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marc-ruiz
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La loi des cosinus
A
C B
(a – x)
h
x
cb
aD
b2 = a2 + c2 - 2ac cosB
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
Remarque : Cette loi est utile dans les triangles quelconques.
A
C B
(a – x) x
cb
a
h
D
Dans le triangle ABC : - posons b pour représenter le côté en face de l’angle B;
Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle ADC et le triangle ADB.
- posons c pour représenter le côté en face de l’angle C;
- posons a pour représenter le côté en face de l’angle A.
Traçons la hauteur AD (h).
Traçons un triangle quelconque et nommons-le ABC.
Posons x pour représenter le segment DB.
Le segment CD peut alors être représenté par le binôme
En utilisant la relation de Pythagore, établissons le système suivant :
h2 = b2 – (a – x)2
h2 = c2 – x 2
En utilisant la méthode de comparaison, nous obtenons : b2 – (a – x)2 = c2 – x2
(a – x).
Développons b2 - (a - x)2 = c2 - x2
Dans le triangle ADB,
Isolons x :
cos B = xc
nous avons le rapport :
x = c cos B
En construisant une hauteur pour chaque sommet et en utilisant la même démarche, on en déduit que :
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
b2 - (a2 - 2ax + x2) = c2 - x2
b2 - a2 + 2ax - x2 = c2 - x2
b2 - a2 + 2ax = c2
b2 = a2 + c2 - 2ax
Dans l’expression b2 = a2 + c2 – 2ax, remplaçons x par c cos B : b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
Isolons b2 :
A
C B
(a – x)
h
x
cb
aD
Cette loi des cosinus nous permet donc de calculer toutes les mesures d’angles et toutes les mesures de côtés dans les triangles qui ne sont pas rectangles.
La formule des cosinus s'utilise lorsqu'on connaît les mesures des éléments suivants :
les 3 côtés Un angle compris entre 2 côtés
B
C
c
bA
a
A
B
C
c
b
a
B
C
c
bA
Comment utiliser cette loi ?
Si on veut connaître la mesure de l’angle A
On associe le côté en face de l’angle avec le cosinus de l’angle.
b2 + c2a2 = cos A
Les autres parties de la formule proviennent des côtés adjacents.
– 2bc
ou la mesure du segment représenté par a.
Détermine la mesure du côté BC.
a
530
B
C
4 m
A 3 m
a ≈ 10, 5568 3,2 m BC 3,2 m
a2 = 32 + 42 – 2 x 3 x 4 x cos 530
a2 ≈ 9 + 16 – 24 x 0,6018
a2 ≈ 25 - 14,4432
a2 ≈ 10, 5568
Exemples
a2 = b2 + c2 – 2 x b x c x cos A
Nous avons donc besoin de la formulation :
priorité d’opérations
Remarque :
2nd x2 (3^2 + 4^2 – 2 x 3 x 4 cos 53) 3,249
Avec la calculatrice :
Détermine la mesure de l’angle B.
b2 = a2 + c2 - 2 x a x c x cos B
cos B ≈ 0,6734
m B ≈ 47,70
- 17,24 = - 25,6 cos B
≈ 0,6734
530
B
C
4 m
A3 m
3,2 m
b
Nous avons donc besoin de la formulation :
Isolons cos B :
Donc, cos-1 0,6734 47,70
32 = 3,22 + 42 - 2 x 3,2 x 4 x cos B
9 = 10,24 + 16 - 25,6 cos B
9 - 10,24 - 16 = - 25,6 cos B
= cos B-25,6
- 17,24
-25,6-25,6
Remarque : Avec la calculatrice : Cos-1 ((9 – 10,24 – 16) ÷ (-)25,6) 47,70
Détermine la mesure de l’angle B.
530
B
C
4 m
A3 m
3,2 mRemarque
Comme la mesure du segment BC avait déjà été déterminée, on aurait pu déduire la mesure de l’angle B en utilisant la loi des sinus.
5 cm
6 cm
4 cm
A
B
C
Détermine la mesure de l’angle A.
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
Isolons cos A :
Nous avons donc besoin de la formulation :
= - 2bc cos Aa2 - b2 - c2
42 - 62 - 52
- 2 x 6 x 5= cos A
16 – 36 – 25
- 60
- 45
- 60= = 0, 75
cos A = 0,75 Donc, cos -1 0,75 ≈ 41, 40m A ≈ 41, 40
- 2bc - 2bc
a2 - b2 - c2
- 2bc= cos A
5 cm
6 cm
4 cm
A
B
C
Détermine la mesure de l’angle A.
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
Nous avons donc besoin de la formulation :
Cette formulation pourrait s’écrire aussi :
(m BC)2 = (m AC)2 + (m AB)2 – 2 (m AC) (m AB) cos A
Comme la formulation est un peu longue,
Identifie-les sur la figure (par des lettres minuscules).
b
ac
utilise a, b et c.
Détermine la mesure de l’angle B.
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
Isolons cos B :
Nous avons donc besoin de la formulation :
C
A
B 3 km
4 km
1,95 km
= - 2ac cos Bb2 - a2 - c2
42 – 32 – 1,952
- 2 x 3 x 1,95= cos B
16 – 9 – 3,8025
- 11,7=
3,1975
- 11, 7≈- 0, 2733
cos B ≈ - 0,2733 Donc, cos-1 - 0,2733 ≈ 105,90 m B ≈ 105,90
cosinus négatif
La calculatrice tient compte des cosinus négatifs; elle donnera la bonne valeur de l’angle.
Elle tient compte du fait que : cos (1800 – θ) = - cos θ
- 2ac - 2ac
b2 - a2 - c2
- 2ac= cos B
bc
a