~ 9

INVOLUTIONS' CUBIQUES DANS LE PLAN CONPLEXE;

par M Jan de Veies, ~.Kampen

Adunanga ~ x2 lugho" z89~.

L'6quat[on,

,. _ _ , _ , b3 ) ,

ot~ ~ d6s~gne une variable complexe, repr&ente le syst+me des ternes de points que 1'o** obuent en donnanr .'1 ). toute valeur r

Je dis que ces temes forment une involunorf cubNue complexe. Les mvoluuons quadranques et les mvoluuons cubiques h deux

points triples dans le plan complexe ont 6t~ tralt&s par M B e l t r a m i dans son remarquable m~mozre (, Rwer, he sulla geomelrta delle forme

bmarte ~ (Memorle della R Accademla delle Sclenze dell'Isututo dl Bologna, tomo IX, x87o )

Quant aux mvoluuons cub,ques sur support umcursal, elles ont &+ &ud18es par MM. E m i l e W e y l (*) et Le P a l g e (**)

Dans ce qut smt le vazs d+montrer comment les propn&& con-

(*) Grund~uga emer Theorte der r Involuttan (Abhandtungen der Bohmx- schen Gesellschaft der Wlssenschat'ten, i874 )

(**) Essats de gdometrte sup&teure de trotszkme ordre (M6mmres de la Socl6t6 Royale des Sciences de Liege, tome X)

Rend G~rr Matem, t V, parte t~-Stlmpato 11 x ~ agosto I89t. 37

~.9 o I A ~ I~E VRII~$.

hues des mvolunons cubtques ranonnelles peuvent s'6tendre aux m~o- \

lut~ons cubtques complexes D'allleurs le veux d6cnre quelques con- structtons connexes.

I. Solt

(2) I::,(Z) --- aoz" - - na, z"-' + . "-- 0

l'~quation qui repr6sente un ensemble de n points du plan complexe L'~quatnon d6nv6e

(3) F', (Z) --" n ao~'- ' - - n ( n - - r ) a , ~ " - " + --" o

d~fimt n - I pomts que je nomme les foyers du groupe pnmmf. Cette d~nommauon sert .'t rappeler le th~or~me smvant d~cou~ert

par M. V a n d e n B e r g (Nteuw Archtef voor Wlskunde, tome XV,

p. I4o) : ~c Les pomts-racines de la d~rtv~e d 'une ~quatlon ~t n racmes dlf-

cc f~rentes sont les n - - I foyers d 'une courbe de (n - - i) ~ classe qut

~c touche Cans leurs mdieux les - ~ n ( n - I) cbt~s du n-gone corn-

cc plet d&ermm~ par l'~quanon ongmale ~ cc L'~quanon orlgmale ayant des racmes mult ,ptes, la droite lot -

gnant un point-racine me" 2t un point-racine pP*" est d,v~s~e .~ raison de c< m h p par le point de contact ~.

Les groupes de foyers d~fims par les groupes d 'une involutlon /,,

forment ~vldemment une revolution I,_, que 3'appelle l 'mvoluuon focale.

2 L'~hmmauon de ). entre l '~quauon

(4) n

d'une I, et l '~quatlon

de l 'mvolutton locale, fourmt l'~quatton des points doubles de l ' I . ,

INVOLUTIONS CUBIQUES DANS LE PLAN COMPLEXE 291

SaVOir

(6) ~- ~ = ~ - ' "i- Z - - P k , Z - q~

Par la sub~tltutton I �9 - _ p, Z ~ P on obtlent

1 1

c'est-2t-d,re �9

(c Par myers{on d 'un de ses points doubles comme centre, toute ,n-

(( volunon complexe est convertm en une revolution ~sobamque, dont tous

, les groupes ont le m~me barycentre ~.

Po',r une /,. ~ point np 1~ Z - - t l '6quauon (6) peut &re remplac~e par celle-ct.

(8) ~: - p~- ~: t"

Les n ~ I points doubles d6fints par (8) se confondent donc avec les

cenOts harmomqttes du groupe des points Pl par rapport au p61e t \

3 Supposons que l'axe des x passe par les points doubles de l 'm- voluuon c-~bNue , et que le point d'mtersectton des axes comctde ave,: le point central (le milieu des points doubles) Alors 1' involution focale

sera repr6s~.nt6e par

(9) C~- -a )2=x ( { + aT.

$1 l 'on d~slgne par Z~o le m,heu d'un couple de l 'mvoltmon, cette dquatton peut ~tre remplac~e par

(,o) Z2__ 2ZoZ + a 2 " - - o

Alors l 'mvoluuon cubNue sera mdNu~e par

o6 Z repr6sente enco~e le bary~entre d 'ua teme.

29~ I ,t~ Dr vRi i : s .

En particuher la subst, tutlon ( - - - 4 - - a fournlt

(r2) ~ . 3a~" + 3 a:~ -+- 3 a b : - - c 3 - - o

Donc. cc Les points doubles de 1 mvolutlon focale sont les centres de

cc deux triangles ~qudat&aux dont les sommets forment deux ternes de c~ l'mvolution cublque ~.

Je les appeUe mdtacentres Puxsque, pour un triple ~qmlat~ral, les foyers se. confondtnt, Jl

n 'y a que ces deux mangles ~qullat&aux. Les points doubles de l '~ d&ermm& par (t x) sont d6fims par

OD Z: ~ 3 (a' + b') ~' + :~ e 3 ~: - - 3 a* b' - - o

Supposons mamtenant que toute l'mvoltmon so,t transform& par inversion, de sorte que le quadrangle des points doubles sort converu en un paraU~logramme (*); alors c - - - o

4 M. Be l t r amx a d6montr~ que les pomts-racmes de la hes- slenne d'une forme cubique sont les points d'mtersect~on des cerctes d ' A p o l l o n t u s connus ausst sous It d&mmtnatio'a de ~entres ~sody- namiques (Ne u b e r g , Mdmotre sur le tdtraMre)

La hessxenne du terne de 12mvoluuon

04)

mdlqu~ par une valeur quelconque de G cst d~fime par

(r5) (~: - - a 2 ) : - - ( a ' + 3b')(ot--(3b'~*o + a') " - ' o ,

la variable :r &ant remplac~e par t.

(*) Vow sur ce sulet R u s s e I I, Geometry of the Quartzc (Proceedings of the London Mathematlc~tl Soclety XIX, p ~6), ou Wlskundlge O~ga~en, IV, quastlon XXII

INVOLUTIONS CUBIQUF.S Ds.NS LE PLAh COMPLEXE 29]

Chaque point tes t done centre lsodynamlqt, e pout deux t~rne~ de 1'/~ La relauon entre les centres lsodynamxques t et t' d 'un terne sera

repr6sent6e par une hquanon de la forme

0 6 ) t=t '= -~-q tt' (t q- t') + q(t" + t '~) + d, it' + c , ( / + t ) + , 4 - ' 0

Un tel syst+me sym&nque &ant d~fim par cmq couples de po,nts conespondants, se confovdra avec une m~olutlon cub,que avec laqttelle

11 a u n terne et deux couples de points en commun

Or, on peut d~dmre de (IS) deux ternes de points t, t'

En effet, l'&quanon (I}) tourmt pore Zo-- "+- a les-xaleurs t - " et t - - ~ a, ce qm s'accorde avec la coincidence de l 'un &s centres

isodynamlques du mangle ~qudat~ral st le point .V. ~ oo

En substnuant t '---+"a dans 0 5 ) on a r m e h Z o - - + a e t ~'o--" o, d'ot~ fl s'ensu.t que les points t "-- a et t --- - - a sont les centres ~so-

dynam~ques dn terne Z~-+ - 3 a = z - - o Chaque couple du terne a, ~ a, ~ forme done la hessienne d 'un

terne de lm~ohmon cublque.

De la ln,~me naam6re, on obuent le terne t ~ o, t ---- -+- b V ~ 3 de centres lsod)namtques

On a done le th6or~me

e Les centres ~sodynamlques ap?arte~ant aux ternes d'une m~o-

~c lut~on cublque se rangent en couples d 'une deuxl+me mvoluuon cu- te bique ~

A l'atde des deu,. ternes mdlqu6s ct-dessus l 'on trouve pour la nouvelle mvolunon 1 ~quat,on sutvante

(I7) ? § 3b~t --- 3to(t ~ - a ~)

Elle r~sulte de 0 4 ) sl l 'on remplace a=(b =) par b'(a ~) De l'~quauon

08) <4__ 3( a, + b = ) < = 3a=b,__ o ,

[your ( t3) ] on d~dmt alors que les deux mvoluuons ont les points dou-

ble~ en commun~ ce sont done deux mvolmtons ~onjugudes (L e P a, g e)

0.94 JAN DE V R I E S .

5 Re~enant '1 l'6quauon g~n~rale (I3) le d,s que le mlheu des

m&acentres comc~de avee le barycentre des points doubles Or, les mdta~enlres de deux mvoluuons conlugu&s sont les som-

mets d'un parall~logramme.

6 Pour ehaque terne de (r4), fl y a la relauon

L Z~, -{- Z, L + L Z.. = 3 a=.

En d&lgnant pal v Ie point de ramlficanon qm, avec un point

double, forme un terne de 1'/~, on a done

a[=+ 2vZ-~-3a=---o.

O r , en +hmmant ~. dans la derm&e ~quat~on et dans la 0 8 ) on

arrive ~. l'+quatlon smvante des points de ram~ficauon

(I9) 4b=v4+ (ga 4 + i8a=b =-3b4) ,~ ' - I2a:b 4 - - o - - V

Les points de ramlficat,on de l'mvoluuon conjugu& seront done

d+fims par

(20) 4a2'? + (964 + 18a=b=--3a4)v~-- i 2a4b'-'o--17,.

Putsque l'+quauop_ F - - ~.V' se r6dmt pour ~. - - I ~ (18) on par-

went au th~.or~nie connu que "~OlCX , Les points doubles de deux m~oluttons cub~ques conlugu&s et

, les deux quadruples de points d'e ramification qul leur co~le,pondent

cc dins ces revolutions, folment trois g'.oupes d'une mvolunon blqua-

~, dranque ~ Cette I 4 pouvant &re rept~sent& par-l'+quanon plus smaple

(2I) ~4 3a, b2= ),v=,

on trouve pour ses points doubles la relation

(22) ~ + 3 a~ b~ ~. ~" o.

INVOLUTIONS C~BI0..UES DANS LE PLAN COMPLEXE. ~9J

Ces points sont donc les sommets d 'un carrY, son centre et le

pomt 5 l'mfint Ils forment donc uu sexluple mdlaharmomqt,e, c'est-,~-dlre trois couples de points tels que chaque couple s~pare harmontquement les deux autres.

C'est donc 1' mvoluuon blquadrauclue connue, compos6e de/:rots mvoluttons quadrauques

7. Supposons maintenant que b --- a Alors les points doubles de l'I~ sont repr&ent6s par

( 2 3 ) :(4 ~ 6 a';(' ~ 3 a'~'-- o ,

d'o6

;( '=(3 -+'- "~ ll~)a'.

Les points ;('--- a: &ant sttu~s sur 1.'axe des X, on y trouve ausst

les points ~--- (3 + 2V3)a', tandls que les deux sommets restants du losange sont plac& sur l'axe des Y ~t une distance y de l'or,gme,

de sor/:e que,?=(2 V ~ - 3 ) a' re produtt des d,agonales, 4~'C=~aq, G , 6qutvalant au carr~ d'un c6t~, o~'---.}2+y'--.-4a'V-3, le losange est un quadl angle ~sodyaam~que, et Its pomts doubles forment un quadruple lqutan- harmomque

Pour les points de ram,ficatlon de l',nvohttton stbt-cOnjltgu~e, on arrive 5

(24) ~4 + 6 a ~ v' - - 3 a* "-- o

Cette 6quatton r~sultan/: de (23) st l 'on change a en a V ~ I, les points de ramtficauon sont les sommets d 'un deuxi~me losange que l 'on obttent du premter par une ro/:auon de 9 ~ autour de son centre

8 Par mverston, on peut transformer une mvolutton cubtque de sorte que l'~quauon de ses points doubles se pr6sente sous la forme.

(25) (~ + 3 q) [(;( - q) ' - - P ' ] = o

En effe b trots points quelconques son/: convertts dans les sommets

29~; JAI~ DE w~tt~S

d'un mangle ~qudat&al, si l 'on place le centre d'm,ersion d,~ns l'un des centres Jsodynamlques du terne ongmal.

En comparant l'~quatlon (25) avec l'~quauon g~n~rale (13) des points doubles, on obtxent les relauons

(25)

a' + b I - - 2q~ ,

a ~b ~ - . p ; q + q4,

2 J = 8q; -- p~.

t~tant donn6s les points d6fims par (25) , les m&acentres des deux \

mvoluttons conjugu&s seront donc repr6sent6s par

d'ofi

(27)

m 4 - - 2 q~ rtt" .3 r- p~ q + q4 - . o ,

m:--- 75.+- V ~ p3 q

Sort r le pomt de ram:ficat,on correspondant :tu point double " ' - - 3 q, dans l 'une des m~olunons, alors on trouve, ,~ l'alde de

l'6quauon (I4), la relauon 9 q : - - 6 q r - - - 3 a:, d'o6 [you (27) ]

Os) ~ = q - ' - V - p ' . 4q~

Or, je d~s que ces deux points de ramificatJon sont les cennes hat- momques du point double Z " - - - - 3 q par rapport au terne fozm6 par les autres point, doubles

En effet, les points doubles de l'mvolutxon

(29) (~ + 3q)' = x [(~ - 7 ) ' - p ' ]

se d6duisent de l'6quation

-~ q, p* "~ - - 2 q z + + �9 4 q - - o

dont (28) repr~sente la solunon Donc: . S,, pour chaque terne contenu dans un quadruple de points, on

INVOLUTIONS CUBIQUE$ lOANS LE PLAN COMPLEXE 29~

. constrmt les centres harmoniques par rapport au quatn&r,e point , ~, alors les hu~t nou~eaux points se rangeront en deux quadruples d'une

revolution, dont le quadruple orlgmal forme un groupe ~.

9. Les points doubles d'une revolution s,bl-conlugu& peuvent &re transform& dans les sommets d , d2, d 3 d 'un mangle ~quilat&eelle point d 4 sttu~ dans 1' mfim Alors le point de ramlficatxon correspon- dant ~t d 4 colnctde a~ec le centre r 4 du triangle, putsque les deux points mples de l 'mvolutlon sp&lale d&errnin& par d, d. d 3 sont les cen- tres ~sodynamtques du triangle

Le point d, &ant un des centres lsodyn.-mtques du teme d, d3d 4, le point de ramtficatton r, est le sym&rrque de d, par rapport .h d,d~. D o n e , les quatre points de ram,ficatton comc,dent avec les sommets et le centre du mangle dont les mtheux des c6t~s se trouvent dans les

sommets du mangle des points doubles Les points d, et d 4 sont des conlugu~s harm omques des points r:, r~, d,

&ant le mtlteu de ces dermers. Ausm, les points r, et r 4 forment un quadruple harmomque avec

d, et d3, putsqu'fls sont places dans les sommets d'un quadrangle ha~ momque

Chaque quadruple 6qumnharmomque pouvant &re transform~ dans un mangle ~qudat&al avec son centre, on a en g~n~ral l '~nonc~:

cc St, pout chaque trtang|e contenu dans un quadrangle tsoclynam~- ~ qt~e. on constrmt le deuxt&ne centre ~sodynamtque, alors les quatre . nouveaux points formeront les sommets d 'un second quadrangle c, tsodynam~que ~

. En apphquant cette construction au nouveau quadrangle on re-

. trouve le premxer ~ . Les hurt potnt~ sont les sommets de s,x quadrangles harmom-

c~ ques ~

IO

(30)

Sb dans l'6quatton ( I t ) , on remplace ~ par G , la relatton

2 Z3o - - 3 ( a2 + b2) ~:o + c~ = o

fourntt les trots points qut, dans les ternes auxquels tls apparttennent,

~ont sttu6s au m~heu des deux autres. Rend C~ra Matem, t V, parte x*--Stampato II I ~ agosto I89I 38

098 ja~ De v a l i ~ s

Cette ~quation &ant la d&tv6e de (I3) , on arrtve au th6or~me SUlvant :

�9 Les foyers du quadrangle d6fim par les points doubles d'une mvo- t~ luuon cubique coincident avec les mlheux des couples de points qul leur c~ sont alout6s dans 1' mvoluuon ~.

I I. Dans une mvoltmon cubtque dou& d'un point triple, ce pomt singuher remplace l'un des triangles 6qmlat&aux

Une telle involuuon peut &re repr&ent& par l'6quauon :

(3 0 (Z - - a) ~ - - b' - - X (Z - - t0 3 ,

son involution locale par

(32) &-- ay = x ( ~ - ay,

et ses points doubles par

03) ~" - - 2 a Z + (a ~ + b ~ - - a 2d) : (a - - d) = o .

De la dernl&e 6quatton d s'ensmt que le mdtacentre est le mlheu des deux points doubles.

Par mvermon de l'mvolutton d6fime par

(34) ao•3-- 3 a ,z ' + 3a, z - - a3"-- XZ 3,

on arrive .h une I3,

0 5 ) a3t*-- 3a~t 2 + 3a, t - - ao--'X

dont le point triple est mtu6 dans l'mfim Au heu d'une revolution locale, 11 se pr~sente un couple de points,

(36 ) a3 t" - - 2 a~ t + a, - -- o ,

qui forment les foyers de tousles temes, et comctdent avec les points doubles Done ,

INVOLUTIONS CUBIQUES DANS LE PLAN COMPLEXE 2,99

~ Une revolution cubtque ~t point triple situ6 dans l'mfint est for-

~c m6e des sommets des triangles dont les cbt6s sont touch& dans leurs c~ milieux par les elhpses d 'un syst~me confocal pour lequel les foyers

. se confondent avec los points doubles de l 'mvotuuon, qui, d'adleurs, cc est lsobarique )~.

I2 Les tbyers du terne

(37)

sont d&ermm6s par

(38)

rt ~ - 3c, z~ + 3 q z ~ - - q = o

Z ~ - 2c, Z + q = o .

Ils sausfont doric aux relatxons

(39) f , + f , - " 2c,, f , f~- '+(Z2Z3 + Z,Z, + Z,Z,)"

En prenant le point Z3 comme mtersectton des axes, l 'on arrive a

(4 o) f,+L'=2ro, f,f:--,,,v2.

Les foyers du terne Z, Z2o forment un couple de l'mvolutxon-qua-

V' dratlque ,~ points doubles + T ~ Z 2 , le',r tmheu comclde avec le

barycentre du terne

I3 Et,.nt donn& uu terne et le point triple t d 'une mvoluuon cubtque, on peut construtre les points doubles de la mam&e suivante:

cc Du point t comme cemre, on transforme par reversion le terne c~ donn~ Alors on construtt les foyers du terne nouveau. La transfor- cc marion reverse de ces points fourntt les points doubles de l ' m v o l u -

cc uon )). Evldemment ce sont ausst les centres harmomques de t par rap-

port au terne ongmal

r4 Les couples de centres harmomques d'un point t par rapport aux ternes d'une I 3 forment une I~, dont les points doubles correspon- dent b. t dans l 'mvolution conjugu~e.

300 JAN DE VRIES,

De cette obsetvauon l'on d~:dmt le proc~d~ smvant pour obtenir le couple de points adjomts ,~ un point donn~ C, dans une ,nvoluuon dont on connalt les ternes A, ,4, A~ et B I B,B 3.

c~'Cherchons les centres harmomqu'es d'un point quelconque P, . par rapport aux ternes donn~s ,~

cc Solent P, et P~ les points doubles de l'mvoluuon 2~ la quelle . appamennent ces deux couples de centres harmomques ,~

cc De la mSme mare&e, aloutons au point arbltralre Q, les deux cc points Q2 et Q~ ~.

c~ Alors fi nous faut construue les centres harmomques du point 6", c~ par rapport aux temes P, P, P3 et Q, Q, Q3 ~"

cc Les points doubles de l'mvolutmn dont ces deux couples font paine, seront les point~ cherch~s C, C 3 , .

l~videmment cette construcuon se lust,fie par la relanon r&iproque entre les deux revolutions conlugu&s

, Si l'on cherche les foyers des ternes A,A:A 3 et B,B, B3, ces cou- ples d~fimront une revolution dont les points doubles comc,dent avec les m&acentres de 1' mvoluuon cub~que

l~tant dorm,s les points doubles de deux ~ conlugu&s , construl- sons les centres harmomques de chacun d'eux par rapport au terne form~ par les autres

Les hint points nouveaux &ant les points de ramlficauon des deux L, on pourra les compl&er ~t l'a~de de la construction mcnuonn& cvdessu~

Kampen, 24 ]um I89I

JAN DE VRI,~S