La Courbe Des Taux[1]

©Pat Laba 2010, 2011 Page 1

La courbe des taux, les taux d'intérêts comptant et à terme

Patrick Laba

Dans cette première nous allons expliquer les taux zéro-coupon ou taux d'intérêt comptant et

les taux d'intérêt à terme. Nous allons aussi considérer la courbe des taux. Les investisseurs

obligataires considèrent généralement le taux actuariel d'une obligation et la courbe des taux

actuariels générale lorsqu'ils entreprennent l'analyse pour déterminer si l'obligation vaut le

coup d'être achetée; C'est une forme de la méthode d'analyse connue sous le terme

d'analyse en valeur relative ou "relative value analysis". Chaque investisseur disposera d'un

profile de ratio risque/rendement qu'il est prêt à accepter, et c'est justement le taux actuariel

de l'obligation par rapport au risque perçu par l'investisseur qui influencera sa décision de

l'acheter ou de le vendre.

La construction de la courbe des taux requiert des mathématiques assez avancées, ce qui

est en dehors de notre étude, qui se limitera seulement aux techniques de base.

LA COURBE DES TAUX

Il existe différents types de courbe des taux. Nous avons dans les études précédentes sur

les obligations considéré la principale mesure de rendement associée à la détention

d'obligations, le taux de rendement à maturité ou taux actuariel. La plupart des analyses et

activités 'évaluation qui ont lieu sur le marché obligataire tourne autour de la courbe des

taux. La courbe des taux écrit la relation entre un taux de rendement actuariel et la maturité

d'une obligation.

En traçant les taux de rendement actuariel des obligations le long de la structure périodique,

on déterminera la forme graphique de la courbe des taux. Il est important que seules les

obligations de la même classe d'émetteur ou du même degré de liquidité soient utilisées en

effectuant le tracé de la courbe des taux. Par exemple une courbe des taux sera construite

pour des obligations du trésor du Mali ou pour des obligations en FCFA des états de

l'UEMOA, mais pas un mélange des deux à la fois.

1. La Courbe des taux des rendements actuariels

La courbe des taux survenant le plus souvent est la courbe des taux de rendement

actuariel. Nous avons précédemment dans notre étude sur les obligations expliqués

son mode de calcul. La courbe elle-même est construite en traçant les taux de

rendement actuariel en fonction des périodes d'échéance pour un panier d'obligations

de la même classe. Nous l'illustrons avec trois exemples dans la figure 1, avec trois

formes de la courbe des taux, croissante, décroissante et concave.

Notons que en réalité les obligations hypothétiques que nous utilisons auront

rarement un nombre rond en terme d'années concernant la maturité; cependant il est

arbitraire de voir des taux de rendement actuariel représentés en fonction d'années

entières.


Nous avons représenté en outre sur la figure 2, trois courbes de taux hypothétiques

liées aux obligations gouvernementales de la Côte d'Ivoire, du Sénégal et du Mali.

On remarque un écart de taux de rendement actuariel entre les trois nations. Bien

que les obligations sont émises dans la même devise, en accord avec les principes

de la Banque Centrale des Etats de l'Afrique de l'Ouest (BCEAO), le taux élevé pour

les obligations du trésor Malien prouve que le marché les considère avec un plus

grand risque de crédit comparé aux obligations du trésor Ivoirien. Le risque de défaut

de l'état malien est plus élevé que l'état ivoirien, cela reflète la meilleure qualité de

l'économie ivoirienne comparée à celle du Mali ou du Sénégal.

Figure 1: courbe de taux des rendements actuariels

Figure 2: Courbe de taux des rendements actuariels (UEMOA)

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8

croissante Concave Décroissante

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Côte d'Ivoire Sénégal Mali


La principale faiblesse de la courbe de taux des rendements actuariels provient des

hypothèses à caractères ir-réelles derrière le calcul des taux de rendement actuariel. en

effet dans ce calcul on fait l'hypothèse que le taux auquel l'on réinvestit les coupons de

l'obligation demeure constant pendant la durée de vie de l'obligation. Etant donné que les

taux de marché fluctuent dans le temps, il serait quasi-impossible d'achever un tel

rendement (ce caractère est connu comme le risque de réinvestissement). Seuls les

détenteurs d'obligation Zéro-coupon, qui sont des obligations qui ne paient pas de coupon

intermédiaire pendant la durée de vie de l'obligation ne portent pas de risque de

réinvestissement. Néanmoins la courbe de taux des rendements actuariels est la plus

rencontrée sur les marchés.

2. La Courbe des taux des rendements au pair

La courbe des taux de rendement au pair est généralement peu rencontrée sur le

marché secondaire des obligations, cependant elle est d'un point de vue intéressante

pour les financiers d'entreprise et lors des nouvelles émissions sur le marché

primaire. Tout comme la précédente, elle représente les taux de rendement actuariel

en fonction de la durée à l'échéance des obligations présentes sur le marché,

s'échangeant au pair, c'est à dire la valeur nominale. Par conséquent le taux de

rendement au pair est équivalente au taux du coupon des obligations dont le prix est

égal à la valeur nominale, étant donné que le taux de rendement actuariel des

obligations évaluées exactement à la valeur nominale est égale au taux du coupon.

Les participants du marché primaire utiliseront le courbe des taux de rendement au

pair pour déterminer le coupon requis pour une nouvelle obligation émise au pair.

Par exemple considérons que les taux au pair des obligations un an, deux ans et trois

ans sont respectivement 5 pour cent, 5.25 pour cent et 5.75 pour cent. ceci implique

qu'une nouvelle obligation de maturité deux ans nécessiterait un taux de coupon de

5.25 pour cents si elle devait être émise au pair; de même pour une obligation de

maturité trois ans avec des coupons annuels et s'échangeant au pair, l'égalité

suivante serait vérifiée:

ceci démontre que le taux de rendement actuariel et le taux de coupon obligataire

sont identiques lorsque l'obligation s'échange au pair sur le marché.

La courbe des taux de rendement au pair peut être déterminée directement des taux

actuariels obligataires quand les obligations s'échangent au pair ou sensiblement

proche de la valeur nominale.

3. La Courbe des taux Zéro-coupon (ou comptant)

La courbe des taux Zéro-coupon représente les taux zéro-coupon (ou taux comptant) en

fonction des durées à l'échéance. Force est de constater que sur le marché sous régional

(BRVM), il n'existe pas d'obligations Zéro-coupons qui s'échangent, on déterminera la

courbe de taux comptant à partir de la courbe de taux des rendements actuariels. On en


déduira donc une courbe de taux comptant théorique, contrairement à la courbe comptant de

marché qui ne peut être construite qu'à partir des taux de rendement des obligations zéro-

coupons échangés sur le marché. La courbe des taux zéro-coupon représente la structure

par terme des taux.

Les taux comptants doivent être conformes avec l'équation (1.1) ci-dessous, cette équation

assume des paiements de coupon annuel, et que le calcul est effectué à une date de

paiement de coupon, donc l'absence d'intérêts courus.

(1.1)

× Dt + × DT

Avec

rst le taux comptant ou zéro coupon d'une obligation de maturité t

Dt = 1 / = Le facteur d'actualisation correspondant

Dans l'équation (1.1), rs1 est le taux comptant un an, rs2 le taux comptant deux ans, et ainsi

de suite. Théoriquement le taux comptant d'une échéance particulière est le même que le

taux zéro-coupon, raison pour laquelle les taux comptants sont aussi considérés comme les

taux zéro-coupon.

La courbe des taux comptant ou zéro-coupon est fréquemment utilisée sur les marchés

obligataires. Elle est en fait observée comme la vraie structure par terme des taux d'intérêts

parce que avec elle il n'existe pas de risque de réinvestissement des coupons. Le taux zéro-

coupon déclaré est égal au rendement annuel. En d'autre terme le taux d'une obligation zéro

coupon de maturité n-années équivaut au taux d'intérêt effectif de l'année n. La courbe de

taux zéro-coupon théorique est construite par les analystes taux, en utilisant les coupons des

obligations cotées sur le marché. la technique du bootstrap est la méthode la plus utilisée en

décomposant les flux de trésorerie en séries d'émissions zéro-coupons.

Prenons comme exemple le marché obligataire BRVM, avec 30 obligations en assumant des

paiements annuels des coupons. La première obligation a une maturité de un an, la

deuxième obligation de deux ans, et ainsi de suite jusqu'à trente ans. Sur le marché, nous

disposons du prix de ces obligations, et souhaitons déterminer en quoi ces prix nous

renseignent au sujet de l'estimation de marché des taux d'intérêts futurs. Naturellement, on

s'attend à ce que les taux d'intérêt varient dans le temps, mais que les paiements effectués à

la même date soient évalués en utilisant le même taux. Pour l'obligation un an, nous savons

le prix de marché et le montant du paiement (un coupon de paiement et le remboursement )

que nous recevrons à la fin de l'année; par conséquent nous pouvons évaluer le taux

d'intérêt pour la première année: assumons que l'obligation un an paie un coupon de 10%. Si

nous investissons FCFA 10000 aujourd'hui nous recevrons FCFA 11000 dans un an, d'où le

taux d'intérêt estimé à 10 pour cent. Pour l'obligation deux ans nous utilisons le taux d'intérêt

pour calculer la valeur future dans un an du prix actuel : c'est à dire combien nous recevrons

si nous avions investit le même montant dans une obligation un an. cependant l'obligation

deux ans paie un coupon à la fin de la première année; lorsque nous déduisons ce montant


de la valeur future du prix actuel de l'obligation, le montant net est ce à quoi nous devrions

renoncer dans un an en retour du dernier paiement.

Illustrons ceci avec l'obligation à coupon 8 pour cent avec un prix de 95 en base 100 ou

FCFA 9500. Si les 95 était investi au taux que nous avons calculé pour l'obligation un an (10

pour cent), on accumulerait en devise locale FCFA 10450 dans un an, composé des 95 et

9.5 en base 100. A la date de paiement dans une période de un an, l'obligation un an arrive

à échéance et l'obligation deux ans paie un coupon de 8 pour cent; Si chacun s'attendait à

ce que à cette période l'obligation aurait valu plus de 96.5 (ce qui est 104.5 moins 8), alors

aucun investisseur n'achèterait l'obligation un an, puisqu'il serait plus avantageux d'acheter

l'obligation deux ans et la revendre après un an pour un meilleur rendement. de la même

manière si le prix est plus bas que 96.5 toujours en base 100 aucun investisseur n'achèterait

l'obligation deux ans, il serait moins cher d'acheter la maturité courte et ensuite acheter la

maturité plus longue avec le montant reçu de l'obligation à maturité courte à maturité. Par

conséquent l'obligation deux ans doit être évalué à exactement 96.5 dans 12 mois. pour que

les 96.5 croissent jusqu'à 108 ou FCFA 10800 (le flux de trésorerie à l'échéance de

l'obligation deux ans, comprenant le remboursement du nominal et le coupon d'intérêt), le

taux d'intérêt un an dans l'année deux doit être équivalent à 11.92 pour cent. Nous pouvons

vérifier ceci en utilisant la formule de la valeur actuelle expliquée plus tôt. A ces deux

niveaux de taux d'intérêt, les deux obligations sont dites être à l'équilibre.

Ce résultat est important et démontre qu'il y 'a absence d'opportunités d'arbitrage tout le long

de la courbe des taux; en utilisant les taux d'intérêt disponibles aujourd'hui, le rendement

associé à l'achat d'une obligation deux ans doit-être égal au rendement associé à l'achat

d'une obligation un an et au réinvestissement du montant reçu pour une autre année. Cette

technique est connue comme le principe d'équilibre.

En utilisant le prix et le coupon de l'obligation trois ans nous pouvons estimer le taux d'intérêt

de l'année trois en opérant de la même manière. En utilisant chaque obligation, nous allons

créer un lien pour déterminer les taux implicites pour chaque année dépendant de la maturité

de l'obligation avec la plus longue durée. C'est effectivement la méthode du bootstrap que

nous avons survolé dans l'étude précédente. la "moyenne" des taux à travers une période

donnée est le taux comptant pour cette période : reprenant notre précédent exemple, le taux

de l'année 1 est de 10 pour cent, et 11.92 pour cent concernant l'année 2. Un investissement

de FCFA 10000 à ces taux donnerait FCFA 12310. ceci est une hausse totale en

pourcentage de 23.1 pour cent en deux ans ou 10.95% par an (le taux moyen n'est pas

obtenu en divisant simplement 23.1 par 2, mais en utilisant notre relation de valeur actuelle,

on calcule la racine carrée de " 1 plus le taux d'intérêt" que l'on soustrait ensuite 1 de ce

nombre. Ainsi le taux d'intérêt un an est de 10 pour cent et le taux deux ans, 10.95 pour cent.

On utilise la même méthode pour la courbe au pair, dans ce cas les obligations seront

évaluées au pair (100) et les coupons fixés avec les taux de rendement au pair.

La courbe de taux zéro-coupon est idéale à utiliser lorsqu'on décide de dériver des taux à

terme implicites. C'est aussi la meilleure courbe dans l'évaluation de nouvelles émissions

obligataires quel que soit leurs coupons. Cependant ce n'est pas un indicateur précis des

taux de rendement moyens du marché, en considérant que la plupart voir toutes les

obligations traités sur la BRVM ne sont pas des obligations zéro-coupons.


L'arithmétique derrière la courbe zéro coupon

Ayant introduit le concept de la courbe zéro-coupon dans le paragraphe précédent, nous

pouvons maintenant illustrer les mathématiques impliqués. Lorsque nous dérivons les taux

comptants des taux au pair, on y voit l'obligation standard comme étant constitué d'annuité,

représentant le flux des paiements de coupon, et une obligation zéro coupon, qui permet le

remboursement du principal. Pour dériver les taux nous pouvons utiliser (1.1), en fixant

= 100 et , illustré ci-dessous.

Dt + × DT (1.2)

+ × DT

Avec , le taux au pair pour une échéance de T années, avec le facteur d'actualisation

DT, représentant le juste prix d'une obligation zéro-coupon de valeur au pair de FCFA 1 et

une échéance de T années, et avec

Dt = AT-1 + DT (1.3)

le juste prix d'une annuité de FCFA 1 par an pendant T années (avec A0 = 0 par convention).

En remplaçant (1.3) dans (1.2) et réarrangeant l'équation on obtient l'expression ci-dessous

pour le facteur d'actualisation de l'année T

DT

(1.4)

Dans l'expression (1.1), nous actualisons le flux de trésorerie de l'année t (comprenant le

paiement de coupon et/ou le remboursement du principal) par le taux comptant de l'année t

correspondant. C'est la méthode correcte pour évaluer tout flux de paiement, les facteurs

d'actualisation étant appropriés à ces derniers. Ceci est différent de la procédure utilisant le

taux de rendement actuariel expliqué précédemment, qui actualise tous les flux de trésorerie

avec le même taux de rendement actuariel.

4. La Courbe des taux à terme

la courbe des taux à terme est une représentation des taux à terme en fonction des

échéances. les taux à terme obéissent à l'expression (1.5) ci-dessous.

=

(1.5)

Avec


correspond au taux à terme implicite sur une obligation un an arrivant à échéance

dans l'année t.

En comparant (1.1) et (1.2) on observe que le taux comptant est la moyenne géométrique

des taux à terme, comme illustré ci-dessous:

(1.6)

Ceci implique la relation suivante entre les taux comptants et les taux à terme:

=

(1.7)

THEORIE DE LA COURBE DES TAUX

Une courbe de taux peut avoir différentes formes, qui sont:

normale : les taux sont à des niveaux moyens et la courbe tend légèrement vers le haut en

relation avec la maturité qui augmente. C'est le cas la région UEMOA.

pente ascendante : les taux sont d'un point de vue historique à des niveaux bas, avec les

taux long terme considérablement plus élevés que ceux de maturité courte.

pente descendante (inversé) : les taux sont d'un point de vue historique à des niveaux

élevés, avec les taux long terme sensiblement plus bas que ceux de maturité courte

concave : les taux sont hauts avec la courbe s'élevant jusqu'à un pic à l'horizon moyen

terme , puis la pente s'inverse plus ou moins pour les maturités plus longues.

Plusieurs explications ont été mises en avant pour expliquer la forme de la courbe des taux:

Théorie des anticipations

Selon cette approche, les taux longs reflètent les anticipations des opérateurs concernant les

taux courts qui prévaudront dans le futur; si on s'attend à ce que les taux courts augmentent,

alors les taux longs devraient le refléter. Sinon, les opérateurs achèteraient les obligations

court-terme et renouvelleront l'opération à l'échéance. Cette théorie estime que le taux long-

terme est une moyenne géométrique du taux court-terme anticipé. C'était en fait la théorie

qui était utilisée pour dériver la courbe des taux à terme dans (1.5) et (1.6) précédemment.

On obtient :

ou

(


Avec le taux comptant d'une obligation de maturité T et le taux implicite un

an dans un an. Par exemple si le taux un an est rs1 = 6.5% et les opérateurs de marché

s'attendent à ce que le taux un an dans un an soit 1rs2 = 7.5%, alors les opérateurs

s'attendent à ce que un investissement de FCFA 10000 dans deux obligations un an

rapportent :

FCFA 10000 (1.065)(1.075) = FCFA 11450

Après deux ans. Pour être équivalent à ceci, un investissement dans une obligation deux ans

doit rapporter le même montant, d'où le taux deux ans rs2 = 7%, comme illustré ci-dessous.

FCFA 10000 = FCFA 11450

C'est le résultat excluant toute opportunité d'arbitrage.

Une courbe de taux croissante s'explique alors par les anticipations des investisseurs sur les

taux courts qui sont attendus croissants, c'est à dire 1rf2 > rs2. Une courbe de taux

décroissante représente le contraire. Concernant la courbe de taux concave, les

investisseurs anticipent une hausse des taux courts et une baisse des taux longs. les

spéculations sur les possibles directions futures des taux, sont fonction du taux d'inflation. Si

le marché anticipe des pressions inflationnistes dans le futur, la courbe des taux aura une

forme positive, dans le cas contraire elle sera inversée.

La Théorie de la préférence pour la liquidité

Intuitivement nous pouvons voir que les investissements à maturités longues sont plus

risquées que ceux à maturités courtes. Un investisseur qui prête de l'argent pour une période

de cinq ans demandera généralement un taux d'intérêt plus élevé que s'il devait prêter

l'argent au même client pour une période de cinq semaines. Cela parce que l'emprunteur

puisse ne pas honorer le remboursement sur une période plus longue, étant donné qu'il peut

se ruiner durant cette période. c'est la raison pour laquelle les taux à maturité longue

devraient être plus élevés que ceux à maturité courte. En général, les emprunteurs préfèrent

emprunter pour des maturités aussi longues que possibles, alors que les prêteurs

souhaiteraient prêter pour des échéances courtes pour préserver la liquidité de leur

portefeuille. Les prêteurs seront donc compensés pour prêter à long terme sous forme de

prime de liquidité. Cette prime augmente, plus l'investisseur prête à des échéances plus

longues dans le temps.

La Théorie de l'hypothèse de segmentation

Le marché des capitaux est constitué d'une large variété de participants, chacun ayant

différentes prérogatives. Certaines classes d'investisseurs préféreront opérer sur la partie

courte de la courbe des taux et d'autres sur la partie longue. L'hypothèse de segmentation

stipule qu'il n'ya pas forcément de relation mécanique entre taux longs et taux courts, les

opérateurs étant différents sur ces deux parties de la courbe. Ce sont les quantités de fonds

investis sur la gamme des échéances qui causent les différentiels entre offre et demande,

créant les formes de la courbe. En d'autres termes, l'offre et la demande sur certaines

échéances spécifiques, déterminent la forme de la courbe des taux. Par exemple les

banques et les sociétés de construction concentrent une large part de leur activité sur la

partie courte de la courbe, du fait de la gestion quotidienne de trésorerie et des obligations


juridiques. Les gérants de fonds comme les fonds de retraite et compagnies d'assurance

sont beaucoup plus actives sur la partie longue de la courbe des taux. On rencontrera peu

d'investisseurs institutionnels ayant une préférence pour les actifs à maturité moyen-terme.

Ce caractère de la part des acteurs de marché conduira à des prix élevés (taux bas) à la fois

sur la partie courte et longue de la courbe des taux et des prix bas (taux élevés) au milieu de

la structure de la courbe.

Autres points de vue sur la courbe des taux

Il existe d'autres facteurs qui affectent la forme de la courbe des taux. les taux court-terme

sont influencés par la disponibilité des capitaux sur le marché monétaire. Dans la région de

l'UEMOA, le marché monétaire regorge de capitaux à part égale relativement au marché

obligataire. La pente de la courbe des taux (généralement définie comme la différence entre

les taux interbancaire et les taux des obligations à maturité dix ans) est aussi la mesure du

degré de raffermissement de la politique monétaire. En ce qui concerne la BCEAO, la pente

de la courbe des taux est assez faible, démontrant le caractère restrictif de la politique de

crédit de cette zone monétaire, et la maitrise de l'inflation.

Les informations contenues dans la courbe des taux, revêtent un caractère important, les

économistes et les analystes du marché des obligations considèrent la forme de la courbe

des taux comme part des éléments d'analyse sur le marché des capitaux. En effet la forme

de la courbe des taux peut servir d'indicateur dans la prédiction des futures conditions de

marché. Il est aussi intéressant dans le cas de la zone de l'UEMOA de remarquer les

différences de taux entre pays membres , et de construire à l'aide des méthodes

d'interpolation une structure de la courbe prenant en compte tous les pays membres.

Les politiques gouvernementales influenceront la courbe et le niveau de la courbe des taux,

en prenant en compte les politiques dans le secteur publique, la gestion de la dette courante,

et les opérations de liquidité et de trésorerie opérées conjointement entre le trésor de la Côte

d'Ivoire par exemple et la BCEAO. La perception des acteurs du marché des capitaux

concernant la taille de la dette du secteur publique influencera les taux des obligations lors

des émissions, par exemple une augmentation de la dette publique peut conduire à une

augmentation des taux obligataires à travers les différentes échéances. D'autre les

opérations de marché initiées par la BCEAO pour contrôler l'offre de monnaie disponible

(dans laquelle la BCEAO achète les bons du trésor et s'engage aussi dans les opérations de

collatéral ou refinancement), peuvent avoir différentes effets sur le niveau des taux. Ensuite

les politiques de gestion de la dette publique influenceront aussi les taux. Très souvent la

dette gouvernementale est renouvelée dès qu'elle arrive à échéance, la maturité de la dette

de replacement peut avoir une influence significative sur la structure des taux; si les facteurs

d'offre et demande créent un prix bas donc un taux élevé, on aura une forme de concavité à

partir du segment de marché dans lequel l'émission est placée.

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Dans cette seconde partie, nous allons considérer en profondeur les taux d'intérêt comptant

et les taux d'intérêt à terme. Nous passerons en revue les mathématiques nécessaires à la

détermination de ces taux et les évalueront implicitement. La théorie de non-arbitrage sera

utilisée ainsi que la méthode de bootstrap. Nous les représenterons ensuite sous forme de

graphe puis établiront de manière succincte les bases de calcul avancées nécessaires à la

construction de la structure des taux, qui servent de piliers pour élaborer des modèles de

taux d'intérêt de prévision.

LES TAUX D'INTERET COMPTANTS ET A TERME

Il existe une relation de proximité entre les taux d'intérêt au pair, comptant et à terme. Nous

expliquons et dérivons ici ces différents taux d'intérêt puis expliquons leur application sur les

marchés. Remarquons que les taux d'intérêt comptant comme précédemment cités sont

aussi appelés les taux Zéro-coupon, car ils représentent les taux d'intérêt qui seraient

applicable à une obligation zéro-coupon. Les deux termes sont utilisés comme synonymes,

cependant ils ne sont pas à proprement parler exactement similaires. Les obligations zéro-

coupons sur les grands marchés internationaux obligataires sont des instruments présents

dans le marché, et le taux des obligations zéro-coupon peut être observé sur le marché. un

taux comptant est purement théorique du point de vue de la construction, et ne peut être

observé directement sur le marché. Cependant dans notre étude, nous utiliserons les termes

de façon synonyme.

Un taux d'intérêt au pair est le taux actuariel d'une obligation qui s'échange au pair. Cela

signifie que le taux actuariel est équivalent au taux du coupon de l'obligation. Une obligation

zéro-coupon est une obligation qui ne paie pas de coupons, et donc dispose d'un seul flux de

trésorerie, le remboursement du principal à l'échéance. C'est donc un instrument

d'actualisation, dans le sens où il est émis à un prix d'émission inférieur au prix de

remboursement qui est au pair. le taux actuariel d'une obligation zéro-coupon est aussi

considéré comme le vrai taux d'actuariel, au moment où il est acquis en portefeuille, si le titre

est conservé jusqu'à la maturité. Ceci, parce qu'il n'ya pas de réinvestissement de coupons

intermédiaires, donc pas de flux de trésorerie intermédiaire vulnérable à une variation des

taux d'intérêt. les taux zéro-coupon sont les facteur clés dans l'évaluation sur les marchés

financiers, et ils sont calculés et cotés pour toutes les devises majeures. On les utilise donc

pour évaluer des flux de trésorerie qui arrivent à des dates futures.

Lorsque les obligations zéro-coupon sont échangés le taux d'une obligation zéro-coupon

pour une échéance quelconque correspond au taux zéro-coupon de cette échéance. Tous

les marchés ne disposent pas d'un marché d'obligations zéro-coupon liquide, encore moins

celui de la région UEMOA, où les obligations standards ne sont pas suffisamment liquides.

Cependant il n'est pas nécessaire d'avoir des obligations zéro-coupon pour calculer des taux

zéro-coupon. Il est possible de calculer les taux zéro-coupon à partir des taux et prix de

marché, en prenant en compte les taux de coupons obligataires.

Nous allons illustrer brièvement la relation mathématique entre les taux au pair, zéro-coupon

et à terme. Nous allons aussi montrer avec la technique de bootstrap comment déterminer

les taux comptant et à terme à partir des taux actuariels des obligations sur le marché.

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1. Facteurs d'Actualisation et Fonction d'escompte

Il est possible de déterminer un ensemble de facteurs d'actualisation à partir des taux

d'intérêt de marché. Un facteur d'actualisation est un nombre compris entre zéro et un qui

peut être utilisé pour obtenir la valeur actuelle d'une quelconque valeur future. Nous

obtenons :

= dt × (1)

Avec

est la valeur actuelle d'un flux de trésorerie arrivant à l'instant t

est le flux de trésorerie futur arrivant à l'instant t

dt est le facteur d'actualisation pour les flux de trésorerie arrivant à l'instant t

Les facteurs d'actualisation sont calculés assez aisément à partir des taux zéro-coupon; les

équations 2 et 3 ci-dessous s'appliquent aux taux zéro-coupon pour des périodes à partir de

un an à plus d'un an respectivement.

(2)

(3)

Avec

dt est le facteur d'actualisation pour les flux de trésorerie arrivant à l'instant t

est le taux zéro-coupon de maturité t

T est la période entre la date de valeur et la période t, exprimée en années

les taux zéro coupon permettent de calculer les facteurs d'actualisation à des points

spécifiques le long de la structure à terme de la courbe des taux. L'ensemble des facteurs

d'actualisation par rapport aux maturités est appelé la fonction d'escompte ou d'actualisation.

2. Taux comptant et à terme implicites

Dans cette section nous décrivons comment obtenir des taux zéro-coupon et à terme à partir

des taux actuariels relevés sur les obligations échangées sur le marché, en utilisant la

méthode Bootstrap. Sur le marché obligataire de la région UEMOA, les obligations émises

par les membres communautaires tel la Côte d'Ivoire ou le Mali sont généralement dites

sans risque, les nations ne pouvant faire faillite. Les taux issus d'une courbe de taux

actuariels des obligations gouvernementales décrivent les taux de rendement sans risques

disponibles sur le marché aujourd'hui, cependant ils permettent aussi de déduire les taux de

rendement (sans risque) pour les échéances ou maturités futures. Ces taux futurs implicites,

connus sous le nom de taux à terme implicites ou tout simplement taux à terme, peuvent être

déterminés à partir d'une courbe de taux comptant en utilisant la technique bootstrap.

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Dans le tableau 1 nous représentons hypothétiquement des obligations de la BRVM à la

date par exemple du 07 Janvier 2011. Les taux actuariels observés sur ces obligations qui

forment la courbe sont affiché dans la dernière colonne de notre tableau. tous les taux sont

annualisés et composés semi-annuellement. Nous faisons aussi l'hypothèse que les

obligations délivrent les coupons aux dates du 07 Juillet et 07 Janvier, tout en considérant

aussi que notre date de valeur correspond à une date de délivrance de coupon, donc

absence d'intérêts courus.

Obligation Maturité Coupon date d'échéance Prix Taux actuariel

4% TPCI 2011 0,5 4% 07-juil-11 100 4%

5% TPCI 2012 1 5% 07-janv-12 100 5%

6% TPCI 2012 1,5 6% 07-juil-12 100 6%

7% TPCI 2013 2 7% 07-janv-13 100 7%

8% TPCI 2013 2,5 8% 07-juil-13 100 8%

9% TPCI 2014 3 9% 07-janv-14 100 9%

Tableau 1 Obligations hypothétiques du Trésor Publique de Côte d'Ivoire

Le taux actuariel d'une obligation représenté dans la dernière colonne correspond au taux

utilisé pour actualisé la somme de tous les flux futurs de trésorerie. C'est essentiellement le

taux de rendement interne de l'ensemble des flux de trésorerie qui constituent l'obligation.

cette mesure du taux de rendement présente des inconvénients, dans le sens chaque flux de

trésorerie est actualisé avec le même taux, ce qui représente une hypothèse un peu

irréaliste dans des environnements de marché où la courbe des taux n'est pas plate comme

en Europe ou aux USA. Par contre dans la région UEMOA, l'hypothèse de courbe de taux

plate peut être utilisée à une certaine mesure car les taux de la BCEAO varient assez peu. Il

revient que le taux actuariel utilisé comme taux de rendement est une mesure anticipée du

rendement qui ne peut être obtenu qu'en détenant l'obligation jusqu'à la date d'échéance. En

pratique ceci est rendu possible en fonction des conditions suivantes:

l'obligation est achetée à l'émission

Tous les coupons payés durant la vie de l'obligation sont réinvestis au même taux

actuariel auquel l'obligation a été achetée.

L'obligation est détenue jusqu'à la date d'échéance.

Il n'est pas aisé en pratiquer de remplir ces conditions, ce qui fait que le taux actuariel d'une

obligation ne correspond pas au vrai taux d'intérêt ou de rendement de cette obligation

durant la dite période.

Les obligations dans le tableau 1 paient des coupons semi-annuels le 07 juillet et le 07

janvier et possèdent les mêmes périodes - 6 mois - entre le 07 Janvier 2011, leur date de

valeur et le 07 Juillet 2011, leur date de prochain détachement de coupon.

Cependant, remarquons que puisque chaque émission dispose d'un taux actuariel différent,

le prochain détachement de coupon de chaque obligation sera actualisé à un taux différent.

En d'autres termes, la première de maturité 6 mois actualise son paiement de coupon au

©Pat Laba 2010, 2011 Page 13

taux actuariel de 4%, la deuxième obligation le fera au taux de 5%, et ainsi de suite. Ainsi,

puisque chacune de ces émissions utilise un taux différent pour actualiser un flux de

trésorerie arrivant à la même période de 6 mois, il n'est pas totalement accordé de savoir

lequel de ces taux représenteraient le taux de référence pour la période six mois allant du 07

Janvier 2011 au 07 juillet 2011. Ce problème réapparait pour les autres maturités.

Pour nos besoins d'évaluation et d'analyse, nous devons dériver des taux d'intérêt comptant

à partir des taux actuariels que nous pouvons observer sur les obligations de référence

échangées sur le marché obligataire. Nous désignerons ces taux avec l'expression rsi, avec

rsi le taux comptant implicite ou taux zéro-coupon pour la période débutant à partir du 07

Janvier et se terminant à la fin de la période i.

Nous commençons à calculer les taux comptants implicites en remarquant que l'obligation

six-mois contient seulement un seul flux de trésorerie futur, le dernier coupon de paiement et

le remboursement du principal à l'échéance. ceci signifie que l'obligation s'échange avec les

caractéristiques d'une obligation zéro-coupon, car il existe seulement un flux de trésorerie

pour cette obligation. Puisque la valeur actuelle de ce flux de trésorerie, sa valeur future et

son, échéance sont connus, le taux d'intérêt unique lié aux variables de cette obligation peut

être résolu en utilisant l'équation (4) de l'intérêt composé ci-dessous.

(4)

Avec

est la valeur future

est la valeur actuelle

est le taux comptant implicite pour la période i

est le nombre de période par années des intérêts

est le nombre d'années de la période établit un rapport entre une valeur actuelle d'un flux

de trésorerie et une valeur future avec un taux d'intérêt composé et une période de temps.

En réarrangeant l'équation nous l'utilisons pour déduire un taux implicite comptant.

l'obligation 6-mois dispose d'un flux de trésorerie à l'échéance équivalent à FCFA 10200,

comprenant le paiement de coupon de FCFA 200 et le remboursement FCFA 10000. Nous

avons donc pour la première période, i = 1, FV = FCFA 10200, PV = FCFA 10000, n =0.5 et

m =2; Cela nous permet de calculer le taux comptant de la manière suivante:

©Pat Laba 2010, 2011 Page 14

Par conséquent le taux comptant implicite six mois ou taux zéro-coupon six-mois est

équivalent à 4 pour cent. Nous devons maintenant déterminer le taux comptant implicite pour

la période de un an, allant du 07 janvier 2011 au 07 Janvier 2012. Nous remarquons que

l'émission un an dispose d'un coupon de 5% et contient deux flux de trésorerie : un paiement

de FCFA 250 pour le premier coupon six-mois le 07 Juillet 201 et FCFA 10250 comprenant

le deuxième coupon un an après et le remboursement du principal, le 07 Janvier 2012.

Puisque le premier flux de trésorerie intervient le 07 Juillet - six mois à partir du 07 Janvier -

ce flux doit être actualisé au taux comptant six mois de 4% déterminé au dessus. une fois

que cette valeur actuelle est déterminée, elle est soustraite de la valeur actuelle totale de

FCFA 10000 (prix actuel) de l'émission un an, pour obtenir la valeur actuelle du paiement de

coupon un an et le flux de trésorerie correspondant au remboursement du principal. Encore,

nous avons alors un flux de trésorerie, avec une valeur actuelle, une valeur future et une

période d'échéance, toutes connues. Le taux qui égalise ces variables correspond au taux

comptant implicite un an. A partir de l'équation (4), la valeur actuelle du paiement de coupon

FCFA 250 de l'obligation un an, actualisé au taux comptant implicite six-mois est de :

flux de trésorerie 6-mois, obligation 1-an FCFA 250 /

FCFA 245

La valeur actuelle de FCAF 10250 dans un an comprenant le coupon et le principal est

déterminé en retranchant la valeur actuelle du flux de trésorerie six-mois, déterminé ci-

dessus, de la valeur présente totale (prix actuel) de l'émission:

flux de trésorerie 1-an, obligation 1-an FCFA 10000 - FCFA 245

FCFA 9755

Le taux comptant implicite un an est alors déterminé en utilisant la valeur actuelle de FCFA

9755 de l'obligation un an déterminée ci-dessus:

0.0501

5.01%

Le taux comptant implicite un an et demi se résout de la même manière:

flux de trésorerie 6-mois, obligation 1-an et demi FCFA 300 /

©Pat Laba 2010, 2011 Page 15

FCFA 295

flux de trésorerie 1-an, obligation 1-an et demi FCFA 300 /

FCFA 285

flux de trésorerie 1-an et demi, obligation 1-an et demi FCFA 10000 - FCFA 295 - FCFA 285

FCFA 9420

0.0604

6.04%

En prolongeant le même processus pour l'obligation deux ans, nous calculons le taux au

comptant implicite qui équivaut à 7.09 pour cent. S'en suit aussi respectivement les

taux comptant implicites des années 2.5 et 3, et équivalent à 8.17 pour cent et

9.28 pour cent.

Les taux d'intérêt , , , , et représentent les vrais taux d'intérêt

zéro-coupon pour les périodes six-mois, un an, un an et demi, deux ans, deux ans et demi et

trois ans qui commencent le 07 Janvier 2011 et se terminent le 07 Juillet 2011, 07 Janvier

2012, 07 Juillet 2012, 07 Janvier 2013, 07 Juillet 2013, 07 Janvier 2014 respectivement. Ils

sont aussi appelés taux comptant implicites parce qu'ils ont été calculés à partir des taux

actuariels observés sur les obligations échangées sur le marché dans le tableau 1.

On remarque que les taux comptants implicites pour les périodes un an, un et demi, deux

ans, deux ans et demi et trois ans sont progressivement plus grands que les taux actuariels

relevant de la même période. Ceci est un résultat important, et apparaît lorsque la courbe

des taux est positivement orientée. La raison est que les valeurs actuelles des flux de

trésorerie d'obligation à maturité plus courte sont actualisés à des taux qui sont inférieurs

aux taux actuariels des obligations; Cela génère des valeurs actuelles plus grandes qui, sont

retranchées du prix actuel de l'obligation, donnant une valeur actuelle du flux final plus petit.

Une fois que nous avons calculé les taux comptant ou zéro-coupon pour les périodes six-

mois, un an, un an et demi, deux ans, deux ans et demi et trois ans, nous pouvons

déterminer les taux de rendement à partir de la courbe de taux pour les séquences à terme

de période six mois débutant le 07 Janvier 2011, 07 Juillet 2011, 07 Janvier 2012, 07 Juillet

2012, 07 Janvier 2013, 07 Juillet 2013. Ces taux correspondent aux taux à terme implicites

et nous les représentons avec l'expression , avec qui correspond au taux à terme

six mois de la période i.

Puisque le taux zéro-coupon six-mois représente le rendement d'une période qui coïncide

précisément avec la première des séries de périodes six-mois, ce taux décrit donc le taux de

rendement sans risque pour la première période six-mois. c'est par conséquent équivalent

©Pat Laba 2010, 2011 Page 16

au taux comptant de la première période. Nous avons donc 4 pour cent,

avec le taux sans risque à terme pour la période six-mois débutant à la période 1, soit

le 07 Janvier 2011. Nous allons établir comment les taux à terme sans risque pour les

deuxième, troisième, quatrième, et cinquième période de six mois, notés , , ,

, et respectivement, sont obtenus à partir des taux comptant implicites.

Le taux de référence pour la deuxième période semi-annuelle correspond au taux à

terme six-mois de la période 1, car il prend effet dans six mois à compter de la date du 07

Janvier 2011, soit "une période de six mois à compter de maintenant" ("une période à terme)

et demeure d'effet pendant six mois ("taux six-mois). C'est donc le taux six mois dans six

mois. ce taux, associé au taux à terme de la première période , doit déterminer un

rendement qui est équivalent à celui relevant du taux comptant implicite un an. En d'autres

termes, un franc CFA investit pour six mois à partir du 07 Janvier 2011 jusqu'au 07 Juillet

2011 au taux de référence de la première période de 4 pour cent, et ensuite réinvestit pour

une autre période de six-mois à partir du 07 Juillet 2011 jusqu'au 07 Janvier 2012 au taux à

terme implicite de la deuxième période, doit rapporter les mêmes rendements que un franc

CFA investit pour une période de un an à partir du 07 janvier 2011 jusqu'au 07 Janvier 2012

au taux comptant implicite de 5.01 pour cent. C'est la loi de non-arbitrage.

Dans le cas où cette loi de non-arbitrage ne serait pas respectée, on aura affaire à un

environnement où des opérations de prêt-emprunts profitables pourront être réalisées. C'est

la raison pour laquelle le calcul des taux à terme doit être effectué dans le contexte

d'absence d'opportunités d'arbitrages. Les taux à terme ne sont pas donc pas une prédiction

de ce que les taux comptants peuvent avoir comme valeur dans le futur, c'est plutôt un

ensemble de taux d'intérêts dérivés, reflétant la structure à terme des taux comptants actuels

et les principes de la loi de non-arbitrage.

L'existence du principe de non-arbitrage rend le calcul des taux à terme moins complexe;

nous savons que le rendement d'un investissement pendant une période doit être équivalent

au rendement d'un investissement d'une période plus courte, puis réinvestit successivement

à une période créant l'équivalence entre les périodes. Si nous connaissons le rendement de

la période la plus courte, il nous reste seulement une inconnue, le taux d'intérêt à terme de la

période totale, qui est assez facilement déterminé. Dans notre exemple, ayant établi le taux

correspondant à la première période six-mois, le taux de la deuxième période six- mois est

déterminé ci-dessous:

La valeur future de FCFA 1 investit au taux , le taux à terme de la période 1, est

calculée de la façon suivante:

©Pat Laba 2010, 2011 Page 17

La valeur future de FCFA 1 à la fin d'une période d'un an, investit au taux comptant implicite

un an, est calculée de la façon suivante:

le taux à terme implicite , est le taux qui rend égal la valeur de FV1 (FCFA 1.02) le 07

juillet 2011 à FV2 (FCFA 1.05) le 07 Janvier 2012. A partir de l'équation (4) nous obtenons:

0.0603

6.03%

En d'autres termes investit du 07 Janvier au 07 Juillet à 4 pour cent (le taux à

terme implicite de la première période) et ensuite réinvestit du 07 juillet au 07 janvier 2012 à

6.03 pour cent (le taux à terme implicite de la deuxième période) rapporterait le même

rendement que FCFA 1 investit à partir du 07 Janvier 2011 jusqu'au 07 Janvier 2012 au taux

de 5.01 pour cent (le taux comptant implicite un an).

Le taux à terme de référence pour la troisième période semi-annuelle , peut se calculer

en suivant la même méthode:

0.0811

8.11%

De la même manière Le taux à terme de référence pour la troisième période semi-annuelle

est estimé à 10.27 pour cent. Nous récapitulons les autres résultats dans le tableau 2.

©Pat Laba 2010, 2011 Page 18

Maturité taux actuariel Taux comptant Taux à terme

0,5 4% 4,00% 4,00%

1 5% 5,01% 6,03%

1,5 6% 6,04% 8,11%

2 7% 7,09% 10,27%

2,5 8% 8,17% 12,24%

3 9% 9,28% 14,55%

Tableau 2 Taux comptant et à terme

En pratique lorsque nous observons les obligations cotées sur le marché, il est presque

impossible d'obtenir des obligations avec des coupons de paiement et des maturités qi

tombent aux mêmes dates. On aura par exemple des obligations qui arrivent à échéance

dans quatre mois, 8 mois ou 15 mois. De même beaucoup d'entre elles ne seront pas

échangées au pair. La technique d'interpolation linéaire est par conséquent utilisée pour

déterminer les taux comptant implicites des obligations avec des maturités intermédiaires.

Figure 3, courbe de taux au pair, comptant et à terme

EXEMPLES PRATIQUES

Exemple 1

Considérons les taux comptants suivants:

1-an 10%

2-an 12%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

0,5 1 1,5 2 2,5 3

TAU

X D

'INTE

RET

%

MATURITE

Taux au pair

Taux comptant

Taux à terme

©Pat Laba 2010, 2011 Page 19

Assumons que le client d'une banque souhaite s'assurer d'un coût d'emprunt de fonds dans

un an. la solution pour la banque (et le mécanisme qui permet à la banque de proposer un

taux au client) consiste à lever des fonds pour deux ans au taux de 12% et investir la somme

recueillie pendant un an au taux de 10%. Comme expliqué précédemment le principe de

non-arbitrage implique que le même rendement doit être généré à partir de la combinaison

du taux fixe et du taux de réinvestissement.

En utilisant la formule suivante:

- 1

Le taux à terme équivalent est de 14.04 pour cent.

Exemple 2

Une obligation TPCI de maturité un an s'échange au taux au pair de 10%, et une obligation

TPCI de maturité deux ans s'échangeant aussi au pair, avec un taux actuariel de 8.75%; en

faisant l'hypothèse que ces obligations paient des coupons annuels, que serait le prix d'une

obligation Zéro-coupon de maturité deux ans ?

Il nous revient à déterminer le taux comptant deux ans à partir des deux obligations TPCI,

avec la méthodologie de bootstrap. On obtient 8.69%

La question qui revient à être posée ensuite, est donc quel est le prix d'une obligation zéro-

coupon avec taux de rendement 8.69%, avec valeur nominale 100. En utilisant l'équation (4)

avec comme valeur future 100, on obtient la valeur actuelle de l'obligation zéro-coupon de

maturité deux ans, équivalent à 84.64 en base 100.

Exemple 3

un client important vous demande de lui proposer un taux actuariel auquel il pourrait émettre

une obligation zéro-coupon en FCFA dans trois ans. A cette période on constate les taux

zéro-coupon suivants sur le marché obligataire:

1 an 6.25%

2 ans 6.75%

3ans 7%

4 ans 7.125%

5 ans 7.25%

En se plaçant dans le rôle de teneur de marché, on peut couvrir notre exposition à l'opération

initiée avec le client en empruntant des fonds pour 5 ans sur une base zéro-coupon et en

plaçant ses fonds sur le marché pendant 3 ans, avant de les prêter au client.

Avec la relation d'arbitrage, on obtient:

©Pat Laba 2010, 2011 Page 20

avec correspondant au taux à terme deux ans dans 3 ans.

=

7.63%

COMPRENDRE LES TAUX A TERME

Les taux comptants et à terme qui sont calculés à partir des taux d'intérêt relevant du marché

suivent des principes mathématiques basés sur la méthode de non-arbitrage. Ces taux à

terme représentent une vision de marché sur leurs probables valeurs dans le futur.

Cependant, les taux à terme ne sont pas une prédiction des taux futurs, et ceci est une

distinction importante. Si nous devions représenter la courbe des taux à terme de la structure

à terme dans trois mois, et la comparer trois mois plus tard avec la structure à terme qui

prévaut à cette période, les courbes seront différentes. Néanmoins cela n'a aucun impact sur

le point que les taux à terme représentent les attentes du marché quant aux futurs. L'idée

principale est que les taux à terme utilisant la structure à terme actuelle du marché, prennent

en compte toute l'information disponible, à la fois économique et politique, et reflète donc les

vues du marché. C'est exactement le même principe d'efficience informationnelle avec les

actions, où le prix de l'action de la compagnie SOLIBRA par exemple reflète tout ce qui est

rendu publique au sujet de SOLIBRA, et ce qui est susceptible d'arriver comme évènements

dans un futur proche, comme les bénéfices futurs. La structure à terme des taux d'intérêt

reflète tout ce dont le marché a connaissance sur les facteurs domestiques et internationaux.

Ce sont ces informations qui rentrent dans le calcul des taux à terme. Bien qu'il y'aura de

nouveaux développements qui affecteront la perception de marché, et donc altèreront la

structure à terme des taux, ces développements ne sont pas connus au moment où nous

établissons la courbe des taux à terme trois mois. C'est la raison pour laquelle les taux sont

différents de ceux estimés à une date ultérieure. Cependant pour les opérations de marché à

terme nous utilisons les taux à terme d'aujourd'hui, reflétant toute l'information disponible.

LA STRUCTURE DES TAUX D'INTERET SELON L'ECHEANCE

Nous allons illustrer ce dont nous avons discuté sur la courbe zéro-coupon avec des

mathématiques un peu plus formelles.

Assumons des dates de trading (achats-ventes) discrètes , et un ensemble

d'obligations zéro-coupon avec les maturités . Le prix d'une obligation zéro-

coupon à l'instant t de valeur nominale FCFA 1 de maturité T (tel que T ≥ t) est désigné avec

le terme P (t, T). Les obligations sont dites sans risques.

Le prix d'une obligation à l'instant t d'une obligation de maturité T est exprimé par :

©Pat Laba 2010, 2011 Page 21

Avec y(t, T) correspondant au taux actuariel à l'instant t d'une obligation de maturité T. En

réarrangeant l'expression précédente, le taux actuariel à l'instant t, d'une obligation de

maturité T est donné par:

y(t, T) =

Le taux à terme à l'instant qui s'applique à la période [T, T+1] est désigné par f(t, T) et

s'exprime en fonction du prix de l'obligation par :

Ce taux à terme est le taux qui serait appliqué à l'instant t à un emprunt qui s'étend de la

période T à T+1.

A partir de l'expression ci dessus nous pouvons dériver une expression du prix de l'obligation

en fonction des taux à termes s'étendant de la période t à T-1, c'est à dire

Cette expression signifie que :

, qui correspond à la multiplication des

taux d'intérêts périodiques de l'index j qui s'étend de t à T - 1. cela signifie que le prix d'une

obligation est équivalent à FCFA 1 reçu à l'instant T, qui a été actualisé par les taux d'intérêt

à terme qui s'appliquent aux maturités à partir de T-1.

L'expression est dérivée ci-dessous comme suit:

Avec P(t, t) équivalent à 1, par conséquent

qui peut être réarrangé pour donner

Pour la prochaine période d'intérêt nous pouvons fixer

qui peut être réarrangé pour donner

©Pat Laba 2010, 2011 Page 22

Si nous continuons pour les autres périodes d'intérêts, nous pouvons déterminer une

expression générale de la forme:

Etant donné une table d'obligations zéro-coupon sans risque, nous pouvons déterminer le

taux à terme applicable à une période spécifique. Par réciprocité, étant donné une table de

taux à terme nous pouvons établir les prix des obligations.

Le taux zéro-coupon ou taux comptant se définit comme le taux applicable à l'instant t pour

un emprunt à l'image d'une obligation zéro coupon évalué à l'instant t. Si le taux comptant se

définit par r(t), nous pouvons établir

r(t) = f(t, t)

Ce taux comptant est en fait le rendement généré par l'obligation avec la maturité la plus

courte, représenté par

r(t) = y(t, t+1)

Nous pouvons donc définir les taux à terme sous forme de prix d'obligation, de taux

comptant et de facteurs d'actualisation. Les modèles de taux d'intérêt utilisés pour modéliser

les variations de taux dans le futur sont construits sous la base de ces mathématiques.

Documents

La Courbe Des Taux[1]