Ann. Univ. Ferrara - Sez. VII - So. Mat. Vol. XXVI, 81-90 (1980)

Invarianti e ipoellitticith per una classe di operatori pseudodifferenziali.

E L E N A S E R R A (*)

Sia ~ aper to di R ~, P e OPS'~(~) un operatore pseudodifferenziale clas- sico di s imbolo p ~ p ~ _ z ~ ore no ta te z e R " e ~ la var iabi le duale

J~>0

p,,_~l~(z, ~) ~ una funzione C ~, omogenea in ~ di grado m--j~2; Supponiamo che p~l(0) = 2: sia una sot tovar ie t~ regolare involut iva di

T* ~ , 0 e sia

(0.o) 2: = X, n X~

Z~ sot tovar ie t~ chiuse coniche involut ive di T * ~ \ 0 e t rasversal i , cio~ no ta te ~tlz,u2t, l<~l<vi, i = 1 , 2 funzioni C | 0-omogenee il cui annulla- mento definisce ZI, Z~ r i spe t t ivamente , le forme du~ sono l inearmente

indipendenti . Supponiamo anehe indipendent i su 27 i campi Hami l ton ian i t angent i Hui~ e il campo radiale r(~/ar).

Definito

Ne(Z) = T~(T*f2~O)/To(Z) ~ e Z

si identifica NQ(Z) allo spazio co tangente al foglio della fogl ie t ta tura cano- nica di Z passan te per ~.

V~ e Z siano I I o i = 1, 2 ]e proiezioni canoniche:

Hi: No(Z) -+ No(Zi) = Tq(T*O)/To(Zi)

In t rodue iamo la elasse di simboli L~,,~,(/2, 2:), m e R, 2 <m~ < m2 reali:

i>~O

(*) Indirizzo dell'autore: Istituto Matematico (~ S. Pincherle ~>, Universit~ - Piazza di Porta S. Donato, 5 - 40127 Bologna.

82 ELENA 8ERRA

ove Pm-m ~ S"-~/~(~ • O) e verif ica:

'OK cc ~ ~c~ > 0

~ ~/l--J/mr

ore d~,(=, r162 ~ l~ distanza di (z, $/151) da 2:~. Def in iamo OPZ "~ t o 27) come l>insieme degli opera tor i pseudodiffe-

renzi~li P che in ogni s i s t ema di coord ina te locMi h a n n o un s imbolo (eom-

pleto) ~'~ ~ 27). Come 6 p r o v a t o in [3] si p rova che la definizione ~ inva r i an te per dif-

feomorf ismi. Siano qi, q2 e L~.~.(T2, 2:) : i n t r oduc i a mo la re lazione d ' equ iva lenza :

L m 1

m2

Pe r i s imbol i in t rodo t t i si ha il seguente r i su l t a to :

PttOPOSlZlONE. S i a p ~tn simbolo in .L,~,.~(~Q, Z) , m~ e N~ si pub associate m ~ m a p u n elemento q e L ........ (0 , 27)/ m,(l+v),m,(l+v)

( (1.1) q~ - - e xp - - ~ ~ p /=1

eon la proprietd d'invarianza:

sia T u n a tras/ormazione canonica di T * ~ O in T * I I ' \ O da un intorno di ~ ~ Z - ~ O ' c X ' = ~(X). Sia F u n operatore tZourier-integrale associato a T,

P l'operatore di simbolo p, p ' simbolo di P ' = F P F -~ e q' associato a p '

da (1,1): si ha q'(~(e))= q(e)-

L a d imos t raz ione ~ ana loga a [2]: n o t a t o ~ E Z = Z~ n 2:2

Siano u , , i = 1, 2 1 = 1, ..., v~, v~= codimens ione Z'~ funzioni C ~ reali,

0 - o m o g e n e e in $, il cui annul la r s i definisce 27o i ---- 1, 2 e quindi 27 in un

in to rno conico F di 0. Si~ Ua i = 1, 2 I = 1 ... v~ u n OPD classico di sim-

bolo ui~. Se P ~ O P L ~ ..... (~ , Z) , pub essere messo nel la f o rma :

(1.2) P = 5 Z Ai~ U; V~

INVARIANTI E IPO]ELLITTICITA ]~CC. 8 3

ore gli A ~ sono O.PD classici

ml U~{ i = 1~ 2 . A ~ ~ OPL'~-z~(Y2), # - - m~ ' a : (al ... a~,), U~ : -

La proposizione si p rova come in [2] per il simbolo di opera tor i del t ipo A ~ U~ U~ t enu to eonto ehe l 'appl icazione

exp ~ ~ G l = 1

b bi ie t t iva di

L m I T m ___>, T m l y r e : m l / m 2 ml,m~l'S~(m~ + l~),(ral+ l ) "~m~,m~l~(ml + t~),(m~ + l)

In fa t t i , fissate su 27 coordinate loeali (u l , u~ , v , r) (1) V1 = O, 1, .. . , ml Pm-u a m m e t t e in un intorno conico di ogni pun to di 27 uno svi luppo:

quindi il cont r ibuto del t e rmine

va sul t e rmine di omogeneit~ m - h - 1/2 e in esso compaiono termini del t ipo

a~ J - ~ ' J - ~ ' 2h

oppure te rmin i di annul lamento pifi al to in ul, us che non danno contr ibuto al simbolo L~ ..... /Z(~l+.),(m,+n quindi i soli termini significativi alla deter- minazione di q,~,-~-u~ sono quelli (di annul lamento pifi basso) per cui 6 mi-

nimo [ ~ - - a ' [ +/~lfl-/~'l ore

! I

si ha:

~ - m l - - l - - 2 h -~- IB't(1--/x)>ml--l--2h

the 6 proprio l 'ordine di annul lamento per il t e rmine qm-(h+~/2) in L~ ..... (~2, 2:).

(1) ui ' v funzioni C ~176 0-omogenee. r positivamcnte omogenea di grado 1.

8 4 E L E N A 8:EI~RA

I n queste condizioni ~ possibile associare a P e OPL~,.~,(Q, 27) un~ fa- miglia ~ di forme invar iant i (per cambiamen to di coordinate coniche): se q

il s imbolo invar iante associato a p :

v(q, x ) e 2v(27)--> ~,(e, x ) = Z (o:!fl!)-~(R~R~q.._~)(e)

ove 2~ ~ campo vet tor ia le C| X(~) ~ X, ll~(X) ~ X~ i = 1, 2. Si deter- mina cosi una funzione O ~ su N(2:):

ml

~(e, x ) = ~ ~(q, x ) (q, x ) e 2r i=0

t Suppor remo inoltre che VK cc ~ 3c K > 0 :

(0.2) Ipm(~, ~/1~1)[ ~'~(d~: + d~:)

1)ROP0SlZlO~'E 1. iVelle ipotesi (0, 0 - 1 - 2) si ha che:

WF(u)\WF(Pu) c ~(~-~(o)) Vu e ~'(0)

e ~: 2r -+ 27 indica la proiezione canoniea.

Dzlv~. D a [4] V~o ~ 27 esiste / ' , intorno conico di 0o e una t rasformazione canonica Z, omogenea, tale che

z ( F n Z,) = {(z; ~1,$~,~)z T*R- \01~ , = o) i = 1, 2

Se 2 ' & un opera tore Fourier- integrale ellittico associato a g e .~--1 una para- metr ice, sost i tuendo P con F P F -1, supponiamo che 27~ abbia equazioni ~ = 0 , i ~ 1 , 2 quindi 2 7 = c a r P = p ~ l ( 0 ) ha equazioni ~ ( ~ , ~ , ) = 0 .

La fogl ie t ta tura canonica di 27 b fo rma ta di piani affini

{(xlx2y; 0, O, ~)l(xl,x2,y)ER n, ~ ~Rn-vt-v'}.

Uno svi luppo di Taylor p e r m e t t e di scrivere su un intorno di 27:

Pro( z, ~) ~ a~ ~ I~l +~V] = ml

o re a~ ~ Sm-J~I-tPI(Q • Nota to A~ un OPD di s imbolo principMe a~ pon iamo:

Qm-~ P - X ao/)~/-jB

INVARIANTI ]~ IPO~LLITTICITk ECC. 85

il cui simbolo principale q~_�89 = a~_t(Q~_�89 ammet te uno sviluppo del t ipo:

q~_+= x., ~ f l ~ l ~ 2

r ipetendo il procedimento si costruiscono degli operatori Q~-z~, 0 < i <m~

tali che

con A~t ~ ~ OPSm-~/2-N-iZI(g2) e ~,~_r a~z e si ha:

in modo che

.~==r =_,= -+- R ore R+OPS"-(='+~)/~(D)

~ia ora X m ( ~ 1 , ~ 2 ) : (~11, ...~1~.,,~21,..~ un ve t tore cotangente in (x~,x~,y; O, 0,7) = ~o al (~ (v~ + v2) foglio )) della fogl ie t ta tura canoniea di X, passante per ~o: si ha

qJ(eo, X) =

in modo che

a~(z, O, O, ~ ) ~

q(qo, x) Z :Z = a=~(z, o, o, ~)~7~

Nel cono ~ r si ha per il simbolo di P

p(z, r162 = ~: Z ~>ml

posto allora M = (1, 2 - - # , 2) si ha che il simbolo principale di p, come sim-

bolo M-omogeneo (2), ~ dato da:

ml

~_, ~_, a~(z, o, o, v )~ .~ = ~(qo, x )

e si verifica faci lmente che peS~m-m'(U) ore U ~ il cono ~ 3 0 .

(2) Per le definizioni e proprieti~ dei simboli M-omogenei si rimanda a: [5], [7], [8], [9].

8 6 E L E N A SERRA

Ino l t r e no ta to Ve~ 0 F~ Fintorno M-conico di ~--~ 0

si verifica che: W o o e r ~ 3e, c~,c2~ 0 tall che:

Ip(z;~l,~,~)l>c1[~] m(8) V(z,~)eco• [~]>e,

ove ~ no ta t~ [$] la (< dis tanza M-omogenea >) su R"

= ( ~ , , ~ , , v ) ~ [~] = ]~ l -I- I~,1 "c~- '~ + I,~1 ~'

Analogamente , va lu tando le der ivate , si p rova che

l i p - ~ F (notazioni di e s ; a ,o (~ x ~) [7])

cib che assicura che WFM(u) \WFM(PU) c U. Allora, dai r isul tat i di [5] segue che

0.3) W F , ~ ( u ) \ W2'~,(Pu) c (7-'(o) Vu e g'

ove WFM 5 il f ronte d ' onda M-omogeneo definito in [5]. Infine, poich~ V u e g ' con WF~(le)c U, si ha :

(1.4) WF(u) = pr]~,=o=+~ lVFM(u ) -~-

= {(z, 0, 0, 7) e r * R - \ 0 1 3 ( z , ~,~, ,~) e wF~(u)}

sis ort~ ~o--: (zo, O 0 ~ ) e Z ~ W F ( P u ) u e ~ ' e q(eo, X) v~O V X e N Q X aUora, supposto W F M P u ) c U, da (1.3) segue che: (zo, ~t,~,,~7o)(~WF~(u) da cui, per 1~ (1.4) si ha : ~or W~(u) : ci6 che p rova lu proposizione.

Se poi ~l(~, X ) ~ 0 V ~ X VX~No.,V, il modello microlocale di P am- I') ]O.~-- m + mt /2 l l ~ ~ m e t t e una paramet r ice in OPSM(a'~-~')(Ii ") c " ~ ' t , o ~.. ; e P ~. micro-

ipoellittico con perd i ta di m~12 derivate .

OSSERVAZIO2qE. I1 s imbolo ~/, associato a p , non ~ definito che

s,,~,,,.,(~, .y,)l.~":., +,,~x.,,+ ,)(x2, 2:)

(a) Supposto m > 0, caso al quale r si pu6 sempre ricondurre via un OPF ellittico.

INVARIANTI E IPO]]LLITTICITA ECC. 87

cio6, no t s to P~ = P - - Q e, con le notszioni preeedenti :

ml

~(P) = p = Z Z

ml

o(Q) = q = y. Y.

a ~ ( z , ~ ~ ~ i , ~ , ~ ) ~ + r

a~(z, O, o, ~ ) ~

o v e r = ~ pm_j/2(Z, ~) 6 un simbolo di M-omogeneitg < 2 ( m - - j / 2 ) < 2 m -- ~ m ~ + l

- - m ~ - - I ds cui

ml

(2.0) a(F1) = ~, y_, (a~Az, ~ , ~ , ~ ) ~ ~ - aafl(z, o, o, T])) ~1 ~2 "~- r

Per qusnto r igusrds il problems di propagszione delle singolsritg per opera- / ' ~ P ' Q 2 m - - ml- - 1 [9] tori M-omogenei, si hsnno risultati nel csso in cui P - Q e - - - M

(In [5] le condizioni sono snche pi~t restr i t t ive) . Supporremo quindi che

p _ q 2m--m1--1 = s,~ E o P , ~ i (.(-2)

quests ~, per Fosservszione fa t t a su r, una eondizione sui soli termini

P~-z20 < j < ms: dovrg essere

ehe, in forma invarisnte , si esprime:

x ~ C ~ ( e , x ) = o t~ lbl<l V(e,X)eN(2:)

X(e) = X = (Xl, X~) X, eNo(X3

In part icolare verifieano ls condizione gli operstori pseudodifferenzisli P, di simbolo a(P) = p = ~P. , -n~ or% in coordinate locMi (u~, u2, v, r)

J~>0

p~-,/~(~, ~,,u~,~, r) = ~: ~ ( ~ , ~,, ~, r ) ~ ; ~

Supponiamo ora ehe il campo vet tor ia le Hamil toniano

j = l

su q-~(o)

Allora:

88 :EL:ENA SERRA

PI%OPOSIZIOI~E 2. Nelle precedenti ipotesi su P, Z, q sia 9' una eurva inte- M grale di J~Req" 9,(0) E q-~(O).

Supponiamo I m q di segno costante su un intorno di ? e non si annulli identicamente su qualche intervallo aperto di ~, allora:

1) WF( u ) = WF(Pu) Vu e 8 ' (0 ) ,

2) P ~ ipoellittico con perdita di mJ2 derivate.

DIM. Siano ~ = 0 = ~ le equaz ioni di 27 = 271 t3 Z'~ e sia U il cono

ape r to V r 0. P r o v i a m o t he

W~M,s+2m_,n_x(~t) f'~ U = W F M , s ( P u ) ('~ U V~t e 8' ~]8 e R .

Pe r q # 0 b p r o v a t o in P rop . 1. Sia a l lora

al lora q(Qo) = 0. l !

Essendo per ipotesi (q~, - - q.1) = HM :/: 0 su q - l (0 ) n U e I m q(0) di segno

cos tan te in un in to rno di ~o la b icara t te r i s t i ca

9,: t ~ 9 , ( t ) = (x~(t), x,o, yo; ~(t), ~,o, ~o)

di Hl~e~ uscen te da Qo non 6 r i do t t a ~1 solo p u n t o Qo:

3T > 0 W F M , s ( P u ) N 9,[-- T, T] = @

allora, pe r il T e o r e m a 5 [9]

9,([0, T ] ) C WFM,s+ 2 . . . . . -1(~ ' ) o p p u r e 9,([-- T, 0]) c WFM, s+ar~_m_x(u).

I n ogni caso Imq(9 , ( t ) ) - - - -0 per t in u n in te rva l lo aper to (perch~

WEM(U)\WFM(PU)cq-I(O)) con t ro l ' ipotes i su r m q . T e n u t o coa to che

WFM(u)~W2'~(Pu) c U, si ha

W'~Ms+~ - -- ml-- I ( U ) : W F M s ( P u ) , V ~ t ~ 8 ' , V s ~ R

e quindi , poich~ in T * R " ~ U l i p ~ in S -m l 'osservaz ione f a t t a sulle pro- M,�89 iezioni di WFM assicura che W E ( u ) = WF(Pu ) .

INVAI~IANTI E IPOF, L L I T T I C I T ~ ECC. 89

Sia poi

no t a to z(D~) I 'OPD di s imbolo Z($)

Z ~ C~176 (~ S ~ e supp Z c CFx. , Zlcr ~ 1 2 0 < 2

con r a g i o n a m e n t o del t u t t o ana logo a T e o r e m a (4.3) di [7] si p r o v a che

z(D~)I ~ lq, t+m-(m~+l)/e~,,,~~loc ,~ , V ie ~'(/2) P]eH~oo(eo )

~o c o m p a t t o c Y2. Mentre ~ i m m e d i a t o che 1/peS-('~-~'/2)(~o • Ne segue:

Y] e ~ ' (9 ) con P]eH~or ) / e ~ l o c ,w,

cio~ che p r o v a l ' a f fe rmazione 2, essendo m2>~m~-F 1. I r i sul ta t i si e s t endono a opera to r i P di s imbolo p _~ ~P~-H~ ove sia

k J

car P = p ~ l ( 0 ) = ~ = ~ 2:i. i=1

X~ var ie t~ chiuse eoniehe invo lu t ive di T ' t 9 e

/I$1)L . . . + 0<i<ml,

le notaz ioni sono le precedent i , e si ~ scel to:

ml ~- min me

m ~ = m a x m ~ i ---- 1, 2 ... k

Pervenuto in Redazione il 3 aprile 1980.

RIASSUNTO

In questa nora si introduce un invariante, mediante il quale si danno condizioni sufficienti di ipoellitticith e propagazione delle singolarith per operatori pseudo- differenziali, degcneri di certi ordini > 2 su una varietk chiusa conica involutiva di T ' R %

Si utilizzano risultati ottenuti per operatori quasi-omogenei [5], [7], [8], [9], pro- vando che, almeno microlocalmente, gli operatori considcrati sono di questo tipo.

90 ELENA SERRA

S U M M A R Y

In this paper we shall in t roduce a class of pseudodifferent ia l operators for which we define an invar ian t and we obta in sufficient condi t ions for the hypoel l ip t ie i ty and p ropaga t ion of singularit ies.

Our approach here is to consider the operators as P .D.O. which are anisotropie (quasi-homogeneous) wi th respect to some weight : for t he definitions and the re levan t proper t ies of quas i -homogeneous P.D.O. we refer to [5] or [7].

BI BIAOG R A F I A

[1] L. BOUTET DE .~IoNvEL, Hypoelliptic operators with double characteristics and related PDO, Comm. on P u r e App. Math. , 27 (1974), pp. 585-639.

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prepr in t . [9] F. SEGALA, Lower bounds ]or a class o/ pseudodi]]erential operators (to appear

in B.U.M.I . ) .