Kit de survie en TS

8/8/2019 Kit de survie en TS

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Mthode importante connatre : (valable pour les fonctions et les suites)

Pour montrer queA < B, il est dans certains cas plus facile de calculerA B, puis en tudiant son signe de montrer queA B < 0. Exemple 1 : Comment montrer que six < 1 alors x82 x9

< 1 ?

Pour toutx < 1, x82 x

9 1 =+

(1 x)(2 x

9)

< 0. Car,x < 1

x > 12 x < 2 1 x > 02 x

9 0, on calcule les deux racines :x1 = b 2a et x2 = b + 2a .On applique alors la rgle : "signe dea lextrieur des racines".

x + x1 x2

ax+bx+c Signe de a Signe de (-a) Signe de a

(on suppose quex1 < x2)

1-4 Autres signes

(on ne sintresse pas ici aux cas o on utilise les variations dune fonction auxiliaire)

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Ingalits connatre :

Pour toutx, x2 0 , e x > 0 ,1 cos x 1 ,1 sin x 1. ln x < 0 pour 0< x < 1 ln x > 0 pourx > 1. Exemples dapplication :

Pour toutx, 2+ cos x > 0 , sin x

1 0 ,

e x

x2

+ 1< 0.

Dans les autres cas (aprs avoir factoris au maximum) :Pour tudier le signe dune expressionA( x) sur un intervalleI (dans le cas oA reprsente une fonction continue surI ), on rsoudlinquationA( x) 0 (on cherche ce qui annule lexpression et o mettre le(s) signe(s) +) .

Exemple 1 : Etude du signe de(3ln x) sur I = ]0;+ [.3ln x 03 ln xe3 x.On en conclut que lexpression sannule pourx = e3 et quil faut mettre le signe + pour 0< x < e3 :+

3ln x

x 0 e 3

+

Exemple 2 : Etude du signe de(e1/ x 2) sur I = ]0;+ [.e1/ x 2 0e1/ x 2

1 x ln2 x

1ln2.

On en conclut que lexpression sannule pourx =1

ln2 et quil faut mettre le signe + pour 0< x 0 .

2-3 Suites gomtriques

On passe dun terme au terme suivant en multipliant toujours par le mme nombreb appel raison de la suite.

Pour toutn : U n+ 1 = b U n ; U n = bn U 0 ; U n = bn p U pSi pour toutn,

U n+ 1U n = constante alors(U n) est une suite gomtrique de raison gale la constante.

U p + U p+ 1 + + U n = U p 1bn p+ 11

b

= 1erterme1bnbdetermes1

b

(pourb = 1)

Pour tudier le sens de variation, on calculeU n+ 1U n et on factorise.(remarque : si b < 0 la suite est ni croissante, ni dcroissante - il est donc inutile de faire le calcul) Exemple :

Soit(U n) la suite gomtrique de 1er termeU 0 = 5 et de raisonb = 2.U 4 = b4 U 0 = 245 = 80 ; U 10 = b10U 0 = 2105 = 5120Pour toutn, U n = bn U 0 = 52n .U 0 + U 1 + + U 8 = 5

12912

= 2555.(attention : le nb de termes est gal 9 pas 8 !)U n+ 1U n = 52n+ 152n = 52n (21) = 52n > 0. La suite est croissante.

2-4 Raisonnement par rcurrence

Principe gnral :Pour montrer quune proprit dpendant dun entiern est vraie pour toutn n0 :

on vrie que la proprit est vraie au rangn0. on suppose la proprit vraie au rangp (en traduisant ce que cela signie) et on montre qualors la proprit est vraie au rang p + 1.

on conclut en disant que la proprit est donc vraie pour toutn n0. Exemple :

Montrons par rcurrence que la suite(U n) dnie parU 0 = 1 etU n+ 1 = 2+ U n est positive et majore par 2 :0 U 0 2. La proprit est vraie au rang 0.On suppose la proprit vraie au rangp, cest dire que 0 U p 2.On a alors : 2 2+ U p 42

2+ U p 20 U p+ 1 2.

La proprit est alors vraie au rangp + 1.Elle est donc vraie pour toutn.



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2-5 Limites de suite

Une suite(U n) est diteconvergente sil existe unrel l tel que limn+ U n = l.La suite est ditedivergente si elle nadmet pas de limite ou si limn+ U n = Les thormes sur les oprations avec les limites de fonction restent valables pour les suites.

Pour les suites dnies parU n = f (n) : si f admet une limite en+ alors limn+

U n = lim x+

f ( x).(dans la pratique, on peut continuer utiliser n comme variable)

Exemple :

limn+

nn2 + 1 =

limn+

n

n2 1+ 1n2= lim

n+ 1

n 1+ 1n2= 0

car limn+

1n2 = 0, donc limn+

1+ 1n2 = 1 et limn+ n 1+ 1n2 = + .

Limite de bn :

si1 < b < 1 alors limn+ bn = 0 .

si b > 1 alors limn+ bn = + .

si b

< 1 alors la suite de terme gnralbn nadmet pas de limite.

Exemples :

limn+ 3 n = + car3 > 1.

limn+ 3 112

n= 3 car1 < 12 < 1, donc limn+

12

n= 0 et lim

n+ 1 12

n= 1.

Thormes de comparaison :

si pour toutn n0, U n V n et si limn+ V n = + alors limn+ U n = + . si pour toutn n0, U n W n et si limn+ W n = alors limn+ U n = . si pour toutn n0, V n U n W n et si limn+ V n = limn+ W n = l (l rel) alors limn+ U n = l.

Exemple :Pour toutn 1,

1n

cosnn

1n

et limn+

1n

= limn+

1n

= 0. Donc, limn+

cosnn

= 0.

Convergence des suites monotones :

toutes suite croissante et majore est convergente. toutes suite dcroissante et minore est convergente.

Suites adjacentes :

Deux suites(U n) et (V n) sont dites adjacentes si lune est croissante, lautre dcroissanteet si limn+

U n V n = 0.Deux suites adjacentes sont convergentes et elles admettent la mme limite. Exemple :

Soit(U n) et (V n) les suites dnies parU n = 11n

etV n = 1+ 13n.

Pour toutn, U n+ 1U n = 11

n + 1 1+1n

=1

n(n + 1) >0. (U n) est croissante.

Pour toutn, V n+ 1V n = 1+ 13n+ 1

1 13n

= 13n 1

3 1 = 23 13n

< 0. (V n) est dcroissante.

De plus, limn+

U n V n = 1n

13

n= 0 (car1 < 13 < 1). Les suites sont adjacentes.

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2-6 Suites rcurrentes : U n+ 1 = f (U n)

Si une suite(U n) dnie parU n+ 1 = f (U n) admet une limite rellel et si la fonctionf est continue sur un intervalle contenantlalors on al = f (l).( l est une solution de lquation x = f ( x) )

Exemple :

Soit(U n), la suite dnie parU 0 = 1 etU n+ 1 =U n4 + 3 .

a) Reprsenter graphiquement les premiers termes de la suite :On trace dabord la reprsentation graphique de la fonctionf dnissant la relation de rcurrence (ici on af ( x) = x4 + 3) et ladroite dquationy = x.On part deU 0 en abscisse : lordonne du point de la courbe correspondant cette abscisse nous donneU 1 [(1)sur le graphique ] .Pour dterminerU 2 = f (U 1), il nous faut rabattreU 1 sur laxe des abscisses [(2)sur le graphique ] en utilisant la droite dquation y = x .Ds lors,U 2 est lordonne du point de la courbe dabscisseU 1 [(3)sur le graphique ].Pour poursuivre la construction, on rpte le procd en rabattantU 2 sur laxe des abscisses...

(1)

(2)

(3)

y=x

U U

U

U

1 2

1

2

U 0

y=4

x +3

0

0b) Montrer par rcurrence que la suite est majore par 4 :au rang 0 :U 0 = 1 4.on suppose la proprit vraie au rangp, cest dire queU p 4. Alors

U p4 1

U p4 + 3 4U p+ 1 4.

La proprit est alors vraie au rangp + 1. Elle est donc vraie pour toutn.c) Montrer que la suite est croissante et conclure sur sa convergence :

Pour toutn, U n+ 1U n =U n4 + 3U n =

34 (4U n) 0 carU n 4. La suite est donc croissante et comme elle est majore, elleconverge.

d) Dterminer la limite de la suite :La suite converge vers un rell et la fonctionf dnie parf ( x) = x4 + 3 est continue sur

R , doncl est une solution de lquation

x = f ( x)

x =x

4+ 3

3

4 x = 3

x = 4.Lquation admettant 4 comme unique solution, on en dduit que lim

n+ U n = 4 .

3 Etude de fonction

3-1 Parit - Priodicit

f est paire siD f est symtrique par rapport 0 et sif ( x) = f ( x) pour toutx D f . La courbe dans un repre orthogonal estsymtrique par rapport laxe des ordonnes. f est impaire siD f est symtrique par rapport 0 et sif ( x) = f ( x) pour toutx D f . La courbe dans un repre orthogonalest symtrique par rapport lorigine.

une fonctionf dnie surR

est priodique de priodeT si f ( x+ T ) = f ( x) pour toutx. La courbe dans un repre orthogonalest invariante par la translation de vecteurT i .



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3-2 Axe et centre de symtrie

C f admet la droite dquationx = a comme axe de symtrie dans un repre orthogonal si pour touth tel quea hD f , f (a + h) = f (a h).

C f admet le point (a , b) comme centre de symtrie dans un repre orthogonal si pour touth tel que a hD f , f (a + h) + f (a h)2

= b.

3-3 Limites

Les quatres cas de forme indtermine sont :+

( )+

( ) ;

( )0

( ) ;

( )( )

;

0

( )( ) 0

Polynmes et fonctions rationnelles en :on met la plus grande puisssance dex en facteur en haut et en bas, puis on simplie.

Situation en + :lim

x+ ln x = + ; lim

x+ e x = +

x

e x

ln x

(>0)

Exemples :lim

x+ ln x x = 0 (le plus fort est en bas)

lim x

+

e x

x2 = + (le plus fort est en haut)

Mthode gnrale : Mettre le plus fort en facteur en haut et en bas.

Exemple :

lim x+

e x + ln x x+ 1 =

lim x+

e x

x 1+ ln xe x1+ 1 x

= + car lim x+

e x

x= + et lim

x+ ln xe x

= 0

Situation en

:

lim x e x = 0 ; lim x x e x = 0 ( > 0)

Mthode gnrale : on essaie de faire apparatre ces limites.Si cela ne suft pas, on peut essayer le changement de variableX = xSituation en 0 :lim x0 x> 0

ln x = ; lim x0 x> 0 x ln x = 0 ( > 0) ; lim x0

ln(1+ x) x

= 1 ; lim x0

e x 1 x

= 1

lim x0

sin x x

= 1 ; lim x0

cos x1 x

= 0

Mthode gnrale : on essaie de faire apparatre ces limites.

Si cela ne suft pas, on peut essayer le changement de variableX =1 x



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Dans le cas dune forme indtermine du type0

( )( ) 0

, on peut essayer dutiliser la proprit suivante :

Si f est drivable ena alors lim xa

f ( x) f (a) xa

= f (a ) .

Pour les expressions avec racine carre, on peut essayer de multiplier en haut et en bas par lexpression conjugue pour leve

forme indtermine.

3-4 Asymptotes

Si lim xa f ( x) = alors la droite verticale dquationx = a est asymptote C f .Si lim x f ( x) = b alors la droite horizontale dquationy = b est asymptote C f .Si lim x f ( x) (ax + b) = 0 alors la droite dquationy = ax + b est asymptote oblique C f .De faon gnrale, si lim x f ( x) g( x) = 0 alors les courbesC f etC g sont asymptotes.

Pour dterminer la position relative entre deux courbesC f et C g , on tudie le signe def ( x) g( x) (mthode aussi valable pourles asymptotes horizontales et obliques) :- si f ( x) g( x) 0 pour toutx dun intervalleI , alorsC f est situe au dessus deC g sur I .- si f ( x) g( x) 0 pour toutx dun intervalleI , alorsC f est situe en dessous deC g sur I .

3-5 Drivabilit - Tangente

f est drivable ena si lim xa f ( x) f (a)

xaexiste et est gale un rel.

si la limite nexiste que pourx > a , f nest drivable qu droite. si la limite nexiste que pourx < a , f nest drivable qu gauche.

Si f est drivable ena alors une quation de la tangente C f au point dabscissea est :

y = f (a) + f (a )( xa )Pour dterminer les abscisses des ventuels points deC f o la tangente est parallle une certaine droite dquationy = mx + p,il suft de rsoudre lquationf ( x) = m. (les coefcients directeurs devant tre gaux)

3-6 Continuit - Equation f ( x) = k

f est continue en un pointa dun intervalleI D f si f admet une limite ena et si lim xa = f (a ).Si f est drivable ena alors f est continue ena .

Si f est continue et strictement croissante ou strictement dcroissante sur un intervalleI et si k f ( I ) alors lquation f ( x) = k admet une unique solutionx0 dansI .

Pour dterminer une valeur approche dex0, on utilise la mthode du "balayage".Exemple : la fonctionf dnie parf ( x) = x + e x est continue et strictement croissante surI = [ 0,1] car f est drivable et

f ( x) = 1+ e x > 0 surI . De plus 2 est compris entref (0) et f (1). On peut donc en conclure que lquationf ( x) = 2 admet uneunique solutionx0 dans[0,1].Pour dterminer une valeur approche dex0 101 prs, on balaye lintervalle avec un pas de 0, 1 :

x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

f ( x) 1 1,2 1,4 1,6 1,9 2,1

On a arrt les calculs aprs 0,5 car 2 a t "franchi" parf ( x).En effet, daprs le tableau,f (0,4) < 2 < f (0,5). On peut donc en dduire que : 0,4 < x0 < 0, 5.

Conclusion : 0,4 est une valeur approche dex0 par dfaut 101 prs et 0,5 est une valeur approche dex0 par excs 101prs.



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4 Logarithme et Exponentielle

ln x nexiste que six > 0

Si a > 0 etb > 0 :ln(ab ) = lna + lnb ; ln

1a

= lna ; lnab

= lna lnb ; ln(a ) = lna ; lna =12 lna

lne = 1 ; ln1= 0 ; ln x < 0 si 0< x < 1 ; ln x > 0 six > 1

(ln x) =1 x

; (lnu) = uu

(u > 0)

lna = lnba = b ; lna < lnba < b ; lna lnba b

y = e xln y = x ; ln(e x) = x ; eln x = x (pourx > 0)

Pour toutx, e x > 0 ; e0 = 1 ; e1 = e

Pour tous relsa et b : ea

eb

= ea+ b

;1ea = e

a

;ea

eb = ea

b

(ea)

= e

a

(e x) = e x ; (eu) = u eu

ea = eba = b ; ea < eba < b ; ea eba b

Pour les quations et inquations avec logarithme, ne pas oublier de commencer par dnir les conditions dexistence (les pressions contenues dans un logarithme doivent tre strictement positives). Exemples dquations et dinquations :

ln x+ ln2= 5. Condition dexistence :x > 0.Avec cette condition :ln x+ ln2= 5ln(2 x) = 52 x = e

5

x =e5

2 . S =e5

2

ln( x+ 2) 1. Condition dexistence :x + 2 > 0 x > 2.Avec cette condition :ln( x+ 2) 1 x+ 2 e x e 2. S = ]2;e 2]

e2 x 2e x 3 = 0 X 22 X 3 = 0 avecX = e x. = 16 ; X = 1 ouX = 3.Do,e x = 1 (impossible) oue x = 3 x = ln3. S = {ln3}

e x < 5e x

e x 0)

2 x < ln5

x 1) F ( x) = 1(n 1) xn1

+ C ];0[ ou ]0;+ [

f ( x) =1 x F ( x) = 2 x+ C ]0;+ [

f ( x) = cos x F ( x) = sin x+ C R

f ( x) = sin x F ( x) = cos x+ C R

f ( x) =1

cos2 x = 1+ tan2 x F ( x) = tan x+ C

2 + k ;+

2 + k (k

Z )

f ( x) =1 x

F ( x) = ln x+ C ]0;+ [

f ( x) = e x F ( x) = e x + C R

f ( x) = x (R ; = 1) F ( x) =

x + 1

+ 1 + C ]0;+ [

Primitives : formules gnrales

forme def primitives def exemples

f ( x) = U ( x) + V ( x) F ( x) = U ( x) + V ( x) + C f ( x) = 3 x2 + 2 x+ 1

F ( x) = x3 + x2 + x+ C

f ( x) = U ( x) [U ( x)]n (nN ) F ( x) =[U ( x)]n+ 1

n + 1 + C f ( x) = 4(4 x+ 1)2

F ( x) =(4 x+ 1)3

3+ C

f ( x) =U ( x)[U ( x)]n

(nN ;n > 1;U ( x) = 0)

F ( x) = 1(n 1) [U ( x)]n1

+ C f ( x) =

3 x2( x3 + 1)2

F ( x) = 1 x3 + 1 + C

f ( x) =U ( x)

U ( x)(U ( x) > 0) F ( x) = 2 U ( x) + C

f ( x) =3

3 x+ 2F ( x) = 23 x+ 2+ C

f ( x) = U ( x) cos[U ( x)] F ( x) = sin[U ( x)] + C f ( x) = 4 xcos(2 x2 + 1)

F ( x) = sin(2 x2 + 1) + C

f ( x) = U ( x) sin[U ( x)] F ( x) = cos[U ( x)] + C f ( x) = 5sin(5 x)

F ( x) = cos(5 x) + C

f ( x) =U ( x)U ( x)

(U ( x) = 0) F ( x) = ln[U ( x)] + C (siU ( x) > 0)F ( x) = ln[U ( x)] + C (siU ( x) < 0)

f ( x) =2 x

x2 + 1F ( x) = ln( x2 + 1) + C

f ( x) = U ( x) eU ( x) F ( x) = eU ( x) + C f ( x) = 2 xe x

2

F ( x) = e x2 + C

f ( x) = U ( x) [U ( x)](

R ; = 1;U ( x) > 0)F ( x) =

[U ( x)]+ 1

+ 1 + C f ( x) = 2 x( x2 + 1)

32

F ( x) =25( x

2 + 1)52 + C



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Recherche pratique dune primitive :Pour les fonctions usuelles, on utilise directement les formules.Pour autres fonctions, il faut dabord identier la forme qui ressemble le plus la fonction. Si on a la forme exacte, on utidirectement la formule correspondante. Dans le cas contraire, on crit la forme exacte quil faudrait pour la fonctionf et onrectie en multipliant par le coefcient adquat. Exemples :1) Soitf dnie parf ( x) = cos 4 x+

6 . f est continue sur

R , elle y admet donc des primitives.On cherche utiliser la formeu cosu (dont une primitive est sinu).La forme exacte serait 4

ucos 4 x+ 6

cosu. On crit donc quef ( x) = 14

coefcient4cos 4 x+ 6

formeexacte.

Une primitive def surR est doncF dnie parF ( x) =14

coefcientsin 4 x+

6

sinu.

2) Exemple classique : primitive sur]0;+ [ de f dnie parf ( x) =ln x x

.

Il suft dcrire quef ( x) =1 x ln x. On a alors la forme exacteu u (dont une primitive est

u2

2 ).

Une primtive def sur ]0;+ [ est doncF dnie parF ( x) = (ln x)2

2 .

Dtermination dune primitive dont on connat la forme : Exemple :Soit f dnie parf ( x) = ( 4 x+ 1)e x. On demande de chercher une primitive def surR sous la forme dune fonctionF dnie parF ( x) = ( ax + b)e x. Il suft de dire que lon doit avoir, pour toutx, F ( x) = f ( x).Ce qui donne :ae x + ( ax + b)e x = ( 4 x+ 1)e x (pour toutx)ax + ( a + b) = 4 x+ 1 (pour toutx)Do, on doit avoira = 4 eta + b = 1 (par identication des deux polynmes).On obtienta = 4 etb = 3. Une primitive est doncF dnie parF ( x) = ( 4 x3)e x.

6 Intgration

Soit f une fonction continue sur un intervalleI :Pour tousa et b de I , Z

b

a f ( x) dx = [ F ( x)]ba = F (b) F (a ) o F est une primitive def sur I .

Pour touta de I , la fonctionF dnie parF ( x) = Z x

a f (t ) dt est la primitive def sur I qui sannule pourx = a .

Exemple : Z e

1

ln x x

dx =(ln x)2

2

e

1=

(lne)22

(ln1)22 =

12.

Proprits de lintgrale :Pour f et g continues sur un intervalleI et poura , b et c de I :

Z a

b f ( x) dx = Z

b

a f ( x) dx .

Z ba f ( x) dx + Z cb f ( x) dx = Z ca f ( x) dx (Relation de Chasles)Z

b

a( f + g)( x) dx = Z

b

a f ( x) dx + Z

b

ag( x) dx (linarit de lintgrale)

Pour tout relk , Z b

a(k f )( x) dx = k Z

b

a f ( x) dx (linarit de lintgrale)

Si a b et si f ( x) 0 sur[a , b] alorsZ b

a f ( x) dx 0

Si a b et si f ( x) 0 sur[a , b] alorsZ b

a f ( x) dx 0

Si a b et si f ( x) g( x) sur [a , b] alorsZ b

a f ( x) dx Z

b

ag( x) dx

Si a b et sim f ( x) M sur [a , b] alorsm(b a) Z b

a f ( x) dx M (b a ) (ingalit de la moyenne)



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Valeur moyenne dune fonction sur un intervalle

Si f est continue sur[a , b], la valeur moyenne def sur [a , b] est gale 1

b a Z b

a f ( x) dx

Intgration par parties

Pouru et v drivables sur un intervalleI contenanta et b telles que leurs drives soient continues surI :

Z b

au( x) v ( x) dx = [ u( x) v( x)]ba Z

b

au ( x) v( x) dx

En gnral, le but de la manoeuvre est de se dbarrasser du terme qui gne pour la recherche dune primitive. Sif ( x) est de laforme(polynome)e x ou (polynome) sin x ou (polynome) cos x, il est conseill de prendreu( x) = polynome.

Exemples :

1)Z

02 x

ucos x

vdx = [ 2 x

usin x

v]0 Z

02

usin x

vdx = 0[2cos x]0 = 4

2) Un cas classique :

Z e

1ln xdx = Z

e

1ln x

u

1

v

dx = [ ln x

u

x

v

]e1Z e

1

1 x

u x

v

dx = e [ x]e1 = e e + 1 = 1

Calculs daires f et g sont deux fonctions continues sur[a , b].

Si pour toutx[a , b], f ( x) g( x) alors laire de la partie du plan comprise entre les courbes def et g et les droites dquation x = a et x = b est gale Z

b

ag( x) f ( x) dx en units daire .

(intgrale de la plus grande moins la plus petite)

Si pour toutx[a , b], f ( x) 0 alors laire de la partie du plan comprise entre la courbe def , laxe des abscisses et les droitesdquationx = a et x = b est gale Z

b

a f ( x) dx en units daire .

Si pour toutx[a , b], f ( x) 0 alors laire de la partie du plan comprise entre la courbe def , laxe des abscisses et les droites

dquationx = a et x = b est gale Z b

a f ( x) dx en units daire .

Remarques :

Pour avoir laire en cm2, il faut multiplier le rsultat en units daire par la valeur en cm dune unit sur laxe des abscisses epar la valeur en cm dune unit sur laxe des ordonnes. Pour dterminer laire entre une courbe et laxe des abscisses, il faut dabord tudier le signe de la fonction sur lintervallequestion.Pour dterminer laire entre deux courbes, il faut dabord tudier leur position relative sur lintervalle en question.

7 Equations diffrentielles

Dire que f est une solution sur un intervalleI de lquation diffrentielley = a y (a = 0) signie que, pour toutx de I , f ( x) = a f ( x).

Les solutions dansR de lquation diffrentielley = ay (a = 0) sont les fonctions dnies parf ( x) = C e ax o C est un relquelconque.

Exemple :Les solutions dansR de lquation diffrentielley = 3 y sont les fonctions dnies parf ( x) = C e3 x .

Dire quef est une solution sur un intervalleI de lquation diffrentielley = ay + b (a = 0) signie que, pour toutx de I , f ( x) = a f ( x) + b.

Les solutions dansR de lquation diffrentielley = ay + b (a = 0) sont les fonctions dnies parf ( x) = C e ax

b

aoC est

un rel quelconque.



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Exemple :

Les solutions dansR de lquation diffrentielley = 2 y+ 3 sont les fonctions dnies parf ( x) = C e 2 x 32 .

Exemples classiques dquations diffrentielles se ramenant aux formes prcdentes

Exemple 1 :a) Montrer que g dnie par g ( x) = 2 x+

12 est une solution de lquation diffrentielle ( E ) : y + 2 y = 4 x+ 3.

Pour toutx, g ( x) + 2g( x) = 2+ 4 x+ 1 = 4 x+ 3. g est bien une solution de( E ).b) Montrer que dire que f est une solution de ( E ) quivaut dire que ( f g) est une solution de lquation diffrentielle( E ) : y + 2 y = 0. f solution de( E )f ( x) + 2 f ( x) = 4 x+ 3 (pour toutx)

f ( x) + 2 f ( x) = g ( x) + 2g( x) (pour toutx) carg est une solution de( E )

( f g) ( x) + 2( f g)( x) = 0 (pour toutx)( f g) est une solution de( E ).c) Rsoudre ( E ) et en dduire les solutions de ( E ).Les solutions de( E ) sont dnies parf 0( x) = Ce2 x. f solution de( E )( f g)( x) = f 0( x) (pour toutx).

Donc, les solutions de( E ) sont dnies parf ( x) = f 0( x) + g( x) = Ce2 x

+ 2 x+12.

Exemple 2 :

a) Montrer que dire que f est une solution de ( E ) : y + 2 y = y2 valeurs strictement positives quivaut dire que1 f

est une

solution de ( E ) : y = 2 y1.Commef est drivable valeurs strictement positives,1

f est aussi drivable.

1 f

solution de( E )1 f

= 21 f 1

f f 2

=2 f 1

f = 2 f f 2f + 2 f = f 2f solution de( E ).b) Rsoudre ( E ) et en dduire les solutions de ( E ).

Les solutions de( E ) sont dnies parf 0( x) = Ce 2 x +1

2.

Donc, les solutions de( E ) sont dnies parf ( x) =1

f 0( x)=

1Ce 2 x + 12

.

8 Complexes8-1 Forme algbrique - Calculs dans C

Tout complexe scrit de faon unique sous la forme algbriquez = a + ib (a et b rels) aveci2 = 1. a est la partie relle (notation :Re( z)) etb est la partie imaginaire (notation :Im ( z)).

a + ib = a + iba , b , a , b reels

a = ab = b

Le conjugu dez est z = a ib. Pour crire un quotient de complexes sous forme algbrique, on multiplie en haut et en bas par le conjugu du dnomina(sil nest pas rel). z+ z = z + z ; z z = z z ;

z z

=z

z( z = 0).

Exemples :

2+ i3+ 2i =

(2+ i)(32i)(3+ 2i)(32i)

=64i + 3i2i232 + 22 =

8i13Rsolution de lquation

1+ iz z

= 1+ 3i :Pourz = 0, on obtient : 1+ iz = (

1+ 3i) z

1 = (

1+ 2i) z

z =1

1+ 2i= 12i

12

+ 22 = 12i

5.



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Rsolution de lquation(1+ i) z = z2+ 3i :En posantz = x + iy ( x et y rels), on a :(1+ i)( x+ iy) = xiy2+ 3i( x y) + i( x+ y) = ( x2) + i( y+ 3)

x y = x2 x+ y = y+ 3

x = 1 y = 2

Do,z = 1+ 2i.Rsolution deaz2 + bz + c = 0 (a , b et c rels) : = b2

4ac

Si > 0, deux solutions relles :z1 = b 2a et z2 =

b + 2a .

Si = 0, une solution relle double :z1 = b2a

.

Si < 0, deux solutions complexes conjugues :z1 = b i2a et z2 =

b + i2a . Exemple : z 2 + z+ 1 = 0

= 3 = 3i2. Deux solutions :z1 = 1i32 et z2 =

1+ i32 .

Remarque : On factorise les polynmes dansC comme dansR .

8-2 Forme trigonomtrique - Module et arguments

Pourz = a + ib (a et b rels) :

Le module dez est :| z|= a2 + b2 = zz.

Si z = 0, tout rel tel quecos = a

| z|sin = b

| z|est un argument dez. On noteargz = + 2k (k

Z )

Pour tout, on poseei = cos + i sin.

|ei

|= 1 ; (ei) = ei ; ei(+ 2k ) = ei ; ei

ei = ei(+ ) ;

1

ei = ei ;

ei

ei = e

i( ) ; ei n = ein

Si un complexe non nul admetr comme module et comme argument alorsz = r ei(forme trigonomtrique ou forme exponentielle)Si z = r ei avecr > 0 alors| z|= r et argz = + 2k . r ei = r ei (avecr > 0 etr > 0)r = r et = + 2k .

Exemple de passage de la forme algbrique la forme trigonomtrique :

Soitz = 3+ i. | z|= (3)2 + 12 = 2. cos =32

sin =12

=6. Doz = 2e

i 6 .

Exemple de passage de la forme trigonomtrique la forme algbrique :

z = 4ei 4 = 4 cos 4 + i sin 4 = 4 22 + i22 = 22+ i22. Autres exemples classiques dutilisation de la forme trigonomtrique :

Calcul de(1i)12. Il est hors de question de faire le calcul sous forme algbrique.On dtermine dabord la forme trigonomtrique dez = 1i :

| z|= 12 + 12 = 2.cos =

12 =

22

sin = 12 =

22

= 4. Doz =

2ei4 .

Ainsi,(1i)12 = z12 = 212

ei124 = 64ei3 = 64(cos(3) + i sin(3)) = 64



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16/24

Consquences :

( AB)// (CD )arg zCD z AB

= 0+ 2k ou + 2k zCD z AB

rel ( A = B etC = D)

( AB)(CD )arg zCD z

AB=

2 + 2k ou

2 + 2k

zCD z

ABimaginaire pur ( A = B etC = D)

A, B, C alignsarg z AC z AB

= 0+ 2k ou + 2k z AC z AB

rel ( A = B et A = C )

Lensemble des pointsM dafxez tels que| z z A|= r (r > 0) est le cercle de centreA et de rayonr .Lensemble des pointsM dafxez tels que| z z A|= | z z B| ( z A = z B) est la mdiatrice du segment[ AB]. Lensemble des pointsM dafxez tels quearg ( z z A) = + 2k est la demi-droite partant deA (mais ne contenant pasA)dirige par le vecteuru tel que i ,u =

Complexes et transformations : ( M est dafxez, M est dafxez et est dafxe)

z = z+ b M est limage deM par la translation de vecteuru dont lafxe estb.

z

= ei( z

)

M est limage deM par la rotation de centre et dangle.

z = k ( z) M est limage deM par lhomothtie de centre et de rapportk .

8-4 Caractrisation dun rel et dun imaginaire pur

z est rel Im( z) = 0 z = z z = 0 ouargz = 0+ 2k ou argz = + 2k . z est imaginaire pur Re( z) = 0 z = z z = 0 ouargz =

2 + 2k ou argz =

2 + 2k .

Exemples :

Dtermination de lensembleE des pointsM dafxez tels que(2+ i) z+ 34i soit imaginaire pur.On posez = x+ iy ( x et y rels). 2iz+ 34i imaginaire pur(2+ i)( x+ iy)+ 34i imaginaire pur(2 x y+ 3)+ i( x+ 2 y4)imaginaire pur

2 x

y+ 3 = 0. E est donc la droite dquationy = 2 x+ 3.

Dtermination de lensembleE des pointsM dafxez tels quezi

z2soit rel.

SoitA dafxei et B dafxe 2.zi z2

rel z = i

ou arg zi z2

= 0+ 2k ou arg zi z2

= + 2k (avecz = 2).

Ce qui quivaut M = A ou MB, MA = 0+ 2k ou + 2k (avecM = B). E est donc la droite( AB) prive du pointB.

9 Probabilits

9-1Gnralits

Lors dune exprience alatoire :

Lunivers est lensemble des rsultats possibles.Un vnementA est une partie de lunivers.Un vnement lmentaire est un vnement ne comportant quun seul lment.Lvnement contraire de lvnementA est lvnement notA form de tous les lments de nappartenant pas A.LvnementA B (not aussi A et B) est lvnement form des lments de appartenant A et B.LvnementA B (not aussi A ouB) est lvnement form des lments de appartenant au moins lun des vnements A ou B.

Deux vnementsA et B sont dits incompatibles siA B = . Si = {e1, e2, , en}et si chaque rsultat possibleei on associe un nombrep(ei) tel que 0 p(ei) 1 et p(e1) + p(e2) ++ p(en) = 1, on dit que lon a dni une loi de probabilit sur.La probabilit dun vnement est la somme des probabilits des vnements lmentaires qui le constituent.



17/24

Pour tous vnementsA et B :

p ( ) = 0 ; p () = 10 p( A) 1 ; p A = 1 p( A) ; p( A B) = p( A) + p( B) p( A B)(si A et B sont incompatibles,p( A B) = p( A) + p( B))Dans le cas de lquiprobabilit,p( A) =

nbdelementsdeAnbdelementsde =

nbdecasfavorablesnbdecaspossibles

Exemple : Tirage au hasard dune carte dans un jeu de 32 cartes avec les vnements : p(la carte tire est un roi) =

432 =

18 p(la carte tire est un coeur) =

832 =

14

p(la carte tire est un roi et un coeur) =132 p(la carte tire est un roi ou un coeur) =

18 +

14

132 =

1132

9-2 Variable alatoire

Une variable alatoireX dnie sur un univers est une fonction qui chaque rsultat possible associe un rel. Les valeurspossibles deX sont notesxi. La probabilit queX prenne la valeurxi est notep ( X = xi) ou pi.

Dnir la loi de probabilit deX , cest donner (sous forme dun tableau) la probabilit de chacun des vnementsX = xi.

Esprance mathmatique deX : E ( X ) =

n

i= 1 p

i x

i= p

1 x

1+

+ p

n x

n

Variance deX : V ( X ) =n

i= 1 pi( xi)2 ( E ( x))

2 = p1( x1)2 + + pn( xn)2( E ( x))2

Ecart-type deX : ( X ) = V ( x) Exemple : On lance 3 fois de suite un d. Le joueur perd 3 euros sil obtient au moins un multiple de 3 et il gagne 6 euros da

le cas contraire.X est la variable alatoire gale au gain du joueur.Loi de probabilit deX : X ne peut prendre que les valeurs -3 et 6.On ap( X = 6) =

444666=

827 et p( X = 3) = 1 p( X = 6) =

1927

x -3 6

p( X = x)1927

827

E ( X ) = 31927 + 6

827 =

13 ; V ( X ) = 9

1927 + 36

827

19 =

1529 et ( X ) = 1529 = 2383

9-3 Probabilits conditionnelles

DFINITION

Etant donn deux vnementsA et B ( B = ) dun univers :

On appelle probabilit deB sachantA, le rel notp A( B) tel quep A( B) =p( A B)

p( A)

PROPRITPour tous vnements non videsA et B :

0 p A( B) 1 ; p A B = 1 p A( B)Dans le cas de lquiprobabilit,p A( B) =

nbdecasfavorablespourABnbdecasfavorablespourA p( A B) = p( A) p A( B) = p( B) p B( A)

PROPRIT

Formule des probabilits totalesSi A1, A2, , An sont des vnements non vides deux deux incompatibles et dont lunion est gale (on dit alors quilsforment une partition de lunivers) alors pour tout vnementB : p( B) = p ( A1 B) + + p ( An B) = p( A1) p A1( B) + + p( An) p An ( B)



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Reprsentation laide dun arbre pondr

B

B

B

B

A3

A2

A1

B

B

p(A1)

p(A3)

p (B)A1

p (B)A2

p (B)A2

p (B)A3

p (B)A3

p (B)A1

p(A2)= p(B)

+ p(A2 B)p(A1 B)

+ p(A3 B)

U U

U

p(A1) x p (B)A1= p(A1 B) U

somme gale 1

Rgles de construction et dutilisation des arbres pondrs :

Sur les premires branches, on inscrit lesp ( Ai).Sur les branches du typeAi B, on inscritp Ai ( B). Le produit des probabilits inscrites sur chaque branche dun chemin donne la probabilit de lintersection des vnemeplacs sur ce chemin.La somme des probabilits inscrites sur les branches issues dun mme nud est gale 1 (loi des nuds).La probabilit dun vnementE est la somme des probabilits des chemins qui aboutissent E .

Exemple : Un sac contient des jetons de trois couleurs, la moiti de blancs, le tiers de verts et le sixime de jaunes. 50% d jetons blancs, 30% des jetons verts et 40% des jetons jaunes sont ronds. Tous les autres jetons sont carrs. On tire au hasard

jeton.a) Construction de larbre :

rond

carr

B

V

J

rond

carr

rond

carr

0,4

0,6

0,7

0,3

0,5

0,5

31

1

2

61

b) Sachant que le jeton tir est blanc, quelle est la probabilit pour quil soit carr ?La lecture directe de larbre nous donne quep B(C ) = 0, 5.c) Quelle est la probabilit pour que le jeton tir soit rond?

p( R) =12 0,5+

13 0,3+

16 0,4 =

512.

d) Sachant quil est rond, quelle est la probabilit pour quil soit blanc?

p R( B) =p( B R)

p( R)=

12 0,55

12=

35.



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9-4 Indpendance en probabilitDFINITION

Deux vnementsA et B sont dits indpendants sip( A B) = p( A) p( B).Ce qui revient dire quep A( B) = p( B) ou p B( A) = p( A)

Consquence : Si lon rpten fois dans les mmes conditions la mme exprience et si ces expriencesA1, A2, , An sontindpendantes, alors la probabilit de lvnementA1

A2

An

est gale au produitp( A

1) p

( A

2) p

( A

n).

Exemple : Si on lancen fois un d, la probabilit dobtenirn fois un nombre pair est gal (0,5)n .

DFINITION

SoitX etY deux variables alatoires dnies sur le mme univers.

X et Y sont dites indpendantes si pour tous les entiersi et j possibles, les vnements( X = xi) et (Y = y j) sont indpendants,cest dire sip (( X = xi) (Y = y j)) = p( X = xi) p(Y = y j). Exemple : On lance deux ds :X dsigne la somme etY le produit des 2 nombres obtenus.

p( X = 2) =136 (un seul cas favorable : (1,1) etp(Y = 3) =

236 =

118 (deux cas favorables : (1,3) et (3,1)

Donc,p( X = 2) p(Y = 3) =136

118 =

1648

Or, p (( X = 2) (Y = 3)) = 0 (vnements incompatibles). Donc, les variables ne sont pas indpendantes.

10 Combinatoire

10-1 Tirage successif avec remise . p-listeUne urne contient 3 jetons : un rouge not R, un vert not V et un bleu not B. On tire un jeton, que lonremet dans lurne avantde tirer un deuxime jeton.Dans ce genre de tirage, on tient compte de lordre (il y a clairement un premier et un deuxime jeton) et un mme jeton peut-tir plusieurs fois.

2me tirage

1er tirage

R V B R V B R V B

R V B

Par rapport lensemble des 3 jetons{R, V, B}, un rsultat de ce tirage ((V , R) par exemple) est appel2-liste .Il y a : 33 = (nb de choix possibles pour le 1er tirage)(nb de choix possibles pour le 2me tirage)= 9 tirages possibles.De faon plus gnrale :DFINITION

Une p-liste dlments dun ensemble ni E est une liste ordonne dep lments de E.Elle est le rsultat dep tirages successifs avec remise dun lment de E.

Dans unep-liste, un lment de E peut apparatre plusieurs fois ou pas du tout.

Dans unep-liste, on tient compte de lordre :(V , R) et ( R,V ) sont deux 2-listes diffrentes.PROPRIT

Le nombre dep-listes dun ensemble E den lments est gal :n p

Exemple 1 : Si on tire 5 fois de suite et avec remise une carte dans un jeu de 32 cartes, on a 325 tirages possibles.

Exemple 2 : Un code de carte bancaire comporte 4 chiffres. Le nombre de codes possibles est gal 104 = 10000.

10-2 Tirage successif sans remise . Arrangement . Permutation

Notre urne contient toujours 3 jetons : un rouge not R, un vert not V et un bleu not B. On tire un jeton puis un deuximesansremettre le premier dans lurne.



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Dans ce genre de tirage, on tient compte de lordre (il y a clairement un premier et un deuxime jeton) et un mme jeton ne ppas tre tir plusieurs fois.

2me tirage

1er tirage

B R B R

R V B

V V

Par rapport lensemble des 3 jetons{R, V, B}, un rsultat de ce tirage ((V , R) par exemple) est appelarrangement de 2 jetons.Il y a : 32 = (nb de choix possibles pour le 1er tirage)(nb de choix possibles pour le 2me tirage)= 6 tirages possibles.De faon plus gnrale :DFINITION

Un arrangement dep lments dun ensemble ni E est unep-liste dlments de Edeux deux distincts . Il est le rsultat dep tirages successifs sans remise dun lment de E.Dans un arrangement, un lment de E ne peut apparatre au plus quune seule fois.Dans un arrangement, on tient compte de lordre :(V , R) et ( R,V ) sont deux arrangements diffrents. Dans un ensemble comportantn lments, il ne peut y avoir darrangements dep lments que sip n. (on ne peut pas faireplus den tirages successifs sans remise).

PROPRIT

Le nombre darrangements dep lments dun ensemble E comportantn lments est gal : A pn = n (n 1) (n p + 1) =

n!(n p)!

Rappel : pour tout entiern 1, n! = n (n 1) 21 et par convention, 0!= 1. Exemple 1 : Si on tire 5 fois de suite et sans remise une carte dans un jeu de 32 cartes, on a

A532 = 3231302928=32!27! tirages possibles.

Exemple 2 : Dans une course comportant 15 chevaux (on suppose quil ny a pas dex-quo), le nombre de tiercs dans lordque lon peut former est gal

A315 = 151413=

15!12!.

Remarque : Dans un ensemble E den lments, unepermutation est un arrangement den lments de E (cest dire une listeordonne den lments de E deux deux distincts). Le nombre de permutations de E est gal :n!.

10-3 Tirage simultan . CombinaisonReprenons une dernire fois notre urne avec ces 3 jetons : un rouge not R, un vert not V et un bleu not B. On tire cette-fois jetons simultanment. Il ny a plus dordre. Ce qui compte, cest de savoir que, par exemple, on a un jeton rouge et un jeton vPar rapport au tirage prcdent sans remise,(V , R) et ( R,V ) reprsente le mme rsultat. Il ne reste donc plus que 3 tirages pos-sibles : avoir un jeton rouge et un jeton vert, avoir un jeton rouge et un jeton bleu et avoir un jeton vert et un jeton bleu.Par rapport lensemble E des 3 jetons{R,V,B}, les rsultats de ce tirage simultan sont appelscombinaisons de 2 jetons. Ilscorrespondent aux parties 2 lments de E.De faon plus gnrale :DFINITION

Une combinaison dep lments dun ensemble ni E est une partie de E comportantp lments. Lordre des lments naaucune importance.Elle est le rsultat du tirage simultan dep lments de E.Dans une combinaison, un lment de E ne peut apparatre au plus quune seule fois.Dans un ensemble comportantn lments, il ne peut y avoir de combinaisons dep lments que sip n. (on ne peut pas tirersimultanment plus den lments de E).

PROPRIT

Le nombre de combinaisons dep lments dun ensemble E comportantn lments est gal :n p =

n! p!(n p)!



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Exemple 1 : Si on tire simultanment 5 cartes dans un jeu de 32 cartes, on a325 =32!

5!27!tirages possibles.

Exemple 2 : Combien de comit de 3 membres peut-on lire parmi une assemble de 20 personnes?Rponse : 203 =

20!3!17!

10-4 Proprits des combinaisons - Formule du binmePROPRIT

Pour tout entier natureln :n0 = 1 ; (n1) = n ; (nn) = 1

Pourp entier tel que 0 p n, nn p =n p

Pourp entier tel que 1 p n, n1 p1 +n1 p = n p

Consquence : p=0 p=1 p=2 p=3 p=4

1 1

3n=3 3 1

n=2 1

n=0 1

n=1

2 1

1

n=4 1 4 146

+

+

Calcul des combin aisonsde proche en proche parle triangle de Pascal

PROPRIT

Formule du binme : Pour tous complexesa et b et pour tout entiern 1,

(a + b)n = n0 a n + ( n1) an1 b +

+ n p an p b p +

+ nn

1 abn1 + ( nn) bn .

Avec la notation somme :(a + b)n =n

p= 0n p a

n p b p

Exemple : (2+ x)4 = 124 + 423 x1 + 622 x2 + 421 x3 + 1 x4 = 16+ 32 x+ 24 x2 + 4 x3 + x4.Consquence :

Le nombre total de parties dun ensemble den lments est gal 2n .En effet, ce nombre est gal la somme :nombre des parties 0 lment+ nombre des parties 1 lment+ + nombre de parties n lments= n0 + ( n1) + + ( nn) = ( 1+ 1)n = 2n

11 Lois de probabilits11-1 Loi binomiale

DFINITION

On appellepreuve de Bernoulli toute exprience alatoire ne prsentant que deux issues possibles (contraires lune de lautre)On appelleschma de Bernoulli toute rptition dpreuves de Bernoulli identiques et indpendantes. Exemples :

Lancer une pice avec pour issues contraires pile et face est unepreuve de Bernoulli. Lancer notre pice 10 fois est unschma de Bernoulli (on rpte lpreuve de Bernoulli) .

Jouer au Loto en sintressant aux vnements contraires avoir les 6 bons numros et ne pas avoir les 6 bons numrosunepreuve de Bernoulli. Par contre, si on sintresse aux quatres vnements avoirn bons numros (3 n 6), ce nest plusune preuve de Bernoulli.

http://www.xm1math.net/http://www.xm1math.net/http://www.xm1math.net/


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Remarques :

Les deux issues contraires dunepreuve de Bernoulli se note en gnralS (pour succs) etS (ouE pour chec). La proba-bilit queS soit ralis est not en gnralp (la probabilit deS est alors(1 p), qui est aussi quelquefois noteq). Pour sassurer que lon a bien affaire unschma de Bernoulli, il faut vrier que chaque exprience prise isolment nadmetque deux issues possibles (contraires lune de lautre), que le succs a toujours la mme probabilit dapparatre et quil bien indpendance entre chacune despreuves de Bernoulli successives.

DFINITION- PROPRITSEtant donn une preuve de Bernoulli o la probabilit dobtenir un succsS est p et le schma de Bernoulli consistant rptern fois de manire indpendante cette preuve.Si noteX la variable alatoire qui chaque issue possible du schma de Bernoulli associe le nombre de fois o est apparusuccsS, la loi de probabilit deX est appeleloi binomiale de paramtresn et p et est noteB (n, p).

S

S

S

S

S

S p

1p

p

p

1p

1p

preuvesn

Probabilit dobtenirk succs :p( X = k ) = nk pk (1 p)nk (k entier tel que : 0 k n)Esprance deX : E ( X ) = npVariance et cart-type deX : V ( X ) = np (1 p) ; ( X ) = np (1 p) Exemple 1 : On lance un d normal 10 fois de suite et on sintresse au nombreX de fois o lon a obtenu le chiffre 6. Cela

correspond un schma de Bernoulli consistant rpter 10 fois lpreuve de Bernoulli oS est lvnement obtenir un 6 etdont la probabilit estp = 1

6. X reprsente en fait le nombre de fois o est apparu un succs. La loi de probabilit deX est donc

une loi binomiale de paramtresn = 10 etp = 16.

La probabilit dobtenir 8 fois le chiffre 6 est donc :p( X = 8) = 10816

8 56

2

Lesprance deX (nombre moyen de fois o on obtient le chiffre 6) est :E ( X ) = 1016 =

53

11-2 Exemples de lois de probabilits continues

DFINITION

Etant donnf une fonction dnie, continue et positive sur un intervalleI telle que :

si I = [a , b] alorsb

Z a f (t ) dt = 1 et siI = [a , + [ alors lim x+ x

Z a f (t ) dt = 1On dit quune variable alatoireX suit laloi de probabilit continue de densit f sur I si pour tous relsx et y de I :

p( x X y) = y

Z x

f (t ) dt .

p( X x) = x

Z a

f (t ) dt .

p( X x) = 1 x

Z a

f (t ) dt .

(on a les mmes rsultats avec des ingalits strictes)

Remarque : la probabilitp( X x) reprsente laire sous la courbe det f (t ) pourt [a , x] .



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DFINITION

Si la densitf est dnie surI = [0,1] par f (t ) = 1, la loi de probabilit est diteloi uniforme sur [0,1].

Si la densitf est dnie surI = [0, + [ par f (t ) = et ( > 0), la loi de probabilit est diteloi exponentielle de paramtre sur [0, + [.

Remarque : On a bien1

Z 0

1dt = 1 et lim x+ x

Z 0

et dt = 1.

Exemple 1 :Une variable alatoireX suit la loi uniforme sur[0, 1].On a alors : p(0,1 X 0, 3) = Z

0,3

0,11dt = [ t ]0,30,1 = 0, 30,1 = 0,2

p( X < 0, 5) = Z 0,5

01dt = 0,5

p( X 0, 6) = 1Z 0,6

01dt = 10,6 = 0,4

p( X = 0, 4) = Z 0,4

0,4 1dt = 0 Exemple 2 :

La dure de vieX (en heures) dun composant lectronique suit la loi exponentielle de paramtre = 0,0006 sur[0, + [.

a) La probabilit quun de ces composants pris au hasard ait une dure de vie infrieure 1000 heures est donne par :

p( X < 1000) = Z 1000

00, 0006e0,0006t dt = e0,0006t

1000

0= 1e0,6.

b) La probabilit quun de ces composants pris au hasard ait une dure de vie suprieure 500 heures est donne par :

p( X > 500) = 1Z 500

00,0006e0,0006t dt = 1 e0,0006t

500

0= e0,3.

12 Statistique : adquation de donnes une loi quirpartiePROPRIT

Soit une preuve conduisant aux issuesa1, a2, ,a q .On noteN = a1 + a2 + + a q et f 1 =

a1 N

, f 2 =a2 N

, , f q =aq N

, les frquences correspondantes aux diffrentes issues.

On considre alors le nombred 2 = f 11q

2+ f 2

1q

2+ + f q

1q

2.

( f i reprsente la probabilit de lissuea i et1q

reprsente ce que serait cette mme probabilit si lexprience tait conforme aumodle de la loi uniforme)

Exprimentalement, si on rpten fois cette preuve(n 100), on obtient une srie statistique forme par lesn valeurs ded 2

obtenues.En notantD9 le neuvime dcile de cette srie, on a la proprit suivante :

Si d 2 D9, alors on dit que les donnes sont compatibles avec le modle de la loi uniforme avec un risque derreur infrie10%. Si d 2 > D9, alors on dit que les donnes ne sont pas compatibles avec le modle de la loi uniforme avec un risque derrinfrieur 10%.(Rappel : On appelle neuvime dcile dune srie statistique, le nombre not D 9 tel que 90% des valeurs de la srie statistiquesoient infrieures ou gales D 9)



24/24

Exemple :Un sac contient plusieurs milliers de pices de monnaie de 3 types : des pices de 10 centimes, des pices de 20 centimes et pices de 50 centimes. On effectue, au hasard, 400 prlvements dune pice avec remise et on obtient les rsultats suivants :

Pice 10 centimes 20 centimes 50 centimes

Effectifs 146 118 136

1) La valeur ded 2 associe cette exprience est :d 2 =

146400

13

2+

118400

13

2+

136400

13

2

0,00252) Pour savoir si on peut considrer que le sac contient autant de pices de chaque type avec un risque derreur infrieur 10on procde 1000 simulations sur ordinateur de lopration consistant au tirage avec remise de 400 pices. A chaque simulaton calcule la valeur ded 2 et on obtient la rpartition suivante :

Valeur de 400d 2 [0;0,5[ [0,5;1[ [1;1, 5[ [1,5;2[ [2;2,5[ [2,5;3[

Effectifs 539 235 122 51 41 12

Cherchons une valeur approche 0,5 prs par dfaut du neuvime dcile de la srie des 400d 2 :

539+ 235+ 122 reprsente moins de 90% de leffectif alors que 539+ 235+ 122+ 51 reprsente plus de 90% de leffectif. Leneuvime dcile est donc dans lintervalle[1, 5;2[. Une valeur approche 0,5 prs par dfaut est donc 1,5.

On en dduit quune valeur approche du neuvime dcile de la srie desd 2 estD9 =1,5400 = 0,00375.

Commed 2 D9, on peut considrer que les donnes sont compatibles avec le modle de la loi uniforme avec un risque derreuinfrieur 10% cest dire que le sac contient autant de pices de chaque type avec un risque derreur infrieur 10% .

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