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La fonction quadratique. Déterminer l’équation.

La fonction quadratique. Déterminer l’équation.. Pour bien comprendre les procédés qui vont suivre, il faut se souvenir du lien qui existe entre x et

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La fonction quadratique.

Déterminer l’équation.

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Pour bien comprendre les procédés qui vont suivre, il faut se souvenir du lien qui existe entre x et f(x) dans une fonction.

Chaque valeur de f(x) est déterminée en fonction de chaque valeur de x par une équation.

Ainsi dans l’équation : f(x) = - ( x – 2 )2 + 3

Si x = 5 f(5) = - ( 5 – 2 )2 + 3

f(5) = - ( 3 )2 + 3

f(5) = - 9 + 3

f(5) = - 6

Nous obtenons ainsi le couple ( 5 , - 6 )

Introduction

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Ainsi, le couple ( 1 , 2 ) appartient à la courbe de la fonction

f(x) = - ( x – 2 )2 + 3

1

1

2 3-1-2-3

9876

5432

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

De ce fait, il découle que:

Chaque couple de coordonnées, qui vérifie l’équation ( qui rend l’équation vraie ), appartient à la courbe.

2 = - ( 1 – 2 )2 + 3 car: ( 1 , 2 )

2 = - ( - 1 )2 + 3

2 = - 1 + 3

2 = 2

Vrai

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À l’inverse, les coordonnées d’un point sur la courbe vérifie l’équation.

f(x) = - ( x – 2 )2 + 3

- 6 = - ( -1 – 2 )2 + 3

- 6 = - ( -1 – 2 )2 + 3

- 6 = - ( -3 )2 + 3

- 6 = - 9 + 3

- 6 = - 6

1

1

2 3-1-2-3

9876

5432

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

( -1 , - 6 )Vrai

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Pour déterminer l’équation d’une fonction quadratique:

Pour la forme canonique, il faut connaître:

Pour la forme générale, il faut connaître:

il faut un minimum d’informations.

- les coordonnées du sommet de la parabole

- les zéros de fonction

- les coordonnées d’un autre point de la courbe.

- les coordonnées d’un autre point de la courbe.x

y

1

1

f(x) = a (x – h)2 + k

f(x) = ax2 + bx + cy

x

1

1

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Une fonction quadratique passe par un point dont les coordonnées sont

( 4, 102 ). Son sommet se situe à ( - 2, - 6 ). Quelle est son équation ?

À partir des informations fournies, il faut utiliser la forme canonique.

f(x) = a ( x – h )2 + k

Sommet ( - 2 , - 6); donc h = - 2 k = - 6

102 = a ( 4 + 2 )2 - 6

102 = a ( 6 )2 - 6

Coordonnées du point ( 4 , 102 ); donc à ce point, x = 4 y = 102

102 = 36a - 6

- 2 - 6

4 102

= a ( – )2 + Remplaçons:

Effectuons les calculs:

En remplaçant les différents termes par les coordonnées fournies, nous obtenons une équation dans laquelle il n’y a qu’une seule inconnue.

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102 = 36a - 6

+ 6 + 6

Isolons a :

108 = 36a

3636

3 = a

Sachant que a = 3, h = - 2, k = - 6

L’équation est donc:

f(x) = a ( x – h )2 + k

f(x) = 3 ( x + 2 )2 - 6

Il ne reste qu’à déterminer la valeur de a.

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Lorsque l’on connaît les zéros de fonction et les coordonnées d’un autre point, il faut utiliser la forme générale factorisée:

Pour bien comprendre le procédé, nous devons nous souvenir d’un des procédés pour trouver les zéros de fonction:

Avec la forme générale: Factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul.

Exemple: f(x) = 2x2 + 4x - 16

0 = 2 (x2 + 2x - 8 )

0 = 2 ( x + 4 ) ( x – 2 )

si x + 4 = 0

alors x = - 4

si x - 2 = 0

alors x = 2

Les zéros de fonction sont donc de signes contraires des coefficients des binômes.

f(x) = a ( x - x1 ) ( x - x2 )

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De cette démonstration, on peut déduire la version théorique de la forme générale factorisée.

f(x) = a ( x – x1 ) ( x – x2 )

x1 et x2 sont les zéros de fonction le - signifie l’opposé des zéros.et

Ainsi, si une fonction quadratique a comme zéros de fonction 5 et - 3, alors les binômes qui la composent sont ( x – 5 ) et ( x + 3 ).

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Une fonction quadratique a comme zéros de fonction -1 et 3. De plus, elle passe par le point dont les coordonnées sont ( 4 , 10 ).

Quelle est son équation ?

Les zéros sont -1 et 3 donc x1 = - 1 et x2 = 3

f(x) = a ( x - x1 ) ( x - x2 )

Remplaçons:

- 1 3

Déterminons les binômes :

a ( x - ) ( x - )f(x) =

f(x) = a ( x + 1 ) ( x - 3 )

Coordonnées du point ( 4 , 10 ); donc à ce point, x = 4 y = 104 104

f(x) = a ( x + 1 ) ( x - 3 )

= a ( + 1 ) ( - 3 )Remplaçons:

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Sachant que a = 2, x1 = - 1 et x2 = 3

f(x) = a ( x – x1 ) ( x – x2 )

f(x) = 2 ( x – -1 ) ( x – 3 )

f(x) = 2 ( x + 1 ) ( x – 3 )

Développons: f(x) = 2 ( x2 - 2x – 3 )

f(x) = 2x2 - 4x – 6

Calculons :

10 = a ( 4 + 1 ) ( 4 – 3 )

10 = a X 5 X 1

10 = 5a

2 = a