Digital Object Identifier (DOI) 10.1007/s002080000086

Math. Ann. 317, 527–566 (2000) Mathematische Annalen

Invariants de Von Neumanndes faisceaux analytiques coh´erents

Philippe Eyssidieux

Received: 30 October 1998 / Published online: 8 May 2000 –c© Springer-Verlag 2000

Abstract. In order to study the group ofL2 holomorphic sections of the pull-back to the uni-versal covering space of an holomorphic vector bundle on a compact complex manifold, it wouldbe convenient to have a cohomological formalism, generalizing Atiyah’sL2 index theorem. In[Eys99], such a formalism is proposed in a restricted context. To each coherent analytic sheafFon an-dimensionnalsmooth projectivevarietyX(n) and each Galois infinite unramified coveringπ : X → X, whose Galois group is denoted byΓ , L2 cohomology groups denoted byHq

2 (X,F)

are attached, such that:

1. TheHq2 (X,F) underly a cohomological functor on the abelian category of coherent analytic

sheaves onX.2. If F is locally free,H0

2 (X,F) is the group ofL2 holomorphic sections of the pull-back toXof the holomorphic vector bundle underlyingF .

3. Hq2 (X,F) belongs to a category ofΓ -modules on which a dimension function dimΓ with

real values is defined.4. Atiyah’sL2 index theorem holds [Ati76]:

n∑q=0

(−1)q dimΓ Hq2 (X,F) =

n∑q=0

(−1)q dimHq(X,F).

The present work constructs such a formalism in the natural context of complex analytic spaces.Here is a sketch of the main ideas of this construction, which is a Cartan-Serre version of [Ati76].A major ingredient will be the construction [Farb96] of an abelian categoryEf (Γ ) containingevery closedΓ -submodule of the left regular representation. In topology, this device enables oneto use standard sheaf theoretic methods to studyL2 Betti numbers [Ati76] and Novikov-Shubininvariants [NovShu87]. It will play a similar rˆole here. We first construct aLp-cohomology theory(p ∈ [1,∞]) for coherent analytic sheaves on a complex space endowed with a proper actionof a groupΓ such that conditions 1-2 are fulfilled. TheLp-cohomology on the Galois coveringX → X of a coherent analytic sheafF onX is the ordinary cohomology of a sheaf onX obtainedby an adequate completion of the tensor product ofF by the locally constant sheaf onX associatedto the left regular representation of the discrete groupGal(X/X) in the space ofLp functions onGal(X/X). Then, we introduce an homological algebra device, montelian modules, which canbe used to calculate the derived category ofEf (Γ ) and are a good model of theCech complex

calculatingL2-cohomology. Using this we prove thatHq2 (X,F) ∈ Ef (Γ ), if X is compact. This

is stronger than condition 3, since this also yields Novikov-Shubin type invariants. To explain the

P. EyssidieuxLaboratoire Emile Picard, CNRS UMR 5580, Universit´e Paul Sabatier, 118 route de Narbonne,31062 Toulouse Cedex 4, France(e-mail: eyssi@picard.ups-tlse.fr)

528 P. Eyssidieux

title of the article,L2 Betti numbers and Novikov-Shubin invariants ofHq2 (X,F) are the Von

Neumann invariants of the coherent analytic sheafF . We also make the connection with Atiyah’sL2-index theorem [Ati76] thanks to a Leray-Serre spectral sequence. From this, condition 4 iseasily deduced.

Mathematics Subject Classification (1991):32J15, 14E20, 46L10

1. Introduction

L’etude du groupe des sections holomorphesL2 du releve au revetement universeld’un fibre vectoriel holomorphe sur une vari´ete complexe compacte serait grande-ment facilitee par un formalisme cohomologique qui g´eneralise le th´eoremed’indiceL2 d’Atiyah [Ati76] 1 2.

Dans [Eys99], un tel formalisme est propos´e. A tout faisceau coh´erentFsur une vari´ete complexeprojective lisseX(n) de dimensionn et tout revetementgaloisien non ramifi´eπ : X → X de groupe de GaloisΓ , on associe des groupesde cohomologieL2 notesHq

2 (X,F) tels que:

1. LesHq

2 (X,F) s’organisant en un foncteur cohomologique sur la cat´egoriedes faisceaux coh´erents surX.

2. SiF est localement libre,H 02 (X,F) s’identifie au groupe des sections holo-

morphesL2 du releve a X du fibre sous-jacent `aF .3. LesHq

2 (X,F)appartiennent `a une cat´egorie deΓ -modules sur laquelle existeune fonction dimension dimΓ a valeurs r´eelles.

4. On a le th´eoreme d’indiceL2 d’Atiyah [Ati76]:n∑

q=0

(−1)q dimΓ Hq

2 (X,F) =n∑

q=0

(−1)q dimHq(X,F).

Le present article a pour but de construire un tel formalisme dans le cadre,naturel pour une telle ´etude, des espaces complexes, ce qui permet de traiter enparticulier le cas des vari´etes algebriques singuli`eres.

L’etude des invariantsL2 des varietes et complexes simpliciaux, nombresde BettiL2 ([Ati76], [CheGro86],[Dod77],[Luc94]) et invariants de Novikov-Shubin ([NovShu87],[NovShu86] voir aussi [GroShu91],[GroShu92],[LoLu95])a connu recemment une simplification remarquable grˆacea M.Farber [Farb96](et independamment `a W. Luck, [Luc96])3. Le point principal de la contribution

1 Demarree par M. Gromov [Gro91], une s´erie d’investigations r´ecentes utilise cette tech-nique pouretudier les vari´etes algebriques `a groupe fondamental infini. C’est un des ´elementsprincipaux de l’ideologie de [Kol95]. Parmi les travaux dans cette direction, citons [Cam94],[Cam95],[Eys97],[Eys99],[Kol93], [NapRam95], [Taka99].

2 Qu’une telle construction est possible est sugg´ere par [Kol95], p.169, preuve du thm 16.5.3 En geometrie complexe, les nombres de BettiL2 ont un comportement remarquable d´ecouvert

par M. Gromov [Gro89],[Gro91] (voir aussi [ABR92], [Eys97], [Eys99], [JosZuo97]).

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 529

[Farb96] est la construction une cat´egorie ab´elienneEf (Γ ) contenant tous lessousΓ -modules ferm´es de la repr´esentation r´eguliere gaucheL2Γ . Les nom-bres de BettiL2 et invariants de Novikov-Shubin sont des invariants des objetsdeEf (Γ ), ce qui permet pour les ´etudier des arguments similaires `a ceux de latheorie de l’homologie des complexes simpliciaux.

La construction men´ee a bien dans cet article consiste `a faire coop´erer cegadget d’analyse fonctionnelle avec les techniques standard de la th´eorie desfaisceaux analytiques coh´erents. D´ecrivons l’organisation de cet article.

La section 2 donne les conventions et d´efinitions de base. Nous ´elargissonslegerement le contexte en autorisant comme coefficients que l’action deΓ surX ait des stabilisateurs non triviaux et en consid´erant des faisceaux sur lesquelsagit une extension centrale deΓ parS1, de facona avoir une th´eorie qui incluele ‘Vafa-Witten twisting trick’ de [Gro91].

La section 3 construit une th´eorie de la cohomologieLp des faisceaux p´eri-odiques sur unΓ -espace complexe, pourp ∈ [1,∞], de telle sorte que les con-ditions 1-2 soient satisfaites. La cohomologieLp du relevement `a un revetementgaloisienX → X d’un faisceau coh´erentF sur X, un espace complexe, estla cohomologie ordinaire d’un faisceau surX note lpπ∗F et obtenu par unecompletion adequate du produit tensoriel deF par le faisceau localement constantsurX associe a la representation r´eguliere gauche du groupe discretGal(X/X)

sur les fonctionsLp surGal(X/X). Les difficultes relatives aux produits ten-soriels compl´etes de faisceaux en espaces de Fr´echet sont contourn´ees par uneconstruction ad hoc.

La section 4 introduit la notion de module hilbertien et d´ecrit concretement,en paraphrasant [Farb96],Ef (Γ ) qui est la (plus petite) cat´egorie ab´elienne quicontient la cat´egorie des modules hilbertiens. Puis, elle d´ecrit la categorie deriveedeEf (Γ ) a l’aide des modules mont´eliens. La motivation de cette construction estque les termes du complexe deCech calculant la cohomologieL2 d’un faisceaucoherent sont sous-jacents `a des modules mont´eliens.

La section 5 utilise cette description pour prouver queHq

2 (X,F) ∈ Ef (Γ ), siX est compact. Les nombres de BettiL2 et les invariants de Novikov-Shubin deH

q

2 (X,F) sont les invariants de Von Neumann du faisceau analytique coh´erentF . Les invariants de Novikov-Shubin d´etectent le caract`ere non-Hausdorff de lacohomologieL2. Ces invariants de Novikov-Shubin sont pour le moment tropmal controles pour envisager des applications en g´eometrie algebrique complexe.

La section 6 r´eduit la condition 4 au th´eoreme d’indiceL2 d’Atiyah [Ati76]gracea une suite spectrale de Leray-Serre.

Les preuves des r´esultats principaux ont ´ete obtenues en adaptant certainesidees de la preuve du th´eoreme de l’image directe de Grauert donn´ee par [FoKn71]a un contexte nettement moins compliqu´e.

Tous ces efforts ne sauraient se justifier que par les applications. Dans cettedirection, voir [Eys99], inspir´ee par le livre de Koll´ar [Kol95] et utilisant une

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version moins g´enerale de la pr´esente th´eorie, et [Eys98]. Signalons aussi untravail independant dans une direction similaire [CamDem].

Il parait possible de poursuivre le travail ici entrepris de faisceautisation dela cohomologieL2 en direction d’une th´eorie de Hodge mixteL2, peut-etred’une cohomologie d’intersectionL2 pour les espaces singuliers. Ceci permetprobablement d’obtenir des variantes pour des vari´etes singulieres du travail deM. Gromov [Gro91].

Pour leurs remarques relatives au pr´esent travail, je dois des remerciementsaux mathematiciens suivants: P. Bressler, F. Campana, J.P. Demailly, C. Simpsonet J. Tapia.

2. Conventions, Notations

Le lecteur trouvera dans cette section les notations utilis´ees librement par la suite.

2.1. Analyse fonctionnelle, th´eorie des faisceaux, alg`ebre homologique

Soit E un espace de Hilbert.B(E) designe l’algebre des op´erateurs born´es deE. SoientE,F deux espaces de Hilbert,E⊗F designe leur produit tensorielcomplete.

SoitA une algebre associative.ModA designe la cat´egorie des modules surA. SiX est un espace topologiqueModA(X) designe la cat´egorie des faisceauxdeA-modules.

Soit C une categorie etS un systeme multiplicatif de morphismes, voir[Har66], I.3, p.28.CS designera la cat´egorie localis´ee, obtenue en inversantformellement les morphismes deS, voir [Har66], I.3, p.29.

SoitB une categorie additive. Conform´ement aux notations de [Har66], I.2,Ki(B), i = b,+,−, designera la cat´egorie dont les objets sont les complexesbornes (resp. born´es inferieurement, resp. born´es sup´erieurement) d’objets de lacategorie additiveB et les morphismes les classes d’homotopie de morphismesde complexes. Cette cat´egorie est triangul´ee au sens de [Ver77], voir [Har66],I.1 . Ci(B), i = b,+,−, designera la cat´egorie dont les objets sont les com-plexes et les morphismes les morphismes de complexes.Di(A) i = b,+,−designera la cat´egorie derivee bornee (resp. born´ee inferieurement, resp. born´eesuperieurement) de la cat´egorie ab´elienneA, voir [Ver77] [Har66] I.4. SiA′ estune sous cat´egorieepaisse deA, Di

A′A est la cat´egorie deriveea cohomologiedansA′, voir [Har66], I.4, p. 38.

De maniere generale, on utilise les notations de [Har66], `a une exceptionpres: la notion deδ-foncteur cohomologique utilis´ee dans la section 3 est lanotion definie en III.1, p.205 dans le livre [Har77]. En revanche, nous utilisonsla terminologie de∂-foncteur triangul´e pour traduire la notion de ‘∂-functor’ de

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 531

[Har66], ch.1, p. 22. Il y a dans [Har66] une notion de ‘covariant cohomologicalfunctor’que nous n’utilisons pas et qu’on prendra garde de ne pas confondre aveccelle deδ-foncteur cohomologique. Nous avons pris le risque de cette ambigu¨ıtedans nos notations pour le lecteur peu familier avec le langage et les outils descategories triangul´ees puisqu’ils sont inutiles jusqu’`a la section 4.

2.2. Espaces complexes et faisceaux analytiques coh´erents periodiques

Pour les fondations de la th´eorie des faisceaux analytiques coh´erents, nous ren-voyons le lecteur `a [GraRem84].

Espaces complexes p´eriodiques Soit Γ un groupe d´enombrable discret. UnΓ -espace complexeest un triplet(X, Γ, ρ) ou X designe un espace complexeparacompact s´epare, etρ une action `a gauche proprement discontinue deΓ surXpar biholomorphismes4. Un morphisme deΓ -espaces complexes(X, Γ, ρ) →(Y , Γ, ρ) est une application holomorphef : X → Y qui commute `a l’actiondeΓ . UneΓ -variete complexeest unΓ -espace complexe r´egulier. UnΓ -espacecomplexe est ditcocompactsi l’action deΓ est cocompacte. UnΓ -espace com-plexeX sera ditΓ -Steinssi il porte une fonction strictement plurisousharmoniquelisse5, Γ -invariante etΓ -exhaustive6 et X = ΓX0 ou X0 est une r´eunion finiede composantes connexes stabilis´ee par un sous groupe fini deΓ .

Faisceaux analytiques coh´erents periodiques Soit Γ une extension centrale deΓ par un groupe compact ab´elien S et χ un caract`ere deS. Dans ce qui suitγ , g, ... designera un ´element deΓ dont l’image dansΓ = Γ /S sera not´eeγ, g, ...

Un faisceau analytique coh´erent Γ -periodiquesur leΓ -espace complexe(X, Γ, ρ) est un faisceau analytique coh´erentF surX muni d’une action com-patible deΓ 7.

Unmorphisme de faisceaux analytiques coh´erentsΓ -periodiquesest un mor-phisme de faisceaux analytiques coh´erents qui commute `a l’action deΓ . Lenoyau, le conoyau, l’image et la coimage au sens des faisceaux surX d’unmorphisme de faisceaux p´eriodiques h´eritent d’une action compatible deΓ . La

4 Le noyau deΓ → Biholo(X) peutetre non trivial mais sera automatiquement fini5 Une fonction sur un espace complexe sera dite lisse (resp. plurisousharmonique, resp. stricte-

ment plurisousharmonique), ssi elle s’exprime localement comme image r´eciproque par un plonge-ment d’une fonction lisse (resp.plurisousharmonique, resp. strictement plurisousharmonique ) surCN , [Nar62].6 C’est-a-dire telle que la fonction induite surΓ \X soit exhaustive7 Par une action compatible deΓ on entend la donn´ee pour toutγ ∈ Γ d’un isomorphisme

φ(γ ) : γ−1F → F tel queφ(γ1γ2) = φ(γ2)γ−12 φ(γ1) et pour tout ouvertU de X la

representation naturellei : S → Aut(F(U)) est continue pour la topologie induite par la structured’espace de Fr´echet deF(U).

532 P. Eyssidieux

categorieCΓ (X) des faisceaux analytiques coh´erentsΓ -periodiques sur unΓ -espace complexe est une cat´egorie ab´elienne.

Soit F un faisceau analytique coh´erent Γ -periodique. La formuleφχ =∫Sχ(z−1)i(z)dz definit un endomorphisme deF tel queφχi(z) = χ(z)φχ . Le

lemme de Nakayama assure queF est somme directeΓ -localement finie dessous faisceauxIm(φχ ′),χ ′ parcourant le groupe des caract`eres deS. Ceci ramenel’ etude deCΓ (X) a l’etude deCΓ ,χ (X) qui est la sous cat´egorie deCΓ (X) dontles objets sont les faisceaux p´eriodiques pour lesquelsφχ est l’identite, i.e.: telsqueS agisse surF par multiplication par le caract`ereχ . De tels faisceaux serontdits (Γ , χ)-periodiques.CΓ ,χ (X) est une cat´egorie ab´elienne.

On designe parVΓ ,χ (X), (resp.LΓ ,χ (X)), la sous cat´egorie additive (resp.la sous cat´egorie) deCΓ ,χ (X) formee des faisceaux localement libres (resp. in-versibles). Ces deux cat´egories sont naturellement ´equivalentes aux cat´egoriesdes fibres vectoriels holomorphes (resp. des fibr´es en droites)(Γ , χ)-periodiques.

La notion d’action compatible fait sens pour des faisceaux plus g´enerauxque les faisceaux coh´erents. On d´esigne parModΓ ,χ (X), la categorie desOX-modules munis d’une(Γ , χ)-action compatible.

Une construction locale

Proposition 2.2.1 SoitU un espaceΓ - Stein. SoitU ′ un ouvertΓ -invariant deU tel queΓ \U ′ Γ \U .

Soit F un faisceau analytique coh´erent(Γ , χ)-periodique defini sur U . Ilexiste un faisceau analytique coh´erent (Γ , χ)-periodique localement libreVdefini surU ′ et un morphisme surjectif, d´efini surU ′, V → F → 0.

Soit un diagramme de faisceaux analytiques coh´erents(Γ , χ)-periodiquessur U de la forme:

F↓

W → G → 0

la ligne du bas ´etant suppos´ee exacte. Il existe un faisceau analytique coh´erent(Γ , χ)-periodique localement libre not´e V, un epimorphismeV → F → 0 etun morphismeV → W (definis surU ′) tels que le diagramme suivant commute:

V → F → 0↓ ↓W → G → 0.

Preuve.On peut supposer queU = Γ U0 ou U0 est une composante connexestabilisee par un sous groupe finiΣ deΓ . Nous supposons d’abord queχ = 0 etqueΣ est le groupe trivial. La proposition est alors une cons´equence du th´eoremeB de Cartan.

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 533

Siχ = 0 etΣ est le groupe trivial, il est possible de construire un faisceau in-versible(Γ , χ)-periodique, not´eLχ . Donnons une construction. Sur l’ensembleΓ × U0 × C il y a une actionL de Γ et une actionR deS qui commutent quise definissent par les formulesL(γ ).(g, x, w) = (γ g, x, w) etR(z)(g, x, w) =(gz−1, x, χ(z)w) Par suite il y a surW := Γ × U0 × C/R(S) une action deΓcompatiblea la projection naturelleW → Γ × U0 = Γ × U0 × 0/R(S). Deplus,W → X definit un fibre en droites holomorphe surΓ × U0 muni d’une(Γ , χ)-action compatible. En utilisant le produit tensoriel parLχ et son inverse,on est ramen´e au cas pr´ecedent.

Si Σ = 0, notons que nous avons une application ´etaleΓ -invarianteπ :V → U avecV = Γ × U0 unΓ -espace complexe sans composante connexefixee. Les consid´erations pr´ecedentes s’appliquent donc `a V . On descend `aU enutilisant l’epimorphismeπ∗π∗F → F , defini pour tout faisceau ab´elienF , etfonctoriel enF .

3. CohomologieLp des faisceaux coh´erents

Dans ce qui suitp designe un nombre r´eel∈ [1,∞[. Pourp = ∞, les adaptationsa fournir sont tres aisees.

3.1. Construction des Images directesLp de faisceaux coh´erents periodiquesdans le cas r´eduit

Soit (X, Γ, ρ) un Γ -espace complexe r´eduit, 1→ S → Γ → Γ → 1 uneextension centrale deΓ et χ un caract`ere deS. Notons parπ l’applicationcontinueX → X = Γ \X. Convenons de noter pour toute partieP de X,P := π−1(P ).

3.1.1. Le cas des faisceaux localement libresSoit Z est un espace complexereduit. La topologie de la convergence uniforme sur les compacts induit unestructure d’espace de Fr´echet sur l’espaceO(Z) des fonctions holomorphes surZ. De plus, on peut construire une classe de mesures surZ, representee parune mesuredvZ dont le support estZ, et telle que, pour tout ouvertU deZ

les seminormes(‖.‖Lp(K,dvZ)), K parcourant les compacts deU , definissent lastructure canonique d’espace de Fr´echet surO(U). Si Z est une sous vari´etefermee deC

N de dimension pured, il suffit de poserdvZ = |ireg∗ ωd | ou ireg :Zreg → Z est le plongement ouvert de la partie r´eguliere etω est la restriction `aZreg de la forme kahlerienne d´efinie par la m´etrique euclidienne. Comme de plusX est unΓ -espace complexe r´eduit, il est loisible de supposerdvX Γ -invariante,ce que nous ferons d´esormais.

Soit V ∈ VΓ ,χ (X). Fixons une m´etrique hermitienneh, Γ -invariante, sur lefibre vectoriel holomorpheV associe aV.

534 P. Eyssidieux

Definition 3.1.1 Le faisceaulpπ∗V est le faisceau en groupes ab´eliens surXdefini par:

lpπ∗V(U) = s ∈ H 0(π−1(U), V ) : ∀K U

∫K

|s|phdvX < ∞

Sricto sensu, la formule pr´ecedente d´efinit un prefaisceau, mais les propri´etesde recollement se v´erifient aisement. Par ailleurs, il est ´egalement clair quelpπ∗Vest independant du choix de la m´etrique.V → lpπ∗V est un foncteur covariantdeVΓ ,χ (X) vers la cat´egorie des faisceaux en groupes ab´eliens surX. On dispose

d’une inclusion fonctorielle canoniquelpπ∗V can(V)→ π∗V.

3.1.2. Theoreme d’exactitude SoitV,W des objets deVΓ ,χ (X) etφ : V → Wun morphisme d’image le faisceau analytique coh´erent periodiqueI. Soit Uun ouvertΓ -Stein de(X, Γ, ρ). SoitP une fonction strictement plurisoushar-monique lisseΓ -invariante etΓ -exhaustive d´efinie surU . EcrivonsU = Γ U0 ouU0 est une r´eunion finie de composantes connexes stabilis´ees par un sous groupefini deΓ . Pour minP < t on definit Ut = P−1(] −∞, t[) etU0

t = Ut ∩ U0.

Lemme 3.1.2Fixonst tel queminP < t . Il existet ′ > t et une constante r´eelleCt,t ′ > 0, telle que, pour toute sections ′ de W definie surU0 et localementcontenue dansI, il existe une sections de V sur U0 telle queφ(s) = s ′ etverifiant: ∫

U0t

‖s‖p ≤ Ct,t ′

∫U0t ′‖s ′‖p.

Preuve.Considerons l’espaceW(U0) des sections holomorphes deW surU0.Pourt ∈ R, nous definissons une norme‖.‖t surW(U0) par la formule:

‖σ‖pt =∫U0t

|σ |p.

Cette collection de normes induit surW(U0) une topologie d’espace de Fr´echet,independante dep.

Lemme 3.1.3L’espaceI(U0) ⊂ W(U0) est un ferm´e.

Preuve.Voir [GraRem84], p. 468.La topologie induite surI(U0) est donc de Fr´echet. L’applicationφ : V(U0)

→ W(U0) est une application lin´eaire continue. Elle est `a valeurs dansI(U0)

8 Il s’agit d’une application standard du lemme de Krull, combin´e avec l’observation que laconvergenceLp

locforce la convergence des coefficients du d´eveloppement en s´erie entiere en tout

point de∆n.

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 535

etφ : V(U0) → I(U0) est surjective par le Th´eoreme B de Cartan, puisqueU0

est de Stein. Une application continue et surjective entre espaces de Fr´echet estouverte, voir [Yos80], p.75. De ce fait, l’ouvertΩt = s ∈ I(U0),

∫U0t|s|p <

1 = B‖.‖t (0,1) verifie queφ(Ωt) est un ouvert deI(U0). Par suite∃t ′ > 0, ε >

0 tel ques ∈ I(∆),∫U0t ′|s|p < ε soit contenu dansφ(Ωt). On peut toujours

supposert ′ > t . PoserCt,t ′ = 2/ε etablit le lemme 3.1.2.

Le lemme 3.1.2 se traduit imm´ediatement en le:

Corollaire 3.1.4 L’image delpπ∗φ : lpπ∗V → lpπ∗W s’identifie sous l’inclu-sion naturellelpπ∗W → π∗W au sous faisceaulpπ∗W ∩ π∗I.

Preuve.Puisqueπ est un morphisme de Stein,π∗I est l’image deπ∗φ : π∗V →π∗W. Par suite, Im(lpπ∗φ) ⊂ lpπ∗W ∩ π∗I.

Prouvons la r´eciproque. Un ´elementξx de (π∗I ∩ lpπ∗W)x est le germeenx d’une section de ce faisceau d´efinie sur un ouvert de la formeΓ \U avecU un ouvertΓ -Stein, c’est-`a-dire par la donn´ee d’une collection(f ′

γ )γ∈Γ/Σ desection holomorphes surγ.U0 verifiant pour toute constante r´eelle t > P (x),∑

γ

∫γU0

t|f ′

γ |p < ∞ etf ′γ ∈ I(γU0).

Choisissons pourγ ∈ Γ/Σ un elementγ ∈ Γ qui s’envoie surγ et posonss ′γ (y) := γ−1f ′

γ (γy). s′γ est une section deW surU0 localement contenue dans

I. La proposition 3.1.2 assure que l’on peut choisir des constantest ′ > t > P(x)

etCt,t ′ > 0 independantes deγ et des sections holomorphes deV, sγ , telles queφ(sγ ) = s ′γ et

∫U0t|sγ |p ≤ Ct,t ′

∫U0t ′|s ′γ |p.

Posonsfγ (y) = γ s(γ−1y). Ceci definit une section deV surγU0t tel que

φ(fγ ) = f ′γ verifiant de plus

∑γ

∫γU0

t|fγ |p ≤ Ct,t ′

∑γ

∫γU0

t|f ′

γ |p. Par suitef ′ = f ′

γ γ∈Γ/Σ ∈ lpπ∗V(Ut). Soit ηx son germe enx. Par construction,lpπ∗φ(ηx) = ξx . Proposition 3.1.5 Soit V φ→ W ψ→ X une suite exacte deCΓ ,χ (X) tels que

V, W, X sont localement libres. Alorslpπ∗V lpπ∗φ→ lpπ∗W lpπ∗ψ→ lpπ∗X estegalement exacte.

Preuve.En effet ker(lpπ∗ψ) = lpπ∗V ∩ π∗ ker(ψ). Comme ker(ψ) = Im(φ)

on peut appliquer le corollaire 3.1.4 pour conclure ker(lpπ∗ψ) = Im(lpπ∗φ). 3.1.3. Images directesLp de faisceaux coh´erents periodiques SoitF un objet

de CΓ ,χ (X). Soit R• i(R

•)→ F une 2-presentation9 par des faisceaux(Γ , χ)-

9 Soit F un objet d’une cat´egorie ab´elienne. UnepresentationR• : R−1 f→ R0 p→ F → 0

deF est la donn´ee d’un isomorphismep deF avec le conoyau de la fl`echef . UneresolutiondeF est la donn´ee d’une suite exacte index´ee par−N de la formeR

• : . . . → R−n−1 → R−n →. . . → R0 → F → 0. Soitk ∈ N, unek-presentationdeF est une suite exacte de la formeR• : R−k → R−k+1 → . . . → R0 → F → 0.

536 P. Eyssidieux

periodiques localement libres. On dispose de l’inclusion naturellelpπ∗R• can(R

•)→

π∗R•

et du morphisme canoniqueπ∗R0 π∗i(R•)→ π∗F . NotonsΦ(R

•) le sous

faisceau deπ∗F defini comme l’image du morphismelpπ∗R0 π∗i(R•)can(i(R

•))→

π∗F .

Lemme 3.1.6SoientR•1

i1→ F et R•2

i2→ F deux2-presentations localementlibres deF . S’il existe un morphisme de2-presentationsR

•2 → R

•1 tel que

chaque flecheRn2 → Rn

1 soit unepimorphisme, les deux sous faisceauxΦ(R•1)

etΦ(R•2) deπ∗F coıncident .

Preuve.Le carre commutatif

R•2

i2→ F↓ φ1

2 ↓ Id

R•1

i1→ Finduit un carre commutatif:

H 0(lpπ∗R•2)

c(R•2 )→ π∗F

↓ ψ12 ↓ Id

H 0(lpπ∗R•1)

c(R•1 )→ π∗F

etΦ(R•1) etΦ(R

•2) sont les images respectives dec(R

•1) et c(R

•2). Le complexe

noyauK•

deφ12 est un complexe de faisceaux coh´erents localement libres. Il est

acyclique en degr´es−1,0 par la suite exacte longue associ´eea la suite exactecourte associ´eea 0 → K

• → R•2 → R

•1. Par suitelpπ∗K

•est un complexe

acyclique en degr´es−1,0 par la proposition 3.1.5. Toujours par la proposition3.1.5, on a une suite exacte courte:

0 → lpπ∗K• → lpπ∗R

•2

φ12→ lpπ∗R

•1 → 0.

La suite exacte longue associ´ee assure queH 0(lpπ∗R•2)

ψ12→ H 0(lpπ∗R

•1) est un

isomorphisme. Par suiteΦ(R•1) = Φ(R

•2).

Par le premier point de la proposition 2.2.1, pour tout ouvertΓ -invariantU ′,contenu dans un ouvertΓ -SteinU deX avecΓ \U ′ Γ \U deX, la restrictiondeF a U ′ admet une 2-pr´esentation (et mˆeme une r´esolution) localement libreperiodique. De plus, ´etant donn´ees deux 2-pr´esentations localement libres surU ′un ouvertΓ -Stein, pour toutU ′′ ouvertΓ -invariant deU ′ tel queΓ \U ′′ Γ \U ′,un raisonnement ais´e appuye sur le deuxi`eme point de la proposition 2.2.1 assurel’existence d’une troisi`eme 2-presentation localement libre p´eriodiqueR

•3 definie

sur U ′′ avec des morphismes de comparaisonR•1 ← R

•3 → R

•2 dans lesquels

chaque fleche est une surjection. Il est donc l´egitime de poser:

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 537

Definition 3.1.7 lpπ∗F est l’unique sous faisceau deπ∗F tel que,R•U→ F |U

designant une2-presentation locale localement libre p´eriodique deF sur unouvertΓ -invariant U , on ait lpπ∗F |Γ \U = Φ(R

•U).

Si φ : F → G est un morphisme de faisceaux coh´erents p´eriodiques surX,le morphismeπ∗φ : π∗F → π∗G envoielpπ∗F danslpπ∗G. Nous definissonslpπ∗φ comme la restriction deπ∗φ a lpπ∗F .

Proposition 3.1.8 Le foncteurlpπ∗ : CΓ ,χ (X) → ModZ(X), F → lpπ∗F ,φ → lpπ∗φ est un foncteur covariant exact.

Preuve.La question est locale. SoitU un ouvertΓ -invariant assez petit. SoitR

•F → F une resolution localement libre d´efinie surU par des faisceaux

periodiques. Le morphisme naturelH 0(lpπ∗R•F )U → lpπ∗FΓ \U est un isomor-

phisme. En effet, le noyau de l’application naturellelpπ∗R0F → lpπ∗F coıncide

avec le noyau delpπ∗R0F → π∗F qui est exactementlpπ∗R0

F ∩ π∗K ou K estle noyau deR0

F → F . Le corollaire 3.1.4 identifielpπ∗R0F ∩ π∗K avec l’image

delpπ∗R•1, ce qui prouve l’isomorphisme annonc´e.

Soit S : 0 → F ′ → F → F ′′ → 0 une suite exacte courte dansCΓ ,χ (X).Pour tout ouvertΓ -invariant assez petitU , utilisant 2.2.1, on peut construire unesuite exacte d´efinie surU de resolutions localement libresR

•S : 0 → R

•F ′ →

R•F → R

•F ′′ → 0 induisantS en cohomologie.

Gracea 3.1.5, il vient une suite exacte courte:

lpπ∗R•S : 0 → lpπ∗R

•F ′ → lpπ∗R

•F → lpπ∗R

•F ′′ → 0.

Toujours gracea 3.1.5, pourq = 0,

Hq(lpπ∗R•F ′) = Hq(lpπ∗R

•F ) = Hq(lpπ∗R

•F ′′) = 0.

La suite exacte longue associ´eea lpπ∗R•S se reduita la suite exacte courte

0 → H 0(lpπ∗R•F ′) → H 0(lpπ∗R

•F ′) → H 0(lpπ∗R

•F ′′) → 0.

La 0-suite associ´ee a S, 0 → lpπ∗F ′ → lpπ∗F → lpπ∗F ′′ → 0 estnaturellement isomorphe `a la precedente et par suite exacte.

3.2. Construction des images directesLp dans le cas g´eneral

Lemme 3.2.1Soit Z un Γ espace complexe,X un Γ -espace complexe r´eduitet i : Z → X un plongement ferm´e Γ -equivariant. Notonsi l’applicationi : Γ \Z → Γ \X induite pari. SoitF ∈ CΓ ,χ (X).

1. Le faisceaulpπ∗i∗F s’identifiea un faisceau de la formei∗Sp(i) ou Sp(i)

designe un sous faisceau deπ∗F .

538 P. Eyssidieux

2. SiZ est reduitSp(i) = lpπ∗F .3. SoitI le radical deOZ et soit(F k)k∈N la filtration I -adique deF 10. π∗F

admet alors la filtration(π∗F k)k∈N. Le sous-faisceauSp(i) deπ∗F verifieGrk

π∗F•Sp(i) = lpπ∗GrkF•F 11.4. Sp(i) est independant du plongementi choisi.

Preuve.Le point 1. resulte du fait quelpπ∗i∗F ⊂ π∗i∗F = i∗π∗F .Pour le point 2., supposons d’abordF localement libre. NotonsFZ le faisceau

localement libre surZ obtenu par restriction deF a Z. Il est immediat queSp(i) ⊂ lpπ∗FZ. L’autre inclusionlpπ∗FZ ⊂ Sp(i) resulte du th´eoreme del’image ouverte. Le cas g´eneral se ram`ene au cas localement libre en utilisantdes presentations locales localement libres.

Passons au point 3. Le faisceaui∗F admet la filtrationI -adique(i∗F k)k∈N.La suite des gradu´es de cette filtration est(Grk

π∗ iF• i∗F)k∈N. Il resulte de 3.1.8

queGrkπ∗ iF• i∗Sp(i) = lpπ∗Grk

π∗ iF• i∗F . Ceci en conjonction avec les points 1.et 2. ach`eve d’etablir le point 3.

Soient i, j deux plongements dans un espace r´eduit. On peut toujours seramener au cas o`u F est localement libre. Quitte `a remplacerj par le produitk = i × j , il est loisible de supposer quei = p j ou p est holomorphe. Cettefactorisation implique queSp(i) ⊂ Sp(j) ⊂ π∗F . S’il existeN > 0 tel queIN = 0, le point 3. impliqueSp(i) = Sp(j). Le problemeetant local, ceci ´etablitle point 4.

Il est donc legitime de poser:

Definition 3.2.2 lpπ∗F est l’unique sous faisceau deπ∗F tel que, pour toutouvertΓ -invariantU et toutΓ -plongementi vers un espace complexe r´eduitX,on ait lpπ∗F |U = Sp(i).

Il r esulte de la proposition 3.1.8 que:

Proposition 3.2.3 SoitZ unΓ -espace complexe. Le foncteur

CΓ ,χ (Z) → ModZ(Γ \Z), F → lpπ∗Fest un foncteur covariant exact.

3.3. CohomologieLp d’un faisceau analytique coh´erent periodique

Gracea la proposition 3.2.3, il devient l´egitime de poser la:

10 i.e.:Fk = IkF .11 Dans cet ´enonce, on voitGrkFF comme un faisceau analytique coh´erent surZred et en

particulier comme un faisceau sur l’espace topologique sous jacent `aZ.

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 539

Definition 3.3.1 SoitF un faisceau analytique coh´erent(Γ , χ)-periodique surleΓ -espace complexeX, on appelleq-ieme groupe de cohomologieLp deF legroupe abelienHq

(p)(X,F) := Hq(X, lpπ∗F).

Ceci definit bien sur un foncteur. Les homomorphismes de Bockstein duδ-foncteur cohomologique12 usuel sur la cat´egorie des faisceaux en groupesabeliens surX donnentegalement lieu `a des homomorphismes de Bocksteinδ

et on a la:

Proposition 3.3.2 Le systeme de foncteurs(Hq

(p)(X, .)q≥0, δ) definit un δ-

foncteur cohomologique deCΓ ,χ (X) a valeurs dans la cat´egorie desC[Γ ]-modules.

4. Modules hilbertiens sur une Algebre de Von Neumann

4.1. Algebres de Von Neumann finies

Definition 4.1.1 On appelle alg`ebre de Von Neumann (en abr´ege AVN) finieprobabilisee un triplet(A, ∗, τ ) ou A est uneC-algebre unitaire munie d’uneinvolution∗ antilineaire et d’ une forme lin´eaire traceτ verifiant

– τ(a∗) = τ(a)

– τ(ab) = τ(ba), τ (Id) = 1– τ(a∗a) ≥ 0, τ (a∗a) = 0 ⇐⇒ a = 0– < ., . >: A × A → C, < a, b >= τ(ab∗) est un produit scalaire

prehilbertien surA. Son compl´ete A2 est un espace de Hilbert s´eparableet le morphismeA → B(A2) induit par la multiplicationa gauche a uneimage ferm´ee pour la topologie forte des op´erateurs13.

– Si (ai) est une suite major´ee croissante14 d’elements deA et a = supi(ai),alors τ(a) = supi(τ (ai)).

LeA-moduleA2 sera appel´e lemodule standard de(A, τ ). Le commutant deAdansB(A2)est decrit par l’actiona droite de l’algebre oppos´eeAop. (Aop, ∗, τ )estegalement une AVN finie probabilis´ee de module standardA2.

4.2. Exemples d’alg`ebres de Von Neumann finies

4.2.1. Algebres de Von Neumann d’un groupe discretSoit Γ un groupe dis-cret. On definit une algebre involutivea trace(CΓ, ∗, τ ) en posant(

∑agg)

∗ =12 Pour la definition, voir [Har77], III.1, p.205.13 Ceciequivaut au fait queA coıncide avec son bicommutant dans cette repr´esentation14 Un element d’une C*-alg`ebre est dit positif ssi il est autoadjoint(a = a∗) et peut s’ecrire sous

la formea = bb∗. C’estequivalent au fait que pour toute *-repr´esentation de l’alg`ebre dans unespace de HilbertH , ∀x ∈ H (ax, x) ≥ 0.

540 P. Eyssidieux

∑agg

−1, τ (∑

agg) = ae. Soit CΓi→ B(l2Γ ) la representation r´eguliere

gauche. SoitW ∗l Γ la sous alg`ebre deB(l2Γ ) qui est l’adherence de l’image

de i pour la topologie forte des op´erateurs. Sia ∈ CΓ, ag = (i(a)δe, δg). Dece fait, touta ∈ W ∗

l Γ se represente comme somme d’une famille sommable(pour la topologie forte des op´erateurs)a = ∑

agi(g). On peut construire unetraceτ sur l’algebreA = W ∗

l Γ par la formuleτ(a) = ae = (aδe, δe). On aτ(aa∗) = ∑ |ag|2. Par suite:

Exemple 4.2.1(W ∗l Γ, ∗, τ ) est une alg`ebre de Von Neumann finie probabilis´ee

de module standardl2Γ .

La meme construction en partant de la repr´esentation r´eguliere droite fournitW ∗

r Γ qui est le commutant deW ∗l Γ .

4.2.2. Construction deW ∗l (Γ , χ) La variante ici expos´ee de la construction

precedente est n´ecessaire pour formaliser le ‘Vafa-Witten twisting trick’ de[Gro91]. SoitΓ un groupe d´enombrable discret. SoitS un groupe ab´elien com-pact. Soitχ un caract`ere deA. Soit 1→ S → Γ → Γ → 1 une extensioncentrale deΓ parS. Γ est un groupe topologique localement compact qui porteune mesure de Haardγ qui se trouve ˆetre biinvariante. Consid´erons l’algebre deconvolutionA deΓ , i.e.:A = C0

o (Γ ,C), munie du produit de convolution:

f.f ′(g) =∫Γ

f (gγ−1)f ′(γ )dγ

et de l’antiinvolution antilineairef ∗(g) = f (g−1).A agit surE = L2(Γ ,C) parproduit de convolution `a gauche. SoitEχ le sous espace ferm´e deE defini commel’ensemble des fonctionsf telles que∀z ∈ S,∀g ∈ Γ , on aitχ(z)f (gz) = f (g).Le projecteur orthogonal surEχ est:

(pχf )(g) =∫S

χ(z)f (gz)dz.

On verifie aisement la relation de commutation:

∀f ∈ A,∀w ∈ E, f.pχw = pχ(f.w).

D’ou un morphisme d’alg`ebres involutivesA → pχApχ ⊂ B(Eχ). OndefinitW ∗

l (Γ , χ) comme le bicommutant depχApχ dansB(Eχ). Posonsτχ(f )

= (pχf )(e). On verifie queτχ(f.g) = τχ(g.f ) en utilisant queS est centraldansΓ . Le caract`ere contragr´edientχc deχ , χc(z) = χ(z), definit unelementdeEχ et l’on a: τχ(f ) = (f.χc, χc). Observons ´egalement quef.χc = pχf .De la τχ(f.f

∗) = ∫Γ|pχf (γ )|2dγ . Resumons cette construction:

Exemple 4.2.2(W ∗l (Γ , χ), τχ) est une AVN probabilis´ee de module standard

isomorphe `a Eχ .

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 541

4.3. Modules hilbertiens sur une AVN finie probabilis´ee

Soit (A, ∗, τ ) une AVN finie probabilis´ee.

4.3.1. Modules hilbertiens projectifs

Definition 4.3.1 Un A-modulea gaucheW est dit hilbertien projectif s’il ad-met un produit scalaire hilbertien(., .) tel que(ax, y) = (x, a∗y) et se plongeisometriquement dans leA-moduleA2⊗H , H etant un espace de Hilbert surlequelA agit trivialement.W est dit de type fini siH peutetre pris de dimensionfinie. Un morphisme entre deux modules hilbertiens est une application lin´eairebornee commutant aux actions respectives deA.

4.3.2. La cat´egorie des modules hilbertiens projectifs n’est pas ab´elienne engeneral. On definit trois categoriesPf (A) ⊂ Psep(A) ⊂ P(A) comme suit:

– Les objets deP(A) sont exactement lesA- modules hilbertiens.– Les morphismes deP(A) sont exactement les applications lin´eaires con-

tinues commutant `a l’action deA, ou encore avec les notations standardHomP(A)(E, F ) = LA(E, F ).

– Pf (A) (resp.Psep(A)) est la sous cat´egorie pleine deP(A) formee des objetsde type fini (resp. r´ealisables dansA2 ⊗ H ou H est un espace de Hilbertseparable).

P(A) est une sous cat´egorie additive de la cat´egorieModA. La notioncategorique de noyau d’unP(A)-morphismef : E → F coıncide avec lanotion usuelle de noyau. En revanche, la notion cat´egorique de conoyau (voir

[Lang], ch. IV, p. 116) donneCoker(f ) = (E → E/f (E)). P(A) n’est pasen general une cat´egorie ab´elienne: les morphismes stricts sont les morphismesd’image fermee.

4.3.3. Categorie abelienne des modules hilbertiensCependant,P(A) possedela propriete suivante:

Lemme 4.3.2SoitV,W deuxA-modules hilbertiens projectifs etφ : V → W

unA-morphisme surjectif (au sens habituel, c’est-`a-direφ(V ) = W ), alorsφ aune sectionA-lineaire continue.

Preuve.Fixons une m´etrique hilbertienne surW compatibleaA (rappelons quecela signifie∀a, x, y : (ax, y) = (x, a∗y), i.e.: que l’adjoint de l’op´erateurmultiplicationa gauche para est la multiplication `a gauche par le conjugu´e dea). L’orthogonal du noyau deφ est un sous module hilbertien deV isomorphevia φ aW grace au th´eoreme de l’image ouverte.

Cette propriete, que ne partagent pas les cat´egories usuelles d’espaces vecto-riels topologiques localement convexes, a pour cons´equence le fait suivant dontl’observation est dˆuea M.S. Farber:

542 P. Eyssidieux

Theoreme 4.3.3[Farb96] [ ?] Les categories

Ef (A) ⊂ Esep(A) ⊂ E(A)

definies comme suit:

– Les objets deE(A) sont les triplets(E1, E2, e) ou E1 et E2 sont deuxA-modules hilbertiens ete une application lineaire continue commutant `a A.

– HomE(A)((E1, F2, e), (F1, F2, f )) est l’ensemble des classes d’equivalencede paires d’applications lin´eaires continues commutant `a A (φ1 : E1 →F1, φ2 : E2 → F2) telles queφ2e = f φ1 sous la relation d’equivalence(φ1, φ2) ∼ (φ′1, φ

′2) ⇔ ∃T ∈ LA(E2, F1), φ′2 − φ2 = f T .

– Ef (A) (resp.Esep(A)) est la sous cat´egorie deE(A) formee des objets(E1, E2, e) avecE2 de type fini (resp. de type d´enombrable).

sont des cat´egories ab´eliennes

On appelleraA-modules hilbertiensles objets deE(A). On noteraP∗(Γ ) :=P∗(W ∗

l Γ ), E∗(Γ ) := E∗(W ∗l Γ ) etP∗(Γ , χ) := P∗(W ∗

l (Γ , χ)), E∗(Γ , χ) :=E∗(W ∗

l (Γ , χ)).

4.3.4. Premi`eres proprietes deE(A)

Normalisations des objets et morphismesUn objetE = (E1, E2, e) deE(A)

sera ditnormalsi et seulement sie est injectif.

Lemme 4.3.4 [Farb96] Tout objetE = (E1, E2, e) deE(A) est isomorphe `aun objet normal .

Ce lemme r´esulte de la propri´ete d’excision [Farb96]: soit(E1, E2, e)un objetdeE(A) et E ⊂ E1 un sous module hilbertien tel queeE est un sous moduleferme deE2. Alors (E1, E2, e) ) (E1/E,E2/eE, e).

Un representantφ d’un morphismeφ dansE(A), φ = (φ1, φ2), entre objetsnormaux, sera ditnormalsi et seulement siφ1 est surjectif.

SoientE = (E1, E2, e), F = (F1, F2, f ) deux objets normaux deP(A).Soitφ = (φ1, φ2) ∈ HomP(A)(E, F ), alors il existe un objet normal deP(A),noteE′, et un isomorphismeψE : E′ → E tels que le morphismeφ′ = φψE aitun representant normal [Farb96].

Noyaux, Conoyaux Soit φ : E → F un morphisme entre objets normauxadmettant un repr´esentant normalφ = (φ1, φ2). SoitE′ = (ker(φ1), ker(φ2), e).Le noyau deφ est le morphismek(φ) ∈ HomE(A)(E

′, E) suivant [Farb96]:

k(φ) =ker(φ1)

e→ ker(φ2)

k(φ1) ↓ k(φ2) ↓E1

e→ E2

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 543

Soit φ : E → F un morphisme entre objets normaux admettant un repr´esen-tant normalφ = (φ1, φ2). PosonsC = (F1 ⊕ E2, F2, f + φ2). Le morphismec = (IdF1 ⊕ 0, IdF2) ∈ HomE(A)(F, C) est un conoyau deφ [Farb96].

Foncteur d’oubliE(A) → ModA

Proposition 4.3.5 La specificationO((E1, E2, e)) = E2/e(E1) definit un fonc-teur covariant fideleO : E(A) → ModA et realise une ´equivalence de cat´ego-ries entreE(A)) et une sous cat´egorie abelienne deModA.

Preuve.Un morphismef dansE(A) induit clairement un morphismeO(f2) :E2/e(E1) → F2/f (F1), car tout repr´esentantg tel queg2 = f T verifieO(g2) =0. Les regles de composition sont respect´ees et on a bien un foncteurO : E(A) →ModA.

Le point essentiel est queHomE(A)(E, F ) → HomModA(O(E),O(F )) estinjectif. Par 4.3.4, il est possible de supposerE etF normaux. Soitg = (g1, g2)

un morphisme tel queO(g) = 0. Il vient g2(E2) ⊂ f (E1). En particulier,puisquef est injective, on peut ´ecrireg2 = f T ouT est une application lin´eaire(uniquement d´eterminee) commutant `aA. Reste `a voir queT est continue. SoitPn = (xn, T xn)n une suite de points du graphe deT convergeant versP = (x, y).Commef est continue, limn f T xn = fy. Mais, limn f T xn = limn g2xn =g2x = f T x. De l’equationf T x = fy on tire y = T x. T est donc une ap-plication lineaire entre espaces de Banach dont le graphe est ferm´e, c’est-a-direprecisement une application lin´eaire continue.

Lemme 4.3.6SoientA,B deux objets deE(A) et φ ∈ HomE(A)(A, B) unmorphisme. SiO(φ) est un isomorphisme alorsφ est un isomorphisme.

Preuve.Ceci resulte du fait que tout noyau (resp. conoyau) dansE(A) deφ estenvoye par le foncteur d’oubliO dans un noyau (resp. conoyau) deO(φ).

Projectifs deE(A) Le foncteurp : P(A) → E(A) et defini au niveau desobjets parp(E) = (0, E,0) realiseP(A) comme une sous cat´egorie pleine dela categorie des objets projectifs deE(A), equivalente `a la categorie des projectifsdeP(A) [Farb96].

Objets de torsion Un objet de torsionT dansE(A) est un objet tel que pourtout projectifP deE(A), HomE(A)(T , P ) = 0.

Un objetT = (T1, T2, t) est de torsion si et seulement sitT1 est dense dansT2 [Farb96].

Suite exacte canoniqueLe foncteur covariant interne deE(A) defini au niveaudes objets parP((X1, X2, x)) = (xX1, X2, i) (resp.T ((X1, X2, x) = (X1, xX1,

544 P. Eyssidieux

x)) est l’identite sur la sous cat´egorie pleine des objets projectifs (resp. de tor-sion). On a les relationsP 2 = P , T 2 = T , PT = T P = 0. De plus, pour toutobjetX, on dispose de la suite exacte canonique:

0 → T (X) → X → P(X) → 0.

4.3.5. Invariants num´eriques des objets deE(A)

A-dimension Un A-module hilbertien projectif de type finiW realise dansA2 ⊗ C

n peut se laisser d´ecrire par son projecteur orthogonalp = (pij ) ∈Mn(Aop), et on pose dimA(W) = ∑

i τ (pii). Cette definition est independantede la realisation. Cette fonction dimension se manipule comme dans l’alg`ebrelineaire classique, la principale diff´erence est qu’elle peut prendre des valeursreelles positives arbitraires:

– dimA W = 0 ⇐⇒ W = 0.– dimA A2 = 1.– α ∈ MorP(A)(V ,W) +⇒ dimA V = dimA Ker(α)+ dimA Im(α).

– Si (Wn) est une suite d´ecroissante deA- modules hilbertiens de type fini,dimA ∩nWn = limn dimA Wn.

– Si (Wn) est une suite croissante de sous modules d’un module hilbertien detype fini dimA ∪nWn = limn dimA Wn.

La A-dimensiond’un objet deX ∈ Pf (A) est le nombre r´eel dimA X :=dimA P(X). Une propriete importante est que pour toute suite exacte 0→ X′ →X → X′′ → 0, on a dimA X = dimA X′ + dimA X′′.

Invariants de Novikov-ShubinSoitNS l’ensemble des germes en z´ero de fonc-tions definies surR+, croissantes, positives, nulles en 0. On appelleNSd lequotient deNS par la relation d’equivalence dilatationnelle∼d definie par:

F ∼d G ⇐⇒ ∃xo > 0 ∃C, c > 0, ∀x ≤ xo, cF (cx) ≤ G(x) ≤ CF(Cx).

SoitA = (A1, A2, a)un objet deEf (A) . Fixons deux m´etriques hilbertiennesh1, h2 surA1, A2. Alors on peut construire la familleE(λ)λ≥0 des projecteursspectraux dea∗a. On a :

a∗a = E(0)+∫ ‖a‖2

0λdE(λ).

On poseFA,h1,h2(x2) = dimA E(x) − dimA E(0). Il est trivial que, pourtout autre couple de m´etriquesh′1, h

′2, FA,h1,h2 ∼d FA,h′1,h′2 et on peut donc

definir FA comme la classe de∼d-equivalence deFA,h1,h2. Moins trivial est lefait suivant [Farb96]: soientA et A′ deux objets isomorphes deTf (A). Alors,FA = FA′ ∈ NSd . L’invariant de Novikov-ShubinNS d’un objetA deEf (A)

estNS(A) = NS(T (A)).

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 545

4.4. Calcul de la cat´egorie derivee deEf (A)

a l’aide desA-modules mont´eliens

4.4.1. OperateursA-compacts

Definition 4.4.1 SoientW,V deuxA-modules hilbertiens projectifs.φ ∈ LA(V ,

W) est ditA-compact si et seulement si il existe(φn)n∈N une suite d’op´erateursconvergeant versφ au sens de la norme triple tels que, pour toutn, l’adherencede l’image deφn est un sous module hilbertien projectif de type fini deW .

Si l’un des deux modulesV ouW est de type fini, tout ´elementLA(V ,W)

estA-compact. Siφ ∈ LA(V ,W) estA-compact et surjectif,W est de type fini.

Lemme 4.4.2Soitφ ∈ LA(V ,W). Les assertions suivantes sont ´equivalentes:

1. φ estA-compact.2. E(λ)λ≥0 designant la famille des projecteurs spectraux deφ∗φ, le pro-

jecteurPε =∫ ∞ε

dE(λ) a pour image un module hilbertien projectif de typefini pour toutε > 0.

3. Pour toutε > 0, il existe un sous module hilbertien projectifVε de V de typefini de projecteur orthogonalpVε

, tel quelimε→0 φpVε= φ au sens de la

norme triple.4. Pour toutε > 0, il existe un sous module hilbertien projectifWε de W de type

fini de projecteur orthogonalpWε, tel quelimε→0 pWε

φ = φ au sens de lanorme triple.

Corollaire 4.4.3 Le compos´e (a droite oua gauche) d’un morphismeA-com-pact avec une applicationA-lineaire continue estA-compact. En particulier, larestriction d’unA-morphismeA-compact `a un sous module hilbertien projectifferme de sa source est encoreA-compact.

4.4.2. A-modules mont´eliens

Definition 4.4.4 Soitt0 ∈ R∗+. UnA-modulet0-premontelien est une donn´ee de

la formeW = (W(t)t0≥t>0, (ρW)t′t 0<t ′≤t≤t0) ou:

– W(t)t0≥t>0 est une famille deA-modules hilbertiens projectifs index´ee parl’intervalle reel]0, t0].

– Pour tout couple de r´eels tels que0 < t ′ ≤ t ≤ t0, (ρW)t′t est une application

A-lineaire continue deW(t) versW(t ′) .– (ρW)tt = IdW(t).– Si t ≥ t ′ ≥ t ′′ > 0, on a(ρW)t

′′t = (ρW)t

′′t ′ (ρ

W)t′t .

– (ρW)t′t estA-compact d`es quet ′ < t .

Definition 4.4.5 SoientV,W deuxA-modulest0-premonteliens. Une famillede la formeφ(t)t0≥t>0 deA-applications lineaires continuesφ(t) : V (t) →W(t) est dite un morphisme de modulest0-premonteliens si et seulement siφ(t ′)(ρV )t

′t = (ρW)t

′t φ(t).

546 P. Eyssidieux

Definition 4.4.6 Un module premontelien est un modulet0-premontelien pourun certaint0 > 0 non specifie.

DeuxA-modules pr´emontelienW W ′ sont ditsG-equivalentss’il existet1 > 0tel que sit ≤ t1 W(t) = W ′(t) et si t ′ ≤ t ≤ t1, (ρW)t

′t = (ρW ′

)t′t . Deux

morphismesφ, φ′ deA-modules pr´emonteliens sont ditsG-equivalentssi leurssources (et leurs buts) sontG-equivalents et que pourt > 0 assez petitφ(t) =φ′(t).

Definition 4.4.7 UnA-module mont´elien est une classe deG-equivalence deA-modules pr´emonteliens. Un morphisme deA-modules mont´eliens est une classedeG-equivalence de morphismes deA-modules pr´emonteliens.

La categorie desA-modules mont´eliens est une cat´egorie additive o`u lesnoyaux existent (par 4.4.3). SoitW un A-module premontelien. Pour ne pasalourdir les notations, on sous-entendra d´esormais l’exposantW et on ecrira(ρW)t

′t = ρt ′

t . Pourt > 0 assez petit(W(t ′)t ′<t , ρt ′t ′′) forme un syst`eme projectif

indexe par l’ensemble ordonn´e (]0, t[, >).

Definition 4.4.8 W∗(t) = lim←−t ′<tW(t ′)

Le A-moduleW∗(t) est unA-module de Fr´echet, dont la topologie peutetre definie par une collection d´enombrable de pseudonormes pr´ehilbertiennescompatibles. Lesρt ′

t definissent des applicationsA-lineaires continues dansles situations suivantes:

– t ≥ t ′, ρt ′t : W(t) → W(t ′).

– t ≥ t ′, ρ∗t ′∗t : W∗(t) → W∗(t ′).– t ≥ t ′, ρ∗t ′t : W(t) → W∗(t ′).– t > t ′, ρt ′∗t : W∗(t) → W(t ′).

On a, de plus, quand les applications en question sont d´efinies,ρbaρ

ac = ρb

c ,a, b, c etant des symboles de la formet ou∗t , t ∈ R.

4.4.3. Qi-morphismesSoit (F•, d) un complexe deA-modules mont´eliens.

Le module des cyclesZq(F•) est montelien, mais pas n´ecessairement celui

des bords. On dispose d’une famille de complexes deA-modules(F∗(t), d)t>0

definie pourt > 0 assez petit et l’on pose:

Zi∗(t, F

•) = z ∈ F i

∗(t); dz = 0Bi∗(t, F

•) = dF i−1

∗ (t)

H i∗(t, F

•) = Zi

∗(t, F•)/Bi

∗(t, F•)

H i∗(t, F•) a une structure topologique de quotient non s´epare d’espace de

Frechet dont nous ne nous soucierons pas en nous contentant de ne le regarderque comme unA-module au sens alg´ebrique.

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 547

L’identite du complexeF•

induit pour t ′ ≤ t des applicationsA-lineairesρ∗t ′∗t : Hi∗(t, F

•) → Hi∗(t ′, F

•). Tout morphisme de complexes deA-modules

monteliensσ• : F

• → G•

induit donc des applicationsA-lineaires(σ i)t′t :

Hi∗(t, F•) → Hi∗(t ′,G

•), definies par la formule(σ i)t

′t = ρ∗t ′∗t H i(σ )∗t∗t .

Definition 4.4.9 σ• : F • → G

•sera appel´e un qi-morphisme d’ordreq ∈ Z si

et seulement si pour toust ′ ≤ t assez petits

– i > q, t ′ ≤ t ⇒ (σ i)t′t : Hi∗(t, F

•) → Hi∗(t ′,G

•) est un isomorphisme

algebrique.– t ′ ≤ t ⇒ (σ q)t

′t : Hq

∗ (t, F•) → H

q∗ (t ′,G

•) est une surjection.

σ•

sera dit un qi-morphisme si et seulement si c’est un qi-morphisme de toutordre.

4.4.4. Complexes qhtfUn complexeL•

deA-modules hilbertiens projectifs detype fini peutetre vu comme un complexe deA-modules mont´eliens en posantW

•(t) = L

•et ρt

t ′ = Id. En particulier l’identite d’un tel complexe est unqi-morphisme, puisqueHi∗(t, L

•) = O(Hi(L

•)) (cf. les notations du lemme

4.3.6).

Definition 4.4.10 Un complexeF•

de modules mont´eliens sera dit qhtf si etseulement siId : F • → F

•est un qi-morphisme.

Soitσ• : F • → G

•un morphisme de complexes deA-modules mont´eliens.

Le cone deσ•, C

•(σ ) est le complexe dont les espaces de cochaines sont les

Ci(σ ) = Gi ⊕ F i+1 et les differentielles sont∂(gi, f i+1) = (dgi + σf i+1,

−df i+1). On a la suite exacte courte 0→ G• → C

•(σ ) → F

• [1] → 0 quiinduit des suites exactes courtes 0→ G

•∗(t) → C

•∗(σ )(t) → F

•∗ [1](t) → 0.

Lemme 4.4.11Soitφ : P • → F•

un morphisme de complexes deA-modulesmonteliens, le complexeP

•etant un complexe deA-modules hilbertiens pro-

jectifs de type fini.φ est un qi-morphisme d’ordreq si et seulement si∀i ≥ q,∀t > 0 assez petit,Hi∗(t, C

•(σ )) = 0.

Preuve.L’implication directe est bien connue, prouvons la r´eciproque. Sup-posons donc que∀t > 0 assez petit,Hi∗(t, C

•(σ )) = 0. Soit 0< t1 ≤ t0 assez pe-

tits. Utilisant la suite exacte longue du cˆone, on voit queHi∗(tl, P•) → Hi∗(tl, L

•)

est surjectif pouri = q et un isomorphisme pouri > q et l = 0,1. Mais,Hi∗(t0, P

•) → Hi∗(t1, P

•) est, par d´efinition, l’identite deO(Hi(P

•)); donc

Hi∗(t0, P•) → Hi∗(t1, L

•) est surjectif pouri = q et un isomorphisme pour

i > q. Plus generalement, ce lemme vaut quandP

•est qhtf.

Lemme 4.4.12Soitσ• : F • → G

•un morphisme de complexes deA-modules

monteliens. SiF•

etG•

sont qhtf le cˆoneC•(σ ) estegalement qhtf.

548 P. Eyssidieux

Preuve. Il suffit d’utiliser la suite exacte longue de cohomologie du cˆone etd’appliquer le lemme des cinq. Proposition 4.4.13La sous cat´egorie pleineKi(MontModA)qhtf , i ∈ b,−,de la categorie trianguleeKi(MontModA) dont les objets sont les complexesqhtf est une sous cat´egorie triangulee.

Les qi-morphismes forment un syst`eme multiplicatifQi de la categorie tri-angulee15 Kb(MontModA)qhtf (resp. deK−(MontModA)qhtf ).

Preuve.Le premier point d´ecoule de 4.4.12. Le deuxi`eme point d´ecoule de[Har66], I.4, proposition 4.2; on prend comme foncteur cohomologique sur lacategorie triangul´ee des complexes qhtf vers la cat´egorie des groupes ab´eliensle foncteurH : C• → lim−→t→0H

0(t, C•) 16.

4.4.5. Theoreme de finitude

Proposition 4.4.14SoitF•

un complexe fini (resp. born´e superieurement) qhtfdeA-modules mont´eliens , alors il existe un complexe fini (resp. born´e superi-eurement) de modules hilbertiens projectifs de type finiP

•et un qi-morphisme

P• → F

•.

De plus, pour tout complexe fini (resp. born´e superieurement)Q•

de moduleshilbertiens projectifs de type fini et tout morphismeφ

• : Q• → F•, il existe un

complexe fini (resp. born´e superieurement) de modules hilbertiens projectifs detype finiP

•, un qi-morphismeσ

• : P • → F•

et un morphisme de complexesψ

• : Q• → P•

tels queφ• = σ

•φ•.

Preuve.Prouvons d’abord la premi`ere assertion. Le complexe trivial s’envoiesurF

•et donne un qi-morphisme d’ordreQ pourQ assez grand. Il suffit de

donc montrer qu’`a tout qi-morphisme d’ordreq, σ• : L• → F

•, L

•complexe

de modules hilbertiens de type fini, on peut associer un nouveau complexe demodules hilbertiens de type finiL

•et un qi-morphisme d’ordreq−1, σ

• : L• →F

• 17. Soit(L′)• un complexe de modules hilbertiens projectifs de type fini. Soitσ ′ : (L′)• → F

•un qi-morphisme d’ordreq. Le complexeL = Tq−1L

′ obtenuen tronquant enq − 1 le complexeL′ (ie (Tq−1L

′)i = Li, i ≥ q et Li = 0 sii < q) donneegalement lieu `a un qi-morphisme d’ordreq, σ : L• → F

•.

Lemme 4.4.15Soient0 < t ′′ < t ′ < t assez petits. Alors:

ρt ′′t ′ Z

q−1(C•(σ ))(t ′) ⊂ ρt ′′

t Zq−1(C•(σ ))(t)+ dF q−2(t ′′)

15 cf. [Har66], ch. I.3. pour la d´efinition.16 Que les qi-morphismes soient exactement les morphismes qui deviennent des isomorphismes

sousH resulte du fait que le syst`eme dont on prend la limite directe est un syst`eme diriged’isomorphismes, puisqu’on a pris le soin de se limiter aux complexes qhtf.17 Dans le cas d’un complexe fini, siq est assez petit assez petit (F i = 0, i ≤ q), etσ

• : L• →F•

est un qi-morphisme d’ordreq, le complexeL•∞ avecLq∞ = Lq/Zq(L

•) Li∞ = 0, i < q et

Li∞ = Li, i > q et le morphismeσ•∞ induit parσ

•definissent un qi-morphismeL

•∞ → F

•.

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 549

Preuve.σ verifieCq−2(σ ) = Fq−2, i > 1.Par le lemme 4.4.12,C

•(σ ) est qhtf. Fixons donct0 > 0 assez petit de

sorte quet1 ≤ t0 ⇒ Hq∗ (t0, C

•(σ )) → H

q∗ (t1, C

•(σ )) est un isomorphisme.

On peut supposer 0< t ′′ < t ′ < t < t0 de sorte queZq−1∗ (t ′, C•

(σ )) ⊂ρ∗t ′∗t0Z

q−1∗ (t0, C

•(σ ))+ ∂C

q−2∗ (t ′). Puis:

ρt ′′∗t ′Z

q−1∗ (t ′, C

•(σ )) ⊂ ρt ′′

∗t0Zq−1∗ (t0, C

•(σ ))+ ρt ′′

∗t ′∂Cq−2∗ (t ′).

L’inclusion annonc´ee resulte des inclusions suivantes:

– ρt ′′t ′ Z

q−1(C•(σ ))(t ′) = ρt ′′

∗t ′ρ∗t ′t ′ Zq−1(C

•(σ ))(t ′) ⊂ ρt ′′

∗t ′Zq−1∗ (t ′, C•

(σ )).– ρt ′′∗t0Z

q−1∗ (t0, C

•(σ )) = ρt ′′

t ρt∗t0Zq−1∗ (t0, C

•(σ )) ⊂ ρt ′′

t Zq−1(C•(σ ))(t).

– ρt ′′∗t ′C

q−2(σ )∗(t ′) ⊂ Fq−2(t ′′).

Lemme 4.4.16Soient0 < t ′′ < t ′ < t assez petits. Il existe deux morphismesde modules hilbertiens projectifsSt

t ′ : Zq−1(C•(σ ))(t ′) → Zq−1(C

•(σ ))(t) et

F t ′′t ′ : Zq−1(C

•(σ ))(t ′) → Fq−2(t ′′) tels que:

ρt ′′t ′ |Zq−1(C

•(σ ))(t ′) = ρt ′′

t ′ ρt ′t S

tt ′ + dF t ′′

t ′ .

Preuve.On poseZt ′,t ′′ = Zq−1(C•(σ ))(t ′)/ ker(ρt ′′

t ′ ).On notert

′′t ′ : Zt ′,t ′′ → Zq−1(C

•(σ ))(t ′′) l’application induite parρt ′′

t ′ . Onnotep : Zq−1(C

•(σ ))(t ′) → Zt ′,t ′′ l’application de passage au quotient.rt

′′t ′

est injective etrt′′

t ′ p = ρt ′′t ′ . L’image It ′,t ′′ deρt ′′

t ′ est la meme que celle dert′′

t ′ .rt

′′t ′ : Zt ′,t ′′ → It ′,t ′′ possede un inverse(rt

′′t ′ )

−1 : It ′,t ′′ → Zt ′,t ′′ qui est uneapplicationA-lineaire bien d´efinie, en g´eneral non continue. Posons:

C ′ = (ζ, f ) ∈ Zq−1(C•(σ ))(t)⊕Fq−2(t ′′)| ρt ′′

t ζ +df ∈ ρt ′′t ′ Z

q−1(t ′, C•(σ )).

Sur ceA-module, la norme pr´ehilbertienne

‖(ζ, f )‖2C′ = ‖ζ‖2

t + ‖f ‖2t ′′ + ‖(rt ′′t ′ )

−1(ρt ′′t ζ + df )‖2

t ′

est complete et compatible `aA. L’inclusion naturelle isom´etrique

C ′ → Zq−1(C.(σ ))(t)⊕ Fq−2(t ′′)⊕ Zt ′,t ′′

montre que c’est unA-module hilbertien. Grˆace au lemme 4.4.15, il vient:

rt′′

t ′ Zt ′,t ′′ ⊂ ρt ′′t Zq−1(t, C

•(σ ))+ dF q−2(t ′′)

L’applicationC ′ → Zt ′,t ′′ , (ξ, f ) → (rt′′

t ′ )−1(ρt ′′

t ζ + df ) est une contractionsurjective. Elle poss`ede donc une section dont les compos´eesa gauche re-spectivesΣt

t ′ Φt ′′t ′ avec les deux applications continuesC ′ → Zq−1(C

•)(t) et

C ′ → Fq−2(t ′′) verifientrt′′

t ′ = ρt ′′t Σt

t ′ +dΦt ′′t ′ . Les deux applicationsA-lineaires

continuesStt ′ = Σt

t ′p, F t ′′t ′ = Φt ′′

t ′ p verifient les conditions requises.

550 P. Eyssidieux

Lemme 4.4.17Soient0 < t ′′ < t ′ < t assez petits. Il existe un module hilbertiende type finiM, trois morphismes de modules mont´eliensµ : Zq−1(C

•(σ ))(t ′) →

M , ω : M → Zq−1(C•(σ ))(t ′) et F t ′′

t ′ : Zq−1(C•(σ ))(t ′) → Fq−2(t ′′) tels que:

ρt ′′t ′ |Zq−1(t ′,C•

(σ )) = ρt ′′t ′ ωµ+ dF t ′′

t ′

Preuve.Le morphismeρt ′t estA-compact. Par 4.4.3, il en va ainsi dec = ρt ′

t Stt ′

qui est un endorphisme du module hilbertienZq−1(C•(σ ))(t ′). Les points 3 et 4

du lemme 4.4.2 permettent de trouver un module hilbertien de type finiM, ω :M → Zq−1(C

•(σ ))(t ′) etµ : Zq−1(C

•(σ ))(t ′) → M deux morphismes tels que

c = ωµ+ δ ou‖δ‖ est un endomorphisme de norme triple strictement inf´erieurea 1. Soitu = ∑+∞

n=0 δn l’inverse de 1− δ. De l’equationρt ′

t ′′ = ρt ′t ′′c + dF t ′′

t ′ , ontire ρt ′

t ′′(1− δ) = ρt ′t ′′ωµ+ dF t ′′

t ′ puisρt ′t ′′ = ρt ′

t ′′ω(µu)+ d(F t ′′t ′ u).

Fixons desormais 0< t ′′ < t ′ < t assez petits et appelons(L•, σ

•) le

complexe obtenu `a partir du couple(M,ω) du lemme 4.4.17 selon la proc´eduredecrite ci-dessous:

M est un module hilbertien de type fini muni d’un morphismeω : M →Zq−1(C

•(σ )). Composantω a gauche avecZq−1(C

•(σ )) → Cq−1(σ )) puis avec

les projections naturellesCq−1(σ )) → Fq−1 etCq−1(σ ) → Lq nous obtenonsdeux morphismesd : M → Lq et σ : M → Fq−1 verifiant σqd = dσ etdM ⊂ Zq−1(L

•) i.e.: un complexe:

L• := L

•(M,ω) = (Lq−1 := M)

d→ Lq d→ . . .

et un morphisme de complexesσ• := σ

•(M,ω) : L

• → F•

defini parσ i = σ i, i ≥ q et σ q−1 = −σ . Observons queCi(σ )(s) = Ci(σ )(s), i ≥q − 1, s ≤ t ′.

Lemme 4.4.18ρ∗t ′′∗t Zq−1∗ (t, C

•(σ )) ⊂ ρ∗t ′′t ′ Zq−1(C

•(σ ))(t ′) ⊂ ∂C

q−2∗ (σ )(t ′′).

Preuve.La premiere inclusion r´esulte de:

ρ∗t′′

∗t Zq−1∗ (t, C

•(σ )) = ρ∗t

′′t ′ ρt ′

∗tZq−1∗ (t, C

•(σ )) ⊂ ρ∗t

′′t ′ Zq−1(C

•(σ ))(t ′).

Ceci joint au lemme 4.4.17 permet d’associer `a tout elementζ ∈ Zq−1∗ (t,

C•(σ )) un element(ζ ′, f ) ∈ Fq−2(t ′′) ⊕M tel queρt ′′∗t ζ = df + ωm. Or, par

definition,Cq−2(σ ) = Fq−2 ⊕M, Cq−1(σ ) = Cq−1(σ ) et la differentielle deC

•(σ ) est donn´ee par la formule∂σ (f,m) = ∂σf + ωm = df + ωm. Par suite,

ρ∗t ′′∗t ζ = ∂σ ρ∗t ′′t ′′ (f,m) ∈ ∂Cq−2(σ )∗(t ′′).

Soit θ < t ′′. Nous avons:

Zq−1∗ (θ, C

•(σ )) = Zq−1

∗ (θ, C•(σ ))

⊂ ρ∗θ∗t Zq−1∗ (t, C

•(σ ))+ ∂Cq−2

∗ (θ, σ )

⊂ ρ∗θ∗t ′′∂Cq−2∗ (t ′′, σ )+ ∂Cq−2

∗ (θ, σ )

⊂ ∂Cq−2∗ (θ, σ ).

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 551

La deuxieme ligne resulte du fait que l’identit´e est un qi-morphisme deC•(σ ).

La derniere ligne fournitHq−1∗ (θ, C

•(σ )) = 0. Mais,

i ≥ q ⇒ Hi∗(θ, C

•(σ )) = 0

puisque en ces degr´es les cohomologies deC•(σ ) et C

•(σ ) sont les mˆemes.

Utilisant 4.4.11, nous concluons queσ est un qi-morphisme d’ordreq. Ceciconclut la preuve de la premi`ere assertion de la proposition 4.4.14.

La deuxieme assertion se prouve par la mˆeme technique `a l’aide de la propri´eterecursive suivante:

P(q): Il existeL•

un complexe de module hilbertiens et deux morphismesde complexesψ

• : Tq−1Q• → L

•etσ

• : L• → F•

un qi-morphisme d’ordreqtels queTq−1φ

• = σ•ψ

•.

La preuve deP(q) ⇒ P(q − 1) resulte des arguments pr´ecedents. Obser-vons, en effet, que∀x ∈ Qq−1 dψqdx = ψq+1ddx = 0, dφq−1x − σqψqdx =(φq − σqψq)dx = 0. Par suitee : Qq−1 → Cq−1(σ ) = Fq−1 ⊕ Lq definipar e(x) = (−φq−1x,ψqdx) est a valeurs dansZq−1(C

•(σ )). Choisissons

t > t ′ > t ′′ convenablement et observons que le couple(M,ω) donne parle lemme 4.4.17 a ´ete construit comme une inclusion de sous-module ferm´e:ω : M → Zq−1(t ′, C•

(σ )). Nous definissons un nouveau couple(M ′, ω′)commeetant l’inclusion du sous module ferm´e M + eQq−1 qui est hilbertiende type fini. Observons que l’inclusionM ′ ⊂ M induit un morphisme naturel decomplexesµ

• : L•(M,ω) → L

•(M ′, ω′) tel queσ (M,ω) = σ (M ′, ω′)µ•

. Decette factorisation, on d´eduit queσ (M ′, ω′) est un qi-morphisme d’ordreq − 1.Par ailleurs, on v´erifie aisement que poser(ψq−1 : Qq−1 → Lq−1(M ′, ω′)) :=(e : Qq−1 → M ′) definit un morphismeTq−1Q

• → L•(M ′, ω′) avec les pro-

prietes requises. Soit i ∈ b,−. CommeEf (A) a assez de projectifs, les foncteurs naturels

µi : Ki(Pf (A)) → Di(Ef (A)) sont des ´equivalences de cat´egories. D’autrepart, nous avons d´eja implicitement rencontr´e le foncteurνi : Ki(Pf (A)) →Ki(MontModA)qhtf et on noteξ i le foncteur de localisation:

ξ i : Ki(MontModA)qhtf → Ki(MontModA)qhtf

Qi .

Theoreme 4.4.19Le foncteurηi = ξ iνi(µi)−1 realise une ´equivalence decategories

ηi : Di(Ef (A)) → Ki(MontModA)qhtf

Qi .

Preuve.Ce theoreme resulte via [Har66], prop. 3.3, p.33 du premier point de laproposition 4.4.14.

De 4.4.14, le lecteur ignorant tout des cat´egories d´erivees pourra d´eduire lefait que, pour tout complexe de modules mont´eliens qhtf born´e superieurementF

•, lim−→t→0H

q(t, F•) s’obtient comme image par le foncteur d’oubliO d’un

element bien d´etermine deEf (A). Moins precis que 4.4.19, ce dernier ´enoncepourrait suffire.

552 P. Eyssidieux

5. Theoreme A de Cartan en CohomologieL2

5.1. Resolution de Dolbeault, acyclicit´e locale des images directesL2 etresolution deCech

Soit X uneΓ -variete complexe. Soitπ : X → X = Γ \X. SoitV ∈ VΓ ,χ (X).Soit V le fibre vectoriel associ´e que l’on munit d’une m´etrique hermitienneΓ -equivariante. SoitU un ouvert deX. On pose:

D0,q2 (V)(U) = s ∈ L2

loc(π−1(U), V⊗Ω0,q) : ∀K U

∫K

‖s‖2+‖∂s‖2 < ∞.

Et on definit un complexe de faisceaux, que nous appellerons le complexe deDolbeaultL2 local, par la formule:

D•2(V) = (D0,0

2 (V)∂→ D0,1

2 (V) → . . . ).

A l’aide de la formule de Bochner-Kodaira-Nakano et de la techniqueL2

d’Hormander, voir par exemple [Dem96] pp. 26-32, on prouve ais´ement les:

Lemme 5.1.1 l2π∗V → D•2(V) est une resolution acyclique del2π∗V.

Corollaire 5.1.2 Soit V ∈ VΓ ,χ (X). Si X estΓ -Stein, alorsHq

(2)(X,V) = 0pourq > 0.

Proposition 5.1.3 SoitF ∈ CΓ ,χ (X). Si X estΓ -Stein,Hq

(2)(X,F) = 0 pourq > 0.

Preuve.SoitV un ouvertΓ -Stein deX tel queΓ \V Γ \X. SoitR•F → F une

resolution periodique localement libre finie deF definie surV . Par la proposition3.2.3, le complexe de faisceaux suivant est exact:

. . . → l2π∗R−1F → l2π∗R0

F → l2π∗F → 0

Par suiteHq

(2)(V ,F) ) Hq(V , . . . → l2π∗R−1

F → l2π∗R0F ). Le corollaire

5.1.2 implique queHi(V, l2π∗Rj

F ) = 0, i > 0. La suite spectrale d’hypercoho-mologie (voir [GriHar78], pp. 445-447)(′′Epq

r )r verifie donc′′Epq

1 = 0 siq = 0et de plus,′′Ep,0

1 = H 0(V , l2π∗Rp

F ). De la′′Ep,01 = 0, p > 0. De ce fait,(′′Epq

r )rdegenere en′′E2 et ′′Ep,q

2 = 0 saufeventuellement quandp = 0 etq ≤ 0. PuisH

q(V , l2π∗R•) = 0 saufeventuellement siq ≤ 0. En particulierHq

(2)(V ,F) =0, q > 0 (et aussi bien sˆur ′′Ep,q

2 = 0, (p, q) = (0,0), car un faisceau n’a pas decohomologie en degr´es negatifs.) Comme lim←−V⊂⊂UH

q

(2)(V ,F) = Hq

(2)(U ,F),le lemme est d´emontre. Proposition 5.1.4 Soit Z un Γ -espace complexeΓ -Stein. SoitF ∈ CΓ (Z).Pour toutq ≥ 1, Hq

(2)(Z,F) = 0.

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 553

Preuve.En effet, il existe unΓ -plongement ferm´e i : Z → X ou X est uneΓ -varieteΓ -Stein et il ressort de 3.2.1, 3.2.2 queHq

(2)(Z,F) = Hq

(2)(X, i∗F).5.1.4 est donc un corollaire de 5.1.3.

SoitV = Vii∈A un recouvrement ouvert d’un espace topologique. On notePF(A) l’ensemble des parties finies deA. Pourα = i1, . . . , ip ∈ PF(A), onnoteVα = Vi1 ∩ . . . ∩ Vip .

Corollaire 5.1.5 SoitZ unΓ -espace complexe etF ∈ CΓ (Z). SoitU = Uii∈Aun recouvrement ouvertΓ -invariantΓ -localement fini18 de Z par des ouvertsΓ -Stein. Le complexe deCech dont les espaces de cochaines sont d´efinis par:

Cp

2 (U,F) = ⊕α∈PF(A)|α|=p+1H0(Uα, l

2π∗F)

et les differentielles par la formule usuelle calcule la cohomologieL2 deF .

5.2. Structures topologiques surH 0(2)(X,F)

Faisceaux localement libres sur un espace r´eduit Soit U unΓ -espaceΓ -Steinet reduit. SoitP une fonction strictement psh surU Γ -invariante etΓ -exhaustive.On reutilise les notations du lemme 3.1.2 en posantUt = P−1(] −∞, t[). SoitV ∈ VΓ ,χ (U). Fixons une m´etrique hermitienne surV definie sur un ouvert de laformeUt0, t0 > 0. On definit, pour toutt < t0 , L2(Ut ,V) comme l’espace dessections holomorphesL2 deV surUt muni de la norme hilbertienne‖.‖t definiepar l’integration surUt du carre de la norme d’une section.

Lemme 5.2.1 (L2(Ut ,V), ‖.‖t ) est unW ∗(Γ , χ)-module hilbertien projectifmetrise.

Preuve.Rappelons que si le groupeG agit a gauche sur un ensembleE, l’actionse relevant `a un fibre vectorielF → E, G agit sur l’espace des sectionsφ deE parLgφ(x) = gφ(g−1x). A s ∈ L2(Ut ,V), on associe la fonction surΓ avaleurs dans l’espace de HilbertHt = L2(U0

t ,V):

Ft(s)(g) = Lg−1s|U0t.

Ft (s) est une fonctionL2 sur Γ a valeurs dans l’espace de HilbertHt .L’application lineaire resultanteIt : L2(Ut ,V) → L2(Γ )⊗Ht est un plonge-ment isometriqueΓ -equivariant. Toute fonction de la formeF = Ft(s) verifie∀z ∈ S, χ(z)F (gz) = F(g). Par suiteIt esta valeurs dansEχ ⊗Ht . Ceci realiseL2(Ut ,V) comme unW ∗(Γ , χ)-module hilbertien projectif. 18 Ceci signifie, par d´efinition, que le recouvrement deZ = Γ \Z donne parΓ \Uii∈A est

localement fini.

554 P. Eyssidieux

Lemme 5.2.2∀t ′ < t l’application de restrictionρt ′t : L2(Ut ,V) → L2(Ut ′,V)

est une contraction injectiveW ∗(Γ , χ)-compacte.

Preuve.Pourt ′ < t , on a un diagramme commutatif:

L2(Ut ,V)ρt ′t→ L2(Ut ′,V)

↓ It ↓ It ′

Eχ ⊗Ht

IdEχ⊗rt′

t→ Eχ ⊗Ht ′ .

r t′

t designe l’application de restrictionHt → Ht ′ . Par le theoreme de Montel,rt

′t est compact (au sens habituel, c’est `a direC-compact au sens de cet article).

On deduit queρt ′t estW ∗(Γ , χ)-compact en utilisant|||Id ⊗ a||| ≤ |||a|||.

Corollaire 5.2.3 La donneeW = (L2(Ut ,V)0≤t<t0, ρt ′t 0≤t ′≤t<t0) definit un

W ∗(Γ , χ)-module premontelien au sens de la d´efinition 4.4.6. De plus, pour toutt0 > t > 0, W∗(t) = H 0

(2)(Ut ,V).

Faisceaux analytiques coh´erents sur un espace r´eduit

Lemme 5.2.4SoitF ∈ C(Γ ,χ)(U ). H 0(2)(Ut ,F) possede une structure canon-

ique d’espace de Fr´echet. Soitc une presentation localement libre deF surU , c’est-a-dire un epimorphisme p´eriodique de la formeW c→ F → 0 ouW ∈ VΓ ,χ (U) . La structure d’espace de Fr´echet deH 0

(2)(U ,F) peut etredefinie par une famille(‖.‖ct ′)t ′<t croissante de seminormes pr´ehilbertiennesΓ -invariantes. Le s´epare complete de(H 0

(2)(Ut ,F), ‖.‖ct ′) est independant de

t , est un(Γ , χ)-module hilbertien projectif s´eparable not´e L2(Ut ′,F)c. Lesmorphismes naturelsρt ′′

t ′ L2(Ut ′,F)c → L2(Ut ′′,F)c induits par l’identite deH 0

(2)(Ut ,F) sont continus etW ∗(Γ , χ)-compacts. La donn´eeL2(U ,F)c,P =(L2(Ut ,F)c0<t<t0, ρt ′

t 0<t ′≤t<t0) definit unW ∗(Γ , χ)-module premontelien.De plus, pour toutt > 0 assez petit(L2(U ,F)c,P )∗(t) = H 0

(2)(Ut ,F).

Preuve.A cause du lemme 5.2.2, c’est le cas siF est localement libre. SoitK lenoyau deW → F etV → K unepimorphisme p´eriodique, d´efini surUt0,V etantlocalement libre. La proposition 5.1.4 pr´esenteH 0

(2)(Ut ,F) comme le conoyau

du morphisme continuH 0(2)(Ut ,V)

et→ H 0(2)(Ut ,W). Gracea 5.1.4 l’ image de

et estH 0(2)(Ut ,K). En vertu de 3.1.3 ce sous espace est ferm´e pour la topologie

de Frechet. Le quotient d’un espace de Fr´echet par un sous espace ferm´e estun espace de Fr´echet. Ceci construit une structure de Fr´echet surH 0

(2)(Ut ,F).

Posant pourf ∈ H 0(2)(Ut ,F):

‖f ‖ct ′ = infw∈H0

(2)(Ut ,W), c(w)=f

‖w‖t ′

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 555

nous obtenons une seminorme‖.‖ct ′ surH 0(2)(Ut ,F). Elle est prehilbertienne, car

elle verifie l’identite du parallelogramme. Consid´erons l’espace vectoriel norm´e(H 0

(2)(Ut ,F)/Ker‖.‖ct ′, ‖.‖ct ′). Son compl´ete est, par d´efinitionL2(Ut ′,F)c,t . cdefinit une contraction continue et surjective:

(H 0(2)(Ut ,V), ‖.‖t ′) → (H 0

(2)(Ut ,F)/Ker‖.‖ct ′, ‖.‖ct ′).Par suitec se prolonge aux compl´etes de ces espaces vectoriels norm´es et

definit une surjection continueL2(Ut ′,V) → L2(Ut ′,F)c,t qui munitL2(Ut ′,F)c,t d’une structure de(Γ , χ)-module hilbertien grˆacea 5.2.1 . Pour toust1 >

t2 > t ′ H 0(2)(Ut1,V) est dense dansH 0

(2)(Ut2,V) pour la norme‖.‖t ′ , ce qui

implique que(L2(Ut ′,F)c,t , ‖.‖ct ′) est independant det > t ′. On peut donc lenoter(L2(Ut ′,F)c, ‖.‖ct ′). Les autres points de l’´enonce sont des cons´equencesdirectes de 5.2.2, `a l’exception de l’independance de la pr´esentationc de lastructure de Fr´echet surH 0

(2)(Ut ,F). Il suffit de comparer les structures de Fr´echetassocieesa deux presentations locales localement libres deF c et c′ telles qu’ilexiste un morphisme de pr´esentationsc′ → c, tous ces objets pouvant ˆetre definissur un voisinage deUt0. Un morphisme de pr´esentations est un diagramme de laforme:

W ′ c′→ F → 0↓ ‖W c→ F → 0.

Dans ces conditions, pour toutt ′ < t0, il existeK > 0 ‖.‖ct ′ ≤ K‖.‖c′t ′ . Par suite:

Id : (H 0(2)(Ut ,F), ‖.‖c′t ′ t ′>0) → (H 0

(2)(Ut ,F), ‖.‖ct ′ t ′>0)

est continue et les deux structures de Fr´echetFc′ etFc definies respectivementparc et c′ coıncident19.

Cas general

Definition 5.2.5 SoitZ unΓ -espaceΓ -Stein,i : Z → X un plongement ferm´evers unΓ -espaceΓ -Stein,P une fonction strictement psh lisseΓ -exhaustivesur X et c une presentation dansVΓ (X) de i∗F . On definit L2(Z, i, P , c,F)

comme le module mont´elienL2(X, i∗F)c,P .

Lemme 5.2.6PosonsZt = (P i)−1(] − ∞,−1[). L2(Z, i, P , c,F)∗(t) =H 0

(2)(Zt ,F).

Preuve.Ceci resulte de 3.2.1, 3.2.2 et 5.2.4.

19 Un point ennuyeux est que ceci ne signifie pas que‖.‖ct ′ estequivalente `a‖.‖c′

t ′ . Ceci se traduit

par le fait desagreable que le module mont´elienL2(U ,F)c,P depend dec etP .

556 P. Eyssidieux

Structure de Fr´echet

Proposition 5.2.7 Soit X unΓ -espace complexe. SoitF un faisceau coh´erent(Γ , χ)-periodique surX.H 0

(2)(X,F) possede une structure canonique d’espacede Frechet. De plus, cette structure d’espace de Fr´echet peut ˆetre definie par unefamille (non canonique)(‖.‖n)n∈N croissante de seminormes pr´ehilbertiennesΓ -invariantes dont les s´epares compl´etes sont des(Γ , χ)-modules hilbertiensseparables.

Preuve.Utilisant le fait qu’un espace complexe est paracompact et v´erifie lesecond axiome de d´enombrabilite, on munit les termesC0 etC1 du complexe deCech del2π∗F associe a un recouvrementΓ -localement fini par des ouvertsΓ -Stein d’une telle structure de Fr´echet. La differentielle deCech est alors continueet le resultat s’ensuit. Puisque cette proposition ne servira pas dans la suite de cetexte, la preuve de l’unicit´e de la structure de Fr´echet ainsi fabriqu´ee est laiss´eeau lecteur.

5.3. Theoreme de finitude

Soit Z unΓ -espace complexe cocompact.

ConstructionsDefinition 5.3.1 Soit Z un espace complexe. SoitF un faisceau analytiquecoherent surZ. Soitil, l = 1,2 un plongement localement ferm´e deZ dans l’espace complexe r´eduitZl,p un morphisme tel quei1 = pi2, c1V1 → i1∗F unepresentation. La pr´esentationp−1c1 : p∗V → i2∗F est l’unique presentationtelle que, pour tousz ∈ Z, f ∈ Fz, s ∈ Vi1(z) verifiant c1(s) = i1∗f , on ait:p−1c1(p

∗s) = i2∗f .

Definition 5.3.2 Soit Z un Γ -espace complexe.CΓ ,χ (Z) designe la cat´egoriesuivante:

– Les objets sont les quintuplets(F, U , i, P , c), F ∈ CΓ ,χ (Z), U un ouvertΓ -

invariant deZ, i : U → X un plongement ferm´e vers leΓ -espace complexereduit X, P uneΓ -fonction definie surU continue strictement psh etΓ -exhaustive etc : V → i∗F une presentation localement libre p´eriodique.

– SoientCl = (Fl , Ul, il, Pl, cl) l = 1,2 deux objets. SiU2 ⊂ U1, on posehomCΓ ,χ (Z)(C1, C2) = ∅. Si U2 ⊂ U1, une fleche est un triplet(φ, p, λ)

ou φ : F1 → F2 est unΓ -morphismep : X2 → X1 une applicationholomorphe telle quei1 = p i2, P2 ≥ P1 p et λ : p∗V1 → V2 est unmorphisme p´eriodique faisant commuter le diagramme:

p∗V1p−1c1−→ i2∗F1

λ ↓ i2∗φ ↓V2

c2−→ i2∗F2.

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 557

– La composition des fl`eches est donn´ee par(φ1, p1, λ1)(φ2, p2, λ2) = (φ1 φ2, p1 p2, λ2 p∗2λ1).

Reformulons la d´efinition 5.2.5 et le lemme 5.2.6 comme suit:

Lemme 5.3.3 Il existe un foncteur covariant

L2 : CΓ ,χ (Z) → MontModW ∗(Γ ,χ)

tel que pour toute fl`echeF de la forme

F : X1 = (F1, U1, i1, P1, c1)(φ,p,λ)→ X2 = (F2, U2, i2, P2, c2)

et toutt > 0 assez petit, le morphisme induit par le lemme 5.2.6

L2(F )∗(t) : H 0(2)(z ∈ U1|P1(z) < t,F1) → H 0

(2)(z ∈ U2|P2(z) < t,F2)

soit egala la composition du morphismeH 0(2)(φ) et de la restriction deU1 aU2.

Definition 5.3.4 Definissons une cat´egorieCΓ ,χ (Z) par les donn´ees suivantes:

– Objets: Un objet deCΓ ,χ (Z) est une famille d’objets deCΓ (Z), D = (Xl =(Fl , Ul, il, Pl, cl))l∈A sujette aux restrictions suivantes:– Xl ∈ CΓ ,χ (Z).

– Il existe un faisceau analytique coh´erent periodiqueF = FD ∈ CΓ ,χ (Z),tel que∀l Fl = F .

– (Ul)l est un recouvrementΓ -localement fini deZ.– (z ∈ Ul|Pl(z) < 0)l est aussi un recouvrement deZ.

– Morphismes: Une fl`echeF : D1 = (X1l )l∈A → D2 = (X2

n)n∈B est la donn´eed’un morphisme p´eriodiqueφ : FD1 → FD2, d’une applicationρ : B → A

definissant un raffinement(z ∈ U2l |P 2

l (z) < 0)l∈B → (z ∈ U1l |P 1

l (z) <

0)l∈A et deCΓ ,χ (Z)-flechesFn : X1ρ(n) → X2

n, avecFn = (φ, pn, cn).– La formule pour la composition de deux fl`eches est claire et laiss´ee au lecteur.

SoitD un objet deCΓ ,χ (Z).

Pourα ∈ PF(A) on definit un objetXα = (Fα, Uα, iα, Pα, cα) deCΓ (Z) enposant:

– Fα = FD, Uα = ∩l∈αUl, iα = ×l∈αil, Pα = maxl∈α Pl.– cα : Vα → iα∗F = ∑

l∈α p−1l,αcl : ⊕l∈αp∗l,αVl → pi,α∗FD ou pl,α :

×k∈αXk → Xl est la projection naturelle.

Par construction, pour tout(α, α′) ∈ PF(A) tel queα′ ⊂ α, le tripletρα′α = (φα′

α , pα′α , λα′

α ) avecφα′α = Id pα′

α = ×l∈α′pl,α λα′α est l’inclusion na-

turelle∑

l∈α′ p∗l,αVl → ∑

l∈α p∗l,αVl est unCΓ (X)-morphisme. De plus, on a la

558 P. Eyssidieux

condition de cocycleρα′′α′ ρ

α′α = ρα′′

α . On definit unW ∗(Γ , χ)-module mont´eliengracea 5.2.4, en posant:

L2Cp(D) = ⊕|α|=p+1L2(Xα).

Imitons la definition de la differentielle deCech en d´efinissantδ : L2Cp(D)

→ L2Cp+1(D) comme le morphisme dont la matrice est(εα,α′L2(ρα′α ))α,α′ , avec

εα,α′ = ±1, le signe ´etant donn´e par la regle usuelle pour la diff´erentielle deCech. Par 5.2.4,(L2C

•(D), δ) est un complexe born´e de modules mont´eliens.

Lemme 5.3.5 (L2C•(D), δ) est un complexe de modules mont´eliens qhtf et pour

tout t > 0 assez petitH•∗ (t, (L2C

•(D), δ)) = H

•(2)(Z,FD).

Preuve.En effet, gracea 5.2.6,(L2C•(D)∗(t), δ) s’identifie au complexe de

CechL2 deFD relatif au recouvrement(z ∈ Ul|Pl(z) < tl) (cf. la definitiondu corollaire 5.1.5). Donc:

∀t ′ ≤ t, H•∗ (t, (L2C

•(D), δ))

σ t ′t) H

•∗ (t

′, (L2C•(D), δ)) ) H

•(Z, FD).

Par construction, on a:

Lemme 5.3.6L’assignementD → (L2C•(D), δ) est sous-jacent `a un foncteur

covariantCΓ ,χ (Z) → Cb(MontModW ∗(Γ ,χ))qhtf .

Unicite, Existence, Fonctorialit´e Ce paragraphe utilise les notations du th´eo-reme 4.4.19.

Lemme 5.3.7Soit F un objet deCΓ ,χ (Z). Pour tout coupleD1,D2 d’objets

de CΓ ,χ (Z), tel queFDi = F , on peut construire un isomorphisme entre

(L2C•(D1), δ)Qi et (L2C

•(D2), δ)Qi , uniquedansKb(MontModW ∗(Γ ,χ))

qhtf

Qi .

Preuve.En effet, on peut toujours trouver un objetD3 tel queFD3 = F et desCΓ ,χ (Z)-flechesDi → D3 dont leCΓ ,χ (Z)morphisme associ´e est l’identite. Lafleche(L2C

•(D1), δ) → (L2C

•(D3), δ) est un qi-morphisme puisqu’elle induit

des isomorphismes sur les groupes de cohomologie par 5.3.5. Ce qi-morphismedefinit apres localisation un isomorphisme en cohomologie qui est ind´ependantde la flecheD1 → D3 choisie puisqu’il releve les applications de raffinemententre complexes deCechL2 deF .

SoitF un faisceau coh´erent(Γ , χ)-periodique. Utilisant 2.2.1, on construitaisement un objetD(F) deCΓ (Z) avecFD(F) = F . Toujours avec 2.2.1, il estpossible de relever toute fl`echeF → G en une fleche deCΓ (Z). Ces manipula-tions peuvent ´egalement ˆetre faites sur les complexes deCΓ ,χ (Z). Ceci prouvele:

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 559

Theoreme 5.3.8SoitX unΓ -espace complexe cocompact. Il existe un∂-fonc-teur triangule (unique `a equivalence pr`es)

R : Di(CΓ ,χ (X)) → Di(Ef (W∗(Γ , χ)) i = b,−

specialisant auδ-foncteur cohomologique(Hq

(2)(X, .), δ)q≥0 de 3.3.1 par oublide structure (cf. 4.3.6).

SoitHq

2 (X,F) l’objet deEf (W∗(Γ , χ))defini parHq

2 (X,F) = Hq(R(F)).L’assignementF → H

q

2 (X,F) est sous-jacent `a unδ-foncteur(Hq

2 (X, .), δ)

defini surCΓ ,χ (Z)eta valeurs dansEf (Γ ) relevant leδ-foncteur 3.3.2(Hq

2 (X, .),

δ), qui lui esta valeurs dans la cat´egorie desCΓ -modules. SiX n’est pas suppos´ecocompact, le th´eoreme precedent est valable dans le cas des faisceaux de supportΓ -compact. Adapter la preuve donn´ee ci-dessus est trivial.

Pour justifier le titre de cet article, donnons la d´efinition:

Definition 5.3.9 Soit (X, Γ, ρ) un Γ -espace complexe. Les invariants de VonNeumann d’un faisceau analytique coh´erent (Γ , χ)-periodiqueF a supportcocompact sont:

– Les nombres de BettiL2 deF , hq

2(X,F) := dimW ∗l (Γ ,χ) H

q

2 (X,F) ∈ R+.

– Les invariants de Novikov-Shubin deF , NSq(X,F) := NS(Hq

2 (X,F)) ∈NSd.

6. Theoreme d’indiceL2 d’Atiyah

Cette section utilise certaines id´ees de la preuve de Forster-Knorr du th´eoremede coherence de Grauert, voir [GraRem84] pp.188-207 pour justifier une suitespectrale de Leray-Serre en cohomologieL2, de facon a reduire la formulede Riemann-Roch pour la cohomologieL2 au theoreme d’indiceL2 d’Atiyah[Ati76].

6.1. Suite spectrale de Leray

Systemes de faisceaux relatifs `a un recouvrement SoitX un espace topologiqueetU = (Ui)i∈A un recouvrement ouvert fini deX. On peut construire la cat´egorieabelienneSMod(U) suivante:

Les objets sont des donn´ees de la forme(Fα, ραα′)α,α′∈PF(A), tels que

– Fα est un faisceau en groupes ab´eliens surUα,– ρα′

α : Fα|Uα′ → Fα′ est un morphisme d´efini des queα ⊂ α′,– Ces donn´ees verifient la condition de cocycleρα′

α ρα′′α′ = ρα′′

α .

560 P. Eyssidieux

Un morphismeφ : (Fα, ραα′) → (Gα, ρ

αα′) est une collection(φα)α∈PF(A) de mor-

phismes de faisceauxφα : Fα → Gα commutant aux morphismes de transition.Les regles de composition sont claires.

Il y a unfoncteur natureln : Mod(X) → SMod(U). Au niveau des objets, ilassocie au faisceauF le systeme de faisceaux(F |Uα

, rα′

α ), rα′

α etant l’applicationde restriction. Ce foncteur identifieMod(X) a une sous cat´egorie pleine deSMod(U).

SoitU un ouvert deX, on note parIU l’inclusion deU dansX. SoitΦ =(Fα, ρ

αα′)α,α′∈PF(A) un objet deSMod(U). On definit un complexe de faisceaux

surX, en definissant les cochaines par la formule:

Kn(U, F ) = ⊕α∈PF(A),|α|=n+1iUα∗ Fα

et la differentielle par la formule deCech. SiF est un faisceau ab´elien, tel qu’ilexiste une base d’ouvertsU pour lesquels la restriction deF a U ∩ Uα est unfaisceau acyclique d`es queα ∈ PF(A) est une partie non vide, le morphismenaturelF → K

•(U, n(F )) est un quasi isomorphisme. Plus g´eneralement, si

F•

est un complexe de tels faisceaux, on a aussi un quasi isomorphismeF• →

K•(U, n(F

•)) 20. Si A ⊂ Mod(X) est une sous cat´egorie de la cat´egorie des

faisceaux en groupes ab´eliens on peut d´efinir la categorieSA construite commeci-dessus en demandant que objets et morphismes soient dansA. Par exemple siA = CΓ ,χ (X), on a la cat´egorieSCΓ ,χ (U).

Extension del2π∗ a une categorie derivee convenable Soit X un Γ -espacecomplexe et soitπ : X → X. Nous supposerons de plus queX possede unrecouvrement finiU par des ouvertsΓ -Stein assez petits21. SCΓ ,χ (U) contientune sous cat´egorie pleineS naturellement ´equivalente `aCΓ ,χ (X). Nous allonsetendre le foncteurl2π∗ aCi(SCΓ ,χ (U)). Soit j : V ⊂ X un plongement ouvert.SoitF ∈ CΓ ,χ (V ). Considerons le faisceauj∗F . On peut alors poser:

l2π∗j∗F = j∗l2π∗F .

A F •un objet deCi(SCΓ ,χ (U)), on associe par ce proc´ede le complexe

l2π∗K•(U,F •

), qui est un objet deCi(ModW ∗(Γ ,χ)(X)). Cet assignement estsous-jacent `a un foncteur. On a, de plus, la:

Proposition 6.1.1 Soiti ∈ b,−. Le foncteur

l2π∗ : CΓ ,χ (X) → ModW ∗(Γ ,χ)(X)

se prolonge `a un foncteur exactDiSCΓ ,χ (U) → DiModW ∗(Γ ,χ)(X).

20 Precisons queK•(U, n(F

•)) est le complexe associ´e au bicomplexe que la construction

precedente fabrique.21 Un ouvertΓ -SteinU estassez petits’il existe un autre ouvertΓ -SteinV tel queΓ \U Γ \V .

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 561

La preuve du th´eoreme 4.4.14 implique aussi la:

Proposition 6.1.2 Le foncteurRΓ l2π∗ s’etenda un ∂-foncteur trianguleDi

CΓ ,χ (X)SΓ ,χ (U) → DiEf (W

∗(Γ , χ)).

Theoreme de l’image directe de GrauertIl r esulte de la preuve de Forster-Knorr du theoreme de l’image directe de Grauert (cf. [GraRem84] ch. 10.4),que,f : Y → X designant un morphisme propreΓ -equivariant,G•

un complexeborne deCΓ ,χ (Y ), etV un recouvrement fini deY par des ouvertsΓ -Stein assezpetits, le complexe deCech relatiff∗C

•(V,G•

) a la propriete G suivante:

Definition 6.1.3 SoitF•

un complexe born´e deModΓ ,χ (X). On dit queF•

a la

propriete G si, pouriU : U ⊂ X un ouvertΓ -Stein assez petit, on peut trouver uncomplexe born´e F •

dansCΓ ,χ (U) et un morphisme de complexesF • → F• |U

induisant un isomorphisme en cohomologie.

SoitF•

un complexe de faisceaux v´erifiant la propriete G. La technique de[GraRem84], 10.4 pp.202-204, permet de construire un objet deCi(SCΓ ,χ (U))

(F •α, ρ

α′α ) et pourα ∈ PF(A) des morphismes de complexes, induisant des

isomorphismes en cohomologie et faisant commuter le diagramme:

F •α′ |Uα

→ F •α

↓ ↓F

• |Uα

id→ F• |Uα

.

Cette donn´ee est en fait un quasi isomorphisme dansCi(SModΓ ,χ (U)):F • → n(F

•). Ceci donne lieu `a un quasi isomorphisme

K•(U,F •

) → K•(U, F

•).

Appliquant ces consid´erationsaF• = f∗C

•(V,G•

), on prouve:

Lemme 6.1.4Soiti ∈ b,−. Le foncteur d´erive:

Rf∗ : DiCΓ ,χ (Y ) → Di

CΓ ,χ (X)ModΓ ,χ (X)

factorisea un foncteur triangul´e

Rf∗ : DiCΓ ,χ (Y ) → Di

CΓ ,χ (X)SCΓ ,χ (U).

Un interet de ce lemme est qu’il permet de d´efinir l2π∗Rf∗G•, G•

etant unobjet deDiCΓ ,χ (Y ). Il permet aussi de formuler la:

Proposition 6.1.5 Soit f : Y → X un morphisme propre ´equivariant, alorsRf∗ l2π∗ = l2π∗ Rf∗.

562 P. Eyssidieux

Preuve.Soit G•un complexe born´e (resp. born´e superieurement) deCΓ ,χ (Y ).

Soit un quasi isomorphisme

F • → n(f∗C•(V,G•

))

avecF •un objet deSCΓ ,χ (U). On a le diagramme suivant de morphismes de

complexes de faisceaux:

l2π∗K•(U,F •

) K•(π(U), f∗C

•(V, l2π∗G•

))

i1 ↓ i2 ↓π∗K

•(U,F •

)q→ π∗K

•(U, f∗C

•(V,G•

)) = K•(π(U), f∗C

•(V, π∗G•

))

i1, i2 sont des inclusions etq un quasi isomorphisme. Comme:

l2π∗Rf∗G• = l2π∗K•(U,F •

)

Rf∗l2π∗G• = K•(π(U), f∗C

•(V, l2π∗G•

))

6.1.5 resulte du lemme:

Lemme 6.1.6L’image deq i1 est contenue dans celle dei2 et le morphismede complexes de faisceaux r´esultant

l2π∗K•(U,F •

) → K•(π(U), f∗C

•(V, l2π∗G•

))

est un quasi isomorphisme.

Preuve.Cette question est de nature locale. Par suite, il suffit de traiter le cas o`uX estΓ -Stein et o`u il existe un quasi isomorphisme globalF • → f∗C

•(V,G•

).On est alors ramen´e au cas o`u U est le recouvrement trivialX. Redecrivons lasituation:

On a des inclusions (au sens na¨ıf) l2π∗F • → π∗F ,π∗F • → π∗f∗C•(V,G•

).On aegalement une ´egalite:

π∗f∗C•(V,G•

) = f∗π∗C•(V,G•

) = f∗C•(V, π∗G•

).

D’ou deux inclusions:

l2π∗F • → f∗C•(V, π∗G•

) ← f∗C•(V, l2π∗G•

).

Il s’agit de montrer qu’en fait:

l2π∗F • ⊂ f∗C•(V, l2π∗G•

)

et que cette inclusion est un quasi isomorphisme. Le probl`emeetant de naturelocale, il sera suffisant de montrer que, apr`es application du foncteur des sectionsglobales surX = Γ \X:

A•2 = Γ (X, l2π∗F •

) ⊂ B•2 = Γ (X, f∗C

•(V, l2π∗G•

))

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 563

et que cette inclusion est un quasi isomorphisme. PosonsX = ΓX0 avecX0

une reunion fine de composantes connexes Stein de groupe d’isotropieΣ fini.PosonsY 0 = f −1(X0) et designons parV0 le recouvrement induit parV. Il y aun morphisme de complexes en espaces de Fr´echet:

A• = Γ (X0,F •

) → B• = Γ (X0, f∗C

•(V0,G•

)).

Ce morphisme est un quasi isomorphisme puisque les deux complexes ontpour cohomologieΓ (X0, R

•f∗G•

). De plus, ces complexes en espaces de Fr´echetsont stricts22 et la structure de Fr´echet induite sur leur cohomologie est pr´eserveepar ce quasi isomorphisme puisqu’il est continu et co¨ıncide avec la structure deFrechet canonique surΓ (X0, R

•f∗G•

).Les structures de Fr´echet deΓ (X0, R

•f∗G•

) et des espaces de cochaines deA

•(resp. deB

•) peuvent se laisser d´ecrire par des familles d´enombrables de

seminormes‖.‖nn∈N de facon que toutes les morphismes introduits ci-dessussoient continus en norme‖.‖n.

Soit q ∈ Z. L’espaceAq

2 est par d´efinition isomorphe `a l’espace des suites(aq

γ )γ∈Γ/Σ avecaqγ ∈ Aq telles que pour toutn,

∑γ ‖aq

γ ‖2n < ∞. Comme il y a

une description similaire pourBq

2 , l’inclusion A•2 ⊂ B

•2 resulte de la continuit´e

de l’inclusionA• → B

•.

A•

etant strict, appliquant le th´eoreme de l’application ouverte pour les es-paces de Fr´echeta la surjection d’espaces de Fr´echetd : Aq−1 → dAq−1,on deduit le complexeA

•2 est strict et que sa cohomologie se laisse d´ecrire

comme l’espace des suites(hqγ )γ∈Γ/Σ avechq

γ ∈ Hq(A•) telles que pour tout

n,∑

γ ‖hqγ ‖2

n < ∞. La meme description valant pourB•2, il suit que l’inclusion

A•2 ⊂ B

•2 est un quasi isomorphisme.

Suite spectrale de Leray

Proposition 6.1.7 Soit X un Γ -espace complexe. SoitF ∈ CΓ ,χ (X). Soit f :Y → X un morphisme propre ´equivariant.

Il existe une suite spectrale de premier cadran(Es,tr , dr)r≥0 dansModW ∗(Γ ,χ)

aboutissant `a H ∗(2)(Y ,F) et de termeEr,s

2 = Hr(2)(X, Rsf∗F). Si X est cocom-

pact, la suite spectrale(Es,tr , dr)r≥0 peutetre obtenue d`es le termeEr,s

2 a partird’une suite spectrale dansEf (W

∗(Γ , χ)) par application du foncteur d’oubli4.3.6.

Preuve.La suite spectrale de Leray pour l’application continuef : Y → X etle faisceaul2π∗F a pour termeE2

Er,s2 = Hr(X,Rsf∗l2π∗F)

22 C’est-a-dire tels que l’image de la diff´erentielle est ferm´ee.

564 P. Eyssidieux

que 6.1.5 identifie canoniquement `aHr(X, l2π∗Rsf∗F). D’ou le premier point.Le deuxieme point est laiss´e au lecteur (il s’agit d’une adaptation de la preuvedu theoreme 5.3.8). Corollaire 6.1.8 SoitX unΓ -espace complexe cocompact. SoitF ∈ CΓ ,χ (X).

Soit f : Y → X un morphisme propre ´equivariant.∑n

(−1)n dimΓ Hn2 (Y ,F) =

∑r,s

(−1)r+s dimΓ H r2 (Y , Rsf∗F)

6.2. Formules de Riemann-Roch par d´esingularisation

Theoreme 6.2.1SoitF un faisceau analytique coh´erent sur l’espace complexecompactX. Soitπ : X → X un revetement galoisien de groupeΓ .∑

n

(−1)n dimΓ Hn2 (X, π∗F) =

∑n

(−1)n dimHn(X,F)

Preuve.Par recurrence sur dim(X). En dimension 0, ceci r´esulte des propri´etesordinaires de la dimension de Von Neumann. Utilisant la filtrationI -adique (Idesigne le radical deX), on se ram`ene au cas o`u X est reduit.

En utilisant une d´esingularisationφ deX [Hir64], 6.1.8 ramene au cas o`u X

est lisse puisque, pourq ≥ 1 Rqφ∗φ∗F est support´e en dimension< dim(X) etqu’ on a une suite exacte 0→ F → φ∗φ∗F → N → 0, N etant support´e endimension< dim(X).

Si X est lisse etF est un faisceau coh´erent surX, il existe une vari´eteX′ etune modificationψ : X′ → X telle que,T designant le sous-faisceau de tor-sion maximal deψ∗F , V = ψ∗F/T est localement libre ([GraRie70] renvoiea [Ros68]). Une nouvelle application de 6.1.8 r´eduit le probleme au cas d’unfaisceau localement libre sur une vari´ete. Le lemme 5.1.1 montre que la coho-mologieL2 se laisse calculer par le complexe de DolbeaultL2, dont l’indice estcalcule par [Ati76].

Il est clair qu’utiliser 6.1.8 comme ci-dessus permet en principe de mener `abien le calcul de la caract´eristique d’EulerL2 d’un faisceau analytique coh´erentprojectivement p´eriodique sur unΓ -espace complexe propre cocompact en seramenant au th´eoreme d’indiceL2 d’Atiyah [Ati76], eventuellement sous laforme plus generale utilisee sous l’appellation ‘Vafa-Witten twisting trick’ dans[Gro91] (voir [Eys97], pp. 189-196 pour une ex´egese).

Invariants de Von Neumann des faisceaux analytiques coh´erents 565

References

[ABR92] D. Arapura, P. Bressler, M. Ramachandran, On the fundamental group of acompact Kahler manifold, Duke Math. Journal68 (1992) 477-488.

[Ati76] M. Atiyah, Elliptic operators, discrete groups and Von Neumann algebras Soc.Math.Fr. Asterisque32-33, 1976, 43-72.

[Cam94] F. Campana, Remarques sur le revˆetement universel des vari´etes kahleriennes,Bull. Soc. Math. Fr.122(1994), 255-284.

[Cam95] F. Campana, Fundamental group and positivity of cotangent bundles of compactKahler manifolds, J. Alg. Geo.4 (1995), 487-502.

[CamDem] F. Campana et J.P. Demailly, Communication personnelle.[CheGro86] J. Cheeger, M. Gromov,L2-cohomology and group cohomology, Topology25

(1986), 189-215.[Dem96] J.P. Demailly,L2 vanishing theorems for Positive Line Bundles and Adjunc-

tion Theory, in Transcendental Methods in Algebraic Geometry, ´edite par F.Catanese et C. Ciliberto, LNM1646(1996), Springer.

[Dod77] J. Dodziuk, De Rham-Hodge theory forL2-cohomology of infinte coverings,Topology16 (1977), 157-165.

[Eys97] P. Eyssidieux, La caract´eristique d’Euler du complexe de Gauss-Manin, Journalfur die reine und angewandte Mathematik490(1997) 155-212.

[Eys99] P. Eyssidieux, Syst`emes lineaires adjointsL2,Ann. Inst. Fourier49(1999), 141-176 .

[Eys98] P. Eyssidieux, Un th´eoreme de Nakai-Moishezon pour certaines classes detype (1,1) Pr´epublication133 du Laboratoire Emile Picard (Nov. 1998),math.AG/9811065.

[Farb96] M.S. Farber, Homological algebra of Novikov-Shubin invariants and Morseinequalities, GAFA, Vol.6, no 4, 1996.

[FoKn71] O. Forster et K. Knorr, Ein Beweis des Grauertschen Bildgarbensatzes nachIdeen von B. Malgrange, Manuscripta Math.5 (1971), 19-44.

[Freyd64] P. Freyd Abelian Categories, Harper and Row, 1964.[GraRem58] H. Grauert et R. Remmert, Komplexe R¨aume, Math. Annalen136, 245-318

(1958).[GraRem84] H. Grauert et R. Remmert, Coherent Analytic Sheaves, Grundlehren der math-

emathischen Wissenschaften,265, Springer, 1984.[GraRie70] H. Grauert et O. Riemenschneider, Verschwindungss¨atze fur analytische Koho-

mologiegruppen auf komplexen R¨aumen Invent. Math.11 (1970), 263–292.[GriHar78] P. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, John Wiley and Sons,

1978.[Gro89] M. Gromov, Sur le groupe fondamental d’une vari´ete kahlerienne, C.R. Acad.

Sci. Paris308Serie 1 (1989), 67-70.[Gro91] M. Gromov, Kahler hyperbolicity andL2-Hodge theory, J. Diff. Geom.33,

1991, 263-291.[GroHenShu98] M.Gromov, G.Henkin, M.Shubin,L2 holomorphic functions on pseudoconvex

coverings, GAFA8 (1998), 552-585.[GroShu91] M.Gromov, M.Shubin, Von Neumann spectra near zero, GAFA1 (1991), 375-

404.[GroShu92] M.Gromov, M.Shubin, Near-cohomology of Hilbert complexes and topology

of non-simply connected manifolds, Ast´erisque210(1992), 283-294.[Har66] R. Hartshorne, Residues and duality, Lecture Notes in Math20, Springer,

(1966).

566 P. Eyssidieux

[Har77] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM52 (1977), Springer.[Hir64] H. Hironaka, Resolution of singularities over a field of characteristic zero, Ann.

of Math.,79 (1964), 109-326[JosZuo97] J. Jost, K. Zuo, Vanishing theorems forL2-cohomology on infinite coverings

of Compact Kahler manifolds and applications in algebraic geometry, Commu-nication personnelle, 1997.

[Kol93] Koll ar J., Shafarevich maps and plurigenera of algebraic varieties, Inv. Math.113(1993), 177-215

[Kol95] Koll ar J., Shafarevich maps and Automorphic Forms, Princeton UniversityPress (1995).

[Lang] Lang S., Algebra, Addison-Wesley, 2nde edition, 1984.[LoLu95] J. Lott, W. Luck,L2-topological invariants of 3-manifolds, Inv. Math120, 1995,

15-60.[Luc94] W. Luck, ApproximatingL2-invariants by their finite dimensionnal counter-

parts, GAFA4, 1994, 455-481.[Luc96] W. Luck, Hilbert modules and modules over finite Von Neumann algebras and

applications toL2 invariants, Math. Ann.309(1997), 247-285.[NapRam95] T. Napier, M. Ramachandran, Structure theorems for complete K¨ahler manifolds

and applications to Lefschetz type theorems, GAFA5 (1995), 809-851.[Nar62] R. Narasimhan, The Levi problem for complex spaces, II Math.Ann.146(1962)

195-216.[NovShu86] S. Novikov, M.Shubin, Morse inequalities and Von NeumannII1 factors, Dokl.

Akad. Nauk.34no.1 (1986), 289-292.[NovShu87] S. Novikov, M.Shubin, Morse inequalities and Von Neumann invariants of non

simply connected manifolds, Sov. Math. Dok.34 (1987), 79-82.[Taka99] Takayama S., Nonvanishing Theorems on an algebraic Variety with large fun-

damental group, J. Alg. Geom8 (1999), 181-195.[Ros68] H. Rossi, Rice Univ. Studies54 (1968), no.4, 63-73[Ver77] J.L. Verdier, Cat´egories d´erivees,etat 0, LNM569(1977), Springer.[Yos80] K. Yosida, Functionnal Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissen-

schaften,123, 6ieme edition, Springer, 1980.