La loi des sinus

A

B

C

c

b

aa

sin A

b

sin B

c

sin C==

Remarque: Cette loi est utile dans les triangles quelconques.

Construisons un triangle quelconque et nommons-le ABC.

A

B

C

c

b

a

h

D

Dans le triangle ABC :

- posons c pour représenter le côté en face de l’angle C,

- posons a pour représenter le côté en face de l’angle A.

Traçons la hauteur BD ( h ).

Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle BDA et le triangle BDC.

Dans le triangle BDA, on a : sin A = hc

Isolons h : c sin A = h

Dans le triangle BDC, on a : sin C = h

aIsolons h : a sin C = h

a sin C = c sin A

Divisons les deux membres de l'équation par sin A sin C

a

sin A

c

sin C=

- posons b pour représenter le côté en face de l’angle B,

a sin C

sin A sin C

c sin A

sin A sin C=

En utilisant le méthode de comparaison, on obtient :

et simplifions.

Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle AEB et le triangle AEC.

Dans le triangle AEB, on a : sin B = k

c

Maintenant, traçons la hauteur AE ( k ).

a

A

B

C

c

b

k

E

Isolons k : c sin B = k

Dans le triangle AEC, on a : sin C = k

bIsolons k : b sin C = k

b sin C = c sin B

Divisons les deux membres de l'équation par sin B sin C

En utilisant le méthode de comparaison, on obtient :

b sin C=

sin B sin C

c sin B

sin B sin C

b

sin B

c

sin C=

Sia

sin A

c

sin C= et que

b

sin B

c

sin C= alors

a

sin A

c

sin C=

b

sin B=

et simplifions.

La loi des sinus s'utilise quand les trois conditions ci-dessous sont réunies:

- la mesure d’un angle - la mesure du côté opposé à cet angle- la mesure d’un autre élément du triangle

Remarque: Pour établir la proportion, on associe l’angle avec le côté qui lui fait face.

A

B

C

a

Exemple 1: On cherche la mesure de l’angle B.

Remarque : On utilise seulement une partie de la relation en fonction de l’information fournie; ainsi, la proportion sélectionnée sert d’outil de travail.

b

sin B

c

sin C=

4

sin B

5

sin 760=

sin B5

4 X 0,9702 ≈

alors sin-1 0,7762 50.90

m B 510

sin B 0,77625

0,9702≈

4

sin B

x

A

B

C

5 m

4 m

760

4 X 0,9702 ≈ 5 X sin B

Exemple 1: On cherche la mesure de l’angle B.

alors sin-1 0,7762 50.90

m B 510

0,7762

x

A

B

C

5 m

4 m

7602 )sin B sin C

=m AC m AB

On pourrait aussi procéder ainsi:

m AB=

m AC X sin Csin B

= 4 X sin 760

5

sin B

Avec la calculatrice: 4 sin760 ÷ 5

Exemple 2 : On cherche la mesure du coté BC.

1 ) m A = 530

4,1

m BC 4,1 m

2 )

510

A

B

C

5 m

4 m

760

La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 .

530

sin A sin B=

m BC m AC

sin 530

4

sin 510=

m BC

0,7986

4

0,7771

m BC

X 0,7771 4 X 0,7986m BC

0,79864 X 0,7771

=m BC

Exemple 2 : On cherche la mesure du coté BC.

1 ) m A = 530

m BC 4,1 m

2 )

510

A

B

C

5 m

4 m

760

La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 .

530

sin A sin B=m BC m AC

On pourrait aussi procéder ainsi:

m BC = m AC X sin A

sin B

m BC = 4 X sin 530

sin 510

Avec la calculatrice: 4 sin 53 ÷ sin 51 4,1

400

D

F E85,5

125

Exemple 3 : On cherche la mesure de

l’angle F.

85,5

sin 400

125

sin F=

sin F =125 sin 400

85,5=

125 X 0,6428

85,5≈ 0, 9398

sin F = 0,9398 m F ≈ 700 ?

?

L’angle F ne peut pas mesurer 700 car l’angle F est un angle obtus.

Il faut prendre son supplément soit 1100.

La calculatrice répond à la règle suivante: sin θ = sin ( 1800 – θ )

sin-1 0,9398 ≈ 700

Alors, regarde attentivement la sorte de triangle avant de répondre.