Inventiones math. 21,287-301 (1973) �9 by Springer-Verlag 1973

Invariants sym6triques entiers des groupes de Weyl et torsion

Michel Demazure (Orsay)

Soient R u n syst6me de racines, P son r6seau de poids, S (P) l'alg6bre sym6trique de P, $ (p)W l ' anneau des invariants du groupe de Weyl W dans S (P).

Th6or6me. Soit k un anneau dans lequel tousles nombres premiers de torsion de R sont inversibles. Alors

(a) S (p)w | k est une k-alg~bre gradude de polynfmes,

(b) S (P)| k est un module gradu~ libre sur S (p)w | k; si B e s t une base de R et l (w) la longueur d'un dldment w de W relativement d cette base, $ (P)| k possdde une base form~e d'dldments homogknes (Uw)w~ w tels que deg (uw) = l (w).

(c) Supposons de plus que, si R possdde une composante de type Cl ( l> 1), 2 soit inversible dans k; alors S ( P | S(p)W|

La d6monst ra t ion de ce th6or6me sera obtenue ci-dessous comme sous-produit d 'une description purement alg6brique de l 'anneau de cohomologie H(G/T, Z) de l'espace homog6ne compact G/T associ6 h R; en fait, nous d6finissons un anneau gradu6 H et un homomorphisme c: $ (P) ~ H et les d6monstra t ions de cet article sont enti6rement ind6pen- dantes du fait que H peut s 'interpr6ter comme on l'a dit plus haut et n 'ut i l isent donc aucun r6sultat topologique. Notons aussi que (b) implique aussit6t la formule classique pour ~ t "w~, dont nous obtenons ainsi une d6monst ra t ion alg6brique, wE w

Le raccord avec les not ions topologiques est fait au n ~ 8. Par ailleurs, il se pourrai t que les m6thodes de cet article puissent s 'appliquer aux groupes finis engendr6s par des pseudo-r6flexions (resp. aux groupes de Weyl affines).

Cet article a 6t~ 6crit pendant le s6jour de l'auteur au Tara Institute for Fundamental Research h Bombay (Inde); je tiens ~ remercier les math6maticiens du TIFR pour leur extraordinaire hospitalit6. Je remercie aussi R. Steinberg qui m'a aid6 dans la d6monstra- tion de la prop. 1 et du lemme 4.

1. Syst~mes de racines [3, 2] Dans ce qui suit, nous appellerons systdme de racines (r6duit) prdcis~

un triplet ~ = (M, R, p), of 1 M est un Z-module libre de type fini, R u n e

20 lnventiones math.,VoL 21

288 M. Demazure

partie de M e t p: c~ v-~ a ~ une application de R dans le dual M ~ de M tels que:

(a) R est fini, R n 2 R = O , (b) pour tout ~eR, on a (a~, ~ ) = 2 ,

(c) si ~,fl~R, alors f l - (c~ ~, f l ) ~ R et f l~-( f l~ ,~)c#~R ~ (on pose R~=p(R)).

Soient Vle Q-espace vectoriel M | Q, V ~ son dual, V(R) (resp. V(R~)) le sous-espace vectoriel de V (resp. V ~) engendr6 par R (resp. R~); les Q-espaces vectoriels V(R) et V(R ~) sont duaux l'un de l 'autre et Res t un syst6me de racines r6duit dans V(R) au sens usuel, de syst~me inverse R ~. Nous dirons que ~ est semi-simple si V(R) = V; en ce cas, la donn6e de 6quivaut h celle du syst6me de racines R dans V, << pr6cis6 >> par la donn6e du rdseau M de V interm6diaire entre le r6seau des racines et celui des poids de R. Les r6sultats usuels sur les syst~mes de racines s'6tendent au cas plus g6n6ral d6crit ci-dessus (voir [3] par exemple).

Dans la suite, nous notons Wle groupe de Weyl de ~ et 2N le nombre de racines.

2. lnvariants sym6triques

Soient S(M) l'alg6bre sym6trique du Z-module M et 8: S(M)---~Z sa counit6 (<< terme constant >>); l 'action naturelle de W sur M s'6tend en une op6ration de W sur l 'anneau S (M), nous notons S (M) w ranneau des invariants pour cette op6ration et $(M)+ W l'id6al S(M)Wc~Ker e. Soit I le facteur direct du Z-module S (M) engendr6 par $ (M) S (M)+ w: un 616ment u de $(M) appartient ~ I s'il peut 6tre 6crit ~ v~ Pi, off vie S (M) | Q, Pie S (M) Wet e(pi) = 0 pour tout i.

Notons J rendomorphisme ~ det(w)w de $(M) et d le produit des w e W

racines positives (pour une base choisie arbitrairement; l'616ment d de $N(M) n'est donc d6fini qu'au signe pr6s). D'apr6s [2], p. 112, J(u) est divisible par d dans $ ( M ) | pour tout 616ment u de $ ( M ) | d'ofi la remarque fondamentale:

J (S" (M))=0 pour n<N, J(S"(M))cI" pour n , N . (1)

Notons aussi la formule J(d)=4W[ d, off [W[ est l 'ordre de IV.

Lemme I [6]. Soit ueS"(M) tel que ua~l pour tout ct~R. Si n4:N, alors u~ I"; si n = N, alors J(u)-[W[ u~l N.

Soit a ~ R; 6crivons u ~ = ~ v i Pi, off vie S (M) | Q, p ~ S (M)+ W; alors (u + s~ (u)) = a u - s~ (a u) = ~ (v~- s~ (vi)) Pi; mais v, - s~ (vl) est divisible

par ~, donc u + s~ (u) ~ I. On a ainsi s~ (u) = - u mod. I, donc w ( u ) - det (w) u pour tout we W; cela implique J(u)-[W[ u, d'ofi la conclusion par (1).

Invariants sym6triques entiers des groupes de Weyl et torsion 289

Proposition 1. (a) Tout iddal graduO I' de S (M) contenant I e t tel que Z dc~ I ' = 0 est dgal & I.

(b) Soit f u n endomorphisme S(M)W-lin~aire de $(M) qui est nul en degr~s < N; alors, pour tout ue S (M), on a

I W[ d f (u )=f (d ) J(u).

Notons d'abord que I "=S"(M) pour n>N: c'est certainement vrai pour n assez grand (en effet, S (M)| Q est un S (M)W| Q-module gradu6 de type fini, donc (S (M)QQ) / I est un espace vectoriel de dimension finie), et l'assertion ~<n>N et I"+I=S"+~(M)>> implique <<I"=S"(M)>> d'apr6s le lemme 1. Appliquant maintenant le lemme 1 ~ u~ SN(M), nous trouvons

S N ( M ) | d. (2)

Soit alors I ' comme dans (a); par les deux remarques ci-dessus, on a I '"=I" pour n>_N, et par le lemme l, l'assertion ~n<N et I'"+~ =I"+~>> implique <4'"= I">>; cela d6montre (a).

D'autre part, il r6sulte de la d6termination des I" pour n_> N que tout 616ment u de S(M) peut s'6crire u = ~ a i p i + d q , off p i , qeS (M)W| et off les a~ sont homog6nes de degr6 < N; si f e s t comme dans (b), on a alors f (u) = ~ f (ai) Pi + f (d) q =f(d) q; pour la m6me raison J (u) = J (d) q = I WI d q, d'o6 (b).

3. Les op6rateurs d~ et l'anneau H

Soit ~cR; pour tout usS(M), l'616ment u-s , (u ) est divisible par dans S (M); on d6finit donc un endomorphisme S (M)W-linOaire de S(M) en posant

Ll~(u) u - s ~ ( u ) , ueS(M). Gt

On a aussit6t: s~A~=A,, A , s ,= -A~, A_~=A~, A2=0, (3)

w A~w -1 = A ~ ) , weW, (4)

A,(A,(u) v)= A,(u d~(v)), (5)

A,(uv)=A~(u)v+s~(u)d, (v)=A,(u)v+ud,(v)-~td , (u)A,(v) . (6)

Notons ~ l'alg6bre d'endomorphismes de S(M) engendr6e par les op6rateurs A,, 0tER, et les multiplications par les 616ments de S(M); c'est un S(M)-module par multiplication/l gauche. Puisque tous les A, sont homog6nes de degr6 (-1), ~ est une alg6bre gradu6e; notons enfin que s , = i - ~ d , e ~ pour tout ~t, donc que W c ~ .

Lemme 2. Pour tout A ~ , il existe une famille finie (A' i, A'i')i= ~ ...... d'~lOments de ~ tels que A (u v)= ~ A I (u ) A' i' (v), u, v~ S (M).

20*

290 M. Demazure

Pour A = A , , cela r6sulte de la formule (6); c'est clair lorsque A est la multiplication par un 616ment de $ (M); d'autre part, les 616ments de pour lesquels l'6nonc6 est vrai forment une sous-alg6bre.

Si A ~ , alors eoA: S ( M ) ~ Z est une forme lin6aire qui s'annule sur I; nous noterons e ~ le Z-module form6 des eoA, et H l e Z-module dual; on a par bidualit6 une application Z-lin6aire

c: $(M)--~ H.

Proposition 2. Il existe une unique structure de Z-algdbre gradu~e sur H telle que c soit un homomorphisme d'algdbres gradu~es. Muni de cette structure, H est un anneau gradu~ commutatif, d'~l~ment unit~ c (1).

Cela r6sulte aussit6t du lemme 2, qui implique que e ~ est une sous- cog6bre gradu6e de la cog6bre gradu6e duale de l'alg6bre gradu6e S(M).

L'anneau H est appel6 l'anneau de cohomologie du syst6me de racines R, et c l'homomorphisme caract~ristique.

Remarques. 1) La terminologie pr6c6dente est expliqu6e au n ~ 8.

2) Puisque e 9 est stable par multiplication ~t droite par W c 9 , il existe une unique operation de W sur H telle que c soit compatible aux op6rations de W sur S (M) et H.

3) Par construction, c | Q est surjectif; nous verrons un 6nonc6 plus pr6cis au n ~ 5.

4. Les op6rateurs D w

Dans ce n ~ nous choisissons une base B de R. L'ensemble des racines positives est not6 R+. Pour tout 616ment w de W, on note l(w) la longueur de w relativement au syst6me g6n6rateur (s~)~E B de W ([2], p. 1); une expression r~duite de west une d6composition w = s~.. . s~k, off ~1 . . . . . ~k ~B et k=l(w). Le groupe W poss6de un 616ment de longueur maximum, unique, not6 Wo; on a w 0 ( B ) = - B et l(Wo)=N; pour tout w~W, on a I (w Wo) = ! (Wo)- 1 (w) ([-2], p. 158, cor. 3). Nous notons ~ la relation d'ordre sur W associ6e ~ B: si w,w'eW, alors w ~ w ' si on peut extraire une expression r6duite de w d'une (resp. de toute) expression r6duite de w'; on a l ~ w ~ w o pour tout weW.

Notons provisoirement K le corps des fractions de l 'anneau $ (M) et plongeons la $(M)-alg6bre ~ dans la K-alg6bre ~ | (le $(M)- module ~ est sans torsion).

Lemme3. Soit s~...s~k une expression r~duite de weW. Posons R(w)= R + c~ w ( - R +); on a alors

( ]-I ~)(A . . . A ~ ) = d e t ( w ) w + E a(w')w', ~R(w) w ' < w

avec a(w')eK.

lnvariants sym6triques entiers des groupes de Wey! et torsion 291

Posons A = A, . . .A~ et si= s, . Alors

A = ~ - 1 (1 - sl) ~ 1 (1 - s2)... ~ 1(1 - Sk)

= ( _ 1)k ~ 1 S l ~1SZ . . .~ ;1Sk + ~ b(w') w'

off b(w')EK et off w' parcour t les produi ts de sous-expressions de s~...s k, donc les 616ments ~ w . D 'au t re part , le p rodui t a~-~ s~ . . .af~ s k est 6gal ~ ~. sl (~2)-~... sl s2,.. sk- 1 (ak) - j . s l . " SR; d'apr6s [2], p. 158, cor. 2, cela vaut ( ~ a - ' ) w, d'ofi le lemme.

a~R(w)

Lemme 4. Soit s~,...s~,, une expression rdduite pour w o. Alors, pour tout u ~ S ( M ) , on a

A , . . . A ~ ( u ) = J ( u ) / d .

D'apr6s le lemme 3, d A , . . . A,N est de la forme ( - 1) N w 0 + ~ a (w) w; W#WO

d'apr6s la prop. 1 (b), il existe 2~ K tel que dA~. . .A~, = 2 J = 2 ( - 1) N w o + 2 det(w) w. Mats les 616ments de W sont lin6airement ind6pendants

w~:wo sur K d'apr6s le th6or6me de Dedekind; on a donc 2 = 1, d'ofi le lemme.

Th6or~me 1. Soit w dans W. Pour toutes les expressions rdduites s, ... s,k pour w, le produit A ~ ... A,k prend la m~me valeur.

D'apr+s [2], p. 16, prop. 5, i! suffit de v6rifier que si ~, ] ~ B et si m est l 'ordre de s, sa, alors

A~A~A~.. .=A~A~Ap.. .

(m facteurs dans chaque produit) . Mats s, sp s , . . . et st~ s, sa. . . sont deux d6composi t ions r6duites de l'616ment de plus grande longueur du groupe de Weyl du sous-syst6me de rang _< 2 engendr6 par a et fl, et l 'assert ion r6sulte du lemme 4.

Ddfinition 1. Pour tout w6W,, on note D~ la valeur commune des produi ts A,~...A,~, off s , . . . s ~ est une expression r6duite de w.

En part iculier D~ = 1, D~, = A~ pour a ~B. Remarquons que l 'op6rateur D~ appl ique S"(M) dans S"-t(W)(M).

Proposit ion 3. (a) Pour tous w, w' ~ W, on a

D ~ D ~ , = D ~ , si l (ww')=l(w)+l(w'); DwDw,=O sinon, (7)

(b) Si w o est l'dldment de plus grande longueur de W, on a

Dwo=J/d. (8)

292 M. Demazure

(c) Pour tout we W, on a

I-[ c t 'Dw=det(w)w+ ~ a(w')w', ~ R ( w ) w ' - < w

off a (w') appartient au corps des fractions de $ (M).

Les parties (b) et (c) ne sont que des reformulat ions des lemmes 4 et 3. La premi6re assert ion de (a) est 6vidente sur la d6finition; d6montrons la seconde. Si l ( w ) = l et l(ww')g:l(w')+l, alors w - s , , cteB, et w'= s,(s~ w'), avec l(w')= l(s,)+ l(s, w'), donc D w, = Ds, Ds, w, , ce qui implique DwDw ,__DsD~.w , 2 -0- (formules (3)); le cas g6n6ral en r6sulte par r6cur- rence sur la longueur de w.

Corollaire 1. Le S(M)-module ~ est libre de base (Dw)w~ w.

La sous-alg6bre de ~ engendr6e par les Ds,, cteB, et les mult ipl ica- t ions par les 616ments de S (M) contient W (car s , = l - c t D ~ , ) , donc cont ient t o u s l e s Ao, t i e r (formules (4)), donc coincide avec 9 . D 'au t re part , si ue $ (M) et c~eB, alors Ds, u = a Ds, + b avec a, b e S ( M ) (formules (6)). I1 s 'ensuit que tout 616ment de ~ peut s'6crire ~ awD w avec a w e S ( M ). Enfin, les D w sont l in6airement ind6pendants sur K, donc sur $ (M) , d 'apr6s le th6or6me de Dedek ind et prop. 3, (c).

Corollaire 2. Le noyau de l'homomorphisme caractOristique c est l'iddal I.

I1 est clair que Ker c est un id6al gradu6 de $ (M) contenant I ; d 'au t re part , e Dwo (d) = Owo (d) = J(d)/d = I WI, donc c (2 d) 4= 0 pour tout 2 e Z, 2 4 = 0, et Ker c n Z . d - - 0 ; d'ot~ la conclusion, par la prop. 1 (a).

Corollaire 3. Soit a un dldment fix~ de $N (M), posons n = Dwo (a)e Z, c'est-d-dire J (a) = nd.

(a) Si w, w'~ W avec l(w)<_l(w'), on a Dw(Dw-~o(a))=n 6w, W.

(b) Si w, w' ~ W, on a e Ow,(Dw-,wo(a))=n6w, w,.

D'apr6s la prop. 3(a), on a Dw(Dw-~wo(a))=O~o(a)=n; de m6me, D~, D w-~ ~o (a) = 0 si l (w') - 1 (w) + l (Wo) > l (w' w- 1 Wo), ce qui est certaine- ment le cas si l(w)< l(w') et w ' + w; cela prouve (a). On en d6duit aussitSt (b), en remarquan t que e Dw,(Ow-~wo (a)) est nul lorsque l(w)+-l(w'), pour des raisons de degr6.

Corollaire 4. Les formes lin~aires (eDw)~+ w sur $ (M) forment une base du Z-module e~. Il existe une base unique (z~)~+ w du Z-module H telle que rhomomorphisme caract~ristique c: $(M)--*H soit donn~ par la formule

c(u)= ~ eDw(u ) z~. (9) W ~ tt r

Invariants sym6triques entiers des groupes de Weyl et torsion 293

D'apr6s le corollaire 1, le Z-module e ~ est engendr6 par les eDw; d'apr~s le corollaire 3(b), on a eD~,(Dw-~o(d))---IWI 6~,w,, donc les eDw sont lin6airement ind6pendants. La derni6re assertion n'est alors qu'une traduction de la d6finition de c et de H.

La partie (b) du corollaire 3 se traduit maintenant en

c(D~-,~o(a))=O~o(a)z ~, aeSN(M), w~W; (10)

en particulier c(d)=lWIzw o. (11)

Notons aussi que les 616ments z w sont homog6nes avec

deg (zw) = l(w), we 147, (12)

et que la composante homog6ne de degr6 1 de c, soit c ~ : M - ~ H ~ est donn6e par

el(m)= ~ (ct ~, m) z~,, m ~ M . (13) ~t~B

Proposition 4. Dans l'alg~bre H, on a

zw.zwow,=6w, w, zwo, w ,w 'eW, (14)

Zw. c(v)=Owow(v) Zwo, ve S~v-t(W)(M). (15)

Soient u, yeS(M); notons d 'abord que

D~,o(Dw(u) v)=Dwo(UDw-l(v) ), w e W ; (16)

il suffit 6videmment de v6rifier (16) dans le cas oti t(w)= 1 ; en ce cas, on a Dwo=Dwo~,Dw (formules (7)), et (16) r6sulte de (5). Darts (16), faisons u=d, et prenons v dans St(W)(M); alors Dw(d ) veSN(M), Dw-~(v)eZ, de sorte que (16) devient c (Ow (d) v) = D~-~(v) c (d) = [ W[ D~-i (v) Zwo. Mais c(O~(d) v) = c (O w (d)). c (v) = I WI Zwo w-l" c (v), d 'apr6s (10); cela d o n n e (15). Remplaqant alors dans (15) v par Dw,(d), nous obtenons par (10) et le cor. 3

IWl z~ . Z~o ~, _~ = O ~ o w ( O w , ( d ) ) = l W [ 6w, w,-~, d'ofi (14).

Corollaire. Pour 0 <_ i < N, le produit Hi x HN-i---~ H N = Z z~o est une forme bilin~aire non d~gdn~r~e.

Remarques. 1) Pour une interpr6tation g6om6trique des formules (11) (15), voir le n ~ 8.

2) En fait, l'anneau H ne d$pend pas du r~seau M: soient Q le sous- module de M engendr6 par R (~tr6seau des racines)>), Q~ le r6seau de V(R ~) associ6 au r6seau Q de V(R), ~Q le syst6me de racines pr6cis6 d6fini

294 M. Demazure

par Q, QV et R (<~syst6me adjoint/L R>>), H e et cQ les analogues de H et c pour ~Q. On a alors un diagramme commutatif

S ( Q ) ~ , H e

S(M) c , H

ot~ i est l'injection canonique. D'apr6s le corollaire4 /l la prop. 3, j transporte la base (z~) de HQ sur la base (z~) de H, donc est bijectif.

5. L'indice de torsion Eindice de torsion t~r de ~ est l'entier > 0 d6fini des trois mani&es

6quivalentes suivantes:

(i) l'ordre du conoyau de Dwo: $N (M)-~ Z, (ii) l'ordre du conoyau de c N: $N (M) -~ H N,

(iii) le plus petit entier t >0 tel qu'il existe a s $N(M) avec J(a)= t d. I1 r6sulte de la d6finition (iii) que t~ est ind6pendant du choix de la base Bet divisc l'ordre ]W{ du groupe de Weyl.

Proposition 5. Le conoyau de c: S(M)--~H est fini et annuld par t R.

En effet, si a~SN(M) est tel que Dwo(a)=tR, alors les formules (10) montrent que t R z~sIm(c) pour tout w, d'oO la proposition.

On appelle nombres premiers de torsion de ~ les diviseurs premiers de t~.

Soit P(~) le r6seau des poids de ~ , c'est-it-dire l'ensemble des v~ V(R) tel que (~v, v ) ~ Z pour tout ~ R ; alors (P(~),R) est un syst+me de racines pr6cis6, le syst~me semi-simple simplement eonnexe associ6 ~ ~ ; le W-homomorphisme canonique i: M ~ P(~), d6fini par (av, i(m))= (~v, m) pour tout a~R, s'identifie d'apr6s la formule (13) ~ c1: M---, H 1. I1 s'ensuit que ~ est semi-simple (resp. semi-simple simplement connexe) si et seulement s ic 1 est injectif (resp. bijecti0; nous dirons dans la suite que ~ est simplement eonnexe sic Iest surieetif.

Proposition 6. Les hombres premiers de torsion pour ~ sont :

(a) les nombres premiers de torsion pour le syst~me semi-simple simple- ment connexe associ~ d ~ ,

(b) les diviseurs premiers de l' ordre de Coker (i) (ou Coker (cl)).

Si le nombre premier p divise l'ordre de Coker (c~), c'est un nombre premier de torsion d'apr6s la prop. 5. Sip ne divise pas l'ordre de Coker (i),

lnvariants sym6triques entiers des groupes de Weyl et torsion 295

alors dans le d iagramme commutat i f suivant

SN M | Fp ~,~| , HN | Fp I

S N i | 1 , i d ~

l l sNp(~) | 4',~,,| , HN|

l 'homomorphisme S N i | 1 est surjectif, donc c~t| 1 = 0 si et seulement si CeN(R) | 1 = 0.

La d6terminat ion des nombres premiers de torsion est done ramen6e au cas semi-simple simplement connexe, done au cas irr6ductible: si est un syst6me de racines semi-simple simplement connexe, et (#t 3 la famille de ses composantes irr6ductibles, alors t ~ = [ I t~ . Cette d6ter- mina t ion sera faite dans le n ~ 7. Notons tout de suite:

Lemme 5. Si ~ est semi-simple simplement connexe de type A l ou Ct, alors t R = 1.

a) ;~ est de type A v Utilisons les nota t ions de [2], p. 250 -251 . Posons u = (e L + . . . + e I § 1)/(1 + l) e t a = (et - u) l (e2 - u) l- 1. . (e z _ u)e S N(M); alors

J(a) = ~ sign ( s ) ( ~ , ) - u)k.. (e~ct)- u) S~ SI + 1

est le d6veloppement d 'un d6terminant de Vandermonde, donc J ( a ) = 11 (e i - e j)-- d et t~ = 1.

i< j<l+l

b) ~ est de type C v Util isons les notat ions de [2], p. 2 5 4 - 2 5 5 . Posons a = e 21-j ~]l-3...eleSN(P); alors J ( a ) = 2 z ~ " 21-1 sign(s) e~tl) ...e~l)

s~SI est le produi t de 21 e~... ~ par le d6terminant de Vandermonde ~I (ei- ~), de sorte que J(a)=d, et t ~ = 1. i<j<t

6. lnvariants sym6triques entiers

Th6or6me 2. Soit k un anneau commutatif tel que t~ . 1 k soit inversible dam k (par exemple Z [1/t~] ou un corps de caract~ristique premidre d tR). Alors:

(a) c | $ ( M ) | H | est surjectif: choisissons a ~ S S ( M ) | tel que c (a) = zwo (c'est-d-dire J (a) = d).

(b) Les ~l~ments (Dw(a))w~ w forment une base d'un sous-k-module de S (M) | k suppldmentaire d, I | k.

(c) Le $ (M) w | k-module $ (M) | k est libre de base (D w (a))w~w.

(d) Les endomorphismes (Ow)~w forment une base du S ( M ) | module de tousles endomorphismes S ( M) w | k-lindaires de S ( M ) | k.

296 M. Demazure

La. partie (a) r6sulte de la prop. 5. Posons uw = Dw-,wo (a); d'aprSs la formule (10), on a c (uw) = zw, d'ofl (b) (cf cor. 2 auth. 1). D'apr+s le co r. 3 (b) a u t h . 1, on a det(D,~(u,r il existe done un sous-module facteur direct L du S(M)W~k-modu le $ ( M ) | tel que (Uw)w~ w soit une base de L et (Dw)w~ w une base de HomstM)W| ) sur S(M) | mais d'apr6s (b), on a $ ( M ) | 1 7 4 cela implique faeilement L = $ (M) | k (lemme de Nakayama gradu6), d'ofi (e) et (d).

Corollaire. Supposons de plus que, s'il existe ctER tel que a/2~M, alors 2 soit inversible dans k. Alors S (M) w | k = $ (M @ k) w.

Pour tout a~R, ct| 1 est une base d'un sous-module facteur direct de M | Soit alors u ~ S ( M | w, v e S ( M ) | et ct~R; on a

(~ | 1) ( ~ (u v ) - u A (0) = s~ (0 ( u - s~(u)) = 0;

on a done A, (u v)= u A,(v). La multiplication par u commute done avee les A=, donc avec t o u s l e s Dw; mais d'apr6s (c) et (d), cela implique u ~ $ (M)W| k (le centre d'une alg6bre de matrices est r6duit aux scalaires).

Remarque. I1 ne peut exister de racines donc la moiti6 soit dans M que lorsque ~ possSde une composante de type C l (C~=A 1, C2=B2); cela se produit par exemple pour le syst+me de racines correspondant SL z (mais non pour celui correspondant ~ GL2).

Soient k un anneau commutatif et A une algSbre gradu6e de type Z sur k. On dit que A est une k-algdbre gradude de polyn6mes si A est associative, commutative, unifSre, et est engendr6e par une famille (xl . . . . . x,) dont les 61+ments sont alg6briquement ind6pendants et homo- gSnes de degr~s strictement positifs dt<. . .<d~. Alors les entiers r ( r162 degrd de transcendance )~ ) et d 1 . . . . . d, ( r162 degrds caractdristiques ~ ) ne d6pendent que de A, et sont d6termin6s par la formule ([2], p. 103)

r

~" rgk(A")t"= 1-I (1 - tn ' ) - ' . (17) n i = l

Th~or~me 3. Soit k un anneau commutatif tel que t~. 1 k soit inversible dans k. Alors $(M)W | est une k-alg~bre gradu~e de polynOmes. Ses degr~s caract~ristiques d l . . . . . d, (r = rg (M)) sont tels que

1 - - t d~

Z tt~w'= ]-I - l ' t " (18) w ~ W i= 1

La seconde assertion r6sulte de la premiere, de [2], p. 104, prop. 2, et du fait que $ (M) | k possSde une base homog~ne eomme $ (M)W| k- module, form6e d'61~ments dont les degr6s sont les l(w), we W (th6o- r~me 2(c)). I1 suflit donc de d6montrer la premiere assertion. Dans le cas off k est un corps, elle r6sulte du th~or~me2(c) et de [2], p. 114,

Invariants sym6triques entiers des groupes de Weyl et torsion 297

lemme 5; dans le cas g6n6ral, on peut supposer que k = Z [t~l], donc que k est un anneau principal. Posons A = S ( M ) W | chaque k-module A" est un sous-module du k-module libre de type fini $n(M)| donc est libre de type fini; il suffit alors d'appliquer le lemme suivant:

Lemme 6. Soient k un anneau principal, A une k-alg~bre associative commutative et unifdre, gradu~e de type Z, telle que chaque k-module A" soit libre. Supposons que, pour tout homomorphisme de k dans un corps F, la F-algdbre gradu~e A | soit une F-algdbre gradu~e de polynfmes. Alors A est une k-algdbre gradu~e de polyn6mes.

Consid6rant un homomorphisme fix6 de k dans un corps F0, on voit aussit6t que chaque A" est de type fini et que A" = 0 pour n < 0. Raisonnons par r6currence sur le degr6 de transcendance r de A | Fo" S i r = 0, alors An=0 pour n4=0, donc A = A ~ comme 1AQklr4:0 et A ~ 1 7 4 lr) pour tout corps F, A ~ est libre de rang 1 engendr6 par 1A, d'ofl le lemme pour r=0 . Supposons r > 0 et soit d le plus petit entier >0 tel que Ad4:0, c'est-~-dire Ad| 4= 0; soit x un 616ment primitif (=qu i n'est divisible par aucun 616ment non inversible de k) de A d. Alors x n'est pas diviseur de 0 dans A et x A est facteur direct dans A: soient en effet y, z e A et 2~ k tels que y 4: 0, x y = 2 z, avec 2 non inversible (resp. 2 = 0) et prouvons que y = 0 ; comme le k-module A est sans torsion, on peut supposer y primitif; soi tf : k--* F u n homomorphisme de k dans un corps F, tel que f(2) = 0; on a f (x ) f(y) = 0, ce qui contredit le fait que x et y sont primitifs et que A | F est int6gre. Consid6rons alors la k-alg6bre gradu6e A/xA; elle satisfait aux hypoth6ses du lemme, et le degr6 de transcendance de (A/x A ) | o est r - 1 ; d'apr6s l'hypoth6se de r6currence, il existe des 616ments homog6nes x2, .. . , x, de degr6s > 0 de A, dont les classes modulo x A sont alg6briquement ind6pendantes et engendrent A/xA. Alors x, x 2 . . . . . x r engendrent A et sont alg6briquement ind6pendants, puisque x est non diviseur de 0 dans A.

Corollaire. Supposons ~l semi-simple et simplement connexe, et soit k un corps dont la caract~ristique ne soit pas un nombre premier de torsion de ~l. Alors S ( M | 1 7 4 w est une k-alg~bre gradu~e de polyn6mes.

On peut supposer R irr6ductible; vu le corollaire au th6or6me2, rassertion r6sulte alors du th6or6me pr6c6dent, sauf lorsque R e s t de type C~ et k de caract6ristique 2. Mais alors, reprenant les planches de [2], p. 250-251 et 253-254, on voit que W op6re modulo 2 comme le groupe de Weyl du syst6me de racines de type At_ x correspondant GL~, et on est ramen6 ~t ce cas, qui r6sulte du th6or6me pr6c6dent (qui n'est autre en ce casque le th6or6me classique des fonctions sym6triques).

298 M. Demazure

7. Calcul des nombres premiers de torsion Soit R' une partie de R, close et symdtrique (i. e. (R' + R')c~ R c R', et

- R ' = R ' ) . Alors (M, R') est un syst6me de racines pr6cis6, que nous appellerons un sous-syst~me de R. Si de plus R' est l 'intersection de R avec un sous-espace vectoriel de M | Q, nous dirons que le sous-syst6me (M, R') est saturd.

Lemme 7. Soit ~ ' un sous-syst~me de ~ , W' son groupe de Weft. Alors t~, divise t~, [W[/[W'[. Si de plus ~ ' est saturn, t~, divise t~.

Soient d' le produit des racines positives de ~ ' , N' leur nombre, posons d"= d/d' (c'est le produit des racines positives de ~ qui ne sont pas des racines de ~ ' ) ; posons J '= ~, det(w') w', et soit J " = ~ det(w) w,

w ' e W ' w e A

oO A est un syst6me de repr6sentants fLX6 de W/W'. On a J = J " J ' ; soit a ~ S s" (M) tel que J ' (a) = t~, d'; calculons J (a d"):

J (a d") = J" (J' (a d")) = J" (d" J ' (a)) (car d" est invariant par W')

= J" (t~, d" d') = t~, J" (d) = t~, tAI d = t~,(I Wl/I W'l) d,

d'ofl la premi6re assertion. Si ~ ' est satur6, soit w o l'616ment de plus grande longueur de W'; alors les 616ments de W' sont ceux qui sont ~ w o et on a J'=d'Dw~; si a~SN(M) est tel que Dwo(a)=t R, on a

J ' (Dw'-, wo (a)) = Dw6 (Dw6_, wo (a)) d' = D~o (a) d' = t~ d',

donc t~, divise t~.

Proposition 7. Pour qu'un systdme de racines semi-simple soit d'indice de torsion 1, il faut et il suffit qu'il soit simplement connexe et que ses com- posantes irr~ductibles soient de type A z ou C t.

Compte tenu de la prop. 6 et du lemme 5, il suffit de prouver l'assertion suivante:

(*) si ~ est irrdductible et n'est pas de type A t ou Cl, alors 2 est un nombre premier de torsion de R.

Notons d 'abord que si - 1 ~ W, alors J applique S(M) dans 2S(M); si de plus ~ n'est pas de type Ct, alors d est non divisible par 2 dans SU(M), donc2 est un nombre premier de torsion; cela s 'applique aux types B I (l>__3), D2t, E7 ,Ea,F4,G 2. Dans le cas g6n6ral, il suffit de remarquer que si ~ n'est pas de type A, ou Ct, il contient un sous-syst~me satur6 de type G2, B a ou D4, et d 'appliquer le lemme 7.

Lemme 8. Tout syst~me de racines semi-simple simplement connexe irrdductible ~ de rang l contient un sous-syst~me simplement connexe de type At_ 1 (resp. de type A t lorsque R e s t de type A I ou G2).

Invariants sym6triques entiers des groupes de Weyl et torsion 299

Pour les types autres que F 4 ou G2, c'est clair sur le diagramme de Dynkin: avec les notations des planches de [2-1, on retire la racine ct I pour Bl, Cl, D let la racine ct 2 pour E I. Dans le cas de F 4 (resp. G2), on remarque que les racines longues forment un syst6me simplement connexe de type D 4 (resp. A2).

Supposons ~ semi-simple simplement connexe et irrdductible, soient cq, . . . , ~t I les racines simples, ct o la plus grande racine, ~l . . . . , El, go les coracines correspondantes; on a

O~O~---H 1 ~l~-'..~-nl~Zl~

g0 = h l 61 -[- "'" +hi ~l' o6 ni, h i ~ N.

Proposition 8. Tout nombre premier de torsion de J! divise hi . . . h I (c'est- d-dire appartient d la liste suivante: 2 pour les types B l (l > 3), D l (l_> 4) et G2, 2 et 3 pour les types E6, E7, F4, 2, 3 et 5 pour le type E s.

a) Types A let Cl: c'est clair puisque tR= 1 (lemme 5).

b) Type G2: d'apr6s les lemmes 7 et 8, t R divise IW(Gz)I/IW(A2)I qui vaut 2.

c) Autres types: d'apr6s [2-1, p. 178, prop. 7, on a

IWI =(l!) f nl ... nl,

06 f est l'indice de connexion de ~ . D'apr6s les lemmes 7 et 8, t~ divise W/( l ! )= fn l . . . n z , mais les nombres premiers divisant f n l . . . n I sont exactement ceux qui divisent hi. . . h I.

Remarques. En fait la condition n6cessaire donn6e dans la prop. 8 est aussi suttisante: tout nombre premier divisant l'un des h i est de torsion. Cela pourrait se d6montrer de l'une des mani~res suivantes:

I) Noter (n ~ 8) que les nombres premiers de torsion d6finis ici sont aussi ceux qui sont d6finis h l 'aide de la cohomologie de l'espace G/T correspondant et utiliser la liste des nombres premiers de torsion 6tablie par les topologues.

2) D6montrer par calcul explicite l'existence de 3-torsion pour F4 et E 6 et de 5-torsion pour Es, puis appliquer le lemme 7.

3) D6montrer a priori que pour tout sous-syst6me ~ ' de ~ , satur~ ou non, tout nombre premier de torsion de ~ ' est un nombre premier de torsion de ~ ; utiliser alors le fait que si hi= pes t premier, le sous-syst6me ~ ' de ~ engendr6 par % et les ~j, j 4: i, n'est pas simplement connexe et poss6de de la p-torsion par la proposition 6.

300 M. Demazure

8. lnterpr6tation g6om6trique Soient k un corps alg6briquement clos, G un k-groupe r6ductif, T

un tore maximal de G, M le groupe des caract6res de T, ~ =(M, R, p) le syst6me de racines pr6cis6 correspondant. Notons A(G/T) l 'anneau de Chow de la vari6t6 G/T; ~ chaque caract6re m de T, associons un fibr6 en droites sur G/T, d'od un homomorphisme de groupes c~: M---* A 1 (G/T) qui se prolonge en un homomorphisme d'anneaux gradu6s

c~: S (M) ~ A (G/T).

Choisissons un groupe de Borel B de G contenant T; alors A(G/T) s'identifie naturellement /t A(G/B), et pour we W, soit zw l'616ment de A(G/B) classe de l'adh6rence de la cellule de Bruhat B w o wB/B; alors les z w forment une base de A (G/B) (Chevalley) et nous montrerons dans [4] que l 'on a

c~ (u) = ~, e Dw (u) z w. well~

D'apr6s le cor. 4 h la prop. 3, cela signifie que A (G/B)= A (G/T) s'identifie l 'anneau H de faqon que c~ devienne l 'homomorphisme caract6ristique

d6fini alg6briquement ci-dessus. L'indice de torsion t~ coincide donc avec celui d6fini par Grothendieck dans [5]. La formule (14) est un th6or6me de Chevalley, la formule (11) signifie que la caract6ristique d'Euler de G/B est IWI . . . . . Notons aussi que la prop. 7 r6pond au souhait formul6 par Grothendieck dans [5], p. 29, remarque.

La situation est analogue lorsqu'on prend un groupe de Lie compact G et un tore maximal T de G, qu'on note M le dual de Pontrjagin de T et qu'on consid6re l 'homomorphisme caract6ristique c~: S ( M ) ~ H (G/T, Z) (qui double les degr6s). Cela montre que les nombres premiers de torsion d6finis ici coincident avec ceux qui sont d6finis par les topo- logues ([1]).

9. L'analogue <~ exponentiel ~

Les constructions faites ci-dessus poss6dent un analogue dans le cas des <<invariants exponentiels>~: on remplace S(M) par l'alg6bre Z [54-] du groupe M et les op6rateurs A, par les op6rateurs A~ d6finis par

A~ (u) = u - s, (u) e ~ - 1

On d6finit alors des op6rateurs Lw, w e W , un anneau K, un homomor- phisme caract6ristique c: Z [ M ] ~ K . . . . . Dans l 'interpr6tation g6o- m6trique, Z [M-J est ranneau des repr6sentations de T, K l 'anneau des classes de faisceaux sur G/T, et c l 'homomorphisme caract6ristique en

Invariants sym6triques entiers des groupes de Weyl et torsion 301

K - t h 6 o r i e . N o u s d o n n e r o n s p l u s de d6ta i l s d a n s [4] , ot~ n o u s m o n t r e r o n s aus s i c o m m e n t les o p 6 r a t e u r s Lw p e r m e t t e n t d '6cr i re u n e f o r m u l e de

p o s t u l a t i o n ( ~ f o r m u l e de s caract+res)~) p o u r les a d h 6 r e n c e s de s ce l lu les

de B r u h a t .

Bibliographie 1. Borel, A.: Sous groupes commutatifs et torsion des groupes de Lie compacts connexes.

Tohoku Math. J. (2), 13, 216-240 (1961) 2. Bourbaki, N.: Groupes et alg~bres de Lie, chapitres 4, 5 et 6. Paris: Hermann 1968 3. Demazure, M.: Donn6es radicielles, expos6 XXI in Sch6mas en Groupes III. Lecture

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6. Steinberg, R.: Differential 6quations invariant under finite reflection groups. Trans A,M.S. 112, 392-400 (1964)

M. Demazure Batiment 425 F-91405 Campus d'Orsay, France

(Requ le 25 avril 1973)