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felicie-georges
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La fonction quadratique.
Déterminer l’équation.
Pour bien comprendre les procédés qui vont suivre, il faut se souvenir du lien qui existe entre x et f(x) dans une fonction.
Chaque valeur de f(x) est déterminée en fonction de chaque valeur de x par une équation.
Ainsi dans l’équation : f(x) = - ( x – 2 )2 + 3
Si x = 5 f(5) = - ( 5 – 2 )2 + 3
f(5) = - ( 3 )2 + 3
f(5) = - 9 + 3
f(5) = - 6
Nous obtenons ainsi le couple ( 5 , - 6 )
Introduction
Ainsi, le couple ( 1 , 2 ) appartient à la courbe de la fonction
f(x) = - ( x – 2 )2 + 3
1
1
2 3-1-2-3
9876
5432
-1-2-3-4-5-6-7-8-9
De ce fait, il découle que:
Chaque couple de coordonnées, qui vérifie l’équation ( qui rend l’équation vraie ), appartient à la courbe.
2 = - ( 1 – 2 )2 + 3 car: ( 1 , 2 )
2 = - ( - 1 )2 + 3
2 = - 1 + 3
2 = 2
Vrai
À l’inverse, les coordonnées d’un point sur la courbe vérifie l’équation.
f(x) = - ( x – 2 )2 + 3
- 6 = - ( -1 – 2 )2 + 3
- 6 = - ( -1 – 2 )2 + 3
- 6 = - ( -3 )2 + 3
- 6 = - 9 + 3
- 6 = - 6
1
1
2 3-1-2-3
9876
5432
-1-2-3-4-5-6-7-8-9
( -1 , - 6 )Vrai
Pour déterminer l’équation d’une fonction quadratique:
Pour la forme canonique, il faut connaître:
Pour la forme générale, il faut connaître:
il faut un minimum d’informations.
- les coordonnées du sommet de la parabole
- les zéros de fonction
- les coordonnées d’un autre point de la courbe.
- les coordonnées d’un autre point de la courbe.x
y
1
1
f(x) = a (x – h)2 + k
f(x) = ax2 + bx + cy
x
1
1
Une fonction quadratique passe par un point dont les coordonnées sont
( 4, 102 ). Son sommet se situe à ( - 2, - 6 ). Quelle est son équation ?
À partir des informations fournies, il faut utiliser la forme canonique.
f(x) = a ( x – h )2 + k
Sommet ( - 2 , - 6); donc h = - 2 k = - 6
102 = a ( 4 + 2 )2 - 6
102 = a ( 6 )2 - 6
Coordonnées du point ( 4 , 102 ); donc à ce point, x = 4 y = 102
102 = 36a - 6
- 2 - 6
4 102
= a ( – )2 + Remplaçons:
Effectuons les calculs:
En remplaçant les différents termes par les coordonnées fournies, nous obtenons une équation dans laquelle il n’y a qu’une seule inconnue.
102 = 36a - 6
+ 6 + 6
Isolons a :
108 = 36a
3636
3 = a
Sachant que a = 3, h = - 2, k = - 6
L’équation est donc:
f(x) = a ( x – h )2 + k
f(x) = 3 ( x + 2 )2 - 6
Il ne reste qu’à déterminer la valeur de a.
Lorsque l’on connaît les zéros de fonction et les coordonnées d’un autre point, il faut utiliser la forme générale factorisée:
Pour bien comprendre le procédé, nous devons nous souvenir d’un des procédés pour trouver les zéros de fonction:
Avec la forme générale: Factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul.
Exemple: f(x) = 2x2 + 4x - 16
0 = 2 (x2 + 2x - 8 )
0 = 2 ( x + 4 ) ( x – 2 )
si x + 4 = 0
alors x = - 4
si x - 2 = 0
alors x = 2
Les zéros de fonction sont donc de signes contraires des coefficients des binômes.
f(x) = a ( x - x1 ) ( x - x2 )
De cette démonstration, on peut déduire la version théorique de la forme générale factorisée.
f(x) = a ( x – x1 ) ( x – x2 )
x1 et x2 sont les zéros de fonction le - signifie l’opposé des zéros.et
Ainsi, si une fonction quadratique a comme zéros de fonction 5 et - 3, alors les binômes qui la composent sont ( x – 5 ) et ( x + 3 ).
Une fonction quadratique a comme zéros de fonction -1 et 3. De plus, elle passe par le point dont les coordonnées sont ( 4 , 10 ).
Quelle est son équation ?
Les zéros sont -1 et 3 donc x1 = - 1 et x2 = 3
f(x) = a ( x - x1 ) ( x - x2 )
Remplaçons:
- 1 3
Déterminons les binômes :
a ( x - ) ( x - )f(x) =
f(x) = a ( x + 1 ) ( x - 3 )
Coordonnées du point ( 4 , 10 ); donc à ce point, x = 4 y = 104 104
f(x) = a ( x + 1 ) ( x - 3 )
= a ( + 1 ) ( - 3 )Remplaçons:
Sachant que a = 2, x1 = - 1 et x2 = 3
f(x) = a ( x – x1 ) ( x – x2 )
f(x) = 2 ( x – -1 ) ( x – 3 )
f(x) = 2 ( x + 1 ) ( x – 3 )
Développons: f(x) = 2 ( x2 - 2x – 3 )
f(x) = 2x2 - 4x – 6
Calculons :
10 = a ( 4 + 1 ) ( 4 – 3 )
10 = a X 5 X 1
10 = 5a
2 = a