La loi des cosinus

A

C B

( a – x )

h

x

cb

aD

b2 = a2 + c2 - 2ac cosB

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

Remarque: Cette loi est utile dans les triangles quelconques.

A

C B

( a – x ) x

cb

a

h

D

Dans le triangle ABC : - posons b pour représenter le côté en face de l’angle B,

Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle ADC et le triangle ADB.

- posons c pour représenter le côté en face de l’angle C,

- posons a pour représenter le côté en face de l’angle A.

Traçons la hauteur AD ( h ).

Traçons un triangle quelconque et nommons-le ABC.

Posons x pour représenter le segment DB.

Le segment CD peut alors être représenté par le binôme

En utilisant la relation de Pythagore, établissons le système suivant :

h2 = b2 – ( a – x )2

h2 = c2 – x 2

En utilisant la méthode de comparaison, nous obtenons: b2 – ( a – x )2 = c2 – x2

( a – x ).

Développons maintenant b2 - ( a - x )2 = c2 - x2

Dans le triangle ADB,

Isolons x :

cos B = xc

nous avons le rapport :

x = c cos B

En construisant une hauteur pour chaque sommet et en utilisant la même démarche, on en déduit que:

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

b2 - ( a2 - 2ax + x2 ) = c2 - x2

b2 - a2 + 2ax - x2 = c2 - x2

b2 - a2 + 2ax = c2

b2 = a2 + c2 - 2ax

Dans l’expression b2 = a2 + c2 – 2ax, remplaçons x par c cos B: b2 = a2 + c2 - 2ac cos B

Isolons b2 :

A

C B

( a – x )

h

x

cb

aD

Cette loi des cosinus nous permet donc de calculer toutes les mesures d’angles et toutes les mesures de côtés dans les triangles qui ne sont pas rectangles.

La formule des cosinus s'utilise lorsqu'on connaît les mesures des éléments suivants:

les 3 côtés Un angle compris entre 2 côtés

B

C

c

bA

a

A

B

C

c

b

a

B

C

c

bA

Comment utiliser cette loi ?

Si on veut connaître la mesure de l’angle A :

On associe le côté en face de l’angle avec le cosinus de l’angle.

b2 + c2a2 = cos A

Les autres parties de la formule proviennent des côtés adjacents.

– 2bc

ou la mesure du segment représenté par a :

On cherche la mesure du côté BC.

a

530

B

C

4 m

A 3 m

a ≈ 10, 5568 3,2 m BC 3,2 m

a2 = 32 + 42 – 2 x 3 x 4 x cos 530

a2 ≈ 9 + 16 – 24 x 0,6018

a2 ≈ 25 - 14,4432

a2 ≈ 10, 5568

Exemple 1

a2 = b2 + c2 – 2 x b x c x cos A

Nous avons donc besoin de la formulation:

priorité d’opérations

Remarque:

2nd x2 ( 3^2 + 4^2 – 2 x 3 x 4 cos 53) 3,249

Avec la calculatrice:

On cherche la mesure de l’angle B.

b2 = a2 + c2 - 2 x a x c x cos B

cos B ≈ 0,6734

m B ≈ 47,70

- 17,24 = - 25,6 cosB

≈ 0,6734

Exemple 2

530

B

C

4 m

A3 m

3,2 m

b

Nous avons donc besoin de la formulation:

Isolons cos B :

donc cos-1 0,6734 47,70

32 = 3,22 + 42 - 2 x 3,2 x 4 x cos B

9 = 10,24 + 16 - 25,6 cosB

9 - 10,24 - 16 = - 25,6 cosB

= cos B-25,6

- 17,24

-25,6-25,6

Remarque: Avec la calculatrice: Cos-1 (( 9 – 10,24 – 16 ) ÷ (-)25,6 ) 47,70

On cherche la mesure de l’angle B.

Exemple 2

530

B

C

4 m

A3 m

3,2 mRemarque:

Comme la mesure du segment BC avait déjà été déterminée, on aurait pu déduire la mesure de l’angle B en utilisant la loi des sinus.

5 cm

6 cm

4 cm

A

B

C

On cherche la mesure de l’angle A.

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

Isolons cos A:

Nous avons donc besoin de la formulation:

= - 2bc cos Aa2 - b2 - c2

42 - 62 - 52

- 2 x 6 x 5= cos A

16 – 36 – 25

- 60

- 45

- 60= = 0, 75

cos A = 0,75 donc cos -1 0,75 ≈ 41, 40m A ≈ 41, 40

Exemple 3

- 2bc - 2bc

a2 - b2 - c2

- 2bc= cos A

5 cm

6 cm

4 cm

A

B

C

On cherche la mesure de l’angle A.

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

Nous avons donc besoin de la formulation:

Exemple 3

Cette formulation pourrait s’écrire aussi:

( m BC )2 = ( m AC )2 + ( m AB )2 – 2 ( m AC ) ( m AB ) cos A

Comme la formulation est un peu longue,

Identifie-les sur la figure ( par des lettres minuscules).

b

ac

utilise a, b et c.

Exemple 4

On cherche la mesure de l’angle B.

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

Isolons cos B:

Nous avons donc besoin de la formulation:

C

A

B 3 km

4 km

1,95 km

= - 2ac cos Bb2 - a2 - c2

42 – 32 – 1,952

- 2 x 3 x 1,95= cos B

16 – 9 – 3,8025

- 11,7=

3,1975

- 11, 7≈- 0, 2733

cos B ≈ - 0,2733 donc cos-1 - 0,2733 ≈ 105,90 m B ≈ 105,90

cosinus négatif

La calculatrice tient compte des cosinus négatifs; elle donnera la bonne valeur de l’angle.

Elle tient compte du fait que : cos ( 1800 – θ ) = - cos θ

- 2ac - 2ac

b2 - a2 - c2

- 2ac= cos B