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La vitesse
Comment la définir, surtout quand elle est variable !
Suivons un point circulant sur une droite à vitesse constante
Graduation 1
Point mobile M à au l’instant zéro
xMo
Point mobile M à au l’instant t
xMSens du mouvement
Par définition, la vitesse est constante si le temps et la distance sont proportionnels. D’où le tableau de proportion ci-contre
Graduation 0Distance = xMo – xM
Temps Distance
t xM – xMo
1 v
Ce tableau nous donne trois équations
xM – xMo = v t (égalité des produits croisés)xM – xMo v =
t t =
xM – xMo
v
Règle : le diviseur est sur la même diagonale que la valeurs à calculerConclusion : la distance s’obtient
en multipliant la vitesse par le temps.
Définition : le nombre v est la valeur de la vitesse.
Instant zéro
Une horloge
Faisons une remarque géométrique :
La multiplication v t est l’aire d’un rectangle de hauteur v et de longueur t
Aire = xM – xMo
v
t Temps
Vitesse
Aire = xM – xMo ?
Posons-nous cette question :
Si on remplace le dessus du rectangle par une ligne continue :
v
t Temps
Vitesse
As-t-on encore
Aujourd’hui, tout le monde pense que oui.
Et c’est ainsi qu’on peut estimer une distance sachant la vitesse quand elle est variable
avec le langage des mathématiques.
Aire = xM – xMo
v
t Temps
Vitesse
Cas particulier :
supposons que la vitesse augmente proportionnellement au temps
Temps Vitesse acquise
t v – vo
1 a
Ce tableau nous donne l’équation
v – vo = a t (égalité des produits croisés)
Définition : le nombre vo est la valeur de la vitesse initiale.
Cette formule nous donne la géométrie ci-dessous
Cette hypothèse nous donne le tableau ci-contre
L’aire du trapèze est donc égale à la moitié de celle du rectangle
v
t Temps
Vitesse
1
voAire = xM – xMo
v
vo
Les deux trapèzes sont égaux
v
t
vo
(v + vo) t
2 Aire = xM – xMo = =
1
2(v + vo) t
Faisons un peu de géométrie.
Quelle est la formule de l’aire d’un trapèze ?
Cas particulier :
supposons que la vitesse augmente proportionnellement au temps
Temps Vitesse acquise
t v – vo
1 a
Ce tableau nous donne l’équation
v – vo = a t (égalité des produits croisés)
Conclusion : la distance s’obtient en multipliant la vitesse par le temps puis en divisant le résultat par deux.
Définition : le nombre vo est la valeur de la vitesse initiale.
Cette hypothèse nous donne le tableau ci-contre
Cas particulier : la vitesse initiale est nulle :
v = a t
L’aire du triangle est égale à la moitié de celle du rectangle
v t
2 Aire = xM – xMo =
v
t Temps
Vitesse
1
voAire = xM – xMo
v
t Temps
Vitesse
Aire = xM – xMo
a
1
L’aire du trapèze est égale à la moitié de celle du rectangle
Et dans l’espace ?
Au lieu de suivre UN mouvement le long d’un axe, on en suit TROIS
O
1
1
1
M
xM
yM
zM
P
xP
zP
yP
Abscisse = xP – xM
Ordonnée = yP – yM
Cote = xP – xM
Au lieu d’écrire UNE équation on en écrit TROIS
Soient un repère de l’espace et une horloge
O
1
1
1
M
xM
yM
zM
P
xP
zP
yP
Abscisse = xP – xM
Ordonnée = yP – yM
Cote = xP – xM
Soient un repère de l’espace et une horloge
O
1
1
1
M
xM
yM
zM
P
xP
zP
yP
Abscisse = xP – xM
Ordonnée = yP – yM
Cote = xP – xM
Soient un repère de l’espace et une horloge
Temps Distance
t xM – xMo
1 vx
Temps Distance
t yM – yMo
1 vy
Temps Distance
t zM – zMo
1 vz
En abscisse En ordonnée En cote
Suivons un point circulant sur une droite à vitesse constante
Chaque tableau nous donne une équation :
xM – xMo = vx t
yM – yMo = vy t
zM – zMo = vz t
Supposons que la vitesse augmente proportionnellement au temps
vx – v xo = ax t
vy – v yo = ay t
vz – v zo = az t
Alors nous pouvons démontrer trois lois de posoition au lieu d’une
xM – xMo =1
2(vx + vxo) t
yM – yMo =1
2(vy + vyo) t
zM – zMo =1
2(vz + vzo) t
O
1
1
1
M
xM
yM
zM
P
xP
zP
yP
Abscisse = xP – xM
Ordonnée = yP – yM
Cote = xP – xM
Soient un repère de l’espace et une horloge
xM – xMo = vx t
yM – yMo = vy t
zM – zMo = vz t
vx – v xo = ax t
vy – v yo = ay t
vz – v zo = az t
xM – xMo =1
2(vx + vxo) t
yM – yMo =1
2(vy + vyo) t
zM – zMo =1
2(vz + vzo) t
xM – xMo = vx t
yM – yMo = vy t
zM – zMo = vz t
O
1
1
1
M
xM
yM
zM
P
xP
zP
yP
Abscisse = xP – xM
Ordonnée = yP – yM
Cote = xP – xM
Quand un corps trace la flèche vitesse
Soit un mouvement quelconque
Imaginons qu’à cet instant la vitesse cesse brusquement de varier
et suivons alors le corps pendant une
seconde
Une seconde plus tard, le corps est ici
Une seconde
Rappelons les lois du mouvement à vitesse constante :
Avec t = 1 seconde
xM – xMo = vx
yM – yMo = vy
zM – zMo = vz
ces formules montrent que le corps trace lui-même la flèche vitesse.
Le calcul du carré de la longueur de cette flèche donne
MMo2 = (xM – xMo)2 + (yM – yMo )2 + (yM – yMo )2
d’où la fomule du carré de la vitesse
v 2 = vx2 + vy
2 + vz2
xM – xMo = vx
yM – yMo = vy
zM – zMo = vz
ces formules montrent que le corps trace lui-même la flèche vitesse.
Unité de la vitessePartons d’une de nos équations
Et réécrivons-la avec les unités
xM – xMo = v t (égalité des produits croisés)
(xM – xMo ) m = v u t s
Les unités se traitent en algèbre comme les nombres :
Permutons les multiplications (xM – xMo ) m = v t u s
Remplaçons v t par (x - xMo) : (xM – xMo ) m = (xM – xMo ) u s
Simplifions
Multiplions par s-1
m = u s
m s-1 = u s s-1
Utilisons les propriétés des puissances
m s-1 = u L’unité de la vitesse est le m s-1 ou m / s
Remarque : ces écritures sont longues et pas toujours utiles !
On pourrait tout de suite substituer les valeurs de la formule de départ ...
... par les unités ... donc d’écrire seulement
m s-1 = u.xM – xMo = v t puis m = u s , m s-1 = u s s-1 et
Remarque : on peut faire cette
démonstration aussi bien en abscisse
qu’en ordonnée ou en cote
Unité de la vitesse
Multiplions par s-1 m s-1 = u s s-1
Utilisons les propriétés des puissances
m s-1 = u L’unité de la vitesse est le m s-1 ou m / s
... donc d’écrire seulement
m s-1 = u.xM – xMo = v t puis m = u s , m s-1 = u s s-1 et
Quelles propriétés ?
Idée de départ : vu la règle de multiplication des puissances xn x p = xn + p
et vu la définition de l’inverse d’un nombre1x
x = 1
les mathématiciens anciens ont voulu définir les puissances opposées
xn x – n = xn – n
,
vu la convenstion de la puissance zéro x0 = 1,
d’où xn x – n = x0 = 1 d’où, en divisant des deux côtés par x n
x – n =1xn
.
