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La méthode du grand M
La méthode du grand M consiste à combiner les deux phases de la méthode des deux phrases on considère le système suivant
Max Z=∑j=1
m
c j x j
{∑j=1m
ai j x j=bi
x j≥0
De la méthode consiste à ajouter les variables artificiels ti ≥0
Les contraintes seront ∑j=1
m
ai j x j+ti=bi
Et en pénalise les variables artificiels par une très petite valeur -M
La nouvelle fonction objectif Max Z=∑j=1
m
c j x j - ∑j=1
n
M t j
Les valeurs élevées plus grands M ont pour but d’éliminer les variables artificiels de au cours des itérations de l’algorithme.
Donc on essaie de résoudre le nouveau système :
Max Z=∑j=1
m
c j x j - ∑j=1
n
M t j
{∑j=1m
ai j x j+ti=bi
x j ≥0 ti ≥0
i= 1,2 ………………………n
j=1,2………………………m
Si la méthode du simplexe se termine avec une solution ou tous les variables artificiels sont nuls alors La solution obtenue est optimale
Sinon si une des variables artificiels et non nuls alors le problème original n’a pas de solution réalisable.
Exemple 1 :
M ax Z= -10 x1 -2 x2-x 3
{ x∧1+x 3=35x 1+x2+3 x3=20
X1, X2, X3 ≥0
en ajoutant une variable artificielle t1 on aura problème devient :
Max Z= -10 x1 -2 x2-x 3 -M t1
{ x∧1+x 3+t 1=35x 1+x2+3 x3=20
X1, X2, X3, t1 ≥0
{ t 1=3−x∧1−x 3x2+¿20−5x 1−3 x3
Z= (-40-3M) + M x1 + (5+M) x 3
On écrit nos équations sous forme de tableaux :
X1 X2 X3 T1 Bt1 1 0 1 1 3X2 5 1 3 0 2
M 0 5+M 0 40+3M - Z
La variable entrante est X3
La variable sortante est t1
Le Nouveau tableau est :
X1 X2 X3 T1 BX3 1 0 1 1 3X2 2 1 0 0 11
-5 0 0 -5 25 - Z
La solution est
Z*=-25
X1*= O X2* = 11 x3*=3
Exemple 2 :
Min Z= x1 +2 x2+x 3 + M t1+Mt5
{ x1+x 2+ t 1=¿1x1+x 3+t 2=2
x1 , x2 , x 3 , t 1 ,t 2≥0
t1=1-x1-x2
t2=2-x1-x 3
Z=3M+(1-2M)x1+(2-M)x2+(1-M)x3
X1 X2 X3 T1 T2 bt1 1 1 0 1 0 1t2 1 0 1 0 1 2
1-2M 2-M 1-M 0 0 -3M - Z
La variable entrante est X1
La variable sortante est t1
Le Nouveau tableau est :
X1 X2 X3 T1 T2 bx1 1 1 0 1 0 1t2 0 -1 1 -1 1 2
0 M+1 1-M 2M-1 -M-1 -M-1 - Z
La variable entrante est X3
La variable sortante est t2
Le Nouveau tableau est :
X1 X2 X3 T1 T2 bx1 1 1 0 1 0 1X3 0 -1 1 -1 1 1
0 2 0 M M-1 -2 - Z
On a un problème de minimisation tous les coefficients dans la fonctions objectifs sont positifs donc on conclut la solution optimale
La solution est
Z*=2
X1*= 1 X2* = 0 x3*=1
