ensuit que L(a,l) ∼ a1−df ldf . La resolutionetant fixee, la longueur de la courbe fractale est multipliee par kdf si on multipliepar k l’extension lineaire du domaine ou on observe la courbe :

L(kl) ∼ kdf L(l) (extension lineaire l) (2.3)

La dimension fractale decrit ainsi la facon dont sont reliees les perceptions quel’on a de l’objet a des echelles d’observation differentes ; en considerant l’objetdans sa globalite, a toutes les echelles, on peut ainsi extraire une informationobjective (la valeur de df ) de nos perceptions subjectives. Nous allons maintenantreprendre les definitions et relations ci-dessus, restreintes aux courbes fractales,pour les etendre a des objets fractals plus generaux.

1.3. L’auto-similarité (ou invariance d’échelle) d’une structure fractale

Nous venons de voir que la description d’une structure spatiale fait intervenir deuxparametres subjectifs precisant le niveau d’observation et de mesure : la taillelineaire l de la region observee (champ de l’observation) et la resolution a del’observation. a est aussi l’echelle minimale prise comme unite de mesure : si lastructure est une courbe, on emploie une methode d’arpentage ou gainage, oul’on interpole la courbe par une ligne brisee de segments de longueur a ; si enrevanche la structure s’etend dans le plan ou l’espace, on emploiera une methodede pavage, dans laquelle on recouvre la surface ou l’hypersurface par des carres oudes cubes de cote a. Si la structure est fractale, toutes les observables la decrivantdependront de l et de a. Nous utiliserons :

– le nombreN(a,l) d’elements de « volume » ad necessaires pour recouvrir la struc-ture2,

2 La dimension d des elements utilises pour le recouvrement (arpentage, gainage, pavage, etc.) peutetre choisie de plusieurs facons : une courbe fractale peut etre arpentee (d 5 1) ou pavee (d 5 2) ;on peut montrer que les deux procedures conduisent a la meme dimension fractale.

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52 INVARIANCES D’ÉCHELLE

– la masseM(a,l) donnee parM(a,l) 5 adN(a,l) ;– la densite r(a,l) 5 l−dM(a,l) si la structure est plongee dans un espace eucli-

dien de dimension d.

Pour un objet euclidien de dimension d, on a

M(a,l) ∼ ld (independante de a) (2.4)

N(a,l) ∼(l

a

)d(2.5)

r(a,l) ∼ constante (2.6)

Pour une fractale de dimension fractale df , on a par contre des relations moinstriviales :

M(a,l) ∼ ldf ad−df (2.7)

N(a,l) ∼ ldf a−df (2.8)

r(a,l) ∼(al

)d−df

(2.9)

Un point crucial qui merite d’etre souligne explicitement est qu’une dimensionfractale n’est bien definie que si la structure est auto-similaire, ce qui s’ecrit (pourtous k, a, l)

auto-similarite : N(ka,kl) ∼ N(a,l) (2.10)

Autrement dit, on ne distingue pas la structure lorsqu’elle est observee avec laresolution ka, dans une region d’extension kl, et l’agrandissement d’un facteurk de l’observation realisee avec la resolution a, dans une region de taille l. Cetteauto-similarite, ou invariance d’echelle, assure que la dimension fractale ne dependpas de l’echelle d’observation. En effet, la dimension df depend a priori de a :

N(a,kl) ∼ kdf (a) N(a,l) (2.11)

Mais on peut egalement ecrire, en utilisant la propriete d’auto-similarite :

N(a,kl) ∼ N(ak

,l)5 kdf (a/k)N

(a

k,l

k

)∼ kdf (a/k)N(a,l) (2.12)

L’auto-similarite assure donc que df (a) 5 df (k/a). Ces manipulations formellessont superflues pour les fractales mathematiques de la FIG. 2.1 ; la verification del’auto-similarite est par contre indispensable pour caracteriser la nature fractaled’une structure observee dans la realite. C’est ce que nous allons voir dans leparagraphe suivant, presentant comment la notion de dimension fractale peut etreexploitee en pratique.

2. Structures fractales naturelles

2.1. Des propriétés fractales statistiques et limitées

Face a une structure fractale issue d’une experience, la methode la plus simplepour determiner sa dimension fractale est celle du pavage (box counting enanglais), que nous avons deja utilisee pour definir df . Mais des qu’on quitte

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2. LA GÉOMÉTRIE FRACTALE 53

l’univers parfait des fractales mathematiques, auto-similarite et dimension frac-tale seront definies dans un sens statistique. La quantite exploitable sera en faitla moyenne 〈N(a,l)〉 des differents nombres N(a,l,O) obtenus en faisant varierl’origine O du pavage. L’exploitation de la loi d’echelle 〈N(a,l)〉 ∼ (l/a)df , reecritelog〈N〉 ∼ df (log l − log a), donne acces a df . Il ne suffit pas de verifier, a partirdes donnees experimentales, que la courbe (la suite de points, plutot) represen-tant logN en fonction de log l (graphe log-log) presente, avec suffisamment deprecision et de fiabilite, une partie lineaire de longueur significative3. Il faut aussiverifier que la pente de cette partie lineaire, c’est-a-dire df , ne depend pas dela resolution de l’observation. De facon similaire, si on travaille avec le graphelog-log de N en fonction de a, il faut verifier que la pente − df ne change pas si onagrandit le champ L de l’observation. Soulignons egalement qu’il faut observerune partie lineaire sur plusieurs decades pour que parler de dimension fractale aitun sens.De plus, pour une structure fractale reelle, on n’observera une partie lineaire etde pente independante de a, dans le graphe log-log de l �→ N(a,l) (respectivementde pente independante de l dans le graphe log-log de a �→ N(a,l)), que dans unecertaine gamme d’echelles, aussi bien pour l que pour a. Prenons l’exemple d’uneroche poreuse. Bien qu’elle presente des pores de tailles diverses, « a toutes lesechelles », ces tailles sont en fait bornees inferieurement par am et superieurementpar aM . Lorsqu’on observe la roche avec une resolution a < am, on voit la struc-ture microscopique compacte, euclidienne, de dimension 3. Lorqu’on l’observetres grossierement, avec une resolution a > aM , on voit une roche homogene, dedimension egalement 3, pour laquelle la presence de pores se traduit uniquementdans la faible valeur de la densite moyenne. Le graphe log-log de N(a) presenteraainsi deux « ruptures de pente » (on parle en anglais de crossover), passant d’unepente −3 pour les resolutions tres petites a < am a une pente − df inferieureen valeur absolue (domaine d’echelles ou la roche est fractale) pour revenir a unepente −3 aux resolutions a > aM (FIG. 2.2). Observer ce type de graphe avec rup-ture de pentes est la regle dans l’exploitation de donnees experimentales reelles(voir aussi la FIG. 2.3).

Figure 2.2. Exemple (fictif) de ce que donnerait ladétermination de la dimension fractale d’une rocheporeuse (voir texte).

Pente : – 3

Pente : – 3

Pente : – df

log a

log N(a)

3 On utilise generalement des logarithmes decimaux, mais la pente est independante du choix de labase du logarithme.

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54 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Pente : 2

= = 1,58...

log 2

log M

log 3log 2

Pente df

Figure 2.3. Exemple, sur une fractale artificielle, de ce qui est typiquement observé pour une fractale réelle : au-delàd’une certaine échelle, la fractale redevient une structure euclidienne.

Fonction de correlation.Une autre observable directement reliee a la dimension fractale est la fonction de cor-relation (spatiale) de la structure que nous avons deja introduite au § 3.2 du premierchapitre. Ce point merite d’etre detaille a plusieurs titres : c’est un moyen efficaced’acceder, en pratique, a la dimension fractale de la structure, et les fonctions decorrelation refletent le caractere critique de la structure fractale.Etant donne un pavage de l’espace (de dimension d) par des cases de cote a, on definitpour chaque site r ∈ (aZ)d une observable locale n(r) valant 1 ou 0 suivant que lacase rencontre ou non la structure. La fonction de correlation est alors donnee par4 :

C(r) 5〈n(r)n(0)〉 − 〈n(0)〉2〈n(0)2〉 − 〈n(0)〉2 (2.13)

ou la moyenne est calculee comme une moyenne spatiale sur tous les couples(r0,r 1 r0) tels que r0 appartienne a la structure5. On surimpose generalement unemoyenne sur les differents pavages, obtenus en faisant varier leur origine O. Diviserpar la variance de n(0) normalise a 1 la fonction de correlation : C(r 5 0) 5 1. Lafonction C(r) est ainsi la probabilite conditionnelle que le site r 1 r0 appartiennea la structure sachant que le site r0 s’y trouve. Si la structure est isotrope, C(r)ne depend que du module r et non de la direction de r, ce que nous supposeronsci-dessous.Cette grandeur statistique est particulierement utile dans l’analyse d’une structurespatiale reelle, fractale ou non. Elle est par exemple calculee et etudiee de facon sys-tematique en physique des liquides ; nous l’avons egalement rencontree dans l’analysed’un systeme de spins (chapitre 1) et nous la retrouverons pour decrire quantitative-ment les amas de percolation (chapitre 5).

4 Les deux notations C et G se rencontrent pour les fonctions de correlation, la notation C etantplus courante dans les contextes geometriques (description quantitative de structures spatiales) etdynamiques (il s’agit alors de fonctions de correlation temporelles).5 Cette facon de calculer la fonction de correlation suppose implicitement que la structure est sta-tistiquement invariante par translation. En pratique, on fera varier r0 dans un echantillon de taillel, suffisamment grand pour etre representatif mais borne pour eviter de rencontrer les bords dela structure. On pourra ensuite etudier la dependance en l du resultat (effets de taille finie) ; enpratique, Cl(r) ≈ C∞(r) tant que r � l.

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2. LA GÉOMÉTRIE FRACTALE 55

La dependance en r de C(r) , pour r grand, revele le caractere fractal ou non de lastructure. En effet, la dependance « normale » de C(r) est exponentielle :

C(r) ∼ e−r/j (2.14)

ou j est la longueur caracteristique (appelee aussi longueur de correlation) de lastructure. Pour une structure fractale, on a au contraire :

C(r) ∼ 1rd−df

(2.15)

Ce remplacement d’une dependance exponentielle par une dependance en loi depuissance est une signature typique d’un comportement critique. Elle reflete ladivergence de la longueur de correlation j.

En fait, la definition meme de la fonction de correlation montre qu’elle va dependrede l’echelle a du pavage, ce que nous indiquerons en la notant C(a,r). L’auto-similarite de la structure s’exprime a travers l’equation C(ka,kr) 5 C(a,r), d’ou l’ondeduit la loi d’echelle :

C(a,r) ∼�a

r

�d−df

(2.16)

Ce comportement d’echelle est analogue a celui suivi par la densite moyenne r(a,r)d’un echantillon de taille r. En effet, a des constantes numeriques pres,

r(a,r) ∼ 1r3

Z r

0C(a,r′)(r′)2dr′ (2.17)

ce qui entraıne que les lois d’echelle decrivant le comportement de C(a,r) et der(a,r) sont identiques.

2.2. Origine des structures fractales

On ne peut comprendre l’omnipresence de ces structures sans echelle carac-teristique qu’en se penchant sur les mecanismes de leur formation. Par exemple,une structure fractale est souvent celle permettant au mieux de reconcilierles lois microscopiques d’organisation (interactions moleculaires ou cellulaire,fluctuations thermiques, diffusion) et les contraintes macroscopiques, tellesles conditions aux bords ou les flux de matiere ; des exemples typiques sont lacroissance fractale ou les ecoulements hydrodynamiques.

Nous retiendrons que la comprehension d’une structure sans echelle carac-teristique – en pratique, une structure presentant un grand nombre d’echellesspatiales ou temporelles – exige une approche globale, dynamique et multi-echelles de l’ensemble du phenomene qui l’engendre. Il faut alors centrer l’etudesur les echanges entre les differents niveaux d’organisation. Plus generalement,ce sont les compromis entre les differentes contraintes exterieures, les loisphysico-chimiques internes et les interactions entre les differentes parties dusysteme qui doivent etre determines pour obtenir le schema, necessairementglobal, d’organisation et de fonctionnement du systeme.

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56 INVARIANCES D’ÉCHELLE

3. Conclusion

La geometrie usuelle, euclidienne, ne permet pas de mesurer un objet invariantd’echelle. Pour mesurer ces objets, il a fallu concevoir une nouvelle quantite,depassant le caractere subjectif de l’observation a une echelle donnee. La dimen-sion fractale, exposant decrivant comment sont reliees les mesures obtenues auxdifferentes echelles, remplit cet objectif. La relation M(l) ∼ ldf definissant cettedimension (ou M(l) est la masse d’une portion d’objet d’extension lineaire l) estun exemple de loi d’echelle. Elle montre que la seule caracteristique intrinsequeest l’exposant, ici df . Pour qu’elle ait un sens, en pratique, il faut verifier quel’objet est effectivement auto-similaire dans une gamme d’echelle, autrement ditque df reste inchangee si on change simultanement la resolution de l’image et lavariable l par un meme facteur.Soulignons que la geometrie fractale se separe en deux courants, certes relies maisdont les philosophies different notablement :

– le premier s’attache a l’etablissement de resultats mathematiques rigoureuxsur les proprietes de fractales ideales. On a pu ainsi introduire differentes defi-nitions pour la dimension fractale, montrer des relations d’ordre entre elles etdemontrer leurs liens avec les autres proprietes, en particulier topologiques, desstructures envisagees [Falconer 1990] ;

– le second, qui nous interessera davantage, concerne l’application de cesconcepts formels aux structures naturelles et les informations qu’on peutainsi extraire sur les mecanismes qui les ont engendrees et sur les proprietesphysiques qu’elles vont manifester [Gouyet 1992]. Le champ d’etude va ainsides algorithmes pour tester l’auto-similarite et evaluer des dimensions fractalesjusqu’a l’investigation des distorsions que presentent divers phenomenes phy-siques ou physico-chimiques lorsqu’ils se produisent sur ou dans des structurefractales (transition de phase liquide/gaz ou reactions chimiques dans un mate-riau poreux, diffusion sur un support fractal, echanges a travers une interfacefractale, par exemple).

Les structures fractales, caracterisees a travers la loi d’echelle definissant leurdimension fractale df , sont indissociables des phenomenes que nous allons ren-contrer tout au cours de ce livre. Elles sont la signature directement observabled’une invariance d’echelle et refletent en termes directement observables la diver-gence d’une longueur de correlation. Elle suggerent fortement de considerer lesysteme comme critique et de l’analyser comme tel, en abandonnant la descriptiondetaillee du comportement a une echelle donnee pour privilegier l’etude du lienentre les comportements observes aux differentes echelles. L’auto-similarite four-nit alors des outils et des arguments techniques remplacant ceux (champ moyen,parametres effectifs) applicables lorsqu’on a separation des echelles.Ce chapitre nous a egalement prepares a decouvrir des invariances d’echelle plusgenerales, debordant largement la notion purement geometrique associees auxstructures fractales. L’invariance d’echelle peut concerner non seulement desobjets mais aussi des processus physiques, par exemple des comportements dyna-miques, des phenomenes de croissance, ou diverses transitions de phase. L’ideefondamentale est la meme : les grandeurs significatives vont etre les exposantsintervenant dans les lois d’echelle exprimant de facon quantitative l’invarianced’echelle du phenomene envisage.

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Page 58: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

CHAPITRE

3L’UNIVERSALITE

COMME CONSEQUENCEDE L’INVARIANCE D’ECHELLE

Nous avons presente, dans le chapitre d’introduction, plusieurs exemples de com-portements critiques au voisinage d’une transition de phase du second ordre. Rap-pelons les observations essentielles.• Lorsque la temperature est proche de la temperature critique, la plupart desquantites physiques obeissent a une loi de puissance (T − Tc)x, ou la quantite x estnommee exposant critique. Nous verrons dans ce chapitre qu’un tel comportementest la signature de l’invariance d’echelle du systeme pres du point critique.• Bien souvent, les exposants critiques, mesures avec une grande precision, nesont pas des rationnels simples : nous avons vu que l’exposant b associe au para-metre d’ordre vaut par exemple 0,32, pour la transition liquide-vapeur, et 0,36pour la transition ferromagnetique-paramagnetique du nickel, l’exposant critiqueg associe a la divergence de la compressibilite kc vaut 1,24 pour la transitionliquide-vapeur de l’eau, et 1,33 pour la susceptibilite magnetique x du nickel.• Par ailleurs, les valeurs de ces exposants sont etonnamment robustes par rap-port aux changements de systeme physique. Non seulement elles sont les memespour la transformation liquide-vapeur de tous les fluides, mais on les retrouve dansdes situations apparemment fort differentes (demixtion de melanges binaires,ordre-desordre dans les alliages metalliques, etc.).Les physiciens soupconnaient que ces proprietes critiques soient liees a la diver-gence de l’extension spatiale des fluctuations thermiques – qui est aussi la porteedes correlations du parametre d’ordre, la longueur de coherence –, jusqu’a ce queles approches de renormalisation ne le confirment de facon eclatante. La difficulte

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 59

etait clairement identifiee : comment prendre en compte rigoureusement les cor-relations dues a la propagation de proche en proche des interactions, alors queleur portee diverge, a la temperature critique ?L’approximation du champ moyen, que nous avons introduite a la fin du premierchapitre, permet de prevoir toutes les proprietes critiques en negligeant l’effet deces correlations. Rappelons le critere de validite de Ginzburg pour la descriptionde champ moyen, base sur l’idee particulierement puissante de region critique :

les calculs exacts sur un bloc fini sont toujours voues a l’echec, dans un petitvoisinage autour du point critique, la region critique, ou les correlations ontune portee plus grande que la taille du bloc.

Deux situations se presentent en pratique :

– pour certains systemes physiques (supraconducteurs metalliques, ferroelec-triques, cristaux liquides, etc.), la region critique est tellement petite qu’ellen’est pas observable experimentalement. Dans ce cas, le comportement critiqueobtenu par l’approximation du champ moyen est remarquablement reproduitdans l’experience ;

– pour les nombreux systemes ou la region critique est experimentalement obser-vable, le comportement critique est radicalement different de celui prevu parcette approximation.

Les physiciens ne savaient pas par quel bout prendre le probleme : c’est finalementune analyse formelle calquee sur ces mecanismes physiques rebelles qui l’emporta.Nous avons introduit au chapitre 2 les fractales, ces objets qui presentent uneinvariance d’echelle, soit stricte, comme pour le tamis de Sierpinski, soit statis-tique, comme pour une trajectoire de marche au hasard de longueur infinie (voirchapitre 4 sur la diffusion). Le physicien Leo Kadanoff fut le premier a suggerer,dans les annees 1960, que l’invariance d’echelle des systemes physiques au pointcritique determine toutes les autres proprietes singulieres [Kadanoff 1966]. Cetteidee mena, en quelques annees, a l’ouverture d’une voie royale, celle des methodesdu groupe de renormalisation.

1. Introduction

Revenons a l’exemple d’un systeme ferromagnetique a differentes temperatures,pres du point critique. A temperature nulle, tous les spins sont alignes. La FIG. 3.1illustre la situation a basse temperature (tres inferieure a Tc) : les spins sontpresque tous alignes hormis quelques uns orientes en sens oppose et regroupes enpetits ılots. Sur la meme figure, est represente l’aspect microscopique d’un aimanta tres haute temperature (tres superieure a Tc) : le desordre y est complet, commedans un systeme de spins sans interactions, car l’agitation thermique domine lar-gement. Il existe en moyenne autant de spins dans chaque orientation, isoles ouregroupes en petits ılots. Dans les deux cas, la taille caracteristique des ılots (c’est-a-dire des fluctuations d’aimantation) mesuree par la longueur de coherence j, estpetite.

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60 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Basse température Haute température

Figure 3.1. Loin de la température critique, la disposition des spins ne présente pas de structures très étendues.À basse température, la majorité des spins sont alignés dans une direction précise, et seuls quelques tout petits îlotssont en sens opposé. À haute température, le désordre est maximal, et la taille moyenne des îlots, où les spins sonttous alignés, est très petite.

Près de la température critique

Figure 3.2. Près de la température critique,les spins se disposent en ilôts de tailles variées.Certains ilôts sont très grands et ramifiés.

La FIG. 3.2 presente un exemple de l’etatdes spins au voisinage de la temperature detransition ferromagnetique-paramagnetique(en l’absence d’excitation magnetique exte-rieure). Pour des temperatures superieuresou egales a la temperature critique (icila temperature de Curie), l’aimantationmoyenne est nulle. Il existe des ılots de toutesles tailles, fortement ramifies. Puisque lechamp magnetique exterieur est nul, aucuneorientation n’est en principe privilegiee : ilest possible d’echanger les orientations posi-tives et negatives des spins sans modifier l’as-pect du systeme. En pratique, des que la tem-perature est sensiblement inferieure a la tem-perature critique, l’aimant choisit arbitrai-rement une orientation positive ou negativepour l’aimantation moyenne : l’ordre brise lasymetrie imposee de l’exterieur au systemede spins. Cependant, la structure spatiale des fluctuations au voisinage de la tem-perature critique est profondement differente de celle que l’on observe a basse eta haute temperature. Voyons maintenant ce qu’il se passe lorsque l’on augmentel’echelle d’observation, en effectuant un zoom arriere.

1.1. Zoom arrière et décimation

Lorsqu’on augmente la taille du champ d’observation en diminuant la resolu-tion de l’image (zoom arriere), on distingue de moins en moins les petits ılots.

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 61

A basse temperature, ceux-ci disparaissent completement au-dela d’une certaineechelle et l’aimant paraıt parfaitement aligne. Tout se passe comme si augmenterl’echelle d’observation revenait a abaisser la temperature. La meme operation, ahaute temperature, conduit a une aimantation moyenne nulle avec une repartitioncompletement aleatoire des orientations. Tout se passe ici comme si diminuer legrossissement revenait a augmenter le desordre, c’est-a-dire augmenter la tempe-rature. Dans les deux cas, augmenter l’echelle d’observation revient a s’eloigner dela temperature critique.Que produit cette operation lorsque l’on est exactement au point critique ? A latemperature critique, il existe des ılots de tailles variees mais aussi des structurestres etendues qui persistent quelle que soit l’augmentation de l’echelle. L’imagen’est pas statistiquement modifiee par le changement d’echelle : on dit qu’elle estinvariante d’echelle.En 1962, Leo Kadanoff [Kadanoff 1962] introduit un outil destine a quantifierles effets d’une telle transformation d’echelle, une transformation modele qu’ilnomme decimation. Il suggere qu’en iterant cette transformation et en passant ala limite, on doit pouvoir decrire les proprietes physiques des systemes critiquesen exprimant leur invariance d’echelle1.

Figure 3.3. Pour représenter l’effet du changement d’échelle par le microscope, Leo Kadanoff propose de grouper lesspins par blocs, puis de faire correspondre un « super-spin » à ce bloc. Et l’on recommence indéfiniment l’opération.Différentes méthodes permettent d’attribuer une orientation au super-spin en fonction de l’orientation des spins qu’ilcontient (voir le texte).

L’etymologie du mot decimation designe la pratique de grouper les soldats parpaquets de dix dans les legions romaines, puis de grouper par dix ces paquets pourobtenir des centuries, etc. (Notons au passage que ce terme avait egalement unautre sens : la decimation etait une punition collective consistant a executer unhomme sur dix !) La FIG. 3.3 represente une decimation de spins par blocs de 4,qui illustre une augmentation de l’echelle d’observation d’un facteur 2. A chaquebloc, on fait correspondre un super-spin dans le reseau decime. Pour determinerl’orientation des super-spins, on adopte une regle qui s’applique lorsque les spinsdu bloc initial ne sont pas tous alignes dans la meme direction. Lorsque le nombre

1 Ce processus de transformation est la transposition de l’evolution d’un systeme dans le temps,chaque iteration representant une unite de temps. Lorsque la loi d’evolution ne conduit pas a unetransformation lineaire des quantites qui decrivent le systeme, des regimes asymptotiques tres variespeuvent apparaıtre comme les regimes chaotiques. Nous les decrivons au chapitre 9 consacre a latheorie des systemes dynamiques.

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62 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Réseau initial RéseauTinitiale = 1,22 Tc Tinitiale = Tc

Bloc de spins de la première génération

Bloc de spins de la seconde génération

Bloc de spins de la

Bloc de spins de la

Bloc despins de latroisième

générationBloc de

spins de laquatrièmegénération

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 63

initial Tinitiale = 0,99 Tc Réseau initial

Bloc de spins de la première générationpremière génération

Bloc de spins de la seconde génération

Bloc despins de latroisième

générationBloc de

spins de laquatrièmegénération

seconde génération

Bloc despins de latroisième

générationBloc de

spins de laquatrièmegénération

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64 INVARIANCES D’ÉCHELLE

de spins dans un bloc est impair, on utilise la regle simple et intuitive de la majo-rite : le super-spin est oriente comme la majorite des spins qu’il contient. Lorsquele nombre est pair, il faut de plus regler les cas ou la moitie des spins est orienteedans un sens et l’autre moitie dans le sens oppose. On associe en general arbi-trairement une orientation du super-spin a chaque configuration des spins, en res-pectant les symetries du bloc, et notamment l’egalite du nombre des orientationspositives et negatives des super-spins pour ces cas.La FIG. 3.4 illustre les effets de cette transformation iteree sur un systeme de236 000 spins pour trois temperatures initiales differentes : 1,22Tc, Tc et 0,99Tc.On observe bien l’invariance d’echelle a Tc, la taille des amas n’etant limitee quepar celle du systeme. Pour les autres temperatures initiales, chaque iteration cor-respond bien a un eloignement de la temperature critique.A la temperature critique, on pourrait en principe effectuer une infinite de deci-mations sur un systeme de taille infinie, sans modifier ses proprietes statistiques.Consequence interessante :

a la temperature critique et dans son voisinage proche, les details microsco-piques des interactions des spins ne sont pas importants ;

un fait qui se relie bien a l’universalite observee des comportements critiques.Cependant, la methode introduite par Leo Kadanoff ne suffit pas pour calculer leslois qui regissent ces comportements.Ce n’est qu’en 1971 que Kenneth Wilson y parviendra en proposant une genera-lisation de ce travail : les methodes de renormalisation [Wilson 1971 et 1979].Le succes est considerable : ces methodes conduisent rapidement a de nombreuxresultats et Wilson obtiendra le prix Nobel de physique, en 1982. L’idee est d’uti-liser la decimation de Leo Kadanoff non pas pour transformer les valeurs quicaracterisent l’etat physique du systeme modele, mais pour transformer le modelelui-meme dans sa forme (voir paragraphes suivants). Au point critique, la trans-formation doit laisser invariant le modele dans son integralite, avec toutes sesequations, et tous les etats accessibles au systeme. En exprimant les conditions de

Figure 3.4. (Pages précédentes.) La transformation de blocs de spins appliquée plusieurs fois à un réseau de spinsfait apparaître le comportement du système à des échelles de plus en plus grandes. L’auteur a utilisé un ordinateurpour traiter un réseau initial de 236 000 spins ; un carré noir représente un spin dirigé vers le haut et un carré blanc,un spin dirigé vers le bas. On a pris trois valeurs initiales pour la température : au-dessus de la température de CurieTc, à Tc, et au-dessous de Tc. On commence par diviser le réseau initial en blocs 3 3 3. On remplace chaque blocpar un seul spin dont on détermine l’orientation grâce à la règle de la majorité ; on obtient ainsi le réseau de blocs despins de la première génération. On recommence l’opération mais en partant cette fois du réseau de blocs de spins dela première génération. Le réseau de la seconde génération ainsi obtenu sert de départ pour la transformation suivanteet ainsi de suite. Il y a suffisamment peu de spins dans le réseau de la troisième génération pour qu’on puisse ledessiner tout entier et, à la quatrième génération, il n’y a plus que 36 spins, chacun d’entre eux représentant plus de6 000 spins du réseau initial. À la première étape, on a éliminé les variations qui se font sur une échelle inférieure àtrois mailles du réseau (en appliquant la règle de majorité). À la seconde étape, on élimine les variations entre trois etneuf mailles du réseau : à la troisième, entre neuf et 27 mailles, etc. Lorsque la température est au-dessus de Tc, lesspins apparaissent de plus en plus être distribués au hasard et les variations à courte portée disparaissent ; lorsquela température est inférieure à Tc, les spins apparaissent avoir de plus en plus une orientation uniforme, les variationsqui subsistent étant de faible portée. Lorsque la température de départ est exactement égale à Tc, il reste, à chaqueétape, des variations à grande échelle. On dit qu’à la température de Curie, le système est à un point fixe car chaquetransformation de blocs de spins conserve la structure à grande échelle du réseau (d’après Wilson 1979).

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 65

cette invariance, on obtient la forme du modele adaptee a la description critique.Il devient ainsi possible de classer les modeles en regard des systemes physiques adecrire, puis de comparer ces previsions aux nombreuses observations effectueesdepuis Van der Waals sur des centaines de systemes et de changements d’etat dif-ferents. L’accord entre l’experience et les previsions obtenues par renormalisationest remarquable (voir par exemple la FIG. 1.23).Le principal resultat est que :

le comportement critique ne depend que de la geometrie de l’ordre qui s’installea basse temperature : il depend essentiellement du nombre de composantes ndu parametre d’ordre et de la dimension d de l’espace.

La renormalisation permet de classer les changements d’etats en classes d’univer-salite (n, d) dans lesquelles le comportement critique est le meme pour tous lessystemes physiques. La renormalisation permet de confirmer rigoureusement laconclusion obtenue par Ginzburg (§ 3, chapitre 1) : l’utilisation de l’approxima-tion du champ moyen – dont les resultats sont completement independants de net d – conduit au comportement critique exact, si la dimension d de l’espace estegale ou superieure a 4. Dans notre espace a trois dimensions, cette approxima-tion est inexacte, mais elle est encore moins adaptee a deux dimensions, ou lesfluctuations thermiques ont un poids considerable. Dans un espace a une dimen-sion, la difference est encore plus flagrante car le calcul exact ne prevoit pas dechangement d’etat : le systeme reste desordonne jusqu’a une temperature nulle.

2. Lois d’échelle, invariance d’échelle et hypothèse du scaling

Avant de decrire et d’appliquer les methodes de renormalisation a quelquesexemples, nous revenons a l’idee d’invariance d’echelle et a ses consequences surla forme de l’energie libre d’un systeme pres du point critique. Nous abandonnonsprovisoirement la description microscopique pour nous interesser aux proprietesmacroscopiques moyennes. Nous l’avons note : les observations experimentales detransitions de phase montrent des comportements critiques en loi de puissancetelles que m ∼ tb. Pour ce qui est des modeles, l’approximation du champ moyen,presentee au § 3 du chapitre 1, conduit egalement a des lois de puissance, maisrien n’indique a priori qu’il doive en etre de meme pour le resultat d’une des-cription rigoureuse. La justification de l’existence de lois de puissance s’inscritdans une approche generale des physiciens, le scaling, qui justifie l’etablissementde lois d’echelles generales pour des systemes comportant un grand nombre dedegres de liberte.

Un concept unificateur

Les lois d’echelle sont un nouveau type de loi statistique, a mettre sur le memeplan que la loi des grands nombres et le theoreme de la limite centrale. A ce titre,elles depassent largement le cadre de la physique et peuvent se rencontrer dansd’autres domaines, la finance, le trafic routier, la biologie. Elles s’appliquent auxproprietes globales, macroscopiques de systemes comprenant un grand nombre

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66 INVARIANCES D’ÉCHELLE

d’unites elementaires, microscopiques. Pour obeir a une description classique, cesunites :

– doivent etre statistiquement independantes ou peu correlees, c’est-a-dire carac-terisees par une longueur de coherence j finie ;

– ne doivent pas non plus fluctuer trop fortement : la variance s de leurs obser-vables elementaires doit etre finie pour que la loi des grands nombres et letheoreme de la limite centrale s’appliquent.

Les lois d’echelle apparaissent lorsque l’une de ces deux conditions n’est pas veri-fiee : j ou s infinie, pourvu que la nature des constituants elementaires et laregularite de leur organisation laisse presager de proprietes d’autosimilarite. Nousillustrons cet aspect tout au long de ce livre, et avec un exemple plus detaille dansle chapitre suivant consacre a la diffusion normale et anormale.L’existence de lois d’echelle est fort utile : elle permet de deduire par simple chan-gement d’echelle le comportement d’un systeme de taille arbitraire en connais-sant celui d’un systeme de taille donnee. On pourra ainsi decrire le comportementd’un systeme de grande taille a partir de celui d’un systeme de petite taille, ana-lyse rigoureusement ou simule numeriquement. Un exemple typique est celui despolymeres, qui manifestent des comportements d’echelle a toute temperature etpas seulement au voisinage d’une temperature critique (voir § 3.4 du chapitre 6).En outre, l’invariance d’echelle des equations hydrodynamiques permet de repro-duire le comportement d’un petrolier geant en utilisant un bateau miniature, dequelques metres de long, naviguant sur un fluide beaucoup plus visqueux que l’eau,ce qui permet aux pilotes d’eprouver les sensations qu’ils rencontreront lors de lamanœuvre du bateau reel (voir § 5.1 du chapitre 9).Bien que de telles lois de puissance aient ete introduites en mecanique des fluidespar Kolmogorov des 1941, elles ne furent acceptees comme une description adap-tee aux comportements critiques qu’au cours des annees 1960, durant lesquellesune intense activite fut dediee a leur justification. Divers auteurs etablirent desrelations entre les exposants critiques, des inegalites a partir de considerationsthermodynamiques de stabilite, puis des egalites traditionnellement nommees loisd’echelle critiques. Chacune de ces lois etait un argument de plus en faveur de l’uni-versalite des comportements critiques. Il fut clair a la fin des annees 1960 que tousles exposants critiques pouvaient etre deduits de deux d’entre eux. Nous decrivonsci-dessous une de ces approches : la theorie d’echelle de Widom.

2.1. Lois d’échelle de Widom

L’idee de base de Widom [Widom 1965] etait de caracteriser les proprietes gene-riques de la partie singuliere f de l’energie libre2 par unite de volume, au voisi-nage du point critique. Cette fonction doit dependre de t, la distance relative dela temperature au point critique, et du champ exterieur h. Les differentes quan-tites physiques, chaleur specifique C, parametre d’ordre m et susceptibilite x, se

2 Meme si nous la nommons f et non g, la quantite qui nous interesse ici est a strictement parlerl’energie libre de Gibbs, qu’on peut appeler enthalpie libre dans la mesure ou elle depend de la variablemagnetique intensive h et non de la variable extensive correspondante, l’aimantationm.

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 67

deduisent de f(t,h) :

C 5

(≠2f

≠t2

)h

m 5

(≠f

≠h

)t

x 5

(≠2f

≠h2

)t

(3.1)

Le raisonnement de Widom part de l’idee que si ces trois quantites presentent uncomportement critique en loi de puissance, alors f doit elle-meme presenter uneforme en loi de puissance. Il suppose donc que f a la forme :

f(h, | t |) 5 | t |2−ag(h | t |−D) (3.2)

qui s’applique quel que soit le signe de t avec eventuellement des valeurs diffe-rentes de g. En champ h nul, cette forme assure que C 5 g(0)t−aavec la signi-fication habituelle de l’exposant a (voir tableau 1.1). Les deux autres quantitesconduisent de meme a l’expression des exposants critiques b et g :

b 5 2 − a− D et g 5 −2 1 a 1 2D (3.3)

En eliminant D, on obtient la loi d’echelle de Rushbrooke, parfaitement verifieepar les exposants mesures, mais aussi par les exposants de champ moyen3 :

a 1 2b 1 g 5 2 (3.4)

Dependance en champ

L’exposant d, defini par m ∼ h1/da t 5 0, est introduit en posant h |t|−D5 x dans

l’expression de m via l’eq. 4.2 :

m 5 | t |2−a−Dg(x) 5

(h

x

) 2−a−DD

g(x) (3.5)

En fixant par exemple x 5 1, on obtient la valeur de d 5 D/(2 − a− D). L’elimi-nation de D conduit a une nouvelle relation, la loi d’echelle de Griffith :

a 1 bd 1 b 5 2 (3.6)

Longueur de coherenceUne facon d’evaluer la partie singuliere f de l’energie libre, est d’exprimer qu’elleest de l’ordre de kT par degre de liberte. On peut montrer qu’un degre de libertecorrespond ici a chaque volume de coherence elementaire jd, ou d est la dimensionde l’espace. Ce resultat se comprend en considerant que la longueur de coherenceest la plus petite distance sur laquelle le parametre d’ordre peut changer : tout sepasse comme si l’espace etait pave de cellules de volume jd au sein desquelles leparametre d’ordre est constant. La valeur de l’energie libre est donc :

f ∼ k T j−d ∼ kT | t |−dn (3.7)

ce qui conduit, par identification a la forme de Widom (eq. 3.2), a la nouvellerelation :

a 1 dn 5 2 (3.8)

Cette loi d’echelle, dite de Josephson, est aussi nommee relation d’hyperscalingcar elle est la seule a impliquer explicitement la dimension de l’espace d. On notera

3 Par souci de simplicite, on entend par exposants de champ moyen les exposants calcules dans lecadre de l’approximation du champ moyen.

Page 68: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

68 INVARIANCES D’ÉCHELLE

que cette relation n’est satisfaite pour les exposants du champ moyen, a 5 0 etn 5 1/2, que pour la dimension critique d 5 4 a partir de laquelle cette descrip-tion est valide (voir le critere de Ginzburg presente a la fin du premier chapitre).Une autre relation, la loi d’echelle de Fisher, peut etre obtenue en etudiant lesrelations dimensionnelles reliant la fonction de correlation spatiale qui fait inter-venir l’exposant h a la susceptibilite et la longueur de coherence qui font intervenirles exposants g et n :

h 1 g/n 5 2 (3.9)

Excellent accord avec l’experienceAfin de pouvoir comparer leur validite, nous avons presente ci-dessus les quatre loisd’echelle sous une forme arbitraire, ou le second membre vaut 2. Le tableau 3.1reprend des mesures experimentales d’exposants [Binney et al. 1992] pour sixfamilles differentes de changements d’etat. Il presente egalement le degre de vali-dite des quatre lois d’echelle ci-dessus : le tableau presente la valeur obtenueen utilisant les valeurs experimentales des exposants pour le calcul du premiermembre.

XeMélangebinaire

Alliage 4He Fe Ni

n nombre decomposantes duparamètre d’ordre

1 1 1 2 3 3

a 0 0,113 0,05 – 0,014 – 0,03 0,04

b 0,35 0,322 0,305 0,34 0,37 0,358

g 1,3 1,239 1,25 1,33 1,33 1,33

d 4,2 4,85 3,95 4,3 4,29

h 0,1 0,017 0,08 0,021 0,07 0,041

n 0,57 0,625 0,65 0,672 0,69 0,64

Rushbrookea 1 2b 1 g 5 2

2,00 1,99 1,91 1,99 2,04 2,09

Griffitha 1 bd 1 b 5 2

1,82 2,00 1,67 1,93 1,93

Fisherh 1 g/n 5 2

2,38 2,00 2,00 2,00 1,99 2,12

Josephsona 1 n d 5 2

1,71 1,99 2,00 2,00 2,04 1,96

Tableau 3.1. Vérification des lois d’échelles sur quelques familles d’exposants critiques mesurées.

Compte tenu des barres d’erreur experimentales sur les mesures des expo-sants, l’accord observe est remarquable. La confirmation experimentale de ceslois d’echelle indique que l’approche formelle du type Widom est fondee. Maiscomment justifier le sens physique de la relation postulee par Widom ? Quel meca-nisme physique peut conduire a une forme aussi simple de la partie singuliere fde l’energie libre au point critique ? Leo Kadanoff propose une reponse simple : ladivergence de la longueur de coherence.

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 69

2.2. Divergence de j et hypothèse du scaling

Revenons a la question simple : pourquoi les transitions de phase presentent-ellesdes comportements critiques en loi de puissance telles que m ∼ tb alors querien n’indique a priori qu’il doive en etre ainsi ? Un argument physique en faveurd’un tel type de comportement critique decoule d’une hypothese essentielle ditehypothese du scaling4. Parmi les nombreuses facons dont elle a ete formulee, selonLeo Kadanoff, elle peut etre exprimee de la facon suivante :

La dependance critique d’une propriete physique P (t) traduit essentiellementla dependance thermique de la longueur de coherence qui diverge a la tempe-rature critique suivant une loi de puissance j(t) 5 j0t

−n :

P (t) ≡ P(j(t)) (3.10)

la fonction P ne depend plus explicitement de la temperature mais uniquement dela longueur de coherence. Dans cette partie, nous supposons donnee la forme dela divergence de la longueur de coherence en loi de puissance. Nous verrons, dansla partie consacree au flot de renormalisation, que l’on peut obtenir rigoureuse-ment cette forme. Leo Kadanoff proposa cette hypothese – dont nous reparleronsplus loin – dans les annees 1960, et fut l’artisan principal de son application. Sil’on prend en compte cette hypothese, les transformations d’echelle d’un systemecritique conduisent naturellement a des comportements en loi de puissance. Laquestion est la suivante : lorsque l’on etudie le systeme apres l’avoir soumis a unchangement d’echelle x→ kx, quel est l’ecart de temperature t′ tel que :

P (t) 5 P (t′) soit P(kj(t)) 5 P(j(t′)) ?

En supposant j(t) 5 j0t−n, que l’on observe experimentalement, cette approche

conduit a des lois de puissance du type :

P(j) ≡ P0jb et donc P (t) 5 P0t

x (3.11)

A l’inverse de l’approche de Widom, qui postulait ces lois de puissance, celles-ciderivent maintenant d’une hypothese physique bien concrete. L’hypothese pheno-menologique du comportement d’echelle au voisinage du point critique va etredemontree par l’approche de renormalisation. Nous presentons maintenant lademarche proposee par Kadanoff qui menera a la renormalisation lorsque KennethWilson – et bien d’autres – lui adjoindront une etape conceptuelle supplementaire.

2.3. Lois d’échelle revisitées par la décimation

Introduisons l’operation de decimation D d’un reseau d’Ising telle qu’elle est illus-tree sur la FIG. 3.3 : les spins du reseau initial de pas a sont regroupes en blocs detaille La contenant n 5 Ld spins (dans la figure, L 5 2, d 5 2, n 5 4). Le nouveaureseau de super-spins presente un nombre de degres de liberte reduit d’un facteur

4 Les approches « d’echelle » sont aujourd’hui devenues un outil courant des physiciens : le conceptcentral de scaling n’a pas d’equivalent en francais. Le scaling evoque une structure de la nature et seslois particulieres, mais surtout un regard et un type d’analyse universels pour le physicien. Il s’agitautant d’une observation que d’une action, avec l’idee que cette approche active sculpte la demarched’observation.

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70 INVARIANCES D’ÉCHELLE

n. L’etape cruciale est de reduire les 2n etats accessibles a chaque super-spin, adeux etats (11 ou −1) comme dans le reseau de depart. Les quantites t et h sontsupposees etre transformees par la decimation en t′ et h′. Kadanoff fait l’hypothesesuivante :

h′ 5 hLx et t′ 5 tLy (3.12)

La transformation de l’energie libre par unite de volume f en f ′, lors de la deci-mation, s’en deduit en notant que le volume occupe par un spin est passe de ad a(La)

d

, et que la valeur physique de l’energie libre par spin du reseau initial ne doitpas changer :

f(t,h) 5 L−df ′(tLy,hLx) (3.13)

Quant a elle, la longueur de coherence doit se transformer simplement comme :

j(t,h) 5 Lj′(tLy,hLx) (3.14)

que l’on identifie, pour ce qui concerne la dependance thermique, a la divergencej(t) 5 j0t

−n de la longueur de coherence.Au point critique, l’invariance d’echelle impose que cette transformation corres-ponde a un point fixe ou f 5 f ′ et j 5 j′. Par ailleurs, ces relations doivents’appliquer quel que soit L. On peut par exemple choisir L 5 | t |−1/y de facon quele premier argument soit 1 1 ou −1 suivant le signe de t. En se placant a h 5 0,on obtient alors :

f(t,h) 5 | t |−d/yf(±1,0) et j(t,h) 5 | t |−1/y

j(±1,0) (3.15)

En identifiant l’exposant −d/y a 2 − a (eq 3.2) et −1/y a n (eq 3.21) et en elimi-nant y, on obtient de nouveau la loi de Josephson dite d’hyperscaling :

dn 5 2 − a (3.16)

Il est facile de retrouver les lois de Rushbrooke et Griffith en calculant directementm et x ( 3.1). La derivation de la quatrieme loi, celle de Fisher, est interessante carelle fait intervenir directement la signification physique de la decimation. Rappe-lons la definition de l’exposant h lie a la dependance de la fonction de correlationG en champ h 5 0 : G(Tc,r) ∼ r−(d−21h).De facon generale, la fonction de correlation G(r,t,h) peut s’exprimer comme :

G(r,t,h) 5≠2f

≠h(r)≠h(0)(3.17)

qui conduit a :

G(r,t,h) 5 L−2dL2xG′(r/L,tLy,hLx) (3.18)

En choisissant L 5 r, t 5 0 et h 5 0, et en exprimant x a partir de l’exposant g

qui caracterise la suceptibilite x ∼(≠2f

≠h2

)t

on obtient la relation g 5 (2−h)n qui

est la loi d’echelle de Fisher.Formellement, les approches de Widom et de Kadanoff sont tres proches, maiscette derniere est fondee sur un argument physique, l’hypothese du scaling. Leslois d’echelle sont ici la signature de la divergence de la longueur de coherence.Nous avons defini six exposants qui sont relies par quatre lois d’echelle : toutes les

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 71

singularites critiques peuvent ainsi se deduire de deux exposants, mais commentcalculer la valeur de ceux-ci ?

Le programme de KadanoffKadanoff et d’autres physiciens utiliserent la demarche de decimation en tentantde calculer des constantes de couplage transformees K ′ 5 D(K) a la recherched’un point fixe. Les constantes de couplage sont des parametres qui interviennentdans l’hamiltonien qui caracterise l’energie du systeme. Nous en avons presenteun exemple au premier chapitre dans le cadre du modele d’Ising : l’hamiltonieny est caracterise par la constante de couplage K 5 J/kT , J etant l’energie decouplage entre spins premiers voisins. L’idee etait de les transformer par les troisetapes suivantes :

1. regrouper les spins en super-spins par une decimation D en blocs de kd spins :on obtient ainsi un « super-reseau » de pas D(a) 5 ka ;

2. changer l’echelle du super-reseau d’un facteur 1/k : a′ 5 D(a)/k 5 a defacon a retrouver le pas du reseau de depart, avec une longueur de coherencediminuee : j′ 5 j/k ;

3. transformer les parametres de couplage K, K ′ 5 D(K).

Lorsque l’on itere l’ensemble de ces trois operations (transformation que l’onnommera R) on s’attend aux limites suivantes, en fonction de la temperature dedepart :• T > Tc soit K < Kc : on s’attend a ce que la transformation entraıne unediminution de K, K ′ < K, et que donc la constante de couplage tende vers lalimite K∗

1 5 0, soit T ∗1 5 ∞. Ce point fixe « haute temperature » est stable

puisque la transformation y conduit, et correspond au desordre total prevu pourun couplage nul, c’est-a-dire des spins sans interaction en champ exterieur nul ;• T < Tc soit K > Kc : on s’attend a ce que la transformation conduise a uneaugmentation de K, K ′ > K, et que la constante de couplage tende vers la limiteK∗

2 5 ∞, soit T ∗2 5 0. Ce point fixe « basse temperature » est egalement stable. Il

correspond a un ordre parfait ;• T 5 Tc soit K 5 Kc : le systeme etant invariant d’echelle, on s’attend a ceque la transformation ne modifie pas K, K ′ 5 K 5 Kc , et que donc la constantede couplage reste egale a la valeur critique K∗ 5 Kc, soit T ∗ 5 Tc. Ce pointfixe, instable par ce que la moindre variation de temperature conduit a l’un desdeux cas precedents, correspond au point critique.Toute la physique de la renormalisation etait deja dans cette approche. Il manquaitcependant une idee essentielle pour que cette demarche aboutisse de facon sys-tematique : sauf exception ce ne sont pas seulement les parametres d’un modelequ’il faut transformer, mais le modele lui-meme, dans sa forme. Les bases pheno-menologiques de cette approche etant posees, nous revenons aux modeles micro-scopiques qui permettent de les mettre en œuvre.

3. Transitions et hamiltoniens modèles

Historiquement, les modeles microscopiques de transition ferromagnetique-paramagnetique ont servi de base emblematique pour la plupart des etudes sur

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72 INVARIANCES D’ÉCHELLE

les transitions de phase : c’est egalement ce systeme que nous utilisons pour l’in-troduction des methodes de renormalisation. Les resultats obtenus sont ensuitetransposes a des situations physiques extremement diverses. La demarche utiliseeest celle de la physique statistique habituelle : elle consiste a calculer les valeursa l’equilibre des observables physiques macroscopiques, aimantation m, suscepti-bilite x, etc. a partir du hamiltonien H qui caracterise l’energie du systeme.La premiere etape est la construction de la fonction de partition Z et de l’energielibre de Gibbs f qui s’en deduit :

Z 5∑{Si}

e−H/kT f 5 − kT ln(Z)

d’ou l’on deduit ensuite les valeurs moyennes des quantites souhaitees. Ainsi,les hamiltoniens caracterisent pleinement les modeles physiques correspondants.Nous presentons ci-dessous les formes les plus frequemment utilisees et leur deno-mination courante.

3.1. Le nombre de composantes du paramètre d’ordre

Les spins Si sont des vecteurs a n composantes dont le module est fixe (il s’agit lad’une hypothese que l’on choisit souvent mais que l’on peut changer). Il est neces-saire de distinguer le nombre n de composantes, de la dimension d de l’espace.

– S’il s’agit de spins au sens physique, dans le cas le plus general, le nombre decomposantes est n 5 3. Les modeles correspondants sont alors caracterises pardes hamiltoniens dits de Heisenberg.

– Lorsque le nombre de composantes est n 5 2, la denomination courante estmodele XY .

– Le cas n 5 1 est associe aux modeles d’Ising.

N’oublions pas cependant, que nous utilisons la transition ferromagnetique-paramagnetique comme exemple pour decrire les changements d’etats de facongenerale : n et d seront donc consideres comme des parametres pouvant prendren’importe quelle valeur a priori. Nous verrons par exemple au chapitre 6 quele cas n 5 0 permet une analogie fructueuse avec le repliement des chaınesde polymeres. La situation fictive ou n 5 ∞, nommee modele spherique, estegalement utilisee comme reference.

3.2. Les interactions

L’hamiltonien de forme generale qui prend en compte des interactions entre deuxspins Si et Sj s’ecrit :

H 5 −n∑

a51

∑i

∑j

JaijSaiSaj − h∑i

Szi (3.19)

ou a est une des n composantes des spins et h le champ magnetique oriente sui-vant la direction z. La constante de couplage Jaij se simplifie dans les cas sui-vants :

– si le systeme est isotrope, elle ne depend plus de a,

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 73

– si le systeme est invariant par translation :

Jij 5 J(ri − rj) 5 J(rij)

– si enfin les interactions ne sont actives que si les spins Si et Sj sont premiersvoisins, il n’existe plus qu’un seul parametre de couplage J (une seule constantede couplage reduite K 5 J/kT ).

En faisant ces trois hypotheses, l’hamiltonien s’ecrit :

H 5 −Jn∑

a51

∑<ij>

SaiSaj − h∑i

Szi (3.20)

ou < ij > signifie l’ensemble des couples de spins Si et Sj premiers voisins. Nousreviendrons, a la fin de ce chapitre, sur la pertinence de cette derniere hypothese.A la lumiere des paragraphes precedents, le lecteur percoit sans doute que lesinteractions entre seconds (ou troisiemes, ...) voisins restent des effets localisesa l’echelle microscopique qui n’affectent pas gravement l’invariance d’echelle dusysteme au point critique. Nous montrerons plus loin que les methodes de renor-malisation permettent de discuter quantitativement ce point.

3.3. Le modèle d’Ising

Nous avons introduit au chapitre 1 le modele d’Ising, le plus simple de tous,propose par W. Lenz en 1920. Outre les hypotheses du paragraphe precedent,le modele d’Ising suppose que les spins n’ont acces qu’a deux etats d’orienta-tions opposees. On utilise des quantites physiques reduites de sorte que les spinsprennent les valeurs si 5 ±1. Par la suite, nous utiliserons essentiellement l’ha-miltonien d’Ising qui suit :

H 5 −J∑<ij>

sisj − h∑i

si (3.21)

4. La résolution du problème d’Ising à 1D et 2D

Le probleme d’Ising peut s’exprimer ainsi : la physique statistique prevoit-ellel’existence d’une transition ordre-desordre dans un systeme decrit par l’hamilto-nien 3.21 ?Le probleme fut resolu par Ernest Ising, en 1925, dans le cas d’une chaıne uni-dimensionnelle de spins. Il fallut attendre une vingtaine d’annees et une per-formance mathematique exceptionnelle [Onsager 1944] pour que soit resolu lemodele d’Ising a deux dimensions. Aujourd’hui, on ne connaıt aucune solutionanalytique exacte pour une dimension superieure ou egale a 3.

4.1. Les matrices de transfert

Nous presentons dans ce paragraphe, la resolution du probleme d’Ising a unedimension, basee sur la methode de la matrice de transfert. La meme idee per-met une resolution du probleme 2D, plus simple que celle d’Onsager [Plischke etBergersen 1994].

Page 74: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

74 INVARIANCES D’ÉCHELLE

L’hamiltonien et la fonction de partition d’une chaıne d’Ising s’ecrivent :

H 5 −J∑i

sisi11 −h

2

∑i

(si 1 si11) 5∑i

Hi , Z 5∑

{s15±1,s25±1,...}e−

HkT

(3.22)

ou l’on a mis le terme de champ sous une forme symetrique en i et i 1 1. Nousallons voir qu’il est utile de construire la matrice T dont les elements sont lesvaleurs possibles de Zi 5 exp(−Hi/kT ) relative au couple (si,si11) :

si11 5 1 si11 5 −1

si 5 1 T11 5 eJ1hkT T1,−1 5 e− J

kT

si 5 −1 T−1,1 5 e− JkT T−1,−1 5 e

J−hkT

Nous associons maintenant un vecteur si 5 (s1i , s −i ) au spin si ,de facon que

si 5 (1,0) si si 5 1, et si 5 (0,1) si si 5 −1.

La quantite < si| T |si11 >correspond a la quantite observable pour Zi :

< si| T |si11 > 5 s1i s1i11e

J1hkT 1 s1i s

−i11e

− JkT 1 s−

i s1i11e

− JkT 1 s−

i s−i11e

J−hkT

(3.23)

expression dans laquelle un et un seul des quatre termes est non nul. En supposantdes conditions periodiques (sN11 5 s1), l’eq. 3.23 implique l’expression de Z :

Z 5∑

{s15±1,s25±1,...}

∏i

Zi

5∑

{s15±1,s25±1,...}< s1| T |s2 > < s2| T |s3 > < s3| T |s4 > ... < sN | T |s1 >

(3.24)

On peut donc identifier Z a la trace de T a la puissance N :

Z 5 Tr{T N} 5 lN1 1 lN2 (3.25)

ou l1 et l2 sont les valeurs propres de T que l’on calcule de facon classique :

l± 5 eJ

kT coshh

kT±√e

2JkT sinh2 h

kT1 e−

2JkT (3.26)

A la limite thermodynamique N → ∞, seule compte la valeur propre l1 5 l1positive, et dont le module est le plus grand :

Z ≈ lN1 (3.27)

Tout se passe donc comme si le systeme etait constitue de particules sans inter-action dont la fonction de partition serait Z1 5 l1. La methode des matricesde transfert permet de ramener le calcul d’une chaıne de N spins en interactionaux proprietes d’une seule particule fictive. De meme, a deux dimensions, cettemethode permet de se ramener a un autre probleme dans un espace a une dimen-sion.

Page 75: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 75

4.2. Les propriétés du modèle d’Ising 1D

De l’expression 3.27 de Z, on deduit directement l’energie libre

G 5 −kT lnZ 5 −NkT ln l1,

et toutes les quantites physiques qui caracterisent le systeme. La forme de l1

(eq. 3.26), sans aucune singularite a temperature finie, permet d’affirmer qu’onn’observe pas de transition pour le modele d’Ising 1D. La valeur de l’aimantationest :

m 5 − 1N

≠G

≠h5kT

l1

≠l1

≠h5

sinhh

kT√sinh2 h

kT1 e−

4JkT

(3.28)

et la susceptibilite :

x 5≠m

≠h5

1kT

e−4JkT cosh

h

kT(sinh2 h

kT1 e−

4JkT

)3/2 (3.29)

En champ magnetique nul, h 5 0 , on obtient donc :

m 5 0 et x 51kTe

2JkT (3.30)

c’est-a-dire que la susceptibilite diverge a T 5 0, meme si l’aimantation spontaneereste strictement nulle. Notons que cette divergence – qui est souvent considereecomme une « transition a temperature nulle » – est une divergence exponentielle,et non en loi de puissance. De ce point de vue, cette « transition » reste touta fait particuliere : elle n’est pas dominee par l’invariance d’echelle du systeme,mais par les excitations thermiques individuelles. On peut de meme calculer la

chaleur specifique C 5≠2G

≠T 2 , qui presente un maximum pour une temperature

legerement inferieure a J/k. La FIG. 3.6 represente les quantites G, x et C enfonction de la temperature reduite (en unites J/k) comparees a leurs valeurs dansl’approximation du champ moyen.

Remarques

• La forme generale de f , obtenue dans l’approximation du champ moyen, estqualitativement bonne. Par ailleurs, elle est d’autant meilleure que le champapplique est different de zero : le champ h reduit sensiblement l’effet des fluc-tuations thermiques.

• Le lecteur sera peut-etre surpris de constater que l’energie libre sature a savaleur minimale – NJ, pour T inferieur a environ J/3k, alors que m 5 0. Celapeut sembler contradictoire car, a basse temperature, on s’attendrait plutot af 5 −mNJ . Ce dernier resultat n’est exact que pour un systeme homogene :ici, il n’existe aucun ordre a longue distance jusqu’a la temperature nulle. Lesbasculements du type ↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓, entre regions d’orientations opposees,sont de plus en plus rares a mesure que l’on abaisse la temperature, mais l’ai-mantation moyenne reste nulle, les domaines d’orientation opposees se compen-sant strictement. Nous reprenons la discussion de ce point au paragraphe 6.3.

Page 76: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

76 INVARIANCES D’ÉCHELLE

1,5

1,0

0,5

0,0

C /

k

h = J / 2

h = 0

J

h = 0

h = J/2

h = J

G /

NJ

0,0

–0,5

–1,0

–1,5

–2,0

kT / J0,0

kT / J0,0

kT / J0,0

Figure 3.5. a) L’énergie libre réduite G/NJ du modèle d’Ising 1D en fonction de la température réduite en unités J/k(ligne continue) comparée à la valeur obtenue dans l’approximation du champ moyen (ligne pointillée), pour h 5 0,h 5 J/2, et h 5 J ; b) la susceptibilité réduite xJ du modèle d’Ising 1D en fonction de la température réduite (lignecontinue) comparée à la valeur obtenue dans l’approximation du champ moyen (ligne pointillée), pour h 5 0 eth 5 J/2 ; c) la chaleur spécifique réduite C/k du modèle d’Ising 1D en fonction de la température réduite en unitésJ/k (ligne continue) comparée à la valeur obtenue dans l’approximation du champ moyen (ligne pointillée).

• La difference de comportement pour la susceptibilite est par contre conside-rable, a champ magnetique nul, puisque le champ moyen prevoit une transitiona Tc 5 2J/k. A champ h 5 J/2, l’accord qualitatif est bien meilleur, meme si laposition du maximum est nettement differente de la prevision rigoureuse.

• Le comportement de la chaleur specifique C est interessant : elle se comportecomme s’il existait une transition « molle » autour de T 5 J/k. En realite, au-dessous de cette temperature, il existe essentiellement des morceaux de chaınefinis mais grands, qui sont completement orientes.

4.3. Les propriétés du modèle d’Ising 2D

Le modele d’Ising 2D correspond a la seule situation physique (caracterisee parn 5 1 et d 5 2) qui presente une vraie transition et pour laquelle on connaisse unesolution exacte. Depuis sa resolution initiale [Onsager 1944] – une performancemathematique remarquable –, la methode des matrices de transfert a permis d’al-leger le traitement de ce modele (voir [Plischke et Bergersen 1994]). Nous nepresentons ici que les resultats essentiels.

• On prevoit une transition ordre-desordre dont la temperature critique – pour le

reseau carre – est Tc 5 2,269185... J/k (solution de l’equation sinh2JkTc

5 1).

Cette temperature est bien inferieure a la valeur Tc 5 4J/k, prevue par l’ap-proximation du champ moyen (voir chap. 1, FIG. 1.20).

Page 77: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 77

• Au-dessus de la temperature T c, l’aimantation moyenne est nulle, tandisqu’au-dessous elle vaut :

m 5

1 −

(1 − tanh2 J

kT

)4

16 tanh4 J

kT

1/8

(3.31)

qui se comporte comme m ≈ |t|1/8, au voisinage du point critique. L’exposantcritique du parametre d’ordre est ici b 5 1/8 a comparer avec la valeur 1/2prevue par l’approximation du champ moyen.

• De meme, la susceptibilite a champ nul se comporte au voisinage du pointcritique comme :

x 5 | t |−7/4 (3.32)

ou l’exposant g 5 7/4 est a comparer avec la valeur 1 prevue dans le cadre duchamp moyen.

La solution exacte du modele d’Ising 2D fut une etape determinante. Elle etablis-sait un point essentiel : la physique statistique est capable de prevoir des tran-sitions de phase a travers un calcul rigoureux. Cependant, la distance entre cesresultats et la description de champ moyen etait troublante. De nombreux labora-toires s’attelerent a des mesures extremement precises pour departager ces deuxapproches, mais les exposants mesures etaient le plus souvent des valeurs interme-diaires, les barres d’erreur excluant clairement les deux previsions formelles (voirchapitre 1, FIG. 1.22). Un quart de siecle plus tard, le dilemme etait enfin resolu.

5. La renormalisation

Les methodes de renormalisation sont utilisees dans tous les domaines de la phy-sique. Incontournables des que l’on s’interesse a des proprietes asymptotiques desystemes ou des fluctuations existent a toutes les echelles spatiales et/ou tem-porelles, elles donnent acces a des proprietes intrinseques, universelles, indepen-dantes des details microscopiques du systeme. Leurs resultats, fondes sur l’inva-riance d’echelle, sont insensibles a de nombreuses simplifications et lacunes d’unmodele particulier. Elles ne sont pas nees en 1971 avec la resolution des compor-tements critiques [Wilson 1971], mais ont une longue histoire. Apres une brevepresentation du champ semantique du terme « renormalisation » et des depla-cements de sens qu’il a connu, nous presenterons quelques principes communs atoutes les methodes de renormalisation : c’est le statut meme de modeles, de leurutilisation et de leur pertinence qu’elles ont bouleverse.

5.1. Brève histoire d’un concept

Le concept de « renormalisation » a ete d’abord utilise sous la forme d’adjectif,dans le contexte de l’hydrodynamique. Au siecle dernier, la masse renormaliseed’un corps en mouvement dans un fluide correspond a sa masse apparente, a savoir

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78 INVARIANCES D’ÉCHELLE

la masse inertielle m – intervenant dans l’expression de son energie cinetique1/2mv2 et dans l’equation fondamentale de son mouvementm dv/dt 5 resultantedes forces – modifiee par la presence du fluide. Le mouvement de la masse entraıneen effet le fluide, et augmente ainsi l’inertie. La masse renormalisee mR prend encompte une contribution due au fluide deplace :

1/2 mR v2 5 1/2 m v2 1 energie cinetique du fluide deplace.

Par extension, une grandeur renormalisee signifie, plus generalement, la valeurapparente de cette grandeur, obtenue en ajoutant a la valeur intrinseque descontributions resultant d’interactions, d’influences exterieures ou de degres deliberte n’apparaissant pas explicitement dans la description. On distingue parexemple les correlations directes entre deux particules d’un fluide des correla-tions renormalisees, ces dernieres refletant les interactions implicites relayees parle solvant.

Le groupe de renormalisation issu des theories quantiques des champs

La renormalisation avec le sens nouveau de regularisation est apparue plus tarddans les theories quantiques de champs, comme technique d’integration sur tousles quanta virtuels de tres grande frequence v, ou, de facon equivalente, de tresgrande energie (situation nommee catastrophe UV : voir l’encadre ci-dessous).Au debut des annees 1950, R. Feynman, J. Schwinger, S. Tomonaga et F. J. Dyson,vinrent a bout de cette difficulte grace a la technique de renormalisation. Unetheorie renormalisable est une theorie ou l’influence des phenomenes peut etreprise en compte de facon implicite en remplacant les parametres initiaux par desparametres effectifs, pour les modes de frequences v inferieures a une valeur decoupure V. On appelle operateurs de renormalisation les transformations RV1,V0

reliant les parametres initiaux et les parametres renormalises dans une gammede frequence (V0, V1). La condition de coherence de la demarche est une loi degroupe generalisee. Lorsque RV1,V0 ne depend que du rapport k 5 V0/V1, onretrouve une loi de groupe usuelle Rk2Rk1 5 Rk2k1. L’interet de cette structurede groupe est si grand qu’on parle du groupe de renormalisation. Cette structurepermet tout d’abord de mettre en œuvre la renormalisation, en utilisant les outilsde la theorie des groupes (algebres de Lie, representations, etc.), deja largementutilises pour exploiter l’existence de groupes de symetrie. Mais bien au-dela de cetargument technique :

les groupes de symetrie d’un systeme physique determinent une grande partiede ses proprietes observables : le groupe de renormalisation apparaıt commeun groupe de symetrie particulier, et l’on peut souvent traduire en informa-tions quantitatives les proprietes d’invariance par renormalisation du systemephysique.

Le groupe de renormalisation a ensuite investi la mecanique statistique par sonaptitude a traiter les phenomenes ou la divergence d’une longueur de correlationinterdit de decoupler les echelles et de remplacer les degres de liberte microsco-

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 79

piques par quelques grandeurs moyennes. L’approche de renormalisation permetde determiner la facon dont s’organisent les fluctuations aux differentes echelleset d’expliciter les lois d’echelle decoulant de cette organisation. Plus recemment,la renormalisation a ete utilisee dans le contexte des systemes dynamiques pouretudier l’apparition du chaos. Dans le cas des systemes dynamiques, la renormali-sation s’applique aux dependances et invariances d’echelle temporelles.

Limites spatiales d’un comportement d’echelle : catastrophes UV et IR

• Divergences UV. On dit qu’il existe une divergence ultraviolette dans un systemephysique, s’il y a une infinite de processus possibles aux petites echelles, (c’est-a-dire aux frequences (q/v) elevees). Le traitement formel d’un tel systeme necessitel’introduction d’un cutoff a, qui permet d’effectuer une regularisation du modeleM(echelles → 0) en un modele effectif M(a). L’expression de « divergence UV » estissue de la theorie quantique des champs dans les situations de divergence a la limitedes hautes energies : on rencontre le meme probleme lorsque l’on construit parexemple le modele ideal de la charge ponctuelle de l’electron. Ces divergences appa-raissent quand on etend jusqu’a q 5∞ ou v 5∞ une theorie qu’on ne controle quedans un domaine fini. La description des systemes critiques est limitee naturellementdu cote « UV » par les echelles atomiques.• Divergences IR. Des divergences infrarouges (du cote des grandes echelles) appa-raissent de meme s’il existe des comportements divergents a l’echelle macroscopique.C’est le propre des systemes critiques. Les divergences IR sont ainsi liees aux corre-lations a longue portee : les effets des fluctuations s’ajoutent de facon constructiveau lieu de conduire a une moyenne nulle. Dans le cas de divergence IR, les approchesperturbatives sont inefficaces, et seule une approche de renormalisation permet deles traiter.

Nous introduisons maintenant quelques principes generaux communs a toutes cesmethodes, qui justifient leur identite commune.

5.2. Les étapes d’une renormalisation

La renormalisation opere sur des modeles M, c’est-a-dire sur des representationsphysiques du systeme reel S. On construit un modele en fonction des phenomenesque l’on souhaite etudier : on fixe en particulier l’echelle minimale a qu’il est pos-sible d’apprecier, qu’elle soit liee a la distance entre particules ou a la resolutionde l’appareil de mesure. Cette echelle microscopique determine les sous-systemesde S qui seront consideres comme des constituants elementaires. Le modele lessuppose sans structure interne. Leur etat physique (position, aimantation, etc.)est decrit par un petit nombre de grandeurs note s. Un etat microscopique de Sest decrit par une configuration {si} ≡ (s1,... , sN ) des N constituants elemen-taires. Les ingredients d’un modele M sont ainsi :

– l’espace de phase E 5 { {si} } des configurations,

– les grandeurs macroscopiques A associees a des configurations {si} → A({si}),

– une fonction f({si}) que nous appellerons la regle de structure (l’epine dorsaledu modele).

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80 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Dans une situation d’equilibre, f({si}) determine le poids statistique de la confi-guration {si} dans les proprietes macroscopiques. Hors d’equilibre, elle determinel’evolution de la configuration {si}. f sera par exemple l’hamiltonien du systemeen mecanique statistique, la loi d’evolution pour un systeme dynamique, ou lesprobabilites de transition pour un processus stochastique. La regle de structures’ecrit elle-meme grace a un jeu de parametres {Kj} note de facon compacteK ∈ K.Les formes de f({si}) – l’hamiltonien, dans le cas des transitions de phase qui nousinteresse ici – peuvent etre recherchees dans un ensemble fonctionnel F 5 {f}.Les elements de F seront par exemple construits par l’ajout de differents termes,correspondant chacun a un parametre dans l’expression de la regle de structure f.Ce point est essentiel : il differencie la demarche proposee par Kadanoff – renor-malisation au sein d’un ensemble donne de parametres K –, et celle du groupe derenormalisation, qui correspond a changer la forme de l’hamiltonien de depart, ausein d’un ensemble fonctionnel F general.La nouveaute apportee par les methodes de renormalisation est d’iterer une trans-formation de renormalisation constituee des etapes suivantes :

1. une decimation,

2. un changement d’echelle du systeme qui permet de le superposer a sa forme dedepart,

3. une transformation des parametres que l’on remplace par des parametres effec-tifs.

et d’etudier l’action de cette transformation dans l’espace des modeles.Revenons sur la signification de ces etapes que nous avons brievement introduitesau paragraphe 1.1.

La decimation

Le terme « decimation » (coarse-graining) designe un changement de resolutiona → ka sur la configuration {si}, c’est-a-dire un regroupement des constituantselementaires par paquets {si}′ qui contiennent chacun kd constituants initiauxdans un espace de dimension d. Une regle Tk permet de relier la configuration{si}′ de ces paquets a la configuration initiale : {si}′ 5 Tk({si}). Deux points devue sont possibles : soit cette operation reduit le nombre N de degres de liberted’un facteur kd, soit on augmente d’un facteur k la taille L du champ de l’obser-vation, a N constant. La decimation s’accompagne d’une perte d’information surles echelles inferieures a ka : la transformation Tk est choisie de facon a preserverau mieux les informations et les proprietes dont on pense qu’elles jouent un rolecrucial aux grandes echelles. Cette etape est un point delicat de la demarche derenormalisation et necessite une comprehension prealable du phenomene etudie.Si elle est pratiquee dans l’espace conjugue (espace des frequences et des vecteursd’onde de la transformee de Fourier), la decimation se traduit par un changementV→ V/k de la valeur de coupure V 5 2p/a (cutoff) au-dela de laquelle le modelerenormalise ne decrit plus explicitement le systeme.

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 81

Le changement d’echelle

Le changement d’echelle5 permet de restaurer l’echelle minimale apparente apresle regroupement spatial effectue lors de la decimation. Les distances dans lemodele decime sont donc reduites par le facteur k :

x → x/k

Les parametres effectifsL’effet conjoint des deux premieres etapes, la decimation et le changementd’echelle, doit etre compense par une transformation de la regle de structuref, pour que l’on continue a decrire le meme systeme physique. La nouvelle reglef′ 5 Rk(f) doit decrire la statistique ou l’evolution de la nouvelle configurationTk({si}). Rk, agissant dans l’espace fonctionnel F, est appele l’operateur de renor-malisation. Dans le cas d’un modele parametre fK , on ecrira K ′ 5 Rk(K) au prixd’approximations dont il faudra ensuite discuter la pertinence. Les parametresK ′ renormalises contiennent de facon cachee l’effet des details microscopiquesd’echelle inferieure a ka.

Covariance et invariance par renormalisation

La coherence de ces trois etapes est etablie par le fait que le modele M′5 Rk(M)

transforme doit decrire la meme realite physique. Cette propriete, la covariance,assure que le modele initial et le modele renormalise conservent en particulierles invariants physiques du probleme. La covariance exprime ainsi l’objectif essen-tiel de la renormalisation : l’inalterabilite de la realite physique lorsque changenotre facon de l’observer et de la decrire. Comme nous l’avons deja souligne, ungroupe de renormalisation n’est ainsi rien d’autre qu’un groupe de symetrie par-ticulier : il laisse invariant le systeme etudie comme toute autre operation desymetrie. Une notion plus forte est celle d’invariance par renormalisation d’unepropriete A 5 Rk(A). Elle exprime l’autosimilarite de A : pour ce qui concernecette propriete, le systeme observe a l’echelle ka est identique a l’image obser-vee a l’echelle a et dilatee d’un facteur k. Les points fixes de la renormalisationsont ainsi, par construction meme de Rk, associes a des systemes presentant uneinvariance d’echelle exacte pour les proprietes A.

5.3. Le flot de renormalisation dans un espace de modèles

Un groupe de renormalisation peut etre decrit comme un systeme dynamique(voir chapitre 9), c’est-a-dire l’evolution en fonction du temps de modeles dansun espace EM. Lorsque l’on itere l’action de l’operateur Rk a partir d’un modele

5 Remarquons de facon plus generale que l’etude des changements d’echelle est fort utile dans lecas des phenomenes spatio-temporels aussi, en dehors du contexte de decimation. Prenons l’exempled’une marche aleatoire en temps discret (§ 3.3, chapitre 4) obeissant a la loi de diffusion : lorsquel’on contracte le temps d’un facteur k, il faut contracter l’espace d’un facteur ka 5 k1/2 pour obtenirune trajectoire statistiquement identique. Ce facteur de changement d’echelle est le seul pour lequelon obtient une limite non triviale a k → ∞ du coefficient de diffusion D. Dans le cas d’une diffusionanormale, avec une statistique de sauts « pathologiques » (vols de Levy) ou sur un objet fractal,l’exposant a conduisant a un coefficient D non trivial sera superieur a 1/2 dans le premier cas, lesvols de Levy impliquant une hyperdiffusion, et inferieur a 1/2 dans le cas d’un espace fractal, ou lesbras morts conduisent a une hypodiffusion.

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82 INVARIANCES D’ÉCHELLE

M0, on obtient une trajectoire correspondant a une succession de modeles presen-tant les memes proprietes thermodynamiques que M0, en particulier avec la memefonction de partition. L’ensemble de ces trajectoires est nomme flot de renormali-sation. Pour l’utilisateur du modele, Rk(M0) presente une longueur de correlationj′ 5 j/k : Rk reduit en apparence le caractere critique.Dans le contexte d’un modele parametre M(K), on reporte l’etude du flot induitpar la transformation M → R(M) sur celle d’un flot induit dans l’espace des para-metres par une transformationK → r(K) avec bien sur R[M(K)] 5 M[r(K)]. Lavaleur critique des parametres est donnee par le point fixe r(K∗) 5 K∗. En negli-geant les termes non lineaires, on montre que Dr(K∗) et DR(M∗) ont les memesvaleurs propres, qui conduisent donc aux memes exposants critiques.

Espace des modeles M(K) → R(M) M(K∗) 5 R(M∗)

� � � �Espace des parametres K → r(K) K∗ 5 r(K∗)

C’est le lieu de souligner a nouveau l’etape essentielle qui differencie la recherched’un point fixe dans l’espace d’un ensemble determine de parametres (demarcheproposee par Kadanoff mais qui n’aboutit pas, en general), de la renormalisation,c’est-a-dire la recherche d’un point fixe dans l’espace des modeles.

Les points fixes

Les points fixes obtenus en exprimant qu’une proprieteA est invariante si sa valeurest A∗ telle que A∗ 5 Rk(A∗), jouent un role crucial dans l’analyse par renormali-sation : par definition de cette limite, tous les modeles presentant le meme pointfixe manifestent les memes proprietes aux grandes echelles. De plus :• l’echelle caracteristique j∗ (typiquement une longueur ou un temps de correla-tion) associee a un point fixe, devant verifier j∗ 5 k j∗, est ou nulle, ou infinie.Si j∗ 5 0, le point fixe est un modele ideal ou il n’y a aucun couplage entre lesconstituants elementaires. Si j∗ 5 ∞, le point fixe correspond a un modele dephenomene critique car il rend compte de l’invariance d’echelle et de la divergencede j ;• l’analyse de Rk au voisinage d’un point fixe f∗ critique (j∗ 5 ∞) determineles lois d’echelle decrivant les phenomenes critiques correspondants. On montreen particulier [Fisher 1974, Goldenfeld 1992, Lesne 1995] que les exposants cri-tiques sont simplement relies aux valeurs propres de l’operateur de renormalisa-tion, linearise en f∗ ;• ces resultats sont robustes et universels au sens ou ils sont identiques pourtous les modeles dits d’une meme classe d’universalite. Cette propriete consti-tue, a ce stade de notre introduction du groupe de renormalisation, une defini-tion des classes d’universalite. Nous verrons plus loin que chacune d’entre ellescontient une infinite de modeles differents. Les resultats de la renormalisationne sont donc pas invalides par la possible meconnaissance du systeme aux petitesechelles. Bien au contraire, l’approche de renormalisation permet de classer lesaspects pertinents et les aspects non pertinents d’un modele, et de construire ainsile modele minimal pour chaque classe d’universalite. En ce sens, les methodes de

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 83

renormalisation permettent de depasser les limitations experimentales dans cer-taines situations physiques. A ce titre, elles marquent un tournant de la physiquetheorique.

Le modele au point fixe

Les modeles M∗ aux points fixes obeissent a M∗5 Rk(M∗). Ils correspondent aux

systemes exactement invariants d’echelle, soit triviaux (j∗ 5 0), soit critiques(j∗ 5 ∞). L’ensemble des modeles qui convergent vers M∗ ou divergent a partirde M∗, sous l’action de Rk, est une hypersurface de EM, que l’on nommera classed’universalite C(M∗). Le bassin d’attraction d’un point fixe est le sous-espace quirassemble les modeles que le flot de renormalisation conduit au point fixe. Laclasse d’universalite C(M∗) est un ensemble plus vaste qui contient aussi tous lesmodeles issus du point fixe sous l’action de la renormalisation. Les points fixesinteressants physiquement sont des points fixes hyperboliques, instables dans aumoins une direction.

K = 0

K = infini

K0 < 1

K0 > 1

K0 = 1

Col Es

Eu

Es

Eu

VsVs

M*

Vu

Vu

X

Figure 3.6. a. Point fixe hyperbolique dans le cas d’un paramètre de couplage essentiel K b. Si x∗ est un pointfixe hyperbolique de la transformation xn11 5 f(xn), x ∈ X, il résulte que x∗ 5 f(x∗), et il existe un uniquecouple de variétés (VS,VU) stable et instable, invariantes par f et tangentes en x∗ respectivement aux espacesvectoriels ES et EU (de somme directe X, sur x∗). Les courbes en pointillé donnent l’allure des trajectoires discrètes.(d’après Wilson 1979).

L’analyse du voisinage de M∗ suffit a predire les proprietes critiques (asympto-tiques) de tous les modeles de C(M∗). Un espace tangent a C(M∗) en M∗ est engen-dre par les vecteurs propres de la transformation linearisee DRk(M∗) associes aleurs valeurs propres l (voir § 1.1 au chapitre 9). Les valeurs propres de module| l | < 1 correspondent a des directions stables6, telles que la transformation Rkfasse converger M vers M∗, tandis que dans les directions instables (| l |>1), Rkeloigne M de M∗. Les situations ou | l |=1 sont nommees marginales. Si le pointfixe presente des directions stables et des directions instables, il est dit hyperbo-lique (voir FIG. 3.6).

6 Un point fixe M∗ 5 (x∗,y∗,z∗, ...) 5 f(x∗,y∗,z∗, ...) est dit stable dans la direction x, si f appliqueede facon iteree au point M 5 (x∗ 1 dx,y∗,z∗, ...) rapproche M de M∗ (dx etant infinitesimal).

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84 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Le calcul des exposants critiques

On distingue deux parties dans C(M∗) : le bassin d’attraction de M∗ – l’hyper-surface V s engendree par les directions stables –, et l’hypersurface V u engen-dree par les directions instables. V s correspond a des phenomenes sans conse-quences aux echelles macroscopiques, a des systemes classiques, c’est-a-dire « noncritiques ». Les proprietes critiques qui nous interessent correspondent aux direc-tions instables, elles-memes associees aux parametres de couplage Ki pertinents.C’est d’ailleurs une definition possible de la propriete de pertinence d’un para-metre, sujet que nous discutons plus bas. Supposons qu’il n’en existe qu’une, cor-respondant au parametreK, le long de laquelle R aura une action dilatante. L’ideeessentielle est que tous les modeles MK de C(M∗) qui se projettent de facon iden-tique dans l’espace V u sont equivalents (relation notee ⇔) car le flot dans l’es-pace V s ne modifie pas leur comportement asymptotique. On peut alors exprimerla linearisation de R au voisinage du point fixe :

R(MK) ⇔ Mr(K) ⇔ MK∗ 1 l1(MK − MK∗) (3.33)

ou r(K) est la transformation de renormalisation du parametre K, et l1 est lavaleur propre positive associee a la direction instable. L’identification entre l’ac-tion dilatante de R le long de nu, et l’action de r le long de la direction K donnea l’ordre dominant :

r(K) ≈ K∗ 1 l1(K −K∗) ou K∗ 5 r(K∗) (3.34)

Si k est le facteur de changement d’echelle, le comportement de la longueur decorrelation s’ecrit :

j(Mr(K)) 5j(MK)k

(3.35)

Cette egalite, ajoutee a la precedente, permet de montrer que j(K) obeit a une loid’echelle j(K) ∼ (K−K∗)−n, ce que nous proposons au lecteur de montrer a titred’exercice. En injectant cette loi d’echelle dans les deux equations 3.34 et 3.35,on obtient : [

l1(K −K∗)]−n ∼ (K −K∗)−n

k(3.36)

d’ou l’on tire la valeur de l’exposant n :

n 5ln(k)ln(l1)

(3.37)

L’exposant n et les autres exposants se calculent ainsi a partir des valeurs propresde la transformation de renormalisation linearisee autour du point fixe,DRk(M∗).Si on change le facteur d’echelle, la propriete de groupe de la renormalisationentraıne que l(k1k2) 5 l(k1)l(k2) pour n’importe quelle valeur propre, en par-ticulier la premiere. Ainsi k1k2 5 l(k1)nl(k2)n 5 l(k1k2)n, ce qui montre que lavaleur de l’exposant n est independante du facteur d’echelle k. On montre d’ailleursque les valeurs propres de DRk(M∗) sont de la forme lj(k) 5 k

gj du fait de la loi de

groupe.L’analyse physique, par exemple l’analyse dimensionnelle, permet de prevoir com-ment se transforme une observable A sous l’action de la renormalisation :

A(Rk(M)) ∼ kaA(M) (3.38)

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 85

Le meme argument que ci-dessus montre l’existence d’une loi d’echelle

A(MK) ∼ (K −K∗)x (3.39)

et fournit la valeur de l’exposant x :

x 5a ln(k)ln(l1)

5 an (3.40)

Si l’observable est locale, dependant de la position r dans l’espace reel, sa trans-formation par renormalisation s’ecrit :

A(Rk(MK),

r

k

)5 kaA(MK ,r) (3.41)

C’est par exemple le cas de la fonction de correlation G(M,r). Son expressiongenerale :

G(M,r) 5e−r/j(M)

rd−21h (3.42)

est compatible avec le comportement d’echelle de j et A ci-dessus : elle obeit a larelation 3.41 lorsque l’on transforme simultanement r en r/k et j en j/k.

Les classes d’universalite

La procedure de renormalisation que nous venons de decrire demontre l’universalitedes proprietes macroscopiques des systemes critiques : tous les modeles appar-tenant a la meme classe d’universalite C(M∗), caracterisee par son representantideal M∗, ont les memes proprietes asymptotiques. La renormalisation permetde classer les ingredients de chaque modele en deux categories, les elementsnon pertinents, qui ne contribuent en rien au comportement critique, et leselements pertinents, qui determinent la classe d’universalite. Il suffit pour celad’examiner le flot de renormalisation. L’action de la transformation Rk, illustreedans l’espace des modeles par le flot de renormalisation, permet de determiner siune modification dM d’un modele M a des consequences observables ou non surson comportement thermodynamique (limite des grands systemes) :

– si les trajectoires issues de M et de M 1 dM se rapprochent l’une de l’autre sousl’action de Rk, la perturbation dM n’affecte pas les proprietes macroscopiquespredites a partir du modele M : dM est dite non pertinente, et il est inutile dela prendre en compte, si on ne s’interesse qu’au comportement critique ;

– si, au contraire, les trajectoires s’ecartent l’une de l’autre, la perturbation dMest pertinente : son influence est amplifiee et perceptible dans les caracteris-tiques macroscopiques. La perturbation est susceptible de faire changer M declasse d’universalite.

Cet argument montre que les phenomenes critiques sont associes aux points fixeshyperboliques de Rk, les directions instables etant associees aux parametres decontrole K. Les classes d’universalite sont associees a ces points fixes hyperbo-liques : ceux-ci sont les representants ideaux des modeles de la classe d’universa-lite.

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86 INVARIANCES D’ÉCHELLE

5.4. Remarques

Role du choix de la transformation : M∗ change mais les exposants restentLa forme du flot de renormalisation depend directement de la definition de l’ope-rateur de renormalisation R. En regle generale, si l’on change profondement latransformation R, on s’attend a que cela modifie la position du point fixe M∗.Mais en pratique, les transformations utilisees sont le plus souvent reliees par undiffeomorphisme tel que R′ 5 fRf−1 : le point fixe de R′ devient f(M∗) mais lesexposants ne changent pas, simplement parce que DR(M∗) et DR′[f(M∗)] ont lesmemes valeurs propres. Cet argument renforce le caractere universel des expo-sants critiques.

Influence des non-linearites de la transformationOn peut mettre en parallele l’action de la transformation Rk sur la famille demodeles, et son action linearisee le long de la variete instable du flot de renor-malisation conduisant a des lois d’echelle exactes. Ce parallele n’est cependantrigoureux que si on neglige les termes non lineaires dans l’action de la renor-malisation : cela signifie simplement que les lois d’echelles ne donnent que ladependance dominante par rapport a K. L’analyse non lineaire rigoureuse, fortdelicate, montre effectivement que les termes non lineaires ne detruisent pas laloi d’echelle deduite de l’action de l’operateur de renormalisation linearise7.

6. Les transitions de phase décrites par la renormalisation

6.1. Exemples de renormalisation

Depuis les annees 1970, de nombreuses methodes de renormalisation ont ete deve-loppees, certaines dans l’espace direct et d’autres dans l’espace de Fourier. Nousdeveloppons un premier exemple simple qui correspond au modele d’Ising a deuxdimensions. Nous presentons le calcul pour un reseau triangulaire, puis pour unreseau carre.

Modele d’Ising a deux dimensions : reseau triangulaire

l2

l1

l3

l4

l5

l6

l7

l8

s1

s2

s3

s4

s5

s6m1 m2

Figure 3.7. Un ensemble de six spins, regrou-pés en deux blocs triangulaires.

Autant le concept de renormalisation peutparaıtre abstrait, autant il est possible del’illustrer concretement par des exemplessimples. La FIG. 3.7 represente une premieresituation que nous allons decrire dans ledetail : six spins si sur un reseau triangulairesont regroupes en deux blocs de trois spins.Dans ce cas, la transformation de decimationpeut etre resumee de la facon suivante :

– 6 spins initiaux si → 2 super-spins mi

– rapport d’echelle spatiale k 5√

3

7 Cela a ete demontre pour la renormalisation qui permet de decrire le passage au chaos par double-ment de periode (voir chapitre 9) [Collet-Eckmann 1980].

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 87

– regle de la majorite :

mi 51 1 si∑

j∈Bloc(i)sj > 0

mi 5 −1 si∑

j∈Bloc(i)sj < 0

En l’absence de champ exterieur, l’hamiltonien d’Ising s’ecrit :

− H

kT5 K

∑<ij>

sisj (3.43)

ou < ij > signifie que si et sj sont premiers voisins, et la fonction de partition est :

Z 5∑{si}

e

K

∑<ij>

sisj

(3.44)

Rappelons que la constante de couplage reduite K est reliee a la constante decouplage J et a la temperature par K 5 J/kT . Il faut d’abord exprimer que ladecimation conserve la valeur de la fonction de partition pour l’ensemble des spins(Z ′ 5 Z) : par cette transformation, en effet, on ne fait que changer de faconarbitraire le niveau de description d’une realite qui reste la meme (covariance).La fonction de partition Z ′ du systeme decime est particulierement simple. Ellene contient que deux termes correspondant aux 4 etats accessibles aux super-spinsm1 {↑↑ , ↓↓ , ↑↓ , ↓↑}. On peut ainsi proposer l’expression de Z ′ :

Z ′ 5 Z ′↑↑ 1 Z

′↓↓ 1 Z

′↑↓ 1 Z

′↓↑ 5 2e2K′

1 2e−2K′(3.45)

Le calcul de Z fait intervenir 26 5 64 etats, 16 par etat du systeme de super-spinsmi. Nous pouvons ainsi decomposer Z en 4 contributions :

Z 5 Z↑↑ 1 Z↓↓ 1 Z↑↓ 1 Z↓↑ (3.46)

ou les spins en indice se referent a l’etat de m1 et m2. Le tableau 3.2 presente les16 configurations qui conduisent a l’etat ↑↑ pour m1 et m2, soit les situations ou unseul spin si au plus est bascule dans chacun des blocs. Les 16 configurations quiconduisent a l’etat ↓↓ pour m1 et m2 s’en deduisent directement par renversementde toutes les orientations dans le tableau : elles conduisent aux memes valeurs del’hamiltonien, et contribuent de la meme facon a Z :

Z↑↑ 5 Z↓↓ 5 e8K 1 3e4K 1 2e2K 1 3e0K 1 6e−2K 1 e−4K (3.47)

Nous laissons au lecteur le soin de montrer de la meme facon que :

Z↑↓ 5 Z↓↑ 5 2e4K 1 2e3K 1 4e0K 1 6e−2K 1 2e−4K (3.48)

La covariance que nous souhaitons imposer, c’est-a-dire l’invariance des proprie-tes du systeme sous l’effet de la transformation, conduit a identifier d’une partZ ′↑↑ et Z↑↑, et d’autre part Z ′

↑↓et Z↑↓. Mais voila une difficulte : nous avons deuxrelations independantes qui relientK etK ′. Ces relations ne sont pas identiques :dans Z ′, le produit des deux termes vaut 1 (e2K′

3 e−2K′), ce qui n’est pas vrai

pour Z↑↑ Z↑↓. Nous touchons ici la difficulte sur laquelle butait la demarche deKadanoff : la renormalisation du parametre de couplage K semble mener a unecontradiction.

Page 88: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

88 INVARIANCES D’ÉCHELLE

s1 s2 s3 s4 s5 s6 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 −H/kT

Ordre ↑↑↑ ↑↑↑ ↑↑↑ ↑↑↑ ↑↑↑ ↑↑↑ K K K K K K K K 8 K

1

spin

flip

↓ ↑↑↑ ↑↑↑ ↑↑↑ ↑↑↑ ↑↑↑ −K −K K K K K K K 4 K

↑↑↑ ↓ ↑↑↑ ↑↑↑ ↑↑↑ ↑↑↑ −K K −K K K K K K 4 K

↑↑↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ K K K K K K −K −K 4 K

↑↑↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ K K K −K K −K −K K 2 K

↑↑↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ K K K K −K −K K −K 2 K

↑↑↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↑ K −K −K −K −K K K K 0 K

2

spin

flip

↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ −K −K K K K K −K −K 0 K

↑↑↑ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ −K K −K K K K −K −K 0 K

↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ −K −K K −K K −K −K K − 2 K

↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ −K K −K −K K −K −K K − 2 K

↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ K −K −K K −K −K −K K − 2 K

↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ −K −K K K −K −K K −K − 2 K

↑ ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ −K K −K −K −K −K K −K − 2 K

↑ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ K −K −K −K K −K K −K − 2 K

↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ K −K −K −K −K K −K −K − 4 K

Tableau 3.2. Les 16 configurations du système de spins qui correspondent à l’état ↑↑ pour m1 et m2.

Nous avons indique l’idee generale qui permet de sortir de telles contradictions :transformer le modele et non pas uniquement la valeur de ses parametres. Unepossibilite ici est d’ajouter un terme g, par spin, a l’hamiltonien. Notons que ceterme, l’equivalent d’un potentiel chimique, n’a pas de raison de presenter uncomportement singulier au point critique :

− H

kT5 K

∑<ij>

sisj 1 Ng (3.49)

L’identification terme a terme est alors possible :

eK′12g′ 5

Z1

25 e6g [e8K 1 3e4K 1 2e2K 1 3e0K 1 6e−2K 1 e−4K] (3.50)

ete−K

′12g′ 5Z2

25 e6g [2e4K 1 2e3K 1 4e0K 1 6e−2K 1 2e−4K] (3.51)

d’ou l’on tire la valeur de K ′ (et de g′) :

K ′ 512

ln[e8K 1 3e4K 1 2e2K 1 3 1 6e−2K 1 e−4K

2e4K 1 2e3K 1 4 1 6e−2K 1 2e−4K

](3.52)

Nous avons ainsi etabli la relation de renormalisation de K. Elle presente troispoints fixes dont deux sont stables :

– le point fixe K 5 0 correspond a un couplage J 5 0 ou a T 5∞ : les spins sontalors independants les uns des autres et le desordre est total ;

– le point fixe K 5 ∞ correspond a un couplage infini ou a T 5 0 : les spins sontalors alignes en ordre parfait ;

– il existe un autre point fixe, hyperbolique, correspondant a la valeurK∗ 5 0,45146.Ce point fixe qui correspond au point critique.

Page 89: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 89

Puisque nous n’avons pris en compte qu’une partie finie du reseau d’Ising, nousne nous attendons qu’a une representation approchee du comportement cri-tique. Cependant, elle devrait etre amelioree par rapport aux resultats du champmoyen. Nous pouvons le verifier en calculant l’exposant n tel qu’il est exprime parl’eq. 3.37. La valeur propre correspondant a la transformation de renormalisationR(K) est simplement la derivee de cette fonction au point fixe R′(K∗). La valeurde l’exposant n s’exprime donc :

n 5ln(k)ln(l1)

51/2 ln 3

ln(R′(K∗))(3.53)

La valeur obtenue ici est n 5 1,159 a comparer a la valeur exacte de n 5 1 calculeepar Onsager, et a la valeur n 5 1/2 prevue par le champ moyen.

Modele d’Ising a deux dimensions : reseau carre

1 2

Figure 3.8. Décimation enbloc de 4 spins sur un réseaud’Ising carré.

Le meme type de raisonnement peut etre effectue sur deuxblocs d’un reseau carre.Cette fois, les 8 spins presentent 256 configurations pos-sibles, ce qui allonge le calcul. Une autre difficulte peutparaıtre cornelienne. Etant donne le nombre pair de spinsdans chaque bloc, on ne peut utiliser une regle de majo-rite pour les six cas ou l’aimantation est nulle dans chaquebloc : il faut arbitrairement considerer que 3 cas corres-pondront a m 5 1, et les 3 autres a m 5 −1. Moyennant cette regle, nous laissonsau lecteur le soin d’etablir de meme que precedemment que la transformation derenormalisation de K peut s’exprimer ainsi :

K ′ 512

ln[e10K 1 6e6K 1 4e4K 1 14e2K 1 18 1 12e−2K 1 6e−4K 1 2e−6K 1 e−10K

e6K 1 8e4K 1 10e2K 1 22 1 13e−2K 1 6e−4K 1 4e−6K

](3.54)

Le point fixe non trivial K∗ vaut ici 0,507874, ce qui conduit a la valeur den 5 1,114. Ces deux calculs fournissent donc des valeurs voisines de l’exposant.Leur defaut principal est de partir de blocs finis qui ne presentent pas la symetriedu reseau (triangulaire ou carree suivant le cas). Un calcul plus sophistique sur unreseau fini de 16 spins regroupes en blocs de 4, permet d’obtenir des valeurs d’ex-posants extremement proches des valeurs exactes [Nauenberg et Nienhuis 1974]calculees par Lars Onsager.Le tableau 3.3 regroupe les resultats obtenus par notre exercice de renormalisa-tion sur l’exemple du modele d’Ising 2D. La valeur au point fixe de la constantede couplage reduite K∗ conduit aux valeurs des exposants critiques (universelleset donc independantes du type de reseau) : nous avons pris pour exemple l’ex-posant n qui caracterise la longueur de coherence. La renormalisation, meme auniveau simple ou nous l’avons appliquee, rapproche sensiblement cet exposant desa valeur exacte. La valeur de la constante de couplage reduite K∗ conduit ega-lement a la valeur de la temperature critique Tc 5 J/kK∗. Bien que n’etant pasuniverselle, elle depend en particulier de la nature du reseau, cette valeur per-met d’evaluer l’effet des fluctuations si elle est comparee a la valeur obtenue dans

Page 90: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

90 INVARIANCES D’ÉCHELLE

l’approximation du champ moyen Tc (MF). La aussi, ce simple calcul de renorma-lisation permet de rendre compte de l’effet des fluctuations dans l’abaissementnotable de la temperature critique.

Réseau Triangulaire Réseau carré

Champmoyen

Ce calcul Valeur exacte Champ moyen Ce calcul Valeur exacte

K∗ 1/6 0,45146 0,27465 1/4 0,507874 0,440687

Tc/Tc (MF)(non universelle)

1 2,709 3,64 1 2,0315 2,269185

n

(universel)1/2 1,159 1 1/2 1,114 1

Tableau 3.3. Résultats obtenus dans le cas du modèle d’Ising à 2 dimensions. La valeur de la constante de couplageréduite K∗, au point fixe, conduit à la valeur de la température critique Tc (non universelle) qui est comparée à la valeurobtenue dans l’approximation du champ moyen Tc (MF) (MF pour mean field). K∗ conduit également à la valeur desexposants critiques (universelle et donc indépendante du type de réseau). L’exemple de l’exposant n qui caractérise lalongueur de cohérence est présenté ci-dessus.

6.2. Développement en ´ 5 4 − d

Nous presentons ici fort brievement la celebre approche developpee par Wilsonet Fisher [Wilson et Fisher 1972] a partir de 1972. L’idee est de generaliser larenormalisation, sans s’encombrer de modeles specifiques. Rappelons quels sontles acquis de cette methode que l’on verifie lorsqu’elle est appliquee a tel ou telmodele particulier :

– L’universalite. Le comportement critique (et par exemple les exposants cri-tiques) ne depend pas des details microscopiques du modele. Notons que latemperature critique elle-meme, directement determinee par la valeur de K∗,n’est pas une quantite universelle : elle depend de la position du point fixe, elle-meme sensible aux details du modele. En revanche, on montre que les proprietesdu voisinage du point fixe, caracterisees par les valeurs propres, sont indepen-dantes de la position du point fixe, au sein d’une meme classe d’universalite.

– Les exposants critiques sont donc des quantites universelles, qui ne dependentessentiellement que de deux parametres geometriques « pertinents », la dimen-sion d de l’espace et le nombre n de composantes du parametre d’ordre. Sontpar exemple « non pertinentes » la symetrie du reseau, la nature et la portee desinteractions introduites dans le modele (a condition qu’elle decroisse assez viteavec la distance).

– Au-dela de d 5 4 (limite incluse), le critere de Ginzburg (§ 1.3) indique que lesexposants du champ moyen sont valides : cela est verifie par les approches derenormalisation.

Wilson et Fisher utilisent un modele tres general ou n et d sont des para-metres supposes varier continument, puis developpent la valeur des exposantsen fonction de ´ 5 4 − d. Pour ´ 5 0, les exposants prennent les valeursdu champ moyen que nous avons presentees au premier chapitre a savoir :a 5 0, b 5 1/2, g 5 1, d 5 3, h 5 0, n 5 1/2. L’hamiltonien de depart choisi par

Page 91: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 91

Wilson est :

H 5 −∑r,a

J(a)S(r)S(r 1 a) − h∑

r

Sa(r) (3.55)

ou l’energie d’interaction J(a) depend de facon generale de la distance entre lesdeux spins. Les spins S ont n composantes, la position r est reperee dans l’espacede dimension d, et h est le champ magnetique exterieur applique. Cet hamilto-nien va subir plusieurs transformations de facon a simplifier la renormalisation.La principale transformation consiste a passer dans l’espace de Fourier qui per-met de remplacer la sommation sur a par le produit S(q) S(− q). Finalementl’hamiltonien peut s’ecrire sous la forme du developpement suivant :

H 5 − 12

∑q

( p 1 q2)S(q)S(− q) − UN

∑q11q21q31q450

[S(q1)S(q2)] [S(q3)S(q4)]

− W

N2

∑q11q21q31q41q51q650

[S(q1)S(q2)] [S(q3)S(q4)] [S(q5)S(q6)]

− · · · 1 hN1/2Sa(0) (3.56)

ou p, U , W , etc. sont les nouvelles constantes de couplage dont l’expressiondepend de J , a, d et n. Si l’on ne prend en compte que le premier terme, on obtientle modele dit « gaussien » dont le comportement critique est caracterise par lesexposants du champ moyen. On peut ecrire les transformations de renormalisa-tion des constantes de couplage en fonction de n et ´ 5 4 − d. Au premier ordreen ´, il suffit de prendre en compte les deux premiers termes : le modele corres-pondant est couramment nomme le modele S4. Il permet d’etablir les expressionssuivantes pour les exposants, au premier ordre en ´ :

a 5 ´

[1/2 − n 1 2

n 1 8

]1 O(´) b 5 1/2 − 3´

2 (n 1 8)1 O(´)

g 5 1 1(n 1 2)´2 (n 1 8)

1 O(´) d 5 3 1 ´ 1 O(´)

(3.57)

les deux autres exposants h et n peuvent etre deduits en utilisant les loisd’echelle 3.8 et 3.9 (voir le § 2.1). On peut avoir le sentiment qu’un siecle d’etudedes transitions de phase aboutit enfin avec ces expressions explicites des expo-sants critiques. Si la demarche est excellente, les resultats ne sont pas parfaits, aupremier ordre (tableau 3.4).

Exposant (Ising 3D) a b g d h n

Valeurs Champ moyen(´ 5 0)

0 1/2 1 3 0 1/2

Valeur au premier ordre en ´ 0,16666 0,3333 1,16666 4 0,0909 0,61111

Meilleure valeur obtenue 0,1070 0,3270 1,239 4,814 0,0375 0,6310

Valeurs expérimentales(liquide ↔ vapeur)

0,113 0,322 1,239 4,85 0,017 0,625

Tableau 3.4. Valeur des exposants obtenus par le développement en ´ 5 4 − d : à l’ordre zéro, au premier ordre,et finalement en sommant au mieux toutes les contributions [Zinn-Justin 1989].

Page 92: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

92 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Figure 3.9. La variation desexposants b et g tirée dudéveloppement en ´ 5 4 − d(tracée par Michael Fisher) enfonction de la dimension d del’espace et du nombre n decomposantes du paramètred’ordre. Chaque point (d,n)correspond à une classe d’uni-versalité. Les coordonnéessont supposées varier defaçon continue mais seulesleurs valeurs entières ont unsens physique. La variationdes exposants critiques estreprésentée sous forme delignes de niveau. Au-delà de, ety compris à quatre dimensions,les exposants du champ moyensont valides (d’après Wilson1979).

Modèlesphérique

Modèlesd'Heisenberg

Modèle XY

Modèled'Ising

Modèlesphérique

Modèlesd'Heisenberg

Modèle XY

Modèled'Ising

Zone sansphysique où

les exposantssont négatifs

Dimensionnabilité dans l'espace

Dimensionnabilité dans l'espace

Dim

ensi

onn

abil

ité

du p

aram

ètre

d'o

rdre

Dim

ensi

onn

abil

ité

du p

aram

ètre

d'o

rdre

Lignes de (esposant associé à l'aimantation)

Lignes de (esposant associé à la susceptibilité magnétique)

d = 1 d = 2 d = 3 d = 4 d > 4

d = 1 d = 2 d = 3 d = 4 d > 4

n = ∞

n = –2

n = –1

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

n = 7

1/211/24

1/2

1/3

1/4

1/8

5/12

0

–1/16

–1/8

1/2

1/2

Val

eur

obte

nu

eav

ec le

s th

éorè

mes

du c

ham

p m

oyen

1 /2

n = ∞

n = –2

n = –1

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

n = 7V

aleu

r ob

ten

ue

avec

les

théo

rèm

esdu

ch

amp

moy

en

1

11/10

21/20

7/6

5/4

4/3

3/2

7/4

2

3

Page 93: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 93

Un aspect plus decevant encore est que le developpement en ´ ne converge pas[Zinn-Justin 1989] quel que soit l’ordre ! Cependant, des techniques sophisti-quees de sommation de tous les termes du developpement permettent d’obte-nir des valeurs en parfait accord avec les experiences, a la precision des mesurespres (tableau 3.4). Grace a ces techniques de sommation, le developpement en ´

est ainsi devenu l’outil emblematique du groupe de renormalisation. Pour chaqueexposant, il permet de tracer des courbes de niveau dans l’espace (d,n) ou chaquepoint represente une classe d’universalite.La FIG. 3.9 resume les resultats ainsi traces par Michael Fisher, pour des situationsqui n’ont en general pas de sens physique direct, ou n varie par exemple de −2 al’infini (modele spherique) ! En effet, il n’y a pas de limite formelle particulieredans cette gamme de valeurs de n. A quatre dimensions et au-dela, le compor-tement critique est celui du champ moyen, tandis qu’a une dimension, l’ordre agrande distance ne peut s’etablir qu’a temperature strictement nulle dans un sys-teme de taille infinie. Voyons l’argument puissant de Peierls sur ce dernier point.

6.3. Dans un espace à une dimension.

Un argument simple du a Peierls permet de montrer rigoureusement que dansun systeme unidimensionnel a temperature finie, tout ordre a longue distance estinterdit. Supposons qu’il existe un seul defaut sur un reseau d’Ising a 1D, separantles spins ↑ a gauche, des spins ↓ a droite :

↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

L’energie libre d’un tel defaut, qui peut etre situe en N − 1 positions, a la valeursimple :

fdefaut 5 2J − kT ln(N − 1)

ou N est le nombre de spins. A la limite thermodynamique N → ∞, cette energielibre est negative quelle que soit la temperature non nulle. De tels defauts, stablesquelle que soit la temperature, se produisent donc spontanement : l’ordre a grandedistance n’est stable a aucune temperature finie.Les systemes unidimensionnels sont pourtant interessants dans deux situationsprincipales :

– lorsque leur taille est finie ou, ce qui revient au meme, s’ils comportent desdefauts ou du desordre dilue : un ordre de portee finie peut se « greffer » surles extremites ou sur les defauts du systeme ; cet ordre local peut conduire a unordre macroscopique fini a temperature finie. On peut exprimer ceci en disantque l’effet du desordre structural est pertinent ;

– lorsqu’ils sont groupes dans un espace de dimension superieure (2D, 3D, ...) etqu’il existe un couplage meme tres faible entre objets unidimensionnels, le sys-teme peut changer de classe d’universalite, comme nous le discutons au § 7.1.C’est la situation la plus frequente dans la pratique, car les systemes strictementunidimensionnels n’existent pas.

Page 94: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

94 INVARIANCES D’ÉCHELLE

6.4. Et dans un espace à deux dimensions ?

Le resultat exact d’Onsager pour le modele d’Ising a deux dimensions est entie-rement confirme par les resultats de renormalisation. Il nous assure qu’une tran-sition ordre-desordre est observee lorsque n 5 1 a temperature finie, malgre lesfluctuations fort importantes qui se developpent a deux dimensions. L’argumentde Peierls presente au paragraphe precedent peut etre repris a deux dimensions :

Figure 3.10. Une ligne de défaut qui sépare un réseaud’Ising bidimensionnel en deux parties de spin ↑, àgauche, et de spin ↓ , à droite.

L’energie libre du defaut s’exprime ici :

fdefaut 5 2JL− kTL ln( p)

ou L est la longueur de la ligne de defauts en nombre de sites8, et p le nombre dechoix d’orientation de cette ligne a chaque site. En raison de la contrainte qui estimposee, cette ligne ne doit pas se boucler sur elle meme, nous ne connaissons pasexactement la valeur de p mais sa moyenne se situe entre 2 et 3. On en deduit quefdefaut change de signe a la temperature Tc :

Tc 52J

k ln( p)

Cela conduit a 1,82 J/k < Tc < 2,88 J/k a comparer avec la valeur exacte (Onsa-ger) de Tc 5 2,2692 J/k et celle du champ moyen Tc 5 4 J/k. Il est interessant deconstater combien la stabilite de ces simples defauts lineaires explique la reduc-tion de la temperature critique telle que le champ moyen la prevoit.Le meme type d’etude de stabilite de defauts sur des modeles bidimensionnels oun 5 3 (Heisenberg), 4, 5, ... permet de montrer que la temperature critique estnulle dans ces situations. Qu’en est-il donc de la situation frontiere du modele

8 Etant donne que seul un de ces p choix fait progresser la ligne dans chaque direction, la longueurL vaut pN1/2, ou N est le nombre total de spins. Cependant, L etant en facteur, sa valeur precise nejoue pas de role dans le signe de fdefaut.

Page 95: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 95

XY bidimensionnel ou d 5 2, n 5 2 ? Une transition a temperature finie esteffectivement observee : elle n’a pas des caracteres d’universalite, et correspond aune physique passionnante. Nous presentons ses principales caracteristiques dansle paragraphe suivant.

6.5. Le modèle XY à 2 dimensions : la transition de Kosterlitz-Thouless

L’argument du paragraphe precedent est specifique au modele d’Ising ou les spinsne peuvent prendre que deux valeurs opposees. Dans le cas d’une variation conti-nue, les types de defauts possibles sont bien plus divers, et leur entropie peut etreelevee : cela peut modifier profondement le caractere de la transition. La situationparticuliere d’un reseau plan de spins S 5 (Sx ,Sy) a deux dimensions – le modeleXY 2D – permet d’illustrer cet effet : elle fut en effet l’objet d’un intense debat audebut des annees 1970, avant que J.M. Kosterlitz et D.J. Thouless n’en proposentune celebre description [Kosterlitz et Thouless 1973]. Cette transition est ainsisouvent nommee « transition KT ».Il semblait exister une contradiction autour de ce modele : d’un cote, Mermin etWagner etablissaient que tout ordre a longue distance est exclu dans une situa-tion a deux dimensions qui possede une symetrie de rotation, ce qui est le cas dumodele XY ou les spins S peuvent prendre n’importe quelle orientation dans leplan. D’un autre cote, les simulations numeriques montraient clairement l’exis-tence d’une transition. La cle est qu’il s’agit effectivement d’une transition tresnette, mais vers un etat sans ordre a longue distance. Nous en donnons ici uneintroduction rapide. L’hamiltonien du modele XY en champ nul s’ecrit :

H 5 −JS2∑<ij>

cos(ui − uj) (3.58)

ou ui est l’orientation du spin i. Cet angle est un parametre d’ordre commode :est-il legitime de supposer qu’il varie lentement dans l’espace, a l’echelle de deuxspins voisins ? A tres basse temperature, certainement, et nous le supposeronsdans un premier temps. Une resolution par renormalisation de la transition KT estpresentee au § 6.2 du chapitre 8.

Variation spatiale lente du parametre d’ordre uCette approximation permet d’ecrire, au premier ordre en ui − uj :

H 5 −12qNJS2 1

12JS2

∑<ij>

(ui − uj)2 (3.59)

ou encore, dans une approximation continue et en supposant S 5 1 :

H 5 E0 1J

2ad−2

∫ddr |∇u |2 (3.60)

Cette forme d’hamiltonien conduit notamment a des excitations du systeme quisont des « ondes de spin », excitations ou le gradient de u est constant. Il permetde calculer toutes les proprietes thermodynamiques, et notamment la fonction decorrelation G(r). A partir de la forme generale de la fonction de correlation, onobtient directement :

G(r) 5 〈cos [u(r) − u(0)]〉

Page 96: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

96 INVARIANCES D’ÉCHELLE

ou la moyenne est effectuee sur l’ensemble des origines r 5 0 dans le systeme.G(r) tend vers une constante lorsque r → ∞, s’il existe un ordre a longue distance.En particulier a temperature nulle, G(r) 5 1 pour l’etat parfaitement ordonne.Une evaluation de la fonction de partition puis deG(r) au premier ordre conduit a :

G(r) ∼( ra

)−h(T )(3.61)

en accord avec la definition de l’exposant h dans la relation a la temperature cri-tique, c’est-a-dire j infinie. Mais ici, resultat totalement nouveau, l’exposant h(T )depend de la temperature :

h(T ) 5kT

2pJ(3.62)

Ce resultat est radicalement different de ce que nous avons observe pour les tran-sitions de phase universelles, pour lesquelles une dependance en loi de puissancede G(r) ∼ (r/a)−(d−21h) n’est observee strictement qu’au point critique (presdu point critique, la dependance dominante est exponentielle).

Tout se passe donc comme si la longueur de coherence restait infinie, commesi le systeme restait dans l’etat critique jusqu’a temperature nulle.

N’oublions pas que pour arriver a ce resultat, nous avons suppose que nous etionsa tres basse temperature pour que le parametre d’ordre varie lentement dans l’es-pace. A haute temperature, cette hypothese est fausse puisque le desordre esttotal. Comment s’effectue la transition entre les deux regimes ?

Vortex et paires de vortex-antivortex

Figure 3.11. Un vortex de« charge » unitaire sur unréseau XY à 2 dimensions.

Lorsque l’on part d’un systeme parfaitement ordonne,toute transition de phase est le resultat d’excitationslocales produites par l’agitation thermique. Dans le cadredu modele d’Ising, ces excitations sont le retournementde spins isoles. Kosterlitz et Thouless [Kosterlitz et Thou-less 1973] ont identifie les excitations responsables dansle cas de la transition XY a 2 dimensions : ce sont despaires de tourbillons nommes aussi vortex. Le tourbillonle plus simple du parametre d’ordre est une dispositiondes spins invariante par rotation autour d’un point M(FIG. 3.11).Si l’on utilise des coordonnees polaires (r,w) centrees en M, pour la position desspins, le parametre d’ordre u est ici egal a w a une constante pres, et il ne dependpas de r. De facon generale, u peut etre un multiple entier (positif ou negatif)de w dans un vortex : u 5 qw 1 u0. Nous voyons ci-dessous que le nombre qjoue le role d’une charge electrique. A partir de quelques distances atomiques,l’energie d’un vortex peut se calculer par l’approximation continue de l’eq. 3.60.En negligeant ainsi les termes dus aux premiers voisins de M − leur contribution

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 97

ne peut etre evaluee par l’hypothese de variation continue de u −, l’energie d’unvortex de charge unitaire, dans un systeme de taille L, s’ecrit :

Evortex 5 2pJ ln(L

a

)(3.63)

qui diverge pour un systeme de taille infinie, a etant toujours la distance entrespins. Comme l’entropie d’un vortex est directement liee au nombre de positionspossibles pour M, soit L2/a2, on en deduit l’energie libre :

fvortex 5 2(pJ − kT ) ln(L

a

)(3.64)

Cela definit une temperature critique Tc 5 pJ/k au-dessous de laquelle aucunvortex isole n’est stable dans le systeme. L’energie d’un dipole, une paire de vortexde charges respectives q et − q distants de r s’ecrit de meme :

EDip 5 2pJq · ln( ra

)(3.65)

Cette energie etant finie, tandis que leur entropie est grande – elle varie commeln(L/a) –, ces dipoles sont toujours presents dans un grand systeme meme abasse temperature. Leur population augmente avec la temperature. A la tempe-rature critique, la separation moyenne des paires atteint la taille du systeme, etle desordre s’installe. Kosterlitz a montre que la longueur de coherence, toujoursinfinie au-dessous de Tc, diverge pour t 5 (T − Tc)/Tc > 0 comme :

j ∼ exp(1,5t−1/2) (3.66)

Cette dependance en temperature qui n’a rien a voir avec les lois de puissanceobservees pour les transitions critiques universelles, illustre bien le caractere par-ticulier de la transition KT. Bien d’autres proprietes sont speciales a cette transi-tion, comme la dependance thermique des exposants.

L’experience a 2 dimensions

Durant les annees 1970, de nombreuses equipes tenterent l’aventure d’obser-ver experimentalement la transition KT. Les situations imaginees etaient aussidiverses que subtiles dans leur realisation [Lagues 1978] : cristaux liquides, filmsde bulles de savon, couches atomiques adsorbees, films ultraminces d’heliumsuperfluide, supraconducteurs bidimensionnels, gaz bidimensionnels d’elec-trons, etc. Elles se heurtaient pour la plupart a une difficulte apparemmentinsoluble. S’il existe des situations XY reelles ou le parametre d’ordre a bien deuxcomposantes, il est difficile d’imaginer et de realiser des situations ou la troisiemedimension spatiale, le support, l’environnement au sens large, ne perturbe pas lecaractere bidimensionnel du systeme : les couches adsorbees sont perturbees parleur substrat, les gaz d’electrons 2D par le reseau cristallin, etc.Pourtant, les observations sur des films d’helium superfluide ont permis de veri-fier point par point les previsions de la transition KT [Bishop et Reppy 1980]. Dememe des mesures sur des films supraconducteurs [Fiory et al. 1983] et sur desreseaux plans de jonctions Josephson [Hebard et Fiory 1983], montrent bien desexposants dependant de la temperature qui presentent en outre une discontinuitea la temperature critique (voir chapitre 7 sur la supraconductivite). La situationde fusion de cristaux bidimensionnels est moins claire malgre le modele theorique

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98 INVARIANCES D’ÉCHELLE

propose par Nelson et Halperin [Nelson et Halperin 1979] : le comportement KT aete observe dans des suspensions colloıdales [Murray et Winkle 1987] alors quela fusion semble etre du premier ordre dans les autres situations observees. Maisles effets du support et les temps extremement longs de mise a l’equilibre de cessystemes compliquent considerablement les experiences (ainsi que les simulationsnumeriques en ce qui concerne ce dernier point). Il semble cependant que, cettesituation n’etant pas universelle, certains details microscopiques ont un effet per-tinent sur la nature de la transition.Nous verrons une autre illustration de la transition KT au chapitre sur les meca-nismes de croissance (chapitre 8) : la transition rugueuse, dans laquelle un solidedevient rugueux au-dela d’une temperature donnee. Cette transition prevue par latheorie est tres bien confirmee par les simulations numeriques.Parmi les nombreuses revues sur ces experiences, on pourra se reporter a cellespubliees par Abraham [Abraham 1986], Saıto et Muller-Krumbar [Saıto et Muller-Krumbar 1984], Nelson [Nelson 1983].

7. Et dans les situations réelles

7.1. Basculement d’une classe d’universalité à une autre

M2*M1*

Sensibilitéà M1*

Sensibilitéà M2*

Figure 3.12. Ligne séparant les zones d’influence de deux points fixes.

Supposons que l’on aitdeux points fixes M∗

1 etM∗

2 hyperboliques dansun meme ensemble demodeles parametres. Ilexiste une limite quisepare la zone de vali-dite de l’approximationlineaire autour de M∗

1 dela zone correspondanteau voisinage de M∗

2 : dansces zones, la trajectoired’un point M sous l’actionde la renormalisation est plus sensible respectivement a la presence du point fixeM∗

1 ou a celle du point fixe M∗2 (FIG. 3.12).

En pratique, on pourra observer un basculement (cross-over) lorsque l’on faitvarier l’un des parametres de l’hamiltonien : au-dela d’un seuil donne, les pointsfixes sont brutalement modifies. L’hamiltonien qui suit, cite par Fisher, fournit unexemple d’un tel cross-over, pour un systeme de spins a 3 composantes compor-tant une anisotropie caracterisee par ´ :

H(s,s′) 5 J(s1s′1 1 s2s

′2 1 s3s

′3) 1 ´(s2s

′2 1 s3s

′3) (3.67)

Si ´ 5 0, les exposants critiques sont ceux associes au point fixe M ∗3 (spins de

Heisenberg a trois composantes). Si ´ 5 −1, les exposants critiques sont ceuxassocies au point fixe M∗

1 (spins d’Ising a une composante). Si ´ 51 ∞, les expo-sants critiques sont ceux associes au point fixe M∗

2 (spins XY a deux composantes).

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 99

Pour quelles valeurs de ´ se situent les changements de classe d’universalite ? Onmontre que, quelle que soit l’anisotropie ´ de valeur finie, on quitte la classe d’uni-versalite de Heisenberg a trois composantes de spin :

– pour ´ > 0, la classe d’universalite est celle du modele XY (spins a deux com-posantes),

– pour ´ < 0, la classe d’universalite est celle du modele d’Ising (spins a unecomposante).

7.2. Établissement de l’équilibre et exposants critiques dynamiques

Jusqu’a present, nous avons suppose que l’equilibre etait etabli dans le systeme,et que nous en prenions un instantane microscopique moyenne sur toutes sesconfigurations. Cela repose sur l’ergodicite que nous avons prise comme hypo-these. En pratique, le systeme evolue perpetuellement a l’echelle microscopique,et son comportement dynamique est singulier au point critique. Au point critiqueen effet, les fluctuations du parametre d’ordre sont de portee spatiale divergente,mais elles presentent egalement une evolution tres lente : on peut dire que leurportee temporelle diverge. La relaxation exponentielle et rapide en e−t/t, loin dupoint critique, est remplacee par une decroissance en loi de puissance t−k descorrelations, k etant un exposant critique dynamique et t est ici le temps. Celapeut egalement s’exprimer par le fait que le temps de relaxation t(T ) diverge a Tc.On nomme ralentissement critique ce phenomene caracteristique des phenomenescritiques. On definit d’autres exposants decrivant par exemple la dependance entemperature du temps de relaxation vers l’equilibre. Les phenomenes critiquessont ainsi caracterises par une double singularite a (q → 0, v → 0). Commeles autres exposants critiques, les exposants dynamiques sont invariants au sein declasses d’universalite. Ils peuvent etre determines, a l’aide d’une extension spatio-temporelle des methodes de renormalisation utilisees pour calculer les premiers[Ma 1976, Hohenberg et Halperin 1977].

7.3. Décomposition spinodale

On peut egalement s’interroger sur le chemin qui mene a l’ordre a basse tempe-rature lorsque l’on refroidit un systeme. On peut par exemple chercher a decrirel’evolution d’un systeme, initialement en equilibre thermique a haute temperatureT0 � Tc et brusquement trempe a une temperature T1 < Tc, a parametre d’ordreconstant (aimantation constante dans le cas d’un systeme magnetique, densiteconstante dans le cas d’un fluide ou d’un alliage). L’etat initial desordonne n’etantpas un etat d’equilibre a la temperature T1, le systeme va evoluer de facon irre-versible vers une des configurations probables a T1. Si T1 fi 0, en general, deuxphases coexistent a l’equilibre (liquide-gaz, aimantation positive-negative). On voitalors croıtre des domaines occupes par l’une ou l’autre des phases, par agrega-tion, fusion, etc. Ce processus de separation, qui debute a tres petite echelle et sepropage jusqu’a l’echelle macroscopique, est la decomposition spinodale. Citonsquelques exemples ou le phenomene a pu etre observe experimentalement ounumeriquement :

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100 INVARIANCES D’ÉCHELLE

– croissance de domaines d’aimantation ±M0(T ) dans les systemes ferromagne-tiques et le modele d’Ising associe ;

– decomposition spinodale dans les alliages binaires ;

– separation de phase dans les fluides binaires.

Plusieurs travaux ont mis en evidence numeriquement et experimentalement[Rogers et al. 1988] que la relaxation d’un tel systeme presentait, aux tempslongs, une invariance d’echelle remarquable. Nous avons introduit au chapitre 2de telles structures spatiales invariantes d’echelle : les fractales. Ici les structuresevoluent et se deduisent les unes des autres a des instants successifs par unchangement d’echelle spatiale. On notera que la relaxation du systeme fonctionneexactement comme une renormalisation en sens inverse. Quantitativement, lamorphologie du systeme est decrite par la fonction de correlation a deux points :

G(r,t) 5 〈m(r,t)m(0,t)〉 − 〈m(r,t)〉〈m(0,t)〉 (3.68)

du parametre d’ordre m (une moyenne sur la condition initiale est implicite danscette definition). L’invariance d’echelle s’exprime alors en ecrivant que la fonctionde correlation ne depend de r et de t que par l’intermediaire d’une variable sansdimension r/L(t) :

G(r,t) 5 f(r/L(t)) lorsque t→ ∞ (3.69)

Le facteur d’echelle contient ainsi la physique de cette decomposition observeeaux temps longs. L(t) presente un comportement d’echelle :

L(t) ∼ tn lorsque t→ ∞ (3.70)

On peut preciser la condition t → ∞ : il faut que la taille typique des domainessoit plus grande que la longueur de correlation, pour que le regime d’echelle s’eta-blisse. La loi d’echelle est observee lorsque L(t) � j(T ), ou j(T ) est la longueurde correlation a l’equilibre thermique. Partant d’une description de la dynamiquepar une equation de Langevin (voir chapitres 4 et 8), une etude par renormalisa-tion spatio-temporelle permet de determiner n (nous decrivons ce type d’approcheau chapitre suivant). Cette etude est menee a T 5 0 et non au point fixe critique :l’exposant n ci-dessus n’est donc pas un exposant critique dynamique. On peutmontrer [Bray 1989, Bray 2002] que le phenomene presente une certaine univer-salite, au sens ou n ne depend pas des details du systeme au sein de classes. Enparticulier, les details de la cinetique de croissance des domaines n’interviennentpas.L’invariance d’echelle de la structure spinodale est bien etablie experimentalementet numeriquement, mais elle est plus difficile a demontrer theoriquement, saufdans quelques cas particuliers. Il faut distinguer deux situations, suivant que leparametre d’ordre est ou non conserve durant l’evolution qui suit le refroidisse-ment. Dans le modele d’Ising, les spins peuvent se retourner independamment lesuns des autres, de sorte que l’aimantation evolue au cours de la relaxation. Parcontre, dans un alliage ou un fluide binaire, le nombre de molecules de chaquetype est conserve, ce qui equivaut, dans un systeme de spins, a travailler a aiman-tation constante.

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 101

Croissance de domaines a parametre d’ordre non fixe

Dans le premier cas, ou le parametre d’ordre n’est pas fixe, la croissance desdomaines est regie par le principe de minimisation de l’energie de surface dueaux frontieres entre les domaines. Une croissance analogue, egalement regie parla minimisation de l’energie de surface, est observee dans l’evolution d’un amasde bulles de savon. Les interfaces relaxent independamment les unes des autres etla relaxation est alors rapide : L(t) ∼

√t. Analytiquement, on peut decrire cette

situation par une equation aux derivees partielles, car l’evolution est regie pardes lois locales. Dans cette situation, la proportion des phases n’est pas fixee al’avance et l’on observera une competition entre les domaines. La phase observeedans l’etat final sera le resultat de cette competition. Soulignons que ce resultatdependra de la condition initiale mais aussi de toute la succession d’evenementsaleatoires impliques dans la croissance des domaines.

Croissance de domaines a parametre d’ordre conserve

Dans le second cas, les deformations des differents domaines sont toutes corre-lees par la contrainte de conservation du parametre d’ordre. L’evolution est tou-jours regie par le principe de minimisation de l’energie de surface, mais cetteminimisation doit etre mise en œuvre globalement. Elle va s’effectuer par diffu-sion du parametre d’ordre depuis les parois de courbure importante vers celles defaible courbure. La presence de correlations a toutes les echelles dans le systeme,induite par la contrainte de conservation du parametre d’ordre et le caractere glo-bal qu’elle impose a la dynamique, va ralentir notablement l’evolution, par rapportau premier cas.Lorsque le parametre d’ordre est conserve, on observe et l’on calcule par renor-malisation L(t) ∼ t1/3, si le parametre d’ordre est scalaire, et L(t) ∼ t1/4, sile parametre d’ordre est vectoriel. Dans les fluides binaires, la situation est pluscompliquee car le regime d’echelle est tronque par l’influence, en general domi-nante, de la gravite (sauf si on travaille en microgravite ou si les deux fluides ontla meme densite). On verra ainsi typiquement se succeder trois regimes :

– regime diffusif, ou L(t) ∼ t1/3 ;

– regime visqueux, ou L(t) ∼ t ;

– regime inertiel, ou L(t) ∼ t2/3.

(3.71)

Pour resumer, la dynamique associee a l’apparition d’ordre par brisure de symetrieobservee a basse temperature presente aux temps longs une invariance d’echellespatio-temporelle, dans laquelle la longueur caracteristique L(t) associee a l’inva-riance d’echelle spatiale se comporte comme L(t) ∼ tn. Le moteur de la croissancedes domaines est la minimisation de l’energie de surface : le systeme evolue tantqu’il existe des transformations abaissant son energie interfaciale. La relaxationse fait globalement, et donc plus lentement dans les systemes ou le parametred’ordre est conserve.

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102 INVARIANCES D’ÉCHELLE

7.4. Transitions et invariance d’échelle dans un système de taille finie

Un systeme de taille finie peut-il presenter une transition de phase ?Nous avons vu qu’une transition de phase n’est bien definie que dans la limitethermodynamique N → ∞. En ce sens, on peut definir une transition de phasecomme une singularite du comportement physique reliee a la non-commutativitedes limites T → Tc et N → ∞. Cette definition ne permet pas de comprendrea quoi correspond une transition de phase a l’echelle microscopique et n’indiqueguere quelle serait l’extension naturelle de la notion de transition de phase dansun systeme de taille finie. Revenons au sens du formalisme dans lequel on se placepour definir les transitions de phase. Il repose sur l’identification, a la limite ther-modynamique, de :

– une grandeur thermodynamique Athermo,– la grandeur Aobs observee experimentalement,– la moyenne statistique 〈A〉,– la valeur Am la plus probable.

Cette identification est justifiee par la distribution de probabilite PN (A), supposeene presenter qu’un seul pic centre en Am dont la variance relative est proportion-nelle a 1/N . Pour N assez grand, la methode du col s’applique et permet d’assurerque 〈A〉 ≈ Am. Les fluctuations etant negligeables, on peut achever l’identifica-tion 〈A〉 ≈ Am ≈ Aobs ≈ Athermo. Cette demarche echoue dans au moins deuxsituations :

– si PN (A) presente plusieurs pics ;– au voisinage d’un point critique, ou des fluctuations geantes ne decroissant pas

en 1/N peuvent apparaıtre du fait de la divergence de la longueur de correlation.

Ces deux situations correspondent precisement aux transitions de phase, respec-tivement du premier et du second ordre. D’un point de vue physique, il apparaıtnaturel d’ancrer la definition des transitions de phase dans la forme de la distri-bution PN (A). La grandeur essentielle n’est plus la limite thermodynamique del’energie libre mais la distribution a l’equilibre thermique, en taille finie N , d’unevariable A caracterisant physiquement la phase. A sera par exemple la densite dansle cas de la transition liquide-gaz ou l’aimantation par spin dans le cas de la transi-tion ferromagnetique. Une transition de phase du premier ordre correspond a unedistribution PN (A) bimodale. La fraction du systeme presente dans chaque phaseest donnee par l’aire du pic correspondant, les pics restant bien separes. Le cas oudeux pics fusionnent en un seul quand on fait varier un parametre de controle X,par exemple la temperature, correspond a une transition du second ordre. Le picest large au moment de la fusion, ce qui correspond a la presence de fluctuationsgeantes et d’une divergence de la susceptibilite (FIG. 3.13).

L’invariance d’echelle dans un systeme de taille finieNous sommes confrontes ici a une contradiction apparente : comment appliquera un systeme fini les approches d’echelle basees sur l’invariance d’echelle, quisupposent a leur tour un systeme de taille infinie. Le paradoxe est leve lorsque l’ons’interesse a des systemes finis mais grands par rapport a la taille elementaire. Lecomportement du systeme est alors determine par les valeurs respectives de L etde la longueur de coherence j :

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3. L’UNIVERSALITÉ COMME CONSÉQUENCE DE L’INVARIANCE D’ÉCHELLE 103

PN(A) PN(A) PN(A)

A A A

Variation du paramètre de contrôle X

PN(A) PN(A) PN(A)

A A A

Figure 3.13. L’action d’un paramètre de contrôle X dans un système de taille finie, dans le cas d’une transition dupremier ordre (en haut), et dans le cas d’une transition du second ordre (en bas).

– si L > j , le systeme se comporte comme s’il etait infini ;– si L < j , alors les limites du systeme « tronquent » la transition.

En pratique, la quantite L apparaıt comme un nouveau « champ », au meme titreque h et t, avec ses propres exposants critiques. En vertu de l’hypothese du scalingexprimee par Kadanoff, on attend que le comportement de cette probabilite soitdirectement lie au rapport entre L et j. Une propriete donnee A(t) prendra parexemple la forme A(t,L) suivante, dans un systeme de taille L :

A(L,t) ∼ taf(L

j(t)

)∼ taf (tnL) (3.72)

ou la fonction universelle f est constante si son argument est petit devant 1.Nous retrouverons cette approche d’echelle des systemes de taille finie dans leschapitres qui traitent de la percolation (chapitre 5), de la supraconductivite (cha-pitre 7) et surtout celui qui traite des mecanismes de croissance (chapitre 8).

L’effet du desordre structural

L’existence de desordre statique dilue – impuretes, defauts topologiques, etc. –peut egalement modifier profondement la nature d’une transition. Nous n’en don-nerons qu’un exemple : les situations unidimensionnelles. Une impurete joue lerole d’une extremite : le systeme est transforme en une assemblee de systemes detaille finie. Les impuretes representent des « germes » pour l’ordre qui s’etablitde part et d’autre sur une longueur de coherence. Si la distance entre impuretesest comparable a la longueur de coherence, le systeme peut ainsi s’ordonner enmoyenne grace au desordre. De facon generale, les etudes de transitions prennenten compte le desordre comme un « champ » au meme titre que la temperature

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104 INVARIANCES D’ÉCHELLE

et le champ magnetique. On est souvent amene a tracer les diagrammes de phasede systemes physiques en fonction de l’intensite du desordre [Orignac et Giamar-chi 1997, 1998].

8. Conclusion : du bon usage d’un modèle

Le defi etait redoutable : comment decrire correctement un systeme physiquecomportant une infinite d’echelles spatiales pertinentes ? Les resultats experimen-taux s’accumulaient montrant la robustesse des comportements critiques obser-ves, mais aucun modele, meme tres simplifie, n’etait resolu a trois dimensions.Cette situation d’echec frustrant a donne naissance a un nouveau type d’approchephysique, dans lequel la description des proprietes d’un modele particulier passeau second plan derriere la comparaison de divers modeles entre eux.En s’attachant a decrire l’organisation des phenomenes plus que les phenomeneseux-memes, les methodes de renormalisation conduisent a des resultats intrin-seques, insensibles aux inevitables approximations intervenant dans la descriptiontheorique. Une bonne image de cette demarche est la description d’une courbefractale : sa longueur est une grandeur relative L(a) dependant du pas a aveclequel on arpente la courbe. Par contre, le lien entre des mesures L(a) et L(ka)obtenues en choisissant des echelles minimales a et ka differentes, donne accesa une caracteristique intrinseque, la dimension fractale df de la courbe (voir cha-pitre 2). Cette derniere relation exprime l’autosimilarite – l’invariance d’echelle –de la courbe fractale.Construire un modele physique, c’est choisir des echelles minimales et maximales,delimiter le systeme S et ses degres de liberte, simplifier ses interactions avec lemilieu exterieur, etc. Un modele est donc necessairement subjectif et imparfait.La demarche usuelle, consistant a deduire le maximum d’informations sur le com-portement d’un systeme ideal decrit par le modele, est donc entachee d’incerti-tudes, voire d’erreurs. Les methodes de renormalisation proposent une approchecompletement differente, ou l’analyse se deplace de l’espace de phase dans unespace de modeles. Le groupe de renormalisation realise une classification desmodeles en classes d’universalite, regroupant chacune des modeles conduisantaux memes proprietes asymptotiques. Notons qu’un groupe de renormalisationn’est rien d’autre qu’un systeme dynamique dans l’espace des modeles.Il suffit alors de determiner la classe d’universalite a laquelle appartient le systemephysique – et pour cela, un modele rudimentaire suffit ! – pour predire correcte-ment ses proprietes aux grandes echelles. Les exposants apparaissant dans les loisd’echelle asymptotiques seront les memes que ceux du representant typique de laclasse d’universalite. Cependant, l’essentiel est ailleurs : les methodes de renorma-lisation permettent de determiner si une perturbation du modele le fait changer declasse d’universalite ou non, c’est-a-dire detruit (perturbation pertinente) ou nedetruit pas (perturbation non pertinente) les predictions macroscopiques obte-nues avant la perturbation. On peut ainsi tester la robustesse des resultats parrapport aux modifications des details microscopiques et par la meme la validite dumodele, puisque de nombreuses approximations microscopiques – discret-continu,interaction restreinte aux premiers voisins, type de reseau, etc. – sont sans conse-quences a l’echelle de l’observation.

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ZINN-JUSTIN J., Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Oxford University Press,1989.

Page 107: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

CHAPITRE

4LA DIFFUSION

Les phenomenes de diffusion, auxquels nous allons consacrer ce chapitre, sont ade nombreux titres exemplaires et essentiels au propos de ce livre :

– l’analyse experimentale du mouvement brownien par Perrin marque, entreautres, l’emergence de la notion d’auto-similarite en physique [Perrin 1913] ;

– en particulier, la trajectoire d’une particule animee d’un mouvement brownien,ainsi que la frontiere d’un nuage initialement localise de particules diffusant(front de diffusion), sont des structures fractales, illustrant les notions intro-duites au chapitre 2 ;

– les lois de diffusion R(t) ∼ tg/2, decrivant dans differentes situations la depen-dance temporelle du deplacement quadratique moyen R(t) d’une particule dif-fusant, sont des exemples de lois d’echelle. Nous retrouverons, dans ce contextetemporel, la distinction entre exposants de champ moyen et exposants critiquespresentee au chapitre 1, correspondant ici aux diffusions normales (g 5 1)et anormales (g fi 1). Etudier l’origine des diffusions anormales va nous per-mettre, par analogie, de mieux comprendre les mecanismes typiques conduisanta des comportements critiques ;

– la diffusion est un phenomene pouvant etre envisage a de nombreuses echelles.Nous montrerons sur cet exemple le caractere subjectif et incomplet, voirereducteur, d’une description a une echelle donnee. Nous verrons qu’unemeilleure comprehension est obtenue par une vision transverse, multi-echelles,s’attachant a relier les differents niveaux de description. C’est au demeurantla seule approche possible des que le phenomene presente des proprietesemergentes, par exemple des proprietes critiques.

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108 INVARIANCES D’ÉCHELLE

1. Diffusion : ce qu’on observe

1.1. L’agitation thermique

Commencons par un bref rappel sur le « moteur » de tous les mouvements dediffusion, a savoir l’agitation thermique.Les livres de mecanique statistique enseignent que la temperature T d’un gaz peutetre definie par l’intermediaire de l’energie cinetique moyenne des molecules quile constituent [Lhuillier et Rous 1992] :

3kT 5 m〈v2〉 (4.1)

ou k 5 1,381 10−23 J/K est la constante de Boltzmann et m la masse d’unemolecule. On montre ensuite qu’a l’equilibre, cette temperature cinetique coın-cide bien avec notre notion familiere de temperature, telle qu’on la mesurea l’aide d’un thermometre [Mac Quarrie 1973]. Strictement, l’enonce et sademonstration ne concernent que les gaz dilues, mais l’idee qualitative d’agitationthermique reste valable dans tous les fluides. La chaleur est ainsi reliee a l’energiecinetique des mouvements moleculaires. Inversement, les molecules d’un sys-teme maintenu en equilibre thermique a la temperature T sont animees d’unmouvement spontane et incessant1, de vitesse moyenne

√3kT/m, appelee la

vitesse thermique et ne dependant que de leur masse m et bien sur de T . Plusgeneralement, dans un systeme a l’equilibre thermique, chaque degre de liberteva presenter des fluctuations dites thermiques, d’energie moyenne kT/2 ; ceresultat est connu sous le nom de theoreme de l’equipartition de l’energie [Kubo1966] [Kubo et al. 1991]. Cet enonce n’est en fait valable que pour les degresde liberte dont l’energie d’excitation (seuil quantique) est inferieure a l’energiethermique typique kT , mais c’est effectivement le cas aux temperatures usuellespour les degres de liberte de translation qui interviennent dans le contexte de ladiffusion.L’idee qualitative a retenir est celle de fluctuations thermiques d’amplitudecontrolee par la temperature. Cette « agitation thermique » est l’origine premierede tous les mouvements microscopiques en l’absence de champ exterieur. Ellejoue un role essentiel dans l’etablissement des etats d’equilibre de la matiere ; elleest responsable des fluctuations affectant ces etats d’equilibre et des transitionsspontanees se produisant entre eux, lorsqu’ils coexistent (voir chapitre 1). La dif-fusion est une manifestation observable a notre echelle de l’agitation thermique,fournissant un acces presque direct a ce phenomene moleculaire. Ce point futcompris et exploite par Einstein et Perrin au debut du XXe siecle, comme nousallons le voir au paragraphe suivant.

1 Nul paradoxe ni mouvement perpetuel dans cet enonce. Ou bien on considere un recipient parfai-tement isole, auquel cas le mouvement est permanent simplement parce que l’energie cinetique desmolecules est conservee. Ou bien les mouvements auraient tendance a s’amortir, par exemple lors decollisions inelastiques avec la paroi du recipient si celle-ci se trouve a une temperature inferieure a T .Dire qu’on maintient le systeme a la temperature T revient alors exactement a dire qu’on entretientles mouvements moleculaires par un apport adequat d’energie.

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4. LA DIFFUSION 109

1.2. Le mouvement brownien

Le mouvement brownien tient son nom du biologiste Brown qui des 1827 etu-dia tres precisement le mouvement erratique et incessant d’un grain de pollen ensuspension dans de l’eau. Il observa ce phenomene dans de nombreux fluides, ycompris dans une goutte d’eau incluse a l’interieur d’un morceau d’ambre, et avecdes grains mineraux, ce qui lui permit de rejeter definitivement le caractere vivantdu grain. Il ne s’agissait pas du mouvement d’un etre anime, et la question de sonorigine quitta le domaine de la biologie pour rejoindre celui de la physique. Il fallutattendre presque un siecle et l’analyse du phenomene par Einstein, en 1905, pouren avoir l’explication. L’etude theorique fut ensuite validee par des travaux expe-rimentaux extremement precis de Perrin. Leurs deux approches complementairesetablirent definitivement que le mouvement brownien etait du aux collisions surle grain des molecules d’eau en agitation thermique ; cette explication fournissaitun argument fort en faveur de la theorie atomique de la matiere, encore debattuea l’epoque.Perrin utilisa des emulsions de resine dans de l’eau, rendues monodisperses (c’est-a-dire ou la taille des grains est uniforme, en l’occurrence de l’ordre du micron) parcentrifugation fractionnee [Perrin 1913]. En observant le mouvement de grainsinitialement tres proches, il commenca par verifier que ce ne sont pas des mouve-ments de convection qui sont a l’origine du deplacement des grains. Il fit ensuiteune etude exhaustive en faisant varier la taille des grains, leur masse, la viscositedu fluide porteur, la temperature : il trouva que le mouvement est d’autant plusactif que la temperature est elevee, que la viscosite du fluide est faible et que lesgrains sont de petite taille. Il verifia egalement que le mouvement des grains, atailles egales, n’est pas affecte par la nature des grains ni par leur masse.A partir de l’enregistrement, en projection plane, des positions successives d’ungrain, Perrin mit en evidence l’irregularite des trajectoires, leur caractere aleatoireet l’existence de details a toutes les echelles : s’il augmentait la resolution tem-porelle de son enregistrement, les segments rectilignes interpolant deux positionssuccessives se trouvaient transformes en lignes brisees, composees de segmentsplus courts et d’orientations aleatoires (FIG. 4.1). Il en conclut que la vitesse ins-tantanee des grains, telle qu’il pouvait la deduire de l’analyse des trajectoires enre-gistrees, etait mal definie puisqu’elle dependait de l’echelle a laquelle il observaitles trajectoires. Cette absence d’echelle caracteristique s’accordait parfaitementavec l’explication proposee peu avant par Einstein : en effet, si le mouvement dugrain resulte bien des chocs qu’il subit avec les molecules d’eau, sa vitesse doitalors presenter d’incessants changements de direction, et cette propriete doit per-sister si on augmente la resolution, jusqu’aux echelles moleculaires.Par ailleurs, l’analyse des trajectoires montre que le deplacement moyen〈r(t) − r(0)〉 est nul du fait de l’isotropie du mouvement erratique des grains.Ce n’est donc ni la vitesse, ni le deplacement mais une troisieme quantite, ledeplacement quadratique moyen des grains R(t) ≡ 〈[r(t) − r(0)]2〉1/2, qui estl’observable pertinente pour decrire quantitativement le mouvement. En tracantlogR2(t) en fonction de log t, Perrin put montrer que le mouvement des grainsobeit, aux temps longs, a une loi statistique :

R2(t) ∼ 2dDt (t→ ∞) (4.2)

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110 INVARIANCES D’ÉCHELLE

On parle generalement de diffusion normale des que le comportement asympto-tique du deplacement quadratique moyen R(t) de l’objet diffusant est, comme ici,proportionnel a

√t. Le facteur de proportionnalite definit le coefficient de diffusion

D de l’objet, ici un grain de resine, dans le fluide porteur (conventionnellement,on fait explicitement apparaıtre la dimension d de l’espace dans la loi de diffusion).Une fois prouvee la loi de diffusion normale (par l’existence d’une partie lineaireet de pente 1 dans le graphe donnant logR2(t) en fonction de log t), on determinela valeur de D comme etant la pente de la partie lineaire du graphe representantR2(t) en fonction de 2dt.Einstein, quelques annees avant les travaux de Perrin, avait etabli une formule quiporte aujourd’hui son nom [Einstein 1905] :

D 5RT

NAv

16pr0h

(formule d’Einstein) (4.3)

Cette formule, que nous presenterons plus en detail au § 4.2, exprime le coef-ficient de diffusion D en fonction de la temperature T , de la constante des gazparfaits R 5 8,314, du rayon r0 (mesurable) des grains (supposes spheriques), dela viscosite dynamique h du fluide et du nombre d’Avogadro NAv. La mesure deD donna ainsi a Perrin un acces experimental au nombre d’Avogadro2 et acheva cequi fut considere comme une preuve directe de l’existence des atomes [Einstein1926] [Stachel 1998]. Nous renvoyons a l’ouvrage original de Perrin, Les Atomes,pour tous les details de cette avancee historique [Perrin 1913].Terminons par une remarque methodologique. L’analyse directe des donnees expe-rimentales permet de montrer que R2(t) se comporte comme 2dDt aux tempslongs, de mesurer D, puis d’etudier comment D varie avec les parametres obser-vables (masse et taille du grain, viscosite du fluide, temperature). Il est par contreindispensable d’avoir un soubassement theorique (en l’occurrence la theorie cine-tique des fluides) pour interpreter ces resultats en termes de mecanismes mole-culaires (les collisions des molecules sur le grain) et d’avoir un resultat theoriqueexplicite, la formule d’Einstein, pour extraire des observations la valeur d’un para-metre microscopique (i.e. relatif a la realite microscopique sous-jacente, inobser-vable aux echelles experimentales micrometriques envisagees ici), en l’occurrencele nombre d’Avogadro ; cela permet en outre de rendre falsifiable l’image micro-scopique.

1.3. Auto-similarité des trajectoires

Le mouvement brownien est un exemple de mecanisme engendrant des structuresfractales, en l’occurrence les trajectoires typiques des grains. Nous venons de voirque Perrin, des 1913, avait souligne la propriete des trajectoires que nous denom-mons aujourd’hui auto-similarite (statistique) : si on observe les trajectoires avecune meilleure resolution spatiale, k fois plus fine, elles conservent statistique-ment la meme allure, plus precisement les memes proprietes statistiques, apresune remise a l’echelle d’un facteur k (FIG. 4.1).Cette auto-similarite vient de l’origine microscopique du mouvement : un deplace-ment du grain correspond a une anisotropie transitoire de la variation d’impulsionresultant d’un tres grand nombre de collisions aleatoires de molecules d’eau sur le

2 Perrin obtint 6,85 1023, a comparer a la valeur 6,023 1023 reconnue aujourd’hui.

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4. LA DIFFUSION 111

x 5

Figure 4.1. Schéma illustrant l’auto-similarité statistique des trajectoires du mouvement brownien : un détail grossi(ici d’un facteur k 5 5) présente les mêmes propriétés statistiques que l’observation initiale. Cette propriété est àl’origine du caractère continu mais non dérivable des trajectoires, typique des courbes fractales.

grain. Lorsqu’on affine la resolution spatiale d’un facteur k, on peut voir les conse-quences d’anisotropies de plus courte duree : un segment de longueur l apparaıtapres le changement de resolution comme une ligne brisee formee de segmentsde longueur l/k.Changer la resolution temporelle a le meme effet : en diminuant le pas de temps Dtd’un facteur k2, on accumule moins de fluctuations instantanees de la position3 etle deplacement quadratique moyen, proportionnel a la racine carree de sa duree,est reduit d’un facteur k. Le mouvement observe reflete ainsi la distribution statis-tique des vitesses des molecules d’eau et la facon dont les fluctuations de vitesse,d’une molecule d’eau incidente a l’autre, vont cumuler leurs effets, a toutes lesechelles, pour finalement deboucher sur la loi de diffusionR(t) ∼

√2dDt du grain.

Nous reviendrons de facon plus precise au § 3.1 sur cette loi statistique d’additiondes fluctuations microscopiques, a l’origine de l’auto-similarite des trajectoires,ainsi qu’au § 5, ou seront presentes les ecarts a cette loi.On peut quantifier le caractere auto-similaire des trajectoires. La loi d’echelleR(t) ∼

√2dDt reliant le deplacement quadratique moyen au temps ecoule depuis

le depart, peut s’interpreter differemment : t est aussi l’abscisse curviligne le longde la trajectoire, en quelque sorte la « masse » de cet objet, alors que R(t) estson extension lineaire dans l’espace. Reecrite t ∼ R2/2dD, la loi de diffusionnormale exprime que les trajectoires ont une dimension fractale egale a 2, quelleque soit la dimension d de l’espace, pourvu que d � 2. En dimension d 5 1, trouverdf 5 2 signifie que la trajectoire revient tres souvent sur elle-meme. Ce calculs’appuie sur une propriete moyenne des trajectoires ; dans le cadre du modelecontinu (processus de Wiener) que nous presenterons au § 3.2, on peut en faitmontrer un resultat plus fort : en dimension d � 2, presque toutes les trajectoirespossibles de la particule brownienne ont une dimension fractale egale a 2 ; end’autres termes, une trajectoire a une probabilite egale a 1 d’avoir une dimensiondf 5 2 [Falconer 1990].

3 Nous venons de parler du mouvement du grain en termes de fluctuations d’impulsion, puis entermes de fluctuations de position : les deux descriptions sont possibles, et bien sur reliees ; nouspreciserons ce point au § 4.2, une fois introduits les outils techniques necessaires.

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112 INVARIANCES D’ÉCHELLE

L’exemple du mouvement brownien met en regard une auto-similarite temporelle,s’exprimant dans la loi d’echelle R(t) ∼

√2dDt, et une auto-similarite spatiale,

directement visible sur le caractere fractal des trajectoires. Comme le montre l’ex-plication qualitative du phenomene en termes de collisions moleculaires, l’auto-similarite spatiale reflete l’auto-similarite du processus dynamique – une accumu-lation de variations d’impulsions – a l’origine du mouvement observe. C’est unpremier exemple du lien etroit existant entre les formes spatiales qu’on observe(ici les releves des trajectoires) et la dynamique qui les a engendrees ; nous enrencontrerons beaucoup d’autres, en particulier au chapitre 8 (croissance d’inter-faces fractales) et au chapitre 9 (attracteurs etranges).Dans le meme ordre d’idees, cet exemple montre que les fluctuations spatiales,telles qu’on peut les mettre en evidence dans une description statistique, sontetroitement couplees aux fluctuations temporelles, l’ensemble refletant l’orga-nisation spatio-temporelle du phenomene. En particulier, temps de correlationet longueur de correlation vont simultanement diverger, ce qu’on observe parexemple dans les transitions de phase critiques (voir chapitre 1). En restant dansle contexte de la diffusion, nous allons presenter dans le paragraphe suivant uneautre manifestation de l’auto-similarite aussi bien spatiale que temporelle de ladiffusion : les fronts de diffusion.

1.4. Fronts de diffusion

Les resultats obtenus par Perrin provenaient d’une analyse de trajectoires indivi-duelles, mais cette approche experimentale n’est facilement praticable que pourdes particules de taille assez grosse, de l’ordre du micron. Un autre type d’expe-riences, reelles ou numeriques, est l’observation d’un front de diffusion. L’idee estde partir d’une situation ou l’espece A dont on veut etudier la diffusion est locali-see, presentant par exemple un profil en marche dans une direction Ox, la marcheetant de plus de longueur finie4 (limitee par la paroi du recipient). A l’echellemacroscopique, on observe alors un elargissement et un adoucissement du profilau cours du temps sous l’effet de la diffusion (FIG. 4.2).L’evolution spatio-temporelle de la concentration moyenne donne acces aucoefficient de diffusion D : nous verrons au § 2.1 qu’aux temps assez longs,le profil moyen dans la direction Ox du gradient initial se comporte commec(x,t) ∼ (1/

√2dDt) exp[−x2/4Dt]. La qualite de cette methode de mesure

de D est limitee par les fluctuations de densite, aussi bien longitudinales (dansla direction Ox du gradient), que laterales (dans les directions Oy et Oz per-pendiculaires au gradient). Le profil, regulier lorsqu’on l’observe a l’echellemacroscopique, presente en effet une structure microscopique complexe refletantl’origine moleculaire et aleatoire de la diffusion.La simulation numerique du phenomene, en dimension d 5 2 ou 3, montre quela frontiere delimitant le nuage de particules (i.e. le front de diffusion au sens

4 Le profil de diffusion decrivant l’evolution d’une marche semi-infinie vers les x negatifs est dif-ferent ; on montre que son expression est c(x,t) 5 erfc(x/

√4Dt) 5

R∞x/

√4Dt e

−u2du, egalement

solution de l’equation de diffusion ≠tc 5 D≠2xxc mais verifiant a tout instant la condition au bord

c(x 5 0,t) 5 1.

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4. LA DIFFUSION 113

A

t = t1 t = tt = 0x x x

Fluide pur

c(x)

Figure 4.2. Front de diffusion observé à l’échelle macroscopique. On peut mesurer le coefficient de diffusion d’uneespèce A (molécules, macromolécules, colloïdes ou poussières) dans un fluide donné en observant l’évolution de saconcentration moyenne c(x,t), à partir d’un profil initial en marche de largeur finie suivant Ox (profil plan dans lesdirections Oy et Oz orthogonales à la direction Ox du gradient de concentration).

strict) est extremement irreguliere (FIG. 4.3). L’irregularite de l’interface s’accen-tue au cours du temps ; sa surface (ou sa longueur dans le cas bidimensionnel)et son epaisseur augmentent indefiniment. Plus precisement, cette frontiere trescirconvoluee presente une structure fractale aux echelles spatiales inferieures ason epaisseur (mais bien sur superieures a la taille des particules).

Figure 4.3. Front de diffusion observé à l’échelle microscopique, ici sur une simulation numérique en dimension 2 (leprofil en marche initial est constituée de 150 particules sur une hauteur de 75 lignes). L’interface et le profil moyen cor-respondant sont présentés à deux instants successifs, permettant d’apprécier le développement des inhomogénéités.Le front apparaît comme une interface rugueuse, présentant des fluctuations spatiales à toutes les échelles : c’est unestructure fractale.

Pour des particules A impenetrables et n’interagissant pas entre elles, un modeletheorique5 predit une dimension fractale df 5 7/4 en dimension d 5 2 (le frontest alors une ligne) [Gouyet 1992]. En dimension d 5 3, le front est beaucoupplus etendu suivant Ox ; il presente une region avancee, fractale, de dimensiondf ≈ 2,5 et une region interne, poreuse mais homogene au sens ou sa dimensionfractale est egale a 3.La structure fractale des fronts de diffusion peut egalement etre mise en evidenceexperimentalement, a partir d’une situation ou le profil de concentration presenteune marche abrupte. On prend par exemple un fluide A non miscible avec un fluideB a basse temperature et miscible aux temperatures T > T0. On prepare le sys-teme a basse temperature ; le liquide le plus lourd, disons A, vient en-dessous deB et son profil de concentration est ainsi une marche dans la direction verticale.

5 Les concepts utilises pour l’analyse microscopique de ces fronts, en particulier pour etablir lavaleur de leur dimension fractale, sont directement issus de la theorie de la percolation que nouspresenterons au chapitre 5 [Sapoval et al. 1985]. Nous rencontrerons d’autres exemples de croissanced’interfaces fractales au chapitre 8.

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114 INVARIANCES D’ÉCHELLE

A t 5 0, on amene la temperature a une valeur superieure a T0. Les fluides A et Bcommencent a diffuser l’un dans l’autre. On observe alors l’interface entre les deuxfluides en regardant le systeme dans la direction Ox du gradient : il apparaıt unesurface rugueuse, presentant des irregularites a toutes les echelles (FIG. 4.4). Cesfluctuations spatiales horizontales (i.e. d’un point a l’autre dans les directions per-pendiculaires au gradient) se developpent rapidement6 et ne disparaissent qu’avecla relaxation complete du systeme [Vailati et Giglio 1997] [Weitz 1997].Soulignons que les fronts de diffusion sont des structures hors d’equilibre qui, enmilieu infini, continuent indefiniment de se developper. Ce n’est qu’en milieu finiqu’on observe aux temps longs une relaxation du systeme vers un etat d’equilibrediffusif, de concentration homogene.

T = Tf > T0 T = Tf > T0 T = Ti < T0

t = 0 t = t1 t = t2y

A

B

A

B

A

B

x

Figure 4.4. Auto-similarité d’un front de diffusion, ici d’un fluide A dans un fluide B, miscibles uniquement auxtempératures T > T0. Le système est préparé à une température Ti < T0 où les deux fluides ne sont pas miscibleset se séparent par gravité ; il est ensuite amené à une température Tf > T0. Une interface complexe se développe : lacomposition du mélange y présente des fluctuations spatiales à toutes les échelles.

Une methode de mesure recente : FRAPRecemment, la maıtrise des techniques de fluorescence a permis de concevoir unemethode ingenieuse pour etudier la diffusion de macromolecules, par exemple la dif-fusion de proteines a l’interieur d’une cellule ou de polymeres dans un solvant. Elleest connue sous le nom de FRAP, acronyme anglais pour Fluorescence Recovery AfterPhotobleaching (retablissement de la fluorescence apres photo-decoloration) [Mis-teli 2001]. Elle exige le marquage par des fluorophores (molecules fluorescentes) del’espece moleculaire dont on veut etudier la diffusion7. Les marqueurs fluorescentsdoivent etre assez petits pour ne pas perturber la diffusion de l’espece consideree, cequi restreint l’etude a des macromolecules de grande taille. La duree de vie de l’emis-sion fluorescente, excitee par un laser de longueur d’onde adaptee, est longue, del’ordre de plusieurs centaines de secondes. Le principe de la methode est d’annihilerla fluorescence tres localement a l’instant t0 a l’aide d’une autre impulsion laser : lesmolecules presentes dans le domaine irradie n’emettent plus de signal fluorescent.

6 La seule limitation de taille de ces fluctuations dans le cadre experimental envisage est la gravite.7 On sait maintenant accoler au gene qui code une proteine donnee le gene d’une proteine natu-rellement fluorescente, de sorte que la cellule fabrique spontanement des proteines modifiees ayantun petit domaine fluorescent, sans que leur activite biologique en soit autrement perturbee : celapermet de suivre la localisation et les mouvements de ces proteines a l’interieur d’une cellule vivante.

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4. LA DIFFUSION 115

On observe ensuite ce domaine a l’aide d’un microscope confocal. Obscur a l’instantt0, le domaine redevient progressivement fluorescent, ce qui ne peut etre du qu’ala penetration par diffusion de molecules marquees venant de l’exterieur. Le signalfluorescent emis par le domaine est ainsi directement relie au flux de molecules mar-quees le traversant. La comparaison de ce signal et des predictions faites avec unmodele decrivant la diffusion de l’espece consideree donne acces aux parametres decette diffusion. Cette methode est plus fiable que celle consistant a imposer un tresfort gradient de concentration de l’espece etudiee – une marche – et a regarder com-ment ce gradient relaxe par diffusion ; ce gradient est en effet affecte de fluctuationsspatiales importantes (§ 1.4).Surtout, elle permet une observation de la diffusion se produisant lors du comporte-ment « naturel » du systeme, par exemple une cellule vivante.

1.5. La diffusion : un mouvement à part

Nous avons aborde ce chapitre avec l’exemple du mouvement brownien. Il appa-raıt comme une consequence indirecte de l’agitation thermique des molecules dumilieu (de taille inferieure au nanometre), s’exercant sur un objet supramolecu-laire (typiquement de l’ordre du micron).Un second exemple de diffusion est celui du melange d’une goutte d’encre deposeedans de l’eau, lequel resulte directement de l’agitation thermique des moleculesde colorant et des molecules d’eau. Le melange n’est cependant assure par la dif-fusion qu’aux petites echelles spatiales ; a des echelles superieures, la convectionpeut entrer en jeu. La comparaison des termes diffusif et convectif, definissantun nombre sans dimension appele le nombre de Peclet Pe, permet de determinerl’ordre de grandeur de ces « petites » echelles l auxquelles la diffusion domine8 ;ce nombre est le rapport d’un temps caracteristique de diffusion l2/D a un tempscaracteristique de convection l/V :

convectiondiffusion

∼ V /lD/l2

∼ V lD

≡ Pe (4.4)

ou V est la vitesse de convection typique dans le milieu – ici l’eau – ou l’onobserve le phenomene. On voit que ce rapport Pe est petit devant 1 des que lest assez petite ; la borne superieure sur l est d’autant plus grande que la vitessede convection V est faible. On peut ainsi abolir presque entierement les effets dela convection en observant la diffusion du colorant dans un gel : la reticulation desmacromolecules du gel supprime completement la convection alors qu’elle ralen-tit relativement peu la diffusion des petites molecules, qui « passent a travers lesmailles du filet ».Les deux exemples de diffusion que nous venons de voir, a savoir le mouvementbrownien et le melange d’encre dans de l’eau, conduisent a des phenomenesobservables tres semblables (et souvent confondus). Cela montre simplementque l’auto-similarite du phenomene s’etend sur une large gamme d’echelles.Cette auto-similarite est observee des que le mouvement est induit par les chocs

8 Par exemple, chauffer une piece de 20 m3 par diffusion prendrait environ 10 heures par diffusion(avec D ≈ 2 104 m2/s pour un gaz) alors que la duree tombe a 5 min pour un chauffage par convec-tion (avec V ≈ 1 cm/s). Dans ce cas, le nombre de Peclet vaut de l’ordre de 100, ce qui corresponda une longueur critique, separant les regimes diffusif et convectif, de l’ordre du centimetre.

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116 INVARIANCES D’ÉCHELLE

aleatoires des molecules du fluide porteur, que la particule ainsi bousculee soitune autre molecule de taille comparable (l’exemple de l’encre dans l’eau) ou uneparticule beaucoup plus grosse (le grain de pollen ou de resine du mouvementbrownien) : le mouvement est alors caracterise par le coefficient de diffusion Ddu couple particule/fluide.Les observations de Perrin et l’expression (4.3) de ce coefficient montrent que lemouvement de diffusion depend de la viscosite h du milieu ou prend place la dif-fusion (D ∼ 1/h), de sa temperature T (avec D ∼ T ), de la taille a de la particulequi diffuse (D ∼ 1/a) et dans une moindre mesure de sa forme (sauf si cette formeest tres particuliere, par exemple une longue chaıne lineaire). Donnons quelquesordres de grandeur : dans l’eau, D vaut typiquement 10−9 m2/s pour une petitemolecule, 10−11 m2/s pour une macromolecule et 10−13 m2/s pour un grain detaille micrometrique 9.Un point notable est que le coefficient D ne depend pas de la masse de la parti-cule qui diffuse. Cette independance souligne un caractere fondamental des phe-nomenes de diffusion : les effets inertiels y sont negligeables. C’est precisementlorsqu’on peut ignorer le terme d’acceleration (encore appele « terme inertiel »)dans l’equation du mouvement des particules qu’on parle de diffusion10.Lorsque la taille de la particule augmente, l’effet de la diffusion devient vite negli-geable par rapport aux autres mecanismes en jeu : le mouvement brownien n’estplus perceptible aux echelles macroscopiques. Dans le cas de la sedimentation departicules en suspension, il apparaıt une borne superieure sur la taille de la parti-cule, qu’on appelle la limite colloıdale et qui est typiquement de l’ordre du micron.Au-dessus de cette taille, la gravite l’emporte sur la diffusion et les particules sedeposent au fond du recipient ; en-dessous, le mouvement brownien est suffisantpour maintenir les particules en suspension.Pour resumer, la diffusion est un mouvement aleatoire et statistiquement isotrope ;le deplacement moyen est ainsi nul11. La diffusion n’est la principale cause dumouvement que pour des situations ou l’inertie est negligeable (en pratique desobjets de petite taille, inferieure au micron), et a des echelles assez petites pourque la convection n’entre pas en jeu. La dependance R(t) ∼

√2dDt du depla-

cement quadratique moyen montre que la diffusion n’est un moyen de transportrelativement efficace qu’aux temps courts (ou, de facon equivalente, aux petitesechelles spatiales) puisque la vitesse apparente R(t)/t ∼ 1/

√t decroıt au cours du

temps.

9 La viscosite dynamique de l’eau vaut h 5 1,14 10−3 kg/m s. Pour un grain approximativementspherique, de rayon r0 exprime en microns, la formule d’Einstein (4.3) donne ainsiD ≈ (2/r0) 10−13

m2/s.10 Nous verrons aux paragraphes § 2.3 et § 5.4 que des mecanismes differents peuvent conduire ades comportements macroscopiques similaires a celui d’un nuage de particules diffusant, et decritspar des equations macroscopiques analogues. La diffusion que nous decrivons dans le paragraphepresent est la diffusion « thermique » trouvant son origine dans l’agitation thermique des moleculeset au cours de laquelle les particules diffusant ne ressentent aucune acceleration.11 La lenteur et l’isotropie de la diffusion expliquent que dans les organismes vivants, des mecanismesde transport « actifs », plus rapides et realisant des mouvements orientes, aient tres souvent pris lerelais ; citons par exemple le transport advectif dans les flux circulatoires et le transport intracellu-laire assure par des proteines motrices.

Page 117: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

4. LA DIFFUSION 117

2. L’équation de diffusion et ses variantes

2.1. Loi de Fick et équation de diffusion

La description la plus simple et la plus proche de l’observation courante de ladiffusion (FIG. 4.2, par exemple) est l’equation aux derivees partielles decrivantl’evolution de la concentration locale c de l’espece diffusant :

≠tc(r,t) 5 DDc(r,t) (4.5)

ou D est l’operateur Laplacien : D 5 ∇2, s’ecrivant D 5 ≠2xx 1 ≠2

yy 1 ≠2zz en

coordonnees cartesiennes. La justification de cette description macroscopiqueapparaıt mieux lorsqu’on decompose l’equation precedente, connue sous le nomd’equation de diffusion, en deux equations couplees. La premiere est une equationde conservation12, exprimant simplement la conservation du nombre total de par-ticules diffusant en l’absence de source ou de reaction chimique les consommant :

≠tc(r,t) 1 ∇.j(r,t) 5 0 (4.6)

Elle fait intervenir la densite de courant j de l’espece envisagee (j a la dimen-sion d’une vitesse multipliee par une concentration). Cette equation doit etrecompletee par une equation constitutive donnant l’expression de j en fonctionde la concentration, indispensable pour obtenir un systeme ferme. C’est cetteseconde equation qui rend compte du mecanisme physique a l’origine du mouve-ment. L’equation phenomenologique proposee par Fick en 1855 est une relation dereponse lineaire, exprimant que j est proportionnel au gradient de concentration(« le debit d’une riviere est d’autant plus grand que la pente est plus forte ») :

j 5 −D∇c (4.7)

En reportant cette expression, maintenant connue sous le nom de loi de Fick,dans l’equation de conservation de la particule, on obtient l’equation de diffusionusuelle ≠tc 5 DDc. L’equation de conservation (eventuellement completee par unterme de source) est finalement assez triviale ; c’est la loi de Fick qui est specifiquedu phenomene de diffusion. A ce stade, elle est purement empirique et descriptive ;il nous faudra attendre le paragraphe § 4.1, et plusieurs decennies apres Fick, pourlui donner un fondement microscopique explicatif.Notons que l’equation de la diffusion est formellement identique a l’equation dela chaleur de Fourier (c y est simplement remplacee par la temperature et D parla conductivite thermique du milieu). Comme cette derniere, elle doit etre com-pletee par des conditions initiales c(r,t 5 0) et par des conditions aux bords dudomaine spatial ou se produit le phenomene, si celui-ci est fini, ou bien par lecomportement requis a l’infini, si ce domaine n’est pas borne. Ces conditions aux

12 Pour l’obtenir, on ecrit que la variation ≠tRV c(r,t)ddr du nombre de particules dans un volume

V ne peut etre due qu’aux particules qui sont entrees ou sorties, autrement dit au fluxHdV j.dS a

travers la surface fermee dV entourant V (l’element de surface dS etant oriente suivant la normalesortante). Un resultat (tres utile) d’analyse vectorielle permet de transformer cette integrale desurface en integrale de volume

RVr.j(r,t)ddr. Le volume V etant ici arbitraire, on en tire la forme

locale de l’equation de conservation : ≠tc 1r.j 5 0.

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118 INVARIANCES D’ÉCHELLE

limites influencent de facon cruciale les solutions13. La FIG. 4.5 illustre de faconintuitive l’evolution spatio-temporelle associee a l’equation de diffusion14.

x

c(x)

Figure 4.5. Interprétation graphique de l’équation de diffusion ≠tc 5 D≠2xxc. Sont représentées une condition initiale

localisée c (trait continu), sa dérivée spatiale ≠xc (trait pointillé) et le terme D≠2xxc (tiretés). On visualise directement

(flèches) comment ce terme fait évoluer c.

2.2. Invariance d’échelle de l’équation de diffusion

L’equation de diffusion usuelle ≠tc 5 DDc presente une invariance d’echelle parrapport a la transformation (r → lr, t → l2t), dont la mise en evidence suffit aetablir la loi de diffusion normale15.Placons-nous en dimension 1 pour simplifier, et considerons un profil initial delargeur l et de masse A0 : on peut l’ecrire c0(x) 5 (A0/l)f0(x/l) ou f0 est asupport borne et normalisee a 1. La solution de ≠tc 5 D≠2

xxc s’ecrit comme leproduit de convolution c(x,t) 5 [Gt ∗ c0](x) du profil initial par la fonction deGreen de l’equation de diffusion (solution pour un profil initial d(x)) :

Gt(x) 51√

4pDte−x

2/4Dt(

limt→0Gt(x) 5 d(x)

)(4.8)

Explicitement :

c(x,t) 5∫ ∞

−∞e− 1

2

hx√2Dt

−z l√2Dt

i2 A0f0(z)√4pDt

dz (4.9)

13 Au moins d’un point de vue mathematique, puisque ces conditions aux limites vont determinerl’espace fonctionnel auquel les solutions vont appartenir.14 Un resultat technique associe a l’equation de diffusion (il derive du principe du maximum pourles equations paraboliques) est le suivant : si c1(x,t) et c2(x,t) sont deux solutions bornees de l’equa-tion de diffusion ≠tc 5 D≠2

xxc sur la droite reelle, telles que c1(x,t 5 0) 6 c2(x,t 5 0) en toutpoint x, alors c1(x,t) 6 c2(x,t) a tout instant ulterieur [Protter et Weinberger 1967]. En prenantc1 ≡ 0, ce resultat assure qu’une solution c(x,t) reste positive si elle l’est a l’instant initial (ce quiest satisfaisant si c decrit une concentration). Ce theoreme assure egalement que c(x,t) reste borneesuperieurement par la valeur maximale supx c(x,t 5 0) prise par sa condition initiale.15 Plus explicitement, posons T 5 l2t, R 5 lr et Cl(R,T ) 5 c(r,t). Alors, quel que soit l > 0, Clverifie la meme equations : ≠tCl 5 DDCl.

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4. LA DIFFUSION 119

f0 etant a support borne, on peut faire tendre l/√

2Dt vers 0 dans l’integrand.On obtient alors une solution c∞(x,t) ≡ Gt(x) invariante par la transformation[x → lx,t → l2t], i.e. presentant la meme invariance d’echelle que l’equation dedepart. Plusieurs points meritent d’etre soulignes :

– on a conservation de la masse A0 totale animee d’un mouvement de diffusion ;ce point s’avere essentiel pour les proprietes enoncees ici (nous en verrons uncontre-exemple au § 5.4) ;

– l’exposant g 5 1 de la dependance temporelle de la loi de diffusion (de formegenerale R2(t) ∼ tg, voir § 5) s’obtient par simple analyse dimensionnelle del’equation d’evolution ;

– la solution asymptotique c∞(x,t), invariante d’echelle, a perdu la memoire dela condition initiale l : du fait de la conservation de la masse totale A0, celle-cipouvait, a t 5 0, etre concentree en 0 ou etalee sur une largeur l, du momentqu’elle etait localisee dans un intervalle borne ; la largeur initiale l du profil n’ap-porte qu’une correction O(l/

√2Dt) negligeable aux temps longs. Cela explique

que cette solution c∞(x,t) coıncide avec la fonction de Green Gt(x) ;

– cette solution asymptotique invariante d’echelle peut s’obtenir directement apartir de l’equation de diffusion, precisement en exploitant un argument d’auto-similarite. On introduit la variable auxiliaire z 5 x/

√2Dt et la fonction auxi-

liaire w, a travers la relation (en dimension d 5 1) :

c∞(x,t) 5A√2Dt

w

(x√2Dt

)(4.10)

Le facteur devant w decoule de la normalisation de c (densite de probabilite depresence). L’invariance d’echelle de la diffusion signifie que le phenomene peutetre decrit avec la seule variable z. Il est immediat de montrer que la fonction w

verifie :

w′′ 1 zw′ 1 w 5 0

w(±∞) 5 0∫ ∞

−∞w(z)dz 5 1

w paire

(4.11)

On est ramene a la resolution d’une equation differentielle ordinaire, qui enl’occurrence s’integre sans difficulte :

w(z) 51√2pe−z

2/2 d’ou c∞(x,t) 51√

4pDte−x

2/4Dt (4.12)

Le regime diffusif, invariant d’echelle, prend place a des echelles de temps inter-mediaires, assez longues pour que l’influence transitoire de la condition initialeait disparu (i.e. t � l2/2D), mais avant d’avoir atteint un etat trivial ou c ≈ 0ou bien de ressentir des effets de confinement lies a la taille finie L du domaineaccessible au mouvement de diffusion (i.e. t� L2/2D).

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120 INVARIANCES D’ÉCHELLE

L’equation de diffusion ne dit rien sur les trajectoires d’une particule. Le com-portement d’echelle (Dx)2 ∼ Dt decoulant de cette equation conduit a une diver-gence aux temps courts de la « vitesse apparente » Dx/Dt. Ce comportement reveleseulement l’existence d’un phenomene specifique a l’echelle microscopique, qu’ilfaudra decrire dans un tout autre cadre, ce que nous verrons au § 3.

Couplage diffusifDans une description macroscopique, de type « milieu continu », un terme de diffusionapparaıt dans l’equation d’evolution d’une observable A(r,t) des que le couplage desdifferentes regions du systeme reste local. Detaillons ce point. Le couplage le plusgeneral (en dimension 1, pour simplifier le propos) s’ecrit sous la forme integrale :

≠tA(x,t) 5Z ∞

−∞K(x− y)A(y,t)dy 1 · · · (4.13)

ou (. . .) represente les termes associes a des interactions locales qui ne nousoccuperons pas ici. Le noyau K(x − y) decrit le poids avec lequel la valeur de Aen y contribue a l’evolution de sa valeur en x, avec

R∞−∞ K(x)dx 5 0 (terme de

couplage) etR∞−∞ xK(x)dx 5 0 (par symetrie). En reecrivant le terme integralR∞

−∞ K(y)A(x− y,t)dy et en remplacant A par son developpement de Taylor en x (onsupposera que le noyau K decroıt assez rapidement a l’infini), le premier terme nonnul est

≠tA(x,t) 5 K2≠2xxA(x,t) 1 · · · avec K2 5

12

Z ∞

−∞x2K(x)dx (4.14)

Si le couplage est a courte portee (c’est-a-dire si le noyau K(x) est pique autour de0, de largeur assez faible), ce terme est dominant et on peut negliger ceux faisantintervenir les derivees d’ordre superieur de A : on parle de couplage diffusif.On voit ici apparaıtre une interpretation intuitive de la presence d’un tel terme pro-portionnel a ≠2

xxA non seulement dans l’equation decrivant la diffusion d’une popu-lation de particule (A etant alors la concentration locale instantanee en particules)mais aussi, par exemple, dans l’equation decrivant l’evolution de l’aimantation (quiserait alors A) d’un systeme de spins (theorie de Landau16).Dans certaines situations, le terme suivant du developpement, K4≠

4xxxxA ou

K4 5R∞−∞ x4K(x)dx/4! doit etre pris en compte. C’est le cas de systemes ou se

surimposent un couplage excitateur a courte portee et un couplage inhibiteur a pluslongue distance (ou l’inverse), ce qui se rencontre par exemple dans les systemes dereaction-diffusion ou dans les reseaux de neurones [Murray 2002], [Nicholson 2001].Nous verrons egalement, au chapitre 8, que des termes de ce type apparaissent dansla modelisation de certains mecanismes de croissance.

2.3. Diffusion dans un milieu poreuxUne question d’interet aussi bien pratique que fondamental est le comportementdiffusif observe lorsque le fluide ou la diffusion a lieu est confine dans un milieuporeux.Si la structure formee par les pores (espaces accessibles a la diffusion) est fractale(df < 3), l’exposant de la loi de diffusion est affecte : R(t) ∼ tg/2 avec g < 1

16 L’energie libre de Landau F (m) contient la description de la dynamique de relaxation vers l’equi-libre du systeme, a travers l’equation ≠tm 5 − dF /dm ; le terme (∇m)2 dans F (m) donne un termeDm dans l’equation d’evolution (voir § 4.3 du chapitre 3).

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4. LA DIFFUSION 121

(la diffusion est ralentie) ; c’est un exemple de diffusion anormale, que nousetudierons plus en detail au § 5.Nous allons ici envisager la situation complementaire, dans laquelle l’espace inter-stitiel reste de dimension fractale egale a 3. En particulier, sa fraction volumiqueest finie et definit un coefficient a 5 Vpores/Vtotal appele la porosite du milieu. Laconcentration c0 de particules diffusantes, non nulle dans les regions occupeespar le fluide, passe brutalement a une valeur nulle dans les regions solides, inac-cessibles a la diffusion. La difficulte est alors de resoudre l’equation de diffusion≠tc0 5 DDc0 dans la region occupee par le fluide, donc en prenant en compte lesconditions aux bords prescrites par la geometrie tres compliquee et irreguliere duvolume accessible Vpores et de sa surface Spores.

Figure 4.6. À gauche, le milieu poreux réel : les interstices(en blanc) sont remplis de fluide dans lequel prend place ladiffusion ; celle-ci est décrite par l’équation ≠tc0 5 DDc0complétée par des conditions aux bords, reflétant le faitque les particules, de concentration locale c0(r,t), nepénètrent pas dans les régions solides (en noir), où l’onaura donc c0 5 0. À droite, le milieu effectif homogène ;on décrit l’état local par une concentration c 5 〈c0〉, obte-nue par une moyenne spatiale sur un volume représentatif.La diffusion est alors régie par l’équation ≠tc 5 DeffDc.Le coefficient de diffusion effectif Deff, proportionnel à D,rend compte de façon moyenne du ralentissement de ladiffusion dû au moindre espace réellement accessible ; ladiffusion reste ici normale.

La solution est de contourner cettedifficulte, en remarquant que la quan-tite interessante, par exemple d’unpoint de vue experimental, est uneconcentration c 5 〈c0〉 obtenue enmoyennant la concentration reelle departicules diffusant dans un volumerepresentatif qui inclue des regionssolides (ou c0 ≡ 0) et des pores oula diffusion prend place (FIG. 4.6).Ce volume doit etre choisi assez petitpour conserver une dependance spa-tiale significative mais plus grand quela taille typique des pores, de facona obtenir une fonction reguliere danstout l’espace. L’etape essentielle del’analyse va etre d’etablir l’equationeffective a laquelle obeit cette variablemoyenne c, en effectuant la procedurede moyenne des le niveau de l’equa-tion de conservation et de la loi de Fick.La procedure de moyenne spatiale de la loi de Fick j 5 −D∇c0 fait intervenirune relation 〈j〉 5 −D〈∇c0〉 5 −D∇〈c0〉 1 I ou I est une integrale de sur-face decrivant la contribution additionnelle a 〈∇c0〉 venant des limites de la zoneaccessible au liquide (surface Spores) [Nicholson 2001]. Cette integrale apparaıtcomme un champ moyen venant ajouter son influence a celle du terme de reponselineaire −D∇〈c0〉 (terme de reponse a l’echelle ou le milieu apparaıt homogene).On montre qu’elle s’ecrit I 5 (1−k)D∇〈c0〉 avec k 5 1 si le milieu est homogene(et k < 1 si le milieu est poreux). On obtient ainsi une loi de Fick 〈j〉 5 −kD∇〈c0〉pour les grandeurs moyennes, ou kD ≡ Deff < D est le coefficient de diffusioneffectif du milieu poreux.Cette approche de champ moyen est fondee sur le fait que la physique, tres com-pliquee a l’echelle microscopique (ici l’echelle des pores) se simplifie a une echellesuperieure. Elle a ete developpee dans de nombreux contextes, allant de la diffu-sion dans des roches poreuses [Lehner 1979] a la diffusion dans des tissus vivantsde structure complexe, comme par exemple le cerveau [Nicholson 2001]. Sous le

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122 INVARIANCES D’ÉCHELLE

nom d’homogeneisation17, elle a ete formalisee et justifiee mathematiquement pardivers theoremes etablissant la validite des moyennes effectuees et leurs proprietes[Gray et Lee 1977] [Bensoussan et al. 1978].Le resultat est ainsi remarquablement simple : a l’echelle ou le milieu permettantla diffusion apparaıt homogene (mais de porosite, i.e. de densite relative a < 1),la diffusion qui y prend place obeit a une equation de diffusion effective :

≠tc 5 DeffDc avec Deff ≡D

l2 (4.15)

Le coefficient de diffusion effectifDeff est proportionnel au coefficient de diffusion« brut » D. On l’ecrit generalement sous la forme Deff 5 D/l2 ou l, appele latortuosite, est un parametre geometrique du milieu. Ce parametre l peut etreajuste a partir d’observations ou calcule grace a une modelisation locale du milieuporeux et de la perturbation qu’il induit sur une marche aleatoire. Des argumentstheoriques [Archie 1942] suggerent une relation l2 ∼ a−b, ou 1/2 < b < 2/3,mais une analyse locale du milieu, par exemple numerique, reste le moyen plusefficace de determiner Deff, sachant a priori que ce coefficient a bien un sensd’apres l’analyse ci-dessus.La procedure d’homogeneisation que nous venons de decrire apparaıt comme unetheorie de champ moyen. Comme telle, elle echoue lorsque le phenomene devientcritique, ici lorsque l’espace interstitiel devient fractal, du fait de l’existence depores de toutes tailles ; la diffusion est alors anormale et son exposant g < 1s’ecarte de la valeur g 5 1 obtenue « en champ moyen ».

D’autres « equations de diffusion en milieu poreux »Le terme de « diffusion dans un milieu poreux » recouvre plus generalement desphenomenes et des equations varies. Il faut en particulier distinguer deux classes deproblemes.La premiere concerne la diffusion de substances dans un substrat poreux entiere-ment rempli de fluide. Comme le mouvement brownien, cette diffusion decoule del’agitation thermique des molecules du fluide. La porosite du milieu surimpose uneffet d’inhomogeneite statique a la diffusion brownienne prenant place a l’interieurdes pores.Dans la situation que nous venons de presenter, le confinement des particules diffu-santes est assez faible pour ne pas detruire la diffusion normale ; la geometrie parti-culiere du substrat est simplement prise en compte dans une renormalisation18 ducoefficient de diffusion D.

17 D’autres procedures d’homogeneisation se rencontrent dans le contexte de la diffusion, parexemple lorsqueD est une fonction spatialement periodique, oscillant tres rapidement (i.e. de petitelongue d’onde). On utilise une approximation de champ moyen (au sens large) consistant a negligerles correlations entre la fonction D et la fonction j. La moyenne de la loi de Fick fait ainsi interve-nir l’approximation 〈j/D〉 ≈ 〈(1/D)〉 〈j〉, ce qui conduit a l’expression Deff 5 〈(1/D)〉−1 pour lecoefficient de diffusion effectif du milieu, 〈 〉 designant ici une moyenne spatiale sur la periode de D.18 Le terme de « renormalisation » est employe ici dans le sens de « redefinition d’un parametrepour y inclure de facon effective des influences qu’on ne veut pas decrire explicitement » (detailsmicroscopiques ou correlations, par exemple). Cette procedure, introduite il y a plus d’un siecle dansun contexte hydrodynamique, n’est pas sans lien avec les methodes de renormalisation presentees auchapitre 3 : elle en constitue l’etape elementaire. Elle est suffisante dans les situations non critiques,comme ici, ou une separation des echelles rend possible une procedure d’homogeneisation.

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4. LA DIFFUSION 123

Cette diffusion interstitielle peut s’ecarter d’une diffusion normale si le substratporeux presente une structure fractale : dans ce cas, l’existence de pores de toutestailles invalide la procedure d’homogeneisation (laquelle repose sur l’hypothese quele milieu est homogene a une echelle mesoscopique – celle qui intervient dans l’ope-ration de moyenne definissant c 5 〈c0〉). C’est alors l’exposant de la loi de diffu-sion, et pas seulement le coefficient de diffusion D, qui doit etre modifie (diffusionanormale).La seconde classe de problemes concerne le deplacement diffusif d’un liquide dansune roche poreuse initialement seche. Il s’agit d’un phenomene hydrodynamique,et le mouvement est decrit a une echelle bien superieure a celle des molecules dufluide. Il y a ici a l’œuvre une vraie « force de diffusion » (la pression hydrostatique)et pas seulement la force entropique (purement statistique) a l’origine de la loi deFick ; cette force intervient par l’intermediaire de la loi de Darcy, donnant un courantproportionnel au gradient de pression.Il peut y avoir une barriere a la penetration du liquide, lorsque les pores sont trespetits ou relies entre eux par d’etroits canaux ; on adopte alors des modeles de perco-lation, tels ceux qui seront presentes au chapitre 5 [Gouyet 1992].Meme lorsque cet effet d’obstruction est negligeable, un autre effet, induisant uneasymetrie dynamique, va conduire a une modification de l’equation de diffusion :lorsqu’un pore se vide, un mince film de liquide demeure sur ses parois (FIG. 4.7).

Sol

Rocheporeuse

Coucheimperméable

Eau

Profondeur

t = 0 t > 0

Eau

Pores«mouillés»

Figure 4.7. Diffusion dans un substrat de roche poreuse limitée horizontalement, à grande profondeur, parune couche imperméable. La situation initiale est un surplus localisé de liquide (masse A0, extension linéairehorizontale l). L’évolution de ce profil par diffusion de liquide dans la roche poreuse est affectée par la rétentiond’un film liquide dans les pores qui se vident, entraînant une diminution de la masse de liquide en mouvement. Ils’ensuit une mémoire de la condition initiale et du temps écoulé, qui affecte la loi de diffusion (voir aussi § 5.4).

L’equation de conservation doit etre modifiee pour prendre en compte cette retention(d’eau ou d’autres liquides), en faisant dependre le coefficient de diffusion du sensde variation de la concentration locale : si ≠tc > 0, ce qui correspond a un afflux deliquide, on prend D 5 D0 ; si ≠tc > 0, ce qui correspond a un assechement local, onprend D 5 D0(1 1 e). On aboutit a une equation, dite equation des milieux poreux,de la forme :

≠tc 5 D(≠tc) Dcn (4.16)

ou l’exposant n depend des caracteristiques du milieu poreux, en particulier de sadeformabilite [Barenblatt 1987] [Goldenfeld 1992]. C’est un modele typique de

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124 INVARIANCES D’ÉCHELLE

phenomene spatio-temporel hors d’equilibre, comme nous en rencontrerons au cha-pitre 8. On a n 5 2 dans l’exemple presente sur la FIG. 4.7 ; on parle alors de diffusionnon lineaire. Le cas n 5 1, correspondant a un milieu elastoplastique et appele equa-tion de Barenblatt, nous interessera davantage : sa comparaison avec l’equation dediffusion habituelle permet d’identifier les consequences de la non-conservation dela masse en mouvement ; en particulier, la masse initiale va etre un des parametrescontrolant l’evolution. La forme particuliere du coefficient de diffusion, dependanten chaque point et a chaque instant de la tendance avec laquelle la densite localede liquide evolue, detruit l’auto-similarite de la diffusion normale. Les solutions pre-sentent un comportement appele « diffusion anormale » que nous presenterons au§ 5.4. Le traitement complet de ce second exemple de diffusion en milieu poreux,tres different de celui que nous venons de presenter au debut de ce paragraphe, sefait dans le cadre d’une theorie d’echelle, en utilisant une methode de renormalisa-tion pour determiner la loi de diffusion observee. Nous renvoyons a la presentationdetaillee exposee dans l’ouvrage de Goldenfeld [Goldenfeld 1992].

3. Descriptions stochastiques de la diffusion

3.1. Marche aléatoire idéale et diffusion normale

Le modele microscopique de base pour decrire la diffusion d’une particule estcelui de la marche aleatoire, dite ideale ou brownienne pour la differencier desmodeles avec biais, avec distributions larges des pas ou avec correlations, que nousverrons plus loin (§ 5). Dans la version la plus simple, la particule effectue dessauts de longueur a et de duree t, de direction choisie au hasard (distribution deprobabilite constante) et independamment de celles des pas precedents ; la miseen œuvre numerique simplifie encore ce modele en restreignant les pas aux liensd’un reseau carre (d 5 2) ou cubique (d 5 3) de parametre a. La position al’instant t 5 nt est ainsi donnee par le vecteur aleatoire :

X(nt) 5n∑i51

ai (4.17)

ou les vecteurs (ai)i sont des vecteurs aleatoires independants et identiquementdistribues, de longueur a et de moyenne nulle (distribution isotrope). Il est imme-diat de montrer que le deplacement moyen est nul :

〈X(nt)〉 5 0 (4.18)

Du fait de l’independance des pas successifs, leurs variances vont simplement s’ad-ditionner, ce qui conduit a la loi de diffusion decrivant le deplacement quadratiquemoyen R(t) de la particule :

R2(nt) ≡ 〈X2(nt)〉 5 na2 ≡ 2dDt (4.19)

Le coefficient de diffusion D, decrivant le comportement moyen aux temps longs,est ainsi relie aux caracteristiques microscopiques du mouvement, a savoir la lon-gueur a et la duree t des pas elementaires dans le modele considere :

D ≡ a2

2dt(en dimension d) (4.20)

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4. LA DIFFUSION 125

On peut generaliser le modele sans affecter le resultat asymptotique en autorisantune certaine dispersion de la longueur et de la duree des pas. La diffusion restenormale, et on a encore une expression D 5 a2/2dt, ou t est maintenant la dureemoyenne et a2 la variance de la longueur des pas19. Nous verrons au paragraphe 5qu’il est essentiel que a et t soient finis pour que la diffusion reste normale. Onpeut egalement relacher la condition d’independance statistique des pas (ai)i dela marche aleatoire : on montre facilement que des correlations de portee finien’affectent pas le caractere normal de la diffusion.Partant de ces modeles, la notion de diffusion normale s’etend aux situations ou ledeplacement quadratique moyen R(t) 5 〈X2(t)〉1/2, autrement dit l’ecart type dela position instantanee, se comporte asymptotiquement comme

√t. La loi d’echelle

R(t) ∼√

2dDt n’est alors valable que dans la limite t → ∞, en pratique pour destemps suffisamment longs. Le coefficient de diffusion apparaıt ainsi comme unecaracteristique non seulement moyenne, mais aussi asymptotique, du mouvementde diffusion :

D 5 limt→∞

R2(t)2dt

(4.21)

En presence d’un champ exterieur, le modele pertinent devient une marche alea-toire biaisee. En dimension 1 (pour simplifier l’analyse), la probabilite d’un pasvers la droite devient p 5 (1 1 e)/2 ou 0 < |e| � 1 ; les pas vers la droite sontfavorises si e > 0. Un mouvement de derive apparaıt :

〈X(t)〉 5 (2p− 1) at/t 5 eat/t (4.22)

La variance continue cependant a suivre une loi de diffusion normale :

〈X2(t)〉 − 〈X(t)〉2 5 p(1 − p) ta2/t 5 2Dt(1 − e2) (4.23)

Si e � 1, on observera aux temps courts (t � t∗(e) 5 t/e) un mouvement dif-fusif, alors qu’on observera aux temps longs (t � t∗(e)) un mouvement de derivecorrespondant a un mouvement deterministe uniforme de vitesse v(e) 5 ea/t.Le comportement observe resulte ainsi de la superposition de deux lois d’echelled’exposants differents, dont les poids relatifs varient avec l’echelle (temporelle)d’observation ; on observe ainsi un crossover au voisinage de t 5 t∗(e), d’autantplus long a observer que le biais e est faible.La diffusion de la particule peut egalement etre decrite par sa densite de proba-bilite20 P (r,t), telle que P (r,t)ddr soit la probabilite que la particule se trouve al’instant t dans un volume ddr autour de r. La densite P (r,t) (d’integrale norma-lisee a 1) est donc simplement la loi de probabilite de la variable aleatoire X(t).

19 Lorsqu’on considere la diffusion d’une molecule parmi d’autres (l’exemple de l’encre dans l’eau,§ 1.5), cette formule est encore valable en prenant pour a le libre parcours moyen l (distance par-courue par la molecule entre deux collisions) et pour t le temps de libre parcours moyen (t 5 l/vthou vth est la vitesse thermique de la molecule) ; il vient ainsi 2dD 5 lvth.20 On note ici r l’argument de la distribution P (.,t), pour distinguer la variable aleatoire X(t) desvaleurs r qu’elle peut prendre.

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126 INVARIANCES D’ÉCHELLE

L’observable X(t) etant une somme de variables aleatoires identiques, statisti-quement independantes, centrees (dans le cas sans biais) et de variance a2 finie,un resultat general de la theorie des probabilites, le theoreme-limite central21,assure que la distribution P (r,t) est asymptotiquement gaussienne, centree et devariance 2dDt :

P (r,t) ∼(

14pDt

)d/2

e−r2/4Dt (t→ ∞) (4.24)

Effet de correlations non critiquesSoit (ai)i une suite de variables aleatoires centrees, statistiquement stationnairesau sens ou les distributions conjointes sont invariantes par translation des indices.En particulier, la fonction de correlation 〈ai.aj〉 ne depend que de |j − i| et nous lanoterons C(j − i). En calculant explicitement la variance de

Pni51 ai, on montre que

si les correlations decroissent assez vite pour que la sommeP∞k5−∞ |C(k)| soit finie,

alors X(t 5 nt) 5Pni51 ai suit une loi de diffusion normale, avec

D 51

2dt

∞Xk5−∞

C(k) (4.25)

Bien qu’il y ait ici des correlations entre les pas successifs, le comportement auxtemps longs est celui d’une marche ideale : R(t) ∼

√2dDt, ou l’expression de D

montre qu’il s’agit d’un coefficient de diffusion effectif prenant en compte l’effet descorrelations. On retrouve la formule D 5 a2/2dt si les pas sont independants (on aalors C(n) 5 0 des que |n| > 1). Si les correlations sont positives, la diffusion estacceleree (D > a2/2dt). Si au contraire les correlations sont negatives, la particuletend a revenir sur elle-meme et la diffusion est ralentie (D < a2/2dt), neanmoinssans que l’exposant 1/2 de la loi de diffusion s’en trouve modifie.

3.2. Modélisation mathématique : le processus de Wiener

Dans leur definition, les marches aleatoires ci-dessus dependent explicitement del’echelle a laquelle on decrit le mouvement (pas de temps Dt 5 t) et des detailsspecifiques du mouvement a cette echelle (distribution des longueurs et des orien-tations des pas, par exemple). Leurs comportements aux temps longs, caracterisespar une loi de diffusion normale, sont neanmoins tres similaires, voire identiquesdes que les coefficients de diffusion sont egaux. Une idee naturelle est de cherchera unifier les marches aleatoires conduisant a une meme loi de diffusion dans unedescription en temps continu, valable a toutes les echelles. Il apparaıt vite qu’unnouvel objet mathematique est necessaire pour reproduire les proprietes particu-lieres des mouvements diffusifs, a savoir le caractere aleatoire des trajectoires etle fait qu’elles soient continues mais nulle part derivables.

21 Nous l’enoncerons avec ses generalisations et ses implications au § 5.2.

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4. LA DIFFUSION 127

Ce modele en temps continu, connu sous le nom de processus de Wiener, et noteWD(t) est entierement defini22 par les proprietes suivantes (enoncees en dimen-sion d 5 1) [Wiener 1976] [Wax 1954] :

1. il est statistiquement stationnaire ;2. ses trajectoires sont continues ;3. W (0) 5 0 ;4. si t1 < t2 � t3 < t4,WD(t4)−WD(t3) etWD(t2)−WD(t1) sont statistiquement

independants ;5. WD(t) −WD(s) est gaussien, centre, de variance 2D|t− s| ;On etend ce processus en dimension d en considerant que les d composantes dumouvement (sur chaque axe de coordonnees) sont des processus de Wiener inde-pendants. En pratique, il nous suffira de nous souvenir de l’absence de correlationstemporelles et de la distribution, gaussienne, de ce processus :

PD(r,t) 5(

14pDt

)d/2

e−r2/4Dt (4.26)

Il faut noter que cette distribution est egale, pour toute valeur de t, a la distri-bution asymptotique des marches aleatoires etudiees au paragraphe precedent.Comme telle, elle est exactement invariante d’echelle :

pour tout k > 0, kd PD(r,t) 5 PD(kr,k2t) (4.27)

Un resultat mathematique assure que la dimension fractale de presque toutes lestrajectoires du processus de Wiener est df 5 2 (en dimension d � 2) [Falconer1990].Le processus de Wiener constitue une idealisation : le phenomene de diffusion reelpresente en effet une echelle de coupure naturelle, le libre parcours moyen de laparticule diffusant (entre deux collisions), mais cette echelle est si petite que l’ap-proximation continue est excellente. Le caractere non rectifiable des trajectoiresdoit ainsi etre vu comme une pathologie de cette idealisation, ne devant donc pasheurter le sens physique.Le processus de Wiener apparaıt comme un soubassement universel, commun atoutes les descriptions discretes de meme dimension d et de meme loi de diffu-sion asymptotique. Le processus de Wiener apparaıt aussi comme la limite conti-nue des modeles discrets de diffusion (marches aleatoires). Nous montrons auparagraphe suivant que les idees de renormalisation presentees au chapitre 3 per-mettent d’etablir que le processus de Wiener et les marches aleatoires browniennesappartiennent effectivement a la meme classe d’universalite, celle de la diffusionnormale. Elles vont egalement prescrire la procedure de passage a la limite conti-nue permettant de faire emerger le processus de Wiener. La situation est ici suffi-samment simple pour qu’on puisse affirmer sans autre calcul qu’il faut faire tendreconjointement la longueur a et la duree t des pas vers 0, avec a2/2dt 5 cte 5 D(en dimension d).

22 Il suffit d’ailleurs de supposer la stationnarite et que WD(t 5 1) est de variance 2D pour avoirl’expression generale de la variance. La coherence de ces hypotheses est assuree par le fait qu’unesomme de variables gaussiennes independantes est encore une variable gaussienne, de variance lasomme des variances. Un theoreme dont la version generale est due a Kolmogorov assure que celadefinit un processus unique.

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128 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Renormalisation d’une marche aleatoireL’equivalence asymptotique des marches aleatoires ideales et du processus de Wienerest un resultat qu’on peut obtenir au terme d’une approche par renormalisation. Ils’agit de montrer que les marches aleatoires peuvent etre reparties en classes d’uni-versalite, de telle sorte que la loi de diffusion soit asymptotiquement la meme danschaque classe.La premiere etape est de construire une transformation de renormalisation Rk,K , adeux parametres k et K reels positifs, agissant sur la densite de probabilite p(r,t)suivant23 :

(Rk,Kp)(r,t) 5 kd p(kr,Kt) (en dimension d) (4.28)

Si p est definie sur un reseau de parametre a, avec une discretisation temporelle depas t, on voit que Rk,Kp sera definie sur un maillage spatio-temporel plus fin, deparametres (a/k,t/K). De ce fait, les points fixes p∗ de Rk,K , i.e. les densites deprobabilite verifiant Rk,Kp∗ 5 p∗, seront necessairement des processus continus. Ledeplacement quadratique moyen R(p,t) (la notation fait explicitement apparaıtre queR(t) est une fonctionnelle de p) satisfait :

R[Rk,Kp,t] 5 k−1 R(p,Kt) (4.29)

On verifie que le processus de Wiener WD, de distribution PD, est point fixe destransformations Rk,k2 , ce qui est une autre facon de formuler son caractere auto-similaire24. Nous avons vu au chapitre 3 le role et l’interpretation des points fixesdes transformations de renormalisation comme representants typiques des classesd’universalite. Dans le cas present, en notant pa,t la distribution de probabilite d’unemarche aleatoire de parametres Dx 5 a et Dt 5 t, on a la propriete suivante deconvergence vers le point fixe WD sous l’action de la renormalisation :

limk→∞

Rk,k2 pa,t 5 limn→∞

Rnk0 ,k20

pa,t 5 PD ou D 5a2

2dt(4.30)

L’egalite intermediaire est obtenue en notant qu’iterer la renormalisation revienta modifier ses parametres d’echelle : Rn

k0 ,k205 Rkn

0 ,k2n0

. Elle prouve l’equivalenceasymptotique des marches aleatoires discretes et des processus de Wiener ; le proces-sus de Wiener WD apparaıt comme le representant typique des processus de diffusionnormale de coefficient de diffusion D. On voit sur cet exemple que la renormalisationest une methode generale, constructive et demonstrative, pour effectuer correcte-ment les passages a la limite continue.L’approche par renormalisation peut paraıtre une sophistication inutile pour la ques-tion de l’equivalence asymptotique des marches aleatoires browniennes et des proces-sus de Wiener, laquelle peut se montrer directement. Par contre, la meme methode,et elle seule, peut repondre a cette question pour des marches aleatoires plus com-

23 Notons qu’on peut tout aussi bien definir l’action de la renormalisation sur les fonctions caracte-ristiques [Lesne 1995].24 On peut poursuivre l’etude avec l’analyse des autres transformations Rk,K . Les mouvements brow-niens fractals d’exposant H, que nous introduirons au § 5.5, sont points fixes de la transformationRk,k1/H, alors que le vol de Levy d’exposant a (§ 5.2) est point fixe de Rk,ka . L’auto-similarite deces processus se traduit ainsi en invariance par renormalisation exploitable pour tester la robus-tesse des lois de diffusion associees par rapport a diverses perturbations des regles de deplacementelementaires (i.e. de la dynamique au temps courts).

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4. LA DIFFUSION 129

plexes (la mise en œuvre est evidemment plus technique). Par exemple, elle permetde montrer qu’une memoire finie (la distribution d’un pas dependant de la realisationdes k pas precedents, k < ∞) et qu’un « faible desordre » (probabilites de transitionaleatoires, variant a chaque pas de temps) ne detruisent pas la diffusion normale[Bricmont et Kupiainen 1990].Notons bien que la renormalisation qui vient d’etre presentee ne s’applique qu’a desprocessus markoviens25. Nous verrons au § 3-5 du chapitre 6 que d’autres methodesdoivent etre developpees dans le contexte des marches aleatoires auto-evitantes dememoire infinie.

4. D’une échelle à l’autre

Nous avons rencontre, au cours des paragraphes precedents, plusieurs descriptionsde la diffusion de particules (molecules d’encre, grains de resine) dans un fluideporteur, par exemple de l’eau. Elles s’accordent respectivement avec des expe-riences realisees a des echelles differentes et s’inscrivent donc dans des cadrestheoriques differents, adaptes chacun a l’une de ces echelles. Avant d’aller plusloin, resumons les resultats obtenus.• Dans le contexte experimental du mouvement brownien, la loi de diffusionR(t) ∼

√2Ddt est obtenue a partir de l’analyse statistique de trajectoires indivi-

duelles (§ 1.2). Ces trajectoires sont auto-similaires : ce sont des structures frac-tales de dimension df 5 2 (§ 1.3).• On peut aussi observer l’evolution26 sous l’action de la diffusion d’unepopulation de particules, presentant initialement un profil de concentrationlocalise (en marche de longueur finie, FIG. 4.2, ou ponctuel : c(x,0) 5 d(x)).A l’echelle macroscopique, on obtient aux temps longs un profil regulierc∞(x,t) 5 (4pDt)−1/2 exp[−x2/4Dt]. A l’echelle microscopique, on voit sedevelopper une interface fractale (§ 1.4).• La loi phenomenologique j 5 −D∇c proposee par Fick amene a decrirel’evolution macroscopique de n’importe quel profil de concentration par l’equationde diffusion ≠tc 5 DDc (§ 2.1) ; cette equation est invariante par la transformationd’echelle (r → kr, t→ k2t) pour tout reel k > 0 (§ 2.2).• Plusieurs modeles microscopiques ont ete proposes pour decrire la diffusionnormale d’une particule : des marches aleatoires, en temps discret (§ 3.1), et leprocessus de Wiener, en temps continu (§ 3.2).

25 Un processus markovien est un processus stochastique (Xt)t sans memoire, au sens ou la connais-sance d’un etat instantane Xt0 5 x0 suffit a predire le comportement ulterieur, pour tout t > t0,sans qu’il soit necessaire de connaıtre tout l’historique de l’evolution aux temps t < t0, ni meme unepartie de cet historique. Cette propriete s’explicite sur les probabilites conditionnelles :

Prob(Xt 5 x|Xt0 5 x0,Xt1 5 x1, . . . ,Xtn 5 xn) = Prob(Xt 5 x|Xt0 5 x0)pour tout entier n > 1 et tous temps t > t0 > t1 > · · · > tn.

26 Une nouvelle interpretation de la loi de diffusion R(t) ∼√

2Dt apparaıt : si on se place en unpoint x0, la concentration c(x0,t) croıt par rapport a t tant que x0 > R(t) 5

√2Dt ; lorsque la taille

caracteristique R(t) du profil depasse x0, la tendance s’inverse.

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130 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Nous allons voir dans ce paragraphe § 4 qu’on peut donner une remarquablecoherence a ces resultats apparamment disparates, en montrant qu’ils peuventse deduire les uns des autres, grace a des simplifications ou des approximationsjustifiees par le changement d’echelle spatio-temporelle de la description. En par-ticulier, on montre ainsi que c’est le meme coefficient de diffusion D qui intervientdans ces differents enonces.

4.1. Comment sont reliées les différentes descriptions

Les differentes descriptions du phenomene de diffusion peuvent s’ordonner parechelles spatiales croissantes.

Figure 4.8. Modèle microscopique imagé (gazde Lorentz) expliquant la notion de chaosmoléculaire, à l’origine du caractère aléatoire dela diffusion. Ici, une particule se déplace dansun réseau de centres diffuseurs fixes, avec les-quels elle subit des collisions élastiques : savitesse, bien définie entre les collisions, resteégale à sa vitesse thermique. Malgré le carac-tère parfaitement déterministe de ce modèle, latrajectoire est imprédictible à long terme, carchaque collision double l’incertitude angulairesur la condition initiale, due au bruit inévitable-ment présent dans le système. En pratique, lephénomène observé aux temps longs et auxgrandes échelles spatiales a toutes les carac-téristiques d’un mouvement stochastique. Onmontre qu’il suit une loi de diffusion normale,sous certaines conditions sur la densité desobstacles, qui ne doivent être ni trop nombreux(piégeage) ni trop clairsemés (mouvement rec-tiligne). Ces propriétés sont encore observéeslorsque la particule se déplace dans un nuaged’autres particules elles-mêmes mobiles.

Nous distinguerons trois niveaux de descrip-tion.• Le premier niveau, le plus elementaire,correspond a la description deterministe etreversible qu’on peut faire (au moins formel-lement) a l’echelle moleculaire. On considereles equations du mouvement de toutes lesmolecules dans le cadre de la dynamique clas-sique : le systeme est decrit par un hamilto-nien et l’equation d’evolution associee, pourla distribution de probabilite de presencedans l’espace de phase de tous les degres deliberte moleculaires, est connue sous le nomd’equation de Liouville ; celle-ci est equiva-lente a l’ensemble des equations de la dyna-mique moleculaire. Les interactions entre lesmolecules sont decrites par un potentiel spe-cifique, mais celui-ci etant a courte portee,on assimile generalement ces interactions ades collisions elastiques ; le potentiel n’inter-vient alors plus que de facon effective, dansla section efficace de collision des molecules.Compte tenu de l’amplification exponentielledu moindre bruit a chaque collision et dugrand nombre de particules (donc de colli-sions), l’evolution resultante a un temps decorrelation extremement court et elle devienttres rapidement impredictible a long terme :on parle de chaos moleculaire (FIG. 4.8).L’evolution de la population de molecules apparaıt aux echelles superieures commetotalement aleatoire et seules ses proprietes statistiques peuvent etre decrites.L’analyse theorique du modele deterministe presente sur la FIG. 4.8 (une desvariantes d’un modele connu sous de le nom de gaz de Lorentz) peut etre effec-tuee en utilisant les outils de la theorie du chaos (§ 2 du chapitre 9) ; elle montreque le mouvement aymptotique resultant suit une loi de diffusion normale dansune gamme appropriee de concentration des obstacles, et on sait alors relier le

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4. LA DIFFUSION 131

coefficient de diffusion a d’autres caracteristiques statistiques de la dynamiquemicroscopique.Une des implications de ce resultat est de reconcilier determinisme et stochas-ticite : lorsqu’elles qualifient la modelisation d’un phenomene, ces deux notionssont en partie subjectives, car elles dependent de l’echelle qui y est considereecomme l’echelle elementaire, et de l’echelle a laquelle le modele doit predire lecomportement. La diffusion est sur ce point exemplaire, et nous allons voir alter-ner descriptions deterministes et descriptions stochastiques a mesure qu’on aug-mente l’echelle minimale de la modelisation.• Du fait de l’impredictibilite des mouvements moleculaires que nous venons dementionner, il est plus simple et surtout plus operationnel d’adopter un modelestochastique, valable aussi bien a l’echelle d’une molecule, mentalement differen-ciee des autres, qu’a l’echelle d’un grain en suspension dans une population demolecules de solvant. On peut adopter un modele discret (marche aleatoire), oubien un modele continu (processus stochastique). Montrer l’equivalence des deuxdescriptions requiert un passage a la limite soigneux : on doit faire tendre conjoin-tement la longueur a des pas de la marche aleatoire et leur duree t vers 0, aveca2/2dt5 D.Nous avons vu qu’il est fructueux d’utiliser une methode de renormalisation(§ 3.2).Notons qu’a la difference de la description dynamique (i), cette description sto-chastique (ii) est seulement cinematique, au sens ou les regles elementaires dedeplacement sont donnees. Par exemple, dans des situations plus complexes que lasimple diffusion, les mecanismes physiques additionnels (piegeage par adsorption,champ exterieur, par exemple) et les contraintes (parois, volume exclu) interve-nant dans la diffusion sont simplement pris en compte, de facon effective, dansle choix des regles probabilistes regissant le deplacement de la particule. La vali-dite de ce choix peut etre etablie par une comparaison des predictions du modelestochastique avec les comportements observes ou, mieux, par un ancrage dans ladescription dynamique au niveau moleculaire que nous avons presentee au premierpoint.La description stochatique peut egalement se situer a une echelle spatiale un peusuperieure, oubliant les trajectoires individuelles pour decrire l’evolution de ladistribution de probabilite. Illustrons ce point sur l’exemple le plus simple, celuid’une marche non biaisee en dimension 1 ; durant le pas de temps Dt, la particulea une probabilite 1/2 de faire un pas Dx a droite et une probabilite 1/2 de faire unpas Dx a gauche, avec (Dx)2 5 2DDt, ce qui s’ecrit :

P (x,t 1 Dt) 512P (x− Dx,t) 1

12P (x 1 Dx,t) (4.31)

Un developpement limite au second ordre, valable a une echelle ou Dx et Dt sontdes quantites infinitesimales, donne sans difficulte l’equation :

≠tP 5Dx2

2Dt≠xxP 5 D ≠xxP (4.32)

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132 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Ce type de raisonnement peut se faire de facon plus rigoureuse et dans un cadreplus general ; il conduit a l’equation de Fokker-Planck, qui coıncide simplementavec l’equation de diffusion dans l’exemple envisage.Nous renvoyons a [Risken 1984] [Van Kampen 1981] [Lemarchand et Vidal 1988][Honerkamp 2002] pour une presentation plus complete de cette derivation, deses conditions de validite et des approximations qu’elle implique.

Theorie cinetiqueMentionnons qu’une description statistique d’une population de N particules,plus complete que celle de Fokker-Planck, se ferait en termes des densites deprobabilite conjointes f1(r,v,t), f2(r1,v1,r2,v2,t), . . . fN (r1,v1, . . . ,rN ,vN ,t) des2d degres de liberte27 (r,v) des differentes particules. Par exemple, on definitf2(r1,v1,r2,v2,t)dr1dv1dr2dv2 comme etant la probabilite de trouver, a l’instant t,deux particules respectivement en r1 (a dr1 pres) avec une vitesse v1 (a dv1 pres)et en r2 (a dr2 pres) avec une vitesse v2 (a dv2 pres). Cette approche est connuesous le nom de theorie cinetique. Introduite par Boltzmann, elle a ete developpeeessentiellement pour les gaz, milieux assez dilues pour que les interactions molecu-laires n’y jouent pas un role dominant. Elle s’ancre directement dans la descriptionmoleculaire deterministe. On deduit ainsi de l’equation pour fN (l’equation de Liou-ville) une hierarchie d’equations decrivant l’evolution des differentes distributions(fj)j>1, la hierarchie BBGKY (des noms de Born, Bogoliubov, Green, Kirkwood etYvon) : il s’agit d’un systeme infini d’equations couplees et on parle de hierarchie carl’equation d’evolution de fj fait intervenir des fonctions (fk)k>j d’ordres superieurs.Diverses relations de fermeture sont introduites pour obtenir un systeme fini etferme (mais en general approche) d’equations. Dans un gaz dilue, on a recours al’approximation de Boltzmann ou l’on neglige les correlations entre deux particulesavant leur collision, ce qui s’ecrit f2(r1,v1,r2,v2,t) ≈ f1(r1,v1,t)f1(r2,v2,t). La justi-fication en est le chaos moleculaire illustre sur la FIG. 4.8 et la rapide decorrelationdes mouvements qu’il induit [Gaspard et al. 1998]. En utilisant cette approximation,la premiere equation de la hierarchie, decrivant l’evolution de f1, devient une equa-tion fermee : l’equation de Boltzmann. En presence d’un champ de force exterieur a(champ rapporte a l’unite de masse), cette equation s’ecrit :

≠tf1 1 v.rr f1 1 a.rv f1 5 I(f1) (4.33)

ou I decrit la contribution des collisions (integrale de collisions) ; elle s’exprime(exactement) en fonction de f2 mais l’approximation de Boltzmann la transformeen une fonctionnelle quadratique en f1 (integrale dans l’espace des vitesses). Cetteapproche cinetique, explicitant les vitesses moleculaires, permet de decrire les phe-nomenes de relaxation vers l’equilibre thermique. Apres integration sur les vitesses,on retrouve28 de facon mieux justifiee et mieux ancree microscopiquement l’equa-tion de Fokker-Planck. La theorie cinetique est ainsi une voie menant de la dyna-mique moleculaire newtonienne a l’equation de Fokker-Planck. Plus generalement,

27 A la difference de la vitesse d’une particule brownienne, qui depend de l’echelle a laquelle onl’observe, les vitesses moleculaires sont des degres de liberte bien definis (les molecules etant icidecrites comme des points materiels).28 La procedure, connue sous le nom de methode de Chapman-Enskog, consiste en un developpementperturbatif de l’equation de Boltzmann autour de l’etat d’equilibre, dans lequel la distribution desvitesses est maxwellienne (f0(v) ∼ exp[−mv2/kT ] a un facteur de normalisation pres) ; on reporteainsi une expression de la forme f1(r,v,t) 5 P (r,t)f0(v)[1 + ordres superieurs] dans l’equationde Boltzmann. Apres integration sur v, on obtient a l’ordre le plus bas l’equation de Fokker-Planckmentionnee ci-dessus pour la fonction inconnue P (r,t).

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4. LA DIFFUSION 133

c’est une theorie qui s’inscrit « entre » la description microscopique deterministe,hamiltonienne, et la description par des champs spatio-temporels continus (theoriehydrodynamique dans le cas de fluides, § 5 du chapitre 9), permettant de deriver cettederniere a partir des equations microscopiques et de la completer, le cas echeant, pardes informations sur les fluctuations et les correlations des vitesses moleculaires.Ce resume ne fait qu’esquisser la portee de la theorie cinetique ; nous renvoyonsa [Resibois et De Leener 1977], [Cercignani 1990] et [Dorfman 1999] pour unepresentation plus substantielle.

• Enfin, a notre echelle macroscopique, on adopte une description spatio-temporelle globale d’une population de particules. L’observable est alors laconcentration c(r,t) telle que c(r,t)ddr soit le nombre de particules dans levolume ddr, considere comme elementaire a l’echelle de la description maissuffisamment grand a l’echelle microscopique pour contenir beaucoup de parti-cules (hypothese dite des milieux continus). Lorsque N est assez grand et queles particules interagissent assez peu, on peut identifier a un facteur de normali-sation pres cette concentration c avec la distribution de probabilite P (r,t) de lamarche aleatoire, d’ou l’equation ≠tc 5 DDc, d’apres l’equation de Fokker-Planck.L’argument invoque dans cette identification est la loi des grands nombres. Nousvoyons ainsi le lien entre la description microscopique en termes de trajectoireset la description macroscopique en termes de concentrations ; il montre l’identitedes coefficients de diffusion intervenant d’une part dans la loi de diffusion, d’autrepart dans l’equation de la diffusion. Un seul coefficient, le coefficient de diffusionD de la particule dans le fluide porteur, decrit donc l’essentiel du mouvementde diffusion, quelle que soit l’echelle d’observation. Notons qu’a cette echellemacroscopique, on retrouve une equation d’evolution deterministe, mais elle estalors irreversible, a la difference des equations moleculaires (voir § 4.3).L’equation de diffusion ≠c 5 DDc, dont nous venons de montrer le fondementmicroscopique, peut aussi etre introduite, ou completee, de facon phenomenolo-gique, comme elle l’a ete historiquement par Fick. On peut alors mieux interpreterla loi de Fick j 5 −D∇c : le courant j apparaıt comme un courant de probabilite.L’origine de la « force » apparente conduisant les particules en sens inverse du gra-dient vers les regions les moins peuplees est donc uniquement statistique ; cet effetn’apparaıt qu’en presence d’un grand nombre de particules. Il n’y a aucune forcereelle s’exercant au niveau des molecules et il n’existe donc pas de « force de dif-fusion » ; on rencontre parfois le terme de force entropique pour designer cet effetstatistique perceptible a l’echelle macroscopique. Nous montrerons au § 4.3 quecette origine microscopique et statistique des mouvements de diffusion se refleteegalement dans l’irreversibilite de l’equation de diffusion.

Loi des grands nombresCette loi est l’exemple le plus connu de loi statistique. Elle enonce que la moyennearithmetique d’une suite (xi)i de variables aleatoires, statistiquement independantes,identiquement distribuees et de variance finie, converge en loi vers sa moyenne sta-tistique, c’est-a-dire vers un nombre : limN→∞ N−1PN

i51 xi 5 〈x〉. Elle justifie lefait, souvent observe, qu’une multitude d’evenements microscopiques aleatoirespuisse produire un comportement macroscopique deterministe et reproductible. Parexemple, la moyenne d’une suite de tirages a pile (0) ou face (1) tend vers 1/2 quand

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134 INVARIANCES D’ÉCHELLE

le nombre de tirages tend vers l’infini. Cette loi permet en particulier l’identificationde la frequence d’un evenement X ∈ [x,x 1 Dx] avec sa probabilite P (x)Dx. Defacon analogue, on l’applique ici a la variable aleatoire xi(x,t) valant 1 si la particulei se trouve entre x et x 1 Dx a t ; on a donc Prob[xi(x,t) 5 1] 5 P (x,t)Dx etPNi51 xi(x,t) 5 NAv c(x,t)Dx si on mesure la concentration c en nombre de moles

par unite de volume. Le theoreme-limite central assure ensuite que l’ecart entreNAv c(x,t) et NP (x,t) se comporte comme

√N .

4.2. Formule d’Einstein et théorème de fluctuation-dissipation

A l’echelle macroscopique, l’effet des collisions microscopiques, qui se reflete dansle coefficient de diffusion D, se traduit egalement dans la viscosite du milieu etdans le coefficient de friction G d’une particule qui s’y deplace : lorsque la particuleest animee de la vitesse v, la force de frottement visqueux s’exercant sur elle est−Gv.On peut voir cette force comme l’effet « coherent » des collisions moleculaires surla particule en mouvement, produisant un travail, alors que la diffusion en decrit lacontribution « incoherente ». Cette communaute d’origine entre la diffusion et laviscosite se traduit dans la formule d’Einstein, deja rencontree au § 1.2 [Einstein1905].Sa forme la plus generale, aussi connue sous le nom de theoreme fluctuation-dissipation dont elle est un cas particulier, s’ecrit29 :

D 5kT

G(4.34)

D s’exprime en m2/s et G en kg s−1. Soulignons que G, tout comme D, caracte-rise le couple particule-milieu : G est en effet relie a la viscosite30 (dynamique)h du fluide environnant par la formule de Stokes, s’ecrivant G 5 6pr0h pour uneparticule spherique de rayon r0. Cette derniere relation conduit a la forme plusexplicite, mais aussi plus specifique, de la formule d’Einstein :

D 5kT

6pr0h(4.35)

29 Cette relation peut rester verifiee dans certaines situations ou la diffusion est anormale, le coef-ficient de diffusion D(t) ≡ R2(t)/2dt et la mobilite 1/G dependant alors du temps [Oshanin et al.2003].30 h est une quantite effective, apparaissant dans la description macroscopique deterministe qu’estl’hydrodynamique ; son unite est la poise, egale a 0,1 kg/m s = 0,1 Pa s (par exemple h vaut 1millipoise pour l’eau a 20◦). C’est dans ce contexte, pour des spheres macroscopiques, que Stokesdemontra « sa » formule ; de ce fait, elle ne s’applique pas a des atomes, ni dans des milieux dilues oul’approximation des « milieux continus », sous-jacente a l’hydrodynamique, ne s’applique plus. Plusprecisement, h est introduite de facon phenomenologique par l’intermediaire d’une loi similaire ala loi de Fick et decrivant le transport de la quantite de mouvement : Jij 5 −h ∇ivj ou v estle champ de vitesse (macroscopique) du fluide et J le tenseur decrivant la densite de courant dequantite de mouvement, engendree dans le fluide en reponse au gradient de vitesse (Jij est uneforce par unite de surface, autrement dit une pression). Neanmoins, l’origine de la viscosite resideen fin de compte dans les collisions des molecules du fluide les unes sur les autres et sur les objetsqu’on y deplace. Toute l’analyse presentee dans ce paragraphe § 4 pour le coefficient de diffusionpeut ainsi se transposer a la viscosite h.

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4. LA DIFFUSION 135

On peut exprimer la constante de Boltzmann k en fonction de la constanteR 5 8,314 des gaz parfaits (connue experimentalement bien avant les premieresinvestigations sur le mouvement brownien) et du nombre d’Avogadro NAv, ce quidonne la formule d’Einstein d’origine :

D 5RT

6pr0h NAv(4.36)

utilisee par Perrin pour determiner la valeur du nombre d’Avogadro NAv. La quan-tite 1/G, appelee la mobilite de la particule, apparaıt31 comme un coefficient dereponse lineaire : si la particule est soumise a une force exterieure F , sa vitesseprend la valeur F /G. On peut ainsi reecrire la formule d’Einstein :

reponse ≡ v 5DF

kT≡ D excitation

kT(4.37)

Cette relation est a mettre en regard des relations de reponse lineaire rencontreesau chapitre 1 (par exemple § 1.1.7). Par ailleurs, D apparaıt comme un coefficientdecrivant les fluctuations spontanees de vitesse. Dans le cas de la diffusion d’unemolecule de fluide « marquee » (au moins mentalement) au milieu d’autres mole-cules identiques, on peut en effet demontrer32 la formule de Green-Kubo reliant Da la fonction d’auto-correlation temporelle des vitesses moleculaires (en dimen-sion d) :

D 51d

∫ ∞

0〈v0.vt〉 dt (formule de Green-Kubo) (4.38)

La mobilite 1/G peut etre vue comme une « susceptibilite » puisqu’on peut ecrire,dans le cadre de la reponse lineaire, que ≠vi/≠Fj 5 dij/G, ou v est la vitesse queprend la particule lorsqu’on lui applique une force F . La formule de Green-Kubo,reecrite

∫∞0 〈v0.vt〉 dt 5 d kT (1/G), est ainsi exactement analogue a la relation

entre la fonction de correlation de l’aimantation (quantifiant les fluctuations) etla susceptibilite magnetique x dans un systeme de spins (a n composantes) :∫ ∞

0〈M(0).M(r)〉 ddr 5 n kT x (4.39)

Ces deux relations sont des cas particuliers du theoreme fluctuation-dissipation,lequel assure qu’a l’equilibre thermique, la fonction de reponse G (reponse lineairea un champ exterieur) et la fonction de correlation C des fluctuations (en l’ab-sence de champ) sont proportionnelles [Kubo 1966]. En d’autres termes, lors-qu’on reste dans le cadre de la reponse lineaire, c’est-a-dire proche de l’equilibre,le systeme reagit a une perturbation exterieure de la meme facon qu’il reagit a sesperturbations internes spontanees. L’enonce le plus general et le plus courammentrencontre de ce theoreme s’exprime en fonction des composantes de Fourier desfonctions C et G. En notant kTf la perturbation exterieure (dependant en gene-ral du temps) et q la quantite conjuguee (au sens ou kTfq est une energie) sur

31 L’equation du mouvement de la particule, de masse m, s’ecrit m .v 5 F − Gv ; en regime station-

naire, il vient v 5 F /G.32 La demarche utilisee part de l’equation de Liouville (i.e. de la dynamique moleculaire) ; elle peutse generaliser a de nombreux autres phenomenes de transport [Kubo et al 1991] [Dorfman 1999].

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136 INVARIANCES D’ÉCHELLE

laquelle on mesure la reponse du systeme, on montre33 :

C(v) 52kTv

Im[G(v)] avec

{〈q(v)〉 5 G(v)f(v)

〈q(v)q(v′)〉 5 2pd(v 1 v′)C(v)(4.40)

ou les egalites de droite sont l’expression dans l’espace conjugue des relationsC(t) 5 〈q(t)q(0)〉 et 〈q(t)〉 5

∫∞0 G(t − s)f(s)ds definissant les fonctions C(t) et

G(t).Pour conclure, nous regrouperons les differentes expressions du coefficient de dif-fusion que nous avons rencontrees (en dimension d), en partant des descriptionsmicroscopiques vers les descriptions macroscopiques et phenomenologiques :

1. D relie a d’autres proprietes statistiques de la dynamique microscopique deter-ministe (caracteristiques chaotiques) ;

2. D 5 (1/d)∫∞

0 〈v(0).v(t)〉dt (formule de Green-Kubo) ;

3. D 5 a2/2dt (marche aleatoire de pas de longueur a et de duree t) ;4. D parametrant le processus de WienerWD ;5. D 5 kT/G (formule d’Einstein) ;6. j 5 −D∇c (loi de Fick) ;7. D 5 limt→∞R

2(t)/2dt (loi de diffusion pour une particule) ;8. P∞(r,t) 5 (4pDt)−d/2 exp[−r2/4Dt] (distribution de probabilite asympto-

tique pour une diffusion istotrope en dimension d).

1. et 2. proviennent de l’analyse statistique, respectivement dans le cadre de latheorie ergodique et dans celui de la theorie cinetique, de la dynamique microsco-pique deterministe ; 3. et 4. decoulent d’une description purement stochastique ;6. est phenomenologique ; 5. exprime une coherence « inter-echelles » des descrip-tions microscopique et macroscopique. Enfin, les relations asymptotiques 7. et8., directement comparables a l’observation, peuvent s’obtenir dans chacune desdifferentes descriptions, ce qui montre l’equivalence des differentes facons d’in-troduire le coefficient de diffusion D.

Theorie du mouvement brownienNous avons commence ce chapitre par les resultats experimentaux de Perrin sur lemouvement brownien de particules colloıdales (« grains de resine ») (§ 1.2). Nousavons ensuite donne une description cinematique des trajectoires, aleatoires, des par-ticules par un processus stochastique, le processus de Wiener (§ 3). Nous allons icidecrire plus precisement la dynamique des grains et son ancrage microscopique dansl’agitation thermique des molecules d’eau. Nous allons retrouver des relations dejarencontrees, par exemple la formule d’Einstein, mais avec ici un point de vue qui nouspermettra de les demontrer. L’objectif est egalement d’inclure le mouvement brow-nien dans le cadre operatoire rigoureux de l’integration stochastique, donnant lesnouvelles regles de calcul a utiliser, par exemple pour resoudre une equation d’evolu-tion impliquant un mouvement brownien ou plus largement un bruit thermique [Wax1954] [Gardiner 1985].

33 Ce theoreme, demontre pour des situations d’equilibre, a ete recemment generalise : il restepartiellement valable dans certains etats stationnaires mais hors d’equilibre, parcourus de flux, telsqu’on en observe dans les systemes dissipatifs entretenus [Ruelle 1998].

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4. LA DIFFUSION 137

L’equation d’evolution du grainLe point de depart de l’analyse theorique est l’explication physique du mouvementbrownien : elle se resume a dire que les trajectoires irregulieres et aleatoires du grainsont entierement determinees par les collisions sur ce grain des molecules d’eau enagitation thermique. L’idee est alors de decomposer la force qui s’exerce sur le grainen deux contributions :

– une composante deterministe −Gu ou G est le coefficient de friction du grain dansle fluide environnant ;

– une composante aleatoire que nous noterons b, de moyenne nulle par construction,appelee une force de Langevin.

Comme nous l’avons deja souligne au § 4.2 en introduisant G, ces deux composantesont la meme origine, a savoir les collisions des molecules du fluide sur le grain. Lapremiere decrit la contribution resultante deterministe, la seconde decrit la partiefluctuante. L’equation d’evolution de la vitesse u du grain, de masse m, s’ecrit alors :

m.u 5 −Gu 1 b (4.41)

Le cœur de l’analyse va ainsi etre de preciser les caracteristiques de ce « bruit » b,puis d’integrer (4.41) pour en deduire les proprietes statistiques (observables) de latrajectoire r(t).Les differentes echelles de temps du mouvement brownienOn met en evidence trois echelles de temps caracteristiques :1. le temps de correlation t0 de la force aleatoire b ; il est relie au temps separant lescollisions entre les molecules d’eau (temps de libre parcours moyen), caracterisant ala fois le temps de relaxation du milieu apres le passage du grain et son temps d’auto-correlation. D’apres l’hypothese de chaos moleculaire (illustree sur la FIG. 4.8) ilest tres faible, de l’ordre de la picoseconde. Des qu’on est a une echelle de tempssuperieure a t0, on peut considerer que b(t) n’est pas correle aux vitesses u(s) auxinstants anterieurs (s 6 t) et ne presente aucune auto-correlation, ce qui s’ecrit pourdeux composantes i et j a des instants t et s : 〈bi(t) bj(s)〉 ≈ A2 dij d(t − s) ou laconstante A est, a ce stade, encore a determiner ;2. le temps de relaxation visqueuse tm 5 m/G ou m est la masse du grain. C’est letemps au bout duquel la trace des conditions initiales (u0, r0) a disparu, comme onpeut le comprendre en integrant formellement (4.41) :

u(t) 5 u0 e−Gt/m1

1m

Z t

0e−G(t−s)/m

b(s) ds (4.42)

ou u0 est la vitesse initiale du grain, bien determinee. tm est de l’ordre de la nanose-conde pour un grain de taille de l’ordre du micron diffusant dans de l’eau ;3. le temps tobs, en general superieur a la milliseconde, auquel on decrit le mouve-ment de diffusion du grain.Le bruit thermique : un bruit blancDans les situations ou l’on etudie ordinairement le mouvement brownien, on at0 � tobs ; il est alors legitime de remplacer la force aleatoire b par un terme Azavec, cette fois exactement, 〈zi(t)zj(s)〉 5 dij d(t − s). Ce bruit z est dit blancparce que son intensite est uniformement distribuee entre les differents modes deFourier, comme l’energie de la lumiere blanche est uniformement distribuee entre lesdifferentes ondes monochromatiques : on a en effet 〈zi(v)zj(v′) 5 2pdijd(v 1 v′).

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138 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Il est ainsi equivalent de dire que le bruit est blanc ou qu’il est isotrope, stationnaireet non correle en temps. Cette condition le definit entierement si on suppose de plusque le bruit est gaussien et centre, puisqu’un processus gaussien est entierementprescrit par la donnee de sa moyenne et de sa fonction de correlation. On peut alorsexploiter (4.42). Il vient tout d’abord 〈u(t)〉 5 u0 e−Gt/m : la vitesse moyenne dugrain est asymptotiquement nulle, en pratique nulle des que t � tm. On exprimeensuite les correlations de la vitesse du grain :

〈ui(t)uj(s)〉 − 〈ui(t)〉〈uj(s)〉 5 A2

2mGdij

�e−G|t−s|/m − e−G(t1s)/m

�(4.43)

En t 5 s � tm, on obtient l’energie cinetique m〈u2/2〉 5 d A2/4G, a identifier avecl’energie thermique d kT /2 (theoreme d’equipartition de l’energie pour d degresde liberte de translation) ce qui montre que A 5

√2kTG. la composante aletoire

du mouvement brownien, ce qu’on appelle le bruit thermique, est ainsi entierementdetermine :

b 5√

2kTG z avec

(〈zi(t)〉 5 0, i 5 1 . . . d

〈zi(t)zj(s)〉 5 dijd(t− s)(bruit blanc) (4.44)

Resolution en regime suramortiDans la limite m → 0, l’expression des correlations de la vitesse du grain se sim-plifie en 〈ui(t)uj(s)〉 5

√2kT /G dij d(t − s), de facon coherente avec l’equation

u 5 G−1Az 5√

2kT /G z obtenue dans cette limite. Dans l’hypothese ou l’echellede temps a laquelle on decrit le mouvement est grande devant tm (en particulier,le grain ne doit pas etre trop lourd), on peut ainsi simplifier l’analyse en negligeantle terme inertiel m

.u dans (4.41). On parle de « regime suramorti » 34. L’integration

de l’equation d’evolution r 5√

2kT /Gz donne r(t) − r0 5√

2kT /GR t

0 z(s)ds.Il vient ainsi < [r(t) − r0]2 >∼ 2dkT t/G ; en comparant avec la loi de diffusion< (r(t) − r0)2 >∼ 2dDt, nous obtenons la relation de fluctuation-dissipationGD 5 kT . Cette relation reflete que le terme de bruit thermique (force de Langevin)et le coefficient de friction ont la meme origine : les collisions avec les moleculesen agitation thermique ; ils decrivent l’influence a deux echelles differentes d’unmeme phenomene. On verifie facilement que

R t0 z(s)ds 5W 1/2 (processus de Wiener

normalise) ; on retrouve ainsi que r(t) − r0 5√

2D W 1/2 5 WD. La descriptiondu mouvement brownien par un processus de Wiener s’appuie donc sur l’equipar-tition de l’energie des degres de liberte de translation, et elle fait intervenir deuxapproximations : d’une part, le terme de bruit est suppose « blanc », d-correle, cequi est justifie par le fait que les echelles de temps sont grandes devant le temps decorrelation des collisions moleculaires : tobs � t0 ; d’autre part, on neglige les effetsinertiels (regime suramorti), ce qui est justifie par la faible masse des particulesenvisagees : tobs � tm [Wang et Uhlenbeck 1945].

34 L’eq. (4.42) montre qu’un bruit blanc b(t) dans l’equation pour u(t) donne un bruit B(t) correledans l’equation pour r(t) : 〈Bi(t)Bj(s)〉 ∼ cte.dij e|t−s|/t a l’ordre dominant. Si tm � tobs, onpeut negliger l’auto-correlation du bruit B(t). C’est donc aussi cette approximation que recouvrel’hypothese de regime suramorti ; en d’autres termes, elle revient a eliminer de la description lesvariables relaxant rapidement vers 0.

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4. LA DIFFUSION 139

Partant de cette description du grain, il est enfin possible de deriver trois equations deForkker-Planck, decrivant l’evolution respectivement35 dans son espace des vitesses{u}, dans son espace de phase {u,r} et dans l’espace reel (espace de ses positions){r} [Chandrasekhar 1943]. La derniere prend la forme de l’equation de diffusionhabituelle36 : ≠P (r,t) 5 DDP (r,t) [MacQuarrie 1973].

4.3. Irréversibilité de la diffusion

Terminons en soulignant un aspect fondamental de la diffusion : son irreversibilite.Celle-ci est visible sur la forme meme de l’equation macroscopique de la diffusion≠tc 5 DDc, laquelle n’est pas invariante par renversement du temps : changer t en− t revient a changer D en −D. Or une equation de diffusion avec un coefficientde diffusion negatif n’a aucun sens physique, car ses solutions sont instables vis-a-vis de la moindre perturbation. Ce point peut se comprendre sans calcul : sur laFIG. 4.5, les fleches verticales verraient leur sens inverse, tout en restant propor-tionnelles a la derivee seconde du profil. Autrement dit, une telle equation decri-rait une amplification indefinie des plus infimes inhomogeneites, amplificationd’autant plus violente que l’inhomogeneite est localisee. Ainsi, lorsqu’on essaie deremonter le temps en suivant l’equation de diffusion, le moindre accident sur leprofil c(x,t) se traduit par une divergence au bout d’un temps t ∼ l2/2D si l estl’echelle caracteristique du defaut. Cette instabilite de la dynamique vis-a-vis dumoindre bruit reflete l’impossibilite physique de faire evoluer un profil de diffusionen sens inverse : il faudrait pour cela controler parfaitement la moindre source debruit.La description microscopique du mouvement brownien donne une formulationdifferente de la meme explication. Pour inverser le mouvement de diffusion d’unnuage de particules (molecules ou grains) et revenir au profil de concentrationinitial, il faudrait pouvoir a un instant t0 donne retourner exactement les vitessesde toutes les particules du systeme. Insistons : le retournement devrait affecternon seulement les vitesses des particules dont on observe la diffusion mais aussicelles des molecules du fluide ou se produit la diffusion, et dont l’agitation ther-mique, se transmettant aux particules au cours d’innombrables collisions, est al’origine meme de leur mouvement de diffusion. De plus, nous soulignons que ceretournement devrait etre exact et consister en un changement de signe v → −vsans la moindre fluctuation de direction et sans le moindre delai. Meme si un telretournement etait possible, il conduirait selon toute probabilite a une evolutionqui s’ecarterait tres rapidement de la « projection en sens inverse » de l’evolutionobservee entre 0 et t0, du fait de l’amplification de l’effet du bruit (inevitablementpresent dans le systeme) sur les trajectoires individuelles (FIG. 4.8).Cette explication de l’irreversibilite qu’on observe pour tous les mouvements dediffusion anticipe la notion de chaos que nous presenterons au § 2 du chapitre 9[Gaspard 1999]. Elle peut egalement s’enoncer dans le cadre de la mecanique

35 On parle parfois de particule brownienne lorsque le mouvement est decrit par sa position r(t)et de particule de Rayleigh lorsque le mouvement est decrit, plus finement, par sa vitesse v(t) [VanKampen 1981].36 Plus generalement, l’equation decrivant le mouvement brownien suramorti de la particule dansun champ de force F (r) s’ecrit : .

r 5 F (r,t)/G 1√

2kT/Gz ; le courant de probabilite associe,intervenant dans l’equation de Fokker-Planck ≠tP 5 −r.J , est alors J 5 FP/G − kTrP/G[Smoluchowski 1918].

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140 INVARIANCES D’ÉCHELLE

statistique37. Dans l’exemple de l’encre diffusant dans l’eau, le fait que l’evolutioninverse (de l’encre qui se reconcentrerait) ne soit jamais observee se justifie par lefait que le volume Vi occupe par l’etat initial dans l’espace de phase de toutes lesmolecules (de dimension 6N s’il y a N molecules) est infiniment plus petit que levolume Vf de l’ensemble des etats dilues. En effet, on peut montrer, en utilisantprecisement la reversibilite des mouvements moleculaires, que :

Prob(f → i)Prob(i→ f)

5VfVi

� 1 (4.45)

ou Prob(i → f) designe la probabilite d’observer une evolution de l’etat initialvers un etat dilue appartenant a Vf et Prob(f → i) celle d’une evolution en sensinverse, partant d’une configuration appartenant a Vf pour retourner a l’etatinitial. L’evolution d’un de ces etats dilues vers un etat ou l’encre est concentreen’est pas interdite, elle est simplement improbable38.La diffusion illustre donc de facon exemplaire la « degradation » des equationsd’evolution moleculaires, deterministes et reversibles lorsqu’on les ecrit a l’echelledes molecules, en processus irreversibles et aleatoires aux echelles superieures.Cette irreversibilite est ainsi un exemple de phenomene emergent, c’est-a-dire dephenomene n’apparaissant qu’a des echelles macroscopiques, du fait du grandnombre de degres de liberte couples qui entrent en jeu a ces echelles, et querien dans les mecanismes elementaires ne peut laisser presager.

5. Diffusion anormale

5.1. Origines possibles des anomalies

Nous avons obtenu au § 3.1 une expression D 5 a2/2dt, donnant le coefficient dediffusion D en fonction de la longueur moyenne a et de la duree moyenne t despas de la marche aleatoire decrivant le mouvement de diffusion. Cette expressionet les arguments utilises pour y parvenir mettent immediatement en evidence lessituations qui sortent de ce cadre, et dans lesquelles le mouvement ne suivra pasune loi de diffusion normale :

37 Cela n’a au fond rien de surprenant si l’on rappelle l’ancrage dynamique de la mecanique statis-tique ; la description temporelle est remplacee par une vision statistique, d’ou le temps a disparu,grace a l’hypothese ergodique de Boltzmann (§ 3.1 du chapitre 9).38 Cette explication, deja presente dans les travaux de Boltzmann, est maintenant reconnue commele fondement microscopique du Second Principe, pour les systemes fermes [Boltzmann 1902] [Lebo-witz 1993].

Pour eviter toute confusion, remarquons que le theoreme H de Boltzmann est un resultat dif-ferent : il decoule d’une approximation consistant a negliger les correlations de paires (hypothesede factorisation des distributions conjointes relatives a plusieurs particules), justifiee par le carac-tere melangeant de la dynamique microscopique, ce qu’on appelle l’hypothese de chaos moleculaire(FIG. 4.8, § 3.1 chapitre 9). C’est a priori un resultat « subjectif » concernant l’irreversibilite de notremodelisation, et il faut un peu de travail pour le relier a une irreversibilite « objective » du phenomeneconsidere.

Dans le meme ordre d’idees, nous mentionnerons que l’explication de l’irreversibilite est plussubtile et encore discutee dans le cas de systemes ouverts maintenus hors d’equilibre, dans lecontexte de la theorie du chaos. Nous renvoyons a deux ouvrages, [Mackey 1992] et [Dorfman 1999],pour une discussion approfondie de ces questions ; quelques-uns des textes fondateurs sont presentesdans [Barberousse 2002].

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4. LA DIFFUSION 141

1. une premiere situation est celle ou la duree moyenne des pas diverge : t 5 ∞.C’est le cas des qu’un mecanisme de piegeage peut retenir la particule en un sitedonne pendant des temps arbitrairement longs ;2. une seconde situation est celle ou la longueur des pas est de variance infinie :a2 5∞ ;C’est le cas des qu’un mecanisme engendrant de grandes excursions rectilignes sesuperpose a la diffusion thermique ;3. une troisieme situation est celle ou le temps de correlation diverge : des qu’onne peut plus affirmer que les pas a(s) et a(t 1 s) sont statistiquement indepen-dants pour tout instant t superieur a un certain t0 fixe, i.e. des que les correlationsentre les pas ont une portee temporelle infinie, l’exposant de la loi de diffusionest modifie. Un exemple typique est celui des marches aleatoires sans recouvre-ment utilisees pour modeliser la conformation spatiale des polymeres lineaires :elles ne peuvent se recouper, ce qui exige une memoire permanente du trace ante-rieur (voir chapitre 6). Il peut aussi exister des correlations negatives de porteeinfinie, auquel cas la diffusion sera ralentie. Nous avons montre au § 3.1 que, enrevanche, des correlations de portee finie n’affectaient pas le caractere normal dela diffusion ;4. une derniere situation est celle ou la marche aleatoire ne prend pas place dansun espace euclidien (de dimension d) mais est confinee sur un support de geome-trie fractale, de dimension df < d.On parle de diffusion anormale lorsque l’ecart a la marche aleatoire ideale vajusqu’a changer l’exposant de la loi de diffusion en R(t) ∼ tg/2, avec g fi 1 et0 � g � 2 ; les autres valeurs de g sont incompatibles avec la stationnarite dela statististique39. On parle de mouvement hyperdiffusif si g > 1 ; on comprendintuitivement, et nous le montrerons dans les paragraphes suivants, qu’on obtientun tel mouvement lorsque la marche aleatoire effectue de grands pas determi-nistes (cas 2. ci-dessus) ou presente des correlations positives de portee infinieassociees par exemple a une contrainte de volume exclu (cas 3.). Le mouvementest dit sous-diffusif si g < 1 ; on s’attend a observer un tel mouvement dans lescas ou la diffusion est ralentie par des phenomenes de piegeage (cas 1.), des cor-relations negatives (cas 3.) ou par la geometrie lacunaire du support (cas 4.). Desmodeles typiques de diffusion anormale viennent remplacer la marche brownienneet le processus de Wiener associes a la diffusion normale. Il s’agit d’une part desvols de Levy et d’autre part des mouvements browniens fractals, que nous allonspresenter dans les deux paragraphes suivants.

5.2. Vols de Lévy

Partant d’une marche aleatoire brownienne, un premier modele presentant uneloi de diffusion anormale est obtenue en conservant l’independance statistiquedes pas successifs (ai)i et leur isotropie, mais en prenant comme distribution

39 Considerons un processus reel X(t), centre pour simplifier. Le deplacement quadratique moyenverifie toujours, pour tous t1 > 0, t2 > 0 :

R2(t1 1 t2) ≡ 〈[X(t1 1 t2) −X(0)]2〉 6 2〈[X(t1 1 t2) −X(t1)]2〉 1 2〈[X(t1) −X(0)]2〉.La stationnarite du processus impose donc que : R2(t1 1 t2) 6 2R2(t1) 1 2R2(t2). Une loiR2(t) ∼ tg n’est donc compatible avec la stationnarite que si g 6 2.

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142 INVARIANCES D’ÉCHELLE

pour leur longueur une loi P (a) de variance infinie, sans echelle caracteristique,ce qu’on appelle une loi large. L’exemple typique est celui ou cette distributionprend asymptotiquement la forme d’une loi de puissance P (a) ∼ a−(11a) pour agrand, avec 0 < a � 2 (d’ou une variance infinie). La marche aleatoire obtenueavec une telle distribution pour les pas elementaires est appelee un vol de Levy40.Le theoreme-limite central generalise, que nous enoncons precisement ci-dessous,assure que les vols de Levy suivent asymptotiquement une loi de diffusion anormaleR(t) ∼ t1/a. De plus, la forme asymptotique de leur densite de probabilite s’ecritP (r,t) ∼ t−1/aLa(rt−1/a) ou La est une distribution particuliere appelee une loide Levy.

Figure 4.9. Schéma illustrant la différence entre une marche aléatoire idéale (à gauche) et un vol de Lévy (àdroite), dans laquelle la probabilité d’effectuer de grandes excursions rectilignes n’est pas négligeable ; cettedifférence se reflète quantitativement dans l’exposant g > 1 de la loi de diffusion R(t) ∼ tg/2 associée auvol de Lévy, à comparer à l’exposant g 5 1 de la loi de diffusion normale, observée entre autres dans lemouvement brownien.

Le theoreme-limite centralSoit (ai)i une suite de variables aleatoires reelles, independantes et identiquementdistribuees. On construit XN 5

PNi51 ai.

Si la variance Var(ai) 5 s2 est finie, la moyenne m 5 〈a〉 est egalement finie etle theoreme-limite central usuel enonce que [XN − Nm]/

√s2N tend en loi vers

la distribution gaussienne centree de variance 1 (encore appelee loi normale). Cetheoreme-limite est dit central parce qu’il enonce rigoureusement un principe omni-present dans la nature : des phenomenes elementaires aleatoires peuvent manifesterun comportement collectif regulier et deterministe ; on parle de loi statistique. Lesphenomenes critiques sont precisement ceux ou ce principe est mis en echec, soit dufait de la divergence de la portee des correlations, soit du fait de la distributions large(variance infinie) des evenements elementaires. C’est le second cas que nous allonsenvisager ici.

40 Si on prend pour distribution des pas une loi P (a) ∼ e−a/s, possedant une echelle caracteristiques finie, on obtient un vol de Rayleigh, lequel suit une loi de diffusion normale. On retrouve, entre levol de Rayleigh et le vol de Levy, le passage d’une loi exponentielle a une loi de puissance typiquementassocie a l’emergence de comportements critiques.

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4. LA DIFFUSION 143

Supposons que le comportement asymptotique de la distribution P (a) des variablesaleatoires ai soit maintenant une loi de puissance : P (a) ∼ |a|−(11a) pour |a| → ∞avec a > 0 (pour que P reste normalisable). Le moment 〈aq〉 diverge des que q > a.On distingue alors les trois cas suivants :

– si a > 2, on retrouve le comportement normal : la moyenne m et la variance s2

sont finies et XN −Nm ∼√s2N et le theoreme usuel s’applique ;

– si 1 < a < 2, la variance diverge mais la moyenne m est encore finie,et XN − Nm ∼ N1/a ; on peut enoncer un theoreme-limite generalise :(XN −Nm)N−1/a converge en loi vers la distribution de Levy La ;

– si 0 < a < 1, m n’est pas definie (ou diverge) et le comportement dominantest XN ∼ N1/a (remarquons que 1/a > 1) ; la generalisation du theoreme-limites’enonce alors : N−1/aXN converge en loi vers la distribution de Levy La.

Si on redonne aux pas leur duree dimensionnee t, il faut dans les formules prece-dentes remplacer N par t, m par m/t et s2 par s2/t2.La loi de Levy La, apparaissant ici comme une distribution asymptotique, a elle-memeun comportement en loi de puissance : La(x) ∼ |x|−(11a) pour |x| → ∞. On montre41

que la plus grande valeur xmax(t) prise par la suite (ai)i entre 0 et t se comportecomme t1/a, c’est-a-dire comme leur somme : les evenements rares dominent le com-portement collectif.

Les lois de Levy (La)a apparaissent comme une alternative des distributions gaus-siennes, remplacant ces dernieres lorsqu’on etend le theoreme-limite central aucas ou les variables aleatoires elementaires ont un comportement en loi de puis-sance, de variance infinie [Levy 1954]. Correlativement, elles sont stables par addi-tion des variables aleatoires correspondantes (tout comme les gaussiennes) : siX1

et X2 suivent des lois de Levy La, alors X1 1 X2 suit encore une loi de Levy La.Cette stabilite est en effet necessaire pour intervenir comme loi asymptotiquedans un theoreme-limite.Les lois de Levy sont definies non pas par leur densite de probabilite, mais defacon equivalente par leur fonction caracteristique fa (transformee de Fourier deLa) dont la forme est particulierement simple ; en nous limitant au cas des loiscentrees et symetriques et en notant Xa la variable aleatoire sous-jacente :

fa(u) ≡ 〈eiuXa〉 5 e−A|u|a (4.46)

On verifie que la forme asymptotique de la densite de probabilite La correspon-dante est une loi de puissance, proportionnelle a |x|−(11a) aux grandes valeursde x (mais La est continue en x 5 0). On retrouve facilement a partir de cetteexpression la « stabilite » deja mentionnee des lois de Levy (aussi appeles des loisstables pour cette raison). En termes mathematiques, cela revient a enoncer lastabilite par convolution de la forme parametrique des distributions de probabiliteassociees, equivalente a la stabilite par simple produit des fonctions caracteris-tiques. La densite ne s’explicite simplement que dans le cas ou a 5 1, donnantalors une loi de Cauchy (son graphe est egalement connu sous le nom de courbe

41 xmax(t) est telle que tR∞xmax(t) La(x)dx 5 1 : on a au plus une fois une valeur superieure a

xmax(t) entre 0 et t. En remplacant La(x) par son comportement en loi de puissance, on obtientxmax(t) ∼ t1/a [Bouchaud et Potters 1997].

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144 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Lorentzienne), parametree par sa largeur l :

L1(x) 5l

p2l2 1 x2 (4.47)

Une propriete importante des vols de Levy merite d’etre soulignee : leur auto-similarite. Elle est au demeurant assez previsible etant donnee le statut de dis-tributions limites des lois de Levy : celles-ci interviennent a la fois pour decrirela distribution des pas elementaires (comme exemples de distributions larges, enloi de puissance) et pour decrire le comportement aux temps longs du processusobtenu en additionnant de tels pas de facon statistiquement independante, toutcomme la distribution gaussienne decrit le comportement asymptotique d’unemarche brownienne dans le cas de la diffusion normale. Mais l’auto-similarite desvols de Levy est differente de l’auto-similarite des marches browniennes. Dans lecas present, en notant Xa(t) le processus a l’instant t, on obtient (on a encoreindependance des pas successifs) :

f(t,u) ≡ 〈eiu.(Xa(t)−Xa(0))〉 5 f(1,u)t ∼ e−At|u|a (4.48)

L’invariance d’echelle s’ecrit ainsi :

f(t,u) 5 f(kt,k−1/au) (4.49)

c’est-a-dire que le processus est invariant par rapport a la transformation conjointe(t → kt, u → k−1/au) ou, en revenant dans l’espace reel, par rapport a la trans-formation (t → kt, r → k1/ar). On retrouve de cette facon que la loi de diffusiond’un vol de Levy est R(t) ∼ t1/a.Le modele des vols de Levy a l’avantage de rentrer dans le cadre mathematiquebien explore du theoreme-limite central generalise, mais il presente le defaut d’at-tribuer la meme duree aux sauts, quelle que soit leur longueur. Cet ingredient,parfois peu realiste, peut etre rectifie en introduisant une vitesse de deplacementfinie v pour la particule : la duree d’un pas de longueur a sera a/v. On conserveune distribution large, en loi de puissance, pour la longueur des pas. Ce nouveaumodele est appele une marche de Levy. La loi de diffusion va etre differente decelle du vol de Levy de meme distribution P (a). Elle reste neanmoins anormale.On montre par exemple que si P (a) ∼ a−(11a), alors R2(t) ∼ t3−a, soit une valeurg 5 3 − a > 1. Des modeles plus complexes, pouvant mieux rendre compte desituations experimentales particulieres, sont obtenus en prenant une vitesse v(a)dependant de la longueur des pas [Klafter et al. 1996] [Shlesinger et al. 1999].

Transport chaotique et diffusion anormaleUne question interessante est d’etudier le mouvement de particules (non chargees)transportees par un fluide. Il s’agit a priori d’un mouvement de convection et nond’un mouvement de diffusion. Mais des que le fluide est anime d’un mouvement nontrivial, par exemple s’il obeit a une dynamique hamiltonienne dont l’espace de phasepresente des regions chaotiques (§ 2, chapitre 9), la seule description possible se faiten termes de proprietes statistiques de ce mouvement. Les notions sont alors cellesutilisees pour caracteriser le mouvement diffusif resultant d’une marche aleatoire, enoubliant que la trajectoire resulte d’un systeme dynamique deterministe.Dans ce contexte, il est frequent d’observer des diffusions anormales, typiquementdes vols ou des marches de Levy : la trajectoire reste piegee dans une region ou ladynamique est lente ou localisee, puis fait une longue excursion « rectiligne », puis

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4. LA DIFFUSION 145

de nouveau un mouvement tres localise. L’exposant de la loi de diffusion anormaledependra de la distribution des temps de piegeage et des temps de vol [Solomon etal. 1993], [Klafter et al. 1996] [Shlesinger et al. 1999]. Cet exemple intervient dansdivers problemes concrets, par exemple la dispersion de polluants dans l’ocean oul’atmosphere, qu’on cherche a controler ou du moins a predire.

5.3. Mouvements browniens fractals

Nous avons deja mentionne que le theoreme-limite central, et la loi de diffusionnormale associee, ne s’appliquent plus en presence de correlations a longue por-tee. Une condition necessaire pour voir apparaıtre de la diffusion anormale estainsi que

∑t |C(t)| diverge. Un modele typique de marche aleatoire anormale

parce que correlee est fournie par la famille des mouvements browniens fractals.Ils sont definis par la fonction caracteristique de leurs accroissements :

f(t,u) ≡ 〈eiu.(Xt1s−Xs)〉 5 e−Au2|t|2H

(4.50)

ou H � 1 est appele l’exposant de Hurst [Hurst 1951]. Comme le processusde Wiener qu’ils generalisent, les mouvements browniens fractals presentent unepropriete d’auto-similarite, dont les exposants, differents de ceux du mouvementbrownien, refletent leur caractere anormal (d’ou le nom de ces processus) :

f(kt,k−Hu) 5 f(t,u) (4.51)

En utilisant que R2(t) 5 − ≠2f/≠u2(t,u 5 0), on deduit immediatement de cetteinvariance d’echelle la loi de diffusion a laquelle vont obeir ces processus :

R(t) ∼ tH soit g 5 2H (4.52)

L’expression de la fonction d’auto-correlation des accroissements :

〈[Xt1s − Xs].[Xs − X0]〉 5 A[ |t 1 s|2H − |s|2H − |t|2H ] (4.53)

montre que les accroissements sont positivement correles si H > 1/2 (mouve-ment persistant, hyperdiffusif) et negativement correles si H < 1/2 (mouvementsous-diffusif). Cette forme en loi de puissance des correlations reflete la divergencedu temps de correlation, typique d’un phenomene dynamique critique.

5.4. Exemples

Les exemples se rencontrent dans de nombreux domaines. Nous en trouverons toutau cours du livre : sous-diffusion sur un amas de percolation critique (chapitre 5),hyperdiffusion des marches aleatoires sans recouvrement, dont les trajectoiresmodelisent les conformations spatiales de (longs) polymeres lineaires (chapitre 6).La relaxation d’un verre de spins peut etre decrite comme une marche aleatoiredans un paysage de topographie complexe (le paysage energetique du verre despins). Les proprietes de transport electrique dans les materiaux amorphes, desor-donnes ou quasi-periodiques peuvent aussi etre decrites en termes de diffusionanormale [Bouchaud et Georges 1990]. Par exemple, le mouvement sous-diffusif

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146 INVARIANCES D’ÉCHELLE

des electrons dans les quasi-cristaux42 entraıne le caractere isolant de ces mate-riaux, bien qu’il s’agisse d’alliages metalliques.Un autre exemple est celui des vols de Levy observes dans les micelles geantes[Ott et al. 1990]. Les micelles sont en perpetuel rearrangement : elles se cassentet les fragments, apres une etape de diffusion dans le solvant, se recombinentdifferemment. On peut analyser le phenomene en marquant les molecules de sur-factants constituant ces micelles par des marqueurs fluorescents, ce qui permetde les suivre individuellement. En etudiant ainsi le mouvement d’une molecule desurfactant au sein du systeme, on observe une alternance de phases de piegeage dela molecule au sein d’une micelle et de sauts d’une micelle a l’autre, conduisant aune hyperdiffusion.On a observe que le deplacement des albatros passait d’un mouvement browniensi les proies sont abondantes a un deplacement par vols de Levy, hyperdiffusif,lorsque le poisson se fait rare. Le meme phenomene est observe chez certainesabeilles suivant l’abondance des sources de pollen [Viswanathan 1999]. On observeegalement que le mouvement d’un individu a l’interieur d’un troupeau presenteun comportement hyper-diffusif au seuil d’apparition d’un mouvement collectif dutroupeau [Gregoire et al. 2001].Comme nous l’avons detaille au § 5.2, le transport par un fluide anime d’un mou-vement chaotique et les phenomenes d’hyper-diffusion observes dans les mouve-ments turbulents sont bien decrits par des marches de Levy.Les mouvements browniens fractals ont ete utilises pour modeliser, entre autres,les crues du Nil et les cours boursiers [Mandelbrot 1982].Un dernier exemple, que nous detaillons ci-dessous, est celui de la diffusion d’unliquide dans une roche poreuse initialement seche. A la difference des exemplesque nous venons de citer, celui-ci est traite non pas dans un cadre stochastique,« microscopique », mais a un niveau macroscopique, par une equation de diffu-sion modifiee pour prendre en compte une asymetrie temporelle fondamentale dumouvement, a l’origine du caractere anormal de la diffusion observee.

Diffusion anormale dans un milieu poreuxUn dernier exemple, introduit au § 2.3, est celui de la diffusion d’un liquide dansune roche poreuse initialement seche. L’asymetrie entre le remplissage des pores etleur assechement, seulement partiel, invalide l’equation de diffusion usuelle. On peutrendre compte du phenomene en prenant pour D une fonction discontinue du tauxde variation local et instantane ≠tc : ≠tc 5 D(≠tc) Dc. Il suffit que D change de valeuravec le signe de ≠tc, et prenne une valeur plus petite durant la phase de remplissageque durant la phase d’assechement, respectivement D0 et D0(1 1 e). Du fait dufilm liquide qui reste piege a l’interieur des pores apres le passage du liquide (voirFIG. 4.7), la masse totale de liquide en mouvement decroıt. Cette non conservationde la masse donne une « memoire » au systeme et, contrairement au cas de la diffu-sion normale, on ne pourra eliminer la reference a la condition initiale (A0,l) ou l estl’extension du domaine dans lequel est localisee la masse initiale A0. Alors qu’il estpossible de faire tendre l vers 0 pour determiner les proprietes asymptotiques univer-selles de la diffusion normale (voir § 2.2), il faut ici modifier simultanement A0 et l.

42 Les quasi-cristaux sont des assemblages d’atomes metalliques, par exemple Al, Fe et Cu, pre-sentant une symetrie d’ordre 5, incompatible avec l’ordre cristallin et conduisant de ce fait a unestructure quasi-periodique.

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4. LA DIFFUSION 147

En effet, l’etalement du liquide d’une nouvelle extension initiale l′ < l, fictive, a l’ex-tension l d’origine s’accompagne d’une deperdition de la masse en mouvement, et ilfaut ainsi associer une nouvelle valeur A′

0 a l′ pour continuer a decrire le meme phe-nomene. Faire tendre l vers 0 doit donc s’accompagner d’une modification conjointedu parametre A0. Les methodes de renormalisation presentees au chapitre 3 ontprecisement ete concues pour resoudre ce genre de difficulte. La renormalisationdetermine la « bonne facon » de faire tendre l vers 0, en transformant conjointement(en « renormalisant ») les autres parametres du systeme afin de laisser inchangee laphysique a l’œuvre dans le phenomene observe. Elle fait emerger le regime asymp-totique, non trivial, i.e. n’apparaissant pas d’emblee dans l’equation de diffusion ini-tiale. On determine ainsi explicitement une condition A0l2a(e) 5 cte completant laprocedure de limite l → 0. Il s’ensuit une loi de diffusion d’exposant g 5 1 − a(e)[Goldenfeld 1992]. La diffusion anormale reflete ici le vieillissement du systeme. Enquelque sorte, le systeme « mesure le temps ecoule » a travers l’evolution de la masse ;c’est cette dependance temporelle supplementaire qui est responsable de la diffusionanormale. On montre que la solution est de la forme (en dimension 1) :

c(x,t) ∼ 1(2Dt)1/21a(e) g

�x√2Dt

,e�

(4.54)

impliquant la meme variable d’echelle z 5 X/√

2Dt que la diffusion normale. C’est leprefacteur anormal 1/(2Dt)1/21a(e) qui conduit a un exposant g 5 1− a(e) < 1 dansla loi de diffusion. Comme dans les phenomenes critiques, l’analyse dimensionnelle nepermet pas a elle seule de determiner l’exposant anormal (a la difference du cas de ladiffusion normale) ; il faut pour cela une analyse plus complete par renormalisation43.Notons pour conclure qu’il apparaıt ici une diffusion anormale des le niveau de ladescription deterministe par une equation de diffusion, sans qu’il soit necessaire d’in-troduire explicitement des fluctuations et de la stochasticite.

Nous terminerons ce paragraphe par une mise en garde pour l’analyse de donneesexperimentales. Partant de l’enregistrement de trajectoires de particules (au senslarge : molecules, cellules ou grains) animees d’un mouvement diffusif, il est tou-jours possible de calculer un deplacement quadratique moyen R(t) et de tracerlogR2(t) en fonction de log t. Il est par contre plus delicat d’interpreter le grapheobtenu. Par exemple, une diffusion entre des obstacles ou des pieges conduit typi-quement a un mouvement sous-diffusif (g < 1) alors qu’une diffusion en milieuconfine conduit a une saturation du deplacement quadratique moyen (FIG. 4.10).Mais il est difficile de distinguer, uniquement au vu du graphe, une diffusion entredes obstacles de distribution tres dense, induisant un piegeage, et une diffusionconfinee, a l’interieur d’un volume delimite par des parois (par exemple des mem-branes, dans un contexte biologique). C’est encore plus vrai lorsqu’entrent en jeudes mecanismes plus complexes, par exemple une diffusion entre des obstaclesdenses, mais fluctuants, et une diffusion dans un espace confine, mais de parois

43 On peut eclairer ce point en distinguant [Barenblatt 1979] :– une similarite normale U 5 f(X1,X2) ou X1 et X2 sont des variables sans dimension et U la

fonction sans dimension que l’on cherche a determiner ; la fonction f est ici une fonction regulierede ses deux arguments ;

– une similarite anormale U 5 Xa2 g(X1/Xa

2 ) ou g est une fonction reguliere ; il apparaıt ici unexposant anormal a que ne peut faire emerger par simple analyse dimensionnelle de l’equation dedepart. L’exemple presente ici illustre cette seconde situation.

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148 INVARIANCES D’ÉCHELLE

mobiles. Il est donc essentiel de s’appuyer sur un modele de diffusion pour analy-ser les observations, les interpreter en termes de mecanismes microscopiques eten extraire des informations quantitatives.

log[

R2 (t

)]

log (t)

log[

R(t

)]

log (t)

log (t*)

Rmax

Figure 4.10. Allure typique du graphe représentant log R2(t) en fonction de log t, R(t) étant le déplacement qua-dratique moyen. À gauche, diffusion normale (cercles) et diffusions anormales, sous-diffusive (triangles) ou super-diffusive (losanges) ; les symboles représentent les points expérimentaux, les droites une interpolation linéaire réali-sée par la méthode des moindres carrés. La pente des droites permet d’estimer l’exposant g de la loi de diffusionR2(t) ∼ tg.À droite, situation où le déplacement quadratique moyen présente aux temps longs (t > t∗) une saturation à unevaleur Rmax , correspondant à un confinement de la particule dans une région d’extension linéaire proportionnelle àRmax ; le système atteint un état d’équilibre diffusif, homogène (on calcule ainsi le lien entre l’extension L linéaire dela région de confinement et la valeur de saturation Rmax). Le mouvement peut rester diffusif aux temps courts, ce quise traduit sur le graphe par une partie linéaire pour t < t∗, de pente égale à l’exposant g de la loi de diffusion.

5.5. La dimension spectrale

Les marches aleatoires sont une illustration du lien existant entre les proprie-tes statiques, geometriques, d’une structure fractale et les proprietes dynamiquessous-jacentes.Une question plus complexe mais particulierement interessante est celle de la dif-fusion sur une structure fractale preexistante : les proprietes du mouvement diffu-sif vont etre profondement modifiees par la geometrie particuliere des regions etchemins accessibles. Neanmoins, cette geometrie etant auto-similaire, le compor-tement asymptotique va rester decrit par une loi de puissance R(t) ∼ tg/2. Outrel’exposant g de cette loi de diffusion et la dimension fractale df du substrat, nousallons introduire un troisieme exposant, la dimension spectrale ds du substrat.La facon la plus directe de definir ds est de considerer les modes de vibrationde la structure fractale servant ici de support a la diffusion. Notons r(v)dv lenombre de modes de frequence comprise entre v et dv. Pour un reseau euclidiende dimension d (un solide cristallin, par exemple), le nombre de modes de fre-quence inferieure a v varie comme vd d’ou r(v) ∼ vd−1. Cette densite spectraleva etre fortement affectee par le caractere fractal du milieu considere ; on definitalors ds a travers la relation r(v) ∼ vds−1. Par exemple, on peut calculer explicite-ment la dimension spectrale du tapis de Sierpinski : ds 5 2 log 3/ log 5 5 1.364....Dans le cas general, on peut montrer que ds � df � d [Gouyet 1992].

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4. LA DIFFUSION 149

Considerons maintenant une marche aleatoire sur un reseau fractal de dimensionfractale df et de dimension spectrale ds. Comme R(t) ∼ tg/2 est la seule echellecaracteristique du probleme, la probabilite de presence de la particule a le com-portement d’echelle :

P (r,t) ∼ R(t)−df f

(r

R(t)

)(4.55)

ou f est une certaine fonction d’echelle, a ce stade indeterminee (elle ne nous pre-occupera d’ailleurs pas). Le facteur R(t)−df vient assurer la normalisation de P ,l’integrale se reduisant ici au support fractal. On peut par ailleurs montrer [Bou-chaud et Georges 1990] que la probabilite de premier retour a l’origine se com-porte comme t−ds/2. En comparant ce resultat avec le comportement de P (r,0),compte tenu de R(t) ∼ t−g/2, on trouve :

g 5dsdf

(4.56)

La dimension fractale d’une trajectoire typique reste egale a 2/g (donc egale a2df/ds). On a toujours ds � df � d, de sorte que g � 1, avec meme g < 1si la structure est reellement fractale (df < d). La diffusion sur une structurefractale est ainsi sous-diffusive et la dimension 2/g des trajectoires est toujourssuperieure a 2. Ces proprietes refletent de facon quantitative le fait que la diffusionest genee et ralentie par la geometrie restreinte ou elle prend place. Observer ladiffusion d’une particule marquee (un « traceur ») sur une structure va ainsi revelerquantitativement ses proprietes.La dimension spectrale ds decrit ainsi la geometrie du support d’un point de vuedynamique : une structure fractale presentant de tres nombreux bras morts etune structure fractale tres connectee (obtenue par exemple en rajoutant quelquesliens, de masse totale nulle, a la premiere, pour transformer les bras morts en voiesde passage) peuvent avoir la meme dimension fractale. Elles auront par contredes dimensions spectrales tres differentes, beaucoup plus faible pour la premiere.Ce point est illustre, par exemple, sur la transformation sol/gel d’une solutionde polymeres : ds augmente considerablement lors de la reticulation des chaınes(conduisant a la formation du gel) alors que df varie peu.

6. Conclusion

La diffusion est une manifestation directement observable de l’agitation ther-mique. Celle-ci est un ingredient incontournable de tous les phenomenes natu-rels. Elle introduit une composante aleatoire (on parle de bruit thermique ou destochasticite intrinseque) qui se moyenne et n’apparaıt aux echelles superieuresqu’implicitement, dans la valeur des parametres effectifs, sauf au voisinage despoints critiques rencontres au chapitre 1, au voisinage des points singuliers d’unedynamique (bifurcations) que nous decrirons au chapitre 9, ou lorsque la geome-trie du systeme est particuliere (structure fractale).La loi d’echelle R(t) ∼ tg/2 decrivant le comportement diffusif n’emerge qu’auxtemps longs ; la limite t → ∞ est l’exact analogue de la limite thermodynamiqueN → ∞ dans laquelle apparaissent les singularites et les lois d’echelle associees

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aux transitions de phase. L’analogie avec les notions presentees au chapitre 1 peutse poursuivre : la loi de diffusion normale apparaıt comme une description de« champ moyen », ou un seul parametre effectif, le coefficient de diffusion D, suf-fit a rendre compte du phenomene ; l’exposant de champ moyen vaut g 5 1 etla distribution des fluctuations est alors gaussienne. L’approche de champ moyenechoue si les evenements elementaires suivent une loi large (vols de Levy) ou s’ilspresentent des correlations temporelles a longue portee. On observe alors un expo-sant « critique » g fi 1. La diffusion anormale apparaıt ainsi comme l’equivalenttemporel des phenomenes critiques statiques rencontres au chapitre 1. Elle estcritique au sens ou elle reflete une « catastrophe statistique », a savoir un effet dra-matique des fluctuations, soit parce qu’elles sont amplifiees par des correlationsde portee divergente, soit parce que les fluctuations locales sont elles-memes anor-males, distribuees suivant une loi large (de variance infinie).

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4. LA DIFFUSION 153

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Page 154: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

CHAPITRE

5LA TRANSITION

DE PERCOLATION

1. Introduction

Quel concept physique pourrait bien reunir l’ecoulement du liquide dans le marcde cafe, la conduction electrique dans un melange conducteur-isolant, le tir a lacible, la naissance d’un continent, la gelification de polymeres, la propagationd’epidemies ou de feux de foret ? Une question est commune a tous ces processus :« quelque chose » se produit-il a grande echelle, a force de contributions a petiteechelle ?

Élément à petite échelle Processus à grande échelle

Pores dans le marc de café Écoulement du liquide

Régions conductrices Passage du courant électrique

Impact d’une balle Désagrégation de la cible

Émergence d’une île sous l’effet de la baisse du niveaude l’océan

Formation d’un continent

Liaison entre deux polymères Gel : « molécule » de dimension macroscopique

Contamination d’un individu Épidémie

Un arbre s’enflamme La forêt brûle

Tableau 5.1. Exemples de processus à grande échelle engendrés par l’accumulation de contributions à petite échelle.

Dans toutes ces situations, une quantite peut ou non se propager d’un elementa son voisin : le liquide, les charges electriques, la fracture de la cible, la terreseche, la ramification moleculaire, la maladie ou le feu. Comme aux chapitresprecedents, nous nous interessons aux proprietes asymptotiques qui en resultenta grande echelle, c’est-a-dire dans un systeme de grande dimension par rapport a lataille elementaire. L’analogue de la temperature T est ici l’inverse de la population

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5. LA TRANSITION DE PERCOLATION 155

relative d’elements p – de pores, de regions conductrices, d’impacts, etc. – quivarie entre 0 et 1 pour la population maximale. On observera du desordre, grandpour une population diluee, et l’installation de l’ordre pour une population voisinede 1. Nous nous posons les memes questions que pour les changements d’etatsthermiques :

– existe-t-il une transition nette et une population critique pc ?– comment la transition s’effectue-t-elle ?– existe-t-il un comportement critique ?– peut-on proposer une description de champ moyen ?– quelles sont ses limites de validite ?– existe-t-il des classes d’universalite, et lesquelles ?

La reponse a la premiere question est qu’il existe bien une transition nette. En1941, le physicien Flory [Flory 1941] a applique une description de type transitionde phase a la gelification de polymeres, puis, en 1957, Broadbent et Hammersley[Broadbent et Hammersley 1957] ont introduit le nom de transition de percola-tion. On peut etablir une analogie presque parfaite entre les transitions de phaseet la transition de percolation, bien que cela puisse paraıtre fort surprenant. Eneffet, pour les premieres, un ordre s’etablit dans la matiere grace aux interactionsmicroscopiques en competition avec l’agitation thermique, tandis qu’il n’existerien de tel dans les situations de percolation : aucune interaction entre les ele-ments, pas de competition avec une agitation thermique... : la percolation est uneffet purement topologique. Ce sont precisement les analogies topologiques aupoint critique, telles que la divergence d’une longueur caracteristique et l’inva-riance d’echelle, qui permettent d’utiliser, dans les deux cas, les memes methodesde description. Ce sont elles qui conferent a la transition de percolation le memecaractere d’universalite propre aux transitions de phase.

Une premiere approche champ moyen

Un exemple simple de transition de percolation est donne par un modele d’Isingou chaque site est occupe ou non de facon aleatoire par un spin : comment latransition ferromagnetique va-t-elle dependre de la population p de spins ? Ce pro-bleme complexe ou interviennent deux champs generalises, la temperature et lapopulation p, (voir la fin de cette introduction et la reference [Kesten 1982] pourune approche rigoureuse) peut etre decrit par l’approche champ moyen que nousavons utilisee pour le modele d’Ising (§ 1.1.1, chapitre 1, eq. 1.18). En remplacantsimplement le nombre de voisins moyens q d’un site occupe par pq, l’aimantationmoyenne peut etre evaluee par l’equation implicite :

m 5 tanh(pqJ

kTm

)Pres de la transition, l’aimantation est faible et tanh(x) peut etre remplacee parx. Cela conduit a une temperature de transition :

Tc 5 pqJ

k5 pTMF

proportionnelle a p. TMF est la temperature critique prevue par l’approche champmoyen (MF pour Mean Field) pour un reseau d’Ising ou tous les sites sont occupes.

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156 INVARIANCES D’ÉCHELLE

A temperature non nulle, un ordre, c’est-a-dire un chemin qui permet la propaga-tion de proche en proche de l’orientation des spins, est etabli dans le cadre decette approximation des p > 0. Cela est evidemment faux car, quand le systemeest tres dilue, les sites occupes sont distants les uns des autres. Nous verrons auparagraphe suivant la description de Cayley-Bethe, qui est une approche champmoyen moins « rustique ». Mais voyons pourquoi le champ moyen sur un reseaud’Ising aleatoirement occupe est une description si peu adaptee.

Un chemin, un amas infini, sa masse et ses ramifications

Figure 5.1. Il existe un seuil critique de popu-lation pc à partir duquel au moins un chemincontinu est établi entre deux faces opposées dusystème.

Experimentalement et par des simulationsnumeriques, on constate l’existence d’unepopulation critique au-dela de laquelle il appa-raıt un chemin reliant des faces opposees dusysteme (FIG. 5.1). Bien que le remplissagesoit aleatoire, la population seuil pc et lescomportements « critiques » sont parfaite-ment reproductibles pour un grand nombreNd’elements dans le systeme.On nomme amas l’ensemble des elements quisont relies entre eux par leur voisinage. Laquantite dont on observe la propagation estsuppose ne se propager – ou s’ecouler pourun liquide – qu’a l’interieur de chaque amaset non entre amas. Au-dela du seuil, il existe au moins un amas infini contenantun nombre infini d’elements : a deux dimensions, il est facile de montrer qu’iln’en existe qu’un seul par impossibilite topologique de coexistence de deux amasinfinis ou plus, mais ce resultat est vrai quelle que soit la dimension de l’espace.Cela se justifie intuitivement par la ramification considerable de l’amas infini :bien que celle-ci soit topologiquement possible a partir de trois dimensions, laprobabilite qu’il existe deux amas infinis sans aucun point de contact entre euxest strictement nulle dans un systeme de taille infinie. Le nombre de sites agregesa cet amas infini, sa masse, croıt tres rapidement au-dela du seuil (voir FIG. 5.2)parce qu’il agrege subitement de nombreux amas isoles. Paradoxalement, le fluxde liquide, la conductivite, augmentent bien plus lentement au-dela du seuil.

Figure 5.2. Au-dessus du seuil, la masse M∞ del’amas infini (en pointillés) augmente rapidement avecla population p. En tiretés, M∞ décrit par l’approxi-mation du champ moyen sur un réseau d’Ising, rem-pli aléatoirement. La conduction électrique G, dans unmélange isolant-conducteur, nulle au-dessous de pc,augmente bien plus lentement que M∞. Cette diffé-rence est due au fait qu’il existe de nombreux « brasmorts » sur l’amas infini, qui n’ont aucune utilité pourla conduction du courant électrique. 0 1

M∞

G

c

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5. LA TRANSITION DE PERCOLATION 157

Figure 5.3. Juste au-dessus du seuil de percolation, lastructure de l’amas infini est très ramifiée. On peut distin-guer deux régions principales : le « squelette », en traitsépais, constitué de l’ensemble des chemins qui connectentune face à la face opposée, et les bras morts, en traitsfins, qui conduisent à des impasses. Ces bras morts repré-sentent la grande majorité de la masse de l’amas. Le sque-lette lui-même comporte des « liens chauds », en gris, quisont des passages obligés pour le fluide, et des boucles,en noir, qui offrent plusieurs chemins possibles.

Cela tient a la structure tres rami-fiee de l’amas infini au seuil depercolation (FIG. 5.3) : seul lesquelette de cet amas infini estutile pour la propagation ou l’ecou-lement. (Pour ameliorer la lisibi-lite de cette figure, la populationdes amas finis contenant seulementquelques elements a ete fortementsous-representee par rapport a l’amasinfini.) On peut montrer simple-ment que la conduction electriquede l’amas de percolation supposeconstitue de resistances electriqueselementaires, est directement relieeau coefficient de diffusion effec-tif d’un diffuseur sur l’amas infini.Cette situation physique a garde lenom propose par P. G. de Gennesde fourmi dans un labyrinthe [DeGennes 1976]. Les physiciens ontensuite utilise d’autres noms d’in-sectes pour caracteriser des situations variees, les termites, les parasites,etc.La ramification particulierement grande de l’amas infini au seuil de percolationpeut etre mise en evidence par une experience simple (sur ordinateur) : la dureede vie d’un feu de foret [Stauffer et Aharony 1992].

Le temps de vie d’un feu de foret comme mesure du seuil de percolation

Nous considerons le jeu de simulation suivant : un feu est allume sur toute une facedu systeme suppose par exemple etre un carre de foret. Il se propage a ses premiersvoisins, s’ils existent, en un temps donne. Un arbre qui a brule ne propage plus lefeu. On evalue le temps de vie du feu, temps moyen necessaire a son extinction,qui est fortement affectee par la densite des arbres. La moyenne est effectue surun grand nombre de feux a propagation aleatoire allume sur le meme systeme. Onobserve que :

– si la population des arbres est faible ( p� pc), les premiers foyers ne consumentque les arbres de chaque amas isole en contact avec la face de mise a feu. L’incen-die ne se propage pas, sa courte duree moyenne correspond au temps necessairepour bruler le plus grand de ces amas ;

– si la population d’arbres est tres dense ( p � pc) avec seulement quelquesregions depeuplees, le feu se propage continument d’une face a l’autre. La dureede vie moyenne du feu correspond au « simple aller » de proche en proche ;

– si la population correspond au seuil de percolation ( p ∼ pc) le feu se propage lelong de toutes les ramifications et de tous les replis de l’amas infini. Le temps devie moyen du feu diverge, dans ce cas. La divergence du temps de vie du feu estune facon efficace de mettre en evidence le seuil de percolation (voir FIG. 5.4).

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158 INVARIANCES D’ÉCHELLE

• On observe que la valeur du seuil de percolation (pc 5 0,59275 dans le casd’un reseau carre) est tres reproductible pour un tres grand systeme. La taillede foret necessaire pour obtenir ce resultat est de 10 a 100 millions d’elementscomme nous le montrons plus bas dans le paragraphe consacre aux systemes detaille finie. On peut montrer simplement que si l’on inclut les seconds voisins(courbe gauche sur la FIG. 5.4), le seuil de percolation est le complementaire a 1de la valeur relative aux premiers voisins : p(seconds voisins)

c 5 1−0,59275 5 0,40725.Sur un reseau triangulaire, le seuil de percolation est strictement egal a 1/2. Nousretrouvons ici le fait que le seuil de percolation, tout comme la temperature cri-tique, depend des details du modele microscopique : sa valeur ne presente pas decaractere universel.

Figure 5.4. Variation du temps devie moyen du feu de forêt sur unréseau carré, en fonction de la popu-lation initiale d’arbres. La courbe cen-trale correspond au cas où le feuse propage aux arbres premiers voi-sins, celle de gauche à la propagationaux premiers et seconds voisins. Lacourbe de droite est obtenue en sup-posant qu’il est nécessaire que deuxarbres premiers voisins d’un troi-sième brûlent pour que celui-ci s’en-flamme (d’après D.Stauffer [Staufferet Aharony 1992]).

0

50

100

150

200

0,4 0,5 0,6 0,7p

Tem

ps

Réseau Seuil de percolation(proportion de sites

occupés)

Densité du réseaurempli par des

sphères

Seuil de percolation(proportion en

volume)

2

dimensions

Carré 0,59275 p/4 0,4655

Triangulaire 0,5 p√

3/6 0,4534

Nid d’abeille 0,6962 p√

3/9 0,4209

3

dimensions

Cubique simple 0,3117 p/6 0,1632

Cubique centré 0,245 p√

3/8 0,1666

Cubique facescentrées

0,198 p√

2/6 0,1466

Cubique diamant 0,428 p√

3/16 0,1456

Tableau 5.2. Valeurs des seuils de percolation de site (voir la différence avec la percolation de liens au paragraphesuivant), pour des réseaux réguliers à 2 et 3 dimensions.

Le tableau 5.2 presente les valeurs exactes ou evaluees numeriquement pour lesseuils de percolation de differents reseaux reguliers, a deux et trois dimensions. Lerapport de la valeur maximale a la valeur minimale de seuil vaut environ 1,4 a 2D,et plus d’un facteur 2 a 3D. Ces valeurs se resserrent considerablement, si on lesevalue en proportion de volume occupe par des disques ou des spheres situees en

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5. LA TRANSITION DE PERCOLATION 159

chaque site. En les corrigeant ainsi de la valeur de densite du reseau parfaitementrempli, on obtient environ 0,45 a 2D, et 0,15 a 3D. En pratique, les « elements »sont rarement de forme spherique. A trois dimensions, leur aplatissement ou leurelongation entraıne de fortes variations des valeurs de seuil de percolation, typi-quement de 0,05 a 0,15.

Percolation de sites, percolation de liensLa percolation est caracterisee par l’etablissement d’un chemin dans un grandsysteme. Une discussion rigoureuse de l’effet de la taille finie du systeme sur latransition de percolation est presentee a la fin de ce chapitre. A l’echelle elemen-taire, on pourra considerer qu’un chemin est etabli entre deux points voisins, dansplusieurs cas, constituant chacun une regle du jeu differente.

p

p

px

– Dans le cas de la percolation de sites, que nous avons abor-dee au paragraphe precedent, le chemin elementaire estetabli par la presence de deux elements situes en des pointsvoisins. La population p est alors la probabilite d’occupa-tion d’un site.

– Dans le cas de la percolation de liens, le chemin elementaireest etabli par la presence d’une liaison entre deux pointsvoisins. La population p est ici la probabilite d’occupationd’un lien.

– Dans le cas de la percolation de sites-liens, introduite pourrendre compte des transitions sol-gel de reticulation despolymeres, la population p est la probabilite d’occupationdes liens, tandis que x est celle des sites. Ce cadre generalregroupe les deux autres situations : p 5 1 correspond ala percolation de sites, tandis que x 5 1 correspond a lapercolation de liens.

Il est interessant de distinguer ces differentes situations pour les appliquer a dessystemes physiques differents. Cependant, elles appartiennent aux memes classesd’universalite : la percolation de sites et la percolation de liens presentent le memecomportement critique.

Percolations correlees, percolations dirigees, percolations brasseesDans les situations precedentes, on suppose que les elements sont repartis defacon aleatoire, independamment les uns des autres. Il existe plusieurs situationsphysiques apparentees a la percolation ou ces conditions ne sont pas remplies[Deutscher et al. 1983].Une famille de situations, que nous avons decrites dans le chapitre 1 de ce livre,correspond aux transitions thermiques ordre/desordre, ou des elements voisinsont une energie d’interaction. Le modele d’Ising peut par exemple etre considerecomme une situation de percolation correlee : les spins ↑ representant les sitespeuples, les spins ↓ les sites vides, et l’etablissement d’un ordre a grande distancecorrespondant a l’apparition d’un chemin a grande echelle. On peut egalementimaginer une situation generale de percolation sites-liens correlee, caracteriseepar trois quantites – trois champs – : la temperature T , la population p de lienset la population x de sites. Cette situation offre une grande variete de transitionscompliquees [Kesten 1982].

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160 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Dans les autres familles introduites ci-dessous, les elements, sites ou liens, sonttoujours supposes etre disposes independamment les uns des autres. Une familleimportante est celle des percolations dirigees, ou les liens sont des « diodes » quine laissent passer le courant que dans un sens. Des etudes ont egalement portesur des liens non lineaires caracterises par un courant critique au-dela duquel ilssont resistants, ou sur des liens qui peuvent basculer d’un etat conducteur a unetat isolant : ces situations representent assez bien ce qui se passe dans un reseaualeatoire de jonctions supraconductrices du type Josephson [Schmittbuhl et al.1992].La percolation brassee est la situation interessante ou les amas sont brasses parun fluide, leur temps de vie etant comparable ou plus court que le temps moyende parcours du diffuseur – la fourmi – sur un amas [Lagues 1979]. Ce modele estadapte pour la description de la conductivite electrique, dans une emulsion ou unemicroemulsion.Par cette liste tres incomplete, nous esperons avoir convaincu le lecteur de larichesse de ce concept aujourd’hui utilise dans toutes les branches des sciences.Ce chapitre sera consacre a la percolation de sites, les resultats universels etantegalement applicables a la percolation de liens ou de sites-liens.

2. Statistique des amas et transition magnétique

L’etude theorique de la percolation a ete fortement stimulee par la demonstrationde son analogie rigoureuse avec une transition de phase, par exemple une transi-tion ferromagnetique [Kasteleyn et Fortuin 1969]. Au voisinage du point critique,l’analogue de l’ecart de temperature t 5 (T − Tc)/Tc est (pc − p). On definit laquantite ns( p) comme le nombre d’amas comprenant s sites, rapporte au nombretotal de sites du reseau. L’etude de la transition de percolation revient a decrire cenombre d’amas en fonction de s et p. En effet, toutes les quantites que nous allonsintroduire s’en deduisent. La probabilite qu’un site occupe appartienne a un amascontenant s sites est sns( p). La taille moyenne S( p) d’un amas fini s’en deduitdirectement :

S( p) 5

∑s

s2ns( p)∑s

sns( p)(5.1)

Le parametre d’ordre de la transition de percolation est la probabilite P ( p) qu’unsite occupe appartienne a l’amas infini :

– P ( p) 5 0, si p < pc– P ( p) finie, si p > pc

La probabilite qu’un site – occupe ou non – appartienne a l’amas infini est doncp P ( p). Enfin, la condition qu’un site occupe appartienne soit a un amas infinisoit a un amas fini s’exprime a travers la relation :

p 5 pP ( p) 1∑s

sns( p) (5.2)

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5. LA TRANSITION DE PERCOLATION 161

Correlation, longueurs caracteristiques et longueur de coherenceUne autre quantite importante pour la caracterisation des systemes de percolationest la fonction de correlation de paire, c’est-a-dire la probabilite g( p,r) que deuxsites distants de r appartiennent au meme amas. Nous allons voir au paragraphesuivant qu’elle peut etre decrite comme la fonction de correlation d’une transitionde phase (chapitres 1 et 4) :

g(r,p) 5e−r/j( p)

rd−21h (5.3)

Sans compter la longueur de correlation j( p), plusieurs longueurs caracteristiquespeuvent etre definies dans un systeme de percolation, dont les deux suivantes :

– le rayon de giration des amas finis, qui est aussi la longueur moyenne deconnexite1 sur un amas fini. Il existe des amas finis de part et d’autre du seuilde percolation, et leur taille diverge lorsque p tend vers pc ;

– l’echelle cut-off d’homogeneite de l’amas infini : si p > pc l’amas infini est fractalau-dessous d’une certaine echelle, et homogene2 au-dessus de celle-ci.

On montre [Stauffer et Aharony 1992] que toutes ces quantites presentent lameme divergence en fonction de ( p− pc) :

j( p) 5 j0 | p− pc|−n (5.4)

Lorsque nous faisons allusion a la longueur de coherence j( p), celle-ci representedonc indifferemment l’une de ces longueurs caracteristiques. L’experience verifiebien l’universalite de l’exposant n. Les prefacteurs j0 dependent, en revanche, dela definition precise de j( p) ainsi que du signe de ( p− pc).

Analogie avec une transition de phaseOn peut montrer [Stauffer et Aharony 1992] que chacune des quantites utiliseespour decrire la transition de percolation est l’analogue d’une quantite magne-tique, et qu’elle presente un comportement de loi de puissance au voisinage duseuil pc :

Quantité Transitionmagnétique

Transitionde percolation

Dépendance

Paramètre d’ordre m(t) P( p) | p − pc |b

Énergie libre f(t) S ns | p − pc |2−a

Susceptibilité x(t) S( p) | p − pc |−g

Fonction de corrélation G(r,t) g(r,p) exp(− r/j( p)) / r d−21h

Longueur de cohérence j(t) j( p) | p − pc |−n

Tableau 5.3. Analogie entre les transitions ferromagnétiques et de percolation.

Cette analogie repose sur l’invariance d’echelle de la situation de percolationlorsque la population est exactement egale a la population critique. L’hypothese

1 Nous entendons par longueur moyenne de connexite au sein d’un amas donne, la moyenne de ladistance qui separe deux elements de l’amas.2 C’est-a-dire aux proprietes geometriques classiques, non fractales, telles que le nombre d’elementscontenu dans l’amas infini varie comme Ld si d est la dimension de l’espace (voir aussi § 3.1.1).

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162 INVARIANCES D’ÉCHELLE

du scaling (§ 2.2, chapitre 3) est reprise ici, c’est-a-dire que tous les comporte-ments derivent de la divergence de la longueur de coherence. Physiquement, cettehypothese se traduit par l’idee d’un amas dominant, que nous allons detailler auparagraphe suivant.

Hypothese de l’amas dominant et lois d’echelle

La principale hypothese de la theorie de la percolation repose sur deux points. Lepremier est qu’il existe un amas dominant, dont la taille caracteristique corres-pond a une longueur de coherence j( p). On suppose qu’il presente une masse sjqui obeit a une loi de puissance :

sj( p) 5 |p− pc|−1/s (5.5)

On suppose de plus que le nombre d’amas ns( p) peut s’exprimer de la facon sui-vante :

ns( p) 5 ns(pc)f(s

sj

)5 s−tf

(s |p− pc|1/s

)(5.6)

L’hypothese de loi de puissance ns(pc) ∼ s−t est bien verifiee par l’experience (voirFIG. 5.5) :

Figure 5.5. Nombres d’amas au seuilde percolation déterminés par simula-tion numérique sur un réseau carré de95 000 3 95 000 (d’après [Staufferet Aharony 1992]).

L = 95 000p = pc

107

105

103

10

10– 3

0,1

10– 5

1

nsL2

1021 104 106 108 s

Tous les exposants critiques de la transition de percolation peuvent ainsi etre expri-mes a partir des deux exposants de base s et t . L’energie libre f( p), par exemple :

f( p) 5∑s

ns( p) 5∑s

s−tf(s |p− pc|1/s

)(5.7)

soit, en choisissant une valeur constante pour l’argument de f :

f( p) ∼ |p− pc|t−1s (5.8)

Page 163: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

5. LA TRANSITION DE PERCOLATION 163

On en tire l’expression de a en exprimant que l’exposant qui caracterise f est2 − a :

a 5 2 − t− 1s

(5.9)

On peut obtenir de meme les valeurs de b et g :

b 5t− 2s

g 53 − t

s(5.10)

Ce qui permet de retrouver la loi d’echelle de Rushbrooke (§ 2.1, chapitre 3) :

a 1 2b 1 g 5 2 (5.11)

ainsi que les autres lois d’echelle. Les tests numeriques effectues semblent bienconfirmer l’universalite, c’est-a-dire que les exposants ne dependent que de ladimension de l’espace. Une approche de champ moyen permet d’evaluer ces diffe-rents exposants, approche valide pour le cas d’une dimension infinie.

Le calcul champ moyen de Bethe sur l’arbre de Cayley

Figure 5.6. Réseau de Bethe, ou arbre de Cay-ley dans le cas d’un nombre z 5 3 de branchespartant de chaque point. L’arbre est ici limité àtrois générations de branches.

La description rigoureuse du mecanismed’apparition d’un chemin de percolation seheurte a de nombreuses difficultes tenanta la structure complexe de l’amas infini(FIG. 5.3). Cette structure est l’objet duparagraphe suivant. Une de ses particulari-tes est l’existence de boucles fort difficiles aprendre en compte exactement. On peut rea-liser intuitivement que le poids relatif de cesboucles diminue lorsque la dimension d del’espace augmente : la probabilite de recou-pement de deux marches aleatoires issuesd’un meme point est egale a 1 a une dimen-sion, «forte a deux dimensions, plus faible atrois dimensions... Le reseau de Bethe, ega-lement nomme arbre de Cayley, neglige com-pletement ces boucles (FIG. 5.6). La transi-tion de percolation sur cet arbre est exacte-ment soluble.L’arbre est constitue de nœuds dont partent z liens vers les premiers voisins. Sil’on part d’un site « central » et que l’on developpe des branches jusqu’a la genera-tion R de voisins, le nombre de sites total est 1 1 z 1 z2 1 · · · 1 zR 5 zR11 − 1.L’arbre de Cayley est un objet dont la masse – nombre total de sites-varie exponen-tiellement en fonction de son rayon. La masse d’un objet ordinaire variant commeson rayon a la puissance d l’arbre de Cayley correspond a une dimension infinie.Supposons maintenant que les sites soient occupes avec une probabilite p. Lorsquel’on part d’un site occupe, a chaque nouveau nœud, il existe z − 1 branches quien partent : la probabilite de trouver au moins un site occupe qui permette decontinuer le chemin est p(z − 1), p2(z − 1)2 a la generation suivante etc. Le seuil

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164 INVARIANCES D’ÉCHELLE

de percolation correspond a la valeur de p pour laquelle cette probabilite vaut 1 :

pc 51

z − 1(5.12)

La probabilite P ( p) qu’un site occupe appartienne a l’amas infini peut se calculerexactement. Soit Q la probabilite qu’un site ne soit pas connecte a l’amas infinipar une branche donnee. La probabilite qu’un site d’origine soit occupe mais nonrelie a l’amas infini est p−P ( p). Cette probabilite est egalement pQz, qui signifiequ’aucune des z branches issues de ce site n’est connectee a l’amas infini. On relieainsi P et Q :

P 5 p(1 −Qz) et Q 5

(1 − P ( p)

p

)1/z

(5.13)

Par ailleurs, la probabilite Q1 que le site premier voisin correspondant soit occupeet qu’aucune des z − 1 branches issues de celui-ci ne soient connectees a l’amasinfini est pQz−1. La probabilite Q est la somme de Q1 et de la probabilite que lesite premier voisin soit vide, 1 − p :

Q 5 1 − p 1 Q1 5 1 − p 1 pQz−1 (5.14)

D’ou, une equation qui permet de calculer P ( p). L’expression est complexe si z estsuperieur a 3, mais quel que soit z, on montre directement que P ( p) est lineaireen ( p−pc) (nous proposons cet exercice au lecteur), au voisinage du seuil : l’expo-sant critique du parametre d’ordre vaut b 5 1 dans cette approximation de champmoyen. Le meme type de raisonnement permet d’obtenir la taille moyenne desamas S( p) et de montrer qu’elle est proportionnelle a 1/( p− pc).Le nombre ns( p) d’amas de taille s peut etre calcule en evaluant la surface t desites vides qui entoure un amas de taille s : pour un site isole, t 5 z puis chaquesite occupe supplementaire ajoute z− 2 sites vides a t. La valeur de t est donc unefonction lineaire de s, t 5 (z − 2)s 1 2, tandis que la valeur de ns( p) est :

ns( p) 5 ns(pc) ps(1 − p)(z−2)s12 (5.15)

qui traduit une decroissance exponentielle de ns( p) en fonction de s. Cela est par-ticulier au reseau de Bethe : pour les amas de petite taille, a petite dimension d’es-pace, l’hypothese de l’amas dominant conduit a une loi de puissance (eq. 5.6). Endefinitive, cette description ne decrit pas mieux la percolation que les approchesde champ moyen equivalentes dans le cas des transitions de phase. La renormali-sation, associee aux outils de simulation numerique, est particulierement efficacedans le cas de la percolation.

Exposant t n a b g s

Réseau de Bethe 5/2 1/2 − 1 1 1 1/2

Tableau 5.4. Exposants critiques obtenus par l’approche de champ moyen.

Le tableau ci-dessus resume les valeurs d’exposant que l’on deduit de l’approchede Bethe. Une demarche theorique de renormalisation permet de montrer que cesvaleurs sont exactes, dans des espaces de dimension 6 ou plus : comme pour lestransitions de phase, il existe une dimension critique, mais sa valeur est dc 5 6 etnon de 4.

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5. LA TRANSITION DE PERCOLATION 165

3. La renormalisation des modèles de percolation

Nous ne presentons ici que quelques exemples de renormalisation (voir § 4.1, cha-pitre 3), cependant le lecteur est invite, a titre d’exercice, a pratiquer lui-memecette technique sur differentes situations. Comme nous le montrons ci-dessous, ilest possible d’obtenir des resultats de bonne qualite au prix de calculs bien pluslegers que dans le cas des transitions de phase.

3.1. Exemples de renormalisation dans un espace à 2 dimensions

Percolation de sites sur un reseau triangulaire

p p' = R(p)p'

Nous adoptons ici la meme demarcheque pour les transitions de phase : choixd’un reseau fini, decimation, calcul de lafonction de renormalisation, recherchedu point fixe et calcul des exposants. Lereseau fini le plus simple que l’on puisseimaginer est un triangle, que l’on trans-forme en un supersite par decimation :En utilisant la regle de la majorite, le super-site sera considere comme occupe,seulement si au moins deux sites du triangle sont occupes :

p′ 5 p3 1 3(1 − p) p2 (5.16)

Cette relation conduit a deux points fixes triviaux (stables), p∗ 5 0 et p∗ 5 1,et au point fixe (instable) qui correspond a la transition, pc 5 1/2. Cette valeurest exacte bien que son evaluation sur un reseau fini aussi petit soit a priori fortapproximative : sa valeur simple et symetrique est une raison qui favorise ce resul-tat comme nous le verrons au paragraphe suivant.Le calcul des exposants critiques suit naturellement la procedure decrite au §3.3du chapitre 3. Rappelons que l’exposant n correspondant a la longueur de cohe-rence est :

n 5ln(k)ln(l1)

(5.17)

ou k est le facteur d’echelle lineaire – ici√

3 – et l1 est la valeur propre dontla valeur absolue est la plus importante. Il n’existe ici qu’un seul « coefficient decouplage » p : dans ce cas, la valeur propre se reduit simplement a la derivee de larelation de renormalisation au point critique :

l1 5 R′(pc) 5 6pc(1 − pc) 5 3/2 (5.18)

D’ou la valeur de n :

n 5ln(

√3)

ln(3/2)5 1,35 (5.19)

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166 INVARIANCES D’ÉCHELLE

pp' = R(p)

p'

A comparer a la valeur exacte n 5 4/3,la valeur obtenue par ce calcul est uneapproximation excellente. Cet accordest trompeur, comme nous pouvons leverifier en renormalisant un reseau finiun peu plus grand, constitue de 7 sites.La relation de renormalisation est, dans ce cas :

p′ 5 p7 1 7(1 − p) p6 1 21(1 − p)2 p5 1 35(1 − p)3 p4 (5.20)

Ici encore, le point fixe instable correspondant a la transition est pc 5 1/2. Lavaleur propre vaut cette fois-ci 35/16, ce qui conduit a la valeur n 5 1,243, a par-tir de l’eq. 5.17 (en supposant k 5

√7). On peut etre decu que cette valeur soit

sensiblement plus eloignee de la valeur exacte que l’evaluation precedente. Celamontre que la convergence des demarches de renormalisation doit etre soigneu-sement verifiee. Nous en presentons une illustration plus loin.

Percolation de liens sur un reseau triangulaire

p p' = R(p)p'

La percolation de liens et la percola-tion de sites appartenant a la memeclasse d’universalite, nous devons obte-nir les memes exposants, par exemple,n 5 4/3. Le seuil de percolation esten revanche different (tableau 5.2) :on attend ici pc 5 0,34729. Nous uti-liserons egalement un reseau fini tressimple, ou la probabilite p est celle depresence d’une liaison.La relation de renormalisation est obtenue dans ce cas en ajoutant les probabilitesqu’il existe un chemin entre le site du haut et celui du bas, dans le reseau fini.Cette probabilite inclut toutes les situations ou 0 ou 1 liens sont absents, plus8 situations, sur 10, ou 2 liens sont absents et 2 situations ou trois liens sontcoupes :

+ 8+ 5 + 2

p′ 5 p5 1 5(1 − p) p4 1 8(1 − p)2 p3 1 2(1 − p)3p (5.21)

Le seuil de percolation que l’on obtient est de nouveau 1/2, valeur surestimee depres de 50 %, dans ce cas de percolation de liens. Pour le calcul de l’exposant n, onobtient directement la valeur R′(pc) 5 13/8. On pourrait etre tente de prendre√

5 comme facteur d’echelle (reduction du nombre de liens d’un facteur 5), ce quiconduit a une valeur de n 5 1,66. Si, au contraire, on revient a la definition dek comme reduction necessaire de la longueur du lien pour superposer le reseaudecime au reseau initial, on obtient k 5

√3 et n 5 1,13. Comment trancher ?

Pour corriger l’erreur naturellement liee a la densite de liens dans le reseau sup-pose rempli, une facon d’operer est de reconstituer un reseau triangulaire infini

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5. LA TRANSITION DE PERCOLATION 167

a partir des deux reseaux finis. Pour le bloc de 5 liens, la densite est de 5/√

3,tandis que pour le reseau fini renormalise de 1 lien, la densite est de 6

√3/k2. En

exprimant que ces deux quantites sont egales, on obtient k 5 (18/5)1/2. On obtient

ainsi une valeur de l’exposant n en excellent accord avec la valeur exacte de 4/3 :

n 5ln(18/5)

2 ln(13/8)5 1,32 (5.22)

Nous laissons le soin au lecteur d’etendre ces approches a d’autres types de reseaux(carre ou nid d’abeille).

3.1.1. Approche d’echelle sur un systeme de taille finie

Soulignons de nouveau que le succes de ces calculs simples est trompeur surl’efficacite de la renormalisation de reseaux finis. L’exemple de la percolation desites sur un reseau triangulaire traite ci-dessus, montre qu’un calcul avec 7 sitesconduit a un resultat moins bon qu’un calcul avec 3 sites ! On est tente de pour-suivre l’experience avec des reseaux finis de plus en plus etendus, conduisant ades facteurs d’echelle k de plus en plus grands, de calculer a chaque fois la valeurn(k) puis de l’extrapoler pour une valeur infinie de k. Ce programme a ete rem-pli par differentes methodes. On peut difficilement utiliser la methode analytiqueci-dessus pour des valeurs elevees du nombre de sites du reseau fini. Pour allerplus loin dans cette demarche, il faut developper une idee nouvelle : l’approched’echelle sur un systeme de taille finie que nous avons rapidement evoque au § 5.4du chapitre 3.

0 1

Pfini

P∞

pc pc pc

Figure 5.7. Le poids de l’amas de percolation mesuré surdeux réseaux finis identiques comparé au poids de l’amassur un système infini.

Nous sommes confrontes a unecontradiction apparente : lesapproches d’echelle sont basees surl’invariance d’echelle, qui supposeelle-meme que le systeme soit detaille infinie. Elle est levee par lefait que nous supposons les systemesfinis mais tres grands par rapporta la taille elementaire. Observonsla transition de percolation sur ungrand nombre de systemes identiquesde taille lineaire L (voir FIG. 5.7) :le seuil de percolation varie d’un sys-teme a l’autre suivant les hasards duremplissage des sites.Nous allons chercher a evaluer la dis-tribution de la position du seuil enfonction de L. Soit R( p,L) la probabi-lite qu’un systeme de taille L percole– qu’il existe un chemin de percolation entre deux faces opposees – lorsque sapopulation est p. En vertu de l’hypothese du scaling, on s’attend a ce que le com-portement de cette probabilite soit directement lie au rapport entre L et j :

– si L > j, le systeme se comporte comme s’il etait infini ;– si L < j, alors les limites du systeme tronquent le processus de percolation.

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168 INVARIANCES D’ÉCHELLE

On peut donc supposer que :

R( p,L) 5 F(L/j) 5 F [( p− pc)nL] (5.23)

La distribution de seuil f(p,L) (probabilite que le seuil de percolation soir egal a

p) est donnee par la derivee≠R

≠pde R(p,L) :

f(p,L) 5≠R

≠p5 L1/nF′ [( p− pc)nL] (5.24)

0 1pc

R(p,∞)

R(p, L)

f(p, L)

Figure 5.8. Probabilité de percolation R(p,L), dans unsystème de taille finie comparée à celle d’un système detaille infinie. La distribution de seuil de percolation f(p,L)

est la dérivée≠R≠p

.

Au seuil de percolation, l’argument dela fonction F est voisin de 1. La dis-tribution de seuil f( p 5 pc) presentedonc un maximum proportionnel aL1/n. L’integrale de cette fonction estde 1, et sa largeur D est donc pro-portionnelle a L−1/n (voir FIG. 5.8).On peut ainsi deduire une valeur den en mesurant la largeur de la distri-bution :

y 5 1/n 5 − ln(D)ln(L)

1Cte

ln(L)(5.25)

Cette methode a permis de deter-miner, par extrapolation, des valeursexactes de n [Eschbach et al. 1981]comme le montre la FIG. 5.9

104

y b

103 102 20 10 7 5 4 3 2

0,75

0,70

0,65

0,60

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,40

L

1/ln LFigure 5.9. Variation de la largueur de la distribution de seuil pour des réseaux triangulaires de taille atteignant 100millions de sites. La tangente à ces valeurs, en accord avec l’éq., conduit à n 5 1/y 5 4/3, valeur supposée exactepour un réseau infini.

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5. LA TRANSITION DE PERCOLATION 169

Le tableau ci-dessous rassemble les resultats consideres comme exacts pour lesprincipaux exposants critiques de la percolation.

Exposant s t a b g n

Propriété Dépendanceen p − pc

du nombred’amas

Dépendanceen s dunombred’amas

Nombretotal d’amasX

ns

Poids del’amas infini

P

Taillemoyennedes amas

finisS

Longueur decohérence

j

2 dimensions 36/91 187/91 − 2/3 5/36 43/18 4/3

3 dimensions 0,45 2,2 – 0,6 0,4 1,8 0,88

Réseau de Bethed 5 6 et d > 6

1/2 5/2 – 1 1 1 1/2

Tableau 5.5. Principales valeurs des exposants de percolation : à deux dimensions les valeurs sont supposées êtrerationnelles.

4. La structure de l’amas infini au seuil de percolation

Il existe toujours un plus grand amas, que p soit ou non superieur au seuil. Onpeut s’interesser a la masse ML de ce plus grand amas en fonction de la taille Ldu reseau fini. On montre simplement [Stauffer et Aharony 1992] que :

– si p < pc, la masse du plus grand amasML est proportionnelle a ln(L) ;– si p > pc, la masse du plus grand amas ML est proportionnelle a Ld comme on

l’attend pour le reseau plein.

Que se passe-t-il pour p 5 pc precisement ? Au seuil de percolation, l’amas depercolation peut etre caracterise par deux dimensions :

– une dimension fractale dF (voir chapitre 2), qui decrit sa densite spatiale demasse ;

– une dimension spectrale ds (voir chapitre 4), qui caracterise les proprietes dyna-miques comme la diffusion et la conduction sur l’amas.

4.1. Dimension fractale

La masse ML de l’amas de percolation, qui est egalement le plus grand amas (ennombre de sites occupes), peut etre exprimee en fonction de la taille lineaire Ldu systeme : en utilisant la definition de P ( p), on exprime ML 5 P ( p)Ld. Parailleurs, la percolation se produit dans un systeme fini lorsque j( p) est de l’ordrede L. Au voisinage du seuil de percolation, on a donc la relation :

( p− pc) ∼ L−1/n (5.26)

En l’utilisant dans l’expression de la masse de l’amas de percolation, on obtient :

ML ∼ Ld−b/n (5.27)

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170 INVARIANCES D’ÉCHELLE

La dimension fractale de l’amas infini est donc, d’apres sa definition la plusdirecte :

dF 5 d− b/n (5.28)

A partir des valeurs d’exposants du tableau 5.5, on obtient les valeurs suivantespour la dimension fractale de l’amas infini (tableau 5.6) :

Dimension 2 3 Bethe : de 6 à l’infini

Dimension fractale de l’amas infini 91/48 2,51 4

Tableau 5.6. Dimension fractale de l’amas infini.

Figure 5.10. Taille du plus grand amas – ou amasde percolation – mesurée par simulation numériquesur des réseaux triangulaires atteignant dix milliards desites. La ligne droite superposée aux données a unepente de 91/48, valeur théorique de la dimension frac-tale de l’amas infini dans un espace à deux dimen-sions.

1

10

103

105

107

S∞

1 10 102 103 104

L

Ces valeurs sont bien verifiees parsimulation numerique comme lemontre la FIG. 5.10 extraite de lareference [Stauffer et Aharony 1992].

5. Propriétés dynamiques au voisinage d’une transition de percolation

Jusqu’a present, nous ne nous sommes interesses qu’aux proprietes statiques dela percolation. Dans ce dernier paragraphe, nous abordons rapidement l’essentielde ce qui interesse l’utilisateur de la percolation : il faut un chemin pour le fluidedans le marc de cafe, mais pouvons-nous prevoir le debit de cafe en fonction de

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5. LA TRANSITION DE PERCOLATION 171

la porosite p ? Dans chacune des situations physiques evoquees au debut de cechapitre, la meme question se pose :

Elément à petite échelle Processus à grande échelle Mesure dynamique

Pores dans le marc de café Ecoulement du liquideConductance

Régions conductrices Passage du courant électrique

Impact d’une balle Désagrégation de la cibleModule d’élasticité

Liaison entre deux polymères Gel : « molécule » de dimensionmacroscopique

Contamination d’un individu ÉpidémieVitesse de propagation

Un arbre s’enflamme La forêt brûle

Émergence d’une île sous l’effet dela baisse du niveau de l’océan

Formation d’un continentLoi de diffusion d’un randonneuraléatoire

Tableau 5.7. Mesures dynamiques dans différentes situations physiques de percolation.

On peut montrer que ces mesures dynamiques sont physiquement equivalentes enpremiere approximation. Nous le rappelons brievement ci-dessous pour la conduc-tance et le coefficient de diffusion.

Conductivite, diffusion et fourmis randonneusesNous considerons ici une population de n objets elementaires mobiles, par unitede volume. Ils peuvent etre des charges, des molecules, des bacteries, etc. Leurmouvement elementaire est soumis a un frottement visqueux tel que leur vitessed’equilibre v est proportionnelle a la force F a laquelle ils sont soumis :

v 5 mF (5.29)

Le coefficient de proportionnalite m est la mobilite de l’objet. Si chaque objettransporte une charge e cela conduit pour l’ensemble de la population a une loid’Ohm :

j 5 nemE 5 SE (5.30)

La conductivite S est ainsi proportionnelle a la mobilite m. Einstein a demontreque celle-ci et le coefficient de diffusion D des particules sont egalement propor-tionnels. Une facon de le montrer est de s’interesser a une population n(x) enequilibre dans un champ electrique constant E sur l’axe x, qui derive d’un poten-tiel V (x) 5 V0 − Ex. Si l’on peut negliger les interactions entre les particules,n(x) est donnee par la statistique de Boltzmann :

n(x) 5 n0 exp(− eEkTx

)(5.31)

Cet equilibre resulte de la compensation en tout point du courant jE de drift,donne par l’eq. 5.30, et du courant jD de diffusion resultant du gradient deconcentration :

jE 1 jD 5 0 et donc SE 5 nemE 5 D∇n 5 DeE

kTn (5.32)

D’ou la relation d’Einstein D 5 mkT et la proportionnalite entre le coefficientD et la conductivite S. Les physiciens se sont donc focalises sur la description

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172 INVARIANCES D’ÉCHELLE

de la diffusion de la fourmi randonneuse sur les amas de percolation : il refleteegalement le comportement de la conductivite. C’est precisement cette situationque nous discutons dans les paragraphes suivants.

5.1. Diffusion et conduction sur les amas de percolation

Dans les annees 1970, le comportement critique de la conductivite (ou de la dif-fusion) fut aprement debattu autour d’une hypothese d’echelle commune :

D ∼ S ∼ ( p− pc)m (5.33)

Une loi d’echelle nouvelle etait proposee environ chaque annee pour l’expressionde m (souvent egalement nomme t) tant le debat etait vif ! L’objectif etait de rat-tacher l’exposant m aux autres exposants, et notamment a la dimension fractalede l’amas infini. Cette situation complexe fut eclaircie notamment grace aux tra-vaux d’Alexander et Orbach [Alexander et Orbach 1982]. Nous envisageons suc-cessivement deux types de conditions initiales pour la fourmi, notre randonneuraleatoire : soit il part sur l’amas infini, soit il part d’un site occupe quelconque.

Diffusion sur l’amas infini

Nous nous placons dans ce premier cas en supposant p legerement superieur apc. Supposons qu’au bout d’un temps t, mesure en sauts d’un site a son voisin, lerandonneur-fourmi soit a une distance carree moyenne R2 de son point de depart :il peut avoir visite zero, une ou plusieurs fois lesM(t) sites compris dans la spherede rayon R. Dans un objet ordinaire, les lois de la diffusion normale conduisentaux relations :

M(t) ∼ R(t)d ∼ td/2 (5.34)

Dans un objet invariant d’echelle, nous serions tentes de remplacer d par la dimen-sion fractale, dans ces deux relations, mais cela ne modifie pas la loi de diffusionnormale (voir chapitre 3), alors que l’experience montre qu’elle n’est absolumentpas valable sur l’amas de percolation. On utilise ici la dimension dite spectraleds (deja introduite au chapitre 4 sur la diffusion) pour caracteriser la dependancetemporelle de l’espace visite par le diffuseur :

M(t) ∼ R(t)dF ∼ tds/2 (5.35)

Comme nous l’avons discute au chapitre 4, le nom de dimension spectrale estjustifie par la densite de phonons de basse frequence v sur l’amas de percola-tion [Bouchaud et Georges 1990] dont on montre qu’elle est de la forme vds−1.L’eq. 5.35 conduit a une loi de diffusion anormale :

R(t) ∼ tnD ou nD 5 ds/2dF (5.36)

La longueur caracteristique R peut etre consideree comme une longueur de cohe-rence de la diffusion, ou l’inverse du temps est l’equivalent de la distance au pointcritique t→ ∞. D’ou le choix du nom nD pour l’exposant caracterisant cette diffu-sion anormale. Fait etonnant qui la distingue fortement de la dimension fractale,la dimension spectrale de l’amas infini est une quantite pratiquement indepen-dante de la dimension d’espace [Alexander et Orbach 1982] : a deux dimensions,

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5. LA TRANSITION DE PERCOLATION 173

ds 5 1,30 et a trois dimensions, ds 5 1,33, valeurs tres voisines de la valeurchamp moyen (d 5 6 et plus) ds 5 4/3.La diffusion reste anormale sur l’amas infini jusqu’a des echelles spatiales del’ordre de j, et redevient normale pour des temps plus longs. Le temps caracte-ristique t pour lequel se produit ce changement de regime est :

t(j) ∼ j1/nD ∼ ( p− pc)−n/nD (5.37)

Le coefficient de diffusion effectif D( p) a grande echelle (R � j) peut donc s’ex-primer de la facon suivante :

D( p) ∼ j2

t∼ ( p− pc)−n(2−1/nD) ∼ ( p− pc)2n

�dFds

−1�

(5.38)

Conductivite d’un systeme pres de la transition : depart d’un site occupequelconque

Le calcul du paragraphe precedent suppose que le point de depart du randonneurest situe sur l’amas infini. La conductivite en courant continu du systeme doit etremoyennee sur tous les sites de depart possibles, mais elle est nulle si le point dedepart n’est pas sur l’amas infini. En exprimant b a partir de l’eq. 5.28, on obtient :

S ∼ pP ( p)D( p) ∼ ( p− pc)n�d12 dF

ds−dF −2

�(5.39)

L’exposant critique de la conductivite obeit donc a l’expression suivante :

m 5 n

(d 1 2

dFds

− dF − 2)

(5.40)

Module d’Young d’un gel

0 1pc

Figure 5.11. Propriétés mécaniques d’un gel au voisinagedu seuil de percolation. La viscosité h et le module d’YoungE sont portés en fonction du taux de réticulation.

La gelification est une applicationessentielle de la percolation. Les pro-prietes mecaniques d’une solution depolymeres subissent une transitionnette lorsque le degre de reticula-tion des molecules de la solution quiforment le gel, franchit le seuil depercolation : la viscosite h divergeau-dessous du seuil, tandis que lemodule d’Young E prend des valeursfinies au-dessus de ce niveau de reti-culation (voir FIG. 5.11).La reticulation peut etre provoqueepar irradiation ou par reaction chi-mique. Le taux de reticulation aug-mente en general lineairement avecle temps : en pratique, la transitionde la FIG. 5.11 est observee en fonc-tion du temps de reaction.

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174 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Le tableau 5.8 presente les exposants critiques correspondants, evalues pour 2 et3 dimensions ainsi que pour le champ moyen de Bethe (d 5 6 et plus).

Dimension 2 3 Bethe :de 6 à l’infini

n

exposant critique de la longueur de cohérence4/3 0,88 1/2

dFdimension fractale de l’amas infini

91/48 2,51 4

ds

dimension spectrale de l’amas infini1,30 1,33 4/3

m

exposant critique de la conductivité1,36 1,99 3

Tableau 5.8. L’exposant critique m correspondant à la conductivité en fonction de la dimension.

6. Conclusion

La percolation est un concept unificateur pour la description de la nature [DeGennes 1976], auquel n’echappe aucun champ des sciences. Nous vivons dansun espace a trois dimensions, ou nous cotoyons de nombreux objets quasi unidi-mensionnels ou bidimensionnels. Au regard de la dimension critique d 5 6, quicaracterise la percolation, ce sont des dimensions particulierement petites ou lacirculation des fluides n’est pas aisee dans un materiau heterogene. Faut-il trouver,dans cette particularite de notre espace, l’importance de la percolation ? Loin dela transition, sans doute : il suffit d’un bouchon pour mettre hors d’usage un tuyau(1D), alors que le gruyere ne se desagrege qu’au-dela de 80 % de trous. Pres de latransition, le caractere universel semble encore plus etendu.Regardons a nouveau les dimensions fractale et spectrale qui caracterisent l’amaspercolant : lorsque la dimension de l’espace tend vers l’infini, celles-ci tendent res-pectivement vers 4 et 4/3. La valeur 4, bien inferieure a 6, de la dimension fractaleexprime que la masse de l’amas percolant est proportionnellement de plus en plusfaible quand d augmente. Plus instructive est la dimension spectrale ds 5 4/3,pratiquement independante de la dimension d’espace (voir tableau 5.8). Rappe-lons qu’elle caracterise le nombre de sitesM(t) contenus dans la sphere de rayonR(t), distance caracteristique parcourue par le randonneur au temps t :

M(t) ∼ tds/2 ∼ t2/3 quelle que soit la dimension d de l’espace. (5.41)

a comparer au nombre t de pas effectues. Au voisinage de la transition, les sitessont visites de nombreuses fois par le randonneur, et ce quelle que soit la dimen-sion de l’espace support. La topologie extremement ramifiee de l’amas de percola-tion conduit a ce resultat etonnant de l’eq. 5.41. Tout ecoulement sur l’amas per-colant se produit comme si la dimension locale etait independante de la dimensiond’espace, et de plus voisine de 1. Les proprietes dynamiques telles que la diffusion

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5. LA TRANSITION DE PERCOLATION 175

et la conduction presentent ainsi une lenteur « hyper-universelle » pres de la tran-sition, en ce sens qu’elle depend tres peu de la dimension de l’espace. Un dernierpoint que le lecteur n’aura pas manque de remarquer est la simplicite de miseen œuvre de simulations numeriques, et la diversite des situations modeles envisa-geables. Le lecteur peut a juste titre se demander pourquoi nous avons essentielle-ment discute des resultats d’experiences numeriques et non presente des resultatsexperimentaux, comme nous l’avons fait pour les transitions de phase. Les expe-riences physiques sont en general beaucoup plus delicates a interpreter, en raisondes correlations de position, des effets de taille finie, de l’heterogeneite des ele-ments et de la qualite des contacts entre eux. Sur les grands systemes, on verifietres correctement les previsions des approches d’echelle, mais la precision obte-nues sur la valeur des exposants n’a pas la meme qualite que celle que l’on obtientdans le cas des transitions de phase.

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CHAPITRE

6CONFORMATION SPATIALE

DES POLYMERES

1. Introduction

1.1. De remarquables propriétés d’échelle

Bien que leur synthese releve de la chimie, voire de la biologie (par exemplel’ADN), les polymeres sont abondamment etudies par les physiciens, principale-ment parce qu’ils forment des materiaux aux proprietes remarquables ; il suffitde songer a la variete et a l’utilite des « matieres plastiques » dans notre envi-ronnement quotidien. En depit de son interet et de son importance, ce n’est pascet aspect que nous retiendrons, mais le fait que la « physique des polymeres »est un domaine ou les lois d’echelle sont omnipresentes, tout a la fois concep-tuellement fondamentales et extremement utiles en pratique [De Gennes 1984].Les polymeres possedent en effet une variable d’echelle naturelle : leur degre depolymerisation N , c’est-a-dire le nombre (tres grand) de monomeres constituantchacun d’eux. N est directement relie a la masse du polymere, qui est d’ailleursla grandeur mesuree experimentalement. De plus, la grande taille de ces poly-meres autorise leur observation, leur description ou leur simulation a des echellessupramoleculaires, ou les details des interactions atomiques n’interviendront quepar l’intermediaire de contraintes geometriques et de caracteristiques moyennes,« apparentes ».Dans ce chapitre, nous nous limiterons a presenter les lois d’echelle rencontreeslorsqu’on etudie la conformation spatiale d’un des polymeres du systeme. Du faitde la conjonction, ou plus souvent de la competition, entre la connexite du poly-mere (enchaınement lineaire des monomeres) et sa structure tridimensionnelle(les interactions entre les monomeres dependent de leur distance dans l’espacereel), la dependance en N des observables caracterisant cette conformation sera

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6. CONFORMATION SPATIALE DES POLYMÈRES 177

non triviale, tres differente de l’extensivite usuelle qui serait observee dans unnuage de monomeres libres1.La conformation d’un des polymeres du systeme dependra crucialement dupoids relatif des interactions que ressent un de ses monomeres : avec les autresmonomeres, avec les autres polymeres, avec le solvant. Il faut donc distinguerd’une part les solutions tres diluees, dans lesquelles chaque polymere peut etreconsidere comme une entite isolee, ignorant la presence des autres polymeresmais tres sensible a celle du solvant, d’autre part les solutions tres concentreesou les interactions entre les differentes chaınes jouent un role dominant, et enfinles solutions de concentrations intermediaires, ou les chaınes interagissent entreelles et avec le solvant. Nous allons voir que dans ces differentes situations, ladependance en N des observables prend la forme de lois d’echelle, universellesau sens ou elles ne dependent de la structure atomique specifique du poly-mere (sa « formule chimique ») que par l’intermediaire de quelques parametreseffectifs.Notre attention portera principalement sur la conformation spatiale d’un poly-mere isole (donc observee dans des solutions tres diluees) et sur les lois d’echelledecrivant les proprietes statistiques de cette conformation, par exemple la valeurmoyenne de la distance bout-a-bout et sa distribution de probabilite. En interpre-tant les conformations du polymere comme la trajectoire d’une marche aleatoire(N joue alors le role du temps), ces lois d’echelle rejoignent les lois de diffusionpresentees au chapitre 4 (§ 5). Leurs exposants sont universels au sein de classesdeterminees par le contexte physique, lequel controle les interactions entre lesmonomeres et leur influence sur la conformation des chaınes. On observe parexemple des comportements specifiques aux polyelectrolytes (polymeres dont lesmonomeres sont charges, § 2.4). Le solvant joue egalement un role essentieldans les proprietes conformationnelles. L’affinite du solvant pour les monomerespeut varier lorsque la temperature varie ; si elle diminue jusqu’a devenir infe-rieure a l’affinite des monomeres les uns pour les autres (on dit qu’on passed’un bon solvant a un mauvais solvant), on observe une transition conforma-tionnelle au cours de laquelle le polymere s’effondre sur lui-meme et adopteune conformation globulaire compacte. Le point de transition, en l’occurrenceune temperature, s’appelle le point Q du couple polymere/solvant (§ 2.3 et§ 3.2).A l’oppose se situent les lois d’echelle decrivant les proprietes des solutions tresconcentrees et des « fondus » de polymeres (polymer melts en anglais). La sta-tistique d’une chaıne au sein de l’ensemble est alors celle d’une chaıne ideale,librement jointe, ou les monomeres s’enchaınent sans exercer de contraintes lesuns les autres (§ 4.1). Il y a enfin les lois d’echelle apparaissant dans les solu-tions semi-diluees, intermediaires entre les solutions tres diluees et les fondus. Lavariable d’echelle est alors la fraction volumique de monomeres (§ 4.2).Nous allons voir qu’il est possible, comme dans le cas de la percolation, de rendrecompte de l’effet resultant de tous les ingredients physiques par des modeles

1 La limiteN → ∞ est souvent appelee « limite thermodynamique » mais leurs natures et leurs fonde-ments theoriques sont differents, comme nous le verrons au § 3.3. Ces limites ont cependant toutesles deux l’effet de « radicaliser » les proprietes en faisant emerger les comportements dominants auxdepens des corrections d’ordre superieur qui les temperent ; par exemple, de tels passages a la limiteN → ∞ transforment les pics en distributions de Dirac et les marches douces en discontinuites.

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178 INVARIANCES D’ÉCHELLE

essentiellement geometriques : chaıne ideale (§ 2.1), chaıne sans recouvrement(§ 2.2), chaıne avec interaction de contact (§ 2.3). L’universalite des lois d’echelles’ensuit. La determination des proprietes conformationnelles d’un polymere ad’abord fait appel a des approches de type champ moyen (theorie de Flory, § 3.1 outheorie de Flory-Huggins incluant le solvant, § 3.2) ; nous presenterons leurs suc-ces mais aussi leurs faiblesses, qui ont conduit a les remplacer par des methodesde renormalisation (§ 3.5).La grande diversite des tailles accessibles, aussi bien experimentalement quenumeriquement, permet de valider et d’exploiter les lois d’echelle correspon-dantes. Le point important est qu’elles sont verifiees dans tout un domaine detemperatures et pas seulement pour une valeur singuliere Tc : elles regissentle comportement typique des polymeres. Elles seront ainsi largement observees,de facon robuste, et exploitables dans toutes les approches experimentales,voire technologiques. La physique des polymeres est un domaine ou l’invarianced’echelle est tres forte et ne se limite pas a l’existence d’exposants : elle s’exprimea l’aide de fonctions universelles (scaling functions). En pratique, les courbes expe-rimentales ou numeriques obtenues pour differentes valeurs de N se superposentsur une meme courbe apres « redimensionnalisation » (le terme consacre estrescaling) des variables et des observables : par exemple, la distance bout-a-boutR est remplacee par la variable d’echelle RN−n.L’etude des proprietes conformationnelles d’un polymere a recemment vu son inte-ret renforce par de remarquables progres experimentaux, qui permettent main-tenant d’observer et meme de manipuler isolement une macromolecule (citonspar exemple le marquage par des molecules fluorescentes et les manipulationsa l’aide de micropipettes, de pointes de microscopes a force atomique ou delasers utilises comme des « pinces optiques » apres greffage de billes aux extre-mites de la molecule). Les modeles theoriques peuvent ainsi etre directementvalides par l’experience et inversement, leurs predictions fournissent un guide pre-cieux pour interpreter les resultats de ces manipulations et pour les exploiter, defacon extremement fructueuse, dans un contexte biologique (molecules d’ADN,par exemple).

1.2. La longueur de persistance

Toute la « physique des polymeres » debute par une etape de modelisation, consis-tant a se mettre des œilleres pour ne voir dans l’assemblage atomique complexe etspecifique constituant chaque polymere qu’un petit nombre d’ingredients, beau-coup plus universels, qu’on pense etre impliques de facon dominante dans lapropriete physique observee. Cet elagage peut encore etre renforce lorsqu’on necherche que les eventuelles lois d’echelle associees a cette propriete. C’est lademarche adoptee, de facon exemplaire, lorsqu’on s’interesse a la forme tridimen-sionnelle (ce qu’on appelle la conformation) de polymeres lineaires, c’est-a-direconstitues de l’assemblage lineaire de motifs moleculaires.Le premier stade de la modelisation est de considerer chaque motif comme uneentite elementaire dont on ne decrit plus la structure fine : les details des liaisonsinteratomiques ou la presence de chaınes laterales seront pris en compte dans la

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6. CONFORMATION SPATIALE DES POLYMÈRES 179

taille effective leff du motif et dans les interactions, elles aussi effectives, qu’il pre-sente avec les motifs voisins et plus generalement avec son environnement (motifsnon consecutifs, solvant, autres polymeres). Suivant la precision requise, ces para-metres effectifs peuvent etre obtenus au terme d’une simulation de dynamiquemoleculaire ou ajustes a posteriori en identifiant des predictions dependant deces parametres et les observations correspondantes.Un exemple typique de parametre effectif est la longueur de persistance d’unpolymere. Il faut au prealable distinguer deux types de polymeres, les polymeresflexibles et les polymeres semi-flexibles.La famille des polymeres flexibles comprend les polymeres lineaires les plussimples, par exemple le polyethylene, dans lesquels deux monomeres successifssont relies par une simple liaison covalente. L’angle diedre entre deux monomeresn et n 1 1 est fixe par la nature de la liaison, mais le monomere n 1 1 peutprendre b orientations equiprobables relativement a la chaıne des n premiersmonomeres, correspondant aux b minima que presente l’energie totale par rap-port a la variable angulaire decrivant l’orientation dans l’espace de ce monomeresupplementaire ; la FIG. 6.1 presente le cas b 5 2, observe par exemple avecles configurations cis et trans des chaınes organiques. Le nombre de confor-mations possibles croıt ainsi exponentiellement vite, en bN , avec le nombre Nde monomeres. Tres rapidement, l’extremite de la chaıne va decrire la surfaced’une sphere, de facon d’autant plus dense, homogene et isotrope queN est grand.

0

1

2 2’

3

3’ 3’’

3’’’

4

4’4’’ 4’’’ etc.

Figure 6.1. Longueur de persistance entropique lpvenant de l’existence de b orientations relatives possiblesentre deux monomères successifs. Par commodité, leschéma a été fait avec b 5 2 ; il illustre le fait que lespoints où peut se trouver l’extrémité de la chaîne vontremplir le cercle, de façon de plus en plus homogène etdense à mesure que sa longueur N augmente (le rayoncroît comme N alors que le nombre de points croît comme2N). lp est la longueur au bout de laquelle l’orientation d’unmonomère est devenue indépendante de celle du premiermonomère de la chaîne ; lp ne dépend pratiquement pasde la température.

Autrement dit, on observe une decor-relation des orientations ; la longueurde chaıne au bout de laquelle onpeut considerer que les orientationsdu premier et du dernier monomeresont independantes est appelee la lon-gueur de persistance lp du polymere.A l’ordre dominant, elle ne dependpas de la temperature. Il est com-mode de redefinir ce qu’on appelleun monomere et de prendre commeunite cette longueur lp ; a cetteechelle, le polymere apparaıt commeune chaıne parfaitement souple, dite« librement jointe ». Cette etape,reduisant la specificite du modele ini-tial en l’integrant dans un seul para-metre lp, est particulierement inte-ressante dans les modeles numeriquesde polymeres, sur reseau : un mono-mere sera simplement represente parun lien separant deux nœuds adja-cents du reseau (FIG. 6.4). La lon-gueur de ce lien est identifiee a lp lors-qu’on revient en vraies grandeurs.

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180 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Lp

kT

Figure 6.2. À gauche, liberté angulaire du entredeux liaisons chimiques successives le longd’un polymère semi-flexible, permise par lesfluctuations thermiques. À droite, interprétationgraphique de la longueur de persistance commeétant la longueur caractéristique (moyenne) aubout de laquelle les fluctuations thermiquesautorisent une courbure de la chaîne correspon-dant à un angle de p/2 entre les tangentes auxextrémités. Cette longueur décroît, typiquementen 1/T , si la température T augmente.

La famille des polymeres semi-flexibles com-prend des polymeres de structure chimiqueplus complexe, impliquant une liaison plusforte qu’une simple liaison covalente entreles motifs : double liaison, surimposition deliaisons hydrogene ou d’autres liaisons « phy-siques » entre les monomeres successifs. Unexemple typique est celui de l’ADN. Lesmonomeres sont les paires de base, et auxliaisons covalentes enchaınant les atomes desdeux rampes de la double helice (squelettesphosphodiester) s’ajoutent les liaisons hydro-gene entre les bases complementaires, et desinteractions d’empilement (stacking) entreles marches que forment les bases appariees2.Dans de tels polymeres complexes, l’orienta-tion entre les monomeres successifs est biendeterminee : la seule souplesse allouee reside dans les fluctuations thermiques del’angle diedre uj entre les motifs j et j 1 1 (FIG. 6.2). Les fluctuations de l’angleuj et celles de l’angle uj11 sont independantes : leurs variances, proportionnelles akT , vont donc s’ajouter. La liberte angulaire entre le motif 1 et le motif n va ainsise comporter comme

√nkT . Lorsque cette liberte est assez grande, par exemple

lorsque son ecart type depasse p/2, on peut considerer que les orientations desmotifs sont statistiquement independantes (FIG. 6.2). On voit ainsi apparaıtre unnombre minimal np ∼ const/kT de motifs au-dela duquel la chaıne de motifsa perdu la memoire de son orientation initiale (orientation du premier motif).La longueur Lp 5 np leff correspondante s’appelle la longueur de persistance (decourbure) du polymere semi-flexible. Elle s’ecrit donc Lp 5 A/kT ou A dependde la structure atomique du polymere lineaire considere. On peut en pratique cal-culer Lp comme la longueur de correlation angulaire a travers la relation suivante(l 5 n leff etant la longueur du segment de chaıne considere) :⟨

cos

n∑j51

uj

⟩ 5 e−l/Lp avec Lp 5A

kT(6.1)

Une energie elastique de courbure est alors associee a chaque configuration dupolymere : si r est la courbure locale de la chaıne, la densite lineique d’energie elas-tique3 s’ecritAr2/2 (energie par unite de longueur). Le coefficientA, independantde T a l’ordre dominant, s’interprete comme la constante elastique de courbure.Un tel modele est appele le « modele du ver » (worm-like-chain en anglais) et ils’utilise lorsque la chaıne est peu flexible (Lp grande devant les echelles molecu-laires) et que sa rigidite est un parametre conformationnel essentiel.

2 C’est d’ailleurs l’incompatibilite de longueur entre l’espacement naturel des bases le long desrampes, de l’ordre de 7 A , et celui de 3,4 A impose par ces interactions d’empilement qui conduit lamolecule a adopter sa forme en double helice.3 En adoptant une description de la chaıne comme une courbe continue, d’abscisse curvi-ligne s et de tangente locale t(s), l’energie de courbure d’une longueur l de chaıne s’ecrit(A/2)

R l0 (dt/ds)2(s)ds 5 (A/2)

R l0 r(s)

2ds.

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6. CONFORMATION SPATIALE DES POLYMÈRES 181

2. Conformations d’un polymère flexible isolé

2.1. Polymères et marches aléatoires

R

Rg

Figure 6.3. Distance bout-à-boutR et rayon de giration Rg.

Il est fructueux d’envisager la conformation spatialed’un polymere lineaire flexible comme la trajectoired’une marche aleatoire : les resultats obtenus dans cecadre mathematique (§ 3, chapitre 4) s’interpretentdirectement en termes de proprietes statistiques dupolymere. Le nombre de monomeres N correspond aunombre de pas de la marche aleatoire. Les proprietesphysiques de l’assemblage des monomeres (longueurde persistance, volume exclu, interactions attractives)se traduisent dans les regles regissant le deplacementdu marcheur. Nous noterons desormais a la longueurquadratique moyenne d’un monomere (en pratique,choisie egale a la longueur de persistance lp pour evi-ter les contraintes angulaires entre les pas successifs).Dire que la marche aleatoire suit asymptotiquement la loi de diffusion R(t) ∼ tg/2

signifie que la distance bout-a-bout R(N) ≡ 〈|XN − X0|2〉1/2 suit la loi d’echelleR(N) ∼ Ng/2 dans la limite N → ∞, a un facteur multiplicatif pres dependantdes unites choisies. Le modele de polymere le plus simple est celui correspondanta la marche ideale (pas identiques et statistiquement independants, sans biais,FIG. 6.4). Nous avons vu au chapitre 4, § 3.1 que dans ce modele :

R(N) ∼ a√N (6.2)

La distribution PN (r) est gaussienne 4, donnee par :

PN (r) ∼ e−dr2/2Na2(6.3)

ou d est la dimension de l’espace. On en deduit l’entropie d’une chaıne ideale :

SN (r) 5 SN (0) − dr2

Na2 (6.4)

La plupart des modeles et resultats presentes au chapitre 4 vont avoir un equi-valent dans le contexte de la physique des polymeres, en particulier la diffusionanormale et son caractere critique.

2.2. Marches aléatoires auto-évitantes

Le modele de la marche ideale presente le defaut majeur de ne pas prendre encompte les contraintes de volume exclu entre les monomeres de la chaıne. En effet,les monomeres ne peuvent s’interpenetrer, ni meme s’approcher de trop pres l’unde l’autre. Les chaınes ne peuvent ainsi se croiser ni meme se toucher : on parlede chaınes auto-evitantes5 ou, de facon equivalente, de chaınes sans recouvrement

4 On parle de chaıne gaussienne des que PN (r) est asymptotiquement gaussienne. C’est le cas desque la portee des correlations le long de la chaıne reste bornee.5 En termes mathematiques, cela correspond a des marches aleatoires non markoviennes : le mar-cheur doit garder une memoire infinie de son histoire pour ne pas repasser par un site deja visite.

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182 INVARIANCES D’ÉCHELLE

(self-avoiding walks en anglais, abrege en SAW, FIG. 6.4). Quantitativement, cettepropriete se modelise par une interaction infiniment repulsive, de portee le dia-metre de la zone d’exclusion, autrement dit en introduisant un volume exclu v,egalement ecrit v 5 adw ou w est un parametre sans dimension. Ce volume excluest analogue au volume des spheres dans les modeles de spheres dures. Dans lesmodeles sur reseaux, il suffit d’interdire la double occupation des sites. Il fautsouligner que ce modele reste purement geometrique : la propriete physique derepulsion a courte portee entre les monomeres est entierement prise en comptedans une contrainte imposee sur le trace de la chaıne, ce qui revient a reduirel’espace des configurations permises.

Figure 6.4. Trois modèles de polymère sur réseau (ici carré) : à gauche, la marche idéale à pas successifsindépendants (la longueur d’un pas est égale à la longueur de persistance du polymère, voir § 1.2) ; aumilieu, la marche auto-évitante dont le tracé ne peut se recouper (dite aussi « sans recouvrement ») ; à droite,la marche auto-évitante avec interactions, où une énergie attractive − J est attribuée à chacun des contactsreprésentés en pointillés.

Dans le modele de la marche aleatoire sans recouvrement, la chaıne possede une« memoire complete » de son trace anterieur. En ce sens, les correlations tem-porelles ont une portee N qui diverge avec la longueur de la chaıne : dans lalimite N → ∞, un tel polymere apparaıt comme un objet critique. Des resultatsexperimentaux6 et theoriques montrent que la distance bout-a-bout se comportecomme :

R(N) ∼ N n(d) (6.5)

On retrouve n(d) 5 1/2 lorsque la dimension d de l’espace est superieure a unedimension critique dc 5 4 ; en effet, les contraintes de volume exclu ont alorsune probabilite negligeable de se faire sentir et elles ne suffisent pas a modifierla loi d’echelle de la marche ideale. Si d < 4, on a n(d) > 1/2. Cet exposantanormal est appele l’exposant de Flory7. Les valeurs a retenir sont n(1) 5 1,n(2) ≈ 3/4 et n(3) ≈ 3/5. La dimension fractale des chaınes auto-evitantes, egale

6 Les resultats experimentaux concernent surtout le cas de la dimension d 5 3 ; on peut neanmoinsacceder a la dimension d 5 2 en utilisant des films minces (couches de Langmuir, par exemple).7 On emploie parfois ce nom dans un sens plus restreint, pour designer la valeur de cet exposantlorsqu’elle est obtenue dans la theorie de Flory, § 3.1.

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6. CONFORMATION SPATIALE DES POLYMÈRES 183

a df (d) 5 1/n(d), est alors inferieure a la dimension 2 des chaınes ideales (cha-pitre 4, § 1.3). Le rayon de giration8 Rg(N) suit une loi d’echelle similaire, dememe exposant n, mais avec un prefacteur different. Les donnees experimentales(par diffusion de la lumiere ou diffusion de neutrons) montrent que l’exposantn(d) est invariant au sein de classes de polymeres, et ce dans une large gammede temperatures. La valeur obtenue (en dimension 3) est nexp 5 0,586 ± 0,004[Cotton 1980] (voir FIG. 6.5). Les valeurs les plus precises sont obtenues theori-quement (§ 3.3). On a par exemple n(3) 5 0,5880 ± 0,0010 [Le Guillou et ZinnJustin 1977]. Tracer R(N)N−n ou Rg(N)N−n en fonction de T pour differentesvaleurs deN conduit a une courbe universelle pour T > Tu ou le seuil Tu est appelele point Q du polymere (§ 2.3).

Mesure de l’exposant nLa solution, prise assez diluee pour que les chaınes n’interagissent pas entre elleset adoptent individuellement la meme conformation que si elles etaient vraimentisolees, est observee par diffusion de neutrons.La diffusion etant elastique, le vecteur d’onde ki des neutrons incidents et le vecteurd’onde kf des neutrons diffuses ont le meme module k et leur difference q 5 kf −kiest reliee a l’angle de diffusion u suivant q 5 k sin(u/2). On utilise des neutrons « ther-miques », c’est-a-dire dont l’energie cinetique a ete abaissee par thermalisation defacon a amener leur longueur d’onde (directement reliee a la resolution) aux valeursde l’ordre du nanometre typiques des polymeres. La procedure pour extraire le signaldu a un seul polymere alors qu’on observe une solution consiste a marquer au deu-terium la moitie seulement des chaınes, et a prendre pour solvant un melange d’eau(H2O) et d’eau lourde (D2O). En ajustant la proportion de ce melange (methode du« contraste variable »), on peut annuler certains termes dans l’intensite diffusee pourne conserver que le terme decrivant la contribution individuelle des chaınes, et endeduire le comportement d’une chaıne isolee.La premiere methode est de mesurer le facteur de structure S(q) (il est directe-ment proportionnel a l’intensite diffuse dans la direction u(q)), en faisant varier ladirection u dans laquelle on observe le faisceau diffuse de facon a sonder le domainea < q−1 < Rg. Dans ce domaine, S(q) se comporte q−1/n ; autrement dit, on observedirectement une loi d’echelle impliquant l’exposant n cherche en considerant, via lachoix de l’angle u d’observation, des segments de longueur q−1 variable. On obtientainsi n 5 0,59± 0,2 [Cotton et al. 1974].On peut egalement mesurer l’intensite diffusee aux petits angles, ce qui corresponda q → 0. Dans cette limite, l’intensite diffusee peut etre predite theoriquement enfonction du rayon de giration moyen Rg(N) des chaınes. L’ajustement de la courbetheorique sur les points experimentaux determine la quantite inconnue Rg(N). Enconsiderant successivement differentes valeurs de N , on peut tester la prediction deFlory et donner une estimation de l’exposant n. Cette seconde methode, en apparenceplus directe, repose sur la monodispersite des chaınes, ce qui diminue sa fiabilite et

8 En notant (ri)i51...N la position des N monomeres, le rayon de giration est defini par :

R2g(N) ≡ 1

N〈NXi51

|ri − rg |2〉 51

2N2〈NXi,j

|ri − rj |2〉

ou rg est la position du centre de masse de la chaıne : rg 5 N−1 PNi51 ri. Le rayon de giration est

ainsi le rayon de la sphere de centre rg et ayant le meme moment d’inertie que la chaıne si la massetotale N du polymere est repartie sur sa surface (voir FIG. 6.3).

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184 INVARIANCES D’ÉCHELLE

sa precision ; on peut neanmoins corriger l’erreur systematique venant de la polydis-persite, ce qui conduit a la valeur nexp 5 0,586± 0,004 [Cotton 1980].

Figure 6.5. Graphe log-log représentant le rayonde giration Rg en fonction de la masse molé-culaire M, directement proportionnelle au nombrede monomères N ; la pente donne la valeurn 5 0,586 ± 0,004 pour l’exposant de Flory.Les ronds pleins et clairs correspondent à deuxséries d’observations, par diffusion de la lumière, desolutions diluées de polystyrène dans du benzène(d’après [Cotton 1980]).

105

M106 107 108

Rg

(M)

102

103

104

2.3. Le rôle du solvant : le point Q

Un phenomene remarquable, connu sous le nom de point Q, est la transition obser-vee a une certaine temperature T 5 Tu entre des lois d’echelle d’exposants diffe-rents pour la distance bout-a-bout ou le rayon de giration d’un polymere :

R(N) ∼ N n(d) si T > Tu

R(N) ∼ N nu(d) si T 5 Tu

R(N) ∼ N1/d si T < Tu

(6.6)

avec 1/d < nu(d) < n(d) ou d est la dimension de l’espace. Le fait d’observer deslois d’echelle differentes de part et d’autre de la temperature Tu revele qu’unetransition conformationnelle s’y produit. La valeur Tu depend non seulement dupolymere mais aussi du solvant, montrant que celui-ci joue un role essentiel dansle phenomene. En dimension d 5 3, on predit theoriquement que nu(3) 5 1/2 etque l’on doit retrouver le comportement asymptotique R(N) ∼

√N d’une marche

ideale. Notons que la chaıne n’est pas pour autant une chaıne ideale : la distribu-tion de la distance bout-a-bout (ou du rayon de giration) different, de meme queles correlations entre les pas. En dimension d 5 2, les theories s’accordent sur lavaleur nu(2) 5 4/7 [Saleur et Duplantier 1987].

On peut comprendre qualitativement l’existence de ce point Q. Elle vient de ceque le poids relatif des interactions entre, d’une part, deux monomeres et, d’autrepart, un monomere et le solvant varie avec la temperature. A haute temperature(T > Tu), la repulsion entre les monomeres domine et un monomere « prefere »s’entourer de solvant : on parle de « bon solvant ». Le modele de la marche aleatoireauto-evitante decrit alors tres correctement les conformations de la chaıne (alorsappelees des « pelotes » – coil en anglais) et l’on a R(N) ∼ N n.A basse temperature (T < Tu), la repulsion entre un monomere et les moleculesde solvant est la plus forte si bien que le monomere va « preferer » s’entourerd’autres monomeres. Cela provoque un effondrement de la chaıne sur elle-meme,

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6. CONFORMATION SPATIALE DES POLYMÈRES 185

avec R(N) ∼ N1/d ; on parle alors de « mauvais solvant » et de « phase globu-laire » ; la geometrie des conformations typiques y est compacte, de dimensionfractale df 5 d. En T 5 Tu, la repulsion de volume exclu entre deux mono-meres est exactement compensee par l’apparente attraction entre les monomeresvenant de ce que le solvant les repousse. Le modele de la marche auto-evitantene decrit que la chaıne en bon solvant. Pour rendre compte de la phase globu-laire et de la transition conformationnelle se produisant au point Q, on completele modele en ajoutant une interaction attractive −J a courte portee, se manifes-tant des que deux monomeres non consecutifs sont voisins sur le reseau. On parlede marche aleatoire auto-evitante avec interaction (interacting self-avoiding walk,ISAW, FIG. 6.4)9.Les questions theoriques sont de determiner la nature de cette transition et, sipossible, d’unifier les trois lois d’echelle observees dans chacune des phases sousla forme compacte analogue a celle decrivant les points tricritiques10 :

R(N ,T ) ∼ N nu f(Nf(T − Tu)) (6.7)

Le comportement a l’infini de la fonction universelle f est fixe par la condition deretrouver les lois d’echelles de la phase pelote et de la phase globulaire :

f(z →1∞) ∼ zn−nuf

f(z → −∞) ∼ |z|1/d−nu

f

(6.8)

L’exposant f, appele exposant de crossover, va en particulier decrire la facon dontla temperature de transition Tu(N) en taille finie depend deN : Tu(N) − Tu ∼ N−f.Pour observer experimentalement le point Q, on utilise par exemple du polysty-rene dilue dans du cyclohexane, solvant dont l’affinite avec les monomeres destyrene varie fortement avec la temperature. On obtient un « solvant Q » (pour cepolymere particulier) a la temperature de 34,5 oC. Les mesures donnent la valeurnu 5 0.500 ± 0.004 apres correction de l’effet de la polydispersite [Cotton 1980],en accord avec la prediction theorique nu 5 1/2 en dimension 3 [De Gennes1984].

2.4. Lois d’échelle pour un polyélectolyte

Continuons cette presentation des lois d’echelle que manifeste un polymere isolepar le cas ou le polymere est naturellement charge, ce qu’on appelle un polyelectro-lyte. Citons par exemple l’ADN, ou chaque groupement phosphate de son squeletteporte une charge negative, soit deux charges negatives par paire de bases11, ce qui

9 On retrouve la marche auto-evitante dans la limite T → ∞ : elle decrit la contribution entropiqueintervenant dans la distribution conformationnelle de la marche avec interaction (le parametre effec-tif controlant le poids de l’interaction est K 5 bJ , ou ici b 5 1/kT ).10 Dans le cadre des transitions de phase presentees au chapitre 1, les points tricritiques sont obser-ves dans des systemes possedant, outre la temperature, un second parametre de controle e, regissantpar exemple le poids relatif de deux contributions a l’hamiltonien appartenant a des classes d’uni-versalite differentes. On observe alors une ligne Tc(e) de points critiques ; les points tricritiquescorrespondent aux points singuliers de cette ligne et ils marquent le passage d’une classe d’univer-salite a une autre.11 Les paires de base sont distantes de 3,4 A si on mesure leur distance le long de l’axe central de ladouble helice d’ADN, ce qui donne une charge negative − e pour 1,7 A .

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186 INVARIANCES D’ÉCHELLE

est enorme (cela donne un total d’environ 6 3 109 charges pour l’ADN contenudans une seule de nos cellules !). Un polyelectrolyte en solution aqueuse addition-nee de sels (c’est la situation de l’ADN dans une cellule) va fortement attirer lesions de charge opposee, qui vont partiellement le neutraliser : on les appelle descontre-ions.On peut comprendre sans calcul quel sera l’effet des charges sur la conformationd’un polyelectrolyte lineaire lorsque toutes les charges qu’il porte sont identiques.En effet, chaque charge repousse ses voisines et le polymere doit donc maximiserla distance entre ses monomeres, ce qui est realise de facon optimale lorsqu’il estrectiligne12. Considerons le cas d’un polymere semi-flexible, par exemple l’ADN.La rigidite naturelle de la molecule est renforcee par une contribution venantdes repulsions coulombiennes entre les charges. Cette augmentation de la rigiditede la chaıne peut etre prise en compte en ajoutant a la longueur de persistancestructurale L0

p une longueur de persistance « electrostatique » : Lp 5 L0p 1 Lel

[Lebret et Zimm 1984]. Par exemple, la longueur de persistance totale de l’ADNdans les conditions physiologiques est de 53 nm (pour un rayon de 1 nm), soitenviron 150 paires de bases, avec des contributions structurale et electrostatiquecomparables. Les polyelectrolytes sont ainsi des molecules tres rigides.Le comportement global du polyelectrolyte et la facon dont il va interagir avec sonenvironnement plus lointain vont bien evidemment dependre de l’importance desa neutralisation par des contre-ions, donc du nombre de contre-ions disponiblesdans la solution ; la valence des ions est egalement determinante. La capacited’une solution salee a neutraliser les objets charges qu’on y place est evaluee parsa force ionique c 5

∑i c

2i z

21 ou la somme porte sur toutes les especes ioniques13,

ci etant la concentration de l’espece i de valence zi. Lorsqu’on etudie plus endetail l’interaction d’un polyelectrolyte avec le solvant et les ions qu’il contient, ilapparaıt trois longueurs caracteristiques :

– la premiere est la longueur de Bjerrum lB 5 e2/4pekT , ou e 5 e0er est laconstante dielectrique (ou permittivite) du solvant (er 5 78,5 pour l’eau). Soninterpretation est immediate : l’energie coulombienne entre deux charges ele-mentaires distantes de lB est egale a l’energie thermique kT ; lB est ainsi ladistance a partir de laquelle l’agitation thermique prend le dessus sur les inter-actions coulombiennes ;

– la seconde est la longueur de Debye lD 5√kT e/e2c 5 1/

√4plBc. Elle depend

du solvant (via e) mais aussi du sel (via c). C’est la longueur caracteristiqued’ecrantage des interactions coulombiennes : dans de l’eau salee, le potentielelectrostatique prend la forme v(r) 5 1

4per e−r/lD , de portee lD finie ;

– la troisieme, ne dependant que du polyelectrolyte, est la longueur l par chargele long de la chaıne ; la densite lineique est ainsi ±e/l, suivant le signe descharges14.On distingue les polyelectrolytes faiblement charges, pour lesquels l < lB, etles polyelectrolytes fortement charges, pour lesquels l > lB .

12 Notons qu’en solution, les interactions coulombiennes sont ecrantees ; la rigidification du poly-mere est ainsi limitee, de longueur caracteristique totale Lp finie.13 La valence apparaissant sous forme d’un carre, les contributions des differentes especes sonttoutes positives.14 Nous n’envisageons ici que le cas simple des homopolymeres, ou tous les monomeres portent lameme charge.

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6. CONFORMATION SPATIALE DES POLYMÈRES 187

Si le polyelectrolyte est faiblement charge, sa neutralisation par des contre-ions vadependre de la force ionique : il s’assouplit lorsqu’on ajoute un sel a la solution carles ions de charge opposee a la sienne (liberes a la dissolution par dissociation dusel) viennent le neutraliser partiellement et reduisent ainsi la repulsion electrosta-tique et la contribution Lel qui s’ensuit. On met experimentalement en evidencela decroissance de la longueur de persistance Lp 5 L0

p 1 Lel quand on ajoute dusel, jusqu’a ce qu’elle atteigne la valeur L0

p de la chaıne neutre. Les resultats expe-rimentaux laissent penser que la dependance de Lel par rapport a la concentrationde sel dissous obeit a une loi d’echelle mais son exposant est encore controverse.Si le polyelectrolyte est suffisamment charge, on rencontre un phenomene remar-quable : la condensation de Manning. Elle correspond a la formation d’une gainede contre-ions quasiment au contact du polyelectrolyte. Le nombre d’ions venantse condenser et neutraliser le polyelectrolyte est determine par la temperature T ,la charge lineique du polyelectrolyte – si elle est assez elevee – et la valence Z desions, mais il est independant de la concentration en ions dans la solution. Nousdetaillons ci-dessous ce phenomene assimilable a une transition de phase [Man-ning 1969]. Les longueurs lB et l controlent le point de transition, alors que lDcontrole l’epaisseur de la gaine.

La condensation de ManningDans le traitement de type « champ moyen » du probleme, du a Onsager [Onsager1949], on commence par supposer qu’il n’y a qu’un contre-ion situe a une distanceinferieure a lD et on calcule la fonction de partition de N contre-ions. Si ZlB > l,elle diverge lorsque N tend vers l’infini, ce qui montre que l’hypothese de depart estfausse et qu’il y a en fait une fraction finie de contre-ions qui viennent se conden-ser sur le fil, a une distance inferieure a lD. La condition ZlB > l montre que lacondensation se produit d’autant plus facilement que la temperature est basse, quele polyelectrolyte est charge et que la valence des contre-ions presents dans le solvantest elevee. Le seuil ZlB 5 l s’interprete comme un point de transition de phase,correspondant a la condensation des ions sur le polyelectrolyte15.Une approche plus rigoureuse, basee sur l’equation de Poisson-Boltzmann, confirmeque ce resultat est qualitativement valable : la condensation des contre-ions appa-raıt pour ZlB > l. Le point remarquable est que le nombre de contre-ions s’ajustede sorte que la charge lineique nette du polyelectrolyte gaine – la charge vue del’exterieur, effectivement ressentie par l’environnement – soit abaissee a la valeure/ZlB , seuil auquel la condensation commence a se produire. La gaine de contre-ions augmente jusqu’a ce que la valeur ZlB/lgaine atteigne le seuil, ce qui stoppe lerecrutement des contre-ions. La distance moyenne entre deux charges effectives dupolyelectrolyte gaine est ainsi egale a ZlB . Cet effet est commun a tous les polyelec-trolytes et en ce sens il est universel. Il va bien sur intervenir dans la dependance dela longueur de persistance electrostatique par rapport a la force ionique. Un calculapproche donne la valeur Lel 5 l2

D/4lB .

15 Le solvant restant globalement neutre (ajouter du sel de cuisine dans de l’eau y introduit des ionsNa1 et des ions Cl− en quantites egales), on peut se demander ce que deviennent les autres ions,ceux ayant la meme charge que le polyelectrolyte : on montre qu’ils ne jouent aucun role dans cephenomene de condensation, localise dans le voisinage immediat du polyelectrolyte (et impliquantfinalement assez peu d’ions au total par rapport a la quantite presente, mais leur localisation speci-fique leur donne des consequences importantes) [Manning 1969].

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188 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Cette condensation joue un role crucial en biologie. La plupart des macromoleculesbiologiques, par exemple l’ADN et l’ARN, sont des objets tres charges, et le milieucellulaire ou elles se trouvent est tres riche en ions, y compris en ions multivalents(Z > 1). Le premier effet de la condensation est de concentrer, au voisinage imme-diat des macromolecules, des ions importants pour le fonctionnement biologique.Son second effet est de ramener la densite de charge apparente a une valeur uni-forme, si bien que tous les polyelectrolytes presents auront, « vus de loin », la memedensite de charge. Des effets specifiques, lorsqu’on ne peut plus assimiler le polyelec-trolyte a un fil uniformement charge, viennent moduler localement ce mecanismegeneral [Gelbart et al. 2000].

En conclusion, les polyelectrolytes forment une categorie tout a fait particulierede polymeres, car aux interactions a courte portee (volume exclu, forces de Van derWaals) s’ajoutent des interactions coulombiennes entre les charges qu’ils portent ;bien qu’ecrantees par le solvant et les ions qu’il contient, ces interactions sontde portee beaucoup plus grande que les premieres. On observe encore des com-portements invariants d’echelle, mais les exposants sont radicalement differents.Les polyelectrolytes forment ainsi une nouvelle classe d’universalite, a cote desmarches browniennes (§ 2.1), des marches auto-evitantes (§ 2.2) et des marchesauto-evitantes avec interactions attractives (§ 2.3).

3. Les outils théoriques

3.1. La théorie de Flory

La premiere approche developpee pour calculer l’exposant n a ete la theorie deFlory. Il s’agit d’une approche de type « champ moyen » faisant apparaıtre commeparametre d’ordre la densite moyenne de monomeres c 5 N/Rd a l’interieur duvolume Rd occupe par la chaıne. On la presente traditionnellement comme uneprocedure de minimisation de l’energie libre F (N ,R) du polymere par rapport aR (a N fixe) conduisant a l’expression du rayon de giration Rg(N). L’energie librede Flory s’ecrit (a etant comme precedemment la longueur d’un monomere) :

F (N ,R) 5 wadN2

Rd1dR2

a2N1 const (6.9)

Le premier terme est l’energie repulsive totale moyenne, proportionnelle aunombre moyen de paires de monomeres assez proches l’un de l’autre pour que larepulsion s’exerce. La densite moyenne de ces « contacts » est proportionnelle ala moyenne du carre de la densite, qu’on identifie avec le carre c2 de la densitemoyenne. Le nombre de contacts implique dans l’energie repulsive moyenne estainsi proportionnel a Rd(NR−d)2 5 N2R−d. Cette approche de champ moyentypique revient ici a negliger les correlations entre les paires de monomeresen interaction, autrement dit les effets cooperatifs pouvant se mettre en placedu fait de l’assemblage en chaıne lineaire des monomeres ; les effets de volumeexclu, quantifies par le parametre de volume exclu sont uniformement repartisentre les paires de monomeres et la configuration de la chaıne n’intervient quepar l’intermediaire de la densite moyenne. Le second terme est la contributionentropique, egalement estimee de facon approchee en l’identifiant a sa valeur

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6. CONFORMATION SPATIALE DES POLYMÈRES 189

pour une chaıne ideale (§ 3.1). La constante additive dans F , independante de R,ne joue ici aucun role. On obtient :

Rg(N) ∼ N nF avec

nF (d) 5 3d12 (si d � 4)

nF (d) 5 12 (si d � 4)

(6.10)

La formule de Flory est exacte en dimension d 5 1, tres bonne en d 5 2 (poly-meres inseres dans des couches minces) ainsi qu’en d 5 3 (nF 5 3/5 a comparera nexp 5 0.586 et nth 5 0.5880). L’estimation obtenue est donc remarquable-ment correcte, malgre les approximations impliquees ; on explique habituellementce succes par la compensation des deux erreurs intervenant dans l’estimation del’energie repulsive et dans celle de la contribution entropique. On retrouve end 5 4 la valeur n 5 1/2 de la chaıne ideale. Par ailleurs, le rapport du terme devolume exclu sur le terme entropique se comporte comme N2−d/2, ce qui montreque les effets de volume exclu sont une faible perturbation du cas ideal des qued � 4 : on comprend ainsi l’origine de la dimension critique dc 5 4 au-dela delaquelle la statistique est celle d’une chaıne ideale (n 5 1/2).

Loi de Flory et correlations a longue portee des marches sansrecouvrement

Une meilleure explication est une nouvelle interpretation de la theorie de Floryproposee par Bouchaud et Georges [Bouchaud et Georges 1990]. En conside-rant le polymere comme la trajectoire d’une marche aleatoire de pas successifs(ai)i, la distance bout-a-bout est calculee directement a partir de sa definitionR2(N) 5 〈(

∑Ni51 ai)2〉. Comme 〈ai〉 5 0, les termes croises 〈ai.aj〉 sont simple-

ment les correlations C(j − i), ce qui donne la formule explicite pour la distancebout-a-bout : R2(N) 5 Na2 1

∑Nn51(N − n)C(n).

Le caractere critique de la marche auto-evitante se traduit dans la decroissanceen loi de puissance de ces correlations (rappelons que la decroissance en loi depuissance remplace la decroissance exponentielle des que la portee devient infi-nie) : C(n) ∼ n−a. Ces correlations sont issues de la contrainte de volume exclu :le n-ieme monomere est correle a tous les precedents, qu’il doit eviter. Suppo-sons a < 1. La somme des correlations, se comportant comme N1−a pour unpolymere de longueur N , va etre proportionnelle au nombre de contacts (nombremoyen puisqu’on raisonne sur la grandeur statistique R(N)). L’approximation dechamp moyen intervient dans le calcul de ce nombre, estime comme precedem-ment par N2/Rd. Il vient ainsi a 5 nd− 1 ou n est l’exposant cherche. Le secondterme apparaissant dans l’expression de R2(N) se comporte donc comme N2−a,autrement dit comme N3−nd : il n’intervient que si 2 − nd > 0, autrement dit sia < 1. En basse dimension, c’est donc le terme de correlation qui domine le com-portement de R(N) : l’expression de R2(N) prend alors la forme de la relation decoherence N2n ∼ N3−nd, ce qui conduit a la formule de Flory nF 5 3/(d 1 2) etpermet de preciser la valeur dc 5 4 de la dimension critique.En dimension assez grande, on a a > 1 et le nombre moyen de contacts reste alorsborne, de meme que la somme des correlations : les contraintes de volume exclusont toujours presentes mais elles n’ont pas l’occasion de se faire sentir, le podsrelatif des croisements potentiels tendant vers 0 quand N tend vers l’infini. Les

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190 INVARIANCES D’ÉCHELLE

correlations vont ainsi jouer un role negligeable en dimension assez grande ; c’estalors le premier terme qui domine et R(N) ∼

√N .

Cette demarche, ancree dans la escription statistique d’un polymere comme unemarche aleatoire et ne faisant pas intervenir d’energie libre, explique mieux leremarquable resultat de la theorie de Flory.

3.2. Bons solvants, mauvais solvants et point Q : la théorie de Flory-Huggins

Pour rendre compte du point Q de la solution de polymeres, il faut generaliserl’approche de Flory et prendre explicitement en compte le solvant. La theorie ainsideveloppee est connue sous le nom de theorie de Flory-Huggins. On introduit lafraction volumique F 5 cad de monomeres (c’est une grandeur sans dimension) ;la fraction volumique de solvant est alors 1 − F. L’energie libre pertinente estl’energie libre de melange Fmix(F) 5 F (F)−FF (1)− (1−F)F (0). Rapportee aun site, elle s’ecrit :

Fmix(N ,F) 5 kT[F

Nlog

(F

N

)1

12

(1 − 2x)F2 1tF3

61 . . .

](6.11)

Le terme 12 (1 − 2x)F2 decrit les interactions de paires. (1 − 2x) est appele le

second coefficient du viriel. Le parametre x est la somme de trois contributions :

x 5xMM

21

xSS

2− xMS (6.12)

venant respectivement des interactions entre monomeres, entre deux moleculesdu solvant et entre un monomere et le solvant. La repulsion monomere-solvant setraduit en fin de compte par une apparente attraction entre les monomeres. Engeneral, x decroıt quand la temperature T augmente et x � 0 (pour des interac-tions independantes de T , on a x ∼ 1/T ). A haute temperature, v 5 a3(1−2x(T ))est positif : on parle de « bon solvant ». Si la temperature est basse, v devient nega-tif : on parle alors de « mauvais solvant ». Cette theorie justifie de decrire l’effetdu solvant conjointement a celui des interactions entre monomeres, par l’inter-mediaire d’un seul parametre de volume exclu :

v 5 a3(1 − 2x(T )) (6.13)

Le point de compensation x 5 1/2, ou le parametre de volume exclu s’annule,correspond au point Q dans cette theorie. On parle parfois de « solvant Q » maisnous avons deja souligne que le point Q est une caracteristique du couple sol-vant/polymere. Comme v 5 0, le terme suivant tF3/6 du developpement deFmix(N ,F) ne peut plus etre neglige au point Q. Ce terme est appele le « terme atrois corps » parce qu’il fait intervenir le cube de la fraction volumique ; il decriten fait l’effet moyen des correlations entre les paires en interaction16.

Analogie avec le ferromagnetisme : le modele n-vectoriel avec n→ 0Une avancee technique determinante pour le calcul des lois d’echelle satisfaites parun polymere lineaire isole, assimile a une marche auto-evitante, a ete realisee en

16 La probabilite des « vraies » interactions a trois corps (i.e. entre trois monomeres) est tres faibleet ces interactions n’ont pas de consequences observables.

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6. CONFORMATION SPATIALE DES POLYMÈRES 191

1972 par De Gennes. L’idee est une analogie formelle entre les proprietes statis-tiques de ce polymere et les proprietes critiques des systemes de spins un peu par-ticuliers [De Gennes 1972]. Ces dernieres avaient alors le notable avantage d’etredeja exhaustivement etudiees et repertoriees en classes d’universalite, d’exposantscritiques connus (voir chapitre 3). Avant d’entrer dans les details de cette analogieet de son exploitation, nous pouvons en donner un prealable en mettant en paralleleles lois d’echelle :

j ∼ |T − Tc|−n et R ∼ N n (6.14)

Une correspondance formelle apparaıt entre les systemes de spins, a gauche, et lesmarches auto-evitantes, a droite :

j ←→ R (6.15)

t ≡ T − TcTc

←→ 1/N (6.16)

Nous avons vu au chapitre 3 qu’un systeme de spins (Si)i de module S constant,places aux nœuds d’un reseau regulier et en interaction ferromagnetique (restreinteaux proches voisins) appartient a une classe d’universalite entierement determineepar la dimension d du reseau et le nombre n de composantes des spins. Les spinsetant de module constant, on choisit de les normaliser S2 5 n. En presence d’unchamp magnetique exterieur h, l’hamiltonien du systeme s’ecrit, s’il comprend Qspins :

H 5 −JX<i,j>

Si.Sj −QXi51

h.Si (6.17)

ou la sommeP<i,j> porte sur les paires de spins proches voisins. En notant b 5 1/kT

(a ne pas confondre avec l’un des exposants critiques definis au chapitre 1) et dVil’integration angulaire sur toutes les orientations possibles du spin i (l’espace dephase est l’ensemble des coordonnees angulaires des spins puisqu’ils sont de moduleconstant), la fonction de partition s’ecrit :

Z(b) 5Z

e−bHQYi51

dVi (b 5 1/kT ) (6.18)

Le developpement en serie de l’integrand et son integration terme a terme17 fontintervenir les moments des spins par rapport au poids naturel

R QQi51 dVi dans

l’espace de phase angulaire des Q spins. Les integrations sur les differents spins,c’est-a-dire sur des degres angulaires differents, vont se decoupler et se factoriser :R R

S1.S2dV1dV2 5Pn

s51

RS1,sdV1

RS2,sdV2. Les differents spins jouant un role

identique dans le probleme (invariance par translation), il suffit donc de considererles moments d’un spin S : en notant sj l’indice des composantes :

〈Ss1 ...Ssq 〉0 5

ZSs1 ...Ssq

dV

Vtot(6.19)

La notation 〈〉0 indique qu’il s’agit d’une moyenne simple18, par rapport au volumenaturel dans l’espace de phase angulaire d’un spin, de volume totalVtot. Les moments

17 La validite de cette integration terme a terme est a priori problematique, et elle le reste souventa posteriori, sauf dans le cas envisage ici, ou l’on prend n 5 0 ; la serie integree ne contient alorsplus qu’un nombre fini de termes non nuls, ce qui assure sa convergence et la validite du calcul.18 Attention a ne pas confondre 〈〉0 avec la moyenne 〈〉 5 〈〉b prise par rapport a la distribution deBoltzmann des Q spins. La moyenne 〈〉0 correspond a b 5 0 : elle decrit la contribution puremententropique.

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192 INVARIANCES D’ÉCHELLE

impairs sont nuls par symetrie. On montre que si on fait tendre19 n vers 0 une fois lecalcul effectue, les seuls moments qui restent sont les moments d’ordre 2 :

〈Ss1 Ss2〉0 5 ds1s2 (6.20)

Les moments d’ordre superieur ont une valeur nulle dans la limite n→ 0. Par conse-quent, le developpement en serie de l’integrand ne donne lieu qu’a un nombre fini determes non nuls ; notons au passage que cela assure la validite du calcul de la fonctionde partition Z par developpement en serie et integration terme a terme.Explicitons davantage le calcul de Z pour comprendre comment apparaissent desmarches aleatoires auto-evitantes dans le calcul des proprietes statistiques d’unreseau de spins a n → 0 composantes. En introduisant des constantes de couplageJij telles que Jij 5 J si les sites i et j sont proches voisins et Jij 5 0 sinon, lafonction de partition en champ nul Z(b) s’ecrit :

ZVtot,Q

≡*Yi>j

ebJijSi.Sj

+0

5

*Yi>j

1 1 bJij

nXa51

Si,aSj,a 1 b2J2ij

nXa51

nXs51

Si,aSj,aSi,sSj,s

!+0

(6.21)

Les termes suivants du developpement donnent une contribution nulle. Chaqueterme peut etre represente par un graphe en associant un lien (i,j) a chaque Jij nonnul apparaissant dans ce terme. Notons que les moyennes sur les differents spins sefactorisent. Si,a doit apparaıtre 0 ou 2 fois, avec la meme composante a, dans unterme pour que la moyenne 〈〉0 de celui-ci donne une contribution non nulle dansla limite n → 0 ; autrement dit, un site donne doit ainsi appartenir a deux liensexactement, ou ne pas etre implique. Les graphes correspondant aux termes donnantune contribution non nulle sont ainsi des boucles fermees, ne se recoupant pas, etimpliquant la meme composante a en chacun de leurs sites.En poursuivant le calcul, on montre que Z/VQtot 5 1 dans la limite n→ 0. On abordede la meme facon le calcul de la fonction de correlation des spins a temperature finie,lequel montre que :

〈Si,aSj,s〉b 5∞XN50

(bJ)N ℵN(ij) (n→ 0) (6.22)

ou ℵN(ij) est le nombre de chemins auto-evitants de N pas reliant les sites i et j.Cette expression est la forme discrete d’une transformation de Laplace par rapport ala variable N , evaluee en log(1/bJ). Rappelons que kTc 5 J , ce qui permet de faireapparaıtre la variable reduite t ; il vient log(1/bJ) 5 t et la formule devient :

〈Si,aSj,s〉b,n50 5

∞XN50

e−Nt ℵN(ij) (6.23)

Elle donne explicitement le lien entre le nombre de chemins ℵN (ij) et la fonction decorrelation des spins 〈Si,aSj,s〉b calculee dans la limite n → 0. Le nombre ℵN(ij) dechemins auto-evitants reliant les sites i et j donne acces a la distribution de Boltz-mann a temperature infinie d’une chaıne de longueur N , qui n’est rien d’autre que la

19 Le nombre n, initialement un entier positif, apparaıt comme un parametre dans le resultat ducalcul des moments, ce qui permet de lui attribuer a ce stade n’importe quelle valeur reelle, y comprisla valeur n 5 0 assez difficile a concevoir. C’est le meme astuce detour qui est utilise pour attribuerune valeur d 5 4 − e a la dimension de l’espace (voir chapitre 3,§ 3.5).

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6. CONFORMATION SPATIALE DES POLYMÈRES 193

contribution entropique a la distribution a temperature finie, appelee courammentla densite d’etats. En effet, le site i etant fixe,

ℵN(ij)ℵN

5 PN (r 5 rij) avec ℵN 5Xj

ℵN (ij) (6.24)

La relation (6.23) est la base du calcul des exposants associes aux marches aleatoiresauto-evitantes connaissant ceux du systeme de spins. L’interet de cette approchedetournee est que les proprietes d’echelle du systeme de spins vont directement setransmettre aux chemins auto-evitants du fait du lien explicite entre leurs proprietesstatistiques20. Par exemple, l’existence d’une longueur caracteristique unique j ∼ t−n

va donner la taille lineaire typique des chemins, exprimee en fonction de la variable1/N : R ∼ N n, d’ou la valeur de n 5 n(d,n 5 0) de l’exposant de Flory. On obtientpar cette approche la valeur 0.5880 ± 0.0010, davantage en accord avec les resul-tats experimentaux que la valeur 0.6 de Flory, et consideree aujourd’hui comme lameilleure estimation de n [Le Guillou et Zinn Justin 1977]. On en tire egalementla forme d’echelle PN (r) ∼ N−ndf(rN−n). Le comportement asymptotique de ladistribution f s’obtient par transformee de Laplace inverse a partir de la connais-sance du comportement asympotique de la fonction de correlation des spins : il vientf(x) ∼ e−x

1/(1−n).

On peut de la meme facon determiner la loi d’echelle decrivant la probabilite qu’unemarche auto-evitante repasse par son origine (chemin ferme) : le nombre de chaınesfermees de N 1 1 pas se comporte asymptotiquement comme N−21a, ou a est l’ex-posant de la chaleur specifique (pour n 5 0 et d correspondant au reseau envisage).On obtient egalement que la dimension critique des polymeres lineaires isoles estidentique a celle des systemes de spins, a savoir dc 5 4 ; au-dessus de cette dimen-sion, le comportement de type « champ moyen » (comportement de la chaıne idealedans le cas des polymeres) s’applique.Dans le cadre de cette analogie, le point Q decrit aux § 2.3 et § 3.2 apparaıt dans lalimite N → ∞ comme l’extremite d’une ligne de points critiques (parcourue quandon fait varier le parametre de volume exclu, autrement dit la temperature), ce qu’onappelle un point tricritique. En dimension d 5 3, il jouxte la region ou le champmoyen est valable, ce qui justifie la loi R(N) ∼

√N observee en ce point.

Polymeres : des objets critiques particuliersDans le cadre des modeles sur reseaux, on peut apprehender les proprietes critiquesd’un polymere lineaire isole (en bon solvant) en introduisant la fonction generatrice :

G(v) ≡∞XN50

vNℵN(d) (6.25)

ou ℵN (d) est le nombre de conformations possibles d’une chaıne de N pas en dimen-sion d. Une enumeration exacte suivie d’une procedure mathematique d’extrapola-tion (approximants de Pade) permet d’obtenir l’expression de ℵN(d), confirmee parsimulations numeriques (echantillonnage par la methode de Monte Carlo) :

ℵN (d) 5 lmNd Ng−1 (6.26)

20 Une demarche tout a fait analogue, la representation de Fortuin-Kasteleyn, est utilisee dans lecontexte des verres de spins, mais en sens inverse, pour acceder aux proprietes statistiques du sys-teme de spins a partir de celles du systeme geometrique associe, en l’occurrence le modele de lapercolation dirigee [Kasteleyn et Fortuin 1969].

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194 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Par comparaison, on a ℵN (d) 5 (2d)N pour une chaıne ideale. La quantite md appa-raıt comme une constante de connexite effective (md < 2d − 1). En reportant cetteexpression de ℵN(d) dans la definition de G(v), il vient :

G(v) ∼�

1v− vc

�g

avec vc 51md

(6.27)

ce qui met en evidence un point critique en v 5 vc. Dans le cadre de l’analogieprecedente avec un systeme de spins (§ 3.3), la fonction generatrice G(v) s’interpretecomme une susceptibilite magnetique xm :

kT xm 5Xj

〈Si0,sSj0,s〉b,n50 5 G(bJ) (6.28)

Le developpement en t de xm donne alors x ∼ t−g, ce qui donne l’interpretation del’exposant g dans ℵN comme etant un exposant de susceptibilite. Il ne depend quede la dimension : g(d 5 2) 5 43/32 et g(d 5 3) ≈ 1.1608.On peut generaliser cette notion de fonction generatrice aux chaınes auto-evitantesavec interactions afin d’acceder au point Q et aux proprietes de la transition pelote-globule :

Z(K,v) 5∞XN50

Xm

eNKm vN ℵN (m) (6.29)

ou m est le nombre de contacts rapporte a un monomere et ℵN (m) le nombre dechaınes de N pas presentant m contacts. Cette expression n’est rien d’autre que lafonction de partition grand-canonique : v est la fugacite controlant la distributionde longueur des chaınes. On retrouve la marche auto-evitante simple et la fonctionG(v) a temperature infinie ou a interaction nulle (K ≡ bJ 5 0). Par analogie avecle comportement de G(v), l’expression de Z(K,v) suggere qu’il existe une ligne depoints critiques v 5 vc(K). Ces resultats preliminaires incitent fortement a se tour-ner vers des methodes de renormalisation pour completer le diagramme de phasedans l’espace des parametres (K,v).

On peut s’interroger sur la validite des modeles de polymeres sur reseaux : les posi-tions des monomeres d’un polymere reel ne prennent pas seulement les valeurs dis-cretes correspondant aux nœuds du reseau. On s’attend a ce que la distorsion desproprietes statistiques par rapport aux modeles continus de polymeres tende a dispa-raıtre lorsque la longueur de la chaıne augmente. L’effet peut par contre etre impor-tant pour des chaınes courtes et il doit etre evalue et pris en compte dans l’ana-lyse des resultats numeriques (simulations sur reseaux). Des comparaisons entre dessimulations sur reseaux et des simulations ou l’on autorise au contraire les positionsa varier (presque) continument laissent penser que l’effet n’est grave que pour lestres courtes chaınes (N 6 20). Les approches de renormalisation vont egalementpermettre d’unifier modeles discrets et modeles continus et de montrer que leursproprietes asymptotiques sont identiques.

Criticalite et extensivite d’un polymere isole

Soulignons que l’analogie precedente (§ 3.3) est indirecte et qu’elle ne doit pasconduirea une identification plus poussee entre les systemes de spins et un polymereisole ; il existe en effet des differences cruciales entre les deux types de systemes. Lataille N d’un polymere est a la fois la variable extensive de reference, directementproportionnelle au poids moleculaire du polymere et un parametre controlant l’etatdu polymere puisque 1/N joue le meme role que l’ecart de temperature T − Tc dans

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6. CONFORMATION SPATIALE DES POLYMÈRES 195

un systeme de spins21. Dans le cas d’un polymere isole, faire tendre N vers l’infini estainsi une procedure tres particuliere : en meme temps qu’on fait tendre la taille dusysteme vers l’infini, on fait tendre le parametre de controle e 5 1/N vers sa valeurcritique ec 5 0 : on atteint simultanement la « limite thermodynamique » et le pointcritique, comme si on faisait varier conjointement le nombre de spins et la tempera-ture. Cela confirme la constatation deja faite ci-dessus : dans la limite ou sa taille tendvers l’infini, un polymere est un objet critique a toute temperature, et il va manifesterdes lois d’echelles a toute temperature.Le role de l’espace reel est egalement different dans un systeme de spins et dans lesysteme forme d’une macromolecule isolee, ce qui empeche de simplement trans-poser les notions d’extensivite, de limite thermodynamique et tout le formalismethermodynamique qui s’ensuit [Ruelle 1978] ; on ne dispose donc pas pour les transi-tions conformationnelles de macromolecules isolees du meme cadre conceptuel quepour les transitions de phase. La difficulte peut etre identifiee : alors que le volumeV et la densite N/V du systeme de spins sont fixes une fois pour toutes au momentde la « fabrication » (eventuellement mentale) du systeme, le volume Rd et la den-site NR−d d’un polymere isole sont des observables, decoulant spontanement de lastatistique des conformations du polymere et variant de ce fait avec les parametresde controle. Suivant la temperature, on a un rayon de giration Rg ∼ N n si T > u,Rg ∼ N nu si T 5 u, et Rg ∼ N1/d si T < u. En un sens, tout se passe comme sile polymere « vivait » dans un espace de dimension deff 5 1/neff (avec neff 5 n, nu ou1/d), ce qui lui donnerait un volume Veff 5 R1/neff ∼ N et ainsi une densite apparenteconstante (rappelons que la limite thermodynamique d’un systeme de spins se definitet se calcule a densite constante). De ce fait, la geometrie fractale des conformationstypiques du polymere ne peut etre laissee de cote dans l’etude des proprietes statis-tiques et plus particulierement dans la definition de la limite thermodynamique. Parexemple, l’invariance d’echelle de la distribution PN (R) de la distance bout-a-boutsera radicalement differente :– dans la phase etiree, deff 5 1 ; le polymere est une suite de segments approxi-mativement alignes et la dependance en N de la distribution PN (R) s’ecritPN (R) ∼ ps(R/N) comme pour un systeme extensif en dimension 1 ;– dans la phase « pelote », deff 5 1/n ; le polymere manifeste une invariance d’echellenon triviale, « fractale » PN (R) ∼ pc(RN−n) ;– dans la phase globulaire, deff 5 d ; localement, le polymere remplit tout l’espace etla dependance en N de ses proprietes est celle d’un systeme extensif en dimension d :PN (R) ∼ p(R/N1/d).

Notons que les fonctions auxiliaires p (differentes dans les differentes phases) quiapparaissent ici ne sont pas egales a PN51 ; ces fonctions p incluent de facon effec-tive les correlations aux petites echelles22 ; ce sont des distributions renormalisees[Imbert et al. 1997]. Ces arguments d’echelle peuvent etre pousses plus loin pourobtenir une expression unifiee de la distribution de la distance bout-a-bout. L’idee

21 Ce dernier point vient de ce que N mesure de fait l’importance du caractere non markovien de lamarche aleatoire ; la memoire devient de duree infinie avec N .22 i.e. avant que le comportement d’echelle n’emerge. C’est precisement le fait que le comportementd’echelle n’est pas encore verife pour les petites valeurs de N qui exige de redefinir des distributionseffectives p. Un analogue temporel serait une marche aleatoire pour laquelle le regime asymptotiqueemerge de transitoires ne manifestant pas la meme invariance d’echelle. Par exemple, un piegeagetransitoire, de temps caracteristique teff > 1 ne detruit pas une diffusion par ailleurs normale maisconduit simplement a « renormaliser » le coefficient de diffusion D en Deff 5 D/teff plus faible, oude facon equivalente a considerer un nombre efficace de pas Neff 5 N/teff (on a NDeff 5 NeffD). Lamise en œuvre (calcul explicite des distributions p) dans le cas des marches auto-evitantes s’appuiesur un echantillonnage numerique [Imbert et al. 1997].

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196 INVARIANCES D’ÉCHELLE

est de construire une expression redonnant les formes d’echelle ci-dessus dans lesdifferentes situations limites ou l’on s’attend a ce qu’une seule phase contribue a lastatistique ; on obtient (A1 et A2 sont des constantes numeriques) [Lhuillier 1988] :

PN (R) ∼ exp

"−A1

�N n

R

� dnd−1

−A2

�R

N n

� 11−n

#(6.30)

3.3. Approches par renormalisation

Nous venons de voir que du point de vue de ses proprietes conformationnelles,un polymere se comporte comme un objet critique. Il est donc naturel de cher-cher a mettre en œuvre les principes generaux de la renormalisation pour prendreen compte le mieux possible les effets de volume exclu et les correlations « anor-males » qu’ils induisent dans la marche aleatoire representant la conformation dupolymere. Plusieurs approches ont ete developpees :

– dans l’espace reel ;– dans l’ensemble grand-canonique ;– utilisant l’analogie avec le modele n-vectoriel (n→ 0) ;– utilisant une methode perturbative a partir de la chaıne gaussienne.

Approches dans l’espace reel

L’approche la plus directe consiste a redefinir l’unite elementaire comme un« macromere » de k monomeres consecutifs. La transformation de renormalisationdonnant la taille a1 et le volume exclu adimensionne w1 (v1 5 a3

1w1) de cesN1 5 N/k macromeres peut s’ecrire :

Rk :

N1 5 N/ka1 5 a

√k [1 1 Ak(w)]

w1 5 wk2−(d/2) [1 −Wk(w)](6.31)

en faisant apparaıtre la transformation « de reference » a01 5 a

√k etw0

1 5 w0k2−d/2

qu’on obtiendrait avec une chaıne ideale, en estimant par k2−d/2 le nombre decontacts a l’interieur d’un macromere de longueur k. Ak etWk doivent etre deter-mines numeriquement. Pour d � 4, on montre que w 5 0 est le seul point fixe etque c’est c’est un point fixe stable. Cela demontre que le comportement asymp-totique d’une chaıne quelconque est celui d’une chaıne ideale : au-dessus de ladimension dc 5 4, les effets de volume exclu jouent un role negligeable, simple-ment parce que la probabilite que la chaıne se recoupe est trop faible pour qu’ilsaient l’occasion de se faire sentir. Pour d < 4, il existe un point fixe w∗. A l’etape j(il y a alors N/kj macromeres de longueur aj et de volume exclu wj dans la chaınerenormalisee), la distance bout-a-bout s’ecrit :

Rj 5 aj f

(N

kj,wj

)(6.32)

ou f est une certaine fonction independante de j. Pour j assez grand, on peutremplacer alors wj par sa limite w∗ dans f et dans la relation de renormalisationde a : aj11/aj ≈

√k(1 1 Ak(w∗). De facon generale, une transformation de

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6. CONFORMATION SPATIALE DES POLYMÈRES 197

renormalisation rend compte de la modification d’un modele quand on changel’echelle a laquelle on decrit le systeme reel23 ; elle n’affecte pas le systeme lui-meme et elle doit par consequent conserver toutes ses proprietes observables.Dans le cas present, l’observable Rj n’a donc pas lieu de dependre de j (si larenormalisation est bien faite !) ; la dependance en j de aj doit ainsi compensercelle venant de l’argument N/kj de f(.,w∗). La forme d’echelle f(x,w∗) ∼ xn

assurant la compensation adequate fournit la loi d’echelle R(N) ∼ N n et la valeurde l’exposant n dans le contexte considere, contexte intervenant dans les fonctionsAk etWk.Le raisonnement que nous venons de presenter s’appuie sur une hypothese d’in-variance d’echelle tres forte : les fonctions Ak et Wk doivent etre les memes atous les niveaux de l’iteration (autrement dit ne pas dependre de a) et etre suf-fisamment exactes pour que le rayon de giration des chaınes renormalisees resteeffectivement egal au rayon reel. En pratique, on a simplement deplace la diffi-culte : elle se situe maintenant dans la determination (numerique) des fonctionsAk etWk et la methode n’est somme toute pas tres differente d’une determinationnumerique directe de n.

Figure 6.6. Flot de renormalisationdans l’espace (w,t) (en dimensiond 5 3). Itérer la renormalisationrevient à faire tendre la longueur Nde la chaîne vers l’infini. Le point fixeA est associé à la classe d’univer-salité des marches aléatoires auto-évitantes alors que le point fixe Bcorrespond au point Q, c’est-à-direà la transition vers les configura-tions compactes situées à gauchede la ligne de séparation (en gras)(d’après [De Gennes 1972]).

t

w*

A

Bw

Un des interets de l’approche precedente est de pouvoir etre elargie pour rendrecompte du point Q. Dans la version ci-dessus, les interactions entre monomeresnon consecutifs ne sont decrites que par l’intermediaire d’un seul parametre w(volume exclu adimensionne). Or nous avons vu au § 3.2 que le point Q etaitcaracterise par l’annulation de ce coefficient w et qu’alors le terme suivant tF3/6du developpement de Fmix/kT en fonction de la fraction volumique F deve-nait dominant. On va donc reprendre la meme demarche24 mais en incluant latransformation de t dans R. Le flot de renormalisation, c’est-a-dire l’ensemble des

23 C’est precisement en reliant deux visions « subjectives » du systeme qu’elle permet d’acceder auxproprietes « objectives » que sont les exposants critiques.24 C’est une procedure generale : plus on considere de parametres – de termes dans l’hamiltonien oula loi d’evolution, plus on decrit finement l’effet du changement d’echelle dans l’espace des modeles,donc plus on a de chances de discriminer correctement les differentes classes d’universalite. Ce sontainsi des arguments de coherence qui determinent la validite d’une methode de renormalisation : onmontre que les parametres qui pourraient venir elargir l’espace dans lequel agit la renormalisationne jouent en fait aucun role dans les proprietes aux grandes echelles (parametres « inessentiels »).

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198 INVARIANCES D’ÉCHELLE

trajectoires sous l’action de R, est represente sur la FIG. 6.6. Iterer R, autrementdit se deplacer le long des trajectoires, revient a considerer des longueurs initialesN de plus en plus grandes, tendant vers l’infini quand on tend vers les points A etB, qui donnent de ce fait acces au comportement asymptotique N → ∞.Le point fixe A (w∗,t 5 0), identique au point fixe de la transformation res-treinte, decrit la classe d’universalite des marches auto-evitantes. L’approche eten-due n’apporte ainsi rien de nouveau concernant l’exposant n, mais le fait que t 5 0dans cette classe montre que le « terme a trois corps » tF3/6 est effectivementnegligeable asymptotiquement. L’approche par renormalisation permet donc dedemontrer la validite de l’approximation consistant a tronquer le developpementde Fmix(F) apres le second terme quand on s’interesse uniquement a la phasepelote (celle dont les conformations typiques sont les marches auto-evitantes). Ondit que le terme tF3/6 est non pertinent ou inessentiel (irrelevant en anglais, voirchapitre 3). Ce type de resultat, permettant de demontrer que certains termesne jouent aucun role dans les proprietes asymptotiques, est un autre succes desmethodes de renormalisation, tout aussi remarquable que le calcul explicite desexposants critiques. On peut ainsi justifier rigoureusement l’utilisation de modelesminimaux pour decrire le comportement aux grandes echelles.Les trajectoires situees a gauche de la ligne de separation aboutissant en B cor-respondent a la phase globulaire : le terme a trois corps y est egalement asymp-totiquement negligeable25 et les interactions de paires deviennent de plus en plusattractives, entraınant l’effondrement de la chaıne sur elle-meme tel qu’on l’ob-serve en mauvais solvant.Le fait que w 5 0 au point fixe B permet de l’identifier avec le point Q. Dansla limite N → ∞, ce point situe a l’extremite d’une separatrice est qualifie depoint tricritique par analogie avec les schemas obtenus dans le cas des systemesde spins. L’analyse de l’action de R au voisinage de B conduit a la loi d’echelleR2(N) ∼ a2N (en dimension 3)26.

Approche grand-canonique

Il s’agit d’une methode developpee sur des bases geometriques assez similairesa celles utilisees dans le contexte de la percolation (donc toujours dans l’espacereel). Elle est concue pour un modele sur reseau carre ou cubique, avec volumeexclu (double occupation d’un site interdite) et interactions attractives entre desmonomeres voisins sur le reseau sans etre consecutifs sur la chaıne (modele ISAW,§ 2.3). La difficulte qui emerge lorsqu’on effectue une renormalisation geome-trique directe d’une configuration est de preserver la connexite de la chaıne etson caractere auto-evitant. Il apparaıt qu’il faut pour cela autoriser une certainesouplesse sur le nombre de monomeres : la methode doit donc etre develop-pee dans l’espace grand-canonique. Le modele possede alors deux parametres decontrole27 :

25 Bien que le terme a trois corps soit asymptotiquement negligeable dans la phase « pelote » et dansla phase globulaire, il faut souligner qu’il joue un role cle au voisinage du point Q, intervenant icidans l’expression de la separatrice aboutissant au point B.26 On peut aussi evaluer le terme suivant dans cette loi d’echelle et montrer qu’il se comporte enN/ logN : on parle de corrections logarithmiques.27 Cette approche a tout d’abord ete developpee uniquement pour les marches auto-evitantes, en nemettant en jeu que la fugacite [Stanley et al. 1982].

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6. CONFORMATION SPATIALE DES POLYMÈRES 199

– la constante de couplage J de l’interaction attractive ou de facon equivalente lecoefficient sans dimension K 5 bJ ;

O

A B

CD

+

Figure 6.7. Calcul de la probabilité de présence v1 d’un lienrenormalisé, par énumération exacte sur un motif 2 3 2.La dernière configuration prend en compte la possibilité derencontrer des conformations très compactes à basse tem-pérature. On obtient :

v1 5 v2 1 2v3 1 eKv4 1 e2Kv4

1 2

3 4

Figure 6.8. Calcul de la probabilité v21eK1 d’un contact

entre deux liens renormalisés ; on a représenté quelques unesdes configurations de la chaîne de départ assimilables à uncontact au niveau de la chaîne renormalisée ; il faut exclurede l’énumération les configurations qui conduiraient à desbranchements ou à des recouvrements dans la configurationrenormalisée. On obtient :v2

1eK1 5 v4 1 2v5 1 3v6 1 eKv5(1 1 v)2 1

e2Kv4(v 1 2v2 1 4v3 1 v4) 1 2e3Kv7 1

e4Kv6(1 1 v 1 2v2) 1 e6Kv8

– la fugacite v controlant la distri-bution en taille des chaınes : lenombre N de monomeres n’estplus ici fixe et c’est au contraireune des observables caracterisantl’etat de la chaıne. La probabi-lite d’observer une chaıne de Npas est proportionnelle a vN .C’est dans cet espace confor-mationnel generalise que l’onva mettre en œuvre la renor-malisation. L’idee est toujours lameme : on « decime » la conforma-tion, en l’occurrence on redefinitles motifs elementaires, ce quirevient a changer la resolutionavec laquelle on voit la confor-mation ; puis on determine lesparametres (K1,v1) 5 R(K0,v0)intervenant dans la descriptionstatistique des configurationsdecimees. L’operation geome-trique impliquee dans la defi-nition de la transformation derenormalisation R est ici un peuplus compliquee que les deci-mations rencontrees dans lessystemes de spins et dans lesreseaux de percolation. Elle estconnue sous le nom de « regle ducoin » (corner rule en anglais) dufait de la forme des motifs surlesquels on definit R par enu-meration exacte (voir FIG. 6.7et FIG. 6.8). Determinons tout d’abord v1, definie comme la probabilite depresence d’un lien dans la chaıne renormalisee. Elle sera egale a la probabiliteavec laquelle la chaıne entrant dans le motif par le coin O le traversera ensortant par A ou B ; une sortie par C ou D ne doit pas etre prise en comptesous peine d’aboutir a une configuration renormalisee ramifiee ou se recoupant.Les differentes contributions et la transformation resultante sont donnees surla FIG. 6.7. On voit que la transformation du nombre de monomeres n’estpas univoque, d’ou la necessite de travailler dans l’espace grand-canonique :c’est v et non N qui est le parametre transforme par R. La meme demarched’enumeration exacte, impliquant cette fois deux motifs contigus, est utiliseepour determiner la transformee K1 ; on determine en fait la transformee v2

1eK1

de la probabilite d’une interaction de contact (FIG. 6.8).

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200 INVARIANCES D’ÉCHELLE

On exploite ensuite la renormalisation de facon tout a fait classique. La determi-nation des points fixes de R met en evidence trois points fixes non triviaux, res-pectivement identifiables28 avec le point fixe associe aux marches auto-evitantes(point A, K 5 0,vc 5 1/md) deja rencontre au § 3.4, le point Q (point B) et laphase globulaire (point C, a l’infini). Pour K > 0, il existe encore une valeur cri-tique vc(K) de la fugacite : on met ainsi en evidence une ligne de points critiquesse terminant au point Q. La phase globulaire est bien decrite par la procedure derenormalisation que nous venons de presenter : on retrouve la valeur exacte 1/dde l’exposant n. Les resultats peuvent etre ameliores en considerant des motifsplus gros, par exemple 3 3 3 (donc un facteur d’echelle k 5 3) ; la complexite del’enumeration limite rapidement les tailles des motifs.

Figure 6.9. Flot de renormalisa-tion dans l’espace des paramètres(eK,v). Le point A est asso-cié à la classe d’universalité desmarches auto-évitantes (loi d’échelleR(N) ∼ Nn), le point B cor-respond au point Q (loi d’échelleR(N) ∼ Nnu ) et le point C,repoussé à l’infini avec ce choixde coordonnées (eK,v), correspondà la phase globulaire (loi d’échelleR(N) ∼ N1/d).

A

B

C

eK

Approche « par analogie »Une autre approche de renormalisation est celle qu’on peut developper pour lesysteme de spins a n → 0 composantes, pour calculer l’exposant n(d,n → 0) dansle cadre de l’analogie developpee au § 3.3. Le calcul des exposants critiques a etemene pour toutes les valeurs pertinentes de n, dams l’espace conjugue et dans lecadre de la methode perturbative en e 5 4 − d presentee au chapitre 3. C’est unemethode assurement tres techniques mais elle fournit la meilleure estimation den : 0.5880 ± 0.0010 [Le Guillou et Zinn Justin 1977]. Elle ne se generalise parcontre pas aux autres classes d’universalite et ne donne pas acces aux proprietesdu point Q, ce qui rend necessaire les autres approches.

Approches impliquant des integrales de cheminLes methodes les plus puissantes sont des methodes tres mathematiques develop-pees en replacant le polymere et ses conformations dans le cadre des processus sto-chastiques (temps continu). Il s’agit de methodes perturbatives prenant commeordre 0 le processus de Wiener associe aux chaınes ideales. Elles sont technique-ment difficiles (developpements diagrammatiques, integrations fonctionnelles parrapport aux trajectoires du processus de Wiener, ce qu’on appelle des integrales de

28 Ces points fixes ne doivent pas eter confondus avec les points A et B de la FIG. 6.7 ; l’espacedes parametres est en effet different, de meme que le contexte theorique (respectivement marchesaleatoires auto-evitantes avec interactions (FIG. 6.10) et theorie de Flory-Huggins (FIG. 6.7). L’ana-logie des resultats obtenus par ces deux approches differentes conforte bien sur la validite de leursconclusions.

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6. CONFORMATION SPATIALE DES POLYMÈRES 201

chemin) et nous n’en donnerons que l’idee. Le changement d’echelle va concernera la fois le temps (abscisse curviligne le long de la chaıne) et l’espace (distanceeuclidienne entre les points de la chaıne). L’idee est de prendre en compte pertur-bativement l’interaction, repulsive a tres courte portee (volume exclu), attractivea courte portee et nulle au-dela, entre deux sites i et j, par assimilations suc-cessives, suivant la taille de la boucle reliant i a j. On commence par inclurel’influence des petites boucles, ce qui donne une premiere chaıne renormalisee,decrite par des parametres effectifs. Les boucles de plus grande taille, moins fre-quentes mais de poids important dans les proprietes statistiques de la chaıne, sontprises en compte dans la seconde etape de renormalisation, et ainsi de suite. Lesresultats (lois d’echelle et exposants associes) decoulent de l’analyse des pointsfixes de cette renormalisation.Notons que c’est une situation ou il faut introduite une « coupure ultra-violette »ecartant les trop petites echelles. La singularite vient ici du recours a l’objet« ideal », limite, que constitue le processus de Wiener : la vitesse associee divergeaux petites echelles. Il faut donc tronquer l’espace des vecteurs d’onde, en pra-tique des qu’on atteint les echelles moleculaires, ou la physique redevient regu-liere alors que le processus de Wiener devient singulier. La theorie des marchesauto-evitantes est renormalisable au sens ou les resultats macroscopiques obtenusne dependent pas de la valeur de coupure (cutoff).

4. Solutions de polymères

Pour achever notre tour d’horizon, nous allons tres brievement mentionner le casdes solutions moins diluees dans lesquelles les differentes chaınes s’influencent.Dans ce vaste domaine, nous allons retenir un point particulier, le concept deblob, parce qu’il illustre dans le contexte des polymeres la notion de longueur decorrelation, essentielle au propos de ce livre.

4.1. Fondus de polymères

Envisageons brievement le cas ou le systeme n’est constitue que de polymeres, cequ’on appelle un « fondu de polymeres » (polymer melt en anglais). Du fait de l’in-terpenetration des differentes chaınes, la probabilite qu’un monomere soit voisind’un monomere (non consecutif) de la meme chaıne est negligeable devant cellequ’il soit entoure de monomeres appartenant a d’autres chaınes ; ceux-ci vont dela sorte ecranter les interactions de volume exclu intra-chaıne, au sens ou cesinteractions n’ont presque plus l’occasion de se faire sentir. La consequence enest que la statistique d’une chaıne dans un fondu est celle d’une chaıne ideale :R(N) ∼

√N . On le verifie experimentalement en marquant la chaıne par fluores-

cence, ou par deuterium si on l’observe par diffusion de neutrons (§ 2.2).Signalons que de remarquables phenomenes, encore mal compris, apparaissentquand on abaisse la temperature d’un tel liquide polymerique. On observe unetransition vitreuse conduisant a une phase amorphe, gelee, metastable. Desphenomenes de relaxation lente, associes a des proprietes de reponse anormales(vieillissement, violation du theoreme fluctuation-dissipation) prennent place[Strobl 1997].

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202 INVARIANCES D’ÉCHELLE

4.2. Solutions semi-diluées

Dans une solution, deux concentrations (nombres de monomeres par unite devolume) interviennent : la concentration moyenne c0 de la solution, ajustable parl’observateur, et la concentration c 5 N/Rdg a l’interieur du volume occupe par lachaıne, qui est au contraire une observable, indirectement reglable en changeantla qualite du solvant et la longueur des chaınes. On utilise egalement la fractionvolumique F 5 ca3 (respectivement F0 5 c0a

3), qui est une quantite sans dimen-sion.

Figure 6.10. La notion de « blob » dans unesolution semi-diluée : la statistique du segmentde chaîne à l’intérieur d’un blob est celle d’unemarche auto-évitante ; la chaîne de blobs (blobssurlignés) suit par contre la statistique d’unemarche idéale.

Tant que F0 � F (on parle de solutiondiluee), la conformation d’une chaıne n’estpas affectee par la presence des autres etles raisonnements faits pour un polymereisole decrivent bien la realite. Si on aug-mente F0, la situation change lorsque leschaınes commencent a s’interpenetrer. Leseuil F∗, est atteint lorsque F0 5 F : ona ainsi F∗ ∼ N1−nd en bon solvant. Onappelle solution semi-diluee une solution ouF∗ � F0 � 1 : la chaıne y ressent sapropre influence, mais aussi celles des autres(F0 � F∗) et celle du solvant (F0 � 1).On peut alors etablir (et observer) diverseslois d’echelle par rapport a F0. Par exemple,la pression osmotique P 5 −≠F/≠V (varia-tion de l’energie libre si l’on fait varier levolume de solvant a nombre de monomeresfixe) dans une solution monodisperse se com-porte comme :

Pa3

kT5 const F9/4

0 (6.33)

L’exposant 9/4 reflete la connexite des chaınes : on aurait un exposant 2 dans unesolution de monomeres disjoints de meme concentration. Plus generalement, lesobservables seront des fonctions universelles de F/F∗. Dans une solution semi-diluee, une notion-cle est celle de blob, petit volume contenant un segment depolymere, de masse b monomeres, de taille lineaire j (son rayon, par exemple), telque le segment « ignore » ce qui se passe en dehors. En d’autres termes, la configu-ration du segment est celle d’un polymere isole et deux blobs sont statistiquementindependants. j s’interprete naturellement comme la longueur de correlation dusysteme. Le systeme complet apparaıt comme un assemblage homogene de blobsa l’interieur desquels on observe les lois d’echelle d’un polymere isole.Limitons-nous au cas de la dimension d 5 3. La longueur j, observable particulieredu systeme, se met elle aussi sous la forme j 5 const (F/F∗)m ou m est unexposant a determiner. Par definition de F∗, il n’y a qu’un blob par chaıne enF 5 F∗ (elles commencent tout juste a s’interpenetrer) donc la constante estegale a R(N) ∼ N3/5 (en prenant n ≈ nF 5 3/5). La notion meme de blobentraıne que j ne doit pas dependre de N : un blob ignore ce que fait le reste de lachaıne, donc en particulier quelle est sa longueur totale N . Comme F∗ ∼ N−4/5,

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6. CONFORMATION SPATIALE DES POLYMÈRES 203

il vient m 5 −3/4 :

j ∼ aF−3/4 (6.34)

Le nombre b de monomeres a l’interieur d’un blob est :

b ∼(j

a

)5/3

∼ F−5/4 (6.35)

On verifie que b 5 c j3, ce qui justifie de parler d’un « empilement compact ethomogene de blobs ». Les blobs traverses par une meme chaıne vont effectuer unemarche ideale puisqu’ils sont independants. Il vient ainsi :

R2(N ,F) ∼ j2(N

b

)∼ a2NF−1/4 (6.36)

On peut aussi directement chercher R sous la forme R 5 const (F/F∗)m et deter-miner la constante et l’exposant m, ce qui conduit bien sur au meme resultat.Cette vision en termes de blobs est en accord avec le comportement de la fonc-tion d’auto-correlation gauto(r) d’une chaıne : a courte portee (r < j), on retrouvela fonction gsaw(r) d’une marche auto-evitante alors qu’a plus grande distance(r > j), la fonction de correlation gauto(r) va refleter le comportement ideal de lachaıne de blobs. En dimension 3, il vient :

gauto(r) ∼

gsaw(r) ∼ r−4/3 si r < j

cj/r si r > j

(6.37)

La fonction de correlation de paires g(r) de la solution (les monomeres de la pairen’appartiennent plus forcement a la meme chaıne) fait egalement intervenir lataille caracteristique j des blobs :

g(r) ∼ cj

re−r/j (Ornstein − Zernike) (6.38)

5. Conclusion

Nous retiendrons que l’universalite des proprietes conformationnelles d’un poly-mere a lieu pour la raison suivante, deja invoquee dans le cas de la percolation :on peut ramener toute la physique a des parametres geometriques (longueur depersistance et volume exclu). La physique des polymeres est de ce fait l’un desdomaines ou les lois d’echelle sont les mieux verifiees et les plus utilisees pourcomprendre concretement le comportement typique des systemes envisages. Nousn’avons donne ici qu’un tres bref apercu de la portee des theories d’echelle en phy-sique des polymeres, en n’abordant que le cas des proprietes statistiques relativesa des solutions d’homopolymeres lineaires. De nombreux autres systemes polyme-riques sont etudies suivant les memes methodes d’echelle : copolymeres (c’est-a-dire constitues d’un assemblage de segments de compositions chimiques diffe-rentes), polymeres greffes ou adsorbes sur une surface, polymeres branches... Nousrenvoyons au livre de reference en la matiere [De Gennes 1984], a un livre intro-ductif [Grosberg et Khokhlov 1997] et aux livres plus techniques [Janninck et DesCloizeaux 1990] [Grosberg et Khokhlov 1994] sans oublier l’ouvrage historique

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204 INVARIANCES D’ÉCHELLE

[Flory 1953]. Nous n’avons de plus consideres que les proprietes conformation-nelles, c’est-a-dire des proprietes statiques. Les proprietes dynamiques (modes dedeformations, reptation, depinning) et les proprietes de reponse a des contraintes(courbes force-extension, effet d’un cisaillement, viscoelasticite) manifestent ega-lement de remarquables proprietes d’echelle. Ces aspects dynamiques sont parexemple traites dans [Doi et Edwards 1986] et [Grosberg et Khokhlov 1994].

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CHAPITRE

7LES CUPRATES

SUPRACONDUCTEURS

1. La supraconductivité et les supraconducteurs

Ce chapitre est consacre a l’etude de la transition supraconductrice dans lescuprates supraconducteurs. Nous avons vu, au paragraphe 3.3 du chapitre 1, queles supraconducteurs metalliques n’avaient que peu d’interet du point de vue desphenomenes critiques : leur longueur de coherence a T 5 0 etant de l’ordre dumicron, la region critique est de l’ordre de 10−14 K, evidemment impossible aobserver. Cela n’est pas vrai pour les cuprates supraconducteurs decouverts en1986 par Bednorz et Muller, encore nommes « supraconducteurs a haute tempe-rature » (HTC). Leur longueur de coherence a T 5 0, etant de l’ordre de 15 A,la region critique peut atteindre quelques dizaines de kelvins ! Ces materiauxrepresentent donc, en principe, un cas ideal pour les etudes critiques, d’autantplus que la transition peut etre induite par le champ magnetique (comme danstous les supraconducteurs) ou par le dopage (specificite des HTC). Ces deuxderniers parametres permettent, toujours en principe, d’induire des transitionsquantiques a T 5 0. Cette situation physique semble interessante pour tester desdescriptions critiques nouvelles.Deux difficultes notables sont cependant sur la route des physiciens. D’une part,la situation physique en question est d’une complexite microscopique exception-nelle : pres de 100 000 publications sur le sujet n’ont toujours pas permis d’iden-tifier de facon sure les mecanismes elementaires. Par ailleurs, la structure et lacomposition des cuprates sont complexes et sujettes a variations non controlees.En consequence, autre difficulte, les donnees experimentales sont nombreusesmais peu reproductibles. Elles permettent rarement de trancher entre plusieursdescriptions theoriques. Quoi qu’il en soit, ce domaine est un moteur efficacede reflexion : on a pu dire qu’il ferait naıtre une nouvelle physique de la matiere

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7. LES CUPRATES SUPRACONDUCTEURS 207

condensee tant les mecanismes envisages s’ecartent de la physique du solide fon-dee dans les annees 1930 par Felix Bloch.Nous nous concentrerons ici sur les proprietes de la transition supraconductriceen fonction de la temperature T et du dopage d (charge injectee dans les plansd’oxyde de cuivre CuO2), resumees dans un diagramme (T ,d) nomme diagrammede phase. Les physiciens tentent d’en rendre compte par deux types d’approche,microscopiques ou phenomenologiques. Les approches microscopiques reposentsur l’existence de paires de charges, les paires de Cooper, effectivement observeesdans les cuprates. Il s’agit de decrire leur densite, leurs proprietes, leur coherenceen fonction de la position dans le diagramme de phase (voir FIG. 7.3). Une desquestions essentielles, non encore resolue au moment ou ce livre est sous presse,est l’existence probable mais non demontree de paires non condensees (non cohe-rentes) dans la region dite pseudogap du diagramme de phase. Le theme de cechapitre releve du second type d’approche, les descriptions phenomenologiques. Laquestion posee est simple : a quelle classe d’universalite appartient la transitiondans chacune des regions du diagramme de phase. Auparavant, nous proposonsune breve introduction a la supraconductivite et aux materiaux supraconducteurs.

1.1. Mécanismes et propriétés

1.1.1. Un defi pour l’imagination des physiciens

Dans l’etat supraconducteur decouvert en 1911, la matiere presente des proprieteselectriques et magnetiques etranges : la supraconductivite est restee une enigmependant pres de cinquante ans. Le nom « etat supraconducteur » vient de la dis-parition brutale et complete de la resistance electrique dans un materiau lorsquesa temperature est abaissee au-dessous d’une certaine valeur Tc denommee tem-perature critique. Le premier supraconducteur decouvert par Holst et Kammer-ling Onnes, le mercure, est supraconducteur quand sa temperature est inferieurea 4,2 K soit −269 ◦C. Au debut de 1986, le materiau supraconducteur connu,dont la temperature critique est la plus haute (23 K) est le niobiure de germa-nium Nb3Ge. Quelle est donc la surprise lorsque Muller et Bednorz decouvrent lescuprates, dont le record actuel est T c 5 133 K pour les composes HgBaCaCuO.A priori, la supraconductivite constitue une violation du principe d’impossibilitedu mouvement perpetuel : elle permet d’installer un courant electrique extre-mement stable dans un anneau supraconducteur referme sur lui-meme. Un telcourant pourrait persister plus longtemps que l’age de l’univers. Ce mouvementperpetuel existe donc bel et bien (il est utilise aujourd’hui dans des milliers d’ho-pitaux pour pratiquer des examens IRM), mais a l’image du mouvement des elec-trons autour du noyau dans le modele atomique de Niels Bohr, il est de naturequantique. Des les annees 1920, les physiciens savaient que les supraconducteursne sont pas des conducteurs parfaits, des metaux ordinaires dont la resistancedeviendrait extremement faible pour une raison physique inconnue. La resistanceaugmenterait en raison du moindre defaut, de la moindre perturbation du mate-riau, a cause des surfaces, des contacts electriques... Or, c’est exactement l’opposequi est observe. La supraconductivite est un etat robuste, parfois renforce par le

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208 INVARIANCES D’ÉCHELLE

desordre (voir figure 1.12 du chapitre 1) ! Dans les annees 1930, les physicienscomprennent que la supraconductivite est egalement interdite dans la descriptionquantique d’un metal ordinaire : le spectre quasi-continu des excitations excluttoute situation de resistance nulle.En 1933, le physicien Alexander Meissner decouvre que la matiere supraconduc-trice ne se laisse pas penetrer par le flux magnetique. Cette propriete, l’effetMeissner-Ochsenfeld, apparaıt comme une cle pour la description des mecanismesde la supraconductivite. La description de London permet de prevoir sur quelleprofondeur l (tres faible) le flux magnetique penetre dans un supraconducteur.Elle contient aussi le principe d’une propriete qui ne sera observee et expliqueeque trente ans plus tard : le flux magnetique ne peut traverser un supraconducteurque sous forme de quanta, de valeur universelle Fo 5 h/2e.

1.1.2. Une description de champ moyen puissante

La description thermodynamique d’un systeme supraconducteur par Lev Landauet Vitaly Ginzburg [Ginzburg et Landau 1950] conduit au calcul d’une autre lon-gueur caracteristique, la longueur de coherence j. Cette deuxieme longueur carac-terise l’epaisseur sur laquelle disparaıt progressivement la supraconductivite auvoisinage d’une surface, ou d’une interface avec un materiau non supraconduc-teur. On comprend alors que l’etat supraconducteur conduit a un gain d’energieimportant. Ce gain energetique explique que l’exclusion de flux magnetique, l’ef-fet Meissner couteux en energie, soit possible. Si l’on augmente la densite de fluxmagnetique B, on atteint une valeur Bc (qui correspond a un champ magnetiqueexterieur Hc) telle que le gain et la perte d’energie sont egaux : au-dela de cettevaleur de champ magnetique critique Hc le materiau, redevenu soudain normal,laisse penetrer le flux magnetique. La theorie de Landau et Ginzburg montre ega-lement qu’il existe deux types de materiaux supraconducteurs, suivant que j estplus grande que l

√2 (supraconducteurs de type I) ou bien que j est plus petite que

l√

2 (supraconducteurs de type II). Dans ce dernier cas, de loin le plus frequentdans les materiaux interessants en pratique, l’apparition de la supraconductiviteest favorisee aux interfaces avec des regions dans l’etat normal.Entre deux valeurs Hc1 et Hc2, les materiaux supraconducteurs de type II pre-sentent un etat mixte, ou la matiere supraconductrice est traversee par des fila-ments, denommes vortex, regions en l’etat normal qui contiennent chacune exac-tement un quantum de flux magnetique. Si le champ magnetique est inferieur aHc1 alors le materiau ne contient aucun vortex. Au contraire, au-dela de Hc2, lemateriau est dans l’etat normal, le flux magnetique le traverse completement.Les supraconducteurs qui nous interessent ici, les cuprates, sont fortement detype II : j est environ 100 fois plus petit que l. La description de Landau prevoitque le rapport Hc2/Hc1 est de l’ordre du carre du rapport l/j. Dans les cuprates,Hc2 vaut des centaines de teslas, tandis que Hc1 est de l’ordre de 0,01 tesla. Dansla tres grande majorite des situations pratiques, ces supraconducteurs se trouventdans l’etat mixte ou ils contiennent des vortex.Paradoxalement, la description thermodynamique de Landau Ginzburg construitea l’aveugle dans l’ignorance des mecanismes microscopiques, reste particuliere-ment utile pour la description de la supraconductivite des cuprates, precisementparce qu’elle ne suppose rien sur les mecanismes microscopiques.

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7. LES CUPRATES SUPRACONDUCTEURS 209

La description de Landau et Ginzburg prevoit les dependances thermiques detoutes ces quantites. Nous retiendrons que, dans cette approche de champ moyen,les longueurs caracteristiques divergent toutes deux comme l’inverse de la racinecarree de la distance a la temperature critique :

l(T ) ∼ j(T ) ∼ (Tc − T )−1/2 (7.1)

Cette description est tout a fait valide dans le cas des supraconducteurs metal-liques. Nous avons vu au § 3.3 du chapitre 1, que le critere de Ginzburg prevoitune region critique particulierement petite (10−14 K !) en raison de leur grandelongueur de coherence. Cela n’est pas vrai pour les supraconducteurs a haute tem-perature (materiaux cuprates) (voir FIG. 7.1).

1.1.3. Bardeen, Cooper, Schrieffer : enfin une description microscopique

En 1957, les physiciens Bardeen, Cooper et Schrieffer proposent un mecanismequi se revele en excellent accord avec les proprietes supraconductrices de nom-breux metaux : les electrons sont associes par deux, en paires de Cooper. Danscet etat, ils forment des bosons (spin entier) qui obeissent a des regles differentesde celles qui s’appliquent aux electrons celibataires qui sont des fermions (spindemi-entier). Le paradoxe d’un mouvement perpetuel electronique en contra-diction avec la physique disparaıt dans cette description, dont le bien-fonde futrapidement confirme par l’observation directe des paires d’electrons et de leurseffets.Le premier ingredient qui intervient dans cette theorie est l’interaction entreles electrons et les vibrations (ou phonons) des ions du reseau cristallin. JohnBardeen observa en 1955 qu’elle peut conduire indirectement a une attractionentre electrons. L’echange de phonons entre electrons peut etre illustre par uneimage classique tres schematique : le passage d’un electron deforme le reseaucristallin en repoussant les charges negatives et en attirant les charges positives.Le passage d’un second electron dans ce sillage etant facilite en raison de cedeplacement des ions, celui-ci se comporte comme s’il etait attire par le premierelectron.Une deuxieme etape essentielle est atteinte par le jeune theoricien de 26 ans, LeonCooper, embauche par John Bardeen, en 1954, afin d’etablir un cadre theoriquepour cette situation. Surprise : Cooper montre que l’attraction entre les elec-trons, aussi faible soit-elle, doit bouleverser totalement les etats accessibles auxelectrons. Les puissants calculs de perturbation par la methode des diagrammesde Feynman etaient incapables de prevoir cet effet, et pourtant la demonstrationpar Leon Cooper de cette instabilite des etats electroniques sous l’effet d’uneattraction meme tres faible, etait incontournable.Une troisieme pierre etait necessaire a l’edifice : la condensation qui permet auxpaires d’electrons de se rassembler a basse temperature dans un meme etat quan-tique. Apres avoir activement recherche une description de la fonction d’onde, lejeune etudiant John Robert Schrieffer essaye finalement une expression presenteepour un tout autre domaine par le physicien nucleaire Tomonaga au cours d’unseminaire. Le resultat est eblouissant. En quelques semaines, le trio BCS recal-

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210 INVARIANCES D’ÉCHELLE

cule toutes les proprietes de ce nouvel etat en remplacant les fonctions de Bloch,normalement utilisees pour les electrons dans les metaux, par la fonction d’ondede Schrieffer. Ils obtiennent ainsi quantite de resultats en parfait accord avec lesproprietes des supraconducteurs dont les suivants :

– la temperature critique est donnee par l’expression :

Tc 5 QD exp(− 1n(EF )V

)(7.2)

ou QD est la temperature de Debye du materiau – caracteristique des phonons –,n(EF ) la densite d’etats au niveau de Fermi dans l’etat normal, et V le potentield’attraction entre les electrons ;

– la densite d’etats dans l’etat supraconducteur presente une bande interdite (ungap) de valeur 2D proportionnelle au nombre de paires condensees. Les pairesde Cooper sont stables tant qu’on ne leur fournit pas une energie superieure ouegale a 2D. Au-dessous de cette valeur, les paires restent dans l’etat fondamental– eventuellement en mouvement dans cet etat –, sans provoquer la moindredissipation d’energie. Cette derniere caracteristique explique la robustesse del’etat supraconducteur ;

– la quantite d’energie 2D caracterisant la liaison typique entre deux electronsd’une paire, elle est ainsi du meme ordre que l’agitation thermique kTc quifait disparaıtre la supraconductivite, et donc capable de briser les paires. Pourles supraconducteurs ou les paires de Cooper sont faiblement liees, la relation2D 5 3,5 kTc prevue par la theorie BCS est bien verifiee pour les metaux telsque n(EF )V < 1. Pour les autres metaux, une generalisation par Eliashberg dela theorie BCS rend bien compte du rapport 2D/kTc.

En remarquant que la temperature de Debye et le couplage electron–phononmesure par V sont lies, Mc Millan [Mc Millan 1968], on obtient un resultat peuencourageant : dans le cadre des hypotheses de BCS il n’est pas possible d’espererdes valeurs de Tc superieures a 30 K.La theorie BCS porte la marque authentifiant les plus grandes theories : une seulequantite nouvelle introduite par Cooper, le potentiel V d’attraction entre les elec-trons, permet de prevoir quantitativement des dizaines de proprietes apparem-ment independantes les unes des autres.

1.1.4. Quand les supraconducteurs ont une resistance electrique

Une consequence essentielle de la description de Landau et Ginzburg concerne ladensite de courant electrique maximale, le courant critique : dans l’etat « mixte »,ou un supraconducteur de type II est traverse par des vortex, la resistance n’eststrictement nulle que si la densite de courant electrique est inferieure a une valeurcritique Jc. Paradoxe de l’etat supraconducteur : leur resistance electrique peut etredifferente de zero, en raison des mouvements des vortex sous l’effet du courant elec-trique. Ce mouvement, du a la force de Laplace, entraıne une induction, qui faitelle-meme apparaıtre un champ electrique et finalement de l’effet Joule. Tout sepasse comme si le mouvement des vortex etait soumis a un frottement visqueux.Autre paradoxe : certains defauts du materiau peuvent augmenter considerable-ment la valeur de la densite de courant critique en bloquant le mouvement desvortex. Pour la plupart des applications, il est necessaire que la densite de courant

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7. LES CUPRATES SUPRACONDUCTEURS 211

critique soit superieure a une valeur de l’ordre de 10 000 a 100 000 A/cm2. Cesvaleurs sont en general largement atteintes ou depassees dans les films minces debonne qualite. Elles sont cependant plus difficiles a obtenir dans les cables : enl’an 2003, les cables supraconducteurs commerciaux utilisant les composes BiSr-CaCuO dans des gaines d’argent atteignent environ 20 000 A/cm2.

1.1.5. Un dispositif aux caracteristiques uniques : la jonction Josephson

La nature quantique du courant supraconducteur se traduit par diverses proprie-tes caracteristiques. La coherence macroscopique de la fonction d’onde quantiquepeut produire des interferences, tout comme la lumiere lorsqu’elle traverse unefente tres fine. La situation equivalente est ici la traversee par le courant supracon-ducteur d’une tres fine region isolante qui interrompt le circuit supraconducteur.On nomme jonction Josephson ce raccordement SIS (supraconducteur / isolant /supraconducteur) que l’on peut realiser concretement de nombreuses facons. Lesproprietes d’une telle jonction sont tres particulieres. Les jonctions Josephsonpermettent par exemple de stocker les informations binaires, et peuvent ainsi etreutilisees dans les logiques de composants pour ordinateurs.Une autre propriete est la variation du courant critique de la jonction avec lechamp magnetique applique, qui est mise a profit pour la mesure de champsmagnetiques extremement faibles, par exemple jusqu’a la gamme des femtoteslas.Le dispositif SQUID (Superconducting Quantum Interference Device), combinaisonde deux jonctions Josephson sur un anneau supraconducteur est l’equivalent de lasituation des deux fentes de Young pour la lumiere. La tension electrique mesureeentre les deux regions supraconductrices varie periodiquement avec le flux magne-tique qui penetre dans l’anneau, chaque oscillation correspondant a l’entree ou lasortie d’un quantum de flux magnetique. Le decompte des quanta, ou meme lamesure de variations de flux bien inferieures, qui penetrent dans l’anneau permetainsi une mesure tres fine du flux magnetique.

1.2. Les familles de composés supraconducteurs

Les materiaux supraconducteurs sont nombreux, et appartiennent a des famillesde composes variees. Si l’on ne considere que les elements, 38 sont supraconduc-teurs (sur les 101 de la classification periodique). Une dizaine d’autres elementssont supraconducteurs sous pression ou sous forme de films (voir figures 1.10et 1.11). Certains, tel le tungstene, sont supraconducteurs sous forme amorphe,c’est-a-dire lorsque les atomes ont des positions desordonnees. Les elements quine sont pas supraconducteurs sont souvent magnetiques : l’etat supraconducteuret l’etat magnetique sont en competition car ils permettent tous deux d’abaisserl’energie de la matiere. Cependant, l’ordre magnetique est particulierement sen-sible a la qualite de l’ordre cristallin alors que l’ordre supraconducteur ne l’est quepeu, la longueur de coherence etant bien superieure aux distances interatomiques.Ainsi, a basse temperature, le magnetisme peut etre favorise dans un cristal, tandisque l’ordre supraconducteur le remplace dans le meme materiau que l’on trempedans un etat cristallographiquement desordonne (FIG. 1.12).Lorsque ce livre est sous presse, le compose cuprate le plus etudie est YBa2Cu3O7

(Tc 5 92 K), et celui dont la temperature critique de 133 K est la plus elevee est

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212 INVARIANCES D’ÉCHELLE

HgBa2Ca2Cu3O9. Ces composes sont des oxydes lamellaires du type perovskitesde cuivre au caractere bidimensionnel particulierement marque. Cela est un pointessentiel dans les proprietes d’echelle que nous presentons dans ce chapitre. Ilspresentent une alternance reguliere de couches de composition CuO2, qui sontle siege des courants supraconducteurs, avec des couches atomiques non supra-conductrices. Les plans CuO2 interagissent entre eux par couplage Josephson atravers ces couches atomiques non supraconductrices. Le cuivre joue ici un roleessentiel qui n’est pas bien compris, et toutes les tentatives pour lui substituer unautre element n’ont pas conduit a des proprietes supraconductrices comparables.Metaux mediocres ou isolants dans leur etat normal, les cuprates supraconduc-teurs ont les proprietes mecaniques de ceramiques ordinaires. Une grande varietede modeles theoriques a ete proposee pour rendre compte des proprietes supra-conductrices specifiques des cuprates, telles que leur temperature critique eleveeet leur tres courte longueur de coherence. Jusqu’a present les experiences n’ontpas permis de departager les descriptions proposees.En 1990, apparaıt une nouvelle famille de supraconducteurs, les fullerenes, ega-lement nommes footballenes en raison de la forme de la molecule C60 qui estl’element essentiel de l’architecture de ces composes. Le C60 a en effet la formeexacte d’un ballon de football... de 1 nm de diametre ! La temperature critique ducompose Cs2RbC60 est de 33 K. Il existe encore bien d’autres familles de supracon-ducteurs, des composes organiques aux uranides, dont les proprietes sont parfoisfort exotiques.

1.3. Applications : des télécommunications à la magnéto-encéphalographie

La variete des proprietes associees a la supraconductivite permet d’envisager denombreuses applications. Peu sont effectivement commercialisees, en raison desdifficultes techniques necessaires a leur mise en œuvre, et notamment la neces-site de refroidir le materiau. L’obtention de champs magnetiques (par exemplepour les equipements medicaux IRM), grace aux alliages du niobium, et la mesurede champs magnetiques tres faibles, grace a des dispositifs SQUID, sont des appli-cations bien etablies. Les cuprates supraconducteurs refroidis a l’azote liquidesemblent etre utilisables des a present pour les composants hyperfrequence de latelephonie cellulaire. Les materiaux supraconducteurs devraient egalement per-mettre l’augmentation de la rapidite de calcul des ordinateurs et la diminutionde l’energie dissipee par les composants. On sait en effet fabriquer des jonctionsJosephson de qualite, et l’on connaıt une facon efficace d’utiliser ces jonctionsdans un ordinateur, la logique RSFQ inventee par le physicien Likharev.Les utilisations « courant fort » – aimants, alternateurs, moteurs, etc. – sontencore incertaines en raison des proprietes mecaniques et de la densite de cou-rant requises. Elles representeraient un marche considerable qui pourrait s’ouvrirautour de 2010. Les ceramiques de cuprates ne presentent pas la malleabilite etla ductilite des alliages metalliques. Des cables de plusieurs kilometres de longutilisables a 77 K, temperature de l’azote liquide, sont cependant deja commercia-lises. Ils devraient permettre d’augmenter l’alimentation en energie de plusieursgrandes villes d’ici 2010.

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7. LES CUPRATES SUPRACONDUCTEURS 213

2. Le diagramme de phase des cuprates supraconducteurs

En depit de leur diversite, les cuprates ne contiennent qu’un objet moleculairesupraconducteur : le plan cuprate CuO2. Sa structure est representee sur laFIG.7.1.a.

a) Plan cuprate CuO22 – b ) Composé parent CaCuO2

Figure 7.1. Structure de base des composés cuprates. a) Les plans cuprates CuO2 ont une structure de damieroù les angles des cases représentent des atomes d’oxygène, et où une case sur deux est centrée par un atome decuivre. b) Le composé parent CaCuO2, neutre et isolant, est constitué de l’alternance de plans cuprates avec des ionsdivalents Ca21.

Dans l’etat de valence 2, le plus courant pour le cuivre, le plan cuprate est ionise :il porte deux charges electroniques negatives par cuivre. Une structure simple,dite phase « parent » ou phase infinie, realise un compose neutre par l’alternancedes plans cuprates avec des ions divalents (FIG.7.1.b). Pour une question de rayonionique, c’est principalement l’ion calcium Ca21 qui permet de realiser un com-pose supraconducteur. Cependant le compose CaCuO2 est un isolant antiferro-magnetique dont la temperature de Neel est 530 K [Lombardi et al. 1996]. Leselectrons celibataires de l’atome Cu dans l’etat 3d9 sont en effet localises par uneforte interaction coulombienne : deplacer un electron d’un atome de cuivre a sonvoisin coute une energie de l’ordre de 5 eV. Bien que ce ne soit pas notre propos,il est necessaire de souligner que cette energie de repulsion conduit a des pro-prietes electroniques fortement correlees. A priori les descriptions du type liquidede Fermi conduisant a des bandes a un electron ne sont pas adaptees. La descrip-tion microscopique des cuprates est un probleme ouvert (en 2003). Le seul faitbien etabli est l’extreme complexite des mecanismes en jeu, qui semble combi-ner localement des ordres de charge et des ordres magnetiques en plus de l’ordresupraconducteur.Le compose CaCuO2 etant isolant, il est necessaire d’injecter des charges dans lesplans cuprates, de les doper, pour obtenir des proprietes supraconductrices.

2.1. Le dopage des cuprates

Cette operation de dopage est l’analogue du dopage des semiconducteurs qui per-met de moduler leur conductivite dans une tres large gamme. Il existe cependantune difference considerable entre ces deux situations :

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214 INVARIANCES D’ÉCHELLE

– le dopage des semi-conducteurs est destine a injecter une faible concentrationde porteurs (1012 a 1018 charge/cm3, soit 10−10 a 10−4 charge par atome) dansune bande de conduction vide. Cette operation deplace le niveau de Fermi dansla bande interdite, mais celui-ci ne penetre pas dans cette bande. Les chargesrestent ainsi tres diluees, ce qui legitime l’utilisation d’un modele a bandesrigides, identique a celles du materiau non dope ;

– le dopage des cuprates doit atteindre des concentrations de quelques dixiemesde charge electronique par atome pour faire apparaıtre des proprietes supracon-ductrices. Il s’agit d’une transformation chimique notable de ces composes : lorsde cette operation, la valence formelle du cuivre est ajustee dans une gamme de1,7 (dopage par electrons) a 2,3 (dopage par trous). Les composes dopes quien resultent sont fort differents des composes non dopes. Tout modele du typebandes rigides n’est qu’une approximation simpliste de la nouvelle densite elec-tronique.

Le niveau particulierement eleve de la concentration de charges necessaire pouratteindre la supraconductivite entraıne la propriete essentielle suivante, conse-quence directe de l’equation de Poisson :

les charges injectees sont confinees dans une ou deux couches atomiques autourde la region reservoir de charge.

Le principe de cet effet est le suivant : le materiau non dope est isolant, maisle dopage etablit localement des proprietes metalliques. La longueur d’ecran, oulongueur de Debye, est tres faible dans les metaux. En consequence, toute sourcede dopage n’est active que sur une ou deux couches atomiques de son voisinageimmediat en raison du niveau eleve de la modification de densite electroniquerequise.Le dopage consiste a inserer dans la structure des blocs moleculaires electroactifs,dits blocs reservoirs de charges, qui injecteront des charges dans leur proximiteimmediate. Le point developpe ci-dessus nous indique que :

pour etre efficaces, les blocs reservoirs doivent presenter une taille de quelquesatomes dans au moins une direction.

Les proprietes supraconductrices des differents composes cuprates dependentessentiellement du niveau de dopage des plans CuO2, ainsi que du couplagesupraconducteur entre les differents plans cuprates de la structure. Nous ne nousinteresserons ici qu’au premier point, une approche phenomenologique de ladependance des proprietes en fonction du dopage. Nous precisons auparavantcomment doper les cuprates en pratique.

Dopage par voie chimique

La structure des composes cuprates supraconducteurs standard peut etre sche-matisee par l’alternance de deux types de blocs lamellaires [Supra] [Reservoir](FIG. 7.2). Le bloc supraconducteur est compose de l’alternance de n plansCuO2 separes par n − 1 plans atomiques (Ca21 en general, et Y31 ou une terrerare trivalente pour la famille RBa2Cu3O7). Le bloc reservoir de charges est

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7. LES CUPRATES SUPRACONDUCTEURS 215

constitue de la succession de couches [AO] [BO]m [AO]. Pour des raisonsde rayon ionique, l’atome A est Sr ou Ba, tandis que l’atome B peut etre Cu(dans un autre etat d’oxydation), Bi, Tl, Hg, etc. La valeur de m est 1 ou 2. Ladiversite des blocs reservoirs de charge est grande. En effet, de nombreux blocselectroactifs satisfont aux contraintes de compatibilite structurale avec le blocsupraconducteur.

Ca 2+

Réservoir de charges

Bloc supraconducteur

Figure 7.2. Schéma de la structure lamellaire des cuprates supraconduc-teurs.

Lorsque l’on change lanature et/ou le degred’oxydation du blocreservoir dans un com-pose ou le bloc supracon-ducteur reste inchange,on peut faire varier ledopage moyen des planscuprates dans une largegamme. La represen-tation des proprietesobservees dans le plan(dopage, temperature)est nommee diagrammede phase (FIG. 7.3).

MétalA

nti

-fer

rom

agn

étis

me

0

Métal

Isolant

Isolant

Supra

Supra

T

Électrons Trous

Figure 7.3. Diagramme de phase schématique d’un composé cuprate enfonction du dopage des plans CuO2.

Ce diagramme comportequatre regions qualita-tivement symetriquesautour du dopage nul :

– a faible dopage, lescuprates sont des iso-lants presentant unordre antiferromagne-tique a longue dis-tance. La temperaturede Neel, au-dela delaquelle le systeme estdesordonne, decroıtrapidement avec lavaleur absolue du dopage et s’annule pour un dopage de quelques centiemes decharges par atome de cuivre ;

– pour un dopage plus eleve, on traverse a basse temperature une region isolanteaux proprietes complexes, et encore mal comprises. Dans cette region, l’ordrea grande distance a disparu, mais il subsiste d’importantes fluctuations antifer-romagnetiques. On y observe un pseudogap qui semble etre une reminiscencea haute temperature du gap supraconducteur observe au-dessous de la tempe-rature critique. Des paires de Cooper pourraient etre formees dans cette regionsans presenter un ordre de phase. Cette region est delimitee par une tempe-rature superieure T ∗ (ligne large en grise sur la FIG. 7.3) qui correspond a unchangement de regime plutot qu’a une transition nette.

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216 INVARIANCES D’ÉCHELLE

– aux dopages plus eleves, on observe une region ou le compose est supraconduc-teur entre deux dopages extremes. Pour des charges positives (trous), la gammeest d’environ 0,05 a 0,3 avec un maximum de temperature critique pour undopage d’environ 0,18. Pour un dopage negatif, on observe une region syme-trique mais plus etroite, ou le compose est egalement supraconducteur ;

– pour des dopages de valeur absolue superieure a 0,3, on observe une regionmetallique.

Si l’on se place au dopage optimal pour la supraconductivite et si l’on fait varierle nombre n de plans cuprates dans les blocs supraconducteurs, on observe unmaximum pour n 5 3. Cela a ete particulierement bien montre pour les composesde la famille HgBaCuO (FIG. 7.4).

Tem

péra

ture

cri

tiqu

e (K

)

150

100

1 2 3 4 5 6n

Composés HgBa2Can–1CunOy

S

R R

S

R R

1 à 3 plans cupratespar bloc supra

4 plans cuprates ou pluspar bloc supra

(dopage optimal)

niv

eau

de

do

page

niv

eau

de

do

page

Figure 7.4. Lorsque l’on change le nombre n de plans cuprates dans chaque bloc supraconducteur (voir FIG. 7.2),la température critique maximale présente un maximum pour n = 3. Le schéma indique qu’au-delà de cette valeur, iln’existe plus de dopage suffisant (zone grisée) des plans cuprates par les blocs réservoir.

Pour n variant de 1 a 3, la temperature critique augmente comme on l’attend :le caractere bidimensionnel du systeme diminuant, les fluctuations sont moinsimportantes et l’ordre devient plus robuste. A partir de n 5 4, le dopage des planscuprates n’est plus homogene, et les plans situes au centre du bloc supra ne sontplus suffisamment dopes (voir le schema de la FIG. 7.4) : la temperature critiquediminue alors avec n.

2.2. La transition thermique dans les cuprates

Nous decrivons dans ce paragraphe la facon dont se pose la question de la tran-sition supraconductrice dans les cuprates, d’un point de vue phenomenologique.Trois aspects essentiels determinent cette analyse : la forte anisotropie descuprates, la difference marquee entre cuprates sous-dopes et cuprates surdopes,ainsi que les transitions quantiques a temperature nulle. Ces dernieres font l’objetdu § 3. L’objectif est ici de donner au lecteur le parfum d’une physique actuel-lement en chantier, en extrayant quelques directions principales de ce domaineparticulierement complexe sur le plan des mecanismes microscopiques.

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7. LES CUPRATES SUPRACONDUCTEURS 217

Les cuprates standard sont des composes lamellaires (FIG. 7.2) aux proprietes for-tement bidimensionnelles. Une facon simple de caracteriser leur anisotropie est lerapport entre les masses effectivesm// etm⊥ liees a la dispersion des etats electro-niques respectivement parallelement et perpendiculairement aux plans cuprates.Les plans cuprates eux-memes peuvent etre legerement anisotropes dans certainscomposes, cependant nous omettrons cette faible anisotropie intraplanaire qui nejoue que peu de role dans leurs proprietes.

2.2.1. Anisotropie des cuprates

L’anisotropie de la conductivite, s, donne une bonne idee du rapport entre lesmasses effectives g :

g 5

√m⊥m//

∼√s//

s⊥(7.3)

L’anisotropie g varie dans une large gamme en fonction de la structure descuprates. Le tableau 7.1 presente les valeurs couramment admises pour descomposes cuprates typiques au dopage optimal.

Composé TC (K) g l//0 (Å) l?0 (mm) j//0 (Å) j⊥0 (Å)

YBaCuO 92 9 1000 0,87 15 1,6

LaSrCuO 35 18 1700 3,2 30 1,7

HgBa2CuO4 94 29 800 2,2 26 0,9

HgBa2Ca2Cu3O8 133 50

Tl2Ba2CuO6 88 120

Bi2Sr2CaCu2O8 85 > 250 2500 63 27 0,1

Tableau 7.1. Anisotropie des principales familles de cuprates supraconducteurs au dopage optimal1.

Le facteur essentiel qui determine cette anisotropie est l’epaisseur et la conducti-vite du bloc reservoir. Le facteur d’anisotropie g fixe le rapport entre les longueurscaracteristiques correspondant a chacune des directions :

j//

j⊥5

l⊥l//

5 g (7.4)

Le tableau 7.1 presente les valeurs de ces longueurs a temperature nulle pourquelques composes cuprates1. Parallelement aux plans cuprates, ces longueurss’etalent de 15 a 30 A, pour j//0, et de 1 000 a 2 500 A, pour l//0. L’etalementdes valeurs est beaucoup plus grand pour les longueurs dans la direction perpen-diculaire aux plans cuprates : de 0,1 a 1,6 A, pour j⊥0, et de 0,9 a 63 mm pourl⊥0.

1 Ces longueurs ne sont que des ordres de grandeur : elles ont ete mesurees par differentes equipes,par des techniques diverses et sur des echantillons de qualites variees. Ainsi, les valeurs publiees sontassez dispersees.

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218 INVARIANCES D’ÉCHELLE

2.2.2. Regimes 2D et 3D pour un cuprate dope de facon optimale

La dimensionnalite du comportement supraconducteur est determinee par lafacon dont j⊥(T ) se compare a la distance cb entre deux blocs supraconduc-teurs :

– si j⊥(T ) � cb alors la supraconductivite presente un caractere 2D,– si j⊥(T ) est superieure ou de l’ordre de cb alors la supraconductivite presente

un caractere 3D.

Suivant le compose, cb vaut entre 12 et 18 A, des valeurs bien superieures a j⊥0.En consequence :

– a temperature nulle ou nettement inferieure a Tc , les composes cuprates pre-sentent tous un comportement 2D ;

– au voisinage de la temperature critique, la longueur de coherence j⊥0 dans ladirection perpendiculaire aux plans cuprates diverge comme :

j⊥ 5 j⊥0 t−n avec t 5

Tc − TT

(7.5)

– il existe une region de temperature t3D telle que si t < t3D le comportementsupraconducteur est tridimensionnel :

j⊥(t3D) 5 cb soit t3D 5

(j⊥0

cb

)1/n

(7.6)

Le tableau 7.2 illustre ce changement de regime dans deux cas extremes,YBa2Cu3O7 et Bi2Sr2CaCu2O8. En pratique, le compose YBa2Cu3O7 est le seulpour lequel on observe un reel comportement tridimensionnel dans une gammede quelques kelvins.

Composé TC (K) g j⊥0 (Å) cb (Å) t3D TC − T3D (K)

YBa2Cu3O7 92 9 1,6 12 0 ,05 4,5

Bi2Sr2CaCu2O8 85 > 250 0,1 15 0,0005 0,04

Tableau 7.2. Valeurs de la température de changement de régime T3D telle que pour Tc − T3D < Tc − T < Tc lecomportement supraconducteur soit tridimensionnel.

Encore ce comportement n’est-il mis en evidence clairement que si l’on inclutdes effets de taille finie, de dynamique et les « corrections au scaling » [Schnei-der et Singer 2000]. Pour les autres composes cuprates, le regime 3D n’apparaıtque dans une region trop etroite autour de Tc pour que l’on puisse le mettre enevidence.

2.2.3. Regimes 2D et 3D en fonction du dopage

Jusqu’a present, nous n’avons considere que les composes dopes de facon opti-male. Autour de 1993, l’observation de la difference radicale entre composes sous-dopes et surdopes fut une des avancees considerables de l’etude des cuprates. Elleest une des cles de l’elucidation (encore future debut 2003...) des mecanismesphysiques de la supraconductivite dans ces structures. On observe de nombreusesevolutions de leurs proprietes en fonction du dopage, parmi lesquelles la symetrie

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7. LES CUPRATES SUPRACONDUCTEURS 219

du parametre d’ordre – que nous n’aborderons pas – et le rapport 2D/kTc, quiatteint des valeurs tres elevees (superieures a 20 comparees a la valeur BCS de3,5 !) a faible dopage, jusqu’a environ 5 pour des composes surdopes. Nous nousinteresserons particulierement a la variation de l’anisotropie et a celle des lon-gueurs caracteristiques. La FIG. 7.5 presente l’evolution caracteristique de l’ani-sotropie en fonction du dopage pour un compose cuprate.

Supra

Sous-dopé Surdopé

Tc

Figure 7.5. Évolution schématique de l’aniso-tropie des cuprates en fonction de leur dopage.

A ce jour, les seules mesures detaillees etreproductibles ont ete effectuees sur les com-poses LaSrCuO et YBaCuO. Pour ce derniercompose, il ressort essentiellement que l’ani-sotropie g augmente d’environ un facteurtrois lorsque l’on passe du dopage optimal(Tc 5 92 K) aux composes fortement sous-dopes (Tc 5 70 K). Dans cette gamme,la longueur de coherence perpendiculaireaux plans cuprates j⊥0 reste sensiblementconstante, tandis que la longueur de cohe-rence parallele aux plans cuprates j//0 aug-mente d’un facteur 3 [Hubbard et al. 1996].

2.2.4. Deux schemas pour le diagramme de phase des cuprates

Pour clore cette breve presentation du diagramme de phase des cuprates, nous pro-posons au lecteur deux schemas qui resument l’essentiel des proprietes. Par soucide simplification, ces schemas supposent un dopage par des trous. C’est aussi lasituation qui a ete la plus largement etudiee. A priori, on attend un comportementqualitativement symetrique pour un dopage par des electrons.Le premier schema resume les classes d’universalite auxquelles nous nous atten-dons en fonction du dopage et de la temperature (FIG. 7.6) a partir des observa-tions experimentales.

Figure 7.6. Schéma des classesd’universalité attendues dans lesdifférentes régions du diagrammede phase des composés cuprates(d’après la référence [Schneider etSinger 2000]). Les zones griséescorrespondent à l’état supraconduc-teur et la zone gris clair à la région cri-tique. Les lignes grises et larges cor-respondent à des régions de change-ment de régime plutôt qu’à des tran-sitions nettes. À température nulle,le dopage du est un point cri-tique quantique pour la transition iso-lant → supraconducteur, tandis quele dopage do correspond à la transi-tion supraconducteur → métal.

T

Pseudogap2D–XY

MétalChamp moyen

0 Dopage

Isolant Supraconducteur métal

U O

2D–XY

3D–XY

Champmoyen

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220 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Pour resumer ce schema :

– les composes surdopes pourraient etre decrits comme des supraconducteursclassiques en utilisant la theorie de champ moyen. Leur transition serait decritepar une version BCS adaptee a la symetrie particuliere du parametre d’ordre(symetrie d) pour laquelle on attend un rapport 2D/kTc d’environ 4,5. Cela estbien verifie par l’experience [Deutscher 1999] ;

– les composes sous-dopes presentent une anisotropie d’autant plus grande que ledopage est faible (FIG. 7.5) et relevent ainsi essentiellement de la classe 2D−XY ;

– au voisinage immediat de la transition thermique, il existe une region 3D-XYdue a la divergence de la longueur de coherence j⊥(T ). Nous avons vu qu’enpratique cette region n’est observable que pour le compose YBaCuO. Pour lesautres cuprates, son etendue est inferieure a 1 K (FIG. 7.1) ;

– a temperature nulle, il existe deux points critiques quantiques : un pour ledopage du (u pour underdoped ) correspondant a la transition isolant → supra-conducteur , et un pour le dopage do (o pour overdoped) correspondant a latransition supraconducteur → metal.

De nombreuses descriptions microscopiques ou phenomenologiques ont ete pro-posees pour rendre compte de la forme de ce diagramme. Nous presentons ci-dessous celle proposee en 1993 par Emery et Kivelson [Emery et Kivelson 1993]qui est exemplaire par son caractere pedagogique (FIG. 7.7).

Figure 7.7. Diagramme schéma-tique pour les cuprates, proposé parEmery et Kivelson [Emery et Kivel-son 1993] : la ligne grise repré-sente la transition ordre-désordre pourla phase des paires de Cooper, tan-dis que la ligne noire représente latransition pour le module de la fonc-tion d’onde, c’est-à-dire la transitiond’apparition de paires de Cooper. Pourles matériaux surdopés, lorsque lespaires apparaissent, elles sont simul-tanément condensées dans un étatcohérent : il n’y a qu’une transition,de nature BCS. Au contraire, pour lescomposés sous-dopés, il existe unétat pseudogap où existent des pairessans ordre de phase. Ces paires « pré-formées » peuvent ensuite se conden-ser à plus basse température dans unétat cohérent : il s’agit alors d’unetransition Bose-Einstein.

T

0 Dopage

T*

Pseudogap :Paires de Cooper

préforméessans ordre de phase

Métalnormal

Transition d'ordrepour le module

Transition d'ordrepour la phase

TransitionBose-Einstein

TransitionBCS

dU dO

L’ordre est represente dans l’etat supraconducteur par une fonction d’onde quan-tique :

C 5 |C | eiu (7.7)

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7. LES CUPRATES SUPRACONDUCTEURS 221

Le module et la phase de cette fonction sont respectivement relies a la densite depaires de Cooper et au courant supraconducteur. La densite volumique ns d’elec-trons apparies est egale au module carre de cette fonction :

ns 5 |C |2 (7.8)

La densite de courant supraconducteur js peut etre exprimee a partir de la valeurde l’operateur impulsion :

p 5 − i�∇ 1e

cA (7.9)

ou A est le potentiel vecteur. Dans une region ou la densite de paires de Cooperns est constante, le courant comporte une partie proportionnelle au gradient deu, et une partie liee au potentiel vecteur :

js 5nse

m

{�∇u 1 e

cA}

(7.10)

Dans le schema illustre par la FIG. 7.7, l’ordre de phase domine la transition supra-conductrice pour les composes sous-dopes, tandis que c’est la formation des pairesqui domine la transition pour les composes sur dopes. La ligne grise represente latransition ordre-desordre pour la phase des paires de Cooper, tandis que la lignenoire represente la transition pour le module de la fonction d’onde, c’est-a-dire latransition de formation de paires de Cooper :

– pour les materiaux surdopes, lorsque les paires apparaissent, elles sont simulta-nement condensees dans un etat coherent : il n’y a qu’une transition, du typeBCS ;

– au contraire, pour les composes sous-dopes au-dessous d’une temperature T ∗, ilexiste un etat pseudogap ou existent des paires sans ordre de phase. Ces paires« preformees » peuvent ensuite se condenser a plus basse temperature dans unetat coherent : il s’agit alors d’une transition du type Bose-Einstein (BE).

Ce schema, du a Emery et Kivelson, est a la base de nombreuses descriptionsmicroscopiques des cuprates qui ont ete proposees depuis. L’idee essentielle restele changement de nature de la transition entre l’etat sous-dope (BE) et l’etatsurdope (BCS).

2.2.5. Le comportement d’echelle de la conductivite (dans l’etat normal)

Avant de decrire ce que l’on attend des transitions quantiques (a T 5 0), nous rap-pelons quelques elements de base sur les effets dynamiques (voir § 5.2, chapitre3) et de taille finie (voir le § 5.4, chapitre 3) et leur consequence sur le com-portement d’echelle des supraconducteurs. Cette analyse est d’abord purementdimensionnelle.Le courant supraconducteur exprime par l’eq. 7.10 presente un comportementdimensionnel en fonction de la taille L du bloc supraconducteur (on imaginerapar exemple un hypercube d’arete L) :

j ∼ L1−d (7.11)

Page 222: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

222 INVARIANCES D’ÉCHELLE

La meme expression permet de prevoir le comportement du potentiel vecteur quidoit etre homogene a l’operateur gradient :

A ∼ L−1 (7.12)

Le champ electrique est relie par l’equation de Maxwell de l’induction au potentielvecteur :

E 51c

≠A≠t

∼ t−1L−1 (7.13)

La conductivite s a donc pour comportement dimensionnel, par rapport au tempset a la taille du systeme :

s 5J

E∼ tL2−d (7.14)

Nous definissons plus loin, au paragraphe 1.2 du chapitre 8, consacre aux meca-nismes de croissance, l’exposant dynamique z qui relie les temps caracteristiquesa la longueur de coherence :

t ∼ Lz ∼ jz (7.15)

Finalement, la conductivite peut s’ecrire sous la forme de l’expression suivante :

s(T ,H) 5 j2−d1zF

(f

f0

)5 j2−d1zF

(Hj2

f0

)(7.16)

ou H est le champ magnetique, f0 5 h/2e le quantum de flux magnetique, et fle flux qui traverse une « aire de coherence » j2. La fonction F (x) est une fonctionuniverselle, constante pour T > Tc et finie a Tc. On en deduit la dependance enchamp magnetique de s, lorsque H tend vers zero, en remplacant j2 par 1/H, defacon que l’argument de F reste constant :

s (Tc,H) ∼ H− 21z−d2 (7.17)

De meme, la dependance en frequence de la conductivite peut etre deduite del’eq. 7.14 :

s(T ,v) 5 j2−d1z

2 S (v j2) (7.18)

ou S est une fonction universelle. Aussi bien s que v sont des nombres complexesdont les parties reelles et imaginaires sont liees de facon classique aux comporte-ments resonant et amorti. L’eq. 7.18 permet de prevoir le comportement critiquedu module et de la phase lorsque la frequence tend vers l’infini :

|s(Tc,v) | ∼ |v |−x 5 |v |−2−d1z

z (7.19)

tandis que la phase tend vers :

w (v→ ∞) 5p

2

(2 − d 1 z

z

)(7.20)

Il est a remarquer qu’a deux dimensions, la phase tend vers p/2 quelle que soit lavaleur de z.

Page 223: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

7. LES CUPRATES SUPRACONDUCTEURS 223

En pratique, les resultats observes le sont essentiellement sur le compose YBa-CuO. Nous presentons les resultats obtenus pour deux types de materiaux, uneceramique [Schneider et Keller 1993] et un monocristal [Koetzler 1999] deYBa2Cu3O7. Dans les deux cas, on se place dans la region proche de Tc ou lecomportement 3D-XY est avere, par exemple par la variation de la susceptibilitemagnetique. Dans ce cas, l’exposant de l’eq. 7.16 est simplement z − 1, et laconductivite en courant continu d’un materiau 3D doit se comporter comme :

s ∼ jz−1 ∼(T − TcTc

)−n(z−1)

(7.21)

Le tableau 7.3 resultats obtenus dans le premier cas en courant continu, et dansle second en fonction de la frequence. Ils montrent clairement l’existence d’effetsdynamiques dans la transition supraconductrice de YBaCuO.

Matériau Mécanismedes fluctuations

T caractéristique n(z� 1) n z

Céramique s continue

fluctuations thermiqueset dynamiques

Tc 5 92,44 K 2/3 n3D 5 2/3 z3D 5 2

Monocristal s (v)Fusion d’un verre de vortex

TGlass 5 91 K 8 nG 5 1,6 zG 5 6

Tableau 7.3. Exposants tirés de la conductivité de deux composés YBaCuO.

3. Les transitions quantiques dans les supraconducteurs

De facon generale, on nomme transition quantique un changement d’etat dont lemoteur est la variation d’une quantite physique autre que la temperature. Dansle cas de la supraconductivite, ce peut etre le champ magnetique H, l’epaisseurdF d’un film ou le dopage d . Dans le principe, on s’attend a observer une analo-gie entre les transitions thermiques et les transitions quantiques en remplacantT − Tc par H −Hc, dF − dFC ou d− dc. La divergence de la longueur de coherencej conduit de meme a une invariance d’echelle du systeme et a des classes d’uni-versalite caracterisees par des exposants critiques universels. Les effets du champmagnetique sur les cuprates sont complexes et ont fait l’objet d’une abondantelitterature. Nous n’en parlerons pas dans ce chapitre. Il nous semble interessantd’attirer l’attention du lecteur sur les quelques resultats qui ont ete publies enfonction de l’epaisseur et du dopage. Si la qualite et l’etendue des mesures n’est engeneral pas suffisante pour etablir l’existence d’une transition quantique, celles-cine sont pas en contradiction avec les previsions des modeles correspondants.L’essentiel de la transposition transition thermique → transition quantique estvalide, cependant les fluctuations sont maintenant des fluctuations quantiques.On montre que celles-ci ne sont pertinentes que pour une temperature strictementnulle, sinon elles sont dominees par les fluctuations thermiques. Cela est lie ala dynamique des fluctuations quantiques qui moyenne rapidement leur effet atoute temperature finie. A temperature nulle, seules les fluctuations quantiquesexistent, et leur valeur statique est inseparable de leur dynamique. Le tableau 7.1resume ces elements.

Page 224: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

224 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Température Finie Nulle

Fluctuations thermiques Dominantes Absentes

Fluctuation quantiques Non pertinentes parce que moyennéespar la dynamique

Seules présentes, divergence dutemps de relaxation

Transition Thermique Quantique

Tableau 7.4. Transitions thermiques et transitions quantiques.

En raison de l’importance de la dynamique dans le cas des transitions quantiques,deux longueurs de coherence sont definies : une longueur de coherence ordinairej, et une longueur de coherence temporelle jt. La quantite hjt a la dimension dutemps, et jt se comporte donc comme le temps de coherence. Si nous choisissonsd’etudier le comportement critique quantique en fonction d’une quantite d, quipeut representer le champ magnetique, le dopage ou l’epaisseur d’un film, le com-portement d’echelle de ces longueurs sera respectivement caracterise par deuxexposants n et nt , ainsi que l’exposant dynamique z 5 nt/n. L’ecart a la quantitecritique dc sera nomme d :

d 5d− dc

dcj ∼ | d |−n

jt ∼ jz ∼ | d |−nt z 5nt

n(7.22)

Les relations d’echelle pour les differentes quantites physiques sont obtenues apartir des relations classiques – pour les transitions thermiques –, en remplacantl’ecart de temperature t 5 (T − Tc)/Tc par d, ainsi que b 5 1/kT par jt. A titred’exemple, l’energie libre est caracterisee par un exposant critique 2− a relie auxexposants ci-dessus par la (nouvelle) relation d’hyperscaling :

2 − a 5 n (d 1 z) (7.23)

Lorsque la dimension d’espace d est au moins egale a deux, il est necessaire deconsiderer les variations spatiales du parametre d’ordre dans la direction longitudi-nale (parallele au parametre d’ordre) et les variations transversales. Aux premieresest associee la longueur de coherence habituelle, tandis que l’on introduit unelongueur de coherence transversale pour les secondes. Le detail de cette approchedepasse le cadre de ce chapitre, et nous renvoyons le lecteur a des referencesdetaillees sur ce point [Schneider et Singer 2000]. Une consequence directe ducomportement d’echelle du parametre d’ordre transverse – et notamment sa tor-sion eventuelle – est la relation entre la temperature critique et la quantite d auvoisinage du point critique quantique :

Tc ∼ dz n (7.24)

A deux dimensions en particulier, une relation simple existe egalement entre Tc etles longueurs de penetration de London, lorsque d→ 0 :

Tc(d) ∼1

lx(T 5 0, d)ly(T 5 0, d)(7.25)

Les plans cuprates presentant une maille pratiquement carree – parfaitement car-ree dans certains composes – la relation devient simplement Tc ∝ 1/l2. Nouspresentons les relations d’echelles liees a Tc a titre d’exemple. Il est cependant

Page 225: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

7. LES CUPRATES SUPRACONDUCTEURS 225

possible de prevoir le comportement de nombreuses quantites physiques au voi-sinage du point critique quantique, tel celui de la conductivite, toujours en rem-placant l’ecart de temperature t 5 (T − Tc)/Tc par d, ainsi que 1/kT par jt. Onprevoit ainsi que la conductivite a deux dimensions tend vers la quantite :

s(d→ 0) 5 AsQ 5 A4e2

h(7.26)

ou 4 e2/h 5 6,45 kV et A est un facteur numerique qui depend du modele micro-scopique.

3.1. Transition supraconducteur-isolant liée à l’épaisseur d’un film

Des mesures remarquables sur des films de bismuth ont permis de mettre en evi-dence de facon nette une transition en fonction de l’epaisseur d’un film [Markovicet al. 1998]. Celui-ci est depose sur un cristal plan a l’echelle atomique, revetud’une couche amorphe de germanium de 1 nm d’epaisseur. L’epaisseur du film debismuth est soigneusement controlee entre 0,9 nm, pour laquelle le film presenteun comportement isolant, et 1,5 nm, a laquelle il est supraconducteur. La transi-tion se produit pour une epaisseur critique de 1,22 nm pour laquelle la resistancevaut Rc 5 7,8 kV. L’eq. 7.24 conduit a une evaluation de l’exposant zn d’envi-ron 1,3.

107

106

105

104

103

R (

)

T (K)

10000

8750

7500

6250

500011,75 12 12,25 12,5

d (Å)

R (

)

9 Å

15 Å

dc

Figure 7.8. Résistance « par carré » de films de bismuth de différentes épaisseurs en fonction de la température. Sil’on trace cette résistance en fonction de l’épaisseur (graphe en insert) les courbes se croisent toutes pour l’épaisseurcritique de 1,22 nm.

Page 226: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

226 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Des mesures de ce type ont egalement ete effectuees sur les composes cupratessupraconducteurs par deux techniques differentes. Dans le premier cas, il s’agitde films ultra minces, par exemple de LaSrCuO [Sato et al. 1997], pour lesquelson observe une transition supraconducteur-isolant en accord avec un exposant znd’environ 1. Cette technique est cependant fort perilleuse dans le cas des cuprates,car l’epaisseur critique (2 nm pour LaSrCuO) est de l’ordre de l’epaisseur del’unite structurale, c 5 1,33 nm, pour LaSrCuO. On risque alors d’observer plutotune transition de percolation (chapitre 5) qu’une transition quantique. De plus,les cuprates sont fortement oxydes pour atteindre leur dopage optimal : on observeune forte variation de leur degre d’oxydation pres d’une interface.L’autre technique utilisee est la realisation de super-reseaux alternant des couchessupraconductrices d’epaisseur variable et des couches non supraconductrices. Ceprocede a ete utilise par plusieurs auteurs dans le cas du compose YBaCuO alterneavec des couches PrBaCuO de structure identique ou l’yttrium est remplace par lepraseodyme [Goodrich et al. 1997]. Contrairement a YBaCuO, le compose PrBa-CuO reste isolant quel que soit son degre d’oxydation.

Figure 7.9. Variation de la température critiqued’un super-réseau YbaCuO/PrBaCuO en fonction del’épaisseur des couches alternées [Goodrich et al.1997].

100

80

60

40

20

00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Tc

1/d (Å–1)

Les resultats presentes sur la FIG. 7.9 conduisent a une valeur voisine de 1 pourl’exposant zn. Dans le cas des cuprates, les quantites z, n et A (eq. 7.26) ont eteevaluees dans le cadre de differents modeles microscopiques. A titre d’exemple,nous presentons ci-dessous les previsions proposees par M. C. Cha et al. [M. C.Cha et al. 1991, M. C. Cha et al. 1994], E. S. Sorensen et al. [E. S. Sorensenet al. 1992], ainsi que T. Schneider et J. M. Singer [Schneider et Singer 2000](tableau 7.5) :Les resultats experimentaux, bien qu’entaches d’une forte incertitude, semblenten accord avec des valeurs voisines de 1 pour zn, comme prevu par certaines des-criptions microscopiques des cuprates sous-dopes resumees dans le tableau 7.5.

3.2. Transitions liées au dopage dans les composés cuprates

Nous nous interessons ici a la description du diagramme de phase des cupratesdont nous avons presente les determinations experimentales au § 2. Suivant lescomposes, ce diagramme n’est en general explore que tres partiellement par l’ex-perience en raison des contraintes chimiques et structurales particulieres. Nous

Page 227: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

7. LES CUPRATES SUPRACONDUCTEURS 227

Réfé

renc

eM

odèl

ez

nz

nA5

s/s

Q

[M.C

.Cha

etal

.199

1,19

94]

Mod

èle

anis

otro

pe(2

11)

D−

XY≈

1≈

2/3

≈2/

30,

285

[M.C

.Cha

etal

.199

1,19

94]

Mod

èle

deHu

bbar

d(N

om

bre

entie

rd’é

lect

rons

dan

sla

ban

de

:rem

plis

sage5

1/2)

≈1

≈2/

3≈

2/3

0,52

[M.C

.Cha

etal

.199

1,19

94]

Mod

èle

deHu

bbar

d(N

om

bre

entie

rd’é

lect

rons

dan

sla

ban

de

:rem

plis

sage5

1/3)

≈1

≈2/

3≈

2/3

0,83

[M.C

.Cha

etal

.199

1,19

94]

Mod

èle

deHu

bbar

d1

inte

ract

ion

aléa

toire

(Nom

bre

entie

rd’é

lect

rons

dan

sla

ban

de

:re

mplis

sage5

0)≈

1,07

≈1

≈1,

070,

27

[M.C

.Cha

etal

.199

1,19

94]

Mod

èle

deHu

bbar

d1

inte

ract

ion

aléa

toire

(Nom

bre

entie

rd’é

lect

rons

dan

sla

ban

de

:re

mplis

sage5

1/2)

≈1,

14≈

1≈

1,14

0,49

[E.S

.Sor

ense

net

al.

1992

]M

odèl

ede

Hubb

ard1

déso

rdre1

inte

ract

ion

répu

lsiv

eco

urte

dist

ance

(Nom

bre

non

entie

rd’é

lect

rons

dan

sla

ban

de)

≈2

≈1

≈2

0,14

[E.S

.Sor

ense

net

al.

1992

]M

odèl

ede

Hubb

ard1

déso

rdre1

inte

ract

ion

coul

ombi

enne

àlo

ngue

dist

ance

(Nom

bre

non

entie

rd’é

lect

rons

dan

sla

ban

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≈1

≈1

≈1

0,55

[Sch

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eret

Sing

er20

00]

Mod

èle

deHu

bbar

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tract

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1/2

1

Tabl

eau

7.5.

Vale

urde

sex

posa

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diffé

rent

sm

odèl

es.

Page 228: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

228 INVARIANCES D’ÉCHELLE

discuterons du cas ou ce diagramme a pu etre decrit de facon assez complete,celui des composes La1−xSrxCuO4, dans lesquels la substitution du lanthane parle strontium permet un dopage par des trous dans toute la gamme supraconduc-trice [Takagi et al. 1989, Torrance et al. 1989, Nagano et al. 1993, Fukuzumi etal. 1996]. Nous nous interesserons successivement aux deux transitions que l’onobserve a T 5 0 lorsque le dopage augmente (voir par exemple la FIG. 7.6) :

– la transition isolant-supraconducteur (SI) qui intervient dans les composes sous-dopes pour un dopage dU ;

– la transition supraconducteur-metal normal (SN) qui intervient dans les compo-ses surdopes pour un dopage dO.

Transitions isolant-supraconducteur et supraconducteur-normal dans lescuprates

Dans les composes sous-dopes, la transition quantique SI releve en principe dela classe d’universalite 2D-XY (FIG. 7.6). Le comportement que l’on attend pourTc(d) est prevu par l’eq. 7.24 :

Tc ∼ (d− dU )z n (7.27)

Les exposants z et n peuvent etre evalues a partir de descriptions microscopiques(tableau 7.5). Les modeles dont les previsions se rapprochent le plus des obser-vations experimentales prevoient un exposant zn d’environ 1 pour la transitionquantique SI.Dans les composes surdopes, la transition supraconducteur-normal releve duchamp moyen : on peut la decrire comme une transition classique BCS dans unmetal ordinaire (liquide de Fermi) ou la transition supraconductrice apparaıt sousl’effet de la diminution du dopage. Le traitement champ moyen de cette situationconduit a un exposant zn d’environ 1/2 pour la transition quantique SN 2 :

Tc ∼ (dO − d)1/2 (7.28)

Les eq. 7.27 et eq. 7.28 ne sont valides qu’au voisinage de Tc 5 0. On peut pro-poser des expressions qui decrivent l’ensemble de la region supraconductrice ensupposant que l’on ne s’eloigne jamais beaucoup du regime quantique, c’est a direque la temperature reste suffisamment faible. L’une d’elles est par exemple :

Tc 5[a (d− dU )−1

1 b (dO − d)−1/2]−1

(7.29)

Cette expression permet de rendre compte des observations experimentales exis-tantes, dans le cas de LaSrCaCuO dope par la substitution Ca → Sr (FIG. 7.10).Inversement, le nombre de mesures et leur dispersion ne permettent nullementd’affirmer que l’exposant zn est effectivement proche des valeurs indiquees par ladescription theorique.

2 On pourra par exemple se reporter a la reference [Schneider et Singer 2000] pour ce calcul.

Page 229: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

7. LES CUPRATES SUPRACONDUCTEURS 229

Figure 7.10. Diagramme de phasedu composé LaSrCaCuO. Les pointsexpérimentaux proviennent de réfé-rences [Takagi et al. 1989, Torranceet al. 1989, Nagano et al. 1993, Fuku-zumi et al. 1996], tandis que la lignecontinue correspond à l’éq. 7.29.

40

30

20

10

00,0 0,1 0,2 0,3

U O

Tc

(K)

4. Un domaine ouvert

En conclusion de ce chapitre, on retiendra que les donnees experimentales surles transitions supraconductrices sont aujourd’hui insuffisantes pour etablir uncomportement d’echelle precis, dans le cas des cuprates supraconducteurs.Pour ce qui est des transitions thermiques, les donnees sur les transitions supra-conductrices des metaux sont souvent d’excellente qualite, mais le critere de Ginz-burg (§ 3.3, chapitre 1) indique que celles-ci relevent toujours de l’approximationdu champ moyen, la region critique etant totalement inaccessible (≈ 10−14 K). Lalongueur de coherence des cuprates etant de deux a trois ordres de grandeur infe-rieure, la region critique atteint des dizaines de kelvins et peut donc etre observefacilement dans ce cas. Cependant, les cuprates sont des materiaux complexesdont la composition et la structure sont peu reproductibles dans leurs details.La procedure de dopage elle-meme consiste a substituer ou a intercaler dans cescomposes une quantite d’atomes considerable, l’equivalent de quelques dixiemesdu nombre d’atomes de cuivre presents dans la structure. Cette operation modifiele dopage des plans cuprates, mais egalement de nombreuses proprietes electro-niques et structurales du compose. On peut la pratiquer de differentes facons, paroxydation ou par substitution de cations varies, et l’on n’obtient jamais exacte-ment le meme resultat. S’il est bien etabli que les transitions observees sur lescuprates comportent des effets importants des fluctuations, et cela qu’elles soientthermiques ou quantiques, leur faible reproductibilite interdit pour l’instant d’endeduire des comportements d’echelle detailles.

Page 230: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

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Page 232: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

CHAPITRE

8CROISSANCE ET RUGOSITE

DES INTERFACES

1. Introduction

Notre vie quotidienne est une suite de rencontres d’interfaces variees. Que ce soitdans les paysages que nous traversons, a travers notre peau ou les membranesqui constituent nos cellules, nous echangeons en permanence de la matiere et del’energie. La forme de ces interfaces est determinante pour les echanges, commel’est par exemple la structure fine des poumons pour l’echange d’oxygene, ou lasurface d’une vitre pour sa transparence. Leur morphologie depend en general del’echelle a laquelle on les observe, la surface lisse de Mars vue de la Terre differefortement de la rugosite de son sol vue par un eventuel martien.Nous appliquons ici les approches d’echelle a la forme des interfaces, a leur for-mation et a leur evolution dans des situations hors d’equilibre. Nous avons dejadiscute au chapitre 4 d’un processus hors d’equilibre, la diffusion : il s’agissaitde suivre la position r(t) d’un diffuseur aleatoire au cours du temps. Nous nousinteressons ici a la position h(r,t) d’une interface entre deux milieux (FIG. 8.1),par exemple, au cours d’un processus de croissance par agregation a l’un des deuxmilieux de matiere provenant de l’autre. Ce terme generique de croissance esten pratique generalise dans le sens d’evolution et de propagation d’un front, ad’autres situations physiques telles que l’erosion d’un sol, la propagation d’un feude foret, l’ecoulement d’un fluide dans un milieu poreux ou la croissance d’unecolonie bacterienne.

Page 233: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

8. CROISSANCE ET RUGOSITÉ DES INTERFACES 233

Figure 8.1. Évolution de l’interface entre deuxmilieux : de la matière provenant du milieu B peuts’agréger au milieu A, celui-ci peut au contraire êtreérodé par le milieu B. A peut être un incendie quiravage le milieu B, ou bien un liquide qui se pro-page dans le milieu poreux B. r

L

h(r

,t)

B

A

Comme dans l’etude des transitions de phase, nous ne nous interessons pas ici a laforme tres detaillee de l’interface ou de son evolution, mais a ses proprietes asymp-totiques d’invariance d’echelle. La propriete d’autosimilarite statistique1 est icietendue a l’auto-affinite : l’interface est auto-affine si elle presente les memes pro-prietes statistiques lors de changements d’echelle de rapports differents, k pour het k′ pour r : h(r) et kh(k′r) ont les memes proprietes statistiques.

Figure 8.2. Croissance le long de marches atomiques sur un monocristalde silicium (IEMN, Laboratoire de Physique, Lille).

Dans les situations sim-ples, r n’a qu’une compo-sante : c’est par exemplele cas des simulations d’in-cendie de foret que nousavons evoquees au § 5.1,ou le feu est allume autemps zero sur un coted’un carre de foret. Noussupposons ici que la foretpeut etre irreguliere, maisque sa densite est toujoursbien superieure au seuilde percolation. Une situa-tion de la meme famille estla croissance, atome paratome, a la lisiere d’une« marche atomique » rec-tiligne au depart (FIG. 8.2et FIG. 8.9).

1 Nous rencontrerons ici uniquement des invariances d’echelle statistiques. Lorsque nous utiliseronsl’expression « invariance d’echelle », « autosimilarite » ou « auto-affinite », nous sous-entendrons queces termes doivent etre compris au sens statistique.

Page 234: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

234 INVARIANCES D’ÉCHELLE

T

T TA

A AG

G

G

C

C

C

6

4

2

0

–2C C C C CA A A AT T T T T T T TG G G

Séquence ADN

yy

600

400

200

0

– 2000 5 000 10 000 15 000 20 000 25 000

Figure 8.3. Une « marche d’ADN » révélant des corrélations étonnantes dansles séquences « non codantes » (d’après [Mantegna et al. 1994, Havlin et al.1999]).

Une marche aleatoire aune dimension permetde construire l’analogued’une interface commecelle de la FIG. 8.1 :il suffit de tracer laposition h du marcheuren fonction du tempsqui joue le role de r. Ilexiste un champ d’ap-plication important decette approche dans ledomaine des sequencesd’ADN. Le codage del’information genetiqueetant realise par despaires de bases de deuxfamilles, les purines(A,G) et les pyrimi-dines (T,C), on convientque l’une correspond aun pas vers le haut etl’autre un pas vers lebas.On obtient ainsi unerepresentation gra-phique de la sequencequi donne une idee descorrelations qui sous-tendent sa structure[Mantegna et al. 1994,Havlin et al. 1999].Ce chapitre presente trois modeles de croissance de complexite croissante, puisintroduit la methode de renormalisation dynamique qui permet de rendre comptede leur universalite. Il se termine par une presentation de differents types d’equa-tions d’evolution et de classes d’universalite auxquelles elles correspondent.

1.1. Modèles discrets, équations continues

De nombreuses situations physiques mentionnees ci-dessus sont bien decrites pardes modeles discrets : un atome s’agrege, un arbre prend feu, une bacterie naıt...De tels modeles sont bien adaptes a des simulations numeriques qui peuvent par-tir d’une description tres simplifiee a l’echelle elementaire. En effet, nous avonsappris que les comportements asymptotiques sont plus sensibles a la facon dont lesproprietes changent avec l’echelle qu’aux details microscopiques du modele. Auxgrandes echelles, on peut negliger ces details et utiliser des equations d’evolution

Page 235: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

8. CROISSANCE ET RUGOSITÉ DES INTERFACES 235

stochastiques du type suivant :

≠h

≠t5 G 1 h (8.1)

ou G represente la partie deterministe de la croissance et h le bruit auquel elle estsoumise.Il existe essentiellement deux approches pour etablir de telles equations : soit ontraduit une situation particuliere de croissance en caracterisant ses mecanismespar des expressions appropriees pour G et h, soit ce sont les symetries de la situa-tion que l’on traduit par ces expressions. On reprend dans ce cas le type d’approchea la Landau qui a ete utilisee pour la description champ moyen des transitionsde phase, par exemple, la croissance etant independante de l’origine prise pourreperer la position de l’interface, les premiers termes pertinents dans G serontdes derivees spatiales de h. La renormalisation, nous le savons, permet ensuite detrier les termes pertinents et non pertinents en fonction de leur effet sur le com-portement asymptotique. Cette approche d’echelle (expression des symetries 1renormalisation) permet dans la plupart des cas d’etablir des equations continuesminimales representatives chacune d’une classe d’universalite.

1.2. Les exposants caractéristiques de la croissance

Nous allons illustrer les proprietes generales des mecanismes de croissance sur lemodele simple de depot balistique. Sur un reseau carre, des atomes provenant dela region B (FIG. 8.1) sont agreges par simple contact a l’interface avec la regionA. Ce modele est simple a simuler numeriquement, en utilisant la regle :

h(i,t 1 1) 5 max[h(i,t) 1 1, h(i− 1,t), h(i 1 1,t)] (8.2)

ou i est un site sur lequel est adsorbe un atome, un site choisi de facon aleatoireavec une distribution de probabilite uniforme. Les termes d’indice i − 1 et i 1 1dans l’eq. 8.2 traduisent la possibilite d’une agregation laterale, telle qu’elle estschematisee sur la FIG. 8.4 (carre noir).La hauteur moyenne 〈h〉 a l’instant t est donnee par :

〈h(t)〉 5 1L

L∑i51

h(i,t) (8.3)

La denomination de depot balistique signifie que la trajectoire des particules dansle gaz s’interrompt brutalement au contact du premier site de l’interface, et toutmouvement ulterieur de diffusion est interdit. Lorsque le flux d’atomes deposesest constant, 〈h〉 est proportionnelle a t. La rugosite de l’interface est caracteriseepar une epaisseur caracteristique w(t), qui mesure l’ecart moyen a la hauteurmoyenne :

w(L,t) 5

[1L

L∑i51

[h(i,t) − 〈h(t)〉

]]1/2

(8.4)

Page 236: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

236 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Figure 8.4. Dépôt balistique : à gauche, mécanisme d’agrégation des atomes ; à droite, résultat d’une simulation surune interface de L=100 sites, sur laquelle sont déposés 12 800 atomes. La couleur est modifiée chaque fois que 800atomes ont été déposés.

Au debut du depot, la rugosite est nulle. Lorsque L et t sont grands, on observeexperimentalement le comportement suivant :

– initialement, w(L,t) croıt avec le temps comme une loi de puissance tb,

– pour des temps tres longs, w(L,t) sature a une valeur qui depend de la taillecomme La,

– le changement entre ces deux regimes se produit pour un temps tx qui variecomme Lz.

La croissance est donc caracterisee par les trois exposants a, b, et z. Dansle cas du depot balistique a une dimension, l’experience fournit les valeursa 5 0,47 ± 0,02, b 5 0,33 ± 0,006 et z 5 1,42 ± 0,09. Il est important deremarquer que ces trois exposants ne sont pas independants comme l’on peut s’enconvaincre en determinant le temps limite tx dans chacun des deux regimes :

w(L,tx) ∼ tbx ∼ La (8.5)

Ce qui conduit a la loi d’echelle :

z 5a

b(8.6)

Une relation universelle relie ainsi w, L et t :

w(L,t) ∼ Laf(t

Lz

)(8.7)

Page 237: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

8. CROISSANCE ET RUGOSITÉ DES INTERFACES 237

1.3. Corrélations

Figure 8.5. Croissance balistique à partir d’une interfacecomportant initialement une irrégularité ponctuelle. L’inter-face comporte 100 sites et une colonne de taille initiale 35.La couleur est modifiée chaque fois que 800 atomes ont étédéposés.

Lorsque l’on examine le processus decroissance par depot balistique de laFIG. 8.4, on observe des brancheset des pores grossierement orien-tes a 45 degres de l’interface. D’oupeuvent provenir de telles structuresdans un mecanisme totalement alea-toire ? Simplement de la regle fixeetelle qu’elle est illustree sur la memefigure. Suivant la colonne ou s’agregel’atome, celui-ci provoquera le deve-loppement « vertical » (atome n◦1)ou « lateral » (atome n◦2 en noir)d’une irregularite. Une experiencesimple consiste a partir d’une inter-face contenant une colonne uniquedeja haute (FIG. 8.5).L’irregularite se developpe lateralement jusqu’a occuper toute la largeur de l’inter-face. Ceci illustre l’existence de correlations dans le processus de croissance. Lalargeur caracteristique de l’arbre de la FIG. 8.5 est une longueur de correlation j//

dans la direction parallele a l’interface. On peut egalement definir une longueurde correlation j⊥ perpendiculaire a l’interface qui presente le meme comporte-ment d’echelle que l’epaisseur caracteristique w. La FIG. 8.5 illustre bien que lasaturation de w se produit lorsque la longueur de correlation j// est de l’ordre deL. Par ailleurs, l’eq. 8.7 nous permet de prevoir le comportement d’echelle de j//

avant la saturation :

w(L,t) ∼ Laf(t

Lz

)∼ Lag

(L

j(t)

)(8.8)

Ce qui conduit a :

j(t) ∼ t1/z pour t� tx (8.9)

1.4. Le modèle de croissance aléatoire

Dans ce paragraphe, nous presentons la resolution du modele de depot aleatoire.Ce mecanisme illustre sur la FIG. 8.6 est le plus simple que l’on puisse imaginer. Laregle est simplement de choisir de facon aleatoire avec une distribution uniformeune colonne i et d’incrementer sa hauteur.Etant donne qu’il n’y a aucune correlation entre les colonnes, chacune croıt avecune probabilite p, a chaque instant. La probabilite P (h,N) qu’une colonne ait lahauteur h lorsque N atomes ont ete deposes est donnee par la loi binomiale. Onen tire directement la valeur de w2 (independante de L puisque les colonnes sontsans correlation) :

w2(t) 5 Np(1 − p) (8.10)

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238 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Figure 8.6. Dépôt aléatoire : à gauche, mécanisme d’agrégation des atomes (par rapport au mécanisme balistiqueillustré sur la FIG. 8.4 il n’y a pas de croissance latérale) ; à droite, résultat d’une simulation sur une interface compor-tant 100 sites sur laquelle sont déposés 50 000 atomes. La couleur est modifiée chaque fois que 5 000 atomes ontété déposés.

Si le flux est constant, on obtient ainsi que w est proportionnelle a t1/2 et b 5 1/2.La longueur de correlation restant nulle dans ce modele, la rugosite ne se saturejamais. L’interface ne presente pas non plus de proprietes d’auto-affinite puisqu’iln’existe aucune echelle caracteristique parallelement a l’interface.L’equation continue qui decrit le comportement asymptotique de ce modele est :

≠h(x,t)≠t

5 p 1 h(x,t) (8.11)

Le terme h de moyenne nulle exprime le caractere aleatoire du depot. Son secondmoment exprime l’absence de correlations spatiales et temporelles :

〈h(x,t)h(x′,t′)〉 5 2Dad(x− x′)d(t− t′) (8.12)

L’integration de l’equation d’evolution conduit a une valeur de 〈h〉 5 pt et :

〈h2(x,t)〉 5⟨[pt 1

∫ t

0dt′h(x,t′)

]2⟩5 p2t2 1 2Dt (8.13)

Nous obtenons ainsi la valeur de w2 :

w2(t) 5 〈h2〉 − 〈h〉2 5 2Dt (8.14)

L’interface se comporte en moyenne comme une marche aleatoire unidimension-nelle biaisee par un deplacement moyen proportionnel au temps.

2. Approche linéaire incluant une relaxation

Le modele qui nous interesse ici est une situation de depot aleatoire, qui inclutune relaxation de la position de l’atome depose vers le plus proche puits de poten-tiel, c’est-a-dire le site j le plus proche de i qui presente un minimum local de h(FIG. 8.7).La surface est lissee par ce processus de relaxation, et toute porosite disparaıt(FIG. 8.7). A une dimension, l’experience conduit aux valeurs des exposants :a 5 0,48 et b 5 0,24. Nous avons pour premier objectif d’etablir une equationcontinue refletant le processus ci-dessus : notre premiere etape sera d’etudier lessymetries de ce modele de croissance, symetries auxquelles l’equation doit obeir.

Page 239: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

8. CROISSANCE ET RUGOSITÉ DES INTERFACES 239

Figure 8.7. Dépôt aléatoire avec relaxation : à gauche, mécanisme d’agrégation des atomes (par rapport au méca-nisme aléatoire illustré sur la FIG. 8.6) ; à droite, résultat d’une simulation sur une interface comportant 100 sites surlaquelle sont déposés 30 000 atomes. La couleur est modifiée chaque fois que 1500 atomes ont été déposés.

2.1. Étude des symétries

Contrairement aux mecanismes de depot balistique ou aleatoire, le mecanisme derelaxation introduit dans le dernier modele implique une situation d’equilibre local.Ceci signifie par exemple que les proprietes de l’interface sont les memes si l’onechange les milieux A et B (FIG. 8.1). Ceci n’est pas evident a priori, mais devientplus clair si nous formulons autrement le processus vu de chacun des milieux :

– vu du milieu A comme nous l’avons fait jusqu’ici :

• choix aleatoire d’une colonne i

• recherche du minimum local j le plus proche

• depot d’un atome sur ce site.

– vu du milieu B :

• choix aleatoire d’une colonne i

• recherche du maximum local j le plus proche

• retrait d’un atome en ce site.

Ceci est un processus de lissage de l’interface, qui conduit a des minima et desmaxima qui ont une geometrie statistiquement symetrique. Outre des situationsde croissance, cette interface pourra egalement representer la frontiere entredeux domaines magnetiques, par exemple. Nous allons discuter successivementl’invariance du mecanisme – et donc de son equation – par translation spatio-temporelle, par rotation autour de l’axe de croissance et par changement du signede h (echange des deux milieux).

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240 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Translation dans le temps

Nous reprenons la forme generale de l’eq. 8.1 qui decrit l’evolution de l’inter-face en incluant les dependances que nous attendons a priori :

≠h(r,t)≠t

5 G(h,r,t) 1 h(r,t) (8.15)

ou G exprime la partie deterministe et h la partie stochastique du mecanismed’evolution. L’invariance du processus par changement de l’origine des tempst → t 1 t0 interdit toute dependance explicite en fonction du temps. En

revanche, les derivees par rapport au temps telle que≠h(r,t)≠t

sont en accord aveccette symetrie.

Translation parallelement a l’interface

De meme, la croissance est independante de l’origine choisie pour reperer la posi-tion r dans les directions paralleles a l’interface. L’equation doit donc etre inva-riante lors d’une transformation r → r 1 r0 . Les dependances explicites enr sont ainsi interdites, et G ne peut contenir que des combinaisons de formesdifferentielles telles que :

≠rx,

≠2

≠r2x

,≠3

≠r3x

, ...≠n

≠rnx

Translation dans la direction de croissance

L’equation doit egalement tenir compte du fait que la croissance est independantede l’origine choisie pour reperer la position de l’interface dans la direction h. Elledoit donc etre invariante lors d’une transformation h → h 1 h0. Les dependancesexplicites en h sont ainsi interdites, et G ne peut contenir que des combinaisonsde formes differentielles telles que :

∇h, ∇2h, ... ∇nh

Inversion de la direction de croissance

Dans le cas particulier de la croissance avec relaxation, chaque atome incidentse place a une position d’equilibre. Nous avons vu que ceci conduit a une formed’interface ou les milieux A et B peuvent etre echanges. L’equation doit etre inva-riante lors d’une inversion de l’interface h → −h. Etant donne que le premier

membre≠h(r,t)≠t

de l’equation d’evolution est impair en h, les termes de degre

pair sont ainsi interdits, et G ne peut contenir que des combinaisons de formesdifferentielles telles que :

∇h, ∇2h, (∇h)3, (∇2h)3 ... (∇nh)2 p11

Rotation autour de la direction de croissance

La symetrie sous rotation exclut toute forme differentielle d’ordre impair, et G nepeut donc contenir que de termes tels que :

∇h, ... ∇2nh

Page 241: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

8. CROISSANCE ET RUGOSITÉ DES INTERFACES 241

2.2. L’équation d’Edwards-Wilkinson

A partir des regles du paragraphe precedent, on obtient la forme generale desequations qui respectent les symetries de la croissance aleatoire avec relaxation :

≠h(r,t)≠t

5 a1∇2h 1 a2∇4h 1 · · · 1 an∇2nh

1[b1∇2h 1 b2∇4h 1 · · · 1 bp∇2 ph

] [c1(∇h)2 1 c2(∇h)4 1 · · · 1 cq(∇h)2q

]1 · · · 1 h(r,t)

(8.16)

Les proprietes asymptotiques (t → ∞ et L → ∞) sont plus sensibles aux termesde degre et d’ordre les plus bas. Un calcul de renormalisation permet de montrerrigoureusement que seul le terme de degre et d’ordre les plus bas est pertinent :cela signifie qu’il est le seul a influer sur la valeur des exposants caracterisant lacroissance. On obtient ainsi l’equation d’Edwards-Wilkinson [Edwards et Wilkinson1999], la plus simple pour decrire le mecanisme de relaxation aleatoire d’uneinterface :

≠h(,t)≠t

5 n∇2h 1 h(,t) [Edwards-Wilkinson] (8.17)

Les principales caracteristiques de cette equation sont les suivantes :

– elle conserve la hauteur moyenne 〈h〉. Pour decrire le mecanisme de croissancede la FIG. 8.7 il faut ajouter un terme F (r,t) qui mesure le flux d’atomes adsor-bes au point r et a l’instant t ;

– lorsque le flux F est uniforme et constant, il n’affecte pas les proprietes asymp-totiques de la rugosite. L’eq. 8.17 contient toute la physique de la croissancedans ce modele a la variation de 〈h〉 pres. Elle suffit pour representer la classed’universalite correspondante ;

– elle presente la meme forme que l’equation de diffusion (voir chapitre 4) sil’on omet le terme de bruit. Comme celle-ci, elle gomme progressivement lesirregularites de l’interface ;

– le coefficient n joue le role d’une tension de surface : le processus de lissage del’interface est d’autant plus rapide que n est grand ;

– elle decrit bien la croissance aleatoire avec relaxation, a condition que la pente∇h de l’interface reste faible. Ceci signifie que :

| dh | � | dr | (8.18)

– nous savons egalement que | dh | ∼ | dr |a par definition de a. Pour les grandesdistances, cette condition entraıne donc que a < 1. Cela est effectivement veri-fie comme nous le montrons au paragraphe suivant.

2.2.1. Resolution par des arguments d’echelle

Il est possible de calculer les exposants de croissance par des arguments d’echelle,mais nous presentons egalement une resolution exacte, au paragraphe suivant.On suppose que l’interface est auto-affine et qu’on la soumet a un changement

Page 242: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

242 INVARIANCES D’ÉCHELLE

d’echelle de parametre b :

r → r′ 5 br h→ h′ 5 bah et t→ t′ 5 bzt (8.19)

L’interface obtenue par une telle transformation doit etre statistiquement iden-tique a l’originale. Ceci signifie que l’equation doit etre invariante lors de cettetransformation. Nous devons egalement evaluer le comportement d’echelle dubruit h. On suppose ici que ce bruit est sans correlations :

〈h(r,t)h(r′,t′)〉 5 2Daddd(r − r′)d(t− t′) (8.20)

A partir de cette relation, nous pouvons obtenir le comportement d’echelle dubruit :

h(br,bzt) 5 b−d1z

2 h(r,t) (8.21)

En reportant les equations 8.19 et 8.21 dans l’equation EW, on obtient :

ba−z≠h(r,t)≠t

5 nba−2∇2h 1 b−z1d

2 h(r,t) (8.22)

En exprimant que cette equation est independante de la valeur de b, on fixe lesvaleurs des exposants :

a 5 1 − d2

b 5 1/2 − d4

z 5 2 (8.23)

On remarquera que a 5 0 et b 5 0 pour la dimension critique d 5 dc 5 2.

2.2.2. Resolution exacte

L’equation etant lineaire, il est possible de la resoudre exactement. Pour cela, onpasse dans l’espace de Fourier (r, t) → (q,v) :

h(q,v) 5h(q,v)nq − iv (8.24)

Il faut exprimer dans cet espace l’absence de correlations du bruit :

〈h(q,v)h(q′,v′)〉 5 2Dt2ad

(q 1 q′)d(v 1 v′) (8.25)

En combinant ces deux dernieres equations, et en revenant dans l’espace reel, onobtient2 :

〈h(r,t)h(r′,t′)〉 5 D

2n| r − r′ |2−d f

(n | t− t′ |1−

d2

| r − r′ |2−d

)(8.26)

ou la fonction f(x) est proportionnelle a x, aux temps courts, et sature a 1, auxtemps longs.Cette expression permet de retrouver les exposants obtenus au paragraphe prece-dent par de simples arguments d’echelle. A une dimension, les valeurs des expo-sants sont a 5 1/2 et b 5 1/4, tres proches des valeurs a 5 0,48 et b 5 0,24observees experimentalement dans le cas du mecanisme de depot aleatoire avecrelaxation. Nous obtenons ici une confirmation que l’equation EW, construite sur

2 a et t sont respectivement la taille elementaire parallelement a r et un temps elementaire, presentsici pour l’homogeneite de l’expression.

Page 243: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

8. CROISSANCE ET RUGOSITÉ DES INTERFACES 243

la base d’arguments de symetrie, appartient bien a la meme classe d’universaliteque le modele discret dont nous sommes partis.Notons que pour d 5 2 on obtient a 5 0 et b 5 0, ce qui correspond a desvariations logarithmiques de w en fonction de t et L. Ces exposants sont nega-tifs a partir du moment ou l’interface est a 3 dimensions, c’est-a-dire quand lacroissance a lieu dans un espace a 4 dimensions. Ceci signifie que toute irregula-rite introduite par le bruit est lissee tres rapidement par la tension superficielle :l’interface est plate.La caracteristique essentielle de l’equation EW est d’etre lineaire, et donc inva-riante par inversion de la direction de croissance. Elle decrit bien les mecanismesproches de l’equilibre, mais elle est incapable de decrire des mecanismes forte-ment hors d’equilibre comme le depot balistique. Il faut pour cela inclure destermes non lineaires : Kardar, Parisi et Zhang [Kardar et al. 1986] ont ete les pre-miers a introduire une equation non lineaire qui porte leur nom (KPZ).

3. L’équation de Kardar-Parisi-Zhang

Nous souhaitons maintenant construire une equation qui obeisse aux memes syme-tries que l’equation EW excepte l’invariance par inversion de la direction de crois-sance. Il nous suffit d’inclure dans l’equation EW le terme de degre le plus bas quiest interdit par cette symetrie, soit le terme en (∇h)2. On obtient ainsi l’equationKPZ :

≠h(r,t)≠t

5 n∇2h 1l

2(∇h)2

1 h(r,t) (8.27)

3.1. Construction de l’équation KPZ à partir d’arguments physiques

Nous souhaitons rendre compte, entre autres mecanismes, de la croissance balis-tique dans une description continue plus generale que le modele sur reseau carrepresente ci-dessus : les atomes sont geles des qu’ils sont au contact de l’inter-face. Nous supposons que l’axe qui passe par les deux atomes en contact peutavoir une composante parallele a l’interface (atome noir sur la FIG. 8.4) contraire-ment au mecanisme de depot aleatoire (FIG. 8.6). Ce mecanisme microscopiqueentraıne une croissance laterale dont nous tentons de caracteriser les effets danscette nouvelle equation. Le mecanisme de croissance par depot balistique peutetre transpose dans une description continue ou un increment dh de croissancea la normale a la direction moyenne de l’interface comporte deux composantesrelatives a la normale locale a l’interface, l’une Fdt parallele a la normale locale, etl’autre |∇h|Fdt laterale, perpendiculaire a la normale locale (FIG. 8.8).On en tire l’expression de dh :

dh 5 Fdt[1 1 (∇h)2]1/2 ≈ Fdt

[1 1

(∇h)2

2

](8.28)

qui illustre que la croissance laterale peut etre prise en compte par un terme dutype (∇h)2. Si l > 0 dans l’equation de KPZ, ce terme a pour effet de renforcerla pente locale de l’interface. Cet effet est a l’oppose de celui de ∇h qui lisse lesirregularites.

Page 244: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

244 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Figure 8.8. Transposition dans une situation decroissance continue du mécanisme de croissancebalistique : l’incrément de croissance comporte unecomposante normale ainsi qu’une composante paral-lèle à la normale locale de l’interface.

h

F t

h F t

3.2. Les exposants KPZ à partir d’arguments d’échelle

Comme pour l’equation EW nous pouvons utiliser le fait que l’equation KPZ doitetre invariante par changement d’echelle :

≠h(r,t)≠t

5 nbz−2∇2h 1l

2ba1z−2 (∇h)2

1 b−a1 z−d2 h(r,t) (8.29)

ou les deux membres ont ete divises par ba−z. Nous avons maintenant trois rela-tions, pour determiner deux exposants. Le terme non lineaire dominant sur leterme lineaire, une attitude consiste a negliger ce dernier, ce qui conduirait a

a 52 − d

3et b 5

2 − d4 1 d

, resultat malheureusement errone car l’on ne doit pas

negliger le terme lineaire ! La raison en est que l’on doit prendre en compte ici lesvariations couplees des coefficients n, l et D lors du changement d’echelle. Nousverrons qu’une approche de renormalisation permet de lever cette difficulte. Enparticulier elle montre que le terme non lineaire tel qu’il apparaıt dans l’eq. 8.29,est reellement invariant par le changement d’echelle et que donc :

a 1 z 5 2 (8.30)

Cette relation reste valide quelle que soit la dimension. Une application du theo-reme fluctuation-dissipation permet de montrer que a 5 1/2 a une dimension,c’est-a-dire que l’interface evolue au cours du temps comme une marche aleatoirenon correlee.A une dimension, on obtient ainsi :

a 5 1/2 b 5 1/3 et z 5 3/2 [KPZ 1D]

Ce resultat, qui utilise la relation 8.30 etablie par renormalisation, est en excellentaccord avec les valeurs experimentales mesurees pour le depot balistique a unedimension. Pour etudier le comportement en d’autres dimensions, une approcheplus generale de renormalisation est necessaire.

Page 245: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

8. CROISSANCE ET RUGOSITÉ DES INTERFACES 245

4. La renormalisation dynamique

Apres leur application aux transitions de phase a l’equilibre, les methodes derenormalisation ont ete rapidement transposees aux phenomenes hors d’equi-libre [Hohenberg et Halperin 1977, Forster et al. 1977]. Le formalisme qui utiliseles methodes diagrammatiques est plus lourd, mais le principe est le meme quecelui que nous avons presente au chapitre 3. Nous illustrons le principe de cettedemarche dans le cas de l’equation KPZ. L’eq. 8.29 exprime la transformation del’equation KPZ par un changement d’echelle de facteur b. Nous avons dit qu’iln’est pas possible d’ignorer la variation des parametres n, l et D lors de ce chan-gement d’echelle : nous proposons ci-dessous une approche par renormalisationdynamique qui rend compte du couplage entre ces trois parametres. L’eq. 8.29fournit les equations suivantes :

n→ bz−2n

D → bz−d−2aD

l→ bz1a−2l

(8.31)

Nous connaissons la solution exacte de l’equation EW obtenue pour l 5 0. L’ob-jectif est ici d’etudier KPZ par un developpement en puissances de l, autour dela solution de l’equation EW. Nous donnons ci-dessous les grandes lignes de cettedemarche.

4.1. Les équations du flot de renormalisation

Reprenons l’eq. 8.24 qui exprime la transformee de Fourier de l’equation EW, etajoutons le terme non lineaire caracteristique de KPZ :

h(q,v) 51

nq − iv

[h(q,v) − l

2

∫ ∫ddkdV

(2p)d11 k(q − k)h(k,V)h(q − k,v−V)]

(8.32)

4.1.1. Developpement a partir de l’equation d’Edwards-Wilkinson

Cette expression peut etre developpee pour exprimer h en puissances de l. Lamethode des diagrammes de Feynman permet d’alleger notablement ce calcul. Ondefinit un propagateur Pl (q,v) qui relie h et le bruit h :

h(q,v) 5 Pl(q,v)h(q,v) (8.33)

Pour l 5 0, le propagateur est celui de l’equation EW (voir eq. 8.24) :

P0(q,v) 51

nq − iv (8.34)

Le calcul de perturbation conduit, au 4e ordre pres en l, a :

Pl(q,v) 5 P0(q,v) −

2l2DP 20 (q,v)

∫ ∫ddkdV

(2p)d11 [kq] [k(q − k)]

P0(k,V)P0(q − k,v−V)P0(−k, −V) 1 O(l4) (8.35)

Page 246: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

246 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Le calcul de l’integrale permet d’evaluer des parametres effectifs neff et Deff telsque :

Pl(q,v,n,D) 5 P0(q,v,neff,Deff) 1 O(l4) (8.36)

On obtient ainsi les deux relations :

neff 5 n

(1 − l2D

n3Kdd− 2d

∫dq qd−3

)1 O(l4) (8.37)

Deff 5 D

(1 1 l2D

n3Kd

∫dq qd−3

)1 O(l4) (8.38)

ou Kd est une constante numerique qui depend de la dimension d’espace. Notreobjectif peut sembler atteint puisque nous avons etabli les relations de dependanceentre les parametres de KPZ, n, l et D. Une analyse de la convergence des pertur-bations aux ordres superieurs montre en revanche qu’il n’en est rien : les relationsci-dessus sont insuffisantes et il est necessaire de les renormaliser en exprimantl’auto-affinite de l’interface dans le regime asymptotique.

4.1.2. Le flot de renormalisation

Nous procedons donc a un changement d’echelle infinitesimal. Le facteurd’echelle b etant voisin de 1, bx s’ecrira (1 1 xdl). En remplacant cette expressionde bx dans l’eq. 8.31, on obtient la loi de transformation infinitesimale des deuxparametres effectifs :

n′eff 5 neff [1 1 dl(z − 2)] (8.39)

D′eff 5 Deff [1 1 dl(z − d− 2a)] (8.40)

Finalement, en combinant les resultats du calcul de perturbation (equations 8.37et 8.38) a ceux-ci, on peut etablir deux equations d’evolution des parametres n etD, au 4e ordre pres en l et pour un changement d’echelle infinitesimal (l’inte-grale qui apparaıt dans les equations 8.37 et 8.38 doit etre effectuee sur la regionq 5 1 − dl a q 5 1 ) :

dn

dl5 n

[z − 2 − l2D

n3Kdd− 2d

](8.41)

dD

dl5 D

[z − d− 2a 1 l2D

n3Kd

](8.42)

Le parametre l n’est affecte que par le changement d’echelle :

dl

dl5 l [z 1 a− 2] (8.43)

On peut remarquer que la quantite g 5 (l2D)/n3, que l’on nommera constantede couplage, joue un role particulier dans l’interdependance des parametres. Ilest possible d’etablir son equation d’evolution autonome a partir des equations8.41-8.43 :

dg

dl5

2 − ddg 1 Kd

2d− 3d

g3 (8.44)

Page 247: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

8. CROISSANCE ET RUGOSITÉ DES INTERFACES 247

4.2. Les régimes KPZ

Nous pouvons maintenant exprimer l’auto-similarite de l’interface, en signifiantque tous les parametres sont invariants par changement d’echelle, c’est-a-dire quele second membre des 4 relations 8.41-8.44 est nul.En premier lieu, nous retrouvons bien la relation z 1 a 5 2, a partir de l’eq. 8.43.

KPZ a 1D

A une dimension, l’eq. 8.44 permet de trouver deux points fixes g∗1 et g∗2 :

g∗1 5 0 (instable) et g∗2 5 (2/Kd)1/2 (stable) (8.45)

Contrairement au cas des transitions de phase, c’est ici le point fixe stable telque l soit non nul, qui nous interesse. L’etude par linearisation de son voisinageconduit aux valeurs exactes que nous avons introduites a 1D :

a 5 1/2 b 5 1/3 z 5 3/2

KPZ a 2D

Deux est la dimension critique de l’equation d’Edwards-Wilkinson. Le lecteur peuten effet verifier que l’equation de flot 8.44 pour g ne donne que le point fixetrivial g∗ 5 0, et le calcul de perturbation est insuffisant pour conduire a un pointfixe satisfaisant. Seul un calcul de couplage fort, c’est-a-dire qui ne suppose pas lpetit, peut permettre d’evaluer les parametres n, l etD du point fixe, et donc d’endeduire les exposants, a d 5 2.

KPZ aux dimensions superieures a 2 : une transition de phase

Lorsque d > 2, il existe un point critique non trivial :

g∗2 5

[d(d− 2)

2Kd(2d− 3)

]1/2

(8.46)

La difference notable avec le cas d 5 1 est que ce point fixe est instable. Enconsequence :

– si g est petit (g < g∗2), c’est-a-dire si la partie non lineaire est faible dans l’equa-tion, alors le systeme va converger vers le point fixe trivial g∗1 5 0. Le systememontrera un comportement asymptotique identique a celui de l’equation EW,c’est-a-dire une interface plate ;

– si g est grand (g > g∗2), c’est-a-dire si la partie non lineaire est grande dansl’equation, g aura tendance a diverger sous l’effet de la renormalisation. L’effetdu terme lineaire devient pertinent, mais le calcul de perturbation ne permetpas d’evaluer les exposants. Dans ce cas, l’equation de KPZ appartient a unenouvelle classe d’universalite.

Des experiences et des simulations numeriques semblent rendre compte de cettetransition comme le montre la FIG. 8.9.

Page 248: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

248 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Figure 8.9. Rugosité en fonctiondu couplage g obtenue par résolutionde l’équation de KPZ à 3 dimensions(d’après [Moser et al. 1991]). 10

110

010

2

0,08

0,07

0,06

0,05

0,04w

g = 46

g = 36

g = 34g = 32g = 30g = 24g = 6

t

Comment se comportent les exposants « KPZ fort couplage » en fonction de ladimension ? Differentes conjectures ont ete proposees pour rendre compte desvaleurs d’exposants observees par simulation numerique dans le cas du depot balis-tique ou de ses variantes (modele d’Eden, modele « solide sur solide », ...). A titred’exemple, voici ci-dessous la conjecture sur les valeurs d’exposants proposee parKim et Kosterlitz [Kim et Kosterlitz 1989] pour un modele discret « solide sursolide ». Ce modele est une version du modele de depot aleatoire modifiee en cesens que l’on limite la pente locale de l’interface a une valeur maximale : choix d’unsite au hasard, puis depot d’un atome a condition que le decalage de hauteur entrece site et ses premiers voisins ne depasse pas une certaine hauteur de N atomes.Kim et Kosterlitz proposent les relations suivantes :

a 52

d 1 3b 5

1d 1 2

z 5 2d 1 2d 1 3

(8.47)

Voyons maintenant comment se comporte la croissance dans une situation pluscomplexe qui est celle de l’Epitaxie par jets moleculaires couramment nommeeMBE (Molecular Beam Epitaxy). Dans ce cas, les atomes arrivent isolement,s’adsorbent, diffusent, s’agregent dans des sites privilegies, ou eventuellementdesorbent. Nous allons decouvrir que malgre sa complexite, ce mecanisme decroissance peut souvent etre bien decrit par l’equation KPZ.

5. L’épitaxie par jets moléculaires ou MBE

De nombreux modeles discrets ont ete proposes pour decrire cette methode decroissance aux nombreuses applications. On denomme ainsi une famille de tech-niques qui ont en commun la facon de deposer la matiere sur un substrat, atomepar atome ou molecule par molecule. L’analyse des symetries permet de propo-ser deux types d’equations continues, lineaires ou non lineaires que nous decri-vons successivement. Il faut signaler un paradoxe de cette approche d’echelle desinterfaces MBE : tandis que le praticien est interesse par l’extreme planeite des

Page 249: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

8. CROISSANCE ET RUGOSITÉ DES INTERFACES 249

interfaces que permet cette methode, ce sont les interfaces rugueuses qui inte-ressent le physicien. En effet, le depot de molecules3 peu energetiques, dans desconditions de flux faible et de temperature elevee du substrat, permet une relaxa-tion quasi parfaite de l’interface. La plupart des experiences destinees a verifierles theories d’echelle ont ainsi ete effectuees dans des conditions sans interetpratique. L’approche d’echelle de la MBE a pourtant deux champs d’applicationpratique. Elle permet tout d’abord de guider la recherche des conditions d’unecroissance bidimensionnelle, c’est-a-dire qui conduit a une interface plate. Ensuite,elle decrit bien la formation des agregats bidimensionnels lors de la constructiond’une couche atomique.

Désorption Adsorption

DiffusionK

LT

Figure 8.10. Les mécanismes microscopiques qui inter-viennent dans l’épitaxie par jets moléculaires. Par rapportaux cas précédents, il intervient deux nouveaux méca-nismes : la diffusion des atomes sur l’interface par dépla-cement de site en site, et leur éventuelle désorption c’est-à-dire leur retour dans la phase gazeuse. Dans le modèleTLK illustré ci-dessus, on distingue trois classes de sites :sites de terrasse (T) qui présentent une seule liaison avecle substrat, sites de lisière (L) qui présentent deux liaisonset sites de coin (K pour kink) qui présentent trois liaisons.

Par rapport aux cas precedents, il fautconsiderer ici deux nouveaux meca-nismes : la diffusion des atomes surl’interface par deplacement de siteen site, et leur eventuelle desorptionc’est-a-dire leur retour dans la phasegazeuse.Par ailleurs, la mobilite des atomespeut ici dependre de leur etat de liai-son. Dans le modele classique TLKrepresente sur la FIG. 8.9, on sup-posera par exemple que seuls sontmobiles les atomes en site de terrasse(T) qui presentent une seule liaison,ou les atomes en site de lisiere (L) quipresentent deux liaisons. Les atomesen site de coin (K pour kink) pre-sentent trois liaisons et seront suppo-ses immobiles. Contrairement a tousles modeles de croissance numeriquesque nous avons evoques jusqu’a ce present, le modele TLK est un modele de crois-sance microscopique realiste dont les caracteristiques physiques peuvent en prin-cipe etre calculees si l’on connaıt la nature des atomes et des liaisons. Les previ-sions de ce modele peuvent ainsi etre confrontees a des mesures physiques.

5.1. Équation MBE linéaire

Nous allons successivement aborder les deux nouveaux mecanismes dont nousdevons tenir compte, la desorption puis la diffusion. Nous discuterons ensuite lapertinence des termes additionnels correspondants dans l’equation d’evolution deh que nous nous appretons a construire.

3 Dans la suite, nous n’evoquons plus le cas de molecules : par souci de simplification nous emploie-rons le mot atomes. Ceci ne restreint pas la generalite de la situation s’il ne se produit pas de reactionchimique telles que des dissociations.

Page 250: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

250 INVARIANCES D’ÉCHELLE

5.1.1. Le terme de desorption

Dans la description microscopique illustree sur la FIG. 8.9, l’energie de liaison del’atome determine la probabilite de desorption. On suppose que la desorption peutetre caracterisee par une energie d’activation nE1, ou n est le nombre de liaisonsde l’atome adsorbe et E1 l’energie d’une liaison. Le terme correspondant dansl’equation d’evolution est ainsi de la forme :

≠h

≠t|desorption 5 −B exp

(−nE1

kT

)(8.48)

Dans une description continue de l’interface, on remplace le nombre de liaisonsn par la courbure locale ∇2h : si l’atome est dans un creux il se desorbera moinsfacilement que s’il est au sommet d’une pointe. Si l’energie de liaison nE1 est del’ordre ou inferieure a kT , on peut lineariser l’exponentielle (on remarquera ega-lement que le nombre de liaisons n, et donc sa transposition ∇2h, correspondentau signe pres au potentiel chimique local) :

exp(− nE1

kT

)≈ 1 − nE1

kT≈ 1 − a∇2h ≈ 1 1 bm(r,t) (8.49)

Au premier ordre, et a une constante pres, le terme de desorption s’ecrira :

≠h

≠t|desorption 5 B∇2h (8.50)

et se comportera comme le terme de relaxation dans l’equation Edwards-Wilkinson.

5.1.2. Le terme de diffusion

Pour evaluer le terme de diffusion nous utilisons l’expression generale de l’equa-tion de diffusion lorsque le potentiel chimique n’est pas simplement lie a la quan-tite qui diffuse (voir chapitre 4) :

≠h

≠t5 Ddiff∇2m (8.51)

En reportant la valeur de m telle qu’elle est donnee par l’eq. 8.49, on obtient lavaleur du terme de diffusion :

≠h

≠t|diffusion 5 −K∇4h (8.52)

Si nous ajoutons le terme de bruit h et le flux F d’atomes incidents, nous obtenonsune equation de croissance avec diffusion, mais sans terme de relaxation :

≠h

≠t5 −K∇4h 1 F 1 h (8.53)

Cette equation etant lineaire nous pouvons la resoudre en exprimant son inva-riance d’echelle, comme nous l’avons vu au paragraphe 8.2.2. On obtient lesexpressions suivantes pour les exposants :

a 54 − d

2b 5

4 − d8

z 5 4 (8.54)

Page 251: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

8. CROISSANCE ET RUGOSITÉ DES INTERFACES 251

Il faut remarquer que la valeur de l’exposant de rugosite a est elevee. Des rugositeselevees impliquent une pente locale qui peut etre elevee et cela semble contradic-toire avec une equation lineaire comme point de depart, qui suppose des variationsdouces de h. En pratique, si la rugosite est importante, on ne peut probablementpas negliger les termes de relaxation et/ou de desorption.

5.1.3. L’equation lineaire

En ajoutant a l’eq. 8.53 le terme de relaxation, nous obtenons une expressionlineaire qui tient compte de tous les mecanismes presents dans l’epitaxie :

≠h

≠t5 n∇2h−K∇4h 1 F 1 h (8.55)

Resumons la signification de chacun des termes :

– n∇2h correspond a la relaxation de l’equation Edwards-Wilkinson, ainsi qu’a ladesorption. Ces deux mecanismes ont tendance a lisser l’interface dont la cour-bure est ∇2h. Le parametre n est l’analogue d’une tension de surface ;

– K∇4h traduit la diffusion des atomes a l’interface. Son ordre 4 provient pourune part du potentiel chimique local m, egalement proportionnel a la courburelocale, et pour l’autre du mecanisme de diffusion proprement dit caracterise par−∇2m. Le parametre K joue le role d’un coefficient de diffusion ;

– F rend compte des echanges avec la phase gazeuse : il mesure le flux incidentmoins le flux desorbe moyen ;

– h est le terme de bruit. Physiquement, celui-ci provient par exemple de l’adsorp-tion et de la desorption stochastiques.

Lors d’un changement d’echelle de facteur b on obtient :

≠h

≠t5 nbz−2∇2h−Kbz−4∇4h 1 F 1 b(z−d−2a)/2h (8.56)

A partir des deux premiers termes, on peut definir une longueur LMBE qui carac-terise leur poids relatif :

LMBE 5

(K

n

)1/2

(8.57)

Le comportement de ces deux termes lors du changement d’echelle permet d’iden-tifier deux regimes :

– aux petites echelles (b → 0), c’est-a-dire aux temps courts, le terme bz−4

domine :

Regime de diffusion pour j(t) < LMBE : comportement diffusif (eq. 8-54)

– aux grandes echelles (b → ∞), c’est-a-dire aux temps longs, le terme bz−2

domine :

Regime de desorption pour j(t) > LMBE : comportement type EW

Page 252: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

252 INVARIANCES D’ÉCHELLE

La regle etant de ne nous interesser qu’aux comportements asymptotiques, nousdevrions simplement ignorer le regime de diffusion et constater que le terme cor-respondant n’est pas pertinent.Cette attitude, conforme au principe de depart, n’est cependant pas toujours enaccord avec les situations pratiques : il faut comparer la longueur LMBE de chan-gement de regime avec la taille caracteristique L des systemes reels consideres.Chacun des deux mecanismes en competition – desorption et diffusion – est ther-miquement active, c’est-a-dire qu’il est controle par des barrieres energetiquescaracterisees par une energie d’activation. La longueur caracteristique LMBE estainsi egalement :

LMBE ∼ exp(Edes − Ediff

2kT

)(8.58)

Le sens de la dependance thermique de cette longueur est lie a la difference entreles energies d’activation caracteristiques Edes de la desorption et Ediff de la diffu-sion. Un raisonnement simple consistant a dire qu’il est par definition plus facilede franchir une barriere de diffusion qu’une barriere de desorption (dans le cascontraire les atomes desorberaient avant de pouvoir diffuser) permettrait de pariersur une difference positive, et donc sur une augmentation de LMBE avec la tem-perature. Cependant, pour comparer les flux correspondants, il faut prendre encompte la nature des sites pour les atomes qui dominent la desorption et la diffu-sion : ces sites ne sont pas necessairement les memes.

5.2. L’équation MBE non linéaire

Nous connaissons deja un terme non lineaire general qui est celui de l’equationKPZ. Rappelons que ce terme rend compte du caractere irreversible du depotau sens ou l’interface n’est pas invariante par echange des deux milieux. Il peutdecrire le caractere non lineaire des mecanismes de croissance impliques dans laMBE, a l’exception de la diffusion. Comme nous l’avons vu au paragraphe prece-dent, la diffusion est le seul mecanisme nouveau dont il faut tenir compte pour laMBE, et il faut donc identifier les termes non lineaires associes.

5.2.1. Le terme de diffusion non lineaire

Les termes non lineaires susceptibles d’etre pris en compte doivent respecter laconservation de la matiere, ils doivent donc pouvoir etre consideres comme ladivergence d’un courant. Cependant, le terme (∇h)2 ne remplit pas cette condi-tion. A l’ordre 4 pour la differentielle de ces termes non lineaires, on peut identifierdeux contributions possibles :

∇2 (∇h)2 et ∇ (∇h)3 (8.59)

Les effets du premier terme ont ete etudies par plusieurs auteurs, a la differencede ceux du second. En effet, aucune situation physique ne semble correspondre ace dernier terme, pertinent aux temps courts. Nous allons donc prendre en comptele premier pour constituer l’equation non lineaire suivante :

≠h

≠t5 −K∇4h 1 l1∇2 (∇h)2

1 F 1 h (8.60)

Page 253: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

8. CROISSANCE ET RUGOSITÉ DES INTERFACES 253

Cette equation doit etre resolue par la methode de renormalisation dynamiquetout comme l’equation KPZ au paragraphe 4.

5.2.2. Resolution par renormalisation dynamique

En suivant la meme demarche que pour l’equation KPZ, on obtient les equationssuivantes pour le flot de renormalisation :

dK

dl5 K

[z − 4 1 Kdl

21D

K3

6 − dd

]dD

dl5 D [z − 2a− d]

dl1

dl5 l1 [z 1 a− 4]

(8.61)

ouKd est la meme constante numerique qu’au paragraphe 0. Ces equations deter-minent un seul point fixe non trivial, qui conduit aux valeurs suivantes pour lesexposants :

a 54 − d

3b 5

4 − d8 1 d

z 58 1 d

3(8.62)

5.2.3. Comparaison avec le regime diffusif lineaire

Dans la pratique l’interface a deux dimensions. Le tableau 8.1 presente dans ce casles valeurs des exposants du regime diffusif (j(t) < LMBE), obtenus par le modelelineaire et celui non lineaire.

Exposant a b z

Équation MBE

linéaire(régime diffusif)

1 1/4 4

Équation MBE

non linéaire(régime diffusif)

2/3 1/5 10/3

Tableau 8.1. Comparaison des exposants du régime diffusif tels qu’ils sont prévus par la théorie linéaire et la théorienon linéaire, pour une interface à deux dimensions.

Les resultats de la theorie qui inclut le terme non lineaire sont plus convaincantsque ceux de la theorie lineaire : l’exposant a est plus faible et la pente caracteris-tique de la rugosite qui en resulte est plus faible. L’eq. 8.60 decrit bien la realiteexperimentale d’une croissance MBE sans desorption. On peut en effet l’obtenir apartir des modeles discrets tels que le modele TLK illustre sur la FIG. 8.10.En conclusion, nous pouvons retenir que :

– si la desorption domine (j > LMBE), c’est l’equation EW qui decrit bien la MBE,– si la diffusion domine (j < LMBE), c’est l’eq. 8.60 qui decrit bien la croissance.

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254 INVARIANCES D’ÉCHELLE

6. La transition rugueuse

Ce que l’on nomme couramment transition rugueuse a trait a la rugosite de lasurface d’un solide tridimensionnel, a l’equilibre. Il s’agit ainsi d’une parentheseimportante dans ce chapitre consacre aux mecanismes hors d’equilibre. Le sujet estd’un grand interet pratique comme nous le verrons plus loin, mais sa descriptiondemande un traitement particulier en raison du caractere bidimensionnel de l’in-terface, et de la nature discrete de ses fluctuations. Puisqu’il s’agit d’une transitionde phase a l’equilibre, nous pouvons nous interroger sur sa classe d’universalite.On pourrait penser que, h etant un choix naturel de parametre d’ordre, on peuts’inspirer du modele d’Ising qui correspond a un parametre d’ordre scalaire.Ce n’est pas le cas : comme nous l’avons deja souligne, le terme energetiquemoteur de la croissance est lie a la courbure locale de la surface, lineaire en h.En pratique, comme nous le montrons ci-dessous, la combinaison d’un parametred’ordre a variation continue et de la nature discrete des fluctuations simulee parun potentiel periodique, conduit a une situation du type XY, ou le parametre d’ordrepresente deux composantes. Plutot qu’avec le modele d’Ising, on peut etablir uneanalogie avec le modele de fusion bidimensionnelle decrite par Nelson et Halperin[Nelson et Halperin 1979], ou avec le modele magnetique XY 2D, que nous avonsdecrit au paragraphe 4.5 du chapitre 3.

Situation physique Excitations conduisant à la transition KT

Magnétisme paires tourbillon / anti-tourbillon

Supraconductivitésuperfluidité

paires vortex / anti-vortex

Fusion d’un solide bidimensionnel paires dislocation / anti-dislocation

Transition rugueuse paires dislocation vis /anti-dislocation vis

Tableau 8.2. Comparaison entre différents mécanismes d’excitation du type Nelson-Halperin conduisant à une tran-sition Kosterlitz-Thouless.

Dislocation + Dislocation –

Figure 8.11. Paire de dislocation vis/anti-dislocation vis.

Nous avons montre que dans cette descrip-tion du magnetisme XY dans un espacea deux dimensions, les excitations micro-scopiques qui conduisent a la transitionsont des paires tourbillon/anti-tourbillon. Letableau 8.2 compare les differents meca-nismes d’excitation responsables de la transi-tion KT dans differentes situations physiquesou le modele XY a 2 dimensions peut etreapplique. Une analogie physique directe avecla fusion bidimensionnelle peut etre effectueegrace a des paires de dislocations de type« vis » (FIG. 8.11). Une dislocation vis dans unsolide, est un defaut helicoıdal correspondanta un decalage d’un plan cristallin lorsque l’oneffectue un tour autour de l’axe du defaut.

Page 255: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

8. CROISSANCE ET RUGOSITÉ DES INTERFACES 255

6.1. Modèle continu

On cherche a decrire l’energie d’interface d’un solide qui a atteint un regimeasymptotique de croissance. Comme dans les descriptions precedentes, on cherchea transposer la nature discrete du solide dans un modele continu. Nous suppo-sons que l’energie de l’interface est simplement proportionnelle a sa surface avec,comme coefficient de proportionnalite, la tension de surface n. A deux dimensions,

l’element d’aire etant[1 1 (∇h)2

]1/2dxdy, cette energie a la forme :

E 5 n

∫∫dxdy

[1 1 (∇h)2

]1/2(8.63)

Si la pente reste faible, on obtient au premier ordre en (∇h)2 :

E 5 nL2 1n

2

∫∫dxdy (∇h)2 (8.64)

Cette relation, formellement identique a la relation 3.60, relie simplement cetteenergie a l’etat stationnaire atteint par l’equation EW sous l’effet de la tensionsuperficielle. Elle ne prevoit aucune transition : la rugosite existe a toute tempera-ture. Par ailleurs d 5 2 etant la dimension critique de l’equation EW, la croissancede la rugosite est marginale (c’est-a-dire logarithmique ln(L) et non en loi depuissance) en fonction de la taille .Cette equation ne permet pas de rendre compte des simulations numeriques quimontrent clairement l’existence d’une transition. La difference essentielle entreles simulations et l’equation est la nature discrete du solide. En general cettedifference n’est pas pertinente (voir chapitre 3) pour les transitions appartenanta une classe d’universalite. Ici, nous nous attendons a une transition du type XY a2D, precisement non universelle : dans ce cas les caracteristiques microscopiquestelles que la periodicite du reseau sont determinantes pour la transition. Nousdevons donc ajouter un terme periodique a l’energie. De plus, nous ignorons leterme constant qui ne joue aucun role dans la transition :

E 5

∫∫dxdy

[n

2(∇h)2 − V cos

(2pha

)](8.65)

6.2. Renormalisation

Le traitement de renormalisation est le meme que pour les transitions de phasea l’equilibre. Un changement d’echelle differentiel permet d’etablir les equationsde flot 8.67, a partir de deux variables reduites :

x 52anpkT

y 54pVkTL

(8.66)

dx

dl5y2

2xA

(2x

)dy

dl5 2y

x− 1x

(8.67)

ou L est une longueur caracteristique utilisee dans la renormalisation. La fonctioncomplexe A(u) n’est utilisee que pour le voisinage de u 5 2 pour lequel sa valeurest A(2) 5 0,398. Ces equations de flot ont ete etablies par Kosterlitz et Thouless

Page 256: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

256 INVARIANCES D’ÉCHELLE

pour le modele XY 2D (voir le paragraphe 3.4.5 pour l’homologue magnetique).Nous avons bien confirmation que ce modele correspond a la situation physiqueetudiee. Les proprietes qui en resultent sont :

– une transition, la transition rugueuse, a la temperature :

TR 52anpk

; (8.68)

– loin en dessous de cette temperature, l’interface est plate, tandis que la rugositediverge au voisinage de TR , independamment de la taille L du systeme, comme :

w(T → TR) ∼ (TR − T )−1/4 (8.69)

– dans la region de temperature T < TR , la longueur de correlation j(T < TR)reste infinie. Cette particularite du modele XY signifie qu’il reste critique tantque la temperature n’atteint pas la temperature de transition. Rappelons quedans la situation XY 2D il n’existe jamais d’ordre a grande distance, a tempe-rature finie : la transition fait basculer le systeme d’un etat d’ordre a distancefinie contenant peu de defauts, a un etat totalement desordonne ;

– lorsque la temperature est tres proche de la transition, la rugosite sature aune valeur constante qu’elle conserve au-dela de la temperature de transition.Le systeme retrouve alors le comportement logarithmique prevu par l’equationEW :

w(T > TR) ∼ ln(L) (8.70)

– dans cette region (T ∼ TR), la longueur de correlation diverge de facon inhabi-tuelle :

j(T > TR) ∼ exp(

B T 1/2R

(T − TR)1/2

)ou B ∼ 1,5 (8.71)

Ce comportement complexe est bien verifie par les simulations numeriques[Weeks et Gilmer 1978] comme l’illustre la FIG. 8.14.Outre les simulations numeriques, plusieurs resultats experimentaux confirmentbien l’existence de la transition rugueuse. L’experience ne peut pas etre pratiqueesur n’importe quel solide : pour de nombreux materiaux la temperature TR estvoisine ou superieure a la temperature de fusion, ce qui interdit l’observation dela transition. Parmi les observations fiables [Lapujoulade 1994], on peut citer lecas de l’indium (110) (TR 5 290 K), celui du plomb (110) (TR 5 415 K), etcelui de l’argent (110) (TR 5 910 K). Les techniques utilisees sont diverses, maiselle utilisent le plus souvent la diffraction d’un faisceau d’electrons rapides par lasurface (RHEED). On notera que les proprietes et notamment la temperature detransition dependent de l’orientation de la face cristalline observee, les tensionssuperficielles associees n’ayant aucune raison d’etre les memes pour des facesdifferentes.Un autre systeme physique donne des informations fort interessantes : des etudesdetaillees ont ete effectuees sur l’helium 4 solide [Gallet et al. 1987], qui presenteune transition rugueuse a 1,28 K. Les experimentateurs ont mesure la vitesse decroissance du cristal autour de cette transition. Celle-ci est tres faible en dessousde 1,2 K , augmente rapidement puis sature au-dessus de 1,3 K. Lorsque l’interfaceest plate (T < TR), la seule facon pour les atomes incidents de se fixer irreversible-ment est la nucleation, c’est-a-dire la formation statistiquement rare, d’un amas

Page 257: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

8. CROISSANCE ET RUGOSITÉ DES INTERFACES 257

0,5450,571

0,600,632

0,667

Figure 8.12. Évolution de la rugosité de surface en fonction de la température pour une simulation du type « solidesur solide ». Les nombres représentent la température réduite à l’énergie de liaison caractéristique J. La transition(saturation de la rugosité) est attendue pour T/J =O,62 (d’après [Weeks et Gilmer 1979]).

de taille minimale pour qu’il soit stable. Ce processus est lent et rare. En revanche,lorsque l’interface est rugueuse, les atomes incidents trouvent facilement des sitesd’adsorption ou ils sont irreversiblement fixes (par exemple les sites de coin K dela FIG. 8.9). La transition rugueuse entraıne ainsi des modifications profondes dela dynamique de l’interface que nous decrivons brievement dans le paragraphesuivant.

6.3. La transition rugueuse hors d’équilibre

Maintenant que nous connaissons la pertinence – dans le cas non universel de cettetransition – du terme de potentiel periodique qui simule la periodicite cristalline,nous pouvons l’inclure dans une equation d’evolution telle que KPZ :

≠h(r,t)≠t

5 n∇2h 1l

2(∇h)2 − 2pV

asin

(2pha

)1 F 1 h(r,t) (8.72)

L’analyse par renormalisation dynamique montre que le terme (∇h)2, caracteris-tique de KPZ, est pertinent. Cependant, en pratique, il ne change que tres peu lesprevisions obtenues en posant l 5 0. En se placant dans cette hypothese, on peutetudier la vitesse de croissance et la caracteriser par sa mobilite mInterf :

mInterf 51F

⟨≠h

≠t

⟩(8.73)

Page 258: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

258 INVARIANCES D’ÉCHELLE

L’analyse distingue alors deux regimes :

– regime de depot : F fini.Dans ce cas, la transition rugueuse est gommee par l’effet du depot, et l’onretrouve bien les regimes de croissance proposes precedemment (EW parexemple pour la MBE aux grandes echelles de temps) ;

– regime d’equilibre : F fini ou tres faible.Dans ce cas, la transition rugueuse existe :

• a haute temperature (T > TR ), l’interface est rugueuse et sa mobilite elevee ;

• a basse temperature (T < TR ), l’interface est plate et sa mobilite faible. Ceregime est le regime de croissance par nucleation qui a ete etudie en 1951 parBurton, Cabrera et Frank [Burton et al. 1951]. Le regime de nucleation, for-tement non lineaire, a ete decrit quantitativement par de nombreux auteurs[Nozieres et Gallet 1994] auxquels nous renvoyons le lecteur.

7. Les classes d’universalité de la croissance

Nous resumons dans ce paragraphe les resultats obtenus grace aux equationscontinues qui decrivent des mecanismes de croissance. Les equations sont regrou-pees par classes d’universalite en fonction de leurs symetries. Pour plus de detailssur cette classification, nous renvoyons le lecteur au superbe ouvrage de Barabasiet Stanley [Barabasi et Stanley 1995].La forme generique des equations de croissance contient deux termes :

≠h

≠t5 G 1 h (8.74)

le terme deterministe G et le terme stochastique h. Ces deux termes presententdeux types de proprietes caracteristiques :

– linearite (L) ou non linearite (N) du terme deterministe G. Nous avons rencon-tre deux types de termes lineaires : le terme lineaire ∇2h de EW que nous notons(L2) et le terme lineaire ∇4h lie a la diffusion (L4). Nous avons egalement ren-contre deux termes non lineaires : (∇h)2 de KPZ, note (N2), et ∇2

[(∇h)2

]pour

la diffusion, note (N4) ;

– conservation (C) ou non conservation (D) du nombre d’atomes a l’interfacepour chacun des deux termes G et h. Pour ce qui concerne G, seul le termenon lineaire de KPZ, (∇h)2, ne conserve pas le nombre d’atomes. Il n’existedonc pas de classe d’universalite du type LD pour une equation lineaire qui neconserverait pas les atomes. Pour ce qui concerne le bruit, nous avons rencontredeux sources de bruit : le bruit h, lie au processus de depot atomique (D 5 nonconservatif), et le bruit lie a la diffusion (C 5 conservatif), que nous notons hd.

Les principales classes d’universalite peuvent etre deduites de la facon suivante(tableau 8.3).

Page 259: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

8. CROISSANCE ET RUGOSITÉ DES INTERFACES 259

SymétriesNom Équation

Exposants

G h a b z

- D Aléatoire≠h≠t

5 h - 1/2 -

L2C DEW

(Edwards Wilkinson)≠h≠t

5 n∇2h 1 h2 − d

22 − d

42

N2D DKPZ

(Kardar Parisi Zhang)≠h≠t

5 n∇2h 1l

2(∇h)2 1 h

12

(d 5 1)1/3

(d 5 1)3/2

(d 5 1)

L4C DMBE 1

diffusion linéaireavec dépôt

≠h≠t

5 −K∇4h 1 h4 − d

24 − d

84

L2C CEW

avec bruitdiffusif

≠h≠t

5 n∇2h 1 hd −d2

−d4

2

L4C Cdiffusion linéaire

sans dépôt≠h≠t

5 −K∇4h 1 hd2 − d

22 − d

84

N4C DMBE 2 diffusion non

linéaire avec dépôt≠h≠t

5 −K∇4h 1 l1∇2h(∇h)2

i1 h

4 − d3

4 − d8 1 d

8 1 d3

N4C C

MBE 3diffusion

non linéairesans dépôt

≠h≠t

5 −K∇4h 1 l1∇2h(∇h)2

i1 hd

1/3 (d 5 1) 1/11 (d 5 1) 11/3 (d 5 1)

2 − d2

(d > 1)

2 − d8

(d > 1)

4(d > 1)

Tableau 8.3. Les principales classes d’universalité de la croissance. Dans le cas de KPZ, les exposants sont évaluésnumériquement pour d > 1 (voir le tableau 8.1).

Les valeurs des exposants que l’on en deduit, pour les equations que nous avonsetudiees dans ce chapitre, sont reunies dans le tableau 8.1.

Équationd 5 1 d 5 2 d 5 3

a b z a b z a b z

EW 1/2 1/4 2 0 0 2 −1/2 −1/4 2

KPZ 1/2 1/3 3/2 0,38 0,24 1,58 0,30 0,18 1,66

MBE 2 avec dépôt (N4CD) 1 1/3 3 2/3 1/5 10/3 1/3 1/11 11/3

MBE 3 sans dépôt (N4CC) 1/3 1/11 11/3 0 0 4 −1/2 −1/8 4

Tableau 8.4. Valeurs numériques des exposants pour d 5 1, 2 et 3 pour les principales équations.

En conclusion, nous soulignons que le cas d’une interface bidimensionnelle esta la fois « la » situation la plus courante en pratique, et la situation la plus deli-cate theoriquement. Deux effets se combinent en effet pour rendre difficile latache des theoriciens : d’une part, d 5 2 est la dimension critique de l’equa-tion de base Edwards-Wilkinson (voir tableau 8.3), et d’autre part la transitionrugueuse intervient specifiquement a deux dimensions, avec ses caracteristiques

Page 260: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

260 INVARIANCES D’ÉCHELLE

non universelles complexes. Cela conduit a une grande diversite de comporte-ments possibles [Barabasi et Stanley 1995] comme le confirment les experienceset les simulations numeriques. Lorsque l’interface presente une seule dimension,les exposants a et b ont une valeur importante, et l’interface est le plus souventrugueuse. Si l’on se place par la pensee dans un espace a 4 dimensions, ou l’in-terface est a 3 dimensions, les exposants sont petits ou negatifs, ce qui conduita une interface plate. Nous esperons avoir convaincu le lecteur que notre espacea trois dimensions reserve la plus grande variete de mecanismes de croissance. Ilaura compris que ce domaine renferme de nombreuses voies a defricher, par desmodeles ou des experiences nouvelles. Nous lui souhaitons bonne chance...

Page 261: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

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Page 262: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

CHAPITRE

9SYSTEMES DYNAMIQUES,CHAOS ET TURBULENCE

Notre exploration des systemes sans echelles caracteristiques et des methodes spe-cifiques permettant leur analyse va se poursuivre dans le domaine des systemesdynamiques, avec les comportements chaotiques et turbulents. Du fait de l’am-pleur de ce domaine, notre presentation sera volontairement etroite, centree uni-quement sur les aspects critiques de ces comportements et sur les lois d’echelleassociees. Une breve introduction a la theorie des systemes dynamiques nousamenera tout d’abord a la notion essentielle de bifurcation, changement quali-tatif de l’evolution asymptotique. Un exemple, un peu anecdotique mais familier,est celui du « robinet mal ferme », ou l’ecoulement passe brusquement d’un filetcontinu a un regime periodique de gouttes si on ferme le robinet un tout petitpeu plus. Cette notion de bifurcation est etroitement reliee a celle d’instabilite,ce que nous illustrerons sur une situation experimentale tres riche, la convectionde Rayleigh-Benard, presentee sur la FIG. 9.1. Nous montrerons que les bifurca-tions presentent une etroite analogie avec les transitions de phase, qu’il s’agissedes proprietes d’echelle ou des proprietes d’universalite (§ 1). Nous detailleronsensuite la notion de chaos, type tout a fait remarquable de dynamique, parfaite-ment deterministe et neanmoins impredictible a plus ou moins long terme. Nousverrons que les systemes dynamiques chaotiques sont l’analogue temporel des sys-temes critiques : les plus infimes perturbations finissent par avoir des repercussionsa toutes les echelles. Cette sensibilite enleve tout interet a la notion de trajec-toire, qu’il faut remplacer par une description statistique en termes de mesureinvariante. L’etude porte alors non pas sur les details d’une trajectoire particulieremais sur les proprietes globales du flot. Des scenarios typiques ont ete mis en evi-dence pour decrire la transition vers le chaos, et nous retrouverons l’exemple de laconvection de Rayleigh-Benard. Comme dans l’etude des transitions de phase, larecherche de proprietes universelles, la determination de classes d’universalite et

Page 263: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 263

de facon equivalente, l’analyse de la stabilite structurelle des modeles consideresdeviennent les questions pertinentes (§ 2). Nous avons vu au § 4.1 du chapitre 4,comment la description de la diffusion etait justifiee par les proprietes chaotiquesdu mouvement des particules diffusantes lorsqu’il est envisage a l’echelle micro-scopique. Dans un cadre plus general, le chaos a l’echelle moleculaire valide lesfondements de la mecanique statistique a l’equilibre et sous-tend ceux recemmentproposes pour developper la mecanique statistique des systemes loin de l’equilibre(§ 3). Nous presenterons egalement un type particulier de comportement chao-tique, l’intermittence, qui presente de remarquables proprietes d’echelle (§ 4).Nous terminerons ce chapitre par une breve presentation de la turbulence deve-loppee et de sa structure hierarchique – une cascade de tourbillons – conduisant ades lois d’echelle exemplaires : theorie de Kolmogorov et, plus recemment, modelemultifractal (§ 5).

T

= 2h

h

T + T (Chauffage)

Figure 9.1. Expérience de Rayleigh-Bénard. En chauffant par le dessous une couche de liquide confinée entre deuxplaques de verre horizontales, on y maintient un gradient vertical reglable de température. L’existence d’une instabilitése comprend intuitivement : le liquide des régions inférieures, chauffé et donc de densité moindre, a tendance à s’éle-ver alors que le liquide des régions supérieures, relativement plus lourd, tend à descendre. Ce mécanisme est amortipar la diffusion thermique et par le frottement visqueux : un mouvement de convection n’apparaît que si le gradientde température est assez important. Ce seuil d’instabilite s’exprime quantitativement sur la valeur d’un paramètresans dimension, le nombre de Rayleigh Ra 5 gah3DT/kn dépendant de l’accélération de la pesanteur g, dela différence DT de température entre les plaques, de la distance h les séparant, de la viscosité cinématique n duliquide, de son coefficient de dilatation thermique isobare a et de sa diffusivité thermique k (avec k 5 x/Cp où x estla conductivité thermique et Cp la capacité calorifique par unité de volume) [Manneville 1991] [Cross et Hohenberg1993] [Gertling 1998]. Pour Ra > Rac ≈ 1700, il apparaît des rouleaux de convection dont la taille est fixée parl’épaisseur h du fluide. Le liquide y est partout en mouvement mais d’une façon organisée, formant une structurestationnaire. Si on continue d’augmenter DT (donc Ra), on voit apparaître des instabilites secondaires : desondes de période t commencent à se déplacer le long des rouleaux, déformant leur génératrices en sinusoïdes, puisdes ondes sous-harmoniques de période 2t apparaissent ; quelques doublements de période peuvent encore êtreobservés si l’expérimentateur est particulièrement soigneux.La succession de ces instabilités conduit à un régime chaotique (§ 2.3) : nous décrirons ce scenario de transitionvers le chaos au § 2.4. Si on continue d’augmenter DT , on observe un régime de turbulence developpee, qualita-tivement analogue à la turbulence hydrodynamique que nous aborderons au § 5, cette dernière étant relativement plussimple car la température et la densité du fluide y sont constantes.La situation où la surface supérieure est à l’air libre est différente, car les effets de tension superficielle y sont impor-tants, voire dominants, et c’est un autre nombre sans dimension (le nombre de Marangoni) qui contrôle la dyna-mique du fluide.

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264 INVARIANCES D’ÉCHELLE

1. Une vision différente de l’évolution d’un système

1.1. Une « géométrie » de la dynamique

L’approche naturelle lorsqu’on etudie l’evolution d’un systeme physique consistea resoudre les equations du mouvement en fonction des conditions initiales ;elle permet de suivre exactement la trajectoire1 du systeme pendant une dureefinie. Cette approche n’est pas toujours praticable, pour la simple raison qu’ilest rarement possible d’integrer analytiquement les equations du mouvement.Cette constatation remonte a Poincare, qui a montre qu’un systeme hamiltoniencompose de N corps en interaction (par exemple le systeme solaire, ou N 5 10)n’est en general pas integrable si N � 3. La difficulte est encore plus grandesi on s’interesse au comportement t → ∞ du systeme (ce qu’on appelle leregime asymptotique) et sur sa dependance par rapport aux conditions initiales.Les methodes perturbatives ne sont valables que sur des durees tres courtes.L’integration numerique envisageable aujourd’hui ne leve pas la difficulte car ellene permet, elle non plus, de suivre l’evolution que sur une duree limitee ; elles’appuie de plus sur des schemas de discretisation pouvant induire des ecartsnon controles ; enfin, les erreurs liees a la precision finie de calcul des machines(« bruit numerique ») peuvent etre amplifiees par les non-linearites de la dyna-mique et croıtre exponentiellement vite avec la duree d’integration. D’autresdifficultes s’ajoutent lorsqu’on revient a la realite physique : la condition initialen’est jamais connue avec une precision infinie, et c’est donc l’evolution d’unfaisceau de trajectoires qu’il faut suivre. De plus, le modele dynamique lui-memen’est qu’une simplification de l’evolution reelle, puisqu’on laisse toujours de cotedes influences jugees secondaires ; mais ce jugement, justifie par une analyse auxtemps courts, peut s’averer incorrect aux temps longs. C’est en fait un ensemblede lois d’evolution, se deduisant par perturbation du modele initial, qu’il faut envi-sager. En conclusion, ce n’est pas la determination des trajectoires individuellesqui pourra fournir des predictions sur le comportement a long terme du systemephysique. Ce sont les problemes auxquels se trouva confronte Poincare lorsqu’ilchercha a repondre a la question de la stabilite du systeme solaire. Il adoptaalors un point de vue geometrique et global, a la base de la theorie moderne dessystemes dynamiques [Poincare 1892].

En resumant, la specificite de la theorie des systemes dynamiques, par rapporta l’etude mathematique des equations differentielles ordinaires (l’approche men-tionnee au debut de ce paragraphe), est de s’attacher aux questions suivantes,d’un grand interet pour le physicien qui cherche a faire des predictions fiables etrobustes :

– quel est le comportement aux temps longs du systeme ?

– comment est-il modifie si on change legerement la condition initiale ?

– que devient-il si c’est la loi d’evolution elle-meme qui est perturbee ?

1 Soulignons d’entree que dans tout ce chapitre, les « trajectoires » seront des trajectoires dansl’espace de phase et non dans l’espace reel.

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 265

Notions de base sur les systemes dynamiques

La premiere etape de la modelisation d’un systeme physique consiste a decrire sonetat instantane par un ensemble de variables que nous noterons x de facon com-pacte, a ne pas confondre avec une position dans l’espace physique. L’ensemble Xde ces points x representant chacun une configuration possible du systeme s’ap-pelle l’espace de phase. Notons que cet ensemble va dependre de la modelisationenvisagee donc de l’echelle d’observation.

x*x1

x0 x2

Figure 9.2. Discrétisation par « section de Poincaré »,consistant à ne conserver d’une évolution en temps continuque sa trace dans une section de l’espace de phase trans-verse à une trajectoire périodique (une orbite planétaire,dans les travaux originaux de Poincaré), ici en gras. Onremplace l’étude d’une trajectoire x(t) par celle de la suitede ses points d’intersection (xn)n>0 avec cette section.Soulignons que cette discrétisation est intrinseque a ladynamique (le « temps de premier retour » mis pour pas-ser de xn à xn11 dépend de n et de la trajectoire consi-dérée). La présence d’une trajectoire périodique n’est pasune condition absolument nécessaire : elle n’est requiseque pour assurer que les trajectoires voisines vont effec-tivement retraverser la section choisie.

Un systeme dynamique (continu) estalors un modele deterministe d’evolu-tion, de la forme .

x(t) 5 V [x(t)],ou le point designe la deriva-tion par rapport au temps t. Parexemple, l’equation d’evolutionm

..x 1 g

.x 1 U ′(x) 5 0 decou-

lant du principe de la dynamiquenewtonienne applique a un oscil-lateur amorti de masse m, decoefficient de friction g et d’ener-gie potentielle U(x), prend laforme d’un systeme dynamique :[.x 5 v, .

v 5 −U ′(x)/m − gv/m]a deux variables x et v [Stauffer etal. 1999]. Citons aussi les systemesd’equations obtenus dans le cadre dela cinetique chimique [Lemarchandet Vidal 1988].Une des idees fondamentales de latheorie des systemes dynamiques estde decrire non pas une trajectoireparticuliere sur une duree finie maisl’ensemble des trajectoires (dans l’es-pace de phase), qu’on appelle le flot :c’est cette connaissance globale quipermettra la prediction, au moinsqualitative, du comportement asymp-totique du systeme.On utilise egalement2 des modeles discrets d’evolution : xn11 5 f(xn). Citonsen exemple les modeles de dynamique des populations (n est alors le nombre degenerations) et les systemes dynamiques discrets obtenus par la methode dite de« section de Poincare », illustree sur la FIG. 9.2.

2 Une difference importante pour la comprehension intuitive des dynamiques respectivement conti-nues et discretes est que les trajectoires d’un systeme dynamique continu autonome (i.e. ou Vne depend pas explicitement du temps) ne peuvent se croiser ou se rejoindre (a moins d’etreconfondues), sauf aux points fixes, qu’elles n’atteignent d’ailleurs qu’asymptotiquement. Cettecontrainte topologique n’existe pas pour les trajectoires discretes engendrees par une transforma-tion. Etant donne un systeme dynamique discret en dimension d, les systemes dynamiques continusqui engendrent une dynamique dont la trace obeit a ce systeme dynamique discret prennent placeen dimension strictement superieure a d, comme le montre explicitement la FIG. 9.2.

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266 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Systemes conservatifs et systemes dissipatifs

Une distinction importante est celle separant les systemes conservatifs des sys-temes dissipatifs. En resumant, les systemes conservatifs sont les systemes hamil-toniens, d’energie totale conservee et les systemes dissipatifs sont tous les autres.Dans ces derniers, les trajectoires vont evoluer vers des sous-ensembles particu-liers de l’espace de phase, appeles des attracteurs3 ; ils se reduisent a des etatsd’equilibre (points fixes) si le systeme est isole. Plus generalement, les systemesdissipatifs sont des systemes ou l’evolution s’accompagne d’une contraction duvolume naturel de l’espace de phase, alors que les systemes conservatifs laissentinvariant ce volume (theoreme de Liouville). L’evolution d’un systeme dissipatifpeut neanmoins conduire a un etat asymptotique non trivial s’il est entretenu, i.e.si la dissipation est compensee par une injection d’energie. Par exemple, dans lecas d’un systeme chimique, la dissipation associee a l’avancement de la reactiondoit etre compensee par l’injection de reactifs pour observe un etat stationnairenon trivial.

Points fixes et analyse lineaire de stabilite

On appelle point fixe de l’evolution (en temps continu) un point x∗ ∈ X tel queV (x∗) 5 0 ; cela correspond a un etat d’equilibre. Pour determiner les proprietes destabilite de cet etat d’equilibre, on etudie l’evolution d’une petite perturbation y0,assez petite pour pouvoir utiliser l’equation d’evolution linearisee : .

y 5 DV (x∗) y,ou y 5 x − x∗ est l’ecart au point d’equilibre ; l’integration est immediate :y(t) 5 etDV (x∗) y0. Les trajectoires vont s’approcher de x∗ dans les directionspropres associees a des valeurs propres de parties reelles strictement negatives deDV (x∗), appelees les directions stables ; les trajectoires vont au contraire s’eloi-gner de x∗ dans les directions instables, associees a des valeurs propres de partiesreelles strictement positives. Si toutes les valeurs propres sont de partie reelle nonnulle, on peut demontrer que le flot est equivalent au flot linearise ; l’analyse de cedernier, autrement dit, l’analyse de la matrice DV (x∗), va alors suffire a determi-ner le comportement des trajectoires au voisinage de x∗. La situation marginaleou au moins une des valeurs propres est de partie reelle nulle est au contraire sin-guliere ; associee a la notion de bifurcation, elle fait l’objet du paragraphe § 1.2.Dans le cas d’un systeme en temps discret, x∗ est un point fixe s’il satisfaitf(x∗) 5 x∗. L’evolution linearisee s’ecrit yn11 5 Df(x∗) yn ou yn 5 xn − x∗et ou Df(x∗) est la matrice jacobienne de la transformation f au point fixe x∗.La stabilite du point fixe dans une direction propre de Df(x∗) s’obtient alorsen comparant le module de la valeur propre associee l avec 1 : les directionsstables sont celles pour lesquelles |l| < 1. Dans ce cas discret, la condition pourque le flot soit equivalent au flot linearise est qu’aucune valeur propre ne soit demodule 1.

3 La notion intuitive d’attracteur A ⊂ X a debouche sur diverses formulations mathematiques,plus ou moins strictes suivant le contexte et les auteurs. Elles partagent la condition d’invariance(f(A) 5 A en temps discret) et le fait que A « attire » (i.e. est l’ensemble limite) tout ou partie destrajectoires passant a proximite, ce qui ramene l’etude de leur comportement asymptotique a cellede la dynamique restreinte a A. Nous renvoyons a [Milnor 1985] pour une discussion approfondie dela notion d’attracteur et des differentes definitions proposees.

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 267

Cycles limites et attracteurs

Un cycle limite est une trajectoire periodique attirant asymptotiquement toutesles trajectoires passant dans son voisinage. Aux temps longs, toutes les trajectoiresissues d’un voisinage du cycle limite vont ainsi presenter un comportement oscil-lant de meme frequence et de meme forme, celles du cycle limite. Un cycle limiteest le cas le plus simple de regime asymptotique ne se reduisant pas a un etatd’equilibre. Un exemple typique est le suivant, respectivement en coordonneescartesiennes et en coordonnees polaires :

.x 5 ax(r0 −

√x2 1 y2) − vy

.y 5 ay(r0 −

√x2 1 y2) 1 vx

⇐⇒

.r 5 ar(r0 − r).u 5 v

(9.1)

Si a < 0, le point fixe (0,0) (c’est-a-dire r 5 0) est stable et le cycle r 5 r0est instable : une perturbation dr est amplifiee au cours du temps. Si a > 0, lepoint fixe est instable, mais le cycle r 5 r0 (parcouru avec la vitesse angulaire v)est devenu stable. On peut verifier explicitement sur cet exemple que le cas oua 5 0 est une situation particuliere, que nous retrouverons au § 1.2 sous le nomde bifurcation de Hopf : les valeurs propres sont complexes conjuguees et leursparties reelles s’annulent (elles valent ±iv).Soulignons qu’un cycle limite, en raison de son statut d’attracteur, corresponda un comportement oscillant robuste : sa periode et son amplitude ne sont pasaffectees durablement par une perturbation, dont l’influence se resume, a terme,a un dephasage.Il existe des regimes asymptotiques plus compliques qu’un point fixe ou qu’uncycle limite. Dans les systemes conservatifs, il est frequent de rencontrer desregimes quasi periodiques, presentant plusieurs frequences incommensurables :x(t) 5 w(v1t, . . . ,vnt). Dans les systemes dissipatifs, ou la dynamique asymp-totique est essentiellement regie par la dynamique restreinte aux attracteurs,l’exemple le plus notable est celui des attracteurs etranges associes aux dyna-miques chaotiques (§ 2).

1.2. La notion de bifurcation

L’approche globale, « geometrique » de la dynamique asymptotique, adoptee parla theorie des systemes dynamiques, a permis de faire emerger la notion-cle debifurcation. On designe par ce terme tout changement qualitatif de la dynamiqueasymptotique, observe lorsqu’on fait varier un parametre m de la dynamique ; lavaleur m 5 m0 ou se produit le changement est appelee le point de bifurcation.Cette notion a ete particulierement approfondie dans le cas des systemes dyna-miques dissipatifs (on parle de theorie des bifurcations), ou une bifurcation corres-pond alors a un changement qualitatif de l’attracteur. On visualise ce changementsur un diagramme de bifurcation representant l’attracteur en fonction du para-metre m.

Mise en evidence experimentale

Le parametre qui controle la dynamique asymptotique (on l’appelle de ce faitun parametre de controle) est relie a l’amplitude des termes d’amplification non

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268 INVARIANCES D’ÉCHELLE

lineaire, au taux d’injection d’energie, a l’amplitude des termes de saturation nonlineaire et a l’importance de la dissipation ; les deux premiers facteurs ont uneffet destabilisant que les deux derniers contrebalancent. L’analyse qualitative duphenomene peut suffire a identifier les differents mecanismes participant a l’evo-lution, mais une etape de modelisation de la dynamique est necessaire pour faireemerger le parametre de controle sans dimension qui resume le resultat de leurcompetition ; nous avons ainsi rencontre le nombre de Peclet au § 1.6 du chapitre4, le nombre de Rayleigh dans la FIG. 9.1 et nous verrons encore le nombre deReynolds au § 5.2. En pratique, c’est le plus souvent le dispositif experimentalqui prescrit le parametre reglable m (la difference de temperature DT dans l’expe-rience de Rayleigh-Benard, par exemple). On le fera varier assez lentement pourque le systeme ait le temps de se stabiliser dans son regime asymptotique pourchaque valeur de m.Un premier exemple est celui des instabilites secondaires observees dans l’expe-rience de Rayleigh-Benard (FIG. 9.1) ; Si l’on parametre la forme des rouleauxet qu’on etudie la variation temporelle des parametres, chaque instabilite apparaıtcomme une bifurcation au cours de laquelle un cycle limite se detabilise et est rem-place par un cycle de periode double. Des bifurcations peuvent egalement s’obser-ver sur l’ecoulement d’un liquide contenu entre deux cylindres concentriques enrotation a des vitesses differentes (probleme de Couette-Taylor) [Croquette 1982].Un autre exemple celebre est celui du « robinet mal ferme » ou l’on passe , endiminuant le debit d’eau, d’un regime ou le jet est continu a un regime de gouttestombant periodiquement [Pinto et al. 1995]. Mentionnons egalement la bifurca-tion observee lorsqu’on place une bille sur une tole ondulee et qu’on incline cettetole : il existe une pente critique ou les positions stable et instable se rejoignentpour disparaıtre (il n’y a plus de position d’equilibre si l’inclinaison de la tole esttrop forte). De nombreux exemples de bifurcations se rencontrent en chimie : cer-taines reactions chimiques, par exemple la reaction de Belousov-Zhabotinski quenous retrouverons au § 2.1, peuvent se mettre spontanement a osciller [Lemar-chand et Vidal 1988] [Pacault 1997]. On trouve egalement des bifurcations enbiologie, aussi bien en dynamique des populations [Murray 2002] qu’a l’echelle dela cellule, par exemple dans le cycle du glucose, dans les reactions enzymatiquesou dans l’activite de certains neurones [Goldbeter 1996].

Analyse mathematique

Les systemes dynamiques decrivant des dynamiques reelles prennent le plus sou-vent place dans des espaces de phase de dimension superieure a 1. Le pointremarquable, que nous detaillerons au § 1.4, est que la dynamique au voisinaged’une bifurcation est dominee par les modes devenant instables, ce qui permet dese ramener a un systeme de dimension 1 ou 2. Dans le cas d’evolutions spatio-temporelles, il faut se ramener, nous l’avons vu dans le cas de la convection deRayleigh-Benard, a la dynamique purement temporelle des amplitudes ou d’autresparametres de solutions spatio-temporelles de forme donnee [Manneville 1991].Le traitement explicite d’exemples concrets commence donc souvent par uneetape de reduction de la dynamique. Nous supposerons ici que cette etape a eteeffectuee.Les cas les plus simples, entierement repertories, concernent la situation ou l’at-tracteur avant la bifurcation, c’est-a-dire pour m < m0, est un point fixe stable

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 269

x0(m) ; les valeurs propres de la matrice de stabilite DV [x0(m)] sont alors toutesde partie reelle strictement negative. La destabilisation se produit, en m 5 m0,lorsqu’une valeur propre (au moins) traverse l’axe imaginaire. Dans le cas d’unsysteme dynamique discret, une bifurcation se produit lorsque la ou les valeurspropres de module maximal traversent le cercle unite. En notant l1(m) la valeurpropre de partie reelle maximale (respectivement de module maximal dans le casdiscret), nous pouvons resumer une situation de bifurcation par :

– en temps continu : Rel1(m) < 0 si m < m0, Re l1(m0) 5 0.

– en temps discret : |l1(m)| < 1 si m < m0, |l1(m0)| 5 1.

Nous renvoyons a [Demazure 1989] et [Ruelle 1989] pour une presentation com-plete de la theorie des bifurcations ; nous nous limiterons ici a donner quelquesexemples mathematiques parmi les plus representatifs, et que nous retrouveronsimpliquees dans la transition vers le chaos, § 2.4 ; l’universalite, et donc la portee,de ces modeles seront discutees au § 1.4.

Quelques bifurcations typiques

Nous citerons tout d’abord une bifurcation que nous retrouverons au § 4.1, dansle contexte de l’intermittence : la bifurcation nœud-col. Elle correspond a la ren-contre d’une paire de points fixes respectivement stable et instable, suivie de leur« l’annihilation » ; c’est la bifurcation observee dans l’exemple de la bille sur unetole ondulee qu’on incline. Un modele typique est presente sur la FIG. 9.3.

x

x

y

m0 m

m

Figure 9.3. À gauche, bifurcation nœud-col, observable sur l’évolution.x 5 m − m0 1 x2. Pour m < m0, on a

deux points fixes√m0 − m (instable) et −√

m0 − m (stable) ; ils se rejoignent en m0 pour disparaître si m > m0. Lesflèches soulignent l’instabilité de la branche supérieure et la stabilité de la branche inférieure. À droite, bifurcation deHopf observable sur l’évolution [

.r 5 r(m− r2),

.u 5 v]. La branche r ≡ 0 est stable pour m < 0 ; elle se déstabilise

en m0 5 0 pour être remplacée (comme attracteur) par un cycle limite r(m) 5√m.

Un second exemple est l’apparition d’un regime oscillant, correspondant a ladestabilisation d’un point fixe au profit d’un cycle limite. C’est la bifurcation obser-vee, entre autres, dans le robinet qui fuit. Nous en avons vu un exemple theoriqueau § 1.1 avec le systeme [.r 5 mr(r0 − r),

.u 5 v]. Dans ce cas, appelee bifurca-

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270 INVARIANCES D’ÉCHELLE

tion de Hopf sous-critique, des oscillations d’amplitude finie (r 5 r0) apparaissentbrusquement au point de bifurcation, en m0 5 0 ; le cycle est present mais instableavant la bifurcation. Dans l’exemple represente sur la FIG. 9.3, l’amplitude du cycleest nulle au point de bifurcation (il n’existe pas de cycle pour m < 0) et le regimeoscillant se raccorde ainsi continument a l’etat d’equilibre ; ce cas de figure estappele bifurcation de Hopf supercritique Dans les deux cas, le transfert de stabilited’un point fixe vers un cycle limite, se produit lorsque deux valeurs propres com-plexes conjuguees traversent l’axe reel (respectivement le cercle unite s’il s’agitd’un systeme dynamique discret). Leur valeur ±iv (respectivement e±iv dans lecas discret) au point de bifurcation determine la periode 2p/v du regime oscillantau moment de son apparition.

0

X – ( )

X + ( )

X0 ( )

Figure 9.4. Bifurcation du doublement de période (pitchfork)en temps discret ; elle est par exemple observée sur l’évolutionxn11 5 1−mx2

n enm0 5 3/4. Le point fixe x0(m) y est remplacépar un cycle de période 2 : x±(m) 5 fm[x∓(m)]. Les flèchessoulignent les branches stables.

Dans le cas discret, il faut traitera part la valeur e±iv 5 −1 ; cettevaleur etant reelle, la destabili-sation peut ne concerner qu’unevaleur propre. On observe alorsle remplacement d’un point fixestable par un cycle de periode 2(FIG. 9.4). Si le systeme dyna-mique discret est obtenu parsection de Poincare d’un sys-teme dynamique continu, celui-ci presentera un doublement deperiode, au cours duquel uncycle limite se destabilise pourlaisser place a un cycle limitede periode double. Cette bifur-cation est illustree, par exemple,par les instabilites secondairesobservees dans la convection deRayleigh-Benard.

Sensibilite de la dynamique aux points de bifurcation

Les bifurcations sont des points critiques au sens ou elles manifestent une grandesensibilite aux perturbations et au bruit. Considerons le cas d’une bifurcationcorrespondant a un echange de stabilite entre deux attracteurs (le cas comple-mentaire de la bifurcation nœud-col sera traite au § 4.1). Si on applique uneperturbation, meme tres faible, alors que le systeme est au point de bifurcation,elle va interferer avec la competition entre les deux attracteurs marginalementstables qui s’offrent alors au systeme. Celui-ci va manifester une reponse sansechelles caracteristiques (ni en duree, ni en amplitude), tres differente de lareponse lineaire observee en dehors des points de bifurcation. Cette proprietenous amene a etudier plus en detail l’analogie entre les bifurcations et lestransitions de phase et phenomenes critiques rencontres dans les chapitresprecedents.

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 271

1.3. Analogie avec les transitions de phase

Une bifurcation apparaıt comme la version temporelle d’une transition de phasethermodynamique4, ou le « parametre d’ordre » M est relie a l’etat asymptotiquedu systeme dynamique. Avant la bifurcation (m < m0), x0(m) est un point fixestable ; on peut toujours le ramener a 0 par changement de variable, de sorte queM(m) 5 0 si m < m0. Au-dessus de la bifurcation, l’etat asymptotique peut etreun point fixe x1(m), auquel cas M(m) 5 x1(m) fi 0, ou bien un cycle d’amplituder(m), auquel cas M(m) 5 r(m) > 0 . En particulier, en dimension 1, l’evolution.x 5 V (x) peut s’ecrire .

x 5 −≠F/≠x et les points fixes s’obtiennent donc enminimisant F (x), exactement comme la valeur du parametre d’ordre s’obtient enminimisant l’energie libre.

Regime asymptotique et limite thermodynamiqueLa limite asymptotique t → ∞ est l’analogue d’une limite thermodynamique. Ils’agit egalement d’une idealisation, correspondant a une situation limite qui n’estjamais strictement atteinte, mais qu’on espere etre une approximation correctede ce qui se passe aux temps longs mais finis. Le passage a la limite ne conservantque les termes dominants, la description est a la fois plus simple et plus univer-selle. Elle permet de faire emerger les notions pertinentes, par exemple celle debifurcation, de facon operatoire, exactement comme le passage a la limite ther-modynamique, est necessaire pour faire emerger les transitions de phase.Dans le modele d’Ising, la limite thermodynamique ne commute pas avec la limiteH → 0 ; il faut faire tendre le champ magnetique H vers 0 une fois determi-nees les grandeurs thermodynamiques pour acceder au comportement reellementobserve du systeme. Une difficulte analogue se rencontre ici lorsque le systemedynamique depend d’un petit parametre e de facon singuliere, au sens ou le sys-teme pour e 5 0 correspond a une dynamique qualitativement differente (parexemple, si e apparaıt en facteur de la derivation temporelle). Dans ce cas, leslimites t → ∞ et e → 0 ne commutent pas. Le diagramme de bifurcation obtenupour e 5 0 sera alors qualitativement different du comportement limite obtenu enconsiderant l’attracteur pour des valeurs e tendant vers 0 [Krivine et Lesne 2003].Assurer un traitement correct de telles situations singulieres ou plusieurs limitesinterviennent conjointement est un des succes des methodes de renormalisation[Lesne 1995].

Exposants critiques d’une bifurcationComme toutes les situations de transition ou le systeme hesite entre deux regimes,une bifurcation va se traduire par des proprietes temporelles critiques. Conside-rons une evolution .

x 5 V (m,x) en dimension 1, ayant x0 5 0 comme pointfixe stable si m < m0 et presentant une bifurcation en m 5 m0. Pour m < m0,la derivee ≠V /≠x prise en x0 5 0 est negative, et on peut l’ecrire −1/t(m). Lesysteme linearise s’ecrit .

x 5 −x/t(m) et il a pour solution des exponentiellesx(0) exp[−t/t(m)], dependant de la condition initiale x(0). Le temps caracteris-tique t(m) estime le temps d’atteinte du point fixe. C’est aussi le temps de reponse

4 Notons que l’analogie a lieu avec les transitions de phase de la thermodynamique classique, decritesdans une « theorie de champ moyen » au sens ou on neglige les fluctuations et ou on ne decrit que leparametre d’ordre moyen : les « exposants critiques » d’une bifurcation seront toujours rationnels.

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272 INVARIANCES D’ÉCHELLE

au bout duquel le systeme se stabilise dans un nouvel etat d’equilibre si on luiapplique une (petite) stimulation ; en d’autres termes, t(m) est le temps de relaxa-tion du systeme. Au point de bifurcation, la derivee ≠V /≠x(m0,0) s’annule, ce quicorrespond a la divergence de ce temps caracteristique : t(m0) 5 ∞. Cette diver-gence du temps d’atteinte de l’attracteur et, plus generalement, des temps carac-teristiques de la dynamique est une signature tout a fait generale des points debifurcation. Dans notre exemple unidimensionnel, le systeme s’ecrit a l’ordre leplus bas .

x 5 −cx2 ou c est egal a (−1/2) ≠2V /≠x2(m0,0). L’integration donnex 5 x0/[1 1 x0ct] qui se comporte comme 1/ct aux temps longs : on a donc unregime asymptotique invariant d’echelle et independant de la condition initiale.Ce regime est caracterise par l’exposant 1. Nous pouvons ainsi resumer :

m < m0 : dVdx (m,0) 5 − 1

t(m) < 0 et x(t) ∼ e−t/t(m)

m 5 m0 : dVdx (m0,0) 5 0, t(m0) 5∞ et x(t) ∼ 1/t

(9.2)

Il peut arriver que toutes les derivees ≠kV /≠xk(m0,0) soient nulles pour toutk � n ; on verifie qu’on a alors un exposant different, egal a 1/n : asymptotique-ment, l’approche du point fixe se fait avec le comportement x(t) ∼ t−1/n.

Effets de taille finieSi on observe les trajectoires sur une duree finie T insuffisante, elles pourront nepas etre encore parfaitement stabilisees sur l’attracteur mais seulement localiseesdans son voisinage. Cet ecart au comportement asymptotique sera d’autant plusmarque que le systeme est proche d’un point de bifurcation, puisque le tempsd’atteinte de l’attracteur diverge a la bifurcation. Le diagramme de bifurcationqu’on obtient alors presente des distorsions similaires a celles observees sur le dia-gramme de phase d’un echantillon de taille finie N : les caracteristiques abruptesdu diagramme, par exemple les sauts ou les tangentes verticales, disparaissentpour laisser la place a des traces continus, sans accident. Cela est tout a fait pre-visible : les trajectoires de duree finie T sont regulieres par rapport aux variationsdu parametre de controle m : ce n’est que dans la limite T → ∞ qu’apparaissentdes singularites, aux valeurs de bifurcation.

Resume de l’analogie

bifurcation ←→ transition de phaset ←→ r

duree T ←→ taille Lregime asymptotique ←→ limite thermodynamique

divergence du temps caracteristique ←→ ralentissement critique

Pour conclure, nous insisterons sur le fait que cette analogie est profonde, aupoint de pouvoir etre vue comme une identite : une transition de phase n’est riend’autre qu’une bifurcation de la dynamique microscopique sous-jacente, laquelleva explorer des regions differentes de l’espace de phase de part et d’autre de latransition. Les bifurcations sont ainsi le soubassement dynamique des transitionsde phase. Une phase sera une region invariante de l’espace des configurations. Ellen’est exactement invariante que dans la limite thermodynamique. En taille finie,on pourra encore avoir quelques transitions entre les differentes regions, ce quicorrespond a une barriere d’energie libre finie et une separation floue des phases.

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 273

1.4. Formes normales et stabilité structurelle

Le resultat essentiel est qu’au voisinage de la bifurcation, les composantes de l’evo-lution dans les directions devenant instables au point de bifurcation dominent lecomportement [Haken 1983]. Cela se comprend intuitivement puisque dans lesdirections stables, la dynamique relaxe exponentiellement vite vers 0. On com-mence ainsi par reduire la description a ces seuls degres de liberte marginalementstables ; cela conduit, par exemple, a un systeme dynamique de dimension 1 si uneseule valeur propre devient instable. Un second resultat est qu’on peut alors rame-ner par conjugaison le systeme reduit a une loi d’evolution polynomiale, qu’onappelle la forme normale de la bifurcation. C’est en quelque sorte le denomina-teur commun de toutes les dynamiques presentant cette bifurcation et, de fait,le systeme dynamique le plus simple sur lequel on puisse l’observer Une fois lepoint fixe ramene en x0 5 0 et la valeur de bifurcation du parametre en m0 5 0,les formes normales des deux bifurcations typiques5 des systemes continus sont(FIG. 9.3) :

– la bifurcation nœud-col : .x 5 m− x2 ;

– la bifurcation de Hopf : .r 5 mr − r3,

.u 5 1 1 ar2.

auxquelles s’ajoute (FIG. 9.4) :– la bifurcation du doublement de periode, specifique des systemes dynamiques

discrets : f(x) 5 1 − mx2 avec ici m0 5 3/4 et x0(m0) 5 2/3.

Ces trois bifurcations sont generiques6 au sens ou les theoremes de bifurcationdecrivant les situations ou elles se produisent ne font intervenir que des inegalitesstrictes (impliquant les derivees de V (m,x) ou fm(x) par rapport a x et m, prisesau point (m0,x0(m0)) [Arnold 1984]. Celles-ci restent donc verifiees si on modifielegerement la loi d’evolution V ou f .

Formes normales et universaliteBien que les demonstrations conduisant a ces formes normales et aux theoremesde bifurcation associes soient mathematiques, leur conclusion interesse au plushaut point les physiciens : des modeles ayant la meme forme normale presenterontdes bifurcations qualitativement identiques. Pour comprendre les implications dece resultat, il nous faut nous rappeler qu’un modele physique est une approxima-tion, souvent assez grossiere, de la realite. Pour construire un modele, le physi-cien se met volontairement des œilleres, en choisissant de ne decrire qu’un petitnombre de grandeurs et en ne prenant en consideration qu’un nombre limite deparametres. Ce faisant, il prend en compte de facon moyenne (ou neglige) toutce qui se passe en dehors du systeme ou a des echelles differentes. Avec cettetheorie des formes normales, nous voyons apparaıtre l’universalite des proprietes

5 Il existe d’autres formes normales remarquables, mais associees a des bifurcations non generiques(les theoremes de bifurcation font intervenir des egalites) :– la bifurcation transcritique : .

x 5 mx− x2 ;– la bifurcation fourche : .

x 5 mx − x3 pour le cas supercritique ou .x 5 mx 1 x3 − x5 pour le cas

sous-critique (FIG. 9.5).6 Prenons un modele dependant d’un parametre a reel et a pour espace de phase X . L’enonce [poura < a0, la solution verifie . . .] est generique alors que les enonces [pour a 5 a0, la solution verifie . . .] ou [pour a 6 a0, la solution verifie . . . ] ne sont pas generiques : une infime variation de a changel’hypothese en une autre hypothese pour laquelle l’enonce n’est plus vrai.

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274 INVARIANCES D’ÉCHELLE

envisagees par la theorie des systemes dynamiques. On justifie ainsi que l’analysede systemes dynamiques tres simples, voire simplistes, puisse avoir la pretentiond’eclairer le comportement de systemes reels.Il faut neanmoins retenir que la validite des formes normales est limitee au voisi-nage des points de bifurcation : une forme normale decrit le mecanisme generiquesuivant lequel l’instabilite de la dynamique en (m 5 m0,x 5 x0(m0)) se developpe,pour laisser la place a une autre branche d’etats stationnaires. Elle ne rend pre-cisement pas compte des mecanismes qui vont controler ces etats stationnairesau-dela du point de bifurcation (m� m0).

Stabilite structurelle et modelisation

Cette discussion de la theorie des formes normales et de sa portee nous amenea la notion plus generale de stabilite structurelle (on parle aussi de robustesse).Elle s’avere essentielle dans la modelisation d’un phenomene physique : le pheno-mene predit par le modele ne devra pas changer notablement si on modifie legere-ment le modele. Autrement dit, les resultats du modele doivent etre robustes parrapport aux influences negligees et aux petites fluctuations des parametres. Unmodele structurellement stable (par rapport a un type donne de perturbations)est equivalent a tous les modeles perturbes. Ses predictions, robustes, ont ainsiune chance de reproduire la realite observable. Notons que la stabilite structu-relle est implicite dans toute propriete d’universalite, laquelle est plus generale :tout phenomene universel est structurellement stable, mais une classe d’univer-salite peut rassembler des systemes dont les « regles de fonctionnement » ne sededuisent pas l’une de l’autre par une petite perturbation.

Theorie des bifurcations et theorie des catastrophes

La notion de bifurcation rappelle celle de catastrophe, introduite et developpee(anterieurement) par Thom [Thom 1972]. D’un cote, la theorie des bifurcationsest plus generale, car elle n’est pas restreinte aux dynamiques .

x 5 −∇V (x),envisagees par Thom, derivant d’un potentiel V (x), ne possedant que des pointsfixes. Les changements qualitatifs repertories dans la theorie des bifurcation nese limitent pas aux changements de stabilite d’un ou plusieurs points fixes, maisincluent aussi l’apparition de cycles limites, voire de chaos. D’un autre cote, latheorie des catastrophes est plus universelle, car l’espace dans lequel Thom aplace sa classification est l’espace produit de l’espace de phase et de l’espace desparametres {m,n}. Il a ainsi realise une typologie des modeles, en l’occurrence dessystemes dynamiques a deux parametres, et pas seulement une typologie des modi-fications qualitatives des etats asymptotiques. La theorie des catastrophes va enparticulier decrire la facon dont apparaissent et se succedent les bifurcations lors-qu’on se deplace dans le plan {m,n} des parametres de controle. L’un des resultatsest la mise en evidence de phenomenes d’hysteresis : les bifurcations effectivementressenties dependent du trajet suivi dans l’espace des parametres et du point dedepart du systeme dans l’espace de phase, autrement dit de toute l’histoire dusysteme (FIG. 9.5).

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 275

Figure 9.5. Hystérésis associée à une bifurca-tion sous-critique, lorsque le paramètre de contrôlem varie. Lorsqu’on augmente m, le passage de labranche I à la branche III se produit en m0 ; lorsqu’ondiminue m, le retour de la branche III à la branche Ise produit pour une valeur mc < m0.

II

I

III

c0

Bifurcations et instabilitesLa notion de bifurcation rejoint celle, plus generale, d’instabilite. Le terme debifurcation est traditionnellement reserve aux evolutions temporelles, dans unespace de phase de dimension generalement faible, alors que le terme d’insta-bilite est employe pour des evolutions spatio-temporelles. Mais ces deux notionsrecouvrent la meme idee-cle de changement qualitatif de regime asymptotique. Ilest souvent possible de ramener l’une a l’autre, i.e. de decrire une instabilite (d’unsysteme etendu) comme une bifurcation d’une evolution purement temporelle.L’exemple des instabilites secondaires des rouleaux de convection de Rayleigh-Benard permet de degager l’idee generale, que nous retrouverons au § 2 pourjustifier le modele de Lorenz (FIG. 9.6) : elle est d’etudier la variation des para-metres de la fonction spatiale, ou spatio-temporelle decrivant l’etat du systemeavant qu’il ne se detabilise7. Le passage du seuil d’instabilite correspond alors aune bifurcation de la dynamique purement temporelle de ces parametres.

2. Le chaos déterministe

Le terme de chaos designe une evolution parfaitement deterministe et neanmoinsimpredictible a plus ou moins long terme. Pour ne mentionner que des exemplesfamiliers, que nous reprendrons en detail au § 2.1, nous citerons la fabricationde la pate feuilletee, les mouvements atmospheriques et la meteorologie qui s’ef-force de les predire (FIG. 9.6), le mouvements des boules sur une table de billard

7 Cela revient a introduire une variable collective, qui se destabilise au seuil d’instabilite et dont lecomportement domine alors la dynamique (resultat general que nous detaillerons au § 2.4).

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276 INVARIANCES D’ÉCHELLE

(FIG. 4.8), le systeme solaire, un double pendule8 (pendule dont la masse est rem-placee par un second pendule) et de nouveau la convection de Rayleigh-Benard(FIG. 9.1). Bien que les idees essentielles soient deja presentes dans les œuvres dePoincare [1892], de Lyapounov [1906] et de Birkhoff [1927], la notion de chaosne s’est vraiment developpee qu’a partir des annees 1960. L’une des raisons estqu’il est a cette epoque devenu possible de resoudre numeriquement des equationsd’evolution sans solution analytique. On mit ainsi en evidence des comportementsetranges, tellement etranges qu’ils avaient ete jusqu’alors consideres comme deserreurs de manipulation ou d’observation : le phenomene avait ete vu mais pasregarde !

2.1. Quelques exemples remarquables

MeteorologiePlusieurs decennies de recherches, dans la premiere moitie du XXe siecle, ont per-mis d’aboutir a ce qu’on esperait etre un pas decisif pour la prevision meteoro-logique : l’etablissement d’un schema complet d’equations mathematiques decri-vant l’evolution de l’atmosphere et le developpement de methodes numeriquespour les resoudre. L’avancee scientifique ne s’est pas faite dans la direction souhai-tee initialement : les predictions a long terme restent mediocres et sans aucunefiabilite. Mais la comprehension des raisons profondes de cet echec a fait emer-ger la notion-cle de sensibilite aux conditions initiales et l’impredictibilite intrin-seque qui en decoule : des conditions initiales arbitrairement voisines engendrentdes trajectoires qui finissent par ne plus avoir aucun rapport entre elles [Nicolis1991].Lorenz proposa en 1963 un modele purement temporel et de dimension 3 obtenuen reduisant les equations spatio-temporelles decrivant la convection atmosphe-rique9 : dX(t)/dt 5 s(Y −X)

dY (t)/dt 5 rX − Y −XZdZ(t)/dt 5 XY − bZ

(9.3)

ou s, r et b sont des parametres constants relies aux caracteristiques hydrody-namiques de l’atmosphere [Lorenz 1963]. Sa resolution fit apparaıtre un objetasymptotique, baptise depuis « attracteur de Lorenz » et represente sur la FIG. 9.6.C’est un exemple typique d’attracteur etrange. Non seulement sa structure est frac-tale mais la dynamique restreinte est tres complexe ; en particulier, les trajectoirespassent de facon impredictible d’une « aile » a l’autre. En codant 0 l’appartenancea l’aile droite et 1 l’appartenance a l’aile gauche, la suite de 0 et de 1 associeea une trajectoire typique suit la meme statistique qu’une suite engendree par untirage a pile ou face. C’est en ce sens qu’une evolution chaotique apparaıt commealeatoire lorsqu’on l’observe sur une longue duree, alors qu’elle est deterministeet donc parfaitement predictible aux temps courts.

8 Le caractere non lineaire des oscillateurs et/ou de leur couplage est essentiel ; deux ressorts ideaux(oscillateurs harmoniques) en serie sont equivalents a un unique ressort dont le comportement restecelui, parfaitement predictible, d’un oscillateur harmonique.9 On pourra trouver dans [Badii et Politi 1997] la derivation de ce systeme d’equations differentiellesa partir des equations hydrodynamiques (spatio-temporelles) decrivant l’evolution de l’atmosphere.

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 277

Figure 9.6. Attracteur deLorenz, pour s 5 10,r 5 28 et b 5 8/3 (avecl’aimable autorisation deH. Lemarchand et C. Vidal,La reaction creatrice,Hermann, 1988). C’estun exemple d’attracteuretrange : sa structure estfractale et la dynamique surcet attracteur est chaotique.

Systemes chimiques :

Le premier exemple d’oscillations chimiques spontanees10 a ete observe sur lareaction maintenant associee aux noms de ses « inventeurs » Belousov (1958),puis Zhabotinski (1964), qui a diffuse et valide par une etude experimentale lestravaux du premier [Pacault 1997]. Cette reaction est assez compliquee (elleimplique une quinzaine d’especes) mais l’origine du comportement oscillant peutse comprendre sur une description schematique. Une premiere reaction, lente,consomme une espece A qui bloque une seconde reaction. Celle-ci est auto-catalytique, plus rapide que la premiere mais elle produit l’espece A qui l’inhibe.La reaction 2 se produit a partir du moment ou la reaction 1 a suffisammentconsomme l’espece A ; apres un certain delai, le niveau de A, produit par cettereaction 2, est redevenu assez eleve pour la bloquer ; elle laisse alors la placea la reaction 1 « depolluante » qui ramene au point de depart, et le cycle peutrecommencer. Dans un reacteur ouvert et pour des concentrations adequates desreactifs11, ce schema conduit a des oscillations chaotiques, d’apparence aleatoirebien que le phenomene soit parfaitement decrit par un systeme d’equations cine-tiques [Lemarchand et Vidal 1988]. En partant d’une situation stationnaire et enaugmentant tres lentement la concentration des reactifs (i.e. en augmentant letaux auquel on les injecte dans le reacteur), on peut observer toute une serie debifurcations : tout d’abord une bifurcation de Hopf, correspondant a l’apparitiondes oscillations, puis une succession de doublements de periode, menant auchaos (la situation est en realite beaucoup plus riche et complexe) ; les aspectstheoriques de ce scenario seront abordes au § 2.4.

10 Elles sont spontanees au sens ou les variations temporelles observees ne sont pas simplementle reflet de variations temporelles exterieures (par exemple, un taux d’injection des reactifs variantperiodiquement).11 Soulignons que le reacteur est ici alimente en continu, (pour maintenir constantes les concentra-tions des reactifs, et agite, pour assurer l’homogeneite spatiale et eviter la formation de structures(au demeurant interessantes et fort etudiees par ailleurs) [Pacault 1997].

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278 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Un exemple biologique tres proche est le couplage en serie de deux reactions enzy-matiques auto-amplifiees12, presentant des comportements asymptotiques com-plexes, y compris du chaos [Goldbeter 1996].

Le systeme solaire :

On sait depuis Poincare que le systeme solaire, comme tout systeme compose deNcorps en interaction des que N � 3, n’est pas integrable. En reponse a la questionde la stabilite du systeme solaire, il est apparu qu’on ne peut predire l’etat dusysteme solaire au-dela d’une certaine duree T0, alors que les seules forces en jeudecoulent de la loi parfaitement deterministe de la gravitation universelle13.Cette impredictibilite est un exemple de chaos dans un systeme conservatif. Desmanifestations observables en sont :

– les variations irregulieres de l’inclinaison de l’axe de Mars, d’amplitude allantjusqu’a 60o ;

– la structure complexe et tres heterogene des anneaux de Saturne ;– la structure complexe et tres heterogene (« lacunes de Kirkwood ») de la ceinture

d’asteroıdes situee entre les orbites de Mars et de Jupiter ;– la vitesse de rotation sur lui-meme d’Hyperion (satellite de Saturne) tres rapi-

dement et tres fortement fluctuante ;– la forme irreguliere de ce satellite, due a l’ejection le long de trajectoires chao-

tiques de fragments detaches lors de collisions avec des meteorites. Sans chaos,ces fragments seraient restes a proximite du satellite et auraient fini par lerejoindre, restaurant sa forme spherique initiale ;

– la trajectoire de la comete de Halley : on note un ecart d’environ 5 ans entre ladate observee pour un de ses passages (−1403) et la date calculee par « retro-integration » numerique des equations du mouvement14 ;

– l’ecart D(t) entre les trajectoires futures possibles de la Terre : comptetenu de l’incertitude sur l’etat present cet ecart se comporte commeD(t0 1 D) 5 3D(t0), avec D de l’ordre de 5 millions d’annees ; tous les 5millions d’annees ajoutes au terme de la prediction, l’incertitude sur la tra-jectoire de la Terre autour du Soleil triple. La meme croissance exponentielledes incertitudes est vraie pour la trajectoire de Pluton, avec D de l’ordre de 20millions d’annees. On en deduit que l’etat du systeme solaire est totalementimpredictible au-dela de 100 millions d’annees.

Ces observations montrent que le le mouvement des corps celestes ne peut etreconsidere comme un modele de regularite et de perfection. L’astronomie connaıtainsi la meme limitation que les autres domaines de la physique : pour des raisonsintrinseques, la prediction des phenomenes futurs est limitee [Laskar et Froeschle1991] [Lissauer 1999].

12 Nous entendons par la que le produit de la reaction active l’enzyme et augmente le taux de reac-tion, donc la formation de produit, et ainsi de suite s’il n’y a pas d’autre mecanisme susceptible deconsommer ce produit.13 Ce ne sont pas les effets relativistes qui expliquent cette impredictibilite ; ces effets, tout commel’influence des corps situes hors du systeme solaire, peuvent neanmoins voir leurs consequencesamplifiees du fait du caractere chaotique de l’evolution et de la sensibilite aux perturbations qui luiest associee.14 Celles-ci sont reversibles, on peut donc les utiliser pour « remonter » le temps.

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 279

Billard et gaz de Lorentz

Figure 9.7. Sensibilité aux conditions initiales.L’espace de phase est ici l’espace réel (la sur-face d’une table de billard) mais l’idée se trans-pose aux trajectoires d’un espace de phaseabstrait. À gauche, rebond sur une surfaceplane, conservant l’écart entre les trajectoiresincidentes. À droite, rebond défocalisant surune surface convexe, qui amplifie l’écart d’unfacteur croissant avec la courbure de l’obstacle.

Nous avons presente sur la FIG. 4.8 lemodele du gaz de Lorentz, rendant compte duchaos moleculaire. Le mouvement chaotiqueobserve dans un billard presente la memeorigine : des collisions defocalisantes (illus-trees sur la FIG. 9.7) renforcee par le confine-ment des trajectoires dans un domaine borne.Un risque de confusion apparaıt : il s’agitici de trajectoires dans l’espace reel (le plande la table) ; l’exemple illustre neanmoinsde facon convaincante la notion de sensibi-lite aux conditions initiales que nous repren-drons en detail, quantitativement, pour destrajectoires plus abstraites, dans un espace dephase quelconque.D’autres exemples et une presentation accessible de la notion de chaos et de saportee peuvent se trouver dans [Bradbury 1998], [Croquette 1982], [Crutchfieldet al. 1987], [Dahan-Dalmedico et al. 1992], [Eckmann et Mashaal 1991], [Eke-land 1984], [Gleick 1991], [Ruelle 1991].

2.2. Description statistique et ergodicité

Du fait de la sensibilite et de l’impredictibilite des trajectoires d’une dynamiquechaotique, la seule description pertinente est une description statistique. Deuxpoints de vue sont alors possibles :1. on pourra chercher a decrire la frequence de visite d’une region donnee del’espace de phase X ; c’est a priori15 une quantite observable, en effectuant unhistogramme a partir de la trajectoire enregistree ;2. on peut aussi decrire la probabilite de presence du systeme dans l’espace dephase a un instant donne. En termes mathematiques, cette ponderation des diffe-rentes regions de X s’appelle une mesure (sur X ) [Halmos 1958]. Si on ne s’in-teresse qu’au regime stationnaire observe aux temps longs, en laissant de cote lesregimes transitoires, on etudiera les mesures invariantes par rapport a l’evolution :m est invariante sour l’action de f si pour toute partie A de X , A et ses imagesreciproques f−1

t (A) ont la meme mesure : ∀t, m[f−1t (A)] 5 m(A).

Une telle mesure est adaptee a la dynamique, au sens ou la ponderation associeene change pas au cours du temps ; elle va decrire, de facon globale, un regimestationnaire du systeme. Il existe generalement plusieurs mesures invariantes. Leprobleme pour le physicien est alors de determiner quelle est la mesure qui va

15 Cette reserve est liee au fait que le signal Z(t) enregistre est generalement scalaire, alors quel’espace de phase X peut etre de dimension bien superieure a 1 ; il faut alors utiliser une procedurede reconstruction de la trajectoire z(t) ∈ X dont le signal derive (Z(t) 5 f[z(t)] ou f est lafonction de mesure). L’idee sous-jacente est que chaque variable est affectee par l’ensemble desautres et contient de ce fait des informations sur la dynamique globale du systeme. La procedure laplus couramment employee est la methode des delais, ou l’on considere la trajectoire reconstruite an 1 1 composantes : [z(t),z(t − t), . . . ,z(t − nt)]. Nous renvoyons a [Abarbanel 1996], [Eckmannet Ruelle 1985] et a l’article original [Takens 1981] pour une discussion de cette procedure, enparticulier du choix de ses parametres t et n.

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decrire le regime asymptotique observe, etant donne un ensemble de conditionsinitiales. La description statistique de la dynamique donne la reponse : on peut eneffet decrire comment se transforme la probabilite de presence initiale (dans X )au cours de l’evolution, et la mesure invariante pertinente m∞ sera celle obtenueasymptotiquement.Le lien entre ces deux points de vue est fourni par le theoreme ergodique de Birkhoff[Birkhoff 1931]. Celui-ci enonce16 l’egalite de la moyenne temporelle et de lamoyenne statistique par rapport a la mesure m∞ dans X , a condition que cettemesure soit invariante et ergodique par rapport a l’evolution. Ce theoreme exigedonc une qualite supplementaire : l’ergodicite de la mesure m∞. On dit qu’unemesure invariante m∞ est ergodique17 (par rapport au flot ft) si tout ensembleinvariant A (i.e. tel que ft(A) ⊂ A pour tout t) est de mesure nulle (m∞(A) 5 0)ou pleine (m∞(X −A) 5 0) [Halmos 1959].Plus qualitativement, l’ergodicite signifie que X ne peut se decomposer en deuxparties invariantes disjointes de mesure strictement positives, autrement dit qu’iln’existe pas deux ensembles d’etats qui evolueraient separement, sans jamais com-muniquer. Presque toutes les trajectoires presentent les memes proprietes statis-tiques temporelles, qui peuvent etre obtenues par des moyennes d’ensemble parrapport a la mesure invariante m∞. Reciproquement, connaıtre une trajectoiretypique suffit a reconstruire la mesure invariante ; une telle trajectoire est ainsirepresentative de n’importe quelle autre trajectoire typique.

2.3. Les ingrédients essentiels

Les modalites du chaos sont assez differentes suivant que le systeme physique estconservatif ou dissipatif. Le premier cas est le domaine des systemes hamiltoniens,pouvant manifester des comportements chaotiques lorsqu’ils sont non integrables(par exemple N � 3 corps en interaction). Le second cas se ramene a l’etudede l’attracteur du systeme, attracteur qualifie d’etrange lorsque le systeme estchaotique, du fait de la complexite de sa structure et des proprietes specifiques dela dynamique restreinte a l’attracteur.

Transformation du boulangerL’un des modeles les plus simples pour comprendre quels sont les ingredientsessentiels du chaos deterministe est la transformation du boulanger, ainsi appe-lee parce qu’elle reproduit schematiquement la transformation topologique subiepar la pate a pain lorsqu’on la petrit :

(x,y) B−→{

(2x,y/2) si x � 1/2(2x− 1,(y 1 1)/2) si x > 1/2 (9.4)

Il est immediat de verifier que B est bijective du carre [0,1[3 [0,1[ dans lui-meme, ce qui correspond a une evolution reversible. La facon dont elle transforme

16 Il s’enonce plus precisement :Pour toute trajectoire issue d’un point x0 appartenant a un sous-ensemble X0 de X de

mesure pleine (c’est-a-dire tel que m∞(X − X0) 5 0) et pour toute observable F , on a :limt→∞ 1

t

R t0 F (fs(x0))ds 5

RX F (x)dm∞(x).

17 Soulignons que l’ergodicite est une propriete du couple forme par l’evolution ft et la mesure inva-riante m∞ ; neanmoins, on emploie souvent les raccourcis de « mesure ergodique » ou d’« evolutionergodique » lorsqu’il n’y a pas d’ambiguıte sur le partenaire.

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 281

les differentes regions de ce carre est visualisee sur la FIG. 9.8. Elle possede troisproprietes remarquables, qui s’averent caracteristiques de tous les systemes dyna-miques chaotiques :

1. elle possede une direction dilatante, l’axe Ox, suivant laquelle la dynamiquedouble les distances. Elle possede aussi une direction contractante, l’axe Oy, sui-vant laquelle la dynamique diminue les distances d’un facteur 2 ; cette directionOy devient dilatante si on renverse le sens du temps ;

2. elle melange les points. Il suffit par exemple de regarder l’evolution des pointsM 5 (2−n 1 e,2−k 1 h) et N 5 (2−n − e,2−k − h), pour e et h arbitrairementpetits. Au bout d’un temps assez long, independant de h, se comportant commelog(1/e), les trajectoires de M et de N sont completement separees. Cette pro-priete de melange est d’ailleurs utilisee en pratique pour le melange de materiauxgranulaires18 ;

3. elle possede une infinite d’orbites periodiques19, de periodes arbitrairementgrandes (et donc une infinite de temps caracteristiques, arbitrairement longs).Un modele « minimal » d’evolution chaotique est la projection sur la direction dila-tante Ox de cette transformation du boulanger ; l’evolution ainsi reduite20 s’ecritf(x) 5 2x (modulo 1), ou bien f(x) 5 Frac(2x) ou Frac designe la partie fraction-naire. Nous la prendrons souvent comme exemple par la suite.

x

y

x

y

Figure 9.8. Transformation du boulanger illustrant les mécanismes à l’origine du chaos : l’évolution dilate les dis-tances d’un facteur b > 1 suivant x, les contracte d’un facteur a < 1 suivant y, et « replie » le résultat. L’évolutionconserve les aires si ab 5 1 (ici a 5 1/2 et b 5 2). Si ab < 1, l’évolution est dissipative et l’attracteur est fractal(de type cantorien) dans la direction y et régulier dans la direction x.

18 Une propriete remarquable des melanges de differents types de grains est que tout mouvement devibration ou de rotation conduit a la segregation des especes. On ne peut donc pas ameliorer l’homo-geneite du melange en le secouant, comme on le fait pour une suspension ou une emulsion. L’ideeest d’inclure les grains a melanger dans une pate neutre, a laquelle on fait subir la transformationdu boulanger. On s’arrange ensuite pour faire disparaıtre la pate ou bien on utilise une pate qui neperturbe pas l’utilisation ulterieure du melange granulaire.19 On peut toujours ecrire les points (x,y) du carre [0,1] 3 [0,1] sous la forme suivante (develop-pement dyadique) : x 5

P∞n50 2−(n11)sn et y 5

P∞n51 2−ns−n ou sn 5 0 ou 1. On verifie que

faire agir B sur (x,y) revient a decaler les indices de la suite [s] : la suite [s′x] associee a B(x,y)est donnee par s′n 5 sn11 (shift). Il s’ensuit que les points (x,y) pour lesquels sn1N 5 sn pourtout entier relatif n et N fixe arbitrairement, auront une trajectoire periodique de periode N sousl’action de B.20 Notons que cette projection sur la direction instable est la seule conduisant a une dynamiquereduite qui soit fermee et deterministe ; l’operation de projection transforme neanmoins l’evolutionreversible d’origine en une evolution reduite irreversible [Dorfman 1999].

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282 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Sensibilite aux conditions initiales

Les exemples cites au § 2.1 montrent qu’une des raisons pour lesquelles une dyna-mique deterministe est impredictible a long terme est la sensibilite aux conditionsinitiales, autrement dit, le fait que la dynamique amplifie exponentiellement leserreurs ou les perturbations. Une incertitude e0 sur l’etat initial devient egalea et 5 e0e

gt apres une duree t. Le reel positif g est une caracteristique glo-bale de la dynamique qu’on appelle un exposant de Lyapounov21. Cet exposantfournit un temps caracteristique de l’evolution : 1/g donne l’echelle de tempsa laquelle deux trajectoires initialement voisines se separent (leur distance estmultipliee par e ≈ 2,718 tous les Dt 5 1/g) [Lyapounov 1906]. Nous avons parexemple mentionne ci-dessus, sans les nommer ainsi, les exposants de Lyapounov(g 5 (log 3)/D) du systeme solaire. Les exposants de Laypounov de la transforma-tion du boulanger sont log b > 0 et log a < 0. Revenons egalement sur l’exempledes predictions meteorologiques. L’amelioration probable des appareils d’observa-tion va changer d’un facteur a < 1 la precision avec laquelle on peut mesurer l’etatinstantane de l’atmosphere. La consequence de cette amelioration est d’augmen-ter la duree sur laquelle on peut faire des predictions fiables. Cette duree devientT ′

0 ou egT0 5 a egT′0 , c’est-a-dire T ′

0 − T0 5 g−1 ln(1/a) ou g est l’exposant de Lya-pounov maximal de la dynamique atmospherique. Par exemple, multiplier par 100le nombre de cellules dans le quadrillage de la surface terrestre suivant lequel lessatellites meteorologiques realisent le releve des parametres atmospheriques, i.e.diminuer d’un facteur 10 la resolution sur les conditions initiales, n’augmenterala fiabilite de la prediction que de la duree ln 10/g.Nous venons d’attribuer l’impredictibilite a l’imprecision subjective sur les condi-tions initiales. Elle paraıt ainsi ne refleter qu’une faiblesse de nos moyens de per-cevoir le phenomene dans toute sa finesse et ne pas remettre en cause le vieux revede Laplace de « calculer le monde ». C’est oublier qu’a l’incertitude sur la mesurede l’ensemble fini d’observables choisi pour decrire l’etat du systeme s’ajoutenta chaque pas de temps les perturbations dues a l’influence de tous les degres deliberte non pris en compte dans la description. Ce « bruit » est faible, mais il estamplifie par la dynamique chaotique et contribue notablement a l’impredictibilite.

Alimentee par (au moins) cette source d’incertitude, une dynamique comme uneincontournable source de stochasticite.Ajoutons que si le systeme possede plusieurs attracteurs, meme ses proprietes sta-tistiques (asymptotiques) sont impredictibles. Il faudrait connaıtre precisementle bassin d’attraction (lieu des points dont la trajectoire rejoint asymptotique-ment l’attracteur) des differents attracteurs, et pour chaque observation, le bassinauquel appartient la condition initiale, pour pouvoir faire une quelconque predic-tion.

21 Cette relation et 5 e0egt est approchee : elle n’est pas valable aux temps courts, du fait de

l’influence du regime transitoire et des caracteristiques locales de la dynamique ; elle n’est pas nonplus valable aux temps longs si l’espace de phase (ou l’attracteur, le cas echeant) est borne ce qui« replie » les trajectoires. Elle ne peut donc pas etre consideree comme la definition d’un exposantde Lyapounov – quantite globale et aymptotique – mais seulement comme une interpretation simpleet intuitive de cette quantite.

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 283

Definition des exposants de LyapounovEnvisageons tout d’abord une loi d’evolution f pour tout point x0 ∈ X , on construit :

g(f ,x0)5 lim infn→∞

log�|(fn)′(x0)|

1n

�5 lim inf

n→∞

1n

X06j<n

log |f ′(f j(x0))| (9.5)

L’invariance g(f ,x0) 5 g[f ,f(x0)] assure que g(f ,.) est m-presque partout constant,egal a g(f ,m) pour toute mesure m invariante et ergodique sous l’action de f . Letheoreme ergodique de Birkhoff (§ 2.2) prouve alors l’existence de la limite et donnesa valeur :

g(f ,m) 5ZX

log |f ′(x)|dm(x) (9.6)

On aura autant d’exposants que de mesures invariantes et ergodiques sous l’action def . En general, g(f ,m) ne s’exprime pas de facon simple a partir de f , ce qui traduitle fait que g(f ,m) n’est pas une caracteristique de f mais une caracteristique globaledu flot qu’elle engendre. La dynamique est chaotique si g(f ,m) > 0.Pour un flot continu ft(x) dans X ⊂ R, l’exposant de Lyapounov est defini par :g(f,m) 5 limT→∞ log |f′

T (x)|, pour tout x ∈ Xm, ou m est une mesure invarianteergodique et ou Xm ⊂ X est de mesure pleine (i.e. m(X − Xm) 5 0).Decrivons brievement la generalisation a un systeme dynamique discret de dimensiond > 1. Le theoreme d’Osedelec assure qu’il existe22 q 6 d exposants de Lyapounovg1 > . . . > gq (au total d si on les compte avec leur multiplicite), definis commeles valeurs propres de la limite limn→∞[Dfn(x)†Dfn(x)]1/2n ou † indique la trans-position ; cette matrice limite est independante de x (generique) d’apres le theo-reme ergodique. La dynamique est chaotique si au moins g1 est strictement positif.La situation peut etre decrite plus precisement : pour presque tout x, il existe unefamille [Ei(x)]16i6q de sous-espaces « emboıtes » les uns dans les autres (Ei11 ⊂ Ei),tels que [Guckenheimer et Holmes 1983] [Eckmann et Ruelle 1985] :

limn→∞

1n

log ||Dfn(x).u|| 5 gi si u ∈ Ei(x)− Ei11(x) (9.7)

E1 est l’espace (de dimension d) tangent en x a l’espace de phase. Le point a retenirest qu’apres n pas (n � 1/g1), l’ecart initialement egal a u (i.e. x0 − y0 5 u) secomporte generiquement comme eng1 (i.e. ||xn − yn|| ∼ eng1 ). Il n’y a que si u ∈ E2

qu’on observe g2, et il faut des ecarts initiaux u de plus en plus particuliers pourobserver les exposants suivants. Si on se limite aux comportements generiques, c’estl’exposant de Lyapounov maximal g1 qui decrit, a lui seul, la propriete de sensibiliteaux conditions initiales.

Melange

L’amplification des ecarts initiaux et des perturbations ne suffit pas a engendrerdu chaos ; il faut ajouter un mecanisme de melange comme nous allons le voir encomparant trois systemes dynamiques discrets.

22 Il faut ajouter une condition technique, exigeant que la loi d’evolution f soit continuement diffe-rentiable et de differentielle Holder-continue.

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284 INVARIANCES D’ÉCHELLE

2x

2x(mod. 1)

xt = 0

t = 1

Figure 9.9. Dilatation d’un facteur 2 et replie-ment superposant les images de x et x 1 1/2,à l’origine du caractère chaotique de l’évolu-tion engendrée par la transformation x → 2x(modulo 1).

f(x)

x

Figure 9.10. Dilatation inhomogène (fac-teur |a(1 − 2x)|) et repliement superposantles images de x et 1 − x, à l’origine ducaractère chaotique de l’évolution engendréepar l’application logistique ax(1 − x) poura > ac 5 3,58 (graphe en trait épais).

• La transformation x → 2x sur Ramplifie les perturbations d’un facteur 2 achaque pas, mais aucun mecanisme de rein-jection ne melange les trajectoires. La rela-tion d’ordre entre differentes conditions ini-tiales est preservee a tous les instants ulte-rieurs, de meme que les distances relatives(zt − yt)/(xt − yt) 5 (z0 − y0)/(x0 − y0).La dynamique reste ainsi parfaitement predic-tible.• A l’oppose, l’evolution engendree parx → x 1 a (modulo 1) possede un meca-nisme de reinjection dans [0,1] mais n’ampli-fie pas les erreurs. Bien que les images suc-cessives d’un point se melangent, l’ecart entredeux trajectoires reste inchange au cours dutemps : pour tout t, xt − yt 5 x0 − y0. Cettetransformation, associee a la rotation d’angle2pa sur le cercle unite, n’est donc pas chao-tique.• Considerons enfin la transformationx −→ 2x (modulo 1), qui peut aussi s’ecrirex −→ Frac(2x) ou Frac designe la par-tie fractionnaire. Sur le cercle unite, cettetransformation correspond au doublement del’angle. On peut aussi l’envisager comme laprojection de la transformation du boulan-ger sur sa direction dilatante Ox. L’evolutioninduit a la fois un gain et une perte d’infor-mation : d’une part, a chaque pas, chaquetrajectoire fusionne avec une autre puisquef(x) 5 f(x 1 1/2) ; d’autre part, a resolu-tion e fixee, on separe les conditions initiales :x0 et x0 1 e, confondues a t 5 0, ne le sontplus a t 5 1. La conjonction de ces deux effetscontraires induit un mecanisme de melangedes trajectoires et une telle dynamique estchaotique.Pour resumer, c’est la conjonction d’une dyna-mique dilatante dans certaines directions del’espace de phase et d’un mecanisme de« repliement » assurant la reinjection des tra-jectoires dans une region bornee de l’espacede phase qui produit le caractere melangeantassocie aux evolutions chaotiques, et recon-cilie leur nature deterministe et leur appa-rence aleatoire. Ce principe est illustre sur lesFIGS. 9.9 et 9.10.

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 285

Attracteurs etranges et orbites periodiques instables

Dans le cas des systemes dissipatifs, un attracteur sur lequel la dynamique presenteles proprietes de sensibilite aux conditions initiales et de melange est qualified’etrange23 [Ott 1981].Mais pour etre complets, nous devons mentionner un troisieme ingredient neces-saire pour obtenir du chaos : l’evolution doit posseder une infinite d’orbites perio-diques instables. Elles contribuent au caractere chaotique en favorisant la suc-cession de regimes de temps caracteristiques tres differents, les periodes de cestrajectoires pouvant prendre des valeurs arbitrairement grandes. La consequenceen est une absence d’echelle caracteristique de la dynamique : la moindre fluctua-tion fait passer du voisinage d’une orbite periodique instable au voisinage d’uneautre orbite de periode tres differente, ce qui explique que le systeme reagisse auxperturbations de facon impredictible et a toutes les echelles temporelles [Peitgenet al. 1992]. En particulier, un attracteur etrange contiendra une infinite de cestrajectoires periodiques instables.

Controle du chaos :On peut vouloir, dans certaines situations concretes, eviter d’avoir un comportementchaotique. Pour les systemes dissipatifs dont la dynamique asymptotique est la dyna-mique restreinte a un attracteur, une methode introduite par Ott, Grebogi et Yorke[1990] sous le nom de « controle du chaos » realise cet objectif. Son principe reposesur le fait qu’un attracteur etrange contient non seulement des trajectoires chao-tiques denses, mais aussi une infinite de trajectoires fermees, donc periodiques, maisinstables. Ces chercheurs ont montre qu’il etait possible, en appliquant une pertur-bation tres particuliere, ajustee a chaque pas de temps, (en pratique, une successionde modifications du parametre de controle, calculees d’un pas de temps sur l’autre),de stabiliser l’une quelconque de ces orbites periodiques instables. Une fois la tech-nique maıtrisee, le chaos, i.e. l’existence d’un attracteur etrange, est un atout du faitde l’existence de ces trajectoires periodiques. Comme elles ont des caracteristiquestres differentes, il est possible de selectionner celle ayant une forme et une periodevoulues, et de la stabiliser par la perturbation adaptee. Le controle du chaos permetainsi non seulement de remplacer un comportement chaotique par un comportementperiodique, mais aussi de moduler de facon tres souple et tres rapide les caracteris-tiques du regime periodique obtenu.

2.4. Transition vers le chaos

Un ensemble de resultats remarquables montre que l’apparition du chaos se faitsuivant des scenarios universels ; on resume ainsi le fait que le passage d’un com-portement regulier a un comportement chaotique se produit suivant une succes-sion bien determinee d’evenements qualitatifs (des bifurcations dans le cas dessystemes dissipatifs) [Berge et al. 1984]. Nous presenterons dans ce paragraphe la

23 La definition exacte d’un attracteur etrange est d’etre un attracteur compact contenant une tra-jectoire (ou orbite) « homocline » , c’est-a-dire une trajectoire issue d’un point dit « homocline » situea l’intersection de la variete stable et de la variete instable d’un point fixe de type selle [Guckenhei-mer et Holmes 1983]. La complexite dynamique de telles trajectoires, dont on verifie facilement quetous les points sont homoclines, avait deja ete soulignee par Poincare [Ekeland 1984].

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286 INVARIANCES D’ÉCHELLE

transition vers le chaos dans les systemes hamiltoniens (theoreme KAM), le scena-rio de Ruelle et Takens associe a l’apparition d’attracteurs etranges et le scenariodu doublement de periode ; les comportements intermittents et les lois d’echelletemporelles qu’ils manifestent seront decrits dans le paragraphe § 4.

Transition vers le chaos dans les systemes hamiltoniensCommencons par le cas des systemes conservatifs, d’evolution hamiltonienne(donc de dimension paire 2n). On part d’une situation reguliere, en l’occurrenceune dynamique associee a un hamiltonien integrable H0, c’est-a-dire pour laquellele systeme possede n constantes du mouvements I1 . . . In (des « integrales pre-mieres »). Le passage en coordonnees action-angle (I1, . . . ,In,u1, . . . ,un) rameneles equations d’evolution a l’ensemble [

.Ij 5 0,

.uj 5 vj(I1, . . . ,In) 5 cte]. Cela

montre que l’evolution est dans ce cas quasi periodique : les trajectoires sontdecrites par des fonctions de la forme t → F(v1t 1 w1, . . . ,vnt 1 wn). Elless’inscrivent sur des tores invariants de dimension n, parametres par les invariantsI1, . . ., In et sur lesquelles elles « s’enroulent » avec des vitesses angulairesv1, . . . ,vn, autrement dit avec des periodes 2p/v1, . . ., 2p/vn. On etudie l’ap-parition de dynamiques plus complexes en ajoutant a H0 une perturbation nonintegrable : H 5 H0 1 eV . Un ensemble de theoremes dus a Kolmogorov, Arnoldet Moser decrivent rigoureusement ce qu’on observe lorsqu’on augmente e : lestores invariants vont se deformer et petit a petit disparaıtre, dans un ordre bienetabli, universel, dependant des proprietes arithmetiques des rapports v1/vn, . . .,vn−1/vn mais independant de la forme de la perturbation V [Guckenheimer etHolmes 1983]. Les tores pour lesquels ces rapports sont rationnels disparaissentdes que e > 0. Plus ces rapports sont irrationnels24, plus le tore invariant associepersistera (mais deforme) pour de grandes valeurs de e. Il existe ainsi un lienremarquable entre les proprietes dynamiques de stabilite du mouvement et lesproprietes arithmetiques de ses frequences propres. Si n 5 2, la derniere surfaceinvariante a disparaıtre est celle pour laquelle v1/v2 5 s 5 (

√5 − 1)/2, l’une

des propriete du nombre d’or s etant d’etre le reel « le plus irrationnel » [Lesne1995]. Les tores invariants se comportent comme des frontieres que ne peuventtraverser les autres trajectoires et ils vont donc partitionner l’espace de phase.Leur disparition progressive s’accompagne de l’apparition de trajectoires com-plexes pouvant explorer de facon erratique des regions de plus en plus etenduesde l’espace de phase et caracterisees par un exposant de Lyapounov positif. Poure petit, ces regions chaotiques sont tres localisees car elles sont piegees entreles surfaces invariantes sur lesquelles le mouvement reste quasi-periodique. Cesregions s’etendent a mesure que e augmente, ce qui accroıt le caractere chao-tique de la dynamique observee puisque les trajectoires sont de moins en moinslocalisees. Le regime devient totalement chaotique apres disparition du dernier

24 Le degre d’irrationnalite d’un nombre reel r ∈ [0,1] peut etre quantifie en etudiant ses approxi-mations rationnelles : pour chaque entier q, on note pq,r/q la meilleure approximation de r par unrationnel de denominateur q. On peut alors definir des sous-ensembles Fa de [0,1], contenant lesreels r tels que |r − pq,r/q| 6 q−a pour une infinite d’entiers q. On montre (theoreme de Dirichlet)que F2 5 [0,1] et que pour tout a > 2, Fa est une fractale de dimension 2/a (theoreme de Jarnik).Ces ensembles sont emboıtes : Fa2 ⊂ Fa1 si a1 < a2. Plus a est grand, plus les elements de Fa

sont « bien approches » par des rationnels. En determinant a quels ensembles Fa appartiennent lesrapports v1/vn, . . ., vn−1/vn, on determine l’ordre dans lequel les tores invariants associes vontdisparaıtre [Falconer 1990].

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 287

tore invariant. Ce type de « chaos hamiltonien » est celui qu’on observe dans lesysteme solaire. Bien qu’il presente les memes caracteristiques de sensibilite auxconditions initiales et de melange, il est tres different du chaos observe dansles systemes dissipatifs du point de vue de sa localisation et de sa geometriedans l’espace de phase. En effet, dans les systemes dissipatifs, decrire le regimeasymptotique revient a decrire la dynamique restreinte a l’attracteur, et c’est dansla geometrie de cet attracteur que se reflete le caractere chaotique de l’evolution.Au contraire, la notion d’attracteur n’existe pas dans les systemes conservatifset la mesure invariante reste le volume naturel de l’espace de phase. L’image aretenir pour la transition vers le chaos dans ces systemes est ainsi une croissancede regions de l’espace de phase ou les trajectoires manifestent un comportementchaotique.

Scenario de Ruelle et TakensCe scenario concerne les systemes dynamiques dissipatifs et il decrit les condi-tions d’apparition d’un attracteur etrange. Ruelle et Takens ont montre qu’unmecanisme general est une succession de trois bifurcations de Hopf de frequencesincommensurables. La premiere bifurcation fait passer d’un etat d’equilibre a uncycle limite ; la seconde fait apparaıtre un regime quasi periodique a deux fre-quences. Apres la troisieme, le regime asymptotique est en general25 un attracteuretrange. Plus precisement, le resultat de Ruelle et Takens enonce qu’un regimequasi periodique a trois frequences incommensurables n’est pas une situationgenerique au sens ou la moindre perturbation le destabilise. Au contraire, l’exis-tence d’un attracteur etrange est une propriete robuste (structurellement stable)en ce sens qu’elle n’est pas detruite par l’ajout d’un terme supplementaire, autre-ment dit par l’irruption d’une nouvelle influence, dans la loi d’evolution [Ruelle etTakens 1971] [Newhouse et al. 1978]. Nous retiendrons qu’il suffit qu’un systemetraverse trois bifurcations de Hopf quand on augmente son parametre de controlepour qu’il puisse presenter un comportement chaotique associe a un attracteuretrange. Ce scenario peut etre mis en evidence experimentalement dans des expe-riences de convection en geometrie confinee [Mannevile 1991] ou dans la reactionde Belousov-Zhabotinski [Argoul et al. 1987]. La caracterisation peut se faire parune analyse spectrale du phenomene : la premiere bifurcation de Hopf se mani-feste par un pic en v1 (et des pics plus faibles correspondant aux harmoniques) ;la seconde bifurcation de Hopf se traduit par l’apparition d’un pic en v0 (et desharmoniques). La troisieme bifurcation de Hopf, conduisant au chaos, va se tra-duire par la transformation du spectre de raies en spectre chaotique : le spectreest a bande large, allant jusqu’aux plus basses frequences, et ne presente plus depics notables.Ce scenario, bien que non quantitatif, a constitue une avancee conceptuellemajeure car il a bouleverse l’image qu’on se faisait des regimes turbulents. La

25 La difficulte mathematique du theoreme est de preciser le terme « en general » ce qui requiertd’envisager un espace de systemes dynamiques et de le munir d’une topologie [Eckmann 1981].La stabilite structurelle d’un mouvement quasiperiodique t → F(v1t 1 w1, . . . ,vnt 1 wn) a nperiodes depend de la classe de perturbations consideree. On a instabilite structurelle des n 5 3si les perturbations sont seulement astreintes a etre deux fois continuement differentiables (classeC2), alors que l’instabilite apparaıt a partir de n 5 4, si on se limite aux perturbations infinimentdifferentiables (classe C∞). Le regime quasi periodique peut alors etre remplace par un attracteuretrange.

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288 INVARIANCES D’ÉCHELLE

vision anterieure, due a Landau, exigeait la destabilisation d’une infinite de modespour que l’evolution prenne une apparence erratique et soit impossible a predirea long terme. En consequence, on pensait que le chaos ne pouvait apparaıtre quedans des systemes ayant une infinite de degres de liberte. Le scenario de Ruelleet Takens a bouleverse ce dogme en montrant que le couplage non lineaire de 3modes incommensurables suffisait pour obtenir un tel comportement [Ruelle etTakens 1971]. Le chaos deterministe a ainsi ete propose par ces auteurs commeune explication possible des regimes « faiblement turbulents » observes juste apresla destabilisation du regime laminaire. On parle aujourd’hui de chaos lorsque lesysteme est de basse dimension (ou que la dynamique essentielle se ramene a unsysteme de basse dimension) et de turbulence (developpee) lorsque le systemepresente un grand nombre de modes essentiels instables (§ 5).

Chaos, dimension 3 et theoreme de Ruelle et TakensLe resultat de Ruelle et Takens est souvent formule de facon incorrecte, en invo-quant la dimension d de l’espace de phase. Son enonce exact (mais simplifie) est :dans un systeme dissipatif, 3 modes (incommensurables) instables conduisent gene-riquement au chaos (existence d’un attracteur etrange). L’exemple de l’attracteur deLorenz montre par ailleurs qu’on peut observer du chaos dans un espace de phasede dimension d 5 3 ; en revanche, toutes les dynamiques sont predictibles dans unespace de phase de dimension d 5 2, car chaque trajectoire se comporte comme unefrontiere etanche pour les autres. Une dimension d > 3 est donc une condition neces-saire pour observer du chaos, mais cette condition n’a rien a voir avec le resultat deRuelle et Takens. Aucune condition sur la dimension d n’est requise pour les systemesdynamiques discrets : l’application logistique presente du chaos des d 5 1. Cela n’arien d’incoherent si l’on se souvient qu’un systeme dynamique discret est typique-ment obtenu par section de Poincare d’un systeme dynamique continu de dimensionsuperieure. L’ordre dans lequel les images successives par x → 1 − mx2 (m > mc)se placent sur [−1,1] montrent qu’elles ne peuvent provenir d’une trajectoire plane(celle-ci devrait se recouper) d’ou une dimension au moins egale a 3 pour les even-tuels systemes dynamiques continus associes.

Scenario du doublement de periode

Ce scenario, egalement appele cascade sous-harmonique, est le plus remarquablepar son universalite et donc par son pouvoir predictif. Il est abondamment traitedans la litterature, aussi nous ne mentionnerons que les idees essentielles [Man-neville 1991] [Peitgen et al. 1992] [Lesne 1995].Dans ce scenario, le passage d’une situation ou le systeme physique se stabilisedans un etat d’equilibre (point fixe stable) a une situation ou le regime asympto-tique est chaotique se fait par une succession de « doublements de periode » (desbifurcations de doublement). A mesure qu’on augmente le parametre de controlem, le point fixe stable va laisser la place, en m 5 m0, a un cycle ayant une certaineperiode T (le point fixe existe toujours pour m > m0 mais il est alors instable).Puis, en m 5 m1, ce cycle va a son tour se destabiliser et etre remplace par unautre cycle stable de periode 2T . Et ainsi de suite : le cycle stable de periode2j−1T observe pour m < mj va se destabiliser en m 5 mj ; il apparaıt simultane-ment un cycle stable de periode double 2jT qui devient l’attracteur pour m > mj .

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 289

Le premier point remarquable est le fait que les doublements de periode se suc-cedent indefiniment. La suite croissante (mj)j�0 des valeurs de bifurcation tendvers une limite mc. En m 5 mc, on observe l’apparition d’un regime chaotique [May1976]. Le second point, encore plus remarquable, est l’universalite de ce scena-rio. Les valeurs de bifurcation (mj)j�0 sont specifiques au systeme considere, dememe que leur limite mc. Par contre, l’accumulation de ces valeurs en mc suit uneprogression geometrique :

limj→∞

mj11 − mj

mj12 − mj115 d ⇐⇒ mc − mj ∼ d−j

ou d est un nombre universel : d 5 4,66920 . . . [Feigenbaum 1978]. Cela signifiequ’il est identique pour tous les systemes dans lesquels on observe cette accumu-lation de doublements de periode conduisant au chaos : une analogie qualitativeentre des comportements entraıne ici une analogie quantitative. Ce scenario estparticulierement populaire pour les raisons suivantes :• il est facilement observable numeriquement, par exemple sur le systeme dyna-mique discret de loi d’evolution fm(x) 5 1 − mx2 ou sur le systeme equivalentga(x) 5 ax(1−x) [Korsch et Jodl 1998] ; le diagramme de bifurcation correspon-dant est represente sur la FIG. 9.11 ;

0,5

– 0,5

– 1

0

0 0,5 1,51 2

Figure 9.11. Diagramme de bifurcation de l’application logistique f(x) 5 1 − mx2. On place en abscisse leparamètre m et en ordonnée l’attracteur. On voit nettement l’accumulation de doublements de période conduisant auchaos en mc ≈ 1.4011550. Cette structure est souvent nommée « arbre de Feigenbaum ».

• il est aussi appele cascade sous-harmonique car dans l’espace des frequences,chaque bifurcation correspond a l’apparition d’une frequence moitie (sous-harmonique) ; c’est d’ailleurs le critere experimental le plus simple et le plusfiable pour le mettre en evidence. Pour mj < m < mj11, le spectre comprendrades pics en v 5 v0, v1 5 v0/2,. . ., vj 5 v0/2j . En m 5 mj11, apparaissent desraies spectrales en vj11 5 vj/2 refletant le doublement de periode du regimeasymptotique. Le spectre observe au seuil du chaos, en m 5 mc, est un spectrelarge, ce qui reflete l’apparence aleatoire d’une dynamique chaotique ;• il est observe dans de nombreuses situations experimentales (par exempledans la convection de Rayleigh-Benard [Libchaber et Maurer 1980] ou la reaction

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290 INVARIANCES D’ÉCHELLE

de Belousov-Zhabotinski [Lemarchand et Vidal 1988]) et les mesures tendent aconfirmer l’universalite du scenario et la valeur de d ;• il est completement decrit et compris analytiquement. On sait caracteriserles familles a un parametre (fm)m de systemes dynamiques qui vont presenter uneaccumulation de doublements de periode, puis montrer par une methode de renor-malisation, l’universalite de l’exposant d et calculer sa valeur. Ces familles formentla classe d’universalite du scenario [Tresser et Coullet 1978] [Collet et Eckmann1980]. On peut mettre en evidence d’autre classes d’universalite, determinees parla regularite de la famille au point critique x 5 0 : si le comportement est en |x|11eau voisinage de 0 (et que la famille satisfait les conditions necessaires a l’observa-tion d’une accumulation de doublements de periode), on observe un exposant de,que l’on sait determiner de facon perturbative pour e assez petit.A condition de remplacer les variables spatiales par la variable temporelle, on voitici apparaıtre une analogie fructueuse entre la transition vers le chaos et les transi-tions de phase critiques, conduisant a transposer les methodes d’etude par renor-malisation pour acceder aux proprietes d’invariance d’echelle des phenomenesenvisages [Lesne 1995].

2.5. Portée et limites de la notion de chaos

Abondance des comportements chaotiques

Les ingredients du chaos sont presents dans toutes les dynamiques dont l’actionelementaire se compose d’une dilatation dans certaines directions et d’un replie-ment (Figs. 9.9 et 9.10). Cet argument qualitatif, complete dans le cas dissipatifpar celui de la stabilite structurelle des attracteurs etranges demontree par Ruelleet Takens (§ 2.4), explique l’omnipresence des comportements chaotiques. Outreles exemples physiques que nous avons mentionnes au cours de ce paragraphe,nous pouvons citer d’autres exemples dans le domaine de la biologie :

– un exemple historique est fourni en dynamique des populations par l’applicationlogistique et les modeles plus raffines qui en sont issus [May 1976, 1991] ;

– le rythme cardiaque normal est chaotique, et la disparition du chaos traduitune pathologie, ce qui a conduit a introduire plus generalement la notion de« pathologie dynamique » (dynamical disease) [Glass 2001] ;

– les reactions enzymatiques et les oscillateurs biochimiques qui en decoulentpeuvent manifester des comportements chaotiques (oscillations glycolytiques,oscillations calciques) [Goldbeter 1996].

Notons cependant que les comportements chaotiques peuvent etre moins fre-quents dans la realite qu’ils ne le sont au niveau des modeles. En effet, alors que lechaos est robuste vis-a-vis d’une faible perturbation deterministe, il est plus sen-sible aux perturbations stochastiques : le bruit, en detruisant la structuration duflot dans l’espace de phase, detruit par la-meme les proprietes chaotiques.

Analyse de signaux chaotiques

L’une des retombees peut-etre les plus fructueuses de la theorie du chaos est l’en-semble des methodes « d’analyse non lineaire » du signal, exploitant les notionsintroduites pour decrire le chaos, afin d’obtenir des informations quantitatives sur

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 291

la dynamique observee [Kantz et Schreiber 1997]. Les indices issus de la theoriedu chaos (exposants de Lyapounov, par exemple, ou dimension fractale de l’attrac-teur) revelent les changements de la dynamique sous-jacente. Ils sont par exempleutilises dans l’analyse de l’electro-cardiogramme ou de l’electro-encephalogramme[Babloyantz et Destexhe 1986].En revanche, l’exploitation de donnees temporelles a l’aide de cette analyse nonlineaire dans le but d’interpreter le phenomene et son origine, au-dela du simplediagnostic quantitatif, est plus problematique. La mise en evidence de chaos deter-ministe dans un phenomene reel est une effet une question delicate, apparaissantassez souvent comme un « probleme mal pose » et auquel il est de ce fait difficiled’apporter une reponse claire. Par exemple, la question de discriminer chaos etdynamique stochastique exige d’avoir au prealable precise le niveau auquel onconsidere l’evolution du systeme : en effet, un modele deterministe chaotiqueet un modele stochastique peuvent tres bien coexister a des echelles de descrip-tion differentes. Considerant une description deterministe, il faut pouvoir assurerqu’un modele de basse dimension est acceptable. Il faut pour cela extraire desinformations sur la dynamique globale, de dimension inconnue, a partir d’un enre-gistrement temporel le plus souvent scalaire, ce qu’on appelle une reconstructionde la dynamique. Il faut enfin une analyse statistique rigoureuse pour estimer lafiabilite et la precision des valeurs determinees pour les differents indices de chaosconsideres. Nous renvoyons a [Abarbanel 1996], [Eckmann et Ruelle 1985] et [Hil-born 1994] pour les aspects methodologiques, et a [Ruelle 1990, 1991] pour unediscussion des precautions a prendre dans l’utilisation du concept de chaos.

Le chaos : une source interne de hasardUne derniere conclusion, plus conceptuelle, est que le chaos fournit une sourceinterne de stochasticite. Une evolution deterministe peut engendrer une trajec-toire identique, en ce qui concerne ses proprietes statistiques, a celle qui decou-lerait d’un processus stochastique, mais le comportement aleatoire resultant estcontenu dans la loi d’evolution elle-meme. On rend ainsi compte de comporte-ments stochastiques sans qu’il y ait besoin d’invoquer une cause exterieure. Lechaos entraıne une decorrelation temporelle rapide le long de chaque trajectoire,ce qui conduit a utiliser une description statistique, en termes de mesure inva-riante. C’est, en termes modernes, l’idee que recouvre l’hypothese du chaos mole-culaire de Boltzmann, ce que nous allons developper au paragraphe § 3 ci-dessous.

3. Le chaos pour fonder la mécanique statistique

3.1. L’hypothèse ergodique de Boltzmann

Bien que les notions d’ergodicite et de chaos aient ete formalisees bien apres lestravaux de Boltzmann, elles jouent neanmoins un role essentiel dans la demarchequ’il utilisa, et a sa suite Gibbs, pour poser les fondements de la mecanique statis-tique. Rappelons que le but de la mecanique statistique est de faire le lien, de faconconstructive, entre d’une part les theories et les connaissances disponibles sur lesmecanismes ayant lieu aux echelles microscopiques (le plus souvent moleculaires),et d’autre part les phenomenes macroscopiques, c’est-a-dire le comportement du

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292 INVARIANCES D’ÉCHELLE

meme systeme tel qu’on l’observe a des echelles bein superieures. L’idee que nousallons developper ici est la suivante : c’est le chaos present a l’echelle microsco-pique qui permet d’obtenir les comportements reproductibles, reguliers et robustesobserves a notre echelle. Nous renvoyons a l’ouvrage de Dorfman [1999] pour unediscussion plus approfondie.Envisageons par exemple un systeme de particules de densite assez faible pour etrea l’etat gazeux26. On peut se faire une idee qualitative de sa dynamique micro-scopique en considerant un gaz de spheres dures dans une boıte, subissant descollisions elastiques entre elles et sur les parois de la boıte. Comme explique sche-matiquement sur la FIG. 4.8, une telle dynamique presente une grande sensibi-lite par rapport aux conditions initiales et aux perturbations, et la presence desparois la rend melangeante [Korsch et Jodl 1998]. Ce caractere chaotique27, dontla realite experimentale est aujourd’hui averee [Gaspard et al. 1998], assure unedecorrelation rapide : les environnements moleculaires rencontres par une parti-cule entre les instants t et t 1 dt peuvent effectivement etre consideres commeindependants. C’est cette propriete de decorrelation qui a ete introduite par Boltz-mann sous le nom de chaos moleculaire ; il l’a ensuite utilisee pour justifier unehypothese mathematique plus directement exploitable, l’hypothese ergodique.Dans le cas d’un systeme isole, donc d’energie totale E fixee, cette hypothese ergo-dique revient a supposer que toutes les configurations microscopiques d’energieE du systeme vont etre visitees avec la meme frequence au cours de l’evolutionmicroscopique. Dans ce cas particulier, on l’appelle egalement l’hypothese micro-canonique. Elle se generalise ensuite aux systemes en equilibre thermique. Le rai-sonnement s’appuie sur le caractere isole de la reunion du systeme et du thermo-stat, ce qui permet d’enoncer l’hypothese ergodique microcanonique pour cettereunion ; on exploite ensuite le fait que l’evolution de l’etat du systeme affecte infi-niment peu le thermostat, par definition meme d’un thermostat. L’hypothese ergo-dique se reformule alors en disant que les configurations [s] du systeme serontvisitees avec une frequence egale a leur probabilite a l’equilibre P ([s]) ∼ e−bE([s])

ou b 5 1/kT (distribution de Boltzmann), ce qui permet d’identifier les moyennestemporelles (moyennes le long de l’evolution d’une configuration du systeme) etles moyennes statistiques (moyennes sur toutes les configurations instantaneespossibles du systeme, ponderees par la distribution de probabilite a l’equilibre)28.

26 Les arguments restent qualitativement valables pour les liquides simples ; leur mise en œuvretechnique sera neanmoins differente, puisque les approximations permises par la faible densite desgaz ne pourront plus etre faites.27 Notons toutefois qu’il s’agit d’une modalite de chaos un peu differente de celle presentee au § 2 :le nombre de degres de liberte est ici tres grand, alors qu’une specificite de la notion de chaosdeterministe est de prendre place dans des systemes de basse dimension. Mias cette specificite n’estpas exclusive, et le chaos moleculaire apparaıt comme un exemple d’extension spatio-temporelledu chaos de basse dimension, impliquant les memes ingredients : sensibilite aux conditions initiales,melange et existence de trajectoires periodiques de toutes periodes [Gaspard 1998] [Dorfman 1999].28 Une autre facon de formuler le meme point fait intervenir la notion d’ensemble statistique : lamoyenne temporelle est egale a la moyenne effectuee sur un grand nombre de systemes indepen-dants, de constitution identique au systeme d’origine. Cette formulation, introduite par Gibbs,recouvre exactement la notion actuelle d’echantillonnage statistique. En pratique, on appellera« ensemble statistique » un ensemble de configurations microscopiques pondere par une distributionde probabilite telle que les moyennes statistiques 〈A〉 estiment correctement les grandeurs observeesAobs dans la situation envisagee. Les situations presentees ci-dessus correspondent respectivementa l’ensemble microcanonique et a l’ensemble canonique.

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 293

L’hypothese de Boltzmann apparaıt ainsi comme une hypothese d’ergodicite dela dynamique microscopique regissant l’evolution du systeme par rapport a samesure invariante (volume naturel pour un systeme conservatif, distribution deBoltzmann pour un systeme a l’equilibre thermique). Cette formulation mathe-matique precise d’une propriete qualitative, et meme parfois approximative29, larend operationnelle : elle permet, ce qui apparaıt maintenant comme un simpleapplication du theoreme ergodique de Birkhoff (§ 2.2), d’exprimer les grandeursobservables sous la forme de moyennes statistiques et de deduire ainsi des rela-tions entre ces grandeurs. L’idee implicite est que ces relations sont robustes etrestent valables au-dela du cadre restreint dans lequel elles ont ete obtenues, i.e.meme si l’hypothese ergodique n’est pas exactement verifiee.

3.2. Hypothèse chaotique et mécanique statistique hors d’équilibre

Une demarche, a recemment ete proposee par Cohen, Gallavotti et Ruelle pourfonder une mecanique statistique de systemes loin de l’equilibre30 [Gallavotti etCohen 1995] [Ruelle 1996, 1997, 1999]. Appelee hypothese chaotique, elle peutse resumer comme suit :1. il existe des mecanismes fondamentaux encore mal compris voire ignores quiproduisent des proprietes de melange a l’echelle microscopique (nature chaotiquede l’evolution microscopique) et une evolution irreversible a l’echelle macrosco-pique ;2. une classe de modeles mathematiques, celle des systemes dynamiques hyperbo-liques, possede ces proprietes de melange. Par definition (en temps discret poursimplifier), ces systemes dynamiques possedent un ensemble invariant compact,tel qu’en chacun de ses points les directions stables et instables soient transverses,dependant continument du point. De plus, dans ces modeles, les taux de contrac-tion (dans les directions stables) sont bornes superieurement par a < 1 et les tauxde dilatation (dans les directions instables) sont bornes inferieurement par b > 1.L’etat stationnaire hors d’equilibre est decrit par une mesure invariante ayant desproprietes particulieres, en particulier de melange, du fait de l’hyperbolicite de ladynamique (mesures SRB, des noms de Sinai, Ruelle et Bowen) ;3. on sait decrire le comportement asymptotique de ce modele ideal, en particulierquantifier son irreversibilite macroscopique, par exemple le taux de productiond’entropie, en fonction d’indices quantifiant ses proprietes chaotiques (typique-ment les exposants de Lyapounov) ;4. on suppose que ces relations decrivant l’irreversibilite macroscopique enfonction du chaos microscopique sont universelles, robustes et qu’elles refletentles mecanismes fondamentaux (i) et non les modeles particuliers (ii), qu’ellesdepassent largement ; la classe de modeles introduites au (ii) n’est qu’un relais

29 Cette hypothese est rarement justifiee explicitement, pour deux raisons : elle conduit a des resul-tats theoriques en accord avec l’experience, et on ne sait en general pas prouver cette ergodicite.30 Le terme de systeme « hors d’equilibre » est ambigu ; il faut en effet distinguer :– les systemes relaxant vers leur etat d’equilibre, parfois lentement et de facon complexe s’il existe

des etats metastables ;– les systemes ayant atteints un etat stationnaire mais hors d’equilibre, au sens ou des flux non nuls

(de matiere, d’energie ...) les traversent. Nous emploierons le qualificatif de « loin de l’equilibre »pour ces systemes afin de les distinguer des premiers.

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294 INVARIANCES D’ÉCHELLE

mathematique ayant l’avantage de proposer un cas de figure ou les calculs sontpossibles. Cette demarche apparaıt ainsi comme l’analogue hors d’equilibre del’hypothese ergodique de Boltzmann.Il faut noter qu’on a irreversibilite asymptotique et dissipation (ce qui se refletepar exemple dans une production d’entropie) dans les deux directions tempo-relles : pour t → 1∞, ce sont les directions instables et les exposants de Lya-pounov g � log b > 0 associes qui, controlent la dynamique. Pour t → −∞, cesont les directions stables et les exposants de Lyapounov g � log a < 0 associes,qui determinent le comportement dominant, ce qu’on voit immediatement apresun renversement t → −t du temps. Mais il faut bien noter que l’irreversibilitepersiste apres ce renversement.Un exemple simpliste, mais degageant l’idee essentielle, est celui de la transforma-tion du boulanger B. Le comportement aux temps longs est domine par ce qui sepasse dans la direction instable Ox puisque les distances suivant Oy sont contrac-tees d’un facteur 2 a chauqe pas de temps. La composante suivant Ox s’interpreteainsi comme une observable macroscopique du systeme. Si on projette cette evo-lution reversible engendree par B sur la direction instable Ox, la dynamique res-treinte ainsi obtenue, associee a la transformation x → 2x (modulo 1) devientirreversible : a chaque pas de temps, la trajectoire fusionne avec une autre (etantdonne xn, on a ainsi 2n points de departs x0 possibles). En sens inverse, l’evolutionest decrite par B−1 et c’est sa projection sur Oy qui devient irreversible.L’irreversibilite associee aux evolutions hyperboliques s’explique de la memefacon : au cours du temps, « l’information » sur l’etat initial du systeme le longdes directions stables devient de plus en plus inaccessible aux echelles macrosco-piques (du fait de la contraction des distances dans ces directions) et la seuleconnaissance de la composante instable de la dynamique ne suffit pas pour revenira l’etat initial.

3.3. Chaos et phénomènes de transport

Dans un cadre mariant theorie du chaos et mecanique statistique hors d’equi-libre, la recherche actuelle s’attache a obtenir les lois de transport empiriques etles coefficients associes (coefficient de diffusion, conductivites thermique et elec-trique, par exemple) a partir de modeles microscopiques deterministes, simplifiesmais realistes [Cohen 1995]. Nous avons deja mentionne au § 4.1 du chapitre 4 unmodele deterministe, appele le gaz de Lorentz, dans lequel la particule se deplacea vitesse constante dans un reseau d’obstacles sur lesquels elle subit des colli-sions elastiques (FIG. 4.8). L’analyse de ce modele permet d’ancrer la diffusiondans les equations du mouvement des molecules (on peut alors relier le coeffi-cient de diffusion aux caracteristiques chaotiques des mouvements moleculaires)et de reconcilier explicitement leur determinisme et leur reversibilite avec l’irre-versibilite et la stochasticite de la diffusion [Gaspard 1998]. Un autre exempleest celui d’une chaıne unidimensionnelle d’oscillateurs anharmoniques couplesde facon non lineaire, en contact a ses extremites avec deux thermostats a destemperatures differentes, ou l’on retrouve la loi de Fourier et le profil lineaire detemperature associe, tout en expliquant l’origine de l’irreversibilite familiere dece systeme, a notre echelle [Eckmann et al. 1999] [Dorfman 1999].

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 295

Dans ces exemples, on voit reapparaıtre l’espace reel, absent de la theorie dessystemes dynamiques (de basse dimension) presentee dans ce chapitre. La justi-fication de cette absence est que dans les situations considerees, par exemple auvoisinage d’une bifurcation, l’evolution est dominee par la dynamique de quelquesmodes, les autres ne jouant aucun role asymptotiquement [Haken 1983]. Lareduction n’est pas toujours valable et il faut alors se tourner vers la theorie dessystemes dynamiques etendus et preciser la notion de chaos spatio-temporel.

4. L’intermittence

Les comportements dynamiques que recouvre le terme d’intermittence se carac-terisent par l’alternance aleatoire de phases de repos plus ou moins longues, ditesaussi « phases laminaires », et de breves phases d’activite intense et irreguliere.Differents mecanismes sont invoques suivant les proprietes statistiques du signalintermittent observe et le contexte. Loin de nous lancer dans une revue des diffe-rents modeles de dynamique intermittente (nous renvoyons pour cela a [Eckmann1981] ou a [Berge et al. 1984]), nous nous limiterons a decrire ce qui rattache l’in-termittence au propos de ce livre, a savoir l’existence de lois d’echelle temporellesdecrivant la duree des phases laminaires.

4.1. L’intermittence après une bifurcation nœud-col

Identifie d’abord theoriquement par Manneville et Pomeau [1979] puis experimen-talement dans la convection de Rayleigh-Benard [Berge et al. 1980], un premiermecanisme est associe a la bifurcation nœud-col (§ 3.1, FIG. 9.3). Pour simplifierles enonces, nous envisagerons le cas d’une evolution en temps discret gn, typique-ment obtenue par section de Poincare d’un flot continu (FIG. 9.2) et dependantd’un parametre de controle n. Une condition necessaire pour observer une bifur-cation nœud-col lorsque n passe par une certaine valeur nc est que gnc possede unpoint fixeX∗ ou la matrice de stabiliteDxgnc(X∗) possede une valeur propre egalea 1, toutes les autres valeurs propres etant de module strictement inferieur a 1.Nous ne preciserons pas les deux autres conditions necessaires31, plus techniques,mais nous soulignerons qu’elles ne font intervenir que des inegalites strictes, quirestent donc satisfaites si on modifie legerement la transformation gn. La bifurca-tion nœud-col est ainsi une bifurcation generique et le mecanisme d’intermittenceassocie va presenter de ce fait un caractere robuste (il ne sera pas detruit par unepetite perturbation de gn) et par suite universel (il ne dependra pas des details degn, pourvu que les conditions de bifurcation soient verifiees).Une simplification notable de l’analyse est apportee par la reduction de la trans-formation gn a la forme normale de la bifurcation (§ 1.4) [Haken 1983] : parconjugaison32, transformation du parametre de controle n (qui devient m 5 m(n)),puis projection sur la direction qui devient instable au point de bifurcation, il estpossible de ramener une famille de transformations (gn)n verifiant les conditions

31 En notant w la forme lineaire associee a la valeur propre 1 de la matrice de stabilite, il faut quew[Dngnc (X∗)] > 0 et que w[D2

xgnc (X∗)] > 0.32 Une conjugaison est le remplacement de gn par f ◦ gn ◦ f−1 et de x par f(x) ou f est un diffeo-morphisme adequat.

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296 INVARIANCES D’ÉCHELLE

ci-dessus33 a la famille fm(x) 5 −m 1 x− Ax2 , a une dimension, A > 0 etant unparametre fixe.Le trace du graphe de la transformation x → −m 1 x − Ax2 fait comprendreintuitivement l’origine du comportement intermittent (FIG. 9.12) : au-dela dupoint de bifurcation (m > mc), il n’y a plus de point fixe mais la dynamique resteralentie au voisinage de x∗. On peut montrer que la duree moyenne des phaseslaminaires varie comme t(m) ∼ m−1/2. Ce resultat s’obtient par renormalisation,ce qui assure son universalite. L’idee est de considerer la transformation renor-malisee Rf(x) 5 l−1 f ◦ f(lx) ou l est ajuste de facon a rendre Rf le plussemblable possible a f , ici en identifiant a 1 le coefficient du monome x dansRf(x). La demonstration precise se poursuit en determinant les points fixes deR et les valeurs propres de l’operateur linearise au voisinage de ces points fixes,suivant la procedure classique presentee au chapitre 3 [Lesne 1995]. L’argumentse comprend bien sur la famille typique (−m 1 x − Ax2)m : le choix optimal estl 5 1/2, conduisant a la relation approchee Rfm ∼ f4m. Par ailleurs, par construc-tion de R, le nombre de pas passes dans le « canal » separant le graphe de fm dela bissectrice, autrement dit la duree de la phase laminaire (voir FIG. 9.12), obeita la relation N(Rfm) 5 N(fm)/2 puisque renormaliser revient a prendre les pasdeux par deux. On en tire :

N(fm) ∼ t(m) ∼ m−1/2 (9.8)

gn(x)❄

✛❄✛

❄✛❄

✛❄

���������

x0x1x2

x5x6x7x8

Figure 9.12. Le trait fort est le graphe d’une applica-tion gn paramétrée par n et conjuguée à la forme normalefm(x) 5 −m 1 x − x2. Le schéma explique la monotonie et lalenteur de l’évolution discrète xn11 5 gn(xn) si n est légèrementsupérieur à une valeur nc associée à une bifurcation nœud-col aupoint fixe x∗ (placé ici en O) caractérisée par g′

nc(x∗) 51 1.

En conclusion, toute dynamiquepresentant une bifurcationnœud-col par rapport a l’unde ses parametres va avoir uncomportement non seulementqualitativement mais aussi quan-titativement (meme exposant−1/2) identique a celui de lafamille (−m 1 x − Ax2)m ;comme nous l’avions anticipe,ce comportement intermittentest universel34, et la famille(−m 1 x − Ax2)m apparaıtcomme le representant typiquede la classe d’universalite asso-ciee. Notons qu’on ne peut riendire sur les intermedes chao-tiques, car les ingredients dela dynamique chaotique, en particulier les mecanismes de melange et de rein-jection dans la region bornee contenant le point fixe X∗, ne sont plus decritscorrectement apres la reduction – locale – a la forme normale.

33 C’est meme la cle de la demonstration du theoreme de bifurcation.34 L’exposant −1/2 est associe a la forme quadratique de la loi d’evolution. La famille(−m 1 x − Ax11e)m presente un comportement similaire, avec dans ce cas t(m) ∼ m−e/(11e). Ellerepresente une autre classe d’universalite (e 5 1 correspondant a la classe de la bifurcation nœud-colclassique).

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 297

4.2. L’intermittence on-off

Une seconde situation d’intermittence se rencontre par exemple35 en ecologie,lorsqu’on considere l’evolution d’une espece dite « residente » en competition avecune espece tres voisine venant l’envahir (une forme mutante, par exemple). Ilarrive que pendant de longues periodes, la population de l’espece intruse se main-tienne a des niveaux tres bas, proches de l’extinction ; ces « phases de rarete » sontentrecoupees de periodes, de durees et de frequences irregulieres, ou cette especeest au contraire tres abondante. Ce phenomene est observe, au moins qualitative-ment, pour de nombreuses especes tres differentes : des poissons36, des insectes,des virus (epidemies). Il est important du point de vue ecologique car il montreque la rarete d’une espece n’est pas forcement suivie de son extinction et peutau contraire faire partie de sa strategie de survie. On a pu observer retrospective-ment ce type d’evolution dans des sediments marins, en mesurant le long d’unecarotte, c’est-a-dire au cours du temps, la densite d’ecailles d’une espece de sar-dine (FIG. 9.13).

Année

Abo

nda

nce

2

4

6

8

10

250 500 1000 20001500

Figure 9.13. Alternance aléatoire et invariante d’échelle de phases de rareté et d’abondance chez la sardine duPacifique Sardinops sagax (d’après [Ferrière et Cazelles 1999]), à partir de l’analyse de la densité d’écailles dansdes sédiments marins stratifiés. On observe un histogramme similaire sur une durée plus courte (données provenantdu commerce de ces poissons, durant le siècle dernier) ou sur une durée plus longue (durant tout l’holocène, soit12 000 ans environ).

35 L’intermittence on-off se rencontre egalement dans un systeme de deux oscillateurs chaotiquescouples passant de facon irreguliere d’un mouvement synchrone, ou la difference x 5 X1 − X2entre les etats des deux oscillateurs s’annule, a un mouvement asynchrone ou x fi 0 [Fujisaka etYamada 1985] [Platt et al. 1993]. On y observe l’auto-similarite du signal x(t) et le comportementP (t) ∼ t−3/2 de la distribution de la duree t des phases synchrones (etat « off » x 5 0, analogue desphases de rarete) caracterisant ce type d’intermittence.36 Comme pour l’exemple historique du modele de Lotka-Volterra, l’observation a pu etre faite surdes poissons en partie pour des raisons « pratiques » : la peche au chalut donne des echantillonsrepresentatifs du milieu et on dispose de donnees precises sur de longues periodes a travers lesregistres de vente des criees.

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298 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Les premieres etudes ont montre qu’il s’agissait d’une rarete intermittente spon-tanee, ne decoulant pas d’une modulation variable imposee par l’environnementmais au contraire issue de la dynamique de la communaute ecologique et des com-petitions entre les especes. La rarete intermittente s’observe experimentalement,a differentes echelles de temps (siecle, millenaire, ere). Le point qui retiendra par-ticulierement notre attention est l’invariance d’echelle que presentent les donneesexperimentales. La distribution de probabilite de la duree t des phases de rareteest une loi de puissance : P (t) ∼ t−a avec a ≈ 3/2. Pour preciser la valeur de cetexposant, etudier ses eventuelles proprietes d’universalite et comprendre l’originede l’invariance d’echelle, on a recours a la modelisation.Un modele tres simple, minimal au sens ou il ne retient que les ingredientsessentiels a l’apparition de cette intermittence est le suivant [Ferriere et Cazelles1999] : x(t 1 1) 5 f(x(t),y(t)) ≡ x(t) exp[r1 − a1x(t) − a2y(t)]

y(t 1 1) 5 g(x(t),y(t)) ≡ y(t) exp[r2 − a2x(t) − a1y(t)](9.9)

ou x(t) decrit la population intruse et y(t) la population residente. r1 (resp. r2)est le taux de croissance specifique intrinseque de l’espece x (resp. y), qui seraitobserve si l’espece etait seule et sans limitation de ressources ; a1 decrit la com-petition intra-espece (on suppose que ce coefficient prend la meme valeur chezles deux especes x et y, ce qui est justifie si elles sont tres proches, par exemplesi x est un mutant de y) ; a2 decrit la competition interespeces, qu’on supposeici symetrique. Ce modele decrit des especes ou les individus meurent apres lareproduction : il n’y a a chaque instant qu’une seule generation presente – c’est lecas des insectes, par exemple37. Partons d’une situation ou x est tres faible (peud’envahisseurs, espece residente tres majoritaire). L’etude de la stabilite de cetetat asymetrique se fait dans le cadre d’une analyse lineaire : on etudie l’evolutionde la population x en ne gardant que les termes d’ordre le plus bas. En d’autrestermes, on adopte une approche perturbative par rapport a l’evolution y0(t) de l’es-pece residente seule, laquelle s’ecrit y0(t 1 1) 5 g(0,y0(t)). L’indice de stabiliteest alors l’exposant d’invasion :

x 5 limT→∞

1T

T−1∑t50

ln |≠f/≠x(0,y0(t))| (9.10)

Il s’agit de la moyenne temporelle des exposants d’invasion instantanes :

x(t) 5 ln |≠f/≠x(0,y0(t))|,

37 Pour rendre compte du cas ou les individus survivent apres la reproduction, on modifie le modeleen introduisant les taux de survie s1 et s2 des deux especes :

�x(t 1 1) 5 x(t)(s1 1 exp[r1 − a1x(t) − a2y(t)])y(t 1 1) 5 y(t)(s2 1 exp[r2 − a2x(t) − a1y(t)])

Les resultats obtenus avec ce second modele s’averent qualitativement et meme quantitativement(meme exposant −3/2) identiques a ceux presentes pour le premier modele.

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 299

decrivant la « facilite » avec laquelle l’espece intruse peut se developper (partantde la situation ou elle est absente). Cette grandeur x est donc un indice global,analogue d’un exposant de Lyapounov38 (§ 2.3).L’etude de la dynamique montre que cet exposant d’invasion x fournit un critered’invasibilite. Si x < 0, l’espece intruse ne peut s’etablir. Si x > 0 assez grand,elle l’emporte au contraire rapidement sur l’espece residente (et l’analyse lineairen’a rapidement plus aucun sens). La rarete intermittente se produit lorsque y aune evolution aleatoire, due par exemple a une dynamique chaotique, avec x > 0tres petit. L’exposant d’invasion instantane, fluctuant autour de sa moyenne faible-ment positive, va prendre alternativement des valeurs negatives, durant lesquellesla population intruse ne peut se developper (phases de rarete), et des valeurs posi-tives, durant lesquelles la croissance exponentielle de x permet a la populationintruse d’atteindre un niveau important. Celle-ci va par suite osciller entre desphases de quasi-extinction et des phases de prosperite, de facon essentiellementregie par la dynamique de l’espece residente. Dans la limite ou x→ 01, il apparaıtune loi d’echelle dans la statistique de la duree t des phases de quasi-extinction ;sa distribution P (t) se comporte comme : P (t) ∼ t−3/2 ou l’exposant −3/2 estcaracteristique de ce mecanisme d’intermittence, dite intermittence on-off [Heagyet al. 1994]. Cet exposant est en particulier independant du seuil choisi pour defi-nir les phases de rarete et de la duree sur laquelle on observe le phenomene, cequi est simplement le reflet de l’invariance d’echelle du phenomene. Il est de plusuniversel, au sens ou il ne depend pas des parametres de la dynamique ni memede l’ecosysteme considere, a partir du moment ou le phenomene se manifeste.L’existence d’une loi d’echelle signifie que la dynamique ne possede pas de tempscaracteristique : on a ici une dynamique critique universelle. Cela est confirmeexperimentalement par la similitude (apres normalisation) des donnees enregis-trees sur des periodes de temps tres differentes : siecle, millenaire, ere.Une correction a la loi de puissance predite pour P (t) vient du bruit provenantdu milieu exterieur. Durant les phases de rarete, celui-ci peut induire accidentel-lement l’extinction de la population intruse (la faible valeur de son niveau la rendplus vulnerable aux fluctuations de l’environnement), et ce avec une probabilited’autant plus grande que la phase de rarete est longue : on observe de ce fait unetroncature de la loi de puissance aux grandes valeurs de t.Lorsqu’on s’eloigne du point critique x 5 01, c’est-a-dire lorsque x augmente, lecaractere critique disparaıt et on retrouve une decroissance exponentielle :

P (t) ∼ t−3/2 e−t/t0 avec t0 ∼1x2 <∞ (9.11)

On retrouve egalement les ecarts habituels au comportement critique lorsque lataille de l’ecosysteme est finie. Le modele ou les variables x et y prennent desvaleurs continues n’est qu’une approximation valable dans la limite d’un milieuinfini ; lorsqu’on prend en compte la taille du systeme, notee L (et dont la defini-tion exacte depend de la facon dont les limitations liees a la taille finie du milieuet des populations viennent modifier le modele dynamique continu), on peut mon-trer que t0 suit une loi d’echelle t0 ∼ La.

38 Il s’agit exactement d’un exposant de Lyapounov transverse, decrivant la stabilite, au sein del’attracteur global, de la solution y0(t) correspondant a l’espece residente seule par rapport a uneperturbation transverse.

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300 INVARIANCES D’ÉCHELLE

5. La turbulence développée

Un comportement spatio-temporel tres complexe et neanmoins familier est la tur-bulence hydrodynamique ou atmospherique. Il suffit de regarder le mouvementde l’eau d’une riviere en crue, autour des piles d’un pont, pour avoir une ideeintuitive du phenomene et de sa richesse. Ce phenomene va retenir ici notre atten-tion parce qu’il presente des proprietes d’echelle spatio-temporelles remarquables.Elles sont a rapprocher de celles rencontrees pour les phenomenes critiques dyna-miques (proprietes de relaxation ou de reponse au point critique, au chapitre 4,ou certains phenomenes de croissance, au chapitre 8). Mais nous allons voir quel’invariance d’echelle y est beaucoup plus complexe, faisant intervenir un conti-nuum d’exposants critiques : on parlera d’invariance multifractale (multiscaling enanglais) [Mitra et Pandit 2003].

5.1. Invariance d’échelle des équations de l’hydrodynamique

Le comportement spatio-temporel d’un fluide est decrit par l’equation de Navier-Stokes, regissant l’evolution de son champ de vitesse v(r,t) :

≠tv 1 (v.∇)v 5 − r−1 ∇P 1 nDv 1 g (9.12)

ou n est la viscosite cinematique du fluide (en m2/s), r sa masse volumique, Psa pression et g la resultante des accelerations exterieures (champ de force parunite de masse). Cette equation doit etre verifiee en tout point du domaine acces-sible au fluide ou delimite par l’observateur (rives, obstacles et limites du tron-con observe dans le cas d’une riviere, par exemple). Elle est alors completee pardes conditions aux bords decrivant le comportement du champ de vitesse auxlimites de ce domaine. Il s’y ajoute egalement l’equation de conservation du fluide(≠tr 1 ∇(rv) 5 0), qui prend la forme suivante, dite « equation d’incompressibi-lite », lorsque la densite r peut etre consideree comme constante :

∇ · v 5 0 (9.13)

Ces deux equations (vectorielles) sont invariantes par la transformation d’echellea deux parametres L > 0 et l > 0 :

r → lr P → l21dL−2Pt → Lt r → l−drv → lL−1v g → lL−2gn → l2L−1n

(9.14)

Introduisons la dimension typique L du systeme et la vitesse typique V du fluide,le plus souvent prescrite par les conditions aux bords : debit de la riviere ou vitessedes pales qui agitent le fluide, par exemple. Le choix l 5 1/L et L 5 V /Lramene a des variables sans dimension. Cette reduction montre que la quantitel2L−1n 5 n/V L est le seul veritable parametre du probleme. Cela conduit a intro-duire un nombre sans dimension, le nombre de Reynolds :

Re 5LV

n(9.15)

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 301

Le comportement dynamique du fluide va ainsi etre controle par la valeur de Resuivant des criteres presque universels, ne dependant du systeme que par l’inter-mediaire de sa geometrie et des conditions aux bords (valeur du champ de vitesseaux parois ou aux autres limites du systeme). Cette invariance d’echelle constituele principe des essais en soufflerie : pour tester experimentalement le comporte-ment d’un systeme de taille L lorsqu’il affronte des vents de vitesse V , il suffitd’etudier un systeme plus petit, de taille L/k mais en conservant le meme nombrede Reynolds (et bien sur une geometrie similaire) ; cette condition est realisee sion impose au systeme reduit des vitesses kV .

5.2. Le seuil de turbulence

Nous venons de voir que le nombre de Reynolds est le seul parametre controlantla dynamique du fluide. De plus, on peut interpreter ce nombre comme le rapportdu terme d’amplification non lineaire (v.∇)v, qui tend a destabiliser le mouve-ment en amplifiant des fluctuations locales de vitesse arbitrairement faibles, surle terme nDv de dissipation visqueuse, qui tend au contraire a amortir ces fluctua-tions. En d’autres termes, ce nombre exprime le rapport entre l’energie cinetiquedu fluide et l’energie dissipee par frottement visqueux. On comprend ainsi intui-tivement ce qui est confirme experimentalement : la turbulence apparaıt dans unecoulement fluide au-dela d’un seuil d’instabilite Re∗. A faible nombre de Reynolds(Re� Re∗), les non-linearites jouent un role negligeable et on observe un regimelaminaire, possedant toutes les symetries de l’equation de Navier-Stokes. LorsqueRe augmente, l’amplification non lineaire des fluctuations du champ de vitessel’emporte de plus en plus sur leur amortissement et le fluide developpe des insta-bilites qui l’ecartent qualitativement du regime laminaire. Plus precisement, onmet experimentalement en evidence une succession de seuils (des bifurcations) ;au passage de chacun d’eux, une nouvelle symetrie de l’equation de Navier-Stokesest brisee, en ce sens que le champ de vitesse ne presente plus cette symetrie.Au-dela du dernier seuil, les non-linearites dominent totalement le comportementdu fluide. La valeur exacte Re∗ de ce seuil de turbulence depend de la geometriedu probleme, des conditions aux bords et de la definition que l’on prend pour mar-quer le debut de la turbulence mais elle reste toujours du meme ordre de grandeur,autour de 100. Le nombre de Reynolds Re quantifie alors le degre de turbulencedu systeme, certes grossierement, mais sur une echelle absolue. L’expression deRe montre que trois facteurs controlent le comportement du fluide : le regimeturbulent sera d’autant plus vite atteint que la viscosite est faible, que les dimen-sions du systeme sont grandes, ou que la vitesse macroscopique moyenne du fluideest importante. Ces deux derniers points s’observent par exemple sur une riviere,turbulente lorsqu’elle est en crue alors que son regime est laminaire en tempsnormal. Soulignons enfin que la turbulence ne prend place durablement que dansdes systemes ouverts qu’on alimente en energie. Par exemple, le mouvement tur-bulent cree par le mouvement de pales dans une cuve s’amortit rapidement, pardissipation visqueuse, si on arrete d’agiter le fluide.

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302 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Nous ne decrirons pas davantage la succession d’evenements39 marquant le pas-sage d’un regime laminaire a un regime turbulent (nous renvoyons par exemplea [Manneville 1991] et [Frisch 1996]). Parce qu’il manifeste des proprietesd’echelle, nous nous interesserons uniquement au regime de « turbulence develop-pee » observe tres au-dessus du seuil Re∗, typiquement pour Re > 10 Re∗ ≈ 1000(par exemple, Re atteint environ 1010 dans l’atmosphere). Soulignons qu’a ladifference du chaos deterministe presente au § 2 et parfois designe sous le nomde turbulence faible, la turbulence developpee (ou turbulence forte) met en jeuun grand nombre de modes instables couples. A fortiori, seule une descriptionstatistique, en l’occurrence celle du champ de vitesse du fluide, aura un sens.On etudiera des grandeurs moyennes, notees 〈 〉, en particulier les fonctions (oufacteurs) de structure statiques, definies comme les moments de la variation devitesse longitudinale :

Sp(l) ≡ 〈dv(l,r,u,t)p〉 (9.16)

ou

dv(l,r,u,t) 5 [v(r 1 lu,t) − v(r,t)].u (u unitaire) (9.17)

et les fonctions (ou facteurs) de structure dynamiques :

Sp(l,t) ≡ 〈[dv(l,r,u,t 1 t)dv(l,r,u,t)]p/2〉 (9.18)

Ces fonctions sont le pendant des fonctions de correlations, respectivement sta-tiques et dynamiques, introduites pour decrire les phenomenes critiques, et nousallons voir qu’elles manifestent des comportements d’echelle analogues.

5.3. Une image qualitative : la cascade de Richardson

La premiere avancee fondamentale fut de relier la turbulence au transfert d’ener-gie cinetique a travers une vaste gamme d’echelles. L’energie est introduite a unegrande echelle L. Le fluide developpe alors des tourbillons a toutes les echelles, encascade, chacun d’eux alimentant des tourbillons relatifs40 d’echelle inferieure, etce jusqu’a l’echelle l∗ ou la dissipation visqueuse est efficace.Plus precisement, on peut definir des nombres de Reynolds locaux : le nombrecaracterisant une structure tourbillonnaire de la taille l et de vitesse relative v(par rapport au mouvement d’ensemble du fluide a une echelle superieure) seraReloc 5 lv/n. Lorsque ce nombre est grand devant 1, l’energie dissipee par frot-tement visqueux est negligeable, et l’energie cinetique du tourbillon va alimen-ter des tourbillons relatifs d’echelles inferieures. Par contre, lorsque ce nombreatteint une valeur proche de 1, le tourbillon devient une structure dissipative,degradant l’energie cinetique coherente dans des mecanismes moleculaires. l∗ estla taille typique des premiers (i.e. des plus etendus) tourbillons dissipatifs.

39 Une telle succession menant d’abord au chaos puis a la turbulence developpee s’observe egale-ment, de facon exemplaire, dans l’experience de Rayleigh-Benard decrite sur la FIG. 9.1. Le phneo-mene est cependant different, car dans ce cas la densite du fluide varie, en fonction de sa tempera-ture. Le nombre sans dimension controlant la dynamique du fluide n’est plus le nombre de Reynoldsmais le nombre de Rayleigh, faisant intervenir le gradient vertical de temperature impose au systeme.40 Nous soulignons qu’il s’agit de tourbillons relatifs, dont le mouvement est decrit par rapport auxtourbillons d’echelle superieure dans lesquel ils s’inscrivent.

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 303

Ce schema qualitatif est appele cascade de Richardson [Richardson 1922]. L’ob-servation de cette cascade peut se faire couramment, par exemple dans une riviereen crue, ou l’on voit des remous de petite taille se surimposer a des mouvementstourbillonnaires a plus grande echelle. La turbulence vient ainsi de la necessite deconcilier le mecanisme d’injection d’energie a l’echelle macroscopique (mouve-ment de pales, injection de fluide a vitesse donnee) et le mecanisme de dissipationde l’energie a l’echelle moleculaire. Plus Re est grand, plus la difference entrel’echelle L a laquelle on injecte l’energie et l’echelle l∗ de la dissipation visqueuseest grande et peut laisser place a de nombreux niveaux d’organisation emboıtes.La constance du transfert d’energie entre les niveaux successifs, avant que la dis-sipation n’entre en jeu efficacement, suggere que la cascade de Richardson estauto-similaire dans le domaine l∗ � l � L. Les resultats experimentaux a l’appuide cette hypothese font l’objet du paragraphe suivant.

5.4. Des lois d’échelle empiriques

Les etudes experimentales de la turbulence developpee ont fait emerger trois loisempiriques, valables a tres grand nombre de Reynolds (Re � Re∗) et confirmantquantitativement l’auto-similarite qualitative de la cascade de Richardson :• si l’on fait tendre la viscosite n vers 0, toutes les autres caracteristiques dusysteme (L, V , geometrie, conditions aux bords) restant inchangees, l’energie ´

dissipee par unites de masse et de temps tend vers une valeur finie :

´ ∼ V3

L(n→ 0) (9.19)

• la moyenne quadratique S2(r,l,u,t) ≡ 〈dv(l,r,u,t)2〉 est independante du pointr, du vecteur unitaire u et du temps t si la turbulence est homogene, isotropeet stationnaire ; on la note alors simplement S2(l) ou 〈dv(l)2〉. Dans une gammed’echelles l∗ � l � L appelee le domaine inertiel, elle obeit a la loi d’echelle (loides 2/3) :

S2(l) ≡ 〈dv(l)2〉 ∼ l2/3 (9.20)

Cette loi est remplacee par 〈dv(l)2〉 ∼ l2 aux tres petites echelles (l < l∗), enaccord avec la regularite du champ de vitesse. Le comportement en l2/3 observedans le domaine inertiel montre neanmoins que la derivee spatiale du champ devitesse n’est pas uniformement bornee sinon on aurait 〈dv(l)2〉 ∼ l2 a toutes lesechelles. Cette loi reflete donc l’existence d’anomalies dans le champ de vitesse enregime turbulent, suffisamment nombreuses et importantes vis-a-vis de l’evolutiondu fluide pour affecter le comportement d’echelle moyen. Notons que la valeur l∗

marquant la transition entre les deux comportements d’echelle de 〈dv(l)2〉 est a cestade empirique ; nous verrons ci-dessous son interpretation physique et commentelle peut etre reliee a L et Re ;• on decrit souvent le regime turbulent par son spectre de puissance E(k) : c’estune fonction du module du vecteur d’onde k telle que E(k)dk soit egale a l’energiedes modes dont le vecteur d’onde est de module k a dk pres [Tennekes et Lumley1972]. On a ainsi, par definition :∫ ∞

0E(k)dk 5

12〈v2〉 (9.21)

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304 INVARIANCES D’ÉCHELLE

On montre41 alors que si E(k) suit une loi d’echelle E(k) ∼ k−a, alors〈|v(r 1 lu) − v(r)|2〉 ∼ la−1 (en regime statistiquement stationnaire, homogeneet isotrope). On observe experimentalement la loi d’echelle :

E(k) ∼ k−5/3 (2p/L � k � 2p/l∗) (9.22)

Cette loi, faisant le pendant dans l’espace conjugue de la loi des 2/3, n’est obser-vee que dans une certaine fenetre de vecteurs d’onde : elle est limitee inferieure-ment par la taille finie du systeme et superieurement par la dissipation visqueuseprenant place aux petites echelles spatiales.L’invariance d’echelle de l’equation de Navier-Stokes est somme toute assez tri-viale : nous avons vu au § 5.1 que sa mise en evidence decoule d’une simple analysedimensionnelle ; les exposants obtenus sont tout aussi naturels que ceux apparais-sant par exemple dans la « loi d’echelle » V ∼ a3 reliant le volume V d’un cube a lalongueur a de ses cotes et exprimant son « auto-similarite ». L’invariance d’echellequi apparaıt dans le contexte de la turbulence, et s’exprime en particulier dansles lois S2(l) ∼ l2/3 et E(k) ∼ k−5/3, est moins banale ; elle reflete l’organisationspatio-temporelle complexe d’un flot turbulent. Elle se situe vis-a-vis de l’inva-riance de l’equation de Navier-Stokes comme l’invariance d’echelle d’une fractalese situe en regard de celle du cube que nous venons de mentionner.

5.5. La théorie de Kolmogorov (1941)

La premiere analyse quantitative, due a Kolmogorov, apparaıt aujourd’hui commeune theorie d’echelle exemplaire, reposant sur trois hypotheses d’invarianced’echelle [Kolmogorov 1941].• La premiere hypothese est celle de la constance du transfert d’energie tout aulong de la cascade. Cette hypothese, issue de l’experience (§ 5.3), se justifie parle fait que l’energie ne commence a etre dissipee qu’aux petites echelles l∗ ou ladissipation visqueuse devient efficace. La quantite ´ d’energie par unite de tempset de masse cedee par les tourbillons d’echelle li a l’ensemble de ceux d’echelleinferieure li11 est ainsi independante de i. La cascade s’arrete aux tourbillons detaille l∗ et de vitesse relative v∗ donnant un nombre de Reynolds environ egala 1 : l∗v∗/n ≈ 1. L’energie de ces tourbillons est en effet entierement dissipeepar viscosite et n’est donc plus disponible pour animer des mouvements d’echelleinferieure. On obtient :

l∗ ∼ LRe−3/4 (9.23)

• La deuxieme hypothese est de supposer que dans le domaine inertiel l∗ � l�L,les proprietes statistiques de la turbulence sont stationnaires, homogenes, iso-tropes, independantes de l’injection de matiere ou d’energie qui cree la turbu-lence (echelle L) et de la viscosite (qui ne fait que fixer la borne inferieure l∗).On suppose ainsi que les symetries de l’equation de Navier-Stokes, brisees quandRe depasse le seuil de turbulence, sont retablies mais dans un sens statistique auxgrandes valeurs de Re. Sous cette hypothese, prendre la moyenne statistique 〈 〉41 Un resultat intermediaire, le theoreme de Wiener-Khinchine relie le spectre E(k)a la fonction de correlation spatiale du champ de vitesse suivant la formule :E(k) 5

R∞0 kr sin(kr) 〈v(r 1 r0)v(r0)〉 dr/p ou 〈v(r 1 r0)v(r0)〉 ne depend que de r

par isotropie et homogeneite statistique de la turbulence.

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9. SYSTÈMES DYNAMIQUES, CHAOS ET TURBULENCE 305

elimine la dependance en r, u et t ; les moments Sp(l) ne dependent alors quede l.• La troisieme hypothese est de supposer une forme universelle pour 〈dv(l)2〉, qui,par analyse dimensionnelle et du fait de la constance de ´, s’ecrit :

〈dv(l)2〉 ∼ ´2/3l2/3 (9.24)

On obtient de meme la loi de Kolmogorov :

E(k) ∼ ´2/3k−5/3 (9.25)

La theorie predit egalement que :

S3(l) ≡ 〈(dv(l)3〉 5 − 45´l et Sp(l) ≡ 〈(dv(l)p〉 ∼ (´l)p/3 (9.26)

5.6. Pour aller dans les détails : l’analyse multifractale

Des etudes experimentales plus poussees mettent effectivement en evidence deslois d’echelle Sp(l) ∼ lzp , mais la dependance de zp en p y apparaıt etre nonlineaire, contredisant la prediction zp 5 p/3 de la theorie de Kolmogorov. L’ecartvient de ce que la turbulence est loin d’etre homogene et isotrope, ce qui limite laportee de cette theorie et la rend assez peu exploitable pour caracteriser finementou controler un regime turbulent. Elle donne un cadre global, degage les principesfondamentaux a l’œuvre dans la turbulence developpee mais elle ne suffit pas arendre compte de toute la complexite du phenomene. En effet, des singulariteslocales, rares mais graves, peuvent avoir une influence determinante sur le com-portement du fluide. Nous allons voir qu’elles suffisent a rendre compte des loisd’echelle anormales Sp(l) ∼ lzp ou zp fi p/3. La singularite locale du champ devitesse peut etre decrite par un exposant local dv(r,l) ∼ la(r) (aux petites valeursl� L). Plus rigoureusement, il faudrait ecrire :

dv(r,ll,u) ∼ la(r) dv(r,l,u) (9.27)

ou le symbole ∼ signifie une egalite en loi des processus : les deux membres ontles memes moments et les memes distributions conjointes (i.e. a plusieurs tempset a plusieurs composantes). La theorie de Kolmogorov correspond au cas parfai-tement homogene ou a(r) ≡ 1/3.La premiere extension est un modele bifractal ou a(r) 5 a1 sur un ensemble dedimension fractale f1 et a(r) 5 a2 < a1 sur un ensemble de dimension fractalef2 < f1. Le comportement des fonctions de structure Sp(l) resulte de la superposi-tion des deux lois d’echelle, d’exposants respectifs a1 et a2. On trouve Sp(l) ∼ lzp

ou zp 5 inf(pa1 1 3 − f1,pa2 1 3 − f2). Ce modele predit ainsi deux exposantsdifferents suivant l’ordre p de la fonction de structure Sp ; l’interpretation en estque, suivant l’ordre p, ce n’est pas le meme ensemble de singularites qui domineet controle le comportement de Sp. Le graphe p→ zp devrait en consequence pre-senter une rupture de pente (un crossover), faisant passer d’une droite de pentea1 aux petites valeurs de p a une droite de pente a2 aux grandes valeurs de p.Mais lorsqu’on confronte ce modele aux donnees experimentales, on observe quece graphe est en fait une courbe convexe et non la ligne brisee attendue, et encoremoins la droite de pente 1/3 predite par la theorie de Kolmogorov.

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306 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Cette dependance non lineaire en p de l’exposant zp des fonctions de structureSp(l) reflete l’existence d’un continuum d’exposants a(r), ce qui a conduit ageneraliser le modele bifractal en modele multifractal [Benzi et al. 1984]. Unemethode inspiree de la geometrie fractale, l’analyse multifractale, fournit a la foisun cadre theorique pour decrire la distribution spatiale des exposants a(r) et dessingularites du champ de vitesse associees, et un moyen d’acces experimental auxcaracteristiques de cette distribution.Qu’est-ce qu’une structure multifractale ? En resumant, c’est une structure « dou-blement fractale » : elle presente tout d’abord des singularites locales decrites parun exposant local a(r). Dans le cas present, il s’agit de l’exposant decrivant lasingularite locale du champ de vitesse. Ensuite, le lieu des points r ou l’exposanta(r) prend une valeur a donnee est lui-meme une structure fractale, de dimensionfractale f(a). La courbe a → f(a) est appele le spectre multifractal du champ devitesse. Typiquement, plus a est petit, plus les singularites associees sont forteset susceptibles d’avoir des consequences remarquables, mais plus les points oul’on observe cette valeur a sont rares ou, en termes quantitatifs, plus f(a) estfaible. En reportant ces ingredients dans l’expression des moments et en utilisantla methode du col pour evaluer l’integrale Sp(l) ∼

∫lapl3−f(a) ainsi obtenue, on

determine42 le comportement aux petites valeurs de l [Frisch 1996] :

Sp(l) ∼ lzp avec zp 5 infa

[pa 1 3 − f(a)] (9.28)

5.7. Un domaine encore ouvert

La turbulence constitue un exemple emblematique de dynamique spatio-temporelle complexe. Elle apparaıt dans bien d’autres situations que celle,presentee ici, d’un fluide incompressible violemment agite ou arrivant a grandevitesse sur un obstacle : turbulence atmospherique (le modele de Lorenz, FIG. 9.6,en decrit la version « faible » precedent la situation de turbulence forte decrite ici)ou experience de Rayleigh-Benard, pour ne citer que deux exemples deja rencon-tres dans ce chapitre. Davantage d’ingredients, et donc davantage de parametres(notablement la temperature) entrent alors en jeu, mais les idees qualitativesdemeurent.La comprehension de la turbulence developpee est un probleme ardu parce qu’ilimplique un grand nombre d’echelles d’espace et de temps. Il faut aborder le phe-nomene globalement, tout en donnant le poids qu’ils meritent a des evenementssinguliers, spatialement localises (ce que nous avons fait au § 5.6) mais aussi tran-sitoires (perte de la stationnarite statistique). Cette intermittence de la turbulence(a ne pas confondre avec l’intermittence presentee au § 4) aux petites echellesva briser l’invariance d’echelle observee dans le domaine inertiel, et invalide parsuite tous les modeles et outils qui s’appuient sur cette invariance, en particulierla theorie de Kolmogorov [Frisch 1996].

42 Pour etre plus rigoureuse, l’analyse multifractale doit etre faite sur la distribution de probabilitecumulative des accroissements : Prob[dv(r,l,u) > la].

On peut egalement developper une analyse multifractale de la dissipation el(r), au demeurantreliee a celle du champ de vitesse car dv(l) ∼ (lel)1/3, si bien que el(r) ∼ l3a(r)−1 [Frisch 1996].

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Le probleme se situe aussi dans l’obtention et le traitement des donnees experi-mentales : il est difficile de concevoir des capteurs couvrant l’ensemble du phe-nomene sans pour autant le perturber. On adopte generalement l’hypothese deTaylor suivant laquelle les moyennes spatiales instantanees (et les moyennes sta-tistiques) coıncident avec les moyennes temporelles calculees a partir du signalenregistre en un point. Les methodes d’analyse des donnees utilisees sont gene-ralement des methodes spectrales, permettant d’eliminer le bruit. Il n’est alorspas immediat d’en extraire des informations sur les structures spatio-temporelleslocales et transitoires. De nouveaux outils, comme la transformation en ondelettesont ete elabores dans cet objectif (§ 3.2, chapitre 11) [Muzy et al. 1991]. Lesmethodes developpees pour la turbulence, par exemple l’analyse multifractale, ontdeja essaime. Nul doute que de fructueuses analogies et transpositions, aussi biendes concepts que des outils, pourront etre etablies dans d’autres contextes.

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Page 312: Invariances d'échelle : Des changements d'états à la turbulence

CHAPITRE

10PHENOMENES CRITIQUES

AUTO-ORGANISES

Nous avons rencontre tout au long de ce livre de nombreux exemples de pheno-menes critiques et fait emerger leurs caracteristiques communes : divergence dela portee des correlations, absence d’echelles caracteristiques1, fluctuations detoutes tailles, reponse anormale (i.e. a toutes les echelles en amplitude, exten-sion spatiale et duree) a une perturbation meme infime. Elles se refletent dans denombreuses lois d’echelle, exprimant quantitativement l’invariance d’echelle desphenomenes. Typiquement, la criticalite apparaıt pour une valeur particuliere duparametre de controle, ajustee de l’exterieur : la temperature critique dans lestransitions de phase du second ordre, le seuil de percolation pc, la valeur de bifur-cation dans un systeme dynamique. Mais il est apparu que certains systemes, main-tenus dans une situation hors d’equilibre par une alimentation continue en matiereou en energie, pouvaient evoluer spontanement vers un etat critique, et non a lasuite d’un reglage exterieur. C’est ce nouveau concept de criticalite auto-organiseeque nous allons presenter dans ce chapitre et discuter sur divers exemples.

1. Un nouveau concept : la criticalité auto-organisée

1.1. Le tas de sable

1.1.1. Une experience familiere

Un des exemples emblematiques de la criticalite auto-organisee est le tas de sable.L’experience est la suivante : on alimente le tas en sable « neuf » par son sommet

1 Autres que les echelles « triviales » que sont la duree de l’observation, la taille du systeme et, al’autre extreme, les echelles des constituants elementaires.

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10. PHÉNOMÈNES CRITIQUES AUTO-ORGANISÉS 313

et le sable excedentaire s’ecoule au pied du tas. Il s’agit donc d’un systeme ouvert.L’evacuation du sable est necessaire pour permettre au systeme d’atteindre unregime permanent. Ce regime, bien que statistiquement stationnaire, est qualified’etat hors d’equilibre ; en effet, le flux de sable le long des pentes du tas n’estpas nul, contrairement a ce qui se passerait dans un veritable etat d’equilibre. Lapente du tas prend une valeur independante de la taille du tas. La situation exacteest un tout petit plus compliquee : la pente oscille entre deux valeurs um et uMseparees de quelques degres. uM est une valeur critique de la pente du tas au sensou toute valeur superieure correspond a une forme instable du tas ; il se produitalors une avalanche. Cette relaxation, brutale et complexe, est en general plusimportante que la stricte condition de stabilite statique du tas ne l’exige : il estevacue plus de sable que necessaire, ce qui amene la pente a une valeur u < uM , apartir de laquelle elle recommence a augmenter puisqu’on continue a ajouter dusable. Le taux d’injection sera choisi suffisamment faible pour que les avalanchessoient separees dans le temps les unes des autres. Une fois que la pente a atteintune valeur proche de uM , l’instant auquel se produit l’avalanche est aleatoire ; lataille de l’avalanche (le nombre de grains impliques) de meme que sa duree sontegalement aleatoires. On observe en fait des avalanches a toutes les echelles, depuisdes avalanches tres localisees qui ne reajustent que localement la pente jusqu’a deseffondrements globaux dans lesquels tout le flanc du tas est reactualise.

1

0 30

1 3

0

41 3

4

0 1 3

0

0

5

2

1

1

2

2

41

2 1

1

11

2 2 1

0 2 1

1

0 0

234

3

t = 1t = 0 t = 2 t = 3

Figure 10.1. Simulation de type « automate cellulaire » du comportement critique auto-organisé d’un tas de sable.L’espace horizontal est subdivisé en cellules (ou « sites »). Les nombres indiquent la pente locale en chaque site (i.e.la pente dans la zone du tas de sable dont la projection horizontale correspond au site envisagé). Un site se réarrangedès que cette pente dépasse un seuil, choisi ici égal à 4 ; la valeur de la pente en ce point diminue alors de 4, alors quecelle des 4 sites voisins augmente d’une unité. Cette modification peut amener leur pente au-dessus du seuil, auquelcas le réarrangement du réseau se poursuit, en cascade. La taille de l’avalanche est égale au nombre de grains quisortent du réseau (ici 6), et sa durée au nombre de pas nécessaire au complet réarrangement (ici 3), amenant enchaque la pente à une valeur inférieure au seuil. Le système est maintenu hors d’équilibre par un apport continu desable au site central, très lent devant l’échelle de temps des avalanches.

1.1.2. Simulations numeriques

Cette experience familiere a ete reproduite numeriquement par Bak, Tang et Wie-senfeld [1988], a l’aide du modele explique sur la FIG. 10.1. Lorsqu’on analyse ladistribution de la taille A de ces avalanches, on trouve que l’histogramme N(A)suit une loi de puissance (FIG. 10.2) :

N(A) ∼ A−m (10.1)

Les modeles numeriques de tas de sable donnent un exposant m legerement supe-rieur a 1 (m ≈ 1,03). La duree moyenne t(A) entre deux avalanches de taille

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314 INVARIANCES D’ÉCHELLE

A (successives) croıt avec cette taille comme t(A) ∼ A2. Enfin, la distributionP (T ) de la duree T des avalanches suit egalement une loi de puissance ; on repre-sente plutot (FIG. 10.2) la distribution D(T ) ponderee par la « reponse moyenne »〈A(T )〉/T (moyenne conditionnelle, prise sur les avalanches de duree T ) :

D(T ) ≡ P (T )〈A(T )〉T

∼ T−m′(10.2)

On peut alors montrer que la densite spectrale S(f) (ou spectre de puissance, egala la tranformee de Fourier de la fonction de correlation temporelle) est reliee aP (T ) suivant la formule [Bak et al. 1987] :

S(f) 5∫ 1/f

0TD(T )dT d’ou S(f) ∼ f−21m′ ∼ f−b (10.3)

TA

P(A

)

D(T

)10–1

10–2

10–3

10–4

10–5

101100 102 101100 102103

10–1

10–2

Figure 10.2. Graphes log-log montrant le comportement d’un tas de sable simulé (d’après [Bak et al. 1988]).À gauche, distribution des avalanches en fonction de leur taille : P(A) ∼ A−m avec m ≈ 1,03 ; à droite, distributiondes avalanches en fonction de leur durée, pondérée par la réponse moyenne 〈A(T)〉/T : D(T) ∼ T−m′ avecm′ ≈ 0,43, correspondant à une densité spectrale S(f) ∼ f−1,57.

1.1.3. Criticalite auto-organisee et stabilite marginale

Bak, Tang et Wiesenfeld ont qualifie le comportement de leur tas de sable simulede criticalite auto-organisee (self-organized criticality en anglais) ; le qualificatif« auto » reflete le caractere intrinseque de uM , qui n’est pas fixe de l’exterieurmais est « trouve » par la dynamique elle-meme.A partir de ce modele numerique et en supposant qu’une seule grandeur X suffita decrire l’etat local du systeme, on peut tres schematiquement degager une pre-miere caracteristique de la criticalite auto-organisee : il existe un seuil de stabiliteXc intrinseque autour duquel le systeme tend spontanement a se maintenir. TantqueX < Xc et que l’on fournit de l’energie ou de la matiere, le systeme va evoluerde facon a ce queX augmente. Des queX depasseXc, il se produit rapidement unphenomene de relaxation (une « avalanche ») ramenantX a des valeurs inferieures

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10. PHÉNOMÈNES CRITIQUES AUTO-ORGANISÉS 315

a Xc. La valeur Xc correspond ainsi a la moins stable des positions stables du sys-teme en l’absence d’apport exterieur2. On parle de stabilite marginale : la moindreinfluence induisant un accroissement dX est « la goutte d’eau qui fait deborder levase ».

Condensateur

t = 0

S(f)

2

0

– 2

– 4

f– 2– 3 – 1 0 1

Figure 10.3. Expérience du cylindre tournant. La vitesse de rotation est très lente (V ≈ 1,3◦/mn) de façon queles avalanches soient bien séparées dans le temps. Le sable qui tombe passe entre les armatures d’un condensateur,ce qui permet une analyse quantitative. À droite, allure de la densité spectrale S(f) obtenue (graphe log-log) ; parcomparaison, la droite en pointillés correspond à S(f) ∼ 1/f (d’après [Nagel 1992]).

1.1.4. Resultats experimentaux

Des experiences quantitatives ont ete realisees en remplissant un demi-cylindrea moitie ferme (FIG. 10.3) et en le faisant tourner tres doucement ; c’est icila rotation qui maintient le systeme hors d’equilibre. On observe effectivementdes avalanches, mais on est cependant loin du comportement en loi de puissancepresque parfait observe numeriquement. En particulier, une frequence caracteris-tique apparaıt (pic dans le spectre S(f)) et aucune invariance d’echelle n’emergede facon convaincante (FIG. 10.3). Cela peut s’expliquer par les proprietes parti-culieres des milieux granulaires reels : les grains de sable exercent des forces defriction (solide) les uns sur les autres, et le sable se comporte a la fois comme unsolide (si u < uM ) et un liquide (si u > uM ). En conclusion, alors que l’analysedes tas de sable simules a permis de faire emerger le paradigme de la criticaliteauto-organisee, il semble que les tas de sable reels ne fournissent pas le meilleurexemple, loin de la, de ce type de comportement.

1.2. Les feux de forêt

Un second exemple, peut-etre plus convaincant, est le modele dit « des feux deforet ». Il rattache mieux la criticalite auto-organisee aux phenomenes critiquesrencontres dans ce livre, en l’occurrence a la percolation (chapitre 5).

2 Dans cet enonce preliminaire, nous avons volontairement omis de prendre en compte l’extensionspatiale du systeme : la grandeur X est en fait une fonction X(r) et elle va donc evoluer, diffe-remment, en chaque point r de l’espace. La criticalite auto-organisee apparaıt lorsque, de plus, descorrelations spatiales se developpent a mesure que les valeurs locales deX s’approchent du seuilXc.Nous reviendrons sur ce point au § 1.3.

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316 INVARIANCES D’ÉCHELLE

La surface du sol est discretisee en cellules, autrement dit representee par unreseau carre. La croissance – lente – des arbres est modelisee par un remplissagealeatoire des cases encore vides, avec un taux a1 : au temps t, il y a en moyenne a1tcellules boisees (de facon en moyenne equivalente, on peut fixer un intervalle detemps Dt1 5 1/a1 entre chaque reboisement d’une cellule). La densite moyenneen arbres, definie ici comme la fraction moyenne de cellules occupees, va ainsietre une fonction p(t) croissant au cours du temps. Les cellules etant rempliesau hasard, le remplissage ne va pas etre regulier et homogene, mais au contraireformer des amas. La statistique a l’instant t de ces amas est connue, c’est celled’un reseau de percolation de parametre p(t). Avec une frequence a2 beaucoupplus faible, on allume un feu dans une cellule du reseau (le temps moyen entredeux evenements d’ignition est donc Dt2 5 1/a2 � Dt1). Si l’etincelle tombe surune cellule boisee, elle l’enflamme et le feu se propage rapidement a toutes lescellules boisees voisines, et de proche en proche a tout l’amas auquel appartient lefoyer d’incendie. En un pas de temps, tout l’amas est brule et ensuite assimilablea un terrain nu. L’ampleur de l’incendie est simplement mesuree par le nombrede sites de l’amas brule. On va donc observer une alternance aleatoire de longuesphases de reboisement, au cours desquelles la densite p(t) croıt, separees par desincendies de durees comparativement tres courtes, au cours desquelles la densitemoyenne chute brutalement.Si p(t) est faible au moment de l’ignition, tres au-dessous du seuil de percola-tion pc, l’amas qui brule sera typiquement de taille s(p) reduite, si bien que psera tres peu affectee par l’incendie et reprendra tres vite sa progression. Si aucontraire p(t) > pc, une cellule aura une probabilite P [p(t)] > 0 d’appartenir al’amas infini ; typiquement, l’incendie va donc enflammer un amas contenant unefraction finie de sites, si bien que p(t) va chuter de beaucoup. Si on laisse le sys-teme evoluer, il va se stabiliser dans un etat intermediaire entre les deux situationsextremes, instables, que nous venons de decrire : on observe numeriquement quep tend vers pc. Le systeme va ainsi spontanement s’auto-organiser de facon que sadensite moyenne soit egale au seuil de percolation pc. On a donc bien une situationde criticalite auto-organisee. On peut preciser quantitativement cette affirmation,en montrant que la distribution en taille P (A) des incendies suit une loi de puis-sance [Bak et al. 1990] [Drossel et Schwabl 1992] :

P (A) ∼ A−m avec m ≈ 1,3 (10.4)

Les fluctuations de densite sont invariantes d’echelle : elles ont la forme de loi depuissance, refletant l’absence de taille caracteristique dans ce phenomene (hormisbien sur les effets lies a la taille finie du reseau rencontres dans les simulations,qui viennent tronquer les lois de puissance). Une variante du modele est de nebruler en un pas de temps que les cellules proches voisines de cellules enflammees.La duree T de l’incendie devient une autre facon de mesurer son importance ;on observe egalement une distribution en loi de puissance pour les durees. Lasimulation reproduit ici correctement les donnees reelles ; l’analyse des donneesenregistrees sur les feux de foret se produisant dans les grandes forets des Etats-Unis ou en Australie met effectivement en evidence un comportement en loi depuissance P (A) ∼ A−1,3 [Turcotte 1999].

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10. PHÉNOMÈNES CRITIQUES AUTO-ORGANISÉS 317

Pour conclure, soulignons deux caracteristiques importantes de ce modele, quenous retrouverons dans d’autres exemples de criticalite auto-organisee :

– la grande separation entre l’echelle de temps du reboisement et celle, tresrapide, de la « relaxation » (l’incendie) ;

– la stabilite globale du point critique : la dynamique globale amene spontanementle systeme en ce point.

1.3. Les ingrédients essentiels

Le comportement des tas de sable et celui de feux de foret ont ete pris commeimage de reference pour aborder d’autres problemes : avalanches et glissementsde terrain, eruptions volcaniques et tremblements de terre, ecosystemes, mar-ches financiers et economiques, trafic routier, fronts de diffusion et de croissance.Avant de presenter ces differentes situations, et pour mieux discuter leur simili-tude (eventuelle), nous pouvons deja resumer les points essentiels du concept decriticalite auto-organisee introduit par Bak et ses collaborateurs. Il s’applique ades systemes hors d’equilibre, evoluant spontanement vers un etat critique, au sensou celui-ci ne possede pas d’echelles caracteristiques mais au contraire une orga-nisation spatio-temporelle auto-similaire [Bak et al. 1988] [Chen et Bak 1991].Le caractere critique de ces systemes se degage plus clairement sur leur reponsea des petites perturbations exterieures : une cause tres petite peut avoir des conse-quences arbitrairement grandes, perceptibles sur des echelles d’espace et de tempselles aussi arbitrairement grandes. La traduction quantitative de cette criticaliteest la divergence des longueurs et temps de correlation : la zone et la duree de l’in-fluence d’un evenement tres localise (l’ajout d’un grain de sable au tas, l’ignitiond’un arbre) ne sont pas bornees. La signature la plus caracteristique est le bruiten 1/f . On entend par la que le spectre S(f) des correlations observees dans cessystemes suit une loi de puissance S(f) ∼ 1/fb avec b proche de 1 (du moinsdifferent de la valeur b 5 0 correspondant au bruit blanc et de la valeur b 5 2correspondant au processus de Wiener). Comme nous l’avons mentionne au § 1.1,on peut montrer qu’un tel comportement d’echelle decoule de l’existence de tresnombreux temps de relaxation, suivant une distribution en loi de puissance ; nousverrons, au § 3 du chapitre 11, qu’il reflete l’existence de correlations temporellesa toutes les echelles.La criticalite auto-organisee est un phenomene essentiellement collectif : beau-coup d’interactions simples (mais non lineaires puisqu’elles presentent un seuil destabilite) s’organisent progressivement en developpant des correlations a longueportee. Le systeme arrive ainsi dans une situation ou de nombreuses regions, cor-relees, sont proches du point de rupture. Il est alors susceptible de repondre a lamoindre perturbation de facon extremement amplifiee : on observe un evenementdont l’ampleur est sans commune mesure avec ce qui l’a provoque. Cet etat cri-tique, marginalement stable vis-a-vis des perturbations locales, apparaıt comme unetat stable de la dynamique globale : le systeme y revient spontanement, sans quecela resulte du reglage d’un parametre de controle. La criticalite auto-organiseen’a d’ailleurs pas de parametre de controle ; par exemple, modifier le taux d’injec-tion de matiere ou d’energie qui maintient le systeme hors d’equilibre n’affecteen rien les comportements observes (du moment que ce taux reste faible). Le

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318 INVARIANCES D’ÉCHELLE

concept de criticalite auto-organisee souligne que ce sont les memes causes, lesmemes mecanismes de declenchement ou de nucleation qui sont a l’origine despetits evenements et des catastrophes majeures, si bien que les deux types d’eve-nements sont tout aussi impredictibles.Les systemes critiques auto-organises sont necessairement des systemes ouvertset dissipatifs. Mais de plus, l’existence d’un seuil de stabilite local entraıne quel’echelle de temps de la « relaxation » de l’energie emmagasinee est tres courtedevant celle de l’injection, Le mecanisme associe est represente schematique-ment sur la FIG. 10.4. Le systeme accumule lentement de l’energie, sous forme decontraintes ou de deformations, et la relargue brutalement, de facon non contro-lee en amplitude, une fois franchi un seuil de tolerance. Soulignons que cettedetente se produit de facon aleatoire (et non pas des le franchissement du seuil)du fait du grand nombre de degres de liberte couples des systemes envisages. Biensur, plus les contraintes emmagasinees dans le systeme depassent le seuil, plus laprobabilite d’une catastrophe relachant ces contraintes est grande. Neanmoins, laseule prediction possible sera de ce fait de nature statistique.

Temps 1 Temps 3 Temps n

Temps 1 Temps 3 Temps n

Figure 10.4. Asymétrie temporelle des flux entrants et sortants dans la criticalité auto-organisée (partie inférieuredu schéma). Bien que les valeurs moyennes de ces flux sur des très grandes échelles de temps soient égales, il y aaccumulation lente d’énergie ou de contraintes, sur n � 1 pas de temps, et relaxation très rapide, sur un seul pas detemps. Ce mécanisme, lié à l’existence d’un seuil de stabilité dans la dynamique locale, se démarque de la situation« d’équilibre dynamique » (partie supérieure du schéma) où les flux s’équilibrent dès les courtes échelles de temps etréalisent un état stationnaire « normal ».

1.4. En pratique

La facon la plus simple de mettre en evidence une criticalite auto-organisee estde dresser l’histogramme du nombre d’evenements en fonction de leur ampli-tude ou de leur duree. Cela donne la distribution en taille P (A) des evenements ;une signature de la criticalite auto-organisee est que cette distribution suive uneloi de puissance P (A) ∼ A−m. A partir des donnees experimentales, il est plusfacile et plus fiable de considerer la probabilite P(A > A0) que les evenementsaient une amplitude superieure a A0, dite « probabilite cumulative ». La signature

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10. PHÉNOMÈNES CRITIQUES AUTO-ORGANISÉS 319

de la criticalite auto-organisee est encore un comportement en loi de puissanceP(A > A0) ∼ A1−m

0 (avec m > 1). On peut egalement determiner la distributionP (T ) des evenements de duree T , ou le nombre N(t) d’evenements de duree t ;ils suivent eux-aussi des lois de puissance dans le cas d’un systeme critique auto-organise. Une analyse plus detaillee est obtenue en determinant les correlationsspatio-temporelles ; on etudie alors le spectre de puissance S(f), transformee deFourier de la fonction de correlation temporelle, dont la forme en 1/fb avec b

proche de 1 semble etre la signature la plus claire de criticalite auto-organisee.

2. Exemples

Apres les deux exemples desormais classiques du tas de sable et des feux de foret,nous allons donner un apercu des differents phenomenes se rattachant (de faconsouvent discutee et parfois discutable) a la criticalite auto-organisee ; cette pre-sentation permettra de mieux comprendre les enjeux, les limites et l’interet de ceconcept.

2.1. Fronts de diffusion

Les fronts de diffusion peuvent etre vus comme les phenomenes critiques auto-organises associes a la percolation. Envisageons la diffusion, en dimension 2, d’unepopulation de particules dont les seules interactions sont des interactions de cœurdur3 ; dans un modele numerique sur reseau, cela correspond a interdire unedouble occupation des sites. L’exemple typique, effectivement bidimensionnel (etmeme naturellement sur reseau), est celui d’un gaz rare adsorbe sur un cristal. A ladifference des situations envisagees au chapitre 4, par exemple sur la FIG. 4.3, nousallons ici considerer le cas d’un milieu semi-infini, alimente en continu. Autrementdit, la concentration verifie la condition aux limites c(x 5 0,y,t) ≡ c0, constantequ’on peut toujours normaliser a 1 en ajustant la maille du reseau. Il ne s’agitdonc plus ici d’un phenomene de relaxation mais d’un systeme maintenu horsd’equilibre.La distribution des particules est dans ce cas la meme que celle qui serait obte-nue en remplissant localement le reseau comme un reseau de percolation, avec laprobabilite p(x,t) 5 c(x,t) solution de l’equation de diffusion ; ce modele ou laprobabilite varie dans l’espace est appele le modele de la percolation en gradient. Al’echelle microscopique accessible numeriquement, le front de diffusion est definicomme la frontiere externe du nuage de particules ; en dimension 2, cela corres-pond au chemin connexe le plus avance4. On observe alors que le front est a toutinstant localise autour de l’abscisse xc(t) telle que p(xc(t),t) 5 pc. Autrement dit,le front de diffusion se localise dans la region ou la concentration est voisine duseuil de percolation, dont nous avons decrit les proprietes critiques au chapitre 5[Gouyet 1992].

3 On appelle interaction de cœur dur une repulsion quasi-infinie a courte portee, modelisee par uncœur dur de rayon egal a la portee de cette interaction repulsive.4 En dimension 3, un chemin percolant ne constitue plus une frontiere, et le front va s’etendre surtoute une gamme de concentrations ; cependant, sa partie avancee va encore se localiser spontane-ment dans la region ou p 5 pc.

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320 INVARIANCES D’ÉCHELLE

2.2. Trafic routier et embouteillages

Les embouteillages et autres caracteristiques facheuses de la circulation routieresont etudies tres scientifiquement sous le nom de « theorie du trafic » en faisantappel a differentes notions developpees dans des domaines au premier abord etran-gers au probleme : milieux granulaires, transitions de phase, theorie cinetique desgaz, phenomenes critiques auto-organises. C’est un exemple de phenomene a lacroisee de la mecanique statistique et de la physique non lineaire [Helbing et Trei-ber 1998]. La premiere approche theorique remonte a Nagel et Schreckenberg, en1992, et a leur simulation a l’aide d’un modele de type « automate cellulaire » dutrafic routier5.

De nombreuses etudes de modeles de trafic plus realistes ont ete effectuees [Wolfet al. 1996]. On peut alors montrer que le trafic va spontanement evoluer versl’etat dynamique ou le transport est le plus efficace et que, de facon inattendue,cet etat optimal du point de vue du transit est egalement critique. D’une part, ilest plus sensible aux obstacles, qui peuvent entraıner une congestion massive etbrutale. D’autre part, il est egalement sensible aux moindres fluctuations internes,et presente spontanement des embouteillages de toutes tailles, sans cause exte-rieure. Le spectre de puissance de la dynamique intermittente associee a ce regimecritique est exactement en 1/f , refletant l’existence de correlations a longue por-tee et d’une distribution large des temps caracteristiques, en accord aussi bienavec les simulations numeriques qu’avec les observations de trafics routiers reels[Pacsuzki et Nagel 1996] [Lee et al. 1998]. Des regimes plus complexes sont obser-ves si on considere plusieurs voies en parallele (une autoroute) avec passage devehicules de l’une a l’autre, des bretelles d’entree et de sortie, et plusieurs typesde vehicules.

2.3. Tremblements de terre

Lorsque la deformation de la croute terrestre provoquee par les lents mouvementstectoniques depasse un certain seuil, il se produit une rupture, autrement ditun tremblement de terre ; l’energie est alors relachee sous formes d’ondes sis-miques. La magnitude M d’un tremblement de terre se mesure sur une echellelogarithmique. Par definition, un seisme de magnitude M est un seisme d’ampli-tude S(M) ∼ 10M . La loi experimentale de Gutenberg-Richter exprime la fre-quence cumulative N(M > M0) des tremblements de terre de magnitude Msuperieure a M0 suivant N(M > M0) ∼ 10−bM0 ; elle est valable sur une grandegamme d’echelles, precisement pour 2 � M � 6,5, avc un exposant b universel :0,8 � b � 1,1 [Gutenberg et Richter 1944, 1956]. Elle peut se reecrire en fonc-tion de S ; en utilisant la frequence N(S), derivee de la frequence cumulative, il

5 Un automate cellulaire est un modele ou le temps, l’espace mais aussi les variables d’etats neprennent que des valeurs discretes. Ils sont donc particulierement adaptes aux etudes numeriques.Typiquement, on fait bouger des particules de site en site suivant des regles probabilistes tres simples.On les utilise pour etudier de nombreux phenomenes de transport, par exemple les phenomenes dereaction-diffusion ou ceux rencontres en hydrodynamique et en dynamique des populations [Chopardet Droz 1998]. Dans le contexte de la criticalite auto-organisee, tas de sable, feux de foret et traficroutier sont etudies numeriquement a l’aide de ce type de simulations [Nagel et Schreckenberg1992].

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10. PHÉNOMÈNES CRITIQUES AUTO-ORGANISÉS 321

vient :

N(S) ∼ S−m avec m 5 1 1 b ≈ 2 (10.5)

Si on enregistre la surface A touchee par chaque tremblement de terre dans uneregion donnee sur une periode assez longue pour avoir beaucoup de points, etqu’on trace l’histogramme N(A) des resultats, on obtient egalement une loi depuissance N(A) ∼ A−m′

avec m′ ≈ m ≈ 2. Il semble ainsi que les tremblements deterre presentent de la criticalite auto-organisee. On y retrouve une tres grande dis-parite entre le mecanisme d’injection d’energie et son relargage : les contraintess’accumulent sur des echelles de temps tres longues, fixees par le mouvementdes plaques lithospheriques, alors que les evenements au cours desquels l’energieemmagasinee est relachee se produisent dans une gamme d’echelles tres courtes(neanmoins tres variables d’un evenement a l’autre). Les tremblements de terredependent de l’organisation de la surface terrestre et la modifient en retour ; cetteretroaction serait a l’origine de la criticalite auto-organisee observee.

Un modele simple a ete propose pour etudier quantitativement toutes les conse-quences de ce mecanisme de base : on place des blocs de masse m sur une plaquehorizontale, sur laquelle ils se deplacent avec un frottement solide (coefficient defriction statique Fs superieur au coefficient de friction dynamique Fd). Ils sontrelies entre eux par des ressorts (force de rappel harmonique, de raideur kc) etrelies, egalement par un ressort (de raideur kp) a une plaque horizontale supe-rieure en mouvement uniforme a la vitesse v. Les parametres de controle de cemodele sont ainsi m, v, et les rapports F 5 Fs/Fd et a 5 kc/kp (voir FIG. 10.5).Pour un petit nombre de blocs, le systeme, purement deterministe, va manifes-ter un comportement chaotique. Lorsqu’il comprend N � 1 blocs, il presenteau contraire de la criticalite auto-organisee, caracterisee par une loi d’echelleN(A) ∼ A−m′

analogue a celle observee sur les donnees sismologiques, mais avecm′th ≈ 1.3 plus faible que l’exposant m′ ≈ 2 mesure [Turcotte 1999].

v

kp

kcm

Figure 10.5. Modèle de tectonique des plaques et des tremblements de terre qui en découlent. Le modèle, bidi-mensionnel, est ici vu en coupe transverse : il faut donc imaginer des rangées de blocs, chacun étant relié par descontraintes élastiques à ses quatre voisins.

Les seismes sont en fait la manifestation d’une dynamique spatio-temporelle com-plexe, et non des evenements isoles. C’est ce que reflete la loi d’Omori decrivantla decroissance temporelle de la frequence avec laquelle on observe une serie derepliques apres un seisme (duree T comptee a partir du seisme principal) :

N(T ) ∼ T−a a ≈ 1 (10.6)

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322 INVARIANCES D’ÉCHELLE

On observe egalement que la distribution des epicentres est fractale, de dimen-sion fractale df 5 1,2. Une loi globale, unifiant la loi de Gutenberg-Richter, laloi d’Omori et le caractere fractal des zones actives a ete recemment proposee[Christensen et al. 2002]. Elle decrit la distribution des intervalles T separant lesseismes d’amplitude superieure a S (i.e. de magnitude superieure a log10 S) dansune regions de taille lineaire L :

PS,L(t) ∼ T−a f(T Ldf S−b) (10.7)

Sa validation experimentale appuie l’idee que tous les seismes, quelle que soitleur magnitude et qu’il s’agisse ou non des repliques d’un seisme plus important,resultent des memes mecanismes et participent de la meme dynamique complexe,multiechelle.

2.4. Gonflement des poumons

Les premieres etudes sur le gonflement des poumons mesuraient simplementla duree T des inspirations ; l’histogramme P (T ) semble suivre une loi de puis-sance ou, de facon equivalente, la densite spectrale semble verifier la loi d’echelleS(f) ∼ f−0,7. Mais la faible gamme de valeurs observees pour T interdit de voirdans ces resultats plus qu’un encouragement a mener une etude experimentaleplus precise de la facon dont l’air remplit les poumons.Les branches terminales des poumons se ferment durant l’expiration, et serouvrent graduellement au cours de l’inspiration. On a pu precisement mesurer(mesure locale au niveau d’une alveole) l’evolution de leur resistance (aerodyna-mique) R lorsque les poumons se remplissent a flux total constant. On observequ’a la decroissance continue de cette resistance se superposent des variationsdiscretes. La distribution de probabilite P (t) de la duree t separant deux sauts,de meme que la distribution P (A) des sauts presentent un comportement en loide puissance [Suki et al. 1994] :

P (t) ∼ t−a ou a 5 2,5 ± 0,2, P (A) ∼ A−m ou m 5 1,8 ± 0,2 (10.8)

Un modele theorique, fonde sur la structure hierarchique du reseau pulmonaire etdecrivant l’ouverture en cascade de ses branches (l’analogue des avalanches d’untas de sable) permet de rendre compte de ces lois d’echelle [Barabasi et al. 1996].La modification de leurs exposants apparaıt comme une signature de certainespathologies respiratoires.

2.5. Écosystèmes et évolution

L’etude des fossiles a permis d’obtenir une certaine connaissance de la disparitiondes especes ancestrales [Newman et Eble 1999]. On a ainsi pu mettre en evi-dence que les extinctions ne se sont pas produites continument mais sous formed’evenements de duree tres courte a l’echelle de l’evolution. Dans le contexte desecosystemes, la criticalite signifie que les especes sont tres interdependantes, parexemple via des chaınes alimentaires. Toutes les especes couplees pouvant dispa-raıtre en meme temps, on comprend qu’il puisse alors se produire des evenementsd’extinction majeurs [Newman 1997].

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10. PHÉNOMÈNES CRITIQUES AUTO-ORGANISÉS 323

Un modele, le modele de Bak et Sneppen, a ete concu pour tenter de saisir lesmecanismes essentiels a l’origine de cette caracteristique de l’evolution6 [Bak etSneppen 1993]. Ce modele, qui n’a pas l’ambition de decrire la realite mais seule-ment de suggerer un mecanisme plausible, est le suivant. On place les especes surun reseau, virtuel (c’est-a-dire sans espace physique sous-jacent) representant lereseau d’interactions : les especes voisines sur le reseau sont celles qui sont cou-plees, par exemple par une relation alimentaire. On note f(i) la valeur adaptative(fitness value) de l’espece i : c’est un nombre compris entre 0 et 1, tel que letemps caracteristique de survie de cette espece, si elle etait isolee, serait :

ti 5 eb(fi−fref ) (10.9)

Une espece dont la valeur adaptative devient inferieure au seuil fref fixe s’eteint.Le fait que les especes soient interdependantes entraıne qu’un changement devaleur adaptative de l’une peut se repercuter sur la valeur des autres et entraınerune reorganisation d’abord locale, puis de proche en proche globale de l’ecosys-teme. L’algorithme d’evolution consiste a prendre l’espece i ayant la valeur adap-tative minimale et a remplacer celle-ci par une valeur aleatoire ri. On modifieegalement les voisins, en remplacant fi±1 par (fi±1 1 ri±1)/2. On observe desavalanches d’extinctions et une evolution spontanee des valeurs adaptatives versune valeur fc. Une fois atteint cet etat globalement stationnaire, on observe unealternance d’extinctions en chaıne et de phases de repos, dont la duree T suitla statistique N(T ) ∼ 1/T . On parle d’equilibre « ponctue » (punctuated equi-librium) pour designer l’intermittence observee dans l’histogramme, reconstruita partir des donnees fossiles, des extinctions. Des modeles plus sophistiques ontete developpes depuis, reprenant l’idee de base que nous venons presenter maisprenant mieux en compte l’evolution et la dynamique adptative des ecosystemes[Kauffman 1993] [Newman 2000].

2.6. Autres exemples

Par certains aspects, la turbulence developpee (§ 5, chapitre 9) est un pheno-mene critique auto-organise : lorsque Re � 1, il y a une grande separation entrel’echelle (macroscopique) a laquelle l’energie est injectee et l’echelle (microsco-pique) a laquelle la dissipation visqueuse prend place. Le « raccord » entre ces deuxechelles s’etablit spontanement par une organisation spatio-temporelle fractale,assurant le transit optimal de l’energie de l’echelle d’injection jusqu’a l’echelle dela dissipation.Le concept de criticalite auto-organisee a egalement ete invoque avec plus oumoins de pertinence en sciences sociales. Par exemple, Richardson (deja rencontrepour ses travaux sur la turbulence) a montre que la frequence des guerres suivantune loi de puissance en fonction de leur intensite, mesuree en nombre de morts[Richardson 1941]. Des etudes plus recentes, rapportant le nombre de morts ala population totale impliquee dans le conflit, donnent encore une loi d’echelle,d’exposant −1,39. Une mise en garde generale dans ce genre d’analyse est d’unepart que les donnees sont en nombre tres reduit par rapport aux echantillons dis-ponibles en physique et en biologie, d’autre part que les experiences ne sont pas

6 Nous ne discuterons pas ici la fiabilite des observations et la realite du phenomene que le modelese propose de reproduire et d’expliquer.

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324 INVARIANCES D’ÉCHELLE

reproductibles : d’une observation a l’autre, le contexte a evolue et cette non-stationnarite peut grandement affecter le phenomene etudie (d’une facon impos-sible a apprecier quantitativement) voire contenir ses causes reelles. Il est enfindifficile de determiner des indices quantitatifs pertinents et absolus. L’exemplecite est en ce sens significatif : quelle est la « bonne » facon de mesurer l’intensited’une guerre ? compte tenu de l’evolution de l’armement, de l’evolution des popu-lations et meme de l’evolution des « cibles », le nombre de morts est un indice pourle moins discutable.On peut donc s’interroger sur l’interet, et eventuellement noter le danger, d’ex-trapoler un concept ancre dans des lois dynamiques simples a des domaines oul’existence de principes organisateurs universels et permanents n’est en rien eta-blie.

3. Conclusion

3.1. Vers des schémas explicatifs : boucles de rétroaction et stabilité marginale

Les premieres etudes et l’emergence meme du concept de criticalite auto-organisee se sont faites a partir de simulations numeriques, confrontees auxobservations experimentales. Elles ont de ce fait mis l’accent sur les observablespertinentes et sur les signatures de la criticalite auto-organisee detectables dansles donnees : forme en loi de puissance de la distribution P (A) de l’amplitudeA des evenements (les « avalanches ») ainsi que de la distribution P (T ) de leurstemps caracteristiques T ; cette invariance d’echelle se reflete egalement dansune dependance S(f) ∼ f−b de la densite spectrale, baptisee « bruit en 1/f »,mais qu’il faut voir non comme un bruit mais comme l’expression de correla-tions temporelles a longue portee (voir aussi § 3, chapitre 11). L’investigationnumerique de modeles minimaux a permis de degager dans chaque contexte lesingredients essentiels au phenomene.La question qu’il reste a aborder pour reellement comprendre le phenomene estcelle des mecanismes a l’œuvre dans la criticalite auto-organisee. L’exemple desfeux de foret est peut-etre le plus instructif ; traduisons les conclusions degageesau § 1.2 en termes dynamiques :

– la reponse locale du systeme presente un seuil (ici la densite locale d’arbres) :en dessous de ce seuil, une perturbation exterieure est sans effet notable. Unefonction de reponse en marche est ainsi un ingredient necessaire : il ne peut yavoir de criticalite auto-organisee si la reponse locale est graduee ;

– l’echelle a laquelle l’energie ou la matiere sont injectees est tres lente, compareea celle de la dynamique locale. De ce fait, l’evolution de l’etat du systeme etl’evolution du parametre de controle p n’ont pas lieu sur les memes echelles detemps : a chaque instant, l’etat du systeme s’adapte rapidement a la valeur p(t)comme s’il s’agissait d’une valeur fixe du parametre ;

– l’etat global, quantifie par le parametre d’ordre P (p), controle la reponse dusysteme a une ignition spontanee : le mecanisme-cle est ainsi une retroactiondu parametre d’ordre sur le parametre de controle, lequel controle l’etat local etpar suite les proprietes de reponse locales du systeme ;

– la valeur p 5 pc est stable pour la dynamique globale.

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10. PHÉNOMÈNES CRITIQUES AUTO-ORGANISÉS 325

L’idee a retenir est ainsi que la dynamique collective retroagit sur l’evolutionlocale, d’une facon telle que l’etat critique se trouve etre l’attracteur du systeme[Gil et Sornette 1996]. Cette idee peut etre validee experimentalement en intro-duisant artificiellement un couplage entre le parametre d’ordre et le parametrede controle dans diverses transitions de phase, par exemple la transition liquide-gaz, la transition superfluide de l’Helium 4 ou la supraconductivite. L’idee est deconcevoir un appareil sensible a la longueur de correlation j et faisant evoluerla temperature dans le sens qui fait croıtre cette longueur j. Dans le cas de latransition liquide-gaz, on realise cet objectif en utilisant la diffusion de la lumiere,sensible a la compressibilite isotherme, elle-meme reliee a j ; le resultat est ensuitecouple au thermostat regulant la temperature du milieu [Sornette 1992] [Fraysseet al. 1993].

3.2. Succès et réserves

De facon tres schematique, le terme de criticalite auto-organisee s’applique auxsystemes dissipatifs presentant spontanement une invariance d’echelle spatio-temporelle, en particulier une dissipation d’energie a toutes les echelles. C’estun phenomene « complexe », au sens ou il implique un grand nombre d’elementsdont le comportement global, collectif, ne se deduit pas simplement des com-portements individuels. On y retrouve les notions decrites tout au long de celivre, qu’on pourrait resumer sous le nom de « physique des exposants ». Validerl’appellation de « criticalite auto-organisee » dans une situation concrete donneeexigerait d’avoir une definition consensuelle et surtout operatoire. Les differentsaspects soulignes dans les exemples des paragraphes precedents montrent qu’unetelle definition n’existe pas encore (et n’existera peut-etre jamais). Il y a desprecedents : la notion de fractale n’est pas non plus strictement definie, sinonpar le biais de la loi d’echelle caracterisant la dimension fractale. La loi d’echellereliant la taille des evenements observes a leur probabilite pourrait jouer ici lememe role.La reserve que nous pouvons emettre est que ce concept ne s’accompagne pasa ce jour d’un cadre methodologique operationnel. La criticalite auto-organiseetelle qu’elle est observee dans des modeles numeriques (automates cellulaires) estainsi un concept un peu sterile, du moins purement descriptif, puisqu’il ne lui estpas associe d’outils specifiques qui permettraient d’avancer vers l’explication desmecanismes a l’origine du phenomene. Identifier de la criticalite auto-organiseedans un phenomene peut ainsi apparaıtre comme un simple resume, certes conciset elegant, d’un ensemble de proprietes d’echelle remarquables.De facon plus positive, la criticalite auto-organisee est un phenomene interessanta detecter dans la mesure ou elle revele une universalite des mecanismes a l’œuvredans le systeme, et montrant qu’il est inutile de chercher une explication pour leevenements « normaux » et une autre specifique aux « catastrophes ». Elle metl’accent sur l’organisation hierarchique des correlations et des contraintes. L’inte-ret du concept est d’unifier une categorie de phenomenes critiques, et de formerl’intuition en offrant quelques modeles a la fois frappants et familiers. Commele chaos deterministe, c’est un nouveau paradigme mais il n’a pas encore atteint

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la maturite a la fois conceptuelle et operatoire du premier. L’analyse quantita-tive des modeles presentes dans ce chapitre est une premiere etape, et de nom-breuses autres restent a franchir dans ce domaine encore peu defriche des sys-temes complexes. Nous soulignerons l’importance des idees de stabilite marginale,qui explique le caractere aleatoire de la reponse a une perturbation, et de bouclesde retroaction (ou « circuits de regulation »), lesquelles expliquent la possibilited’amplification en cascade et de reponse a toutes les echelles. Il paraıt clair queseule une vision globale, multiechelle pourra faire avancer l’etude d’un systemecomplexe. Il faut ainsi chercher a comprendre l’organisation interechelles, la ges-tion globale des flux, les frustrations et competitions presentes dans le systeme,de facon a determiner les differents compromis fournissant chacun une versionpossible du comportement spatio-temporel du systeme.Nous renvoyons pour davantage d’exemples et de plus amples discussions aux nom-breux articles et ouvrages existant sur le sujet, par exemple [Bak 1996], [Jensen1998] et [Sornette 2000].

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CHAPITRE

11INVARIANCE D’ECHELLE

EN BIOLOGIE

1. Introduction

Nous allons montrer dans ce chapitre que la biologie n’echappe pas a l’omni-presence des lois d’echelle et des structures auto-similaires qui les sous-tendent.Certains auteurs vont jusqu’a suggerer qu’il existe des lois d’echelle qui pourraientetre specifiques des systemes vivants et de leur organisation multiechelle particu-liere, et refleter qu’ils sont le resultat de l’evolution.Les proprietes d’echelle les plus evidentes sont celles associees aux nombreusesstructures fractales visibles chez les organismes vivants : structure ramifiee dessystemes vasculaires et des neurones, structure alveolaire des poumons, structureporeuse des os. Il ne faut pas oublier le regne vegetal, avec le reseau des racinesd’une plante et les ramifications des nervures de ses feuilles, les inflorescencesd’un chou-fleur ou les feuilles d’une fougere. La raison d’etre de ces structuresfractales, etablies par essais successifs au cours de l’evolution, est qu’elles opti-misent les surfaces d’echanges, internes ou avec l’environnement, a volume donne(le volume correspond a de la matiere a construire et a entretenir, il est donccouteux) et maximisent les courants et les flux metaboliques.Il existe d’autres invariances d’echelle, moins flagrantes. Nous presenterons prin-cipalement les lois d’echelle allometriques, decrivant la similitude observee, apreschangements d’echelle, entre les formes mais aussi les metabolismes de differentsorganismes, appartenant a des especes parfois eloignees. Bien que leur origine,voire leurs exposants, restent controverses, elles refleteraient une certaine univer-salite, aussi bien structurale que fonctionnelle, de l’organisation des etres vivants[Brown et West 2000] [Vicsek 2001].

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11. INVARIANCE D’ÉCHELLE EN BIOLOGIE 329

D’autres lois d’echelle sont observees a l’interieur d’un meme etre vivant ; ellesapparaissent sous la forme de correlations a longue portee et refletent l’existencede phenomenes collectifs. Nous presenterons quelques exemples typiques et recon-nus par les biologistes : sequences d’ADN, rythme cardiaque, fonctionnement cere-bral tel qu’il est observe par electro-encephalogramme. Nous detaillerons dans cescas particuliers quelques methodes d’analyse generales : l’analyse spectrale, l’ana-lyse des fluctuations apres correction de la non-stationnarite, la transformationen ondelettes. Si elles sont positives, des correlations a longue portee traduisentl’emergence de comportements collectifs, entraınant l’apparition de proprietesradicalement nouvelles aux echelles superieures. Les correlations negatives (anti-correlations) a longue portee sont quant a elles cruciales pour l’homeostasie, c’est-a-dire la stabilite et la robustesse des processus physiologiques. Il est ainsi fort pro-bable que des correlations a longue portee se retrouvent dans de nombreuses fonc-tions biologiques. Nous suggerons qu’elles resultent d’un delicat compromis entred’une part la dynamique locale et d’autre part les contraintes et les mecanismesd’alimentation ou de regulation, prenant place a une echelle tres superieure.Passant enfin du niveau d’un organisme a celui des ecosystemes, on trouve la aussides proprietes d’echelle refletant quantitativement la complexite de leur dyna-mique spatio-temporelle. Nous en avons vu un exemple avec la rarete intermittentede certaines especes (§ 4.2, chapitre 9).Les themes de ce chapitre rejoignent ceux abordes au chapitre 10 : le concept decriticalite auto-organisee partage avec le vivant les ingredients majeurs que sontl’auto-organisation et le caractere ouvert, dissipatif, et multi-echelle des systemesconsideres. S’appuyer sur les proprietes d’echelle des systemes vivants, et utili-ser les outils developpes en physique dans ce contexte, peut etre pertinent pourdecrire, mesurer et comprendre leur complexite.

Figure 11.1. Loi de Kleiber géné-ralisée énonçant une dépendanceen M3/4 du métabolisme au repos,observée à différents niveaux et dansdifférentes espèces (d’après [West1999]).

log

(Mét

abol

ism

e)

Cytochrome

Cellule demammifère

Mitochondrie

Éléphant

Musaraigne

5

0

– 5

– 10

– 15

– 20– 20 – 15 – 10 – 5 0 5 10

log (Masse)

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330 INVARIANCES D’ÉCHELLE

2. Universalité dans le métabolisme des systèmes vivants

2.1. Observation de lois d’échelle allométriques

La premiere famille de lois d’echelle que nous envisagerons exprime une invarianced’echelle dite allometrique, observee lorsqu’on compare des animaux (especes dif-ferentes ou individus au sein d’une meme espece) de masses M differentes ; ils’agit ainsi de lois d’echelle de la forme Y 5 Y0 M

b, pour diverses observables Y .De telles lois sont mises en evidence a partir des donnees experimentales (M ,Y )representees sur un graphe log-log ; Y0 n’etant pas universel ni meme robuste, onecrira plutot Y ∼M b.La quantite la plus etudiee est le taux metabolique B au repos, c’est-a-dire laquantite d’energie dont l’organisme a besoin chaque jour pour simplement res-ter vivant. Comme il s’agit de metabolisme au repos, on peut penser que ce tauxmetabolique est proportionnel a la dissipation thermique. On s’attend ainsi intui-tivement a ce que B ∼ M2/3, d’apres l’argument que la dissipation de chaleur sefait a travers l’enveloppe corporelle, dont la surface se comporte en V 2/3, la den-site pouvant en premiere approximation etre consideree comme constante. Depuisles travaux fondateurs de Kleiber, cette idee a ete supplantee par celle d’une loid’echelle « anormale » [Kleiber 1932] [Kleiber 1947] :

B ∼M3/4 (loi de Kleiber) (11.1)

qui porte maintenant son nom. L’energie requise par jour, rapportee a l’unite demasse (taux metabolique specifique), se comporte donc commeM−1/4 : plus l’or-ganisme est gros, moins cela lui coute de maintenir en vie un kilogramme delui-meme [Kleiber 1961]. Cette idee avait deja ete soulignee par d’Arcy Thompson[D’Arcy Thompson 1917] : il n’existe pas de mammifere de taille inferieure a cellede la musaraigne. Cette limitation est d’autant plus forte que le milieu exterieurest dissipatif : par exemple, il n’existe pas de petit mammifere marin. Un gros orga-nisme consomme quand meme plus dans l’absolu, ce qui requiert des ressourcesabondantes ; d’autres contraintes viennent par ailleurs limiter superieurement lataille, par exemple la resistance du squelette ou la pression arterielle. Un exempleinedit est donne par Rothen : celui des Lilliputiens decrits dans Les voyages deGulliver. Utilisant la loi de Kleiber, on peut calculer la quantite de nourriturenecessaire a un Lilliputien : elle est superieure a celle donnee par Jonathan Swift,qui ne connaissait pas cette loi enM3/4 [Rothen 1999].Les lois d’echelle allometriques s’etendent aux rythmes biologiques et aux tempscaracteristiques tels la duree de vie (∼ M−1/4), la duree du developpement del’embryon (gestation chez les mammiferes) et la frequence cardiaque (∼ M1/4) :les gros animaux vivent plus lentement et plus longtemps. L’observation de cesautres lois de puissance, dont les exposants sont egalement des multiples simples(entiers ou demi-entiers) de 1/4, renforcent la plausibilite de celle relative aumetabolisme.L’essor de la notion de fractale et des theories d’echelle a reactualise la questionde l’origine et de l’universalite de la loi de Kleiber, initialement observee chezles mammiferes. Des chercheurs affirment (peut-etre exagerement) qu’on peutetendre cette loi d’echelle du metabolisme non seulement aux plantes, mais aussiaux organismes unicellulaires et meme aux organites impliques dans la gestion

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11. INVARIANCE D’ÉCHELLE EN BIOLOGIE 331

des flux d’energie, par exemple les mitochondries (siege de la respiration cellu-laire chez les animaux) et les chloroplastes (siege de la photosynthese chez lesplantes), qui sont en quelque sorte les unites de base de « l’usine metabolique »(voir FIG. 11.1) [West 1999]. L’idee est que les memes principes de transport et detransformation de l’energie sont a l’œuvre au niveau des organes (pour alimenterles cellules) et a l’interieur des cellules (pour alimenter les mitochondries ou leschloroplastes).Ces lois d’echelle ne mentionnent pas les prefacteurs : elles ne peuvent donc enaucun cas etre utilisees pour determiner la valeur des quantites Y considerees ci-dessus connaissant la masse M typique de l’animal, mais seulement pour decrireou predire comment varient ces quantites quand M varie. Ces lois sont d’ailleursinteressantes non pas tellement pour leur pouvoir de prediction, au demeurantlimite, mais en ce qu’elles refleteraient des principes universels de construction etde fonctionnnement des systemes vivants. Elles sont un intermediaire quantitatifvia la valeur de leur exposant entre les mesures experimentales et les schemas plustheoriques d’organisation du vivant. Soulignons des a present qu’il faut considererces lois avec prudence, eventuellement discuter leur validite experimentale ou dumoins delimiter soigneusement les limites de leur validite, avant d’en chercher desjustifications (§ 2.3).

2.2. Les explications proposées

Les premieres justifications de la loi de Kleiber s’appuient simplement sur l’ana-lyse dimensionnelle des tissus, des temps physiologiques et de la diffusion en jeu.Elles font intervenir beaucoup d’hypotheses specifiques et ne peuvent donc pasconstituer une explication valable si la loi s’avere aussi universelle que certainsresultats le laissent penser [Blum 1977].• Parmi les avancees les plus recentes, une premiere explication repose sur le faitque le metabolisme des etres vivants est conditionne par le transport de substances(nutriment, oxygene) a travers des reseaux ramifies (fractals1), remplissant toutl’espace et dont la structure hierarchique se termine par des branches elemen-taires (les capillaires) ayant la meme taille chez toutes les especes. Elle s’appuieensuite sur une description hydrodynamique (assez rudimentaire, voire irrealiste)du transport et de la dissipation dans ces reseaux [West et al. 1997].• Une seconde explication a ensuite ete proposee par les memes auteurs, repre-nant de facon plus simple et plus generale leurs premiers arguments [West et al.1999]. La difference majeure est qu’elle ne fait plus explicitement reference autransport de fluide nourricier (sang, seve) a travers un reseau, ce qui permet del’appliquer a des organismes unicellulaires. Elle reste par contre fondee sur l’exis-tence d’une echelle minimale a universelle (identique chez toutes les especes) etd’une organisation hierarchique pour le metabolisme, partant de ce niveau ele-mentaire a et faconnee au cours de l’evolution2 pour optimiser l’efficacite du

1 Ils ne sont pas strictement fractals dans la mesure ou ils possedent une echelle minimale a et uneechelle maximale (la taille de l’organisme).2 Le terme d’evolution, associe a la pensee darwinienne, fait reference a la suite de mutations et deselections ayant produit la diversite des especes vivantes actuelles. On parle de selection « naturelle »au sens ou emergent spontanement, « arithmetiquement » les especes qui se reproduisent les plusefficacement a long terme. Il est important de voir que l’evolution fournit seulement a posteriori un

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332 INVARIANCES D’ÉCHELLE

metabolisme. Cette echelle a est typiquement une echelle moleculaire (celle d’uneenzyme impliquee dans l’assimilation de l’oxygene ou d’une enzyme necessaire a laphotosynthese) ou une echelle cellulaire (taille d’un globule rouge, par exemple).Notons que cette explication rejoint la premiere puisque l’existence et l’architec-ture des reseaux de transport est un produit de l’evolution ; elle se place simple-ment plus en amont dans l’enchaınement des causes. Ces deux explications sontpresentees ci-dessous plus en detail.• Une explication alternative, ne supposant pas que le reseau d’alimentation estfractal, a egalement ete suggeree [Banavar et al. 1999]. L’argument, tres resume,est le suivant : soit L la distance moyenne parcourue par un nutriment ou unemolecule de gaz avant d’atteindre le site ou il sera « consomme » Le reseau des-sert tout le volume de l’organisme, donc le nombre de sites varie comme L3. Laquantite totale de nutriments se comporte ainsi comme L4, puisqu’il faut a un ins-tant donne tenir compte de la fraction en train d’etre transportee jusqu’aux sitesactifs. Cette quantite totale, directement reliee au volume du fluide transporteur(sang ou seve), est proportionnelle a la masseM de l’organisme, d’ou les relationsL ∼ M1/4 et B ∼ M3/4 puisque le metabolisme est controle par le nombre desites de consommation. Cet argument, generalise aux reseaux hydrographiques3,montre que ces lois de puissance anormales, non euclidiennes, sont une caracte-ristique tout a fait generale des reseaux d’architecture optimale, i.e. assurant letransport le plus efficacement possible.• Les avis restent donc tres partages sur la validite de l’une ou l’autre de ces expli-cations : la question est loin d’etre close ! De plus, un argument pour rejeter lesapproches de ce type4 est que, dans ces modeles, la quantite de sang contenuedans les gros vaisseaux (et donc inutile pour les echanges d’oxygene ou de meta-bolites) est beaucoup plus grande que celle contenue dans les capillaires.

Hydrodynamique dans un reseau ou optimisation du metabolismeDetaillons la mise en œuvre quantitative des arguments avances par West, Brown etEnquist. Leur premiere explication repose sur les hypotheses suivantes :1. la dissipation d’energie controlant B se produit au cours du transport a travers lesreseaux d’alimentation ;2. ces reseaux remplissent tout l’espace de telle facon que toutes les cellules soientapprovisionnees ;3. les branches terminales de ces reseaux (les capillaires) ont les memes carac-teristiques geometriques et hydrodynamiques chez toutes les especes ;4. ils sont auto-similaires dans une gamme d’echelle bornee superieurement par lataille de l’organisme et inferieurement par la taille universelle des branches termi-nales ;5. les organismes ont evolue de facon a minimiser l’energie necessaire a leur survie,en l’occurrence l’energie dissipee lors du transport du fluide (sang ou seve) a traverstout le reseau.Nous allons voir que la conjonction de ces contraintes geometriques, dynamiques etenergetiques suffit a rendre compte des lois d’echelle empiriques, en particulier dela loi de Kleiber. Nous utiliserons le vocabulaire du reseau cardiovasculaire, mais le

3 Ces reseaux sont inscrits dans le plan (d 5 2) : il s’agit alors d’expliquer l’existence de lois d’echelledont les exposants sont multiples de 1/(d 1 1) 5 1/3.4 Nous remercions Pierre-Gilles de Gennes pour nous avoir suggere cet argument.

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11. INVARIANCE D’ÉCHELLE EN BIOLOGIE 333

raisonnement reste valable pour le systeme respiratoire (le fluide est alors du gaz) oule reseau vasculaire des plantes (le fluide est la seve).On indexe par k 5 0, . . . ,K les « niveaux » du reseau ; k est aussi le nombre de pointsde branchement rencontres depuis l’aorte (k 5 0). Une branche de niveau k − 1 seramifie en nk branches5. On a donc Nk 5 n0n1 . . . nk (avec n0 5 1 donc N0 5 1)et par consequent nk 5 Nk11/Nk. L’auto-similarite du reseau (hypothese 4) assureque nk 5 n est independant de k, donc que Nk ∼ nk. Un vaisseau de niveau k a unrayon rk et une longueur lk ; le sang y a une vitesse uk (moyennee sur la section dutube) et la pression chute de Dpk entre ses extremites. On notera gk 5 lk11/lk etbk 5 rk11/rk. Le debit dans la branche est fk 5 pr2

kuk. Le debit total dans le reseauetant constant (pas d’accumulation de fluide, le regime est permanent), on a :

Nkfk ≡ pNkr2kuk 5 cte 5 f0 ∼ B ∼Ma donc

uk11

uk5 nb2

k (11.2)

La forme d’echelle B ∼ Ma est ici supposee au vu des resultats experimentaux ;l’objectif est de determiner la valeur de son exposant. L’hypothese 3 suivant laquellele dernier niveau (k 5 K) est universel entraıne que lK , rK et uK sont independantsde M , donc aussi fK , si bien que B ∼ NK . Ce nombre total NK de branches secomportant comme nK , on en tire que le nombre K de niveaux varie avec la masseM de l’organisme comme K ∼ a log M/ log n. Le reseau etant suppose remplir toutl’espace (hypothese 2), sa dimension fractale est egale a 3 donc Nk ∼ l3

k ; comme parailleurs Nk ∼ nk, il vient gk 5 g ∼ n−1/3.Une premiere facon de poursuivre est de s’appuyer sur l’auto-similarite (hypothese 4)de la structure pour supposer que l’aire totale a un niveau k donne est independantede k. Il s’ensuit que bk 5 b ∼ n−1/2 est independant de k et donc que la vitesseuk 5 u est independante de k. Comme ngb2 ∼ n−1/3 < 1 et K � 1, le volume totalde fluide, proportionnel a la masse, s’ecrit :

VK ∼(gb2)−K

1− ngb2 ∼ M (11.3)

d’ou K ∼ − log M/ log(gb2). En comparant avec la precedente expression de K, ilvient6 a 5 − log n/ log(gb2). En reportant les valeurs g ∼ n−1/3 et b ∼ n−1/2, ontrouve finalement a 5 3/4. Ce raisonnement, reposant sur l’hypothese de conserva-tion de la section totale du reseau quand on change de niveau, est correct pour lesplantes, ou la consequence uk 5 u 5 cte est effectivement observee. Il est incorrectpour les systemes cardio-vasculaires des mammiferes, car en desaccord avec les obser-vations experimentales montrant le ralentissement du sang au niveau des capillaires,permettant ainsi l’assimilation des substances nutritives et des gaz.Il faut donc abandonner l’hypothese de conservation de l’aire totale et s’appuyer surla contrainte de minimisation de l’energie dissipee (hypothese 5). Elle se ramene a

5 Pour mettre en œuvre simplement les hypotheses de base du modele, on ajoute une hypothesed’uniformite du reseau : les ramifications issues d’un niveau k − 1 donne sont toutes identiques,caracterisees par un seul nombre de branchement nk. De meme, les branches d’un meme niveauk sont decrites par les memes parametres rk, lk, uk. Cette hypothese peut etre assouplie en intro-duisant une dispersion statistique, sans changer fondamentalement le resultat ; le reseau est alorsfractal au sens statistique.6 Cette formule est vraie des que nk, gk et bk ne dependent pas de k.

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334 INVARIANCES D’ÉCHELLE

minimiser la resistance hydrodynamique totale du reseau7. Il vient ainsi bk ∼ n−1/3,ce qui donne un exposant incorrect a 5 1.La solution adoptee par West, Brown et Enquist est de recourir a un modele hybride,dans lequel la dependance en k de bk prend la forme simple d’un crossover. On auraencore bk ∼ n−1/2 dans les premiers niveaux (petites valeurs de k, conservation del’aire totale). On determine par contre l’expression de bk dans les derniers niveaux enminimisant la resistance hydrodynamique, (celle-ci est en effet essentiellement dueaux capillaires). Il vient de cette facon bk ∼ n−1/3 aux grandes valeurs de k. On peutainsi reproduire un rapport u0/uK ≈ 250 en accord avec la realite, et obtenir unevaleur a 5 3/4 pour l’exposant. On montre egalement que le diametre 2r0 de l’aortecroıt avec la masse comme M3/8.Les critiques formulees envers cette explication concernent d’une part le caracteread hoc de ce modele hybride, multipliant les arguments et les hypotheses pour coller ala realite experimentale, et d’autre part l’hypothese (iv) d’auto-similarite, de laquelleon a deduit que nk 5 n ne dependait pas de k. Cette relation n’est en rien neces-saire, et on peut effectivement construire des reseaux d’efficacite optimisee avec nkdependant de k [Banavar et al. 1999] [Dodds et al. 2001]La seconde explication, introduite pour ne plus faire appel a des arguments hydrody-namiques (contestes), est plus abstraite. Le raisonnement est le suivant : le reseaumetabolique possede des echelles l1 . . . ln, variant avec la taille de l’organisme, etune echelle minimale l0 universelle (la section des capillaires, par exemple). L’aired’echange des gaz et substances nutritives s’ecrit par un simple argument dimen-sionnel :

A(l0,l1, . . . ,ln) 5 l21eA� l0

l1, . . . ,

lnl1

�(11.4)

Envisageons une transformation d’echelle ; elle transforme li en lli, sauf si i 5 0 : l0

ne change pas. En consequence,

A(l) ≡ A(l0,ll1, . . . ,lln) 5 l2l2

1eA� l0

ll1, . . . ,

lnl1

�(11.5)

A la difference de ce qu’on aurait dans un reseau invariant d’echelle, A(l) fi l2A(1) ;il reste une dependance explicite en l dans eA. Le caractere hierarchique des reseauxmetaboliques (au sens large, il n’y a pas forcement ici de reseau de distributionconcret) justifie une forme en loi de puissance pour eA :eA(x0,x1, . . . ,xn) ∼ x−eA

0 avec 0 6 eA 6 1 (11.6)

Il vient ainsi :

A(l) ∼ l21eA A(1) (11.7)

Le volume biologique V implique dans le metabolisme s’ecrit V ≡ AL ∼M . On menepour la longueur caracteristique L le meme raisonnement que pour l’aire d’echangeA, ce qui conduit a :

L(l) ∼ l11eL L(1) (11.8)

7 La resistance hydrodynamique d’une branche du niveau k est donnee par la formule de Poiseuille :Rk 5 8mlk/pr4

k ou m est la viscosite du fluide. Les resistances des niveaux, en serie, s’ajoutent ;dans un niveau, les branches sont en parallele et ce sont les inverses des resistances qui s’ajoutent. Ilvient Rtot 5

PKk50Rk/Nk ≈ RK/[NK(1 − nb4)]. Nous noterons cependant que ce raisonnement

est tres discutable dans le cas du sang, qui ne se comporte pas du tout comme un liquide ordinaire(circulation beaucoup plus rapide dans les capillaires adaptes a la taille des globules).

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11. INVARIANCE D’ÉCHELLE EN BIOLOGIE 335

d’ou :M(l) ∼ l

31eL1eA M(1) (11.9)

et donc :

A ∼ M (21eA) / (31eL1eA) (11.10)

On determine les exposants eA et eL en ecrivant que le metabolisme est optimal(comme resultat de l’evolution). A M fixe, maximiser A par rapport a eA et eL conduita eA 5 1 et eL 5 0 d’ou l’on tire que :

B ∼ A ∼M3/4 (11.11)

L’exposant de l’aire d’echange vaut 2 1 eA 5 3, ce qui montre que le reseau remplitl’espace et met bien en jeu toutes les cellules de l’organisme.

2.3. Fiabilité de la loi d’échelle : des objections !

L’origine des lois d’echelle allometriques, voire meme leur validite, reste cepen-dant controversee. Une re-analyse statistique des donnees experimentales de Klei-ber et de ses contemporains semble montrer qu’on ne peut pas rejeter la valeurintuitive a 5 2/3 en faveur de la plus surprenante valeur a 5 3/4 [Dodds et al.2001]. Nous reportons le lecteur aux articles originaux pour determiner sa posi-tion personnelle dans le debat [Kleiber 1932] [Brody 1945]. Soulignons quelquespoints qui nous paraissent exemplaires de la difficulte d’etablir experimentalementdes lois d’echelle fiables et par suite de la necessite de s’appuyer conjointementsur des arguments theoriques pour construire un ensemble coherent, solide et pro-ductif. Tout d’abord, l’exposant obtenu varie avec la facon de separer a priori lesdonnees en groupes : mammiferes/oiseaux, mammiferes de grande taille/ mam-miferes de petite taille. Il varie aussi si l’on exclut a priori des donnees supposeespresenter un ecart a la loi pour une raison anatomique specifique ou le carac-tere particulier de l’environnement. Enfin, les donnees sont finalement assez peunombreuses, obtenues de facons differentes, parfois indirectes, ce qui introduit unbiais systematique par rapport au taux metabolique B considere theoriquement.Les modeles et justifications theoriques sont trop nombreux et contradictoirespour trancher le debat. Chacun d’eux repose sur un ensemble d’hypotheses plusou moins restrictives, plus ou moins gratuites et pouvant souvent etre remisesen question [Dodds et al. 2001]. Neanmoins, meme si cette idee de lois d’echelleanormales decoulant de la structure hierarchique des reseaux metaboliques n’estpas aussi simple que les argumentationss detaillees ci-dessus l’affirment, elle resteun paradigme interessant pour analyser les systemes vivants et plus encore pourdegager les principes organisateurs qui leurs sont propres. Cet exemple, aujour-d’hui celebre, montre combien il faut etre rigoureux dans la mise en evidenceexperimentale d’une loi d’echelle ; nous reviendrons sur ce point au chapitre 12.Rappelons seulement, par comparaison, le temps et le travail depenses par les phy-siciens pour se convaincre que l’exposant b de la transition liquide-vapeur n’etaitpas 1/3 mais 0,322.

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336 INVARIANCES D’ÉCHELLE

2.4. Autres exemples

Dans le meme ordre d’idees, un modele mecanique simple du squelette, prenanten compte la pesanteur et les forces elastiques s’exercant dans les os soumis a descontraintes, permet de predire que la longueur L et le diametre D des os doiventvarier respectivement comme L ∼M1/3 et D ∼M3/8 [Bogdanov 2000].Un autre exemple est observe dans le cortex des mammiferes. L’etude anatomiquemontre que la proportion de matiere griseG (la couche superficielle tres circonvo-luee, ou prennent place les processus locaux) et de matiere blanche B (la partie laplus interne, contenant en particulier les fibres assurant des connexions a longuedistance a travers le cortex) suit une loi d’echelle :

B ∼ G1,23 (11.12)

Une explication proposee est la contrainte de minimisation de la longueurmoyenne des axones traversant la matiere blanche ; elle s’accorde avec la simili-tude anatomique des cerveaux des mammiferes en ce qui concerne l’organisationde la matiere blanche et grise [Zhang et Sejnowski 2000].Un dernier exemple, en l’occurrence un contre-exemple, est la mesure de l’ence-phalisation. Un modele statistique permet de determiner (chez les vertebres) larelation d’echelle de reference entre la masse m du cerveau et la masse M del’animal :

mth ∼M0,76 (11.13)

Elle decrit la facon dont la taille du cerveau augmente simplement parce quel’animal est plus gros [Foley et Lee 1991]. L’ecart a cette loi, plus precisement lerapportm/mth entre la masse ainsi estimeemth et la vraie massemmesure l’ence-phalisation, i.e. le developpement relatif du cerveau qu’il est possible d’interpreteren termes d’augmentation des capacites cognitives.

3. Corrélations à longue portée

De facon generale, structures complexes et organisations hierarchiques se tra-duisent par des anomalies dans les fonctions de correlation : la divergence de laportee j des correlations, par exemple spatiales, se reflete dans le passage d’unedecroissance exponentielle C(r) ∼ e−r/j a une decroissance en loi de puissanceC(r) ∼ r−a. La presence de telles correlations a longue portee dans les obser-vations relatives au fonctionnement d’un etre vivant n’a donc rien de surprenant[Stanley et al. 1994] [Vicsek 2001].

3.1. Séquences codantes et non codantes dans l’ADN

Comme nous l’avons deja mentionne au § 1 du chapitre 8, une technique de lec-ture du « texte » a quatre lettres A, C, G, T que constitue une molecule d’ADNpermet non seulement de detecter des correlations a longue portee mais encorede les associer aux regions non codantes, c’est-a-dire aux regions dont la sequencen’est jamais traduite en proteine [Havlin et al. 1999].

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11. INVARIANCE D’ÉCHELLE EN BIOLOGIE 337

L’idee est d’interpreter le texte genetique sous forme d’une marche aleatoire endimension 1 : les purines A et G se traduiront par un pas vers le haut alors queleurs bases complementaires pyrimidiques T et C correspondront a un pas vers lebas. Partant de O, la position de ce marcheur fictif est y(N) apres avoir lu la N -ieme lettre8 (voir FIG. 11.2). On determine alors la loi de diffusion 〈y2(N)〉 ∼ Ng

pour la sequence consideree. En l’absence de correlations entre les pas successifs,ou si les correlations sont de portee finie, on a g 5 1 (§ 3.1, chapitre 4). Une valeurg fi 1 avec g < 2 revele la presence de correlations a longue portee9, persistantessi g > 1. Les correlations entre les pas, i.e. entre les bases, decroissent alorsen loi de puissance C(t) ∼ t−a avec a 5 2 − g (voir tableau 11.1). Le pointremarquable, et dont le sens biologique n’est pas encore bien elucide, est quel’exposant g observe ici varie suivant que la sequence consideree est codante (ona alors g ≈ 1) ou non codante (on a alors nettement g > 1). Les sequencescodantes ne presentent que des correlations a tres courte portee (< 10 paires debase).Un debut de justification est que la pression de selection (selection naturelle aucours de l’evolution) est beaucoup plus faible dans les regions non codantes, auto-risant la presence de sequences repetees et anormalement correlees. A l’appui decette premiere explication, on a pu montrer que g croissait au cours de l’evolu-tion, par ajout de sequences non codantes, et plusieurs modeles d’evolution dessequences ont ete proposes dans ce sens. Une direction tres interessante, maisencore a l’etat d’hypothese pour le moins debattue, est que les sequences noncodantes pourraient contribuer au controle de la structure tridimensionnelle del’ADN dans le noyau cellulaire ; les correlations refleteraient alors leur participa-tion a ce niveau superieur d’organisation [Audit et al. 2001].

A A G C A T A A A G T G T A A A G C C T G G G T G C C T A A

Figure 11.2. Marche aléatoire représentant une séquenced’ADN. On voit sur cet exemple (la séquence est réelle) lanécessité de corriger la marche en retranchant la tendancelocale pour les séquences présentant de fortes inhomogé-néités dans la proportion des types de bases (purines A etG ou pyrimidines T et C).

De nombreux travaux sont actuelle-ment menes pour preciser cette pro-priete, son origine et ses possiblesinterpretations biologiques. On uti-lise par exemple des methodes sta-tistiques permettant d’eliminer lesbiais et la non-stationnarite de lamarche (voir ci-dessous). D’autresprocedures, directement issues dela physique, s’averent egalementfructueuses : l’analyse multifractale(§ 5.6, chapitre 9) et la trans-formation en ondelettes, decompo-sition spectrale locale effectuee aune echelle ajustable (voir § 3.2)[Arneodo et al. 1995].

8 A etant apparie a T et G a C dans la double helice d’ADN, les deux brins complementaires formantla molecule vont donner des marches symetriques par y ↔ −y, ce qui est satisfaisant (et justifie lechoix de la regle de deplacement !).9 Les autres causes pouvant etre a l’origine d’une diffusion anormale (distribution large des pas,piegeage) sont ici absentes.

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338 INVARIANCES D’ÉCHELLE

Analyse des fluctuations d’un signal non stationnaireL’analyse statistique usuelle des fluctuations d’un signal temporel x(t) suppose quece signal est stationnaire, i.e. statistiquement invariant par translation dans le temps.On estime la fonction d’auto-correlation C(t) suivant la formule :

C(t) 51

N − 1

N−1Xs50

24u(t 1 s)u(s)−

1N

N−1Xs50

u(s)

!235 (11.14)

De facon equivalente, on peut etudier le spectre S(f) des fluctuations (transformeede Fourier de la fonction d’auto-correlation C(t)), connu sous le nom de spectrede puissance. Mais l’hypothese de stationnarite s’avere parfois grossierement fausse.Pour remedier a cette difficulte, une methode de correction consistant a retrancherla derive (i.e. l’evolution de la moyenne) a ete elaboree ; elle est connue sous le nomanglais de detrended fluctuation analysis (DFA). L’originalite et la puissance de cettemethode est de corriger le signal de sa moyenne instantanee, calculee a une echelleajustable [Peng et al. 1995] [Hu et al. 2001].Le pas de temps elementaire est fixe une fois pour toutes, en general prescrit parle dispositif experimental (voire par le systeme lui-meme dans le cas des sequencesd’ADN). Notons x le signal, enregistre sur une duree N . On calcule tout d’abord sonintegrale y(k) 5

Pki51 xi. On subdivise ensuite l’intervalle d’observation en boıtes

de duree n (ajustable) ; dans chaque boıte, on determine la tendance locale de laserie temporelle y(k), c’est-a-dire la droite qui s’ajuste le mieux sur la suite y(k)(ajustement par une methode de moindres carres, FIG. 11.3). On construit ainsi unesuite de segments representant la tendance « deterministe » (lineaire par rapport autemps) locale du signal ; a chaque instant k, on note yn(k) le point sur le segmentcorrespondant. C’est par cette tendance locale qu’on va corriger la non-stationnaritedu signal integre (notons que si le signal x est reellement stationnaire, de moyenne〈x〉, la suite de segments se reduit a une seule droite yn(k) 5 k〈x〉 quel que soit nassez grand pour que les fluctuations de la moyenne locale soient negligeables). Laquantite que l’on va analyser sera l’ecart type de ce signal integre et recentre :

F (n) 5

vuut 1N

NXk51

[y(k)− yn(k)]2 ∼ ng/2 (11.15)

Cet ecart type depend de l’echelle n a laquelle on a calcule la moyenne (il croıtavec n). Un caractere fractal des fluctuations se traduit par une dependance en loide puissance de F (n), d’exposant g/2. Pour mieux interpreter cette quantite F (n),envisageons un signal x stationnaire pour lequel cela a un sens de calculer la fonctiond’auto-correlation temporelle C(t) et le spectre de puissance S(f). Dans le cas d’unsignal presentant des correlations a longue portee, on aura :8>><>>:

C(t) ∼ t−a

S(f) ∼ 1/fb

F (n) ∼ ng/2

avec b 5 1− a 5 g− 1 (11.16)

On n’a des correlations a longue portee en loi de puissance que si a > 0, ou de faconequivalente g < 2. C’est ce critere g < 2 qu’on utilisera dans le cas plus general d’unsignal non stationnaire, ou seule la fonction F (n) calculee a partir du signal « cor-rige » a un sens. Nous avons vu au § 5.3 du chapitre 4 que les processus auto-similaires

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11. INVARIANCE D’ÉCHELLE EN BIOLOGIE 339

typiques10 produisant des correlations a longue portee et leur auto-similarite sont lesmouvements browniens fractals. L’exposant g/2 de la « loi de diffusion » F (n) ∼ ng/2

s’identifie avec leur exposant caracteristique H (exposant de Hurst). On peut inter-preter la valeur des exposants en se referant au cas ou y est un tel processus : g > 1correspond a un mouvement persistant alors que g < 1 correspond a des anticorre-lations. Le cas frontiere g 5 1 correspond au cas ou y est un processus de Wiener(simple mouvement brownien) ; le signal x est alors un bruit blanc et sa fonction decorrelation est identiquement nulle. Le cas limite a 5 0 correspond au bruit en 1/f ;on a alors b 5 1 et g 5 2. Si 2 < g 6 3, on a encore des correlations a longueportee mais elles ne sont plus en loi de puissance. En particulier, si le signal x est unprocessus de Wiener (encore appele « bruit brownien »), on a g 5 3, b 5 2 ; ce sont lescorrelations des accroissements qui suivent asymptotiquement une loi de puissance.Ces differents cas sont resumes dans le tableau 11.1. L’exposant g peut aussi etre vucomme un exposant de rugosite de la ligne que forme le signal integre y (voir § 1.2,chapitre 8) : plus g est grand, plus cette courbe est « lisse ».

Figure 11.3. Analyse des fluctua-tions d’un signal non stationnaire.Les lignes fines représentent la ten-dance linéaire locale yn(k), obte-nue pour chaque tronçon du signalintégré y(k) à l’aide d’un ajuste-ment par la méthode des moindrescarrés. La largeur n des boîtes estune variable ajustable, dont dépen-dra l’écart type F(n) des fluctua-tions y(k) − yn(k) [Peng et al.1995].

n

k

y(k

)

yn(k)

Anti-corrélations à longue portée 0 < g < 1 1 < a < 2 *

Bruit blanc g 5 1 a 5 1 b 5 0

Corrélations en loi de puissance 1 < g < 2 0 < a < 1 0 < b < 1

Corrélations à longue portée 2 6 g < 3 * 1 6 b < 2

Processus de Wiener g 5 1 * b 5 2

Tableau 11.1. Analyse des corrélations d’un signal u. Rappelons que les trois exposants sont reliés parb 5 1 − a 5 g − 1. L’exposant g des accroissements w de u est gw 5 g − 2, celui pour le signal intégréy est gy 5 g 1 2.

3.2. Le rythme cardiaque

Une question d’interet therapeutique evident est de deduire le maximum d’infor-mations sur le fonctionnement du cœur a partir du seul enregistrement du rythmecardiaque (electro-cardiogramme). Une methode d’analyse de ce signal est deconsiderer l’intervalle de temps u(j) entre le j-eme et le (j 1 1)-eme battement.Notons qu’ici la discretisation est intrinseque au systeme et prend ainsi en compte

10 Plus precisement, ce sont les representants exactement auto-similaires – les points fixes des trans-formations de renormalisation – des classes d’universalite associees aux differentes lois de diffusionanormales.

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340 INVARIANCES D’ÉCHELLE

le rythme basal du cœur comme temps (discret) de reference. La suite de ces inter-valles est extremement irreguliere et ressemble a un signal tres bruite. Pour allerau-dela de cette constatation, quantitativement, on analyse les fluctuations de uou les fluctuations de ses accroissements w(n) 5 u(n 1 1) − u(n) [Ashkenazyet al. 2001]. La methode DFA exposee au paragraphe precedent est utilisee pourcorriger la non-stationnarite eventuelle du signal enregistre [Chen et al. 2002].Elle met en evidence des correlations a longue portee aussi bien dans u que dansw ; leurs fonctions de correlations sont invariantes d’echelle, en loi de puissance :C(t) ∼ t−a. Les exposants relatifs a w sont relies a ceux caracterisant u suivantgw 5 g − 2, aw 5 a 1 2 et bw 5 b − 2 (avec b 5 1 − a 5 g − 1 pour lesdeux jeux d’exposants). Comme dans le contexte des sequences d’ADN, des resul-tats plus fins sont obtenus par analyse multifractale (§ 5.6, chapitre 9) ou partransformation en ondelettes (ci-dessous).Le point remarquable pour le biologiste est que ces caracteristiques quantitativespermettent de mettre en evidence des differences notables avec l’age, avec l’etatd’activite (veille ou sommeil, par exemple [Kantelhardt et al. 2002]) et en pre-sence de diverses pathologies. La disparition des anti-correlations observees surw est associee a un fonctionnement pathologique (sans qu’il soit encore possibled’etablir un lien causal). Par exemple, l’exposant g vaut 2,10 a l’etat de veille, 1,7pendant le sommeil et 2,40 au cours d’un crise cardiaque, alors qu’on trouveraitg 5 3 si u etait un processus de Wiener (w etant alors un bruit blanc). D’un pointde vue physiologique, u et w renseignent sur le controle du rythme cardiaque. Lamise en evidence de ces correlations a longue portee dans un individu sain indiqueque ce rythme est regule sur une large gamme d’echelles temporelles.On a recemment mis en evidence que le rythme cardiaque etait multifractal [Iva-nov et al. 1999, 2001]. Il semble ainsi que la dynamique collective de l’ensembledes cellules cardiaques et des cellules nerveuses controlant leur activite soit trescomplexe et presente, outre la propriete (vitale !) de synchronisation globale, unestructure spatio-temporelle hierarchique impliquant de nombreuses echelles tem-porelles, comparable a celle d’un flot turbulent, et responsable de l’invarianced’echelle observee dans les fluctuations. La perte de cette complexite va de pairavec des pathologies cardiaques.

La transformation en ondelettesL’outil de base pour effectuer une analyse spectrale est la transformee de Fourier :elle decompose le signal u(t) – un signal sonore, par exemple – en composantes pure-ment sinusoıdales u(v)eivt. La transformee de Fourier u de u indique donc quellesfrequences v sont presentes dans le signal et avec quel poids u(v) elles interviennent.C’est ainsi une vision radicalement transversale du signal qui est proposee ; on parled’ailleurs d’espace « conjugue » pour designer l’espace des frequences (ou des vec-teurs d’onde dans le cas spatial).Le but de la transformation en ondelettes est d’effectuer une decomposition spectralelocale, gardant la trace du deroulement temporel : pour un signal sonore, il s’agitde reconstituer la partition de musique. On souhaite determiner non seulement lesnotes intervenant (les frequences) mais aussi le moment ou elles sont jouees (leurplace dans la partition) et leur duree (blanches, noires, croches). Cet objectif estrempli en choisissant judicieusement le noyau implique dans la transformation : onremplace la fonction trigonometrique (sinvt et cosvt, ou eivt) par une fonction g

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11. INVARIANCE D’ÉCHELLE EN BIOLOGIE 341

localisee (nulle en dehors d’un intervalle) et d’integrale nulle (par exemple, une fonc-tion en forme de « chapeau mexicain » voir FIG. 11.4). Le resultat dependra de cette« ondelette » g, de l’instant t0 autour duquel on se place et d’un facteur d’echelleajustable l, permettant d’analyser le signal a une echelle voulue, comme on le feraitavec un microscope de grossissement reglable :

U(g,t0,b) ≡ 1l

Zu(t) g

�t− t0

l

�dt (11.17)

Cette transformation est couramment utilisee en traitement du signal, dans lescontextes les plus varies, des que le phenomene observe presente une structure mul-tiechelle : turbulence, structures fractales, signaux issus de dynamiques complexes.

Figure 11.4. Un exemple d’ondelette g. Elle est paire et d’inté-grale nulle.

t

g(t)

3.3. Électro-encéphalogramme

L’analyse de l’electro-encephalogramme (EEG) peut se faire suivant des methodesstatistiques analogues a celles presentees dans le contexte des sequences d’ADNet du rythme cardiaque [Lee et al. 2002]. La aussi, des correlations temporellesa longue portee ont ete mises en evidence. Par exemple, dans l’activite sponta-nee du cerveau (yeux fermes), certains enregistrements presentent un spectre depuissance S(f) ∼ 1/fb avec b 5 1,52, correspondant a un exposant g 5 2,52(avec les notations des paragraphes precedents) [Watters 1998] [Watters 2000].Cela correspondrait a des correlations a longue portee mais decroissant plus rapi-dement qu’une loi de puissance ; par comparaison, on a g 5 3 si le signal est unbruit brownien (processus de Wiener). Ce sont alors les accroissements du signalqui presentent des correlations en loi de puissance (d’exposant a 5 1,48 dansle cas considere). D’autres enregistrements, focalises sur l’analyse de la compo-sante11 a, ont mis en evidence des correlations en loi de puissance C(t) ∼ t−0,6,ou l’exposant est independant du sujet et des modalites d’enregistrement (EEG ouMEG – magneto-encephalographie) [Linkerkaer-Hansen et al. 2001]. Dans l’ondeb, on a egalement detecte des correlations a longue portee dont l’exposant croıtavec le niveau de vigilance [Poupard et al. 2001].La generalite et l’interpretation des correlations a longue portee observees dansl’EEG sont encore debattues. Leur observation suggere que le cerveau fonctionne

11 Le signal EEG est traditionnellement subdivise en 7 composantes dont les frequences se situentdans des bandes disjointes bien determinees ; on les appelle les ondes d, u, a1, a2, b1, b2 et g (parfrequences croissantes). La composant a se situe entre 8 et 13 Hz, la composante b entre 13 et20 Hz.

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342 INVARIANCES D’ÉCHELLE

autour d’un etat critique [Gilden et al. 1995]. Une conclusion plus certaine estque l’existence de telles correlations remet fortement en cause de nombreusesmethodes statistiques d’analyse de l’EEG, fondees sur l’hypotheses inverse. Parexemple, la representation de l’EEG comme une superposition lineaire judicieusede bruits blancs ou colores12 (g 5 1) est invalidee ; il faut ou bien faire intervenirdes mouvements browniens fractals, ou bien abandonner l’approche lineaire. Dansun point de vue dynamique, l’interpretation des correlations a longue portee estque le signal observe reflete une dynamique collective du reseau de neurones sous-jacent, dont les proprietes emergentes presentent une large gamme d’echellestemporelles et vraisemblablement spatiales ; une exploration spatio-temporelle estalors necessaire pour appuyer ce point de vue.

4. Conclusion : une approche des systèmes complexes

Les organismes vivants, meme les plus simples, sont des systemes complexes,au sens ou un comportement global inedit emerge de l’assemblage d’elementssimples. Les lois d’echelle que peut presenter ce comportement global donnentacces a des informations quantitatives precieuses sur l’organisation du systeme etsur la facon dont le tout et les parties sont reliees structurellement et fonctionnel-lement. Un bon indice de l’existence eventuelle de telles lois d’echelle est la pre-sence de stuctures fractales sous-jacentes, resultant elles-memes d’un processusd’optimisation, typiquement l’optimisation des aires d’echanges ou d’interactionsa volume fixe (poumons, reseau vasculaire, systeme nerveux). Les aspects structu-raux et dynamiques sont rarement dissociables et des lois d’echelle peuvent egale-ment etre detectees dans l’analyse de donnees temporelles qu’on peut obtenir surdivers aspects du fonctionnement d’un etre vivant (nous l’avons vu dans le cas deselectro-cardiogrammes) et des electro-encephalogrammes) voire a l’echelle despopulations.Des approches multiechelles semblent indispensables pour comprendre les liensfonctionnels entre les differents niveaux d’organisation d’un etre vivant, depuisl’echelle moleculaire jusqu’a celle de l’organisme, et en particulier expliquer leuremergence et leur persistance au cours de l’evolution. Les invariances d’echelleque nous venons de rencontrer fournissent un premier guide pour aborder ce par-cours transverse aux differents niveaux d’observation et acceder, a terme, a unedescription globale des systemes vivants.

12 Il s’agit de bruits dont l’amplitude depend du temps, mais toujours sans correlations temporelles.

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CHAPITRE

12PUISSANCE ET LIMITES

DES APPROCHES D’ECHELLE

1. La criticalité et les lois d’échelle

Apres ce large panorama, nous pouvons tirer quelques conclusions generales surles approches d’echelle. Nous avons vu qu’elles s’appliquaient au voisinage de situa-tions ou le systeme n’a plus d’echelle caracteristique, ce qui est observe pour unetemperature T → Tc dans le cas des transitions de phase, pour un nombre demonomeres N → ∞ dans le cas des polymeres, pour une densite de remplissagep → pc dans le cas de la percolation, pour une duree t → ∞ dans le cas de lacroissance ou de la diffusion, au seuil d’apparition du chaos dans le cas du sce-nario vers le chaos par doublements de periode, ou pour un nombre de ReynoldsRe → ∞ dans le cas de la turbulence. Cette absence d’echelle caracteristiquese reflete quantitativement dans la divergence de la portee j des correlations.On a alors generiquement invariance d’echelle. Une signature, a la fois fonda-mentale theoriquement et exploitable experimentalement (ou numeriquement),est le comportement des fonctions de correlation : la decroissance exponentielle(C(r) ∼ e−r/j dans le cas spatial) observee en dehors des points critiques laisseplace a une decroissance lente, en loi de puissance (C(r) ∼ r−a avec a > 0) auxpoints ou j 5 ∞. Ces dernieres situations sont qualifiees de critiques. Soulignonsneanmoins qu’il y a au moins trois types de criticalite :

– la criticalite au passage d’un seuil, liee a une stabilite marginale qui autorisedes fluctuations et des reponses a toutes les echelles ; c’est le cas de la percola-tion, des bifurcations et des transitions critiques. Le systeme n’est exactementcritique qu’en taille infinie (duree infinie s’il s’agit d’un systeme dynamique) etlorsque le parametre de controle prend sa valeur de seuil ;

– la criticalite « constitutive » rencontree dans les polymeres (marches aleatoiressans recouvrement), dans la diffusion anormale prenant place sur une structure

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346 INVARIANCES D’ÉCHELLE

fractale, ou plus generalement dans les systemes d’elements tres connectes.Le systeme est alors exactement critique des que sa taille (sa duree s’il s’agitd’un phenomene dynamique) est infinie, dans une vaste gamme de valeurs desparametres de controle ;

– la criticalite auto-organisee ou des mecanismes de retroaction de l’etat globalsur la dynamique locale amenent spontanement le systeme dans un etat margi-nalement stable, critique au premier sens mentionne ci-dessus.

Au-dela de cette distinction, les signatures de la criticalite sont toujours lesmemes : le phenomene presente un grand nombre d’echelles caracteristiquesqui ne se decouplent pas. Une consequence observable en est la presence defluctuations a toutes les echelles : la distribution des fluctuations suit une loi depuissance et non plus une loi exponentielle. Pour la meme raison, la criticalites’accompagne de proprietes de reponse anormales : le systeme est extrementsensible et une infime perturbation peut etre suivie d’effets a toutes les echelles,entraınant une reorganisation complete de l’etat du systeme. Seule une approcheglobale peut donc permettre d’apprehender de tels systemes. Bien plus, l’es-sentiel du phenomene est contenu dans le lien entre les echelles, typiquementdans la facon dont les flux de matiere, d’energie et d’information s’organisentde facon hierarchique entre les differents niveaux, et non dans les details a uneechelle donnee. C’est ce qui explique l’existence de lois d’echelle, de structuresauto-similaires et de proprietes d’universalite. Des exposants anormaux sont lasignature d’un phenomene emergent, dont les proprietes ne sont pas directementvisibles dans les constituants ni dans les lois elementaires de construction oud’evolution ; ces proprietes emergent, a une echelle superieure, de l’organisationparticuliere d’un grand nombre d’elements1.

2. Détermination expérimentale de lois d’échelle

Les approches d’echelle debutent le plus souvent par la mise en evidence experi-mentale de lois d’echelle. Cela ne semble ne poser a priori aucune difficulte metho-dologique : on trace les deux observables X et Y pressenties sur un diagrammelog-log, ce qui donne une droite de pente a en cas de loi d’echelle Y ∼ Xa. Cetteprocedure permet a la fois de demontrer l’existence de la loi d’echelle et de deter-miner son exposant. Mais la pratique reserve des difficultes qui n’apparaissent pasdans cette description ideale ; il convient de les garder a l’esprit pour eviter arte-facts et interpretations erronees.Une premiere mise en garde est qu’il est assez facile experimentalent de faireemerger une partie raisonnablement lineaire dans une courbe formee d’un petitnombre de points experimentaux, ou d’un amas confus de points, et ce d’autantplus qu’on travaille sur un diagramme log-log qui « ecrase » les ecarts. Il ne suffitdonc pas d’exhiber un exposant, il faut aussi soigneusement estimer sa precision etsa fiabilite. Une condition necessaire est que les donnees (Xi,Yi) explorent effecti-vement des echelles differentes, autrement dit que Xmax/Xmin � 1, en pratiqueplusieurs ordres de grandeur.

1 Anderson P.W., More is different, Science, 177, 393-396 (1973).

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12. PUISSANCE ET LIMITES DES APPROCHES D’ÉCHELLE 347

log X

log

YFigure 12.1. Estimation erronée de l’exposant a d’une loid’échelle Y ∼ Xa (pente de la ligne en gras) si un crosso-ver dans la loi d’échelle n’est pas détecté.

Un probleme important se poseensuite : faut-il representer les don-nees par une loi d’echelle Y ∼ Xa,ou bien par deux lois d’echelle diffe-rentes suivant le domaine d’echellede X, typiquement Y ∼ Xa1 auxpetites valeurs de X se raccordantpar un crossover a une autre loid’echelle Y ∼ Xa2 aux grandesvaleurs de X (ce que nous avonsdeja rencontre dans la determina-tion experimentale de dimensionsfractales). Cette derniere situationest particulierement dangereuse si lesecond regime n’est pas assez deve-loppe ou bien echantillonne pourpouvoir etre detecte (il ne donne quequelques points « aberrants » vis-a-visde la loi d’echelle Y ∼ Xa1). Celaconduit a mesestimer l’exposant et aecrire Y ∼ Xa, ou a est alors un exposant effectif resultant des deux « vraies » loisd’echelle et compris entre a1 et a2 (FIG. 12.1). Le risque d’erreur peut etre accrusi la precision et la fiabilite des mesures varient avec l’echelle. Cet exposant effec-tif a est sans grande signification quant a l’organisation hierarchique du systemeobserve et sans meme un interet phenomenologique pour extrapoler les donnees,par exemple, ou pour comparer plusieurs systemes. Inversement, et a fortiori, ilest exclu d’extraire de facon fiable deux exposants de ce types de donnees et doncd’identifier un crossover.

log X

log

Y

Figure 12.2. Estimation erronée de l’exposant a d’une loid’échelle Y ∼ Xa (pente de la ligne en gras) si la présencede deux sous-populations, vérifiant la même loi d’échellemais avec des préfacteurs différents, n’est pas détectée.

Dans le meme ordre d’idees, les loisd’echelle peuvent n’exister que dansune certaine gamme de valeurs deX :il faut alors choisir a priori la facon detronquer les donnees experimentales.De plus, les donnees peuvent appar-tenir a des familles independantes,et la determination des lois d’echelledoit alors se faire au sein de cha-cune d’elles (FIG. 12.2). La taxono-mie prealable, qu’elle s’effectue pardes methodes statistiques ou suivantdes arguments exterieurs issus de lacomprehension qualitative que l’ona par ailleurs du phenomene et dessystemes envisages, peut ainsi gran-dement conditionner les exposantsobtenus dans l’analyse en termes delois d’echelle (voir par exemple § 2.3,chapitre 11). Le risque evident est

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348 INVARIANCES D’ÉCHELLE

alors d’utiliser une taxonomie ad hoc pour obtenir un resultat souhaite ou pre-sentant une invariance d’echelle sans defaut.D’autres difficultes peuvent surgir : le systeme peut presenter des effets de taillefinie et plus generalement, on peut avoir a envisager des lois d’echelle plus com-plexes, a plusieurs variables.Il y a enfin des situations ou le comportement d’echelle presente des fluctuationsautour de la loi d’echelle deterministe Y ∼ Xa. Pour decrire correctement cecomportement, il faut prendre en compte le fait que l’observable Y est aleatoireet que c’est maintenant sa distribution de probabilite qui va manifester une inva-riance d’echelle :

P (Y |X) ∼ X−a f(Y X−a) (12.1)

En pratique, on valide une telle invariance d’echelle en montrant que les histo-grammes obtenus pour diverses valeurs de X se superposent lorsqu’on les mul-tiplie par Xa (apres normalisation) et qu’on les trace en fonction de Y X−a. Lacourbe universelle ainsi obtenue donne acces experimentalement a la fonctiond’echelle f . Il est evident que ce genre d’approche necessite un grand nombre dedonnees, et que sa validite statistique doit etre soigneusement etablie.Moyennant ces precautions, les lois d’echelle determinees experimentalementfournissent des informations significatives sur l’organisation du systeme. Cesont des guides vers une approche globale des systemes multiechelles. Ellesouvrent sur les approches theoriques puissantes que sont les theories d’echelleet les methodes de renormalisation. Les developpements theoriques fournissenten retour un support pour analyser les donnees experimentales et valider leshypotheses d’invariance d’echelle faites pour les exploiter.

3. La renormalisation et le statut des modèles

Nous avons vu tout au long de ce livre que les phenomenes critiques se regroupenten classes d’universalite, au sein desquelles les exposants critiques prennent desvaleurs bien determinees, identiques pour tous les elements de la classe. L’exis-tence meme de ces classes d’universalite reflete le fait que les exposants cri-tiques ne dependent pas des details microscopiques du systeme mais uniquementdes caracteristiques geometriques de l’espace et du type d’ordre. Nous avons parexemple vu que les classes d’universalite des transitions de phase critiques sontrepertoriees suivant la dimension d de l’espace et le nombre n de composantes duparametre d’ordre. Les proprietes physiques microscopiques n’interviennent quedans la mesure ou elles controlent ces caracteristiques geometriques. En ce sens,un phenomene invariant d’echelle est robuste : les lois d’echelle qui le decriventne sont pas affectees par une modification des details microscopiques, pourvu quecette modification n’amene pas dans une autre classe d’universalite (i.e. pourvuque ce ne soit pas une perturbation essentielle induisant un crossover). Pour lameme raison, sa modelisation sera egalement robuste (si bien sur on ne se pre-occupe que de ses proprietes d’echelle) : il suffit d’associer a ce phenomene unmodele appartenant a sa classe d’universalite. On pourra en particulier se limiter a

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12. PUISSANCE ET LIMITES DES APPROCHES D’ÉCHELLE 349

analyser le representant le plus simple de la classe d’universalite : ce modele mini-mal donnera acces aux proprietes d’echelle tout aussi bien, sinon mieux, qu’unmodele integrant tous les details microscopiques.L’approche par renormalisation permet d’etablir rigoureusement les carac-teristiques de ce modele minimal, en classant des composantes en fonction deleur « pertinence » ou de leur « non-pertinence ». Elle conduit a une typologie desmodeles, partitionnant l’espace des modeles en classes d’universalite et demon-trant ainsi le caractere tres peu specifique des proprietes d’echelle asymptotiquesvis-a-vis des proprietes constitutives aux petites echelles. Enfin, en mettant l’ac-cent sur l’organisation hierarchique des phenomenes, la renormalisation degagequantitativement l’invariance d’echelle et donne acces a la valeur des exposantsassocies. La renormalisation a donc une puissance demonstrative et predictivequi depasse largement celles des theories d’echelle phenomenologiques ; il n’estcependant pas toujours possible de la mettre en œuvre techniquement, et laconstruction meme de la transformation de renormalisation amene a quelquesreserves, comme nous l’avons discute au chapitre 3.Nous retiendrons que les approches d’echelle resument et exploitent l’idee sui-vante : dans le cas d’un phenomene invariant d’echelle, decrire le lien entre lesobservations aux differentes echelles suffit a expliquer et a predire les lois statis-tisques qui decrivent leur comportement global (collectif ou asymptotique). Etpour ce faire, des modeles simplifies a l’extreme, voire abstraits comme dans lecas de la percolation et des chaınes auto-evitantes, sont suffisants. C’est memeprecisement parce qu’il est legitime d’utiliser de tels modeles, des « squelettesde modeles » pourrait-on dire, qu’il est possible d’acceder, au moins numerique-ment, aux proprietes globales, ce que le nombre de degres de liberte d’un modeleexhaustif interdit.En conclusion, l’universalite des phenomenes critiques a ainsi change la facond’envisager, de construire et d’utiliser un modele, donnant en particulier un inte-ret inattendu a des modeles aussi rudimentaires que le modele d’Ising, la percola-tion ou l’application logistique.

4. Des perspectives ouvertes

Le panorama presente dans ce livre est loin d’etre exhaustif, et nous termineronsen mentionnant quelques perspectives sur lesquelles debouchent les approchesd’echelle, la criticalite et plus generalement, l’identification de systemes dontl’organisation hierarchique, multiechelle, suffit a determiner le comportementmacroscopique, sans qu’il y ait besoin de prendre en consideration le detail desconstituants et de leurs interactions. La generalisation des approches d’echelledeveloppees pour les phenomenes critiques a ces systemes plus generaux, quali-fies de systemes complexes, est confrontee a plusieurs difficultes :

– les constituants elementaires ne sont pas forcement identiques ; c’est le cas dansles systemes desordonnes et plus encore dans les systemes vivants ;

– les systemes sont generalement maintenus loin de l’equilibre par leur interac-tion avec leur environnement (flux de matiere et d’energie, par exemple) et lesoutils de la mecanique statistique a l’equilibre ne s’appliquent plus. C’est le

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350 INVARIANCES D’ÉCHELLE

domaine des structures dissipatives, aborde au § 5 du chapitre 9 avec l’exemplede la turbulence : le transfert de l’energie entre l’echelle ou elle est injecteeet l’echelle ou les mecanismes de dissipation deviennent efficaces engendreune organisation spatio-temporelle complexe, en l’occurrence hierarchique etmeme auto-similaire. D’autres exemples sont fournis par certaines reactionschimiques prenant place dans des reacteurs alimentes en continu (Belousov-Zhabotinski, § 2.1, chapitre 9) et par les systemes vivants. Mentionnons egale-ment les modeles unidimensionnels, etudies sous le nom de theorie du trafic, etutilises tout autant pour modeliser des situations reelles que pour developpersur des systemes modeles les nouveaux concepts et outils que demandent cessystemes loin de l’equilibre ;

– si les systemes sont isoles, leur complexite peut donner lieu a des phenomenesde metastabilite et de vieillissement, hors d’equilibre parce que leur dynamiqueest trop lente pour qu’un regime stationnaire soit atteint sur la duree d’obser-vation. Ces phenomenes s’observent dans les verres, les verres de spins et plusgeneralement dans tous les systemes ou la conjonction d’influences contradic-toires (on parle de frustration) engendre des paysages energetiques de topogra-phie tres riche, presentant de nombreux minima locaux ;

– les systemes sont generalement etendus dans l’espace, et les outils des sys-temes dynamiques doivent etre generalises et adaptes aux dynamiques spatio-temporelles ; un modele privilegie, issu du croisement des systemes dynamiqueschaotiques et du modele d’Ising, est celui des reseaux d’oscillateurs couples.On y observe une grande richesse de comportements : synchronisation locale endomaines, synchronisation globale, chaos spatio-temporel et turbulence. On lesutilise pour aborder tous les problemes de formation de motifs spatio-temporelsrencontres en physique, chimie ou biologie, par exemple pour modeliser desreseaux de neurones ;

– la presence de boucles de retroaction entre les differents niveaux apporte unelement de causalite circulaire et conduit a des phenomenes auto-organises,voire a des phenomenes critiques auto-organises.

Nous avons tout au long de ce livre insite sur le role qualitatif des correlations et enparticulier de leur portee, comparee aux differentes echelles d’espace et de tempsdu systeme. Nous avons vu que cela debouchait sur les questions de l’universalite,de l’importance (ou non) des specificites microscopiques, du role et du statut desmodeles. L’accent est alors mis sur le lien entre les differentes echelles d’obser-vation et de description et, plus generalement, sur l’organisation hierarchique etdynamique du systeme. Ce sont les memes questions qui s’offrent, encore pleine-ment ouvertes, dans tous les domaines que nous venons de mentionner.

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INDEX

AADN 180, 186, 336Allometrie 330Arpentage 51Attracteur etrange 276, 285, 287Auto similarite 50–52, 110, 115,

128, 144, 233, 346Autodiffusion 19Automate cellulaire 320

BBarenblatt (equation) 124Belousov-Zhabotinski (reaction)

277Biais (diffusion) 125Bifurcation 16, 19, 267, 345

diagramme 267, 289Birkhoff (theoreme ergodique)

283Bjerrum (longueur) 186Bloch Felix 32, 207

fonctions de 209Boltzmann

approximation 132equation 132

Boulanger (transformation) 280,294

CCantor (ensemble) 49Cascade de Richardson 303Cauchy (loi) 143Cayley-Bethe 156Chaıne

auto-evitante 181, 185gaussienne 181ideale 201

Chaınes sans recouvrement 182Champ

moyen 30, 32, 33, 65, 122,150, 271

Chaos 79, 130, 140, 262hamiltonien 287moleculaire 132, 137, 140,

291, 292Coarse-graining 80Coefficient de diffusion 110,

112, 116, 133, 139Conductance 171Conductivite thermique 20Conservatif (systeme) 266Convection 115Cooper 209Correlation 112, 126, 132, 150,

182, 188, 189, 317, 336fonction de 135, 145, 192,

203, 319Couette-Taylor 268Couplage

diffusif 120electron–phonon 210

Covariance 81Cristaux liquides 36, 46

Criticalite 142, 270, 312, 317,345

auto-organisee 312, 314, 317Critique

champ magnetique 208comportement 104courant 160dimension 44, 164epaisseur 225exposant 18opalescence 13population 156ralentissement 99region 14temperature 76, 210

Croissance 232aleatoire avec relaxation 241par nucleation 258

Cuprates 206, 216Curie 12, 27, 32, 33, 59

temperature de 12Cycle limite 267

DDarcy (loi) 123Debye (longueur) 186Debye (temperature de) 210Decimation 60, 61, 64, 80Demixtion 20Densite spectrale 314Depot

aleatoire 237balistique 235

Detrended fluctuation analysis338

Developpement en ´ 5 4 − d 90Diffusion

anormale 123, 142, 145, 337,345

de neutrons 183du parametre d’ordre 101equation 117, 118, 122loi 107, 124normale 110, 126, 130, 172

Dimensioncritique 182, 189, 193fractale 50, 51, 113, 174spectrale 148, 174

Dirichlet (theoreme) 286Domaine inertiel 303Dopage 207, 213

EEchelle

changement de 81cut-off 161

Effet Meissner-Ochsenfeld 208Einstein

formule de 110, 134, 135relation de 171

Encephalisation 336Energie

d’activation 250

d’interface d’un solide 255de surface 101

Enzymatique (reaction) 278, 290Equation

d’Edwards-Wilkinson (EW) 241d’etat 31de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ)

243MBE lineaire 249MBE non lineaire 252

Ergodicite 99, 280,283, 292Exposant

critique 68, 99de Flory 182, 193de Hurst 145, 339de la conductivite 174de Lyapounov 282de Lyapounov transverse 299de percolation 169KPZ 244

FFermi (liquide de) 213Ferromagnetisme 46Feu de foret 315, 324Fick (loi) 117Flory

exposant 182, 193theorie 188

Flory-Huggins (theorie) 190Fluctuation-dissipation

(theoreme) 134, 135, 244Fluorescence (FRAP) 114Fokker-Planck (equation) 132Fonction de correlation 54, 135,

145, 192, 203, 319Forme normale 273, 295Fourche (bifurcation) 273Fractale 48, 113, 328Front de diffusion 107, 112, 319

GGaz parfait 24, 26Gaz sur reseau 27Gel 16, 115Ginzburg 34, 43Grands nombres (loi) 133Green (fonction) 118Green-Kubo (formule) 135

HHamiltonien 80

de Heisenberg 72Hilbert (courbe) 49Homocline (point) 285Homogeneisation 122Hopf (bifurcation) 270, 273Hyperscaling 67, 70Hysteresis 274

IIncompressibilite 300Interface 113, 232Intermittence 295

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352 INDEX

Invariance d’echelle 52, 119,312, 348

IRM 207, 212Irreversibilite 133Ising 14, 27, 271

JJarnik (theoreme) 286

KKadanoff Leo 37, 59, 61, 64Kleiber (loi) 330Koch (courbe) 49Kolmogorov (loi) 305

LLandau 14, 38, 120, 288Lenz 27, 73Levy

loi 143marche 144vol 128, 142

Limite colloıdale 116Liouville

equation 130theoreme 266

Logique RSFQ 212Logistique (application) 284,

289, 290Loi

d’echelle 346de Cauchy 143de Curie 25de diffusion 107, 124de Fick 117de Kolmogorov 305de Levy 143des etats correspondants 32des grands nombres 133stable 143

Loi d’echelle 65, 66, 68de Fisher 68, 70de Griffith 67, 70de Josephson 67de Rushbrooke 67, 70de Widom 66

Longueurde coherence 19de coherence temporelle 224de penetration de London 224de persistance 179, 180LMBE 251moyenne de connexite 161

Lorentz (gaz) 130, 294Lorenz

attracteur 276systeme 276

Lyapounov (exposant) 282, 299

MManning (condensation) 187Marche aleatoire 124, 131, 177,

181Marche auto-evitante 191Marche de Levy 144Markovien (processus) 129Matrice de transfert 73MBE (Molecular Beam Epitaxy)

248Melange 281

binaire 19, 35

conducteur-isolant 154Mesure invariante 262Micelle 146Modele

classique TLK 249de croissance aleatoire 237discret 234du ver 180Heisenberg 36Ising 26, 34, 35, 72, 73, 76, 94S4 91spherique 72XY 24, 36, 72, 95

Mouvement brownien 109, 128fractal 128, 145, 339

Multifractale (analyse) 306, 337

NNeel 14, 213Navier-Stokes (equation) 300Nœud-col (bifurcation) 268,

269, 273, 295

OOrnstein-Zernike 203Osedelec (theoreme) 283

PPaire de Cooper 207, 215Parametre

d’ordre 41, 65, 72effectif 78, 81

Peclet (nombre) 115Percolation 123, 345

brassee 159correlee 159dirigee 159en gradient 319seuil de 157, 158

Poincare (section) 265PointQ 177, 183, 184, 190, 193fixe 70, 71, 83, 165, 266fixe hyperbolique 83tricritique 193

Polyelectrolyte 177, 185Polymere 26, 154, 176Processus de Wiener 127, 128,

339

RReticulation 115, 149Retroaction 324Rayleigh-Benard 142, 262, 263,

268, 270, 275, 276, 290,295, 302

Rayon de giration 161, 183Reaction-diffusion 120Renormalisation 64, 65, 122,

128, 147, 165, 271, 290,296

dynamique 234, 253, 257flot de 81groupe de 37, 59invariance par 81operateur de 78, 81

Repliement 284Reseau

carre 89de neurones 120triangulaire 86

Richardson (cascade) 303

SScenarios (vers le chaos) 285Scaling 65, 69, 162, 218Schrieffer 209

fonction d’onde 209Similarite 147Spectre de puissance 303, 314,

319, 338Spin 27, 29, 61

onde de 95super-spin 61

Stokes (formule) 134Supraconductivite 21, 46, 206,

207, 208Symetrie (brisure de) 15, 17Systeme dynamique

continu 265discret 265

TTaille finie (effets) 102, 167, 299Taylor (hypothese) 307Theoreme H 140Theoreme-limite central 126,

142Theorie BCS 210Thermodynamique (limite) 149,

177, 195, 271Transcritique (bifurcation) 273Transition

conformationnelle 177de Kosterlitz-Thouless (KT) 95,

97de percolation 154, 155, 160de phase 15, 102ferroelectrique 13, 36ferromagnetique 36ferromagnetique-

paramagnetique60

ferromagnetisme-paramagnetisme13

isolant-supraconducteur 220,228

liquide-vapeur 13, 35quantique 36, 206, 223rugueuse 98, 254sol-gel 159superfluide 24supraconducteur-metal 220supraconductrice 13

Turbulence 288

UUniversalite 296, 346

classe de 34, 85, 258, 290, 348

VVerre de spins 145Vol

de Levy 128, 142de Rayleigh 142

Vortex 96, 208

WWiener (processus) 127, 128Wiener-Khinchine (theoreme)

304Wilson 64, 106

eco
Imprimé en France par Dumas-Titoulet Imprimeurs à Saint-Étienne N° d’imprimeur : 39329 – N° d’édition : 003175-01 Dépôt légal : août 2003