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Le Grand Livre des Tests d’aptitude et psychotechniques avec méthodes détaillées

Le Grand Livre des Tests d’aptitude et psychotechniques · test que l’on retrouve dans de nombreuses épreuves de sélection. Rares dans les concours paramédicaux, nous les traiterons

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Le Grand Livre des Tests d’aptitude

et psychotechniquesavec méthodes détaillées

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Le Grand Livre des Tests d’aptitude

et psychotechniquesavec méthodes détaillées

4e édition

Bernard MyersBenoît Priet

Dominique Souder

MYERS_Ch00.indd 3 26/04/13 11:00

© Dunod, Paris, 2013ISBN 978-2-10-058786-5

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Avant-Propos vii

Pour bien utiliser cet ouvrage viii

Quels chapitres pour votre concours x

Aptitude numériqueChapitre 1 QCM de maths : comment être performant ? 3

Chapitre 2 Nombres relatifs 7

Chapitre 3 Calculs, priorités et estimations 17

Chapitre 4 Puissances 33

Chapitre 5 Racines 40

Chapitre 6 Pourcentages 47

Chapitre 7 Règle de trois, proportionnalité 55

Chapitre 8 Grandeurs. Conversions. Mélanges 67

Chapitre 9 Calcul mental rapide 96

Chapitre 10 Équations 116

Chapitre 11 Dénombrements 126

Chapitre 12 Aires 137

Chapitre 13 Volumes 144

Aptitude logiqueChapitre 14 Les séries graphiques 153

Chapitre 15 Les séries numériques et alphabétiques 170

Chapitre 16 Les matrices 178

Chapitre 17 Les carrés logiques 188

Chapitre 18 Les dominos 211

Chapitre 19 Les cartes à jouer 227

Table des matières

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Table des matières

Chapitre 20 Les ensembles et les intrus 232

Chapitre 21 Logique numérique 240

Chapitre 22 Les tests d’attention 252

Chapitre 23 Les tests d’organisation 263

Chapitre 24 Imprévus 277

Aptitude verbaleChapitre 25 Le vocabulaire 319

Chapitre 26 L’orthographe 335

Chapitre 27 La conjugaison 366

Chapitre 28 Tests de compréhension 381

Chapitre 29 Logique verbale 400

Concours blanc 419

Index 449

Boîte à outils 453

VI

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Cet ouvrage s’adresse aux candidats aux concours d’entrée dans les écoles paramédi-cales (IFSI, ergothérapeutes, orthophonistes, psychomotriciens…) ainsi qu’aux can-didats aux examens d’entrée dans les centres de formation en travail social.

L’épreuve de tests psychotechniques est souvent redoutée par les candidats, qui jusque là n’y ont pas été préparés. De plus, elle mêle des problématiques très diffé-rentes comme les tests de logique, la connaissance du vocabulaire et les aptitudes mathématiques.

Il y a une seule façon de réussir les tests psychotechniques : bien s’y préparer !

Il faut maîtriser les connaissances nécessaires (mathématiques, grammaire, etc.) pour répondre aux questions, et s’exercer à résoudre des tests afin d’en com prendre les mécanismes et de s’habituer à ce type de raisonnement.

Le Grand Livre des tests d'aptitude et de psychotechniques vous propose ainsi une pré-paration complète pour réussir cette épreuve : l il rappelle ce que le candidat doit savoir en mathématiques et en français ;l il décortique les différents types de tests de logique, d’attention et d’organi sation;l il explique les méthodes pour réussir les tests ;l il fournit un grand nombre d’exercices, de niveau progressif et avec corrigés détaillés,

ainsi qu’un concours blanc pour se mettre en situation de concours.

Dans cette quatrième édition entièrement revue, la partie Aptitude numérique a été réorganisée pour plus de progressivité dans l'apprentissage, de nouveaux types de tests de logique sont présentés dans le chapitre « Imprévus » et le chapitre « Orthographe » a été remonté au sein de l'Aptitude verbale.

De plus, la Boîte à outils en fin d'ouvrage a été enrichie de nouveaux contenus et est maintenant détachable pour vous accompagner pendant votre entraînement et vos révisions.

Enfin, le concours blanc a été entièrement changé pour être au plus près des der-niers concours. Trois autres concours blancs corrigés sont par ailleurs disponibles sur dunod.fr.

Avant-Propos

VII

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Dans chaque chapitre

181

Apti

tude

lo

giqu

e 16Les matrices

Dans la foulée des séries, les « matrices » se sont imposées comme une forme de test que l’on retrouve dans de nombreuses épreuves de sélection. Rares dans les concours paramédicaux, nous les traiterons de façon succincte.

Les matrices se présentent sous la forme d’un carré divisé en neuf cases, chacune contenant une figure graphique disposée selon une logique précise. Une case est vide, et il faut choisir parmi plusieurs propositions celle qui complétera le grand carré (la « matrice »). Il s’agit donc du même type de raisonnement que les séries avec deux différences majeures. La première vient de la disposition en carré qui permet une lecture horizontale, mais aussi verticale. La seconde est la quantité d’in-formations données. Dans une série, il y a le plus souvent trois cases comme base de raisonnement alors que dans les matrices, il y en a huit. Les possibilités sont donc plus nombreuses, et l’analyse des données plus touffue.

La logique des matrices reprend celle des séries (voir les sections déplacements et transfor mations du chapitre sur les séries), et y ajoute des raisonnements origi-naux : les réparti tions et les superpositions.

Commençons sur un terrain connu :

Les déplacements

Exemple 1

1 2 3

4 5 6

Nous retrouvons ici un déplacement linéaire, avec la particularité propre aux ma-trices de pouvoir être lu horizontalement ou verticalement :

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Un cours completl Toutes les connaissances (formules mathématiques, règles de grammaire...) et toutes les méthodes pour chaque type de test.

l Des exemples pour bien comprendre.

Les dominos18

220

Identifier le type de question :l La présentation des dominos est une première indication :

– en ligne droite ou côte à côte : série ou symétrie ;– en colimaçon ou disposés bout à bout : série ;– en bloc rectangulaire : répartition, symétrie ou opération ;

– en étoile : symétrie ou série ;– en boucle : série ou symétrie ;– par lots isolés : opération.

l Les valeurs des dominos sont une deuxième indication :– des valeurs se suivent (croissant ou décroissant) : série ;– des valeurs ou des dominos entiers se répètent : répartition ou symétrie ;– des valeurs représentent des sommes ou des différences d’autres valeurs  :

opération.

Si on pense qu’il s’agit d’une série :l Chercher une série connue : valeurs qui se suivent en montant, en descen dant,

une valeur sur deux, dans un sens ou dans l’autre…l Explorer les différents sens de lecture possibles.l Noter les différences entre les cases, entre les dominos, puis chercher une régula-

rité de ces différences.l Ne pas oublier que les valeurs ne vont que de 0 à 6. (après 6 on repasse à 0).

Si on pense qu’il s’agit d’une répartition :l Chercher si des valeurs identiques apparaissent régulièrement mais seulement

une fois par rangée ou colonne.l Chercher si des valeurs identiques apparaissent régulièrement de part et d’autre

d’un axe de symétrie.

Si on pense qu’il s’agit d’une opération :l Chercher s’il y a des rapports numériques qui se répètent :

– une case d’un domino qui a autant de points que la somme des autres sur le même alignement horizontal ou vertical (dernière case = somme des pré-cédentes, première case = somme des suivantes, etc.) ;

– la même chose mais avec les deux cases (deux premières = deux dernières, deux dernières = quatre premières, etc.) ;

– la même chose, mais avec des différences.l Ne pas oublier qu’une case sans points peut représenter le chiffre zéro.l Dans certains cas, il peut y avoir des opérations avec des retenues !

L’essentiel à retenir

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L’essentiel à retenir Pour l’aptitude logique et l’aptitude verbale

Pour bien utiliser cet ouvrage

VIII

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Pour bien utiliser cet ouvrage

De nombreux exercices corrigésl Des exercices de niveau progressif pour vous entraîner.

l Des corrigés complets et détaillés.

Concours blancPour vous mettre en situation, un concours blanc, mélangeant les différents types de tests psychotechniques.

Boîte à outilsl Des fiches sur les connaissances essentielles.

l Détachables pour vous accompagner

l À relire avant le concours !

Puissances4

36

Exercices d’entraînement

Niveau 1 :0 0 1 5

1. Calculer :a. 23 b. (0,4)² c. 50 d. 35 ² e. 7 : 10² f. – 5²

2. Écrire sous la forme an :a. 54 × 56 b. 5

9

53 c. 3

4

3 d. 5

2

50 e. 3

4

37 f. 2

– 8

2– 5

3. Trouver le nombre manquant :a. 25 × 2… = 29 b. 27 × 2… = 27 c. 34

3… = 32 d. 39

3… = 3– 3 e. 53 × 43 = …3

4. Écrire sous forme d’une seule puissance de dix :

a. (103)4 b. 107 × 102 × 10– 5 c. 10– 8

10– 9 d. 103 × 10– 4

10– 5

5. Écrire les nombres suivants en notation scientifique :A = 0,000 047 D = 5 600 × 104

B = 279,31 E = 0,000 67 × 10– 3

C = 7 890 000

6. Calculer astucieusement sans machine les deux nombres suivants :A = 25 × 3,14 × 55 B = 45 × 5 × 0,254

7. Calculer les nombres suivants :C = 2 × 32 + 3 × 22 D = (5 × 3 – 2) × (9² – 5² × 3)

8. Combien de termes égaux à 10– 1 faut-il ajouter pour que leur somme fasse 101 ?

9. Par quel chiffre des unités se termine 250 ? (On pourra observer l’évolution des chiff res des unités des premières puissances de deux et en tirer des informations intéres santes sans avoir à calculer 250…)

10. Effectuer les calculs des nombres suivants :A = 7,5 × 10² – 42 × 10– 3 B = 10– 5 × 72 × 103

18 × 10– 3

Niveau 2 :0 0 2 5

11. Le millième de 26 × 53 est :☐ a. 4 ☐ b. 8 ☐ c. 20 ☐ d. 25 ☐ e. un autre nombre

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XVIIIXVIII

9Les séries alphanumériques classiques

Les jours de la semaine

L-M-M-J-V-S-D

Les mois de l’année J-F-M-A-M-J-J-A-S-O-N-D

Le nombre de jours de chaque mois

31-28-31-30-31-30-31-31-30-31-30-31

Les chiffres en toutes lettres

Z-U-D-T-Q-C => La suite des nombres pairs (D-Q-S-H-D-D) => La suite des nombres impairs (U-T-C-S-N-O)

Des alphabets piégeants

H-J-K-L-M-N => Les consonnes dans l’ordre.V-T-S-R-Q-P=> Les consonnes dans le désordre.

S-Q-O-M-K-I=> Une lettre sur deux dans le sens inverse de l’alpha-bet.

Les signes du zodiaque

B-T-G-C-L-V ; BA-SC-SA-CA-VE-PO => Connaître l’ordre des signes pour les repérer : bé-lier, taureau, gémeaux, cancer, lion, vierge, balance, scorpion, sagittaire, capricorne, verseau, poisson.

Les nombres premiers

2-3-5-7-11-13-17-19-23-29

La suite de Fibonnacci

1-2-3-5-8-13; 5-6-11-17-28-45 => Chaque nombre (hormis les deux premiers) est la somme des deux précédents.

Les chiffres romains

1 = I, 2 = II, 3 = III, 4 = IV, 5 = V, 6 = VI, 7 = VII, 8 = VIII, 9 = IX, 10 = X, 11 = XI, 19 = XIX, 20 = XX, 49 = XLIX, 50 = L, 90 = XC, 100 = C, 200 = CC, 900 = CM, 1 000 = M

Boîte à outils

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Conc

ours

bl

anc

1Concours blanc

Épreuve d’attention 1 :0 0 1 0

Les chiffres des opérations ont été remplacés par des symboles selon la clef ci-des-sous. Pour chaque opération, cochez la bonne solution, codée elle aussi.

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1 = ▼ 2 = ♠ 3 = ≡ 4 = ♥ 5 = ♦ 6 = ⌂ 7 = □ 8 = ♣ 9 = ● 0 = Λ

≡ + ♠ = A. ♥ B. ♦ C. ⌂ D. □

♥ + ▼ = A. ♠ B. ♥ C. ♦ D. ▼

⌂ + ≡ = A. ● B. Λ C. □ D. ≡

♣ + ▼ = A. ▼ B. ♣ C. ♥ D. ●

□ + ▼ = A. ● B. □ C. ♣ D. ⌂

≡ + ● = A. ▼♠ B. ≡▼ C. ▼□ D. ≡ ♠

⌂ + □ = A. ▼♦ B. ≡ ≡ C. ♥ □ D. ▼ ≡

♥ + ♣ = A. ▼⌂ B. ▼♠ C. ♠ ♣ D. ♥ ♦

♣ + □ = A. ♦ ▼ B. ≡ ♥ C. ▼♦ D. Λ ♠

♦ + ▼▼ = A. ▼⌂ B. ≡ ♠ C. ▼♦ D. ♠ □

▼♦ + □ = A. ≡ ♠ B. ♠ ♠ C. ♦ ♠ D. ♥ ♠

▼≡ + ● = A. ▼● B. ♠ Λ C. ♠▼ D. ♠ ♠

▼♣ + ⌂ = A. ≡ □ B. ♠ ♥ C. ♣ ♠ D. ▼●

▼⌂ + ▼Λ = A. ⌂ ♠ B. ⌂ □ C. ⌂ ≡ D. ♠ ⌂

♠ ♦ + ▼● = A. ♥ ♠ B. ♠ ♦ C. ⌂ ♥ D. ♥ ♥

≡ Λ + ♠ ♦ = A. ♦ ♦ B. ♦ □ C. ⌂ ♦ D. □ ♦

▼□ + ≡ ♠ = A. ♦ ● B. ● ♥ C. ♥ ● D. □ Λ

♦ ♠ + ▼● = A. □▼ B. ▼♥ C. ♦ ♥ D. ♦▼

♠▼ + ♥ ⌂ = A. ♦ □ B. ♥ □ C. ♣ □ D. ⌂ □

▼♦ + ▼♦ = A. ♠▼ B. ≡ Λ C. □ ≡ D. ♥ ♥

ATTENTION 2. Temps Imparti : 10 minutesLes chi�res des opérations ont été remplacés par des symboles selon la clef ci-dessous. Pour chaque opération cochez la bonne solution, codée, elle aussi.

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

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IX

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Infirmier : Depuis la réforme du concours d'accès aux IFSI (Instituts de formation aux soins infirmiers) en 2009, les tests durent 2 heures, généralement répartis en 45 minutes de logique, 45 minutes d'organisation (et parfois d'attention) et 30 minutes d'aptitudes numériques, parfois plus en numérique.Pour bien vous préparer, travaillez tous les chapitres d'aptitude numérique (surtout les chapitres 7 et 8 et un peu moins le chapitre 11), tous les chapitres d'aptitude logique et particulièrement les séries, les ensembles et les tests d'organisation, et le chapitre 29.

Aide-soignant, auxiliaire de puériculture : Pour intégrer les IFAS (Instituts de formation pour les aides-soignants), il faut subir une épreuve de 2 heures contenant quelques questions de mathématiques si vous n'êtes pas titulaire d'un diplôme de niveau IV (baccalauréat ou équivalent). Misez particulièrement sur les chapitres 1 à 9 de cet ouvrage.Pour intégrer les IFAP (Instituts de formation pour les auxiliaires de puériculture), il faut préparer sensiblement la même chose que les infirmiers, mais en aptitude numé-rique vous aurez peu de problèmes et plus de calcul. Travaillez donc surtout les cha-pitres 1 à 9, 14 à 24 et 29.

Concours sociaux : Présents dans trois IRTS (Instituts régionaux de travail social) jusqu'en 2012, les tests ont disparu en 2013 à Caen et Nancy. Ils sont présents à Bordeaux-Talence pour les concours d'assistant de service social, de conseiller en économie sociale et familiale, d'éducateur spécialisé, d'éducateur de jeunes enfants et de moniteur-éducateur et durent 2 heures. Pour réussir ces tests réputés difficiles, travaillez surtout l'aptitude logique (chapitres 14 à 21) et l'aptitude verbale (chapitres 25, 28 et 29).

Orthophonie : Neuf concours sur dix-sept proposent des tests. Dans certains concours, ils sont surtout graphiques et verbaux (Lyon, Nancy, Nice, Paris), dans d'autres essentiellement numériques et logiques (Amiens, Marseille, Montpellier, Nantes, Toulouse). Les durées sont très variables. Pour les premiers, travaillez les chapitres 14 à 21, 24 et 29, pour les autres préférez les chapitres 1 à 13 (surtout 10 et 11). De plus, les chapitres 25 à 28 peuvent constituer une base pour vos connaissances en français.

Ergothérapie, orthoptie, manipulation en radiologie : Ces concours proposent des tests psychotechniques ou psychophysiques généralement d'une heure. C'est en ergothérapie qu'ils sont le plus présents. Les contenus sont assez similaires. Pour les réussir, travaillez les chapitres de calcul (1 à 9), ceux de logique (14 à 21 et 24) et les chapitres d'aptitude verbale. Précisons qu'il y a pu avoir dans ces concours quelques questions de culture générale avec les tests (sur l'histoire de France par exemple en 2012).

Quels chapitres pour votre concours ?

X

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Aptitude numérique

1. QCM de maths : comment être performant ? 32. Nombres relatifs 73. Calculs, priorités et estimations 174. Puissances 335. Racines 406. Pourcentages 477. Règle de trois, proportionnalité 558. Grandeurs. Conversions. Mélanges 679. Calcul mental rapide 9610. Équations 11611. Dénombrements 12612. Aires 13713. Volumes 144

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Les tests numériques sont fréquents dans les concours des secteurs para-médicaux et sociaux. Le but est d’évaluer la capacité du candidat à exploi-ter à la fois des connaissances essentielles (niveau troisième ou seconde) et leur mise en application logique. Ces tests doivent être réalisés sans

calculatrice et en temps limité. Avec une révision des règles et de l’entraînement, cette partie des tests doit permettre d’augmenter votre moyenne.

Infirmier : Depuis la réforme de 2009, les tests numériques ont été renforcés ; ils représentent un tiers de la note finale. Ils ne sont pas plus difficiles (niveau col-lège), mais plus nombreux. On trouve entre 30 et 45 minutes d’épreuve avec parti-culièrement du calcul, des conversions, de la proportionnalité, des pourcentages et des mises en équation. Mais il est recommandé de tout revoir.

Aide-soignant, auxiliaire de puériculture : Pour les candidats au concours d’aide-soignant qui doivent passer l’écrit, il y a seulement quelques questions numé-riques basées sur le calcul et la résolution de petits problèmes. Les candidats au concours d’auxiliaire de puériculture ont 20 à 30 minutes d’aptitude numérique avec du calcul et des problèmes. Travaillez bien les fractions, racines, puissances, conversions et la proportionnalité.

Concours sociaux : Dans ces concours, l’aptitude numérique est moins présente. Il faut toutefois maîtriser le calcul et revoir les fractions, puissances et racines. Pensez que les séries logiques, difficiles à Bordeaux, peuvent faire appel à du calcul.

Orthophonie : Les tests sont particulièrement numériques dans cinq centres. À Amiens et Montpellier, vous trouverez des calculs, équations (et inéquations). Il en est de même à Marseille avec un niveau de terminale scientifique. À Nantes et Toulouse, il s’agit particulièrement de dénombrement de mise en équation, mais aussi de questions à formulation complexe et à support numérique.

Ergothérapie, orthoptie, manipulation en radiologie : Dans ces concours peu de tests numériques, mais parfois du calcul rapide et quelques petits problèmes ba-sés sur tout thème possible (niveau troisième).

Les chapitres qui suivent cherchent à couvrir de façon la plus pédagogique et ex-haustive les thèmes des concours. En complément, exercez-vous le plus possible au calcul mental pour développer votre aisance avec les nombres.

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1QCM de maths : comment être performant ?

Les conseils qui vont suivre concernent les QCM dont la règle du jeu indiquée en début d’épreuve précise qu’il y a une bonne réponse et une seule parmi celles qui sont proposées.

Si vous êtes bon en maths, vous allez avoir tendance à résoudre le problème posé sans tenir compte des propositions de solutions. La réponse que vous allez trouver, vous vérifierez ensuite si elle figure bien parmi les propositions : si c’est le cas, vous vous direz « j’ai réussi » ; sinon vous chercherez une erreur dans vos calculs.

Dans certains types de problème cette tactique va vous faire perdre du temps et vous ne pourrez pas finir l’ensemble des QCM, contrairement à d’autres candi-dats plus malins et efficaces.

Voici quelques exemples de problèmes où partir des valeurs proposées comme solutions permet d’être efficace et rapide.

Exemple 1

Bacchus se verse à boire la moitié d’une bouteille pleine de bon vin. Il revient vers la bouteille et boit le tiers de ce qui reste. Puis il retourne boire le quart du dernier reste. Le contenu restant de la bouteille lui permet de se remplir enfin un dernier verre de 33 cL.Quelle est la capacité de cette bouteille ? r a. 66 cL r b. 100 cL r c. 120 cL r d. 132 cL r e. 144 cL

Solution

Au lieu de se lancer dans des équations ou des calculs de fractions, on peut essayer de vérifier si l’on obtient le 33 cL final à partir d’une des valeurs pro posées.Un premier essai astucieux est de partir de la valeur du milieu parmi les proposi-tions : ici 120 cL.Bacchus verse 60 cL, il reste 60 cL. Il boit le tiers du reste soit 20 cL. Il reste 40 cL dans la bouteille. Il boit le quart de ce reste soit 10 cL, il reste 30 cL dans la bouteille et non 33 cL. Notre choix c. n’est pas le bon, mais comme il donne un peu moins que ce qu’il faut, on peut abandonner les essais pour une valeur moindre, et faire un autre essai avec la valeur du d. un peu supérieure : 132 cL.

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QCM de maths : comment être performant ?1

4

Bacchus verse 66 cL, il reste 66 cL. Il boit le tiers du reste soit 22 cL, il reste 44 cL dans la bouteille. Il boit le quart du reste, soit 11 cL. Il reste 33 cL dans la bouteille : c’est ce qu’on souhaitait, la bonne réponse est d.

Exemple 2Au moment où elle met au monde son quatrième enfant, une mère (profes seur de maths) a 3 fois la somme des âges de ses 3 premiers enfants. Sachant que dans 8 ans son âge sera la somme de ceux de ses 4 enfants, quel son âge actuel ?q a. 36 ans q b. 35 ans q c. 33 ans q d. 30 ans q e. 27 ans

SolutionPartons de la valeur 36 ans.Elle est bien divisible par 3, car 36 c’est 3 × 12. Dans 8 ans la mère aura 44 ans. Chaque enfant aura 8 ans de plus, et à quatre cela fera 8 × 4 = 32 ans de plus, la somme de leurs âges sera aussi 12 + 32 = 44. On a trouvé, la solu tion est le a.

Voici maintenant d’autres types de problèmes : ceux où figurent de nombreuses va-riables abstraites sous forme de lettres. On a peur de s’y perdre…Imaginer certaines valeurs à la place des lettres peut permettre de débrouiller la situation…

Exemple 3Si x, y et z sont trois nombres non nuls tels que 1 / z = 1 / x + 1 / y, alors x =q a. y z / (z – y) q c. (y – z) / y z q e. z – yq b. y z / (y – z) q d. (z – y) /y z

SolutionChacun sait que ½ = ¼ + ¼.On peut donc imaginer x = 4, y = 4 et z = 2 et voir s’il n’y a pas qu’une seule des formules proposées qui serait valable pour ces valeurs concrètes là.y z / (z – y) = 8 / (– 2) = – 4 ; y z / (y – z) = 8 / 2 = 4 ; (y – z) / y z = 2 / 8 = ¼ ;(z – y) / y z = 2 / 8 = ¼ ; z – y = 2 ; seule la formule b. donne la bonne valeur de x = 4. La solution est b.

Exemple 4Les trois nombres entiers positifs non nuls et différents a, b, c vérifienta + b + c = 6. Que vaut : 1 / (a + b) + 1 / (b + c) + 1 / (a + c) ?q a. 17 / 30 q b. 27 / 40 q c. 37 / 50 q d. 47 / 60 q e. 57 / 60

SolutionOn peut imaginer a = 1, b = 2, c = 3, on a bien a + b + c = 6.On obtient alors 1 / (a + b) + 1 / (b + c) + 1 / (a + c) = 1 / 3 + 1 / 5 + 1 / 4= (20 + 12 + 15) / 60 = 47 / 60.La bonne réponse est donc d.

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Exercices d’entraînement

1. Ma sœur a autant de frères que de sœurs. Mon frère a deux fois plus de sœurs que de frères. Combien y a t-il d’enfants dans notre famille ?q a. 5 q b. 6 q c. 7 q d. 8 q e. 9

2. Je suis un nombre de deux chiffres. Si on intervertit mes deux chiffres, on ob-tient un nombre valant 1 de moins que ma moitié. Qui suis-je ?q a. 32 q b. 42 q c. 52q d. 34 q e. un tel nombre n’existe pas

3. Dans 20 ans ton âge sera le carré de ton âge actuel. Quel âge as-tu ?q a. 5 ans q b. 6 ans q c. 7 ans q d. 8 ans q e. 9 ans

4. Soient a, b, c trois nombres réels. Quatre des cinq relations ci-dessous sont équivalentes entre elles (reviennent au même après simplification).Quelle est celle qui n’est équivalente à aucune autre ?

q a. b = (a + c) 2

q c. b = (2a + b + 2c)5

q e. b = a – b + c

q b. b = (a + b + c)3

q d. b = (4a + 2b + c)7

5. Ludo écrit trois nombres. En les ajoutant deux par deux, il obtient les sommes 63, 65 et 68. Quel est le plus petit des trois nombres écrits ?q a. 25 q b. 28 q c. 23 q d. 31 q e. 30

6. Une mouche s’est écrabouillée sur l’extrémité d’une pale d’éolienne de 20 m de rayon. Celle-ci tourne régulièrement à la vitesse de 30 tours à la minute.Quelle est la vitesse de déplacement du cadavre de la mouche (à 1 km/h près) ?q a. 147 km/h q b. 166 km/h q c. 185 km/h q d. 204 km/h q e. 223 km/h

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QCM de maths : comment être performant ?1

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Corrigés des exercices

1. Réponse c.« Ma sœur a autant de frères que de sœurs » : il y a donc une fille de plus que le nombre de garçons. Essayons la valeur centrale proposée : 7 enfants, qui correspond à 4 filles et 3 garçons : une fille a autant de sœurs (3) que de frères (3), un garçon a deux fois plus de sœurs (4) que de frères (2). La solution est donc 7 enfants.

2. Réponse c.On peut faire des essais avec les quatre valeurs proposées.52 est la solution, car l’interversion donne 25, et 25 + 1 = 26 est la moitié de 52.

3. Réponse a.Il peut sauter à l’œil de suite que 5 + 20 = 25 est le carré de 5.

4. Réponse d.Partons de la première proposition b = (1 / 2) (a + c) et imaginons des valeurs qui la res-pectent, par exemple a = 1, b = 2, c = 3 car 2 = (1 / 2) (1 + 3).Les calculs des propositions suivantes conduisent à :a. (1 + 3) / 2 = 2 vrai. b. (1 / 3) (6) = 2 vrai. c. (1 / 5) (10) = 2 vrai.d. (1 / 7) (11) = 2 faux. e. 2 = 2 vrai.La formule différente des autres est donc d.

5. Réponse d.Classons les propositions par ordre croissant : 23, 25, 28, 30, 31. La valeur centrale est 28 : essayons-la.Pour faire 63, il faut un deuxième nombre égal à 63 – 28 = 35. Pour faire 65 il faut un troi-sième nombre égal à 65 – 28 = 37. La somme de 35 et 37 fait 72 ce qui ne correspond pas à l’énoncé (68).Comme on trouve trop avec ces deux nombres obtenus par des soustractions, on va plu-tôt essayer les valeurs supérieures du petit nombre, ce qui, par soustraction à ces deux grands nombres, donnera moins.Prenons 30. Pour faire 63, il faut un deuxième nombre égal à 63 – 30 = 33. Pour faire 65, il faut un troisième nombre égal à 65 – 30 = 35. On obtient alors la somme 33 + 35 = 68 qui corres-pond à l’énoncé.La plus petit des trois nombres est 30.

6. Réponse e.Le cadavre de la mouche parcourt un cercle de rayon 20 m, cela 30 fois à la minute donc 30 × 60 = 1 800 fois à l’heure.Le périmètre correspondant à un tour est 2 p R = 40 p (en mètres).La distance parcourue en une heure par le cadavre, en km, est :

40 p × 1 800 / 1 000 = 40 p × 1,8 = 72 pOn sait que p vaut environ 3,14 ; mais ce qui importe, c’est que p est plus grand que 3. Comme 72 est plus grand que 70, le résultat cherché est supérieur à 70 × 3 = 210 km. Il n’y a qu’une seule proposition supérieure à 210 km, c’est 223 km.On peut éviter tout calcul précis dans ce QCM, et s’en tirer par une évaluation de l’ordre de grandeur du résultat confronté aux propositions. Ceci est vrai même si les proposi-tions semblent précises (comme ici 147, 166, 204…)

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2Nombres relatifs

Comme Monsieur Jourdain qui découvrait avec stupéfaction que sa réplique « Nicole, apportez–moi mes pantoufles » était de la prose, certains d’entre nous apprendront avec ravissement que quand nous disons « Cela fait 10 euros », nous utilisons un nombre entier relatif positif et si nous ajoutons « C’est 1,5 eu-ros de moins que la semaine dernière  », alors il s’agit d’un nombre décimal relatif négatif… Ces termes, qui peuvent paraître bien abs cons, sont pourtant très utiles, car lorsqu’on parle de choses précises comme les mathé matiques, il est important d’être clair.

Le mot relatif peut s’entendre comme « relativement à zéro », et l’on considère donc des nombres qui peuvent être positifs (supérieurs à zéro) ou négatifs (in-férieurs à zéro).

Il existe des nombres entiers relatifs positifs (0, + 1, + 2, + 3, etc.) et des nombres entiers relatifs négatifs (0,  1,  2,  3, etc.).

Il existe des nombres décimaux relatifs positifs (exemple  : +  1,825) et des nombres décimaux relatifs négatifs (exemple :  6,07).

Comparer deux nombres relatifsl Si l’un des deux nombres est positif et l’autre négatif  : c’est le nombre négatif

qui est le plus petit.

Exemple 2 < + 1.

l Si les deux nombres sont positifs : on applique la règle habituelle de com paraison.

Exemple6 < 8 soit + 6 < + 8.

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Nombres relatifs2

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l Si les deux nombres sont négatifs : c’est le nombre qui a la plus grande dis tance à zéro qui est le plus petit.

Exemple 8 < 6 car la distance 8 à zéro est 8, ce qui est plus grand que la distance de 6 à zéro qui n’est que 6.

Additionner les nombres relatifsl Pour deux nombres relatifs de même signe : on ajoute les deux distances par rap-

port à zéro, et on met devant le résultat le signe commun aux deux nombres.

Exemples( 2) + ( 3) = ( 5) (+ 6) + (+ 8) = (+ 14)

l Pour deux nombres relatifs de signes différents : on soustrait les deux dis tances à zéro, et on met devant le résultat le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.

Exemples( 2) + (+ 5) = (+ 3) le signe du résultat est + car 5 > 2.( 7) + (+ 2) = ( 5) le signe est car 7 > 2.

l Quand deux nombres sont opposés : leur somme est égale à zéro.

Exemple( 4) et (+ 4) sont opposés : ( 4) + (+ 4) = 0.

Différence de deux nombres relatifsl Pour soustraire un nombre relatif, il faut ajouter son opposé.

Exemples(+ 12) – ( 4) = (+ 12) + (+ 4) = (+ 16)( 7) – ( 9) = ( 7) + (+ 9) = (+ 2)(+ 10) – (+ 18) = (+ 10) + ( 18) = ( 8)( 6) – (+ 8) = ( 6) + ( 8) = ( 14).

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Écriture simplifiée des relatifsl Dans une suite d’additions de nombres relatifs, on peut supprimer les signes d’ad-

dition et les parenthèses.

Un nombre positif écrit en début de calcul peut s’écrire sans signe (mais pas un nombre négatif).

Exemples(+ 7) + (+ 11) + ( 16) peut s’écrire 7 + 11 – 16.( 3) + (+ 2) + ( 5) peut s’écrire 3 + 2 – 5.Inversement, le calcul 5 – 8 + 11 peut s’écrire (+ 5) + ( 8) + (+ 11).

Effectuer une suite de calculs avec des nombres relatifsl S’il n’y a pas de parenthèses encadrant les calculs :1re tactique  : on transforme les soustractions de nombres relatifs négatifs en addi-tions, on supprime les termes opposés s’il y en a, puis on regroupe les termes positifs et les termes négatifs, et on effectue les sommes de ces termes.

Exemple ( 4) – ( 8) – ( 7) + ( 8) + (+ 15)= ( 4) + (+ 8) + (+ 7) + ( 8) + (+ 15)= ( 4) + (+ 7) + (+ 15)= ( 4) + (+ 22) = (+ 18).

2e tactique : on applique les règles de simplification des écritures, on sup prime les opposés, on regroupe les termes positifs et négatifs et on effectue les sommes.

Exemple ( 4) – ( 8) – ( 7) + ( 8) + (+ 15)= 4 + 8 + 7 – 8 + 15= 4 + 7 + 15= 4 + 22 = 18.

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l S’il y a des calculs encadrés par des parenthèses : on commence par effec tuer les calculs dans les parenthèses, ensuite on applique une des méthodes précédentes.

Exemple ( 5) – ( 6 + 4) + (7 – 11)= ( 5) – ( 2) + ( 4)= 5 + 2 – 4= 9 + 2 = 7.

Multiplication de deux nombres relatifsPour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs distances à zéro, puis on détermine le signe du produit :l si les deux nombres sont de même signe, le produit est positif ;l si les deux nombres sont de signes différents, le produit est négatif.

Exemples( 3) × ( 8) = (+ 24) ( 2) × (+ 6) = ( 12)(+ 6) × (+ 7) = (+ 42) (+ 8) × ( 3) = ( 24)

Multiplication de plusieurs nombres relatifsOn compte le nombre de nombres négatifs dans ce produit :l si ce nombre est pair, le produit est positif ;l si ce nombre est impair, le produit est négatif.

Exemples( 2) × ( 5) × (+ 7) × ( 6) = 420 (il y a trois négatifs donc le produit est négatif). ( 6) × (+ 5) × ( 5) × (+ 4) = + 600 (il y a deux négatifs donc le produit est positif).

Division de deux nombres négatifsPour diviser deux nombres relatifs (le diviseur n’étant pas zéro) :l on divise leurs distances à zéro ;l on applique la même règle de signe que pour la multiplication.

Exemples( 8)( 2)

= (+ 4) ( 15)(+ 5)

= ( 3)

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Priorités

l Si un calcul comporte des opérations entre parenthèses, celles–ci sont effec tuées en priorité.

Exemples( 6) – (( 5) + ( 2)) = ( 6) – ( 7) = 6 + 7 = + 1.( 2,5) × ( 4 + 8) = ( 2,5) × (+ 4) = ( 10).

l Si un calcul ne comporte pas d’opérations entre parenthèses, les multiplica tions et les divisions sont effectuées en priorité sur les additions et les sous tractions.

Exemple( 3) + ( 4) × (+ 3) = 3 + ( 12) = ( 15).

Conduire un calcul…On observe d’abord la présence éventuelle de parenthèses, puis d’opérations de priorités différentes...Mais pour faciliter le calcul de certaines expressions, on peut utiliser aussi la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition ou à la soustraction :

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

a × (b – c) = (a × b) – (a × c)

Exemples ( 8) × (+ 13) + ( 8) × ( 3)= ( 8) × (+ 13 + ( 3))= ( 8) × (+ 10) = ( 80).

( 75) × (+ 102)= ( 75) × (100 + 2)= ( 75) × 100 + ( 75) × 2= 7 500 – 150 = 7 650.

Avant d’exécuter un calcul, on pourrait dire qu’il se médite…

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Nombres relatifs2

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Exercices d’entraînement

Niveau 1 :0 0 1 5

1. Ranger par ordre décroissant les nombres suivants :

11 11,8 18 + 11 10,8

2. Calculer x dans chacune des égalités suivantes :

a. 6 + x = 2 b. x + ( 3) = + 1 c. (+ 5) + x = 8

3. Calculer les quatre nombres suivants :

A = ( 14) – ( 11) C = 7 – 8 + 9 – 7B = (+ 25) + ( 7) D = 6 – 15 – 7 + 2

4. Calculer les deux nombres suivants :

E = 17 – (( 3) – (+ 12)) F = (13 – ( 2)) – (9 – (+ 12))

5. Calculer : ( 2) × (+ 4) × ( 5) × ( 3)

6. Calculer : ( 7) + ( 3) × ( 2) – ( 9)

7. Calculer : 15 – [7 – [ 3 – ( 12)]]

8. Déterminer x sachant que : ( 5) + ( x) = 15

9. Calculer les trois expressions suivantes :

a. ( 9)( 3)

b. 7 × ( 4) c. 5 × ( 2 + 6)

10. Calculer astucieusement :

A = 970 × ( 13) + 30 × ( 13)B = 99 × (+ 25)

11. Calculer : 8 ( 4) × 7 + ( 7) × 4 + ( 8)

12. Calculer : ( 35)/( 7) 5 × 6 8/( 2)

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Niveau 2 :0 0 2 5

13. Que vaut 3 – (2 – (1 – (3 – (2 – (1 – 3))))) ?

q a. 3 q b. 1 q c. 0 q d. 1 q e. 3

14. Roméo et Juliette ont décidé d’explorer un gouffre dont le point le plus bas est situé à 426 m par rapport au niveau de l’entrée. Ils arrivent à – 134 m et doi-vent descendre dans un puits pour atteindre un ruisseau souterrain qui coule à – 251 m. Lorsqu’ils ont atteint ce ruisseau, de combien de mètres doivent–ils encore descendre pour atteindre le fond du gouffre ?

q a. 41 m q b. 175 m q c. 185 m q d. 292 m q e. 309 m

15. Du cube de (– 1) on soustrait le carré de (– 4). Que vaut cette différence ?

q a. 65 q b. 7 q c. 63 q d.  15 q e.  17

16. – 2² – 2² = combien ?

q a.  23 q b.  20 q c. 20 q d. 24 q e. 42

17. Le nombre 1 – 2 + 3 – 4 + … + 2 005 – 2 006 n’est pas :

q a. entier q b. négatif q c. inférieur à 500 q d. multiple de 3 q e. multiple de 2

18. Que vaut : 2 – 4 + 6 – 8 + … – 204 + 206 – 208 + 210 ?

q a. 104 q b. 106 q c. 210 q d. 208 q e. 210

19. Que vaut ( 1)2 006 – ( 1)2 007 ?

q a. 2 q b. 1 q c. 0 q d. 1 q e. 2

20. Parmi les nombres suivants, quel est le plus petit qui dépasse 117

 ?

q a. 1,57 q b. 1,58 q c. 1,56 q d. 11,7 q e. 11,71

21. Que vaut – 2,333… ?

q a. 53

q b. (2 + 310 ) q c. 2,34 q d.

73

q e. 2,4

22. 2 006 – (1 – 2) – (3 – 4) – (5 – 6) –... – (2 005 – 2 006) = combien ?

q a. 1 003 q b. 2 006 q c. 3 009 q d. 0 q e. 4 012

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Corrigés des exercices

1. Par ordre décroissant : + 11 > 10,8 > 11 >  11,8 >  18.

2. a. 6 + x = 2 donne x = – 2 – 6 = 8b. x + ( 3) = + 1 donne x = + 1 – ( 3) = + 4c. (+ 5) + x = 8 donne x = 8 – (+ 5) = 13

3. A = ( 14) – ( 11) = 14 + 11 = 3B = (+ 25) + ( 7) = + 18C = 7 – 8 + 9 – 7 = 15 + 9 – 7 = 6 – 7 = 13D = 6 – 15 – 7 + 2 = 9 – 7 + 2 = 16 + 2 = 14

4. E = 17 – (( 3) – (+ 12)) = 17 – ( 3 – 12) = 17 – ( 15) = 17 + 15 = + 32F = (13 – ( 2)) – (9 – (+ 12)) = (13 + 2) – (9 – 12) = 15 – ( 3) = 15 + 3 = 18

5. ( 2) × (+ 4) × ( 5) × ( 3) = 120, le résultat est négatif car il y a un nombre impair (3) de nombres négatifs dans le produit.

6. ( 7) + ( 3) × ( 2) – ( 9) = 7 + 6 + 9 = 1 + 9 = + 8.

7. 15 – [7 – [ 3 – ( 12)]] = 15 – [7 – ( 3 + 12)]= 15 – (7 – 9)= 15 – ( 2) = 15 + 2 = 17.

8. ( 5) + ( x) = 15 donne 5 – 15 = x, d’où x = 20.

9. a. ( 9)( 3)

= + 3

b. 7 × ( 4) = 28c. 5 × ( 2 + 6) = 5 × (4) = 20

10. A = 970 × ( 13) + 30 × ( 13) B = 99 × (+ 25) = (970 + 30) × ( 13) = (100 – 1)(25) = 1 000 × ( 13) = 13 000 = 100 × 25 – ( 1) × 25 = 2 500 + 25 = 2 475.

11. 8 ( 4) × 7 + ( 7) × 4 + ( 8) = 8 ( 28) + ( 28) 8 = 8 + 28 28 8 = 16

12. ( 35)/ ( 7) 5 × 6 8/( 2) = 5 30 ( 4) = 5 30 + 4 = 25 + 4 = 21

13. Bonne réponse : e. 3 – (2 – (1 – (3 – (2 – (1 – 3))))) = 3 – (2 – (1 – (3 – (2 – ( 2)))))= 3 – (2 – (1 – (3 – (4))))= 3 – (2 – (1 – ( 1)))= 3 – (2 – (2)) = 3

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14. Bonne réponse : b.Dans ce genre d’exercices, un dessin pourrait aider à mieux comprendre l’énoncé et à trouver rapidement la solution :

Entrée du gou�re

Fond du gou�re

0 m

– 134 m

– 251 m (ruisseau)

Distance recherchée

– 426 m

Le 134 ne sert à rien. On calcule 426 – 251 = 175 m.

15. Bonne réponse : e.On écrit le calcul : ( 1)3 – ( 4)2 = 1 – (+ 16) = 17.

16. Bonne réponse : a. 4 – 4 = 8 = 23.En l’absence de parenthèses, la puissance s’applique au 2 et non au signe –, de même que la multiplication a priorité sur la soustraction.

17. Bonnes réponses : d. et e.Il faut d’abord effectuer le calcul : 1 – 2 + 3 – 4 +... 2 005 – 2 006

On remarque qu’on peut regrouper les nombres composant ce calcul par paires, chaque paire composant une soustraction et chaque soustraction étant égale à 1.Il faut donc calculer le nombre de paires. Il y a 2 006 nombres dans le calcul.

Quand on les regroupe par deux, cela donne 2 0062 = 1 003 paires.

Le résultat est donc : 1 × 1 003 = 1 003. 1 003 est un nombre entier négatif inférieur à 500, mais il n’est ni multiple de 3 ni multiple de 2.

18. Bonne réponse : b.Il y a 105 nombres, on laisse le premier 2, et les 104 autres peuvent être regroupés par paires (voir exercice précédent) soit 52 paires donnant chacune 2.D’où la somme : 2 + 52 × 2 = 106.

= 1 = 1 = 1

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