2014-2016 – S1 – Mathématiques – DEVOIR2 « partiel » corrigé page 1 sur 4

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion 2014-2016 17/12/2014

Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 2/3

CORRIGE

Exercice 1 : QCM (2 points) - cochez vos réponses ci-dessous

Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point

1) En intérêts composés, la valeur acquise est proportionnelle… :

� à la durée � au taux d’intérêts � à la valeur actuelle � à l’intérêt

2) Pour déterminer si ax²+bx+c admet un maximum ou un minimum, on… :

� regarde le signe de a � calcule ∆ � calcule –b/2a � calcule x1 et x2

3) Quelle est la droite qui contient les deux points (x, y) suivants : (1, 5) et (3, 7) ?

� D1 : y = 3x + 2 � D2 : y = 3x - 2 � D3 : y = x + 4 � D4 : y = x - 4

4) Pour ces trois paramètres statistiques, quel est le bon ordre ?

� Mo < x < M � M < x < Mo � x < Mo < M � Mo < M < x

Exercice 2 : (3 points)

Un particulier emprunte 10000 euros remboursables en 36 mensualités constantes au taux d'intérêt

annuel de 5,6%.

1) Calculer le montant de la mensualité de remboursement. 1,5 pt

Calculons d’abord le taux mensuel tM :

tA = 0,056 ; cA = 1 + tA = 1,056 ; cM = 1,0561/12

= 1,004551 ; tM = 0,004551.

mensualité : ( ) M

M0 n 36

M

t 0,004551m C 10000 301,78 €

1 1,0045511 1 t− −= ≈ ≈

−− +

2) Quel est le coût du prêt ? 1 pt

Coût du prêt : total déboursé – somme empruntée = 36×301,78 – 10000 = 864,08 €.

3) A combien se monte l’intérêt du premier mois de remboursement ? 0,5 pt

Intérêt n°1 : taux mensuel × 10000 = 45,51 €.

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Exercice 3 : (8 points)

Pour une entreprise E dont la production peut varier de 0 à 300 unités, le coût total C(x) de

fabrication de x unités est donné par la relation : C(x) = x3 – 450 x2

+ 37500 x.

1) Lorsque x unités ont été produites, le coût marginal Cm(x) désigne le coût occasionné par la

production d’un objet supplémentaire. On admettra ici que Cm(x) = C’(x), dérivée de C. Donner alors

l’expression Cm(x). 1,5 pt

Cm(x) = C’(x) = 3x2 – 900 x + 37500

2) La relation liant prix de vente unitaire p et quantité vendue x est : p(x) = – 168,75 x + 82500

(autrement dit, quand x unités sont vendues, chacune l’est au prix p(x)).

a. Donner l’expression R(x) de la recette obtenue par la vente de x unités. 1 pt

R(x) = x × p(x) = – 168,75 x2 + 82500 x

b. Montrer que le bénéfice pour la production et la vente de x unités est donné par :

B(x) = – x3 + 281,25 x2

+ 45000 x. 1 pt

B(x) = R(x) - C(x) = –168,75 x2 + 82500 x – x3

+ 450 x2 – 37500 x = – x3

+ 281,25 x2 + 45000 x.

c. Etudier les variations de ce bénéfice (étude rigoureuse du signe de sa dérivée), puis dresser son

tableau de variations sur [0, 300]. 2 pts

B’(x) = –3x2 + 562,5 x + 45000. Discriminant : 856406,25 ; racines : environ 248 et -60,5.

Le premier coefficient de B’(x) étant négatif, cette dérivée est positive ssi x est choisi entre les

racines ; d’où le tableau de variations suivant (sur [0 ; 300]) :

x 0 248 300

B’(x) positif négatif

B

3) On appelle recette marginale, Rm(x), l’augmentation de recette procurée par la vente d’un objet

supplémentaire. On admettra que Rm(x) = R’(x), où R’ est la fonction dérivée de la recette R.

a. Pour quelle valeur de x la recette marginale est-elle égale au coût marginal ?

On résoudra une équation et on arrondira le résultat à l’unité. 1,5 pt

Rm(x) = R’(x) = – 337,5 x + 82500.

Rm(x) = Cm(x) ⇔ – 337,5 x + 82500 = 3x2 – 900 x + 37500 ⇔ 3x2

– 562,5 x – 45000 = 0.

On reconnaît la dérivée du bénéfice (en fait : son opposé), c’est à dire que la recette marginale

est égale au coût marginal lorsque la dérivée du bénéfice s’annule, soit ici pour x = 248 unités.

b. En déduire que le bénéfice est maximum quand la recette marginale est égale au coût marginal.

Que vaut ce bénéfice maximum ? 1 pt

La recette marginale est égale au coût marginal lorsque la dérivée du bénéfice s’annule, soit ici

pour x = 248 unités, lorsque le bénéfice est maximal.

B(248) = – 2483 + 281,25 × 248

2 + 45000 × 248 = 13 205 008 €

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Exercice 4 : (4 points)

Chez une population d’étudiants, parmi ceux qui se logent hors du domicile parental, les dépenses

mensuelles pour l’alimentation ont été relevées.

Les résultats de l’étude sont lisibles dans le diagramme de fréquences cumulées ci-dessous :

une marge d’erreur sera tolérée à l’occasion de lectures graphiques

1) Quel pourcentage d’étudiants dépense entre 100 et 200 € ? 0,5 pt

FCC(200) – FCC(100) = 0,46 – 0 = 0,46. La réponse est 46%.

2) Quelle est la classe modale de cette série ? 0,5 pt

Classe modale : [200 ; 220[. (concentration d’étudiants la plus forte, donc augmentation la plus

rapide du nombre d’étudiants le long de l’intervalle)

3) Quel pourcentage d’étudiants dépense entre 260 et 300 € ? 0,5 pt

FCC(300) – FCC(260) = 1 – (0,76+1)/2 = 1 – 0,88 = 0,12. La réponse est 12%.

4) Donner la dépense médiane, ainsi que les deux autres quartiles. 1 pt

Voir lecture graphique en vert : M = 204 €, Q1 = 175 €, Q3 = 219 €.

5) Donner la dépense moyenne x et l’écart type σ, puis donner le pourcentage que représentent les

étudiants dont la dépense se situe entre x - σ et x + σ. 1,5 pt

Formons un tableau à partir du graphique :

dépenses xi (centres des classes) 130 180 210 260

fréquences fi (% d’étudiants) 14 32 30 24

Dépense moyenne : x = 201,2 € ; écart type : σ = 41,31 €.

Intervalle [ x - σ et x + σ] arrondi : [160 ; 242,5]. La lecture graphique en rouge montre que le

pourcentage d’étudiants dépensant entre 160 € et 242,5 € est : 83 – 14 = 69.

242,5 160

14

83 75

Q3 Q1

25

M

50

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Exercice 5 : (3 points)

Une étude démographique porte sur le nombre d’enfants scolarisés par foyer sondé.

Les résultats sont les suivants :

nombre d’enfants 0 1 2 3 4 5

nombre de foyers 35 140 118 45 30 12

1) Quelle est le caractère étudié ici ? 0,5 pt

Le caractère étudié est le nombre d’enfants par foyer.

2) Donner le mode de cette série statistique. 0,5 pt

Le mode est la valeur la plus représentée : 1 enfant.

3) Quel est le taux de foyers comportant un ou deux enfants scolarisés ? 1 pt

(140 + 118) / 380 = 258 / 380 = 0,6789 = 67,89 %.

4) Donner le nombre moyen d’enfants par foyer, x et l’écart type σ, puis dire combien de foyers ont

un nombre d’enfants situé à l’intérieur de l’intervalle [ x - σ ; x + σ]. 1 pt

Nombre moyen d’enfants par foyer : x = 1,818 ; écart type : σ = 1,193.

Intervalle [ x - σ et x + σ] arrondi : [0,63 ; 3,01]. La lecture du tableau donne le nombre de foyers

qui ont 1, 2 ou 3 enfants scolarisés : 140 + 118 + 45 = 303.

__________ FIN DU SUJET __________