C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, Sbrie I, p. 1015-1018, 1997

GCombtrie diff~rentielle/Differentia/ Geometry

(Analyse fonctionnelle/functiona/ Analysis)

Isomorphisme de Thorn et feuilletages presque sans holonomie

Gilbert HECTOR et Marta MACHO-STADLER

G. H. : Institut Girard-Desargues. UniversitC Claude-Bernard (Lyon I).

43, bd 11-Novembre-1918, 69622 Villeurbanne cedex, France.

E-mail : hector@geometrie.univ-lyonl.fr

M. M.-S. : Departamento de Matemiticas, Facultad de Ciencias,

Universidad de1 Pais Vasco, Apartado 644, 48080 Bilbao, Espagne.

E-mail : mtpmastm@lg.ehu.es

R&urn& G&e g la reprksentation du groupolde d’holonomie d’un feuilletage presque saris holonomie, comme graphe de groupes abeliens, on va montrer que ces feuilletages vkifient la conjecture de Baum-Connes dans une version analogue B celle utiliske par A. Connes pour les actions de 0%

Thorn isomorphism and almost without holonomy foliations

Abstract. We describe the holonorny groupoid of a foliation almost without holonomv as a graph of abelian groups. As a consequence, we obtain that the Baum-Connes conjecture holds true for these foliations in a way similar to the one described by A. Connes for R-actions.

1. Groupdides et feuilletages

Tout groupo’ide de Lie G induit sur son espace d’unids M une relation d’equivalence ouverte, qui d&nit sur M un feuilletage de Stefan. 11 est dit r&t&r lorsque ses fibres sont connexes et les sous-groupdides d’isotropie discrets ; dans ce cas, le feuilletage induit sur A4 est regulier. Un groupdide regulier r&&e un feuilletuge 3 lorsque ses orbites sont les feuilles de F. Un groupoide de Lie regulier a fibres contractiles est appele groupoi’de classijiant : cette appellation est justifiee par le fait que dans ce cas, le classifiant BG de G a le type d’homotopie de G (et done aussi de M). Le groupoide G est K-orient& si le groupe structural du fibre T(F) est reduit a A4ln’(R) (ou, de faGon equivalente, si le classifiant BG de G admet une structure Spin’).

On designera par C*(G) la C*-algebre reduite du groupaide de Lie (ou plus generalement, du groupdide localement compact) G. Les notions d’equivalence de Morita sont dtfinies pour les groupoi’des (resp. les C*-algebres) dans [2] (resp. dans [9]). Enfin, dans [9] on montre que les C*-algebres de groupoi’des equivalents sont Cquivalentes.

Note pr&ent6e par Alain CONNES.

07644442/97/0325 10 15 0 Acadkmie des ScienceslElsevier, Paris 1015

C. Hector et M. Macho-Stadler

Si G est le groupo’ide d’holonomie de (44, F), il est Morita-equivalent (voir [2]) au groupoi’de d’holonomie transverse G$ = {y E G : cr(y).p(y) E T}, oti T est une sous-variete transverse (en general non connexe). Deux feuilletages sont dits Moritu-e’quivalents si leurs groupoi’des d’holonomie respectifs le sont. Tout feuilletage est Morita-equivalents a un feuilletage a feuilles de dimension paire.

2. Suite exacte en K-thdorie topologique

On transpose a la categoric des groupoi‘des de Lie (puis de leurs C*-algebres) la construction de la suite exacte de K-theorie d’une paire (1W. U), oti U est un ouvert d’une variete M, et on obtient :

si G est un groupo’ide de Lie regulier, on considere U c M un ouvert sature (pour le feuilletage realise par G sur A4) et F = izI - U. Alors Gr: est un sous-groupo’ide ouvert plein de G, et l’inclusion naturelle de Gu dans G induit un homomorphisme injectif de C*-algebres (l’extension par zero), e : C* (Gci) --+ C*(G), dont l’image est un ideal ferme de C*(G). On appelle e un morphisme d’inclusion entre C*-algebres. Le sous-groupo’ide ferme GF = G - Gc n’est pas en general un groupoi’de de Lie, mais seulement un groupoi’de localement compact, dont l’inclusion dans G est propre. Cette inclusion induit un morphisme de restriction. I’ : C*(G) -+ C*(GF). On obtient done

la suite : 0 ---f C*(Gu) AC*(G) LC*(Gp) -+ 0. ou, en general, Ker(r,) < Im(e). On dit que

le ferme F est permis lorsque la suite ci-dessus est exacte : ces fermes permis seront obtenus a l’aide de conditions de moyennabilite (voir theoreme 6). En procedant de facon analogue au cas topologique, on montre (voir [S]) :

PROPOSITION 1. - Avec les notations ci-dessus. si F est un jet-me permis. on a la suite exucte longue :

--i K, (C*(Gc-)) ‘*K, (C*(G)) I-I K,(c*(G’,.)) -LK,,(CI*(G,,)) -T-K&*(G)) AK,(C:*(GF)).

Le morphisme de connexion a est construit par un procede en tout point semblable a celui utilise dans le cas des espaces localement compacts et P-algebres commutatives : c’est done une composition de morphismes d’inclusion et de restriction. 11 en est ainsi pour tous les morphismes de groupes qui apparaissent dans la suite exacte longue ci-dessus; ceci servira pour Ctablir les proprietes de fonctorialite au paragraphe 3.

3. L’homomorphisme de Thorn

Si G est un groupdide K-orient& qui realise un feuilletage sur M a feuilles de dimension paire, A. Connes et G. Skandalis (voir [l]) construisent l’homomorphisme de Thorn p : Ko(Co(M)) - Ko(C*(G)), qui en fait, est induit par la correspondunce fondamentule (au sens des groupo’ides, voir [8]) entre le groupdide trivial M et le groupdide d’holonomie G. .I1 possede les proprietes fonctorielles suivantes (voir [7] et [8]) :

PROPOSITION 2. - Si le groupoihre G est K-oriente et 6 feuilles de dimension puire, ulors il en est de me^me pour les groupoi’des GL~ et GF et on a les diugrammes commututifs :

Ko(Co(V) (al)*

- Ko(Co(W) K,](c,(?~l)) (To)* Ko(Co(F))

PC.’ 1 1

I-1 et P 1 1

PF

(e)- Ko(C*(G)) - Ko(C*(G)) Ko(C*(G)) 0, Ko(C*(GF)).

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lsomorphisme de Thorn et feuilletages presque saris holonomie

THI$OR~ME 1 (voir [S]). - Dans les conditions ci-dessus, si U est un ouvert saturk et F = IV - U un fermk permis, alors on a un diagramme commutatif :

K,JG,(~:)) o- Kl(c,(nl)) (PO): K,(Co(F)) 80 K\;,(C,(I:)) = K,(C,(AI)) = Ko(G(F))

I 111' (1)

I I' (2)

I P F (3)

1 /b (4)

I I' (5)

! I'r;

K,(C-(GU)) 2 K,(C'-(G)) : K,(C*(G,)) A KO(C‘(G~,)) 3 K,(C‘(G)) = K,(C‘(GFl)

De’monstration. - Tous les homomorphismes qui apparaissent ont CtC obtenus B partir de morphismes d’inclusion ou de restriction, il suffit done d’utiliser la proposition 2.

4. Feuilletages presque saris holonomie

On va appliquer les considkrations prkddentes A certains feuilletages 3 de codimension un, de classe C” (r 4 I), transversalement orient& par un champ de vecteurs Y, de norme finie, sur une variCtC riemannienne complkte IV de dimension m, tangent au bord si a(,W) # 0.

Le feuilletage (hf. 3) est presque saris holonomie (voir [3] et [4]) si l’holonomie de toute feuille non fermCe est triviale. Si 111 est compacte, on retrouve les feuilletages presque saris holonomie habituels. Le feuilletage est de type jini s’il ne possi!de qu’un nombre fini de feuilles fermkes. Cette restriction n’est que provisoire ; il s’agit plut6t d’une simplification technique (voir [6]). Dans la suite, (M, 3) sera un feuilletage presque sans holonomie de type fini.

Un graphefini de groupes d’homkomorphismes abfliens de typefini de Iw est dCfini par les donnCes suivantes :

(i) d’un graphe r = (I’O,F1,~,r) fini et orientk; (ii) pour s E I”, d’un groupe abklien de type fini G, d’hom6omorphismes de iw, saris point lixe ;

(iii) pour chaque a E I? ‘, d’un groupe abelien de type fini H, d’homkomorphismes de Iw, ayant 0 comme unique point fixe ;

(iv) pour chaque (L. E rl, de deux homomorphismes de groupes S, : H, -+ G,(,) et R, : H, --+ G,(,, , oti R,,,(f) = log o f o exp et S, (J’) = log o f o -exp, pour f E H,.

GComttriquement, le passage de H, 2 G,.(,) consiste B restreindre f B (0: oo), puis reparametrer pour obtenir un homkomorphisme de la droite, qui &idemment ne posskdera plus de point fixe. La notion d’isomorphisme de deux tels graphes se dkfinit de fagon Cvidente. I1 s’agit d’associer A (A[, 3) un graphe fini de groupes d’homkomorphismes abkliens de 1:ype fini de W.

THI~OR~ME 2 (voir [S]). - I1 existe une transversale totale T au feuilletage, qui se plonge de faGon naturelle dans A4 et qui d$init un graphe jini de groupes d’home’omorphismes abkliens de type fini de Iw, I’(3). En fait, r(3) n’est rien d’autre que le groupoide transverse de 3 relativement i2 T. I1 est appelP fe graphe du feuilletage (M, 3).

PROPOSITION 3. - Le feuilletage (Al. 3) est saris holonomie si et seulement si r(3) est re’duit 2 un unique sommet s, dont le groupe G, est le groupe d’holonomie du feuilletage.

TH~ORZME 3. - Si (MI. 31) et (&Iz: 3 2 ) sont deux feuilletages presque saris holonomie de type$ni,

ils sont Morita-e’quivalents si et seulement si leurs graphes associks sont isomorphes.

RCciproquement, on peut montrer :

THBOI&ME 4 (voir [8]). - A partir d’un graphejni de groupes d’homkomorphismes abe’liens de tqpe jini de iw, r, on peut construire un feuilletage (MO, 30) qui vkrifie :

(i) 3. est presque saris holonomie, classi$ant et ti feuilles de dimension paire ; (ii) le graphe associe’ au feuilletage (n/r,, 30), r(.;Fg), est isomorphe C? r.

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C. Hector et M. Macho-Stadler

TH~ORI?ME 5 (voir [S]). - Le feuilletage construit duns le the’orgme 4 est Morita-e’quivalent & (,21: 3). Si, de plus, (M, 3) est classifiant et F est la r&don des feuilles fertrkes, alors le groupdide

d’holonomie restreint GF coi’ncide avec le groupdide fondamental, III(F), et on en dCduit :

LEMME 1. - Si U est une composante connexe de M -- F, on a les isomorphismes de groupes

PF : K*(F) d K$h(F)) et pu : &(CO(u)) + K*(C*((&)).

THGORBME 6 (voir [8]). - Si (n/r, 3) est un feuilletage presque suns holonomie, de fype jini et classi$ant, alors l’homomorphisme de Thorn p : K* (A4) - + K,(C* ((G)) est un isomorphisme de groupes, appele’ l’isomorphisme de Thorn pour (M, 3).

Zdke de la de’monstration. - On considitre le fermk F rkunion des feuilles g holonomie non nulle. Les groupes d’holonomie correspondants sont abeliens, done moyennables; on en dCduit aiskment que F est un fermi permis. On pose U = A4 - F ; le fibrC T(3) est trivial, done les fib&s et les applications qui apparaissent dans les constructions prkckdentes sont Cvidemment K-orientkes. Compte tenu du lemme 1 et du thkortme 1, le lemme des cinq garantit alors que p est aussi un isomorphisme.

Par Cquivalence de Morita, on obtient le thCor&ne final, qui gCnCralise les rksultats de [lo] :

TH~OR~ME 7. - Si (M! 3) est un .feuilletage presque suns holonomie de type fini sur M compacte, il ve’ri$e la conjecture de Baum-Connes.

Remarque. - Dans tout ce qui prkkde, on peut remplacer les C*-algkbres rkduites par les C*-algkbres pleines Cka,(G). T ous les rksultats convenablement transposCs restent valables, les dkmonstrations sont les m&mes, simplifikes, car il n’y a plus lieu d’introduire la notion de fermC permis : en effet, la

suite 0 -+ C”,,,(Gu) 2 C&,,(G) AC* max(G1:) + 0 est toujours exacte (voir [7]).

Note remise le 24 avril 1997, acceptke aprks rkvision le 15 septembre 1997.

RCfkences bibliographiques

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