L'aléatoire au collège, des expériences aux connaissances

L'aléatoire au collège, des expériences aux connaissances

Expérience « biberons » Lancer d’un dé Articulation avec le cours Expériences à deux épreuves Prolongements et conclusion

1Journées interacadémiques Reims 2008 – L’aléatoire au collège

Inspiration

Nadine et Guy Brousseau, Ginger Warfield

Classe de CM2 1973-1974 Fil rouge sur l’année scolaire

Expérience « biberons »


Description de l’expérience

Composition Groupes Manipulations autorisées Consignes



Rôle du professeur

Consignes d’écriture Motivation Comparaison Productions



Motivation Donner du sens à « 3 chances sur 5 » Approche « fréquentiste » Prise de risque Accès à une partie des

représentations des élèves




Copie 4Expérience « biberons »










Comparaison de procédures


En comptant par « paquets » de 5 Globale-

ment

Fréquence de boules

noires sorties

5B 4B 1N 3B 2N 3N 2B 4N 1B 5N

Chloë

31B 44N 0,56

Ninon

30B 50N 0,525

Loïc

50B 59N 0,54

Julien

69B 96 N 0,58

Cadre théorique



nombre de boules noires tirées 0 1 2 3 4 5

probabilités 1% 8% 23% 35% 26% 8%

Pour 5 tirages :

parmi 10 groupes,nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

probabilités 1% 7% 18% 25% 24% 15% 7% 2% 0,43% 0,05% 0,003%

Cadre théorique



Pour 20 tirages :

parmi 10 groupes,nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Probabilité 1% 4% 11% 20% 25% 21% 12% 5% 1%

Cadre théorique



Pour 50 tirages :

parmi 10 groupes,nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires 5 6 7 8 9 10

probabilité 2% 8% 19% 30% 28% 12%

Cadre théorique



Pour 100 tirages :

parmi 10 groupes,nombre de groupes qui trouvent 3 boules noires 6 7 8 9 10

probabilité 0,1% 1% 8% 32% 59%

Cadre théorique

1000tirages de 10 s_ries de 5.xls



Synthèse



Après 5 tirages


noires

Après 10

tirages


noires

Après 20 tirages


noires

Après 50 tirages

Fréquence de

boules noires

G1 3B 2N 4B 6N 8B 12N 22B 28NG2 3B 2N 4B 6N 8B 12N 21B 29NG3 2B 3N 5B 5N 8B 12N 22B 28NG4 3B 2N 7B 3N 10B 10N 22B 28NG5 1B 4N 1B 9N 2B 18N 10B 40NG6 2B 3N 5B 5N 8B 12N 17B 33NG7 2B 3N 4B 6N 7B 13N 21B 29NG8 1B 4N 5B 5N 10B 10N 20B 30NG9 3B 2N 4B 6N 6B 14N 21B 29N

G10 3B 2N 3B 8N 8B 12N 22B 28NG11 2B 3N 4B 6N 9B 11N 24B 26NG12 1B 4N 3B 7N 5B 15N 16B 34NG13 2B 3N 5B 5N 7B 13N 16B 34NG14 4B 1N 8B 2N 11B 9N 22B 28N

Synthèse



Finalement Fréquence d’apparition de N

G1 69B 96NG2 86B 104NG3 48B 64NG4 50B 59NG5 35B 90NG6 32B 68NG7 36B 62NG8 31B 44NG9 29B 36N

G10 44B 56NG11 46B 59NG12 30B 50NG13 62B 90NG14 39B 57NTotal 634B 927N

Synthèse



simulation biberon_.xls

Expérience « lancer d’un dé »


1 2 3 4 5 6 TotauxLM 7 8 11 9 9 6 50KG 8 10 6 6 11 9 50LC 10 12 5 9 12 2 50IP 7 9 7 9 6 12 50OE 11 7 7 10 5 10 50EH 7 10 12 4 8 9 50VLN 6 5 7 7 9 16 50CM 11 6 12 9 3 9 50MH 8 7 8 11 7 9 50ML 8 7 7 6 10 12 50PM 7 8 12 11 6 6 50MW 7 5 14 6 8 10 50CE 8 13 7 2 10 10 50LB 10 10 9 6 11 4 50MN 7 7 7 10 7 12 50QM 9 10 8 9 11 3 50GN 7 12 13 5 6 7 50SL 8 5 8 8 8 13 50JS 7 7 8 12 12 4 50BB 5 3 12 8 13 9 50MA 4 9 12 4 11 10 50LK 10 2 11 10 7 10 50MT 10 9 7 14 4 6 50CGS 5 9 10 9 9 8 50QB 11 5 8 9 5 12 50OS 7 13 9 8 6 7 50NF 8 13 7 2 10 10 50

Totaux 213 221 244 213 224 235 1350Fréquences

Expérience « lancer d’un dé »


Simulation_un_d_.xls

Simulation

Cours


Numéro de la face 1 2 3 4 5 6 TOTAL

Effectifs 8 13 7 2 10 10 50Fréquences 0,16 0,26 0,14 0,04 0,20 0,20 1

Numéro de la face 1 2 3 4 5 6 TOTAL

Effectifs 213 221 244 213 224 235 1350Fréquences 0,158 0,164 0,181 0,158 0,166 0,174 1

Regard « fréquentiste » sur une expérience

Cours


Regard « probabiliste » et synthèse

Regard « probabiliste » sur la même expérience Le dé a 6 faces et chaque face a autant de chances de sortir que les autres : chaque face a 1 chance sur 6 de sortir. On dit que la probabilité d’obtenir chaque face est égale à 1/6 Synthèse Plus le nombre de lancers augmente, plus il y a de chances que la fréquence d’apparition de chaque face se rapproche de 1/6 soit environ 16,7%

Cours


Représentation et traitement d’une expérience aléatoire à une épreuve

Lancer d’un dé équilibré

Il y a 6 issues possibles.Les six issues sont équiprobables.

On a 1 chance sur 6 d’obtenir « 1 »

La probabilité d’obtenir « 1 » est 1/6

La somme des probabilités est égale à 1 :

1

2

3

4

5

6

3

4

5

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

2

1

6

1 1 1 1 1 1 16 6 6 6 6 6

Cours


Représentation et traitement d’une expérience aléatoire à une épreuve

On tire une boule au hasard dans ce sac conteant 3 boules noires et deux boules blanches(comme le biberon)

Il y a deux issues possibles : « B » et « N ». Elles ne sont pas équiprobablesOn a 3 chances sur 5 d’obtenir « N»

La probabilité d’obtenir « N » est 3/5.

La somme des probabilités est égale à 1:

N

N

N

B

B

2 3 15 5

3/5

2/5 B

N

Première expérience

Donner les issues possibles. Sont-elles équiprobables ? Pourquoi ? Observer une simulation de cette

expérience. Que peut on conjecturer pour les

probabilités de chaque issue ?

Expérience à deux épreuves


Simulation

Boulepi_ce.xls Confiance Comparaison de VF et VP





ReprésentationReprésentations possibles Interprétations

La représentation ci-contre permet de montrer qu’il y a 10 « chemins » possibles.

On a colorié en gras les « chemins » conduisant à « VF ».

Il y en a 3.

La probabilité d’obtenir « VF » est donc égale à

ou 0,3.3

10

V P

F

V P

F

V P

F

R P

F

R P

F

Résultats VP VF

VP

VF

VP

VF

RP RF

RP

RF



Articulation avec le cours

Pour un grand nombre d’expériences :

En moyenne, 3/5 d’entre elles donneront « Vert » pour le « tirage » de boules.

Parmi ces dernières, en moyenne,la moitié d’entre elles donneront « Face » pour le lancer de pièce.

Par conséquent, en moyenne, la moitié des 3/5 des expériences donneront « VF ».La probabilité d’obtenir « VF » est donc égale à :

3 1 3 0,35 2 10

V

F

P

1/2

1/2

3/5

2/5

R

F

P

1/2

1/2



LimitesOn lance une pièce parfaitement équilibrée. On note le motif de la face supérieure (P ou F)Si la pièce tombe sur Pile, on tire une boule dans un sac opaque contenant une boule noire et deux boules rouges.Si la pièce tombe sur Face, on tire une boule dans un sac opaque contenant une boule noire et une boule rouge.



Autre représentation

Patron du dé d’Alice Patron du dé de Bertrand



Autre représentation

Prolongements et questions

Fil rouge Exercices Evaluation Lycée


Bibliographie Guy Brousseau, Nadine Brousseau et Ginger Warfield (2002) :Une expérience de

premier enseignement des statistiques et des probabilités.

Joël Briand (2005) : Une expérience statistique et une première approche des lois du hasard au lycée par une confrontation avec une machine simple. Recherches en didactique des mathématiques, Volume 25, n°2

Arthur Engel(1975) : L’enseignement des probabilités et de la statistique. Editions

Cedic. Comission Inter-IREM Statistiques et probabilités(2008) : Autour de la modélisation en

probabilités. Presses universitaires de Franche-Comté Documents d’accompagnement des programmes(2008) : probabilités
