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La combinaison de modeles appliquee a la validation en temps reel des appork naturels aux reservoirs hydriques L. Perreault, R. Roy, L. Mathier et B. Bobee RCsumC : Le calcul des apports naturels journaliers aux grands rkservoirs d'Hydro-Quebec est effectuC par bilan hydrique et repose sur des mesures limnimktriques. Le choix de I'emplacement et du nombre de limnimbtres obCit A des hypothbses simplificatrices qui engendrent des erreurs importantes dans le calcul des apports. De plus, pour diffkrentes raisons techniques, les apports naturels journaliers peuvent Ctre manquants. Ces problbmes affectent grandement le fonctionnement de l'ensemble du systbme de prCvision et de gestion en temps rCel des ressources hydriques d'Hydro-Quebec. On prCsente ici une procedure permettant d'estimer la valeur de l'apport nature1 journalier le plus probable (apport dit validC) pour chaque reservoir du rCseau d'Hydro-QuCbec, en tenant compte des diverses contraintes du temps rCel. L'approche utilisCe pour dCterminer l'apport valid6 est la combinaison de prtvisions issues de deux modbles de regression multiple. Cette mCthode permet d'ameliorer significativement les prCvisions obtenues ti partir de modbles classiques et constitue une amelioration considtrable par rapport a l'approche intuitive souvent utilisCe en temps rtel. Enfin, les rCsultats d'une application de la proctdure A trois sites tCmoins, les rCservoirs Baskatong, La Grande 3 et Outardes 4, se sont avtrCs satisfaisants et sont prCsentCs dans cette Ctude. Mots clis : prtvisions, temps reel, apports, combinaison de prCvisions, moyennes pondCrCes. Abstract: The daily net basin supply of the large reservoirs of Hydro-QuCbec is currently computed by the water balance equation that relies, in particular, on gauge measurements. The number of gauge and their location heavily depend on simplified hypotheses that generate many errors in the computation. Also, for various technical reasons, the daily net basin supply can be missing. These problems greatly affect Hydro-QuCbec's real-time management of water resources. In this paper, we present a procedure that allows the estimation of the daily net basin supply of Hydro-Qutbec reservoirs, taking into account the different constraints of real-time forecasting. The approach is based on combined forecasts from two multiple regression models. It appears that this methodology gives good results and constitutes a considerable improvement in comparison with classical models and intuitive procedures usually employed in real-time forecasting. An application of the procedure on the daily net basin supply of three reservoirs (Baskatong, La Grande 3, and Outardes 4) is finally presented and gives satisfactory results. Key words: forecasting, real time, net basin supply, combined forecasts, weighted averages. Re~u le 26 juillet 1994. RCvision acceptCe le 27 fCvrier 1995. L. Perreaultl et B. BobCe. Institut national de la recherche scientifique - Eau, UniversitC du Quebec, Chaire en hydrologie statistique Hydro-Quebec - Conseil de recherches en sciences naturelles et en gCnie du Canada, 2800, rue Einstein, C. P. 7500, Sainte-Foy, QC G1V 4C7, Canada. R. Roy. Hydro-QuCbec, Relations institutionnelles, 1010, rue Sainte-Catherine ouest, 6e Ctage, Montreal, QC H3C 4S7, Canada. L. Mathier. UniversitC McGill, Pavillon MacDonald de gCnie, 817, rue Sherbrooke ouest, Montreal, QC H3A 2K6, Canada. Les commentaires sur le contenu de cet article doivent Ctre envoyCs au directeur scientifique de la revue avant le 29 fCvrier 1996 (voir l'adresse au verso du plat supkrieur). 1. Auteur correspondant. Introduction et problematique La connaissance des apports naturels (A,) journalier est trbs importante pour Hydro-QuCbec afin de lui permettre d'opti- miser la gestion de ses ressources hydriques. En effet, c'est B partir du calcul en temps reel des A, quYHydro-Qutbec peut prevoir les apports naturels des jours B venir (Ap), et ainsi (i) optimiser la gestion des ressources hydriques, c'est-&dire assurer un bon remplissage des rCse~oirs et minimiser les volumes d'eau dCversCs mais non turbinCs; (ii) minimiser les risques d'inondation, ce qui est particulibrement important dans les cas de rCservoirs situCs prbs des zones urbaines; (iii), rtduire les risques de bris de barrages. A chaque site, les Ap sont obtenus B l'aide d'un modble dkterministe pluie-dCbit, developpt par Bisson et Roberge (1985), oh le bassin versant est considCrC cornrne une fonc- tion de transfert ayant cornme intrants les conditions mCtCo- Can. J. Civ. Eng. 22: 934-944 (1995). Printed in Canada / ImprimC au Canada Can. J. Civ. Eng. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by UNIV OF NORTH CAROLINA AT on 11/12/14 For personal use only.

La combinaison de modèles appliquée à la validation en temps réel des apports naturels aux réservoirs hydriques

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La combinaison de modeles appliquee a la validation en temps reel des appork naturels aux reservoirs hydriques

L. Perreault, R. Roy, L. Mathier et B. Bobee

RCsumC : Le calcul des apports naturels journaliers aux grands rkservoirs d'Hydro-Quebec est effectuC par bilan hydrique et repose sur des mesures limnimktriques. Le choix de I'emplacement et du nombre de limnimbtres obCit A des hypothbses simplificatrices qui engendrent des erreurs importantes dans le calcul des apports. De plus, pour diffkrentes raisons techniques, les apports naturels journaliers peuvent Ctre manquants. Ces problbmes affectent grandement le fonctionnement de l'ensemble du systbme de prCvision et de gestion en temps rCel des ressources hydriques d'Hydro-Quebec. On prCsente ici une procedure permettant d'estimer la valeur de l'apport nature1 journalier le plus probable (apport dit validC) pour chaque reservoir du rCseau d'Hydro-QuCbec, en tenant compte des diverses contraintes du temps rCel. L'approche utilisCe pour dCterminer l'apport valid6 est la combinaison de prtvisions issues de deux modbles de regression multiple. Cette mCthode permet d'ameliorer significativement les prCvisions obtenues ti partir de modbles classiques et constitue une amelioration considtrable par rapport a l'approche intuitive souvent utilisCe en temps rtel. Enfin, les rCsultats d'une application de la proctdure A trois sites tCmoins, les rCservoirs Baskatong, La Grande 3 et Outardes 4, se sont avtrCs satisfaisants et sont prCsentCs dans cette Ctude.

Mots clis : prtvisions, temps reel, apports, combinaison de prCvisions, moyennes pondCrCes.

Abstract: The daily net basin supply of the large reservoirs of Hydro-QuCbec is currently computed by the water balance equation that relies, in particular, on gauge measurements. The number of gauge and their location heavily depend on simplified hypotheses that generate many errors in the computation. Also, for various technical reasons, the daily net basin supply can be missing. These problems greatly affect Hydro-QuCbec's real-time management of water resources. In this paper, we present a procedure that allows the estimation of the daily net basin supply of Hydro-Qutbec reservoirs, taking into account the different constraints of real-time forecasting. The approach is based on combined forecasts from two multiple regression models. It appears that this methodology gives good results and constitutes a considerable improvement in comparison with classical models and intuitive procedures usually employed in real-time forecasting. An application of the procedure on the daily net basin supply of three reservoirs (Baskatong, La Grande 3, and Outardes 4) is finally presented and gives satisfactory results.

Key words: forecasting, real time, net basin supply, combined forecasts, weighted averages.

R e ~ u le 26 juillet 1994. RCvision acceptCe le 27 fCvrier 1995.

L. Perreaultl et B. BobCe. Institut national de la recherche scientifique - Eau, UniversitC du Quebec, Chaire en hydrologie statistique Hydro-Quebec - Conseil de recherches en sciences naturelles et en gCnie du Canada, 2800, rue Einstein, C. P. 7500, Sainte-Foy, QC G1V 4C7, Canada. R. Roy. Hydro-QuCbec, Relations institutionnelles, 1010, rue Sainte-Catherine ouest, 6e Ctage, Montreal, QC H3C 4S7, Canada. L. Mathier. UniversitC McGill, Pavillon MacDonald de gCnie, 817, rue Sherbrooke ouest, Montreal, QC H3A 2K6, Canada.

Les commentaires sur le contenu de cet article doivent Ctre envoyCs au directeur scientifique de la revue avant le 29 fCvrier 1996 (voir l'adresse au verso du plat supkrieur).

1. Auteur correspondant.

Introduction et problematique

La connaissance des apports naturels (A,) journalier est trbs importante pour Hydro-QuCbec afin de lui permettre d'opti- miser la gestion de ses ressources hydriques. En effet, c'est B partir du calcul en temps reel des A, quYHydro-Qutbec peut prevoir les apports naturels des jours B venir (Ap), et ainsi (i) optimiser la gestion des ressources hydriques, c'est-&dire assurer un bon remplissage des rCse~oi r s et minimiser les volumes d'eau dCversCs mais non turbinCs; (ii) minimiser les risques d'inondation, ce qui est particulibrement important dans les cas de rCservoirs situCs prbs des zones urbaines; (iii), rtduire les risques de bris de barrages.

A chaque site, les Ap sont obtenus B l'aide d'un modble dkterministe pluie-dCbit, developpt par Bisson et Roberge (1985), oh le bassin versant est considCrC cornrne une fonc- tion de transfert ayant cornme intrants les conditions mCtCo-

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rologiques (les prCcipitations, la variation du gel de l'eau, l'Cvaporation, l'accumulation de neige, etc.) et comme sorties les apports. Ce modkle est c o n y de f a ~ o n B tenir compte de deux rCservoirs : la partie supCrieure du sol (au-dessus de la nappe phrCatique) et la partie infkrieure du sol (sous la nappe phrkatique). L'A, issu de ce modkle est la somme des Ccou- lements de base, intermediaires (limite supCrieure de la nappe phrCatique) et de surface. Le modkle compte une sCrie de paramktres et de variables (20 au total) qui dCcrivent 1'Ctat du bassin versant et qui doivent &tre ajustks. Pour calibrer adkquatement le modkle, les valeurs sont ajustkes en minimi- sant les Ccarts entre les apports prCdits et les apports calculCs au site. La calibration de ce modkle dkterministe est donc effectuCe en comparant rtgulikrement, 2 chaque site, les valeurs A, avec les donnCes A, qui sont calculCes par bilan hydrique. Si les apports prkdits diffkrent significativement des apports naturels calcults, les paramktres et les variables associts B 1'Ctat du bassin sont modifiCs. Cette procCdure itt- rative est effectute jusqu'i ce que les A, et A, correspon- dent. Une fois le modkle calibrC, celui-ci est combine ?I des donntes climatologiques historiques pour simuler divers scC- narios d'apports naturels journaliers sur une pCriode pouvant aller jusqu'h 1 an. Les A, dtpendent donc fortement des A, calculCs puisque ces derniers interviennent directement dans le procCdC de calibration.

L'A, journalier qui alimente un rCservoir est la quantitC d'eau que ce rCservoir r e ~ o i t sur sa surface pendant 24 h. Cette valeur doit tenir compte des prCcipitations sur le rCser- voir, du ruissellement du bassin de drainage qui l'entoure, de l'kvaporation a sa surface et de la dCcharge provenant d'un rCservoir en amont. L'A, journalier ne peut &tre mesure directement au site. I1 est en rCalitC obtenu a l'aide de 1'Cqua- tion du bilan hydrique qui fait intervenir la quantitC d'eau CvacuCe (QE, debit dCversC et t u rb id au site), la quantitt d'eau provenant d'un site en amont (QA, dCbit dCversC et turbinC au site en amont) et la variation du stock d'eau au rCservoir pendant 24 h (AS) :

Les trois termes de 1'Cquation du bilan hydrique dCpen- dent fortement de mesures 1imnimCtriques de niveaux a diffkrents emplacements du rCservoir. L'utilisation de cette equation repose donc sur l'hypothkse simplificatrice d'hori- zontalitC du plan d'eau. Toutefois, le rCservoir agit plut8t comme un oscillateur mCcanique de grande envergure puisqu'il est soumis 2 diffkrentes forces (vents, prCcipita- tions, glaces, exploitations, etc.). Les valeurs A, dCduites de 1'Cquation peuvent donc &tre entachCes d'erreurs importan- tes. En effet, des variations excessives et m&me des valeurs negatives de cette quantitt sont observCes rCgulikrement. De plus, pour difftrentes raisons techniques (par exemple, une mauvaise transmission des donnCes) les A, naturels jour- naliers peuvent &tre manquants. Ces problkmes affectent grandement le fonctionnement de l'ensemble du systkme de prCvision et de gestion des ressources hydriques d'Hydro- QuCbec.

Les impacts de l'utilisation des A, calculCs et de mau- vaise qualit6 sont trks ntfastes, particulikrement en ce qui a trait B la planification des Cquipements et 2 l'exploitation des ouvrages de production. Pour les planificateurs, 1'imprCci-

sion des A, calculCs peut entrainer un devancement ou un retard de mise en service des Cquipements de production projetts. Le devancement des travaux reprCsente des cotits suppltmentaires souvent trks ClevCs, alors que le report des installations peut faire en sorte qu'Hydro-Quebec ne puisse pas assurer la fiabilitC CnergCtique 2 laquelle ses clients ont droit. Enfin, pour les exploitants des systkmes hydro- Clectriques, les erreurs de calcul des A, historiques engen- drent des erreurs souvent importantes dans les prCvisions 2 court et moyen termes des A,, ce qui conduit 2 une gestion inadCquate de ces systkmes. I1 importe donc de verifier et, Cventuellement, corriger les A,.

Une procCdure reposant sur un modkle de type filtre frB quentiel a CtC dCveloppCe a Hydro-Quebec pour corriger les A, calculCs par bilan hydrique (Charbonneau et Btrubt 1987). Cette mCthode consiste ?i filtrer d'abord les niveaux de f a ~ o n 2 Climiner les variations non dtsirables, pour ensuite utiliser ces valeurs filtrCes dans le calcul par bilan hydrique des A, (Cq. 1). Le filtre appliqut aux niveaux conserve les basses frCquences, c'est-&dire les variations observCes sur une langue pCriode, jusqu'h une frCquence de coupure prCdCterminCe. Pour ce faire, les auteurs font appel i une moyenne pondCrCe de niveaux, dont les poids sont determinks en appliquant la transformCe de Fourrier. Cette moyenne est effectuCe en temps difftrt car elle utilise les valeurs de niveaux des Kjours prCcCdant et suivant la pCriode d'intCr&t.

Cette procCdure diminue de f a ~ o n significative les fluc- tuations improbables observkes dans les sCries d'apports naturels. Ces nouvelles donnCes, notCes Af (apports filtrCs), constituent la banque d'historiques d'apports naturels d'Hydro- Quebec et sont considCrCes comme les apports journaliers les plus probables. Ce modkle posskde toutefois quelques incon- vtnients, dont le principal est qu'il nCcessite la connaissance des niveaux futurs. I1 ne peut donc &tre utilisC en temps rCel. De plus, il tend 2 sous-estimer les pointes annuelles d'apports. En effet, ces apports extr&mes proviennent gCnCralement de variations de courtes pCriodes des niveaux (1 - 3 jours), que le modkle de filtrage cherche 2 Climiner.

Ainsi, pour des besoins a trks court terme, les hydrolo- gues sont amen& a effectuer de nombreuses opCrations manuelles, donc subjectives, qui n'ont pas nkcessairement fait l'objet d'une Ctude prCalable pour corriger en temps rCel les A, calculCs qu'ils jugent erronCs. Ces corrections ris- quent de produire des erreurs qui peuvent s'accumuler et introduire un biais qui affecte, en bout de ligne, la qualit6 des A,.

Une procedure permettant d'estimer la valeur de l'A, journalier le plus probable (apport dit validC) pour chaque reservoir du rCseau dlHydro-QuCbec est prCsentCe ici. Cette mkthode prend en compte les diverses contraintes de l'esti- mation en temps rkel (non-disponibilitk de l'information future, erreur possible de mesure, etc.). Plus prCcisCment, la procCdure proposke permet de (i) valider en temps rCel l'A, calculC quotidiennement; (ii) remplacer un A, rejett par la validation, donc jug6 improbable; (iii) corriger un A, non rejetC par la validation mais jug6 peu probable selon Hydro- QuCbec (car pouvant induire de trop fortes fluctuations jour- nalikres); (iv) remplacer un A, manquant.

L'approche utiliske pour determiner l'apport validC, A,, est la combinaison de prCvisions issues de difftrents modkles

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Fig. 1. Limites des bassins versants associCs aux complexes hydro-Clectriques gCrCs par Hydro-QuCbec.

Tableau 1. PropriCtCs des donnCes hydrologiques de base utilisCes pour l'tlaboration du modble de validation et d'estimation des apports.

Variable Avantage

An Disponible en temps rCel; calculCe par bilan hydrique

A, Fluctuations journalibres de faible amplitude; hydrogramme analogue B celui de rivibres naturelles

A, Disponible en temps reel; fonction de la mCtCo et de 1'Ctat du bassin

DCsavantage R81e dans 1'Ctude

Fluctuations journalibres de grande Variable explicative amplitude

Pas disponible en temps rCel; Variable dependante; donnCe cible sous-estimation des pointes

Dtcalage possible selon la Variable explicative calibration du modble

Nota : A,, apport filtrt issu d'une procedure de filtrage frtquentiel des niveaux; A,, apport nature1 calcult par bilan hydrique; A,, apport prtdit par le modtle deterministe pluie-debit d'Hydro-Quebec.

de regression multiple. Contrairernent 2 la proctdure de fil- trois sites ttmoins (les reservoirs Baskatong, Outardes 4 et trage frtquentiel actuellement utiliste a Hydro-Qutbec, cette La Grande 3) , jug& representatifs de l'ensemble du rCseau approche est applicable en temps rtel. Elle permet donc de hydrographique par les experts d7Hydro-Quebec, sont prC- corriger l'A, calculC immkdiatement aprks la transmission sentiis. de la donnee. De plus, les estimations ainsi obtenues ne sous- estiment pas, en general, les debits de pointe, ce qui, en pCriode de crue, est trks important pour gCrer de facon opti-

Description des donnees hydrologiques

male les ressources hydriques. Le rCseau hydromttrique dlHydro-Quebec est constituk de - - Dans ce qui suit, une brkve description des donnCes 12 stations i n rivikrei naturelles mesurant des valeurs de

hydrologiques nkcessaires au d6veloppement de la procedure est donnee. Le modkle global propose pour corriger les A, journaliers est ensuite presentk. Ce rnodkle est constituk de deux composantes : une prevision spatiale issue d'un modkle qui considkre l'information regionale et une prevision ternpo- relle resultant d'un modkle qui tient compte du caractkre autoregressif des A, journaliers. Ces previsions, dont les poids respectifs dependent de l'adkquation de chacun des modkles, sont combinkes l'aide d'une rnoyenne pondCree. Enfin, les rksultats d'une application de la procedure B

debits. De plus, les donnCes A, calcultes par bilan hydrique sont disponibles pour 72 reservoirs. Hydro-Quebec compte donc 84 sites oh sont mesurCs ou calcults quotidiennement les debits et les A,. Les 72 reservoirs sont regroupks en sept grands complexes hydro-Clectriques (Outaouais, Saint- Francois, Saint-Maurice, La Grande, Bersimis, Outardes et Manicouagan). Les limites des bassins versants associes chacun de ces complexes sont illustrCes la figure 1.

La banque de donnCes utilisCe dans 1'Ctude contient, pour chaque site, les A,, les Af et les A, du rnodkle deterrniniste,

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Fig. 2. Variables utiliskes dans les modkles.

apport filtre, Af 2 .- apport en riviere naturelle, A, I - I I

400

300 ---- apport prevu par le modele, A,, h I I

- apport non filtre, A,

temps (jours)

I

tous calculCs sur une base journalikre pendant 5 ans, soit de 1984 A 1988. De plus, 10 rivikres ou bassins voisins accom- pagnCs d'une cote de pertinence et de proximitC ont CtC asso- ciCs A chacun des sites. Ces cotes sont utiliskes, lors de l'application de la procCdure de validation et d'estimation, pour sklectionner un bassin ou une rivikre dont les apports ont un comportement similaire h ceux du site d'intCr&t. Ces donnCes sont employCes comme information rCgionale com- plkmentaire.

Le tableau 1 donne les principales propriCtCs des donnCes de base utilisCes lors de l'klaboration du modkle de validation et d'estimation des apports les plus probables. La figure 2 illustre les variations typiques observCes dans les sCries de donnCes correspondantes.

Modele d'estimation et de validation des apports

L'approche traditionnelle utiliske pour faire de la prCvision consiste h choisir le modkle le plus appropriC parmi ceux qui peuvent representer le phCnomkne CtudiC. Bien que cette approche soit adCquate lorsque l'objectif principal est l'analyse fonctionnelle du phCnomkne (c'est-h-dire donner un sens physique aux paramktres), elle peut Etre moins efficace lorsque le but est d'obtenir la meilleure prCvision possible. Ceci est principalement dQ au fait que la sClection d'un seul modkle, meme reprbentatif, peut conduire h nCgliger des informations supplCmentaires pertinentes basCes sur d'autres variables ou d'autres relations fonctionnelles entre les variables.

Une des alternatives h l'approche classique est d'assem- bler l'information de diffkrents modkles en combinant leurs prCvisions. Cette approche est d'autant plus intkressante que les modkles utilisent de l'information de nature diffkrente. Plusieurs auteurs ont CtudiC ce type d'approche, citons entre autres Winkler et Makridafis (1983), Bates et Granger (1969), Cavadias et Morin (1985) et Roche et Tamin (1987).

Une combinaison des prCvisions est alors effectuCe en utili- sant des moyennes pondCrCes. Cette procCdure permet de considCrer I'adCquation relative de chaque modkle ainsi que les covariances des erreurs de prCvisions entre les diffkrents modkles.

Cette approche a CtC adoptCe pour corriger et valider les A, calculCs par bilan hydrique. Deux modkles sont combinks pour obtenir une estimation de l'apport le plus probable : un modkle spatial, qui inclut l'information rCgionale et physio- graphique, et un modkle temporel, qui tient compte du carac- tkre autorkgressif des apports journaliers. Le tableau 2 donne la dCfinition des variables et des paramktres employCs dans les diffkrents modkles dCcrits dans les sections qui suivent.

Formellement, l'apport valid6 du jour j au site 1, s'exprime de la manikre suivante :

oh ASTj et A:,j sont respectivement les prCvisions de l'apport le plus probable issues du modkle spatial et du modkle temporel, et w, et a,, leurs poids respectifs. Ces poids sont fonctions de la somme des carrCs des rCsidus des modkles de rCgression et sont tels que w, + w, = 1.

Composante spatiale

Rappelons tout d'abord que les A f , obtenus h l'aide d'une procCdure de filtrage frCquentiel des mesures de niveaux his- toriques, sont considCrCs comme les apports les plus proba- bles. La procCdure d'estimation proposCe cherche donc h reconstituer ces valeurs h l'aide de variables disponibles en temps rCel. Ainsi, pour les deux composantes, A f est employ6 comme variable dependante dans les modkles de rkgression.

L'estimation en temps riel de l'apport le plus probable du jour j au site 1 selon le modble spatial, notCe est fonc- tion des trois variables explicatives suivantes calculCes aussi le jour j:

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Tableau 2. Dtfinition des variables et des parambtres utilises dans les modbles.

Variable ou paramktre Definition

4 . 1 Apport filtr6 du jour j au site 1 (site d'inttret)

4 . 1 Apport filtrt du jour j au site 2 (site voisin)

A:,, Apport naturel calcul6 par bilan hydrique du jour j au site 1 (site d'intCr&t)

Apport prtdit du jour j au site 1 selon le modble d6terministe pluie -debit

Af, , Apport estimt du jourj au site 1 selon la composante spatiale

A:,] Apport estimt du jour j au site 1 selon la composante temporelle

At., Apport estim6 du jour j au site 1 selon le mo&le global

A:., Apport estim6 du jour j au site 2 selon le modble global

ak Paramktre du modkle temporel flk Paramktre du modble spatial US Poids affect6 i l'estimation issue du modble spatial '4 Poids affect6 21 l'estimation issue du modele

temporel

(i) A:,,, l'apport naturel calculC au site 1; (ii) A:,i, l'apport dCjh estirne par le modble global (Cq. 2)

pour un site voisin 2 choisi h partir de sa correlation avec le site d'inttrit 1 et des cotes de pertinence et de proximitC;

(iii) A;,,, l'apport prCdit au site 1 par le rnodble dCter- rniniste.

Plus prCcisCrnent,

ou Do, p , , p2 et p3 sont les estimations des pararnbtres Po, P I , P2 et P3 obtenues par la rCgression multiple (rnCthode des rnoindres carrCs) effectuke B priori sur les donnCes histo- riques B partir du rnodble theorique suivant :

E, Ctant une variable alCatoire distribuCe selon une loi nor- male de moyenne nulle et de variance a: (terrne d'erreur alkatoire).

Notons, que selon les equations 3 et 4, la valeur A:,, est une estimation de Aj4, l'apport considdrd le plus proba- ble. De plus, dans 1 equation 4, les variables A,!,j et A;,,, obtenues directernent des historiques, sont utilisCes telles quelles pour estirner les pararnbtres. Toutefois, la variable A:,, de 1'Cquation 3 (expression utilisCe en temps rkel) est rernplacCe par la variable A;, dans le modkle thCorique (Cq. 4). En effet, A:,, ne peut etre calculC h partir des histo- riques et est donc inutilisable lors de l'estirnation h priori des pararnbtres. Cette substitution est justifike puisque la variable A t j est susceptible d'avoir un cornportement sernblable h A:,, (A:,, est une estimation de A%). De cette fa~on , le para- rnbtre estirnC b2 associC B A:,, est adCquat.

La cornposante spatiale a l'avantage de contenir de l'inforrnation au site d'intCrCt, grlce h la rnesure A:,j, de

l'information rigionale, par l'entremise de A:,, et de l'infor- rnation concernant les processus hydrologiques, provenant de A;,j obtenu du rnodble dkterrniniste (apport prCdit). Toute- fois, l'estirnation issue de ce rnodble ne tient pas cornpte de la dkpendance entre les apports journaliers, laquelle est une caractkristique trbs irnportante de cette mesure. C'est pour- quoi, la prCvision spatiale a t t t cornbinCe h une prevision temporelle. La section qui suit dtcrit la prockdure de dkter- rnination de cette cornposante ternporelle.

Composante temporelle

Les apports journaliers sont autocorrClks, c'est-h-dire que l'apport du jour j est influencC par l'apport des jours prCcC- dents. Pour tenir cornpte de cette caractkristique des don- nCes, une deuxikrne prCvision est cornbinke h la cornposante spatiale prCsentee 21 la section prCcCdente. Cette seconde esti- mation de l'apport le plus probable du jour j au site 1 est fonction des variables explicatives suivantes :

(i) A,!,j, l'apport naturel calculC au site 1; (ii) At , , - , , l'apport de la veille au site 1 dlintCrCt, dCjh

estirnC par le rnodble global (Cq. 2). Plus prCcisCrnent, cette estimation en temps rCel, appelCe

cc ternporelle >> et notCe A:,, s'exprirne de la rnanibre suivante :

[5] A:,, = tio + tilA,!,, + h ~ A b , j - l

ou tio, t i1 et ti2 sont les estimations des parambtres ao, a1 et a2 obtenues par une rCgression multiple effectuke sur les donnCes historiques B partir du modble thCorique :

hj ttant un terrne d'erreur alCatoire distribut selon une loi norrnale centrCe de variance a:.

Ici aussi, l'apport naturel A:,, calculk par bilan hydrique apparait dans le modble cornme variable explicative. Cette variable est donc utilisCe dans les deux cornposantes, spatiale et temporelle, ce qui donne B la valeur d'apport transmise du site dlintCrCt un poids important dans l'estirnation finale. De plus, dans le rnodble thkorique qui perrnet d'estirner les para- rnbtres (Cq. 6), la variable At,,- , est rernplace par A:,-, pour les rnCrnes raisons donnCes h la section prCcCdente. Cette substitution est en effet justifiCe puisque At,,- est une esti- mation de A:,-,, et donc une variable au cornporternent hydrologique sernblable.

Toutefois, l'utilisation de A:,-, comrne variable explica- tive cause quelques problbrnes. Cette variable Ctant forte- rnent corrClCe avec la variable dkpendante (rnCrne variable, rnais dCcalCe de 1 jour), elle obtient un poids trbs grand lors de l'estirnation des pararnbtres ak, au dCtriment de la varia- ble A:,,. De plus, la variance expliquCe du rnodble ternporel devient trbs ClevCe par rapport B celle du rnodble spatial. Le calcul des poids w, et w, (voir section suivante) est alors grandernent affectC, et les prCvisions issues du rnodble [2] sont de rnoins bonne qualitC. En effet, (i) les prtvisions fina- les A:,,, resultant du rnodble [2], sont fortement dCcalCes par rapport aux valeurs cibles A:,,; (ii) les prCvisions sous- estirnent de beaucoup les apports maximums.

Pour rtsoudre ces problbrnes de prCvision, qui pourraient influencer grandernent la prise de dkcision lors de la gestion des ressources hydriques d'un rkservoir donnC, une estirna-

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Fig. 3. Application de la procCdure itCrative au bassin versant Baskatong.

'OOOT

- apport filtre, Af

- - iteration 1 . . iteration 2

iteration 3

-- iteration 4

journees civiles

tion recursive des paramktres a CtC considCree afin d'obtenir une meilleure prkvision temporelle A t j . Cette mCthode a pour objet de diminuer la contribution excessive de la varia- ble lissCe A:,j_, l'estimation des diffkrents paramktres. En fait, la variabilitC de cette variable (construite par lissage de type sCrie de Fourrier) est augmentCe de sorte qu'elle pos- skde un comportement un peu plus similaire (plus de fluctua- tions) i Ah,j_, , la variable utilisCe en temps rCel (Cq. 5). Les principales Ctapes de cette procCdure iterative sont les sui- vantes :

(i) estimation des paramktres du modkle spatial (Cq. 4) et determination des apports estimCs selon cette composante (Cq. 3);

(ii) estimation des paramktres du modkle temporel (Cq. 6); (iii) dktermination des apports estimCs selon la compo-

sante temporelle (Cq. 5); (iv) determination des poids w, et w, du modkle global

(Cq. 2) i partir de la mCthode dCcrite i la section suivante; (v) calcul des prCvisions AtJ issues du modkle global

(Cq. 2) ; (vi) substitution des valeurs de A:,j_, utilisCes i

1'Ctape (ii) (Cq. 6) par les apports correspondant estimCs i 1'Ctape (v);

(vii) application des Ctapes (ii) i (vi) jusqu'a stabilitC des paramktres ak et des poids w, et w,.

Cette procedure, dCcrite en dCtail dans Perreault et al. (1991) permet, d'une part, d'obtenir des estimations des paramktres plus rkalistes, et d'autre part, de corriger les problkmes de prCvisions dCcalCes et de sous-estimation des pointes. La figure 3 donne les rksultats d'une application de cet algorithme au bassin Baskatong, le site voisin utilisC dans le modkle spatial Ctant la rivikre Gatineau Rapide Ceizur. Les diffkrents paramktres des modkles ont CtC estimCs l'aide des donnCes historiques des annCes 1985 1987 selon les mCthodes prCsentCes aux sections prCcCdentes. Une fois l'estimation des paramktres complCtCe, les apports journa- liers de l'annCe 1988 ont CtC reconstituCs. Les prCvisions At, j obtenues pour quatre itCrations ainsi que les apports fil- tres (les apports cibles) sont reprCsentCs i la figure 3. Pour mieux observer 17Cvolution des prCvisions d'une itCra- tion i l'autre, une portion du graphique a CtC agrandie. Cette partie correspond i la crue printanikre observCe au bassin Baskatong en 1988.

Aprks une seule itCration, c'est-i-dire lorsque les paramk- tres du modkle temporel sont estimCs i partir de la variable At,,_,, intacte, la courbe des apports estimCs est trks decalee par rapport i celle des apports filtrb. De plus, les deux pointes sont grandement sous-estimCes. Toutefois, aprks quelques itCrations (dans ce cas, i la deuxikme), les problkmes de dCcalage et de sous-estimation sont corrigCs.

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Ainsi, la d r i e des apports filtrCs est mieux reproduite lors- que les paramktres ak et les poids w, et w, (section suivante) sont estimks B l'aide de cette prockdure itCrative.

Cet exercice a CtC rCalisk pour d'autres rkservoirs ayant des valeurs d'apports naturels calculks beaucoup plus varia- bles (plus de fluctuations). Les conclusions obtenues sont sensiblement les m&mes sauf que la procCdure nkcessite davantage d'itkrations pour atteindre la stabilitC. En moyenne, quatre itkrations sont suffisantes.

Calcul des poids w, et q

La combinaison des prCvisions issues des modkles spatial et temporel se fait par le biais d'une moyenne pondCrCe (voir Cq. 2). En effet, un poids (a, et a,) , fonction de l'adCquation des modkles respectifs, est affect6 B chacune des deux prC- visiens.

A chacun des deux modkles correspond une erreur de prC- vision, appelCe gCnCralement la variance non expliquCe de la rCgression (Draper et Smith 1966). Cette quantitC est mesu- rCe, lors de la rCgression multiple, par les sommes des carrCs des rCsidus notCes respectivement SCR, et SCR, pour les modbles spatial et temporel. En vertu des Cquations 4 et 6 , ces erreurs s'Ccrivent de la f a ~ o n suivante :

oh n dCsigne le nombre de donnkes historiques utiliskes pour effectuer les rkgressions multiples (estimation des paramk- tres B priori).

Les poids affectks B chacune des prkvisions sont dCfinis par les relations

oh X = SCR,/SCR,. Les poids varient donc en fonction de la qualitk des deux prCvisions en prenant en compte la variance expliquCe de chaque modkle. En plus de considCrer B la fois le caractkre autorCgressif des apports journaliers et l'information regionale et physiographique, cette approche protkge l'utilisateur contre une Cventuelle dkfaillance d'une des deux composantes.

Application de la methode aux sites temoins

La mCthode de validation et d'estimation des apports journa- liers calculCs par bilan hydrique a CtC appliquCe B trois sites tCmoins : les rCservoirs Baskatong, Outardes 4 et La Grande 3. Ces trois sites representent bien les diffkrents types de varia- tions et d'erreurs observes historiquement dans les sCries d'apports naturels journaliers B l'ensemble des rCservoirs

Tableau 3. Parambtres estimCs pour le bassin Baskatong.

Parambtre Crue Hors crue

Modkle spatial 80 0,000 -3,962 8, 0,687 0,487 8 2 0,286 0,719 8 3 0,157 0,099

Modkle temporel Go 11,488 0,598 GI 0,682 0,476 Q'2 0,311 0,524

Modkle global '"5 0,505 0,540 '"1 0,495 0,460

Tableau 4. Parambtres estimCs pour le bassin Outardes 4.

Parambtre Crue Hors crue

Modkle spatial

8 0 16,560 e I 0,595 P 2 0,302 P-r 0,131

Modkle temporel

Go 34,700 GI 0,481 G2 0,518

Modhle global

'"s 0,390 “4 0,610

Tableau 5. Parambtres estimCs pour le bassin La Grande 3.

Parambtre Crue Hors crue

Modkle spatial

8 0 39,900 !I 0,373

P 2 1,497

fi3 0,151

Modkle temporel

Go 49,759 GI 0,327 G2 0,636

Modkle global

'"5 0,491 '"I 0,509

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Fig. 4. Application de la procedure aux apports naturels du reservoir Baskatong : (a) cornparaison des apport filtrCs, A,, et des apports valid&, A,, h Baskatong; (b) cornparaison des apports naturels, A,, calculCs par bilan hydrique, des apports valid& au site voisin, A:, et des apports valid&, A,, B Baskatong.

site considere : BASKATONG

periode reconstituee : 1988 periode utilisee pour I'estirnotion des porornetres : 1985- 1986- 1987

journees civiles

du rtseau hydrographique d'Hydro-Quebec. Au rtservoir Baskatong, les apports naturels sont gCnCralement assez bien calculCs et ne prtsentent que quelques fluctuations improba- bles. Au site Outardes 4, les series d'apports journaliers admettent plus de variations et, assez rtgulikrement, quel- ques donntes negatives. Enfin, les apports calcults du rCser- voir La Grande 3 sont excessivement instables et prCsentent de nombreuses donnCes negatives.

Une prernikre correction des apports calculCs par bilan hydrique a Ctt effectuCe avant d'estimer les diffkrents para- mktres pour les trois sites. Cette correction ne modifie que les donntes tout 5 fait irnprobables et identifiables visuelle- rnent, qui peuvent fausser l'estimation des paramktres (apports ntgatifs, apports induisant des fluctuations tnor- mes, apports manquants). Les apports aberrants ou man-

quants sont rernplacCs par la moyenne des apports des deux jours prCcCdents. Une technique similaire, baste sur les rtsi- dus d'un modkle autoregressif, est d'ailleurs utiliste par Charbonneau et BtrubC (1987) pour tliminer les donnCes aberrantes avant l'application de la mCthode de filtrage de Fourrier.

Les paramktres ainsi que les poids w, et w, ont CtC calcu- Its, suite 5 cette prernikre correction des apports aberrants, indkpendamment pour les prtvisions de crue et hors crue, B partir des donntes historiques des anntes 1985 5 1987. Cette division en deux saisons s'est avt r te nCcessaire afin de tenir compte de la variabilitt saisonnikre des caracttristiques hydromCtCorologiques. Les deux pCriodes de 1'annCe ont CtC dtfinies B l'aide d'un dtbit seuil et de la date moyenne du dtbut et de la fin de la crue (Perreault et al. 1991). L'annCe

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Fig. 5. Application de la proctdure aux apports naturels du rCsewoir Outardes 4 : (a) comparaison des apport filtrCs, A,, et des apports valid&, A,, B Outardes 4; (b) comparaison des apports naturels, A,, calcults par bilan hydrique, des apports valid& au site voisin, A:, et des apports valid&, A,, B Outardes 4.

site considere : OUTARDES 4

pkriode reconstituke : 1988 periode utilisee pour I'estimation des paromgtres : 1985- 1986-1 987

journees civiles

1988, pour laquelle des donntes historiques sont aussi dispo- nibles, a ensuite t t t reconstitute afin d'etudier la qualitt des reconstitutions. Les sites voisins utilists dans le modkle spatial sont les rivikres Gatineau, Outardes et Kanaaupscow respectivement pour les rtservoirs Baskatong, Outardes 4 et La Grande 3. Les rCsultats obtenus sont prtsentts dans ce qui suit.

Les tableaux 3, 4 et 5 donnent respectivement, pour les trois rtservoirs, les estimations des paramktres des modkles spatial, temporel et global pour les deux ptriodes de l'annCe (crue et hors crue). Ces tableaux montrent, en particulier, que les paramktres estimCs diffkrent considtrablement pour les deux saisons. Ceci justifie donc une estimation indtpen- dante pour les deux ptriodes de l'annte (crue et hors crue).

La reconstitution de l'annee 1988 obtenue pour les trois

sites est prtsentte aux figures 4, 5 et 6. Dans chacune des figures apparaissent deux graphiques permettant d'evaluer la qualitt des reconstitutions. Dans le premier, la serie des apports filtres a t t t ajoutte aux apports validts (A , , j ) afin d'apprtcier la reconstitution des valeurs cibles. Ce graphique illustre donc l'efficacitt de la mtthode. Dans le second, deux series d'apports accompagnent les apports vali- dts : les apports naturels An,j bmts calcults au site d'inttrst (sans la correction des valeurs aberrantes) et ceux du site voi- sin utilists dans le modkle spatial (pour les trois sites, ce sont des mesures en rivikre naturelle qui sont de trks bonne qualitt). Ce graphique permet, d'une part, d'examiner l'importance des corrections apportCes aux apports naturels en analysant la courbe des apports validts par rapport 2 celle des apports naturels calculCs. D'autre part, il permet aussi de

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Fig. 6. Application de la procCdure aux apports naturels du rCservoir La Grande 3 : (a) cornparaison des apport filtrCs, A,, et des apports valid&, A,, k La Grande 3; (b) cornparaison des apports naturels, A,, calculCs par bilan hydrique, des apports valid& au site voisin, A:, et des apports valides, A,, k La Grande 3.

site considere : LA GRANOE 3

periode reconstituee : 1988 periode utilisee pour I'estirnotion des porornGtres : 1985- 1986- 1987

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--- apport au site voisin, A:

site voisin : riviere Kanaaupscow

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

journees civiles

vtrifier, en comparant la courbe des apports au site voisin i celle des apports validts, si les fluctuations obtenues sont comparables i celles attendues (engendrtes par les dtbits mesurts en rivibre naturelle).

Pour quantifier les erreurs dans les apports naturels calcu- 16s An,, aux trois sites ttmoins pour l'annte 1988, l'tcart relatif moyen a t t t considtrt. I1 se dtfinit cornrne suit :

Ce critbre simple et nature1 semble approprit pour tvaluer quantitativement la qualitt des donntes. Des trois sites, le bassin Baskatong est celui dont les fluctuations observtes sur la strie des apports naturels calcults de 1988 sont les plus petites. En effet, 1'ERM calcult pour ce rtservoir est de

0,24 alors que ceux des bassins Outardes 4 et La Grande 3 sont respectivement de 0,47 et 1,14.

L'application du modele de validation diminue tout de mCme substantiellement l'tcart relatif moyen au site Baska- tong : un tcart relatif de 0,14 est obtenu en rempla~ant; dans l'tquation 9 , A,,, par l'apport issu du modble [ 2 ] , A ,.. La

J, figure 4 rend compte de la qualitt des prtvisions. Les resul- tats prtsentts i la figure 4a montrent que le modble reconsti- tue trbs bien les apports filtrts de 1988. De plus, les valeurs obtenues ne sous-estiment pas les pointes en ptriode de crue. La figure 4b illustre bien la diminution de 1'ERM. En effet, les fortes fluctuations sont corrigtes. Enfin, les fluctuations qui demeurent dans la strie des apports validts reflbtent bien la rtalitt puisqu'en gtntral, les mCmes tendances sont obser- vtes dans la strie des dtbits du site voisin mesurts en rivibre naturelle.

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Pour ce qui est du reservoir Outardes 4, I'ERM calculC sur la serie des apports validts A,,, est de 0,24, ce qui con- stitue une bonne amtlioration, compte tenu des grandes fluc- tuations engendrCes par les apports naturels calculCs ii ce site. La figure 5a montre de plus que le modele de validation reconstitue bien les valeurs cibles Af,,. Toutefois, une pointe en pCriode de crue semble sous-estimCe (jour 147). Cette sous-estimation est due a la faible valeur de l'apport calculC ce mCme jour au site voisin (voir la fig. 5b). En effet, la prC- vision du modble spatial, dans lequel intervient l'apport au site voisin, a CtC influencCe par cette faible mesure, ce qui a affect6 la prtvision finale de l'apport le plus probable du jour 147 (A", 147).

Enfin, pour le bassin La Grande 3, 1'ERM est passt de 1,14 pour la sCrie des apports naturels calculCs i?i 0,34 pour la sCrie des apports valid& par le modble [2]. Cette diminu- tion de l'erreur est trbs importante. Par contre, le modble a de la difficult6 i bien reconstituer toutes les fluctuations de la sCrie des apports filtrts observtes en saison hors crue (voir la fig. 6a). L'examen de ce premier graphique laisse croire i un mauvais comportem&t du modble. Toutefois, la figure 6b permet de constater que les apports validCs admet- tent des tendances tres similaires i celles de la sCrie des dCbits mesurts en rivikre naturelle (mesures t r b fiables) du site voisin, ce qui n'est pas le cas des apports filtrts Af,, (fig. 6a, plus de fluctuations). Les prkvisions sont donc de bonne qualid, m&me pour un bassin dont les apports naturels engendrent des fluctuations tnormes. Ainsi, pour de tels reservoirs, le modele de validation peut Ctre utile, en complC- ment au modele de sCrie de Fourrier, pour amCliorer les banques d'historiques.

Conclusion

I1 est important de connaitre avec prtcision les donnCes hydrologiques utilistes, d'une part, pour Ctablir l'inventaire des rCserves CnergCtiques actuelles et futures et d'autre part, pour planifier la production hydro-Clectrique a court et moyen termes ainsi que la construction de nouveaux Cquipe- ments de production.

Une mtthodologie simple d'application a CtC proposCe pour valider et corriger les apports journaliers en temps reel. Cette procCdure consiste i combiner des previsions de sources diffkrentes. La combinaison de modbles est une approche permettant d'amkliorer significativement les prCvi- sions obtenues i partir de modbles classiques. Cette approche a permis de reconstituer les apports filtrCs (Af,,) de f a ~ o n efficace, en temps rCel et, de maniere gCnCrale, sans attCnuer les pointes de crues. Cette mtthodologie constitue une amC- lioration considkrable par rapport a l'approche intuitive sou-

vent utilisCe en temps riel. De plus, comme l'application au bassin La Grande 3 l'a montrC, le modble de validation des apports peut Ctre utilisC pour amtliorer les banques d'histori- ques des rtservoirs dont les apports naturels fluctuent Cnor- mCment .

Cette mtthodologie peut Ctre appliqute a l'ensemble des bassins du rtseau d'Hydro-QuCbec. Une attention particu- liere doit Ctre portCe a l'ordre dans lequel les diffkrents sites sont trait&, puisque l'apport valid6 du mCme jour au site voi- sin est nCcessaire au calcul de la prCvision issue de la compo- sante spatiale. Cette contrainte ne se prCsente pas dans le cas oh les donnCes du site voisin proviennent de mesures en rivibres naturelles. Enfin, il est recommand6 d'estimer a nouveau, ptriodiquement (au moins une fois l'an), les para- mbtres du modble de validation afin de tenir compte des nou- velles donnCes d'apports.

Remerciements

Les auteurs remercient Hydro-QuCbec et le Conseil de recherches en sciences naturelles et gCnie du Canada qui ont financC ce projet de recherche. Les auteurs souhaitent aussi remercier les rCviseurs pour les commentaires et les sugges- tions qui ont contribut B amkliorer la qualit6 de ce travail.

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