C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, SCrie II b, p. 159-162, 1998 Mcanique des solides et des structures/Mechanics of solids and structures

Le module linbaire usuel dkduit de Masticit non tridimensionnelle AIain CIMETIhE, Aziz HAMDOUNI, OIivier MILLET

de plaque lineaire

L3MA, universitk de Poitiers et ENSMA, SPSMI TBlBport 2, Futuroscope cedex, France E-mail : hamdounA@13ma.univ-poitiewfr

(Recu le 19 novembre 1997, accept6 le 25 novembre 1997)

R&sum& Nous proposons ici une nouvelie justification du modele bidimensionnel linktire de plaque de Kircbboff-Love par developpement asymp~tique des equations d’6quilibre 1u)11 ~i~ai~~. Pour de faibles niveaux d’efforts, l’analyse ~yrnp~~que conduit natn- rellement au modele lin&ire de plaque de logoff-Eve, alors que pour des niveaux d’efforts plus irnpo~~, on est conduit au modele bi~m~sio~el non lin&ire de plaque mince. 0 Acad&nie des ScienceslElsevier, Paris

&stieiti? non lin&aire I thborie des plaques I mod&le de Kirchhoff-Love / mbhodes asymptotiques

The usual linear plate model deduced from the nonlinear

three-dimensional elasticity

Abstract. A new justification of the two-dimensional linear Kirchhoff-Love plate model is given by asymptotic expansion of the nonlinear equilibrium equations. For weak level forces, the asymptotic analysis leads to the two-dimensional linear Kirchhoff-Love model, whereas for moderate level forces, it leads to the usual nonlinear two-dimensional plate model. 0 Academic des SciencesIElseviel; Paris

nonlinear elasticity /plate theory / Kirchhoff-Love model/asymptotic method

1. Position du probl&me

C&e note s’inscrit dans la continue de Millet et al. [I, 21 auxquels il ~onvient de se rapporter pour les notations et les dhitions qui ne sont pas rappel&s ici.

L’objectif de cet article est de rkoudre un paradoxe rencontrk en Moxie asymptotique des plaques. En effet, le modhle 1inCaire de Kirchhoff-Love, obtenu B partir d’un dkveloppement asymptotique des @ations d’equilibre Zin&res tridimensionnelles, et le modiYe non lintaire de plaque, obtenu par

Note p&e&e par fivariste SANCHEZ-PALENCIA.

1251-8069/98/03260159 Q Acadhie des Sciences/Elsevier, Paris 159

A. Cimet2re et al.

developpement asymptotique des equations d’equilibre non h&&es tridimensionnelles, sont valables pour les msmes niveaux d’efforts (.!F3 = 9s = e4, ?Jt = e3 ) et de deflexion (de l’ordre de l’epaisseur : u3, = h). Ainsi, pour les m&mes niveaux d’efforts et de deflexion, on peut choisir in~ff~re~ent le modele lin6aire ou le modele non 1inBaire de plaque. Or, il est connu que ces deux modeles traduisent des complements qu~i~tivement di.ff&ents.

On a montre darts [Z], que pour des niveaux d’efforts v&ifiant P3 = 8, = e4 et 8, = s3, le developpement asymptotique des equations d’equilibre non lineaires tridimensionnelles conduit au modele bidimensiomrel non lintaire de plaque mince. Si l’on considere maintenant une plaque soumise a des niveaux d’efforts plus faibles, vCrifiant F3 = g3 = es et gt = s4, on montre alors, en suivant la demonstration du resultat 1 de Millet et al. [2], que le premier terme ( Vs, ui) du developpement de ( V, a3 ) est un deplacement de K&l&off-Love qui est solution du probleme non lineaire de plaque sans second membre :

oil :

, np=~~TrE~((i")Z2+4E,(5')

E,( co) = i (grad 4’: + grad Cp + grad C! grad C! )

Lorsque la plaque est suffisamment bloquee sur son bord lateral, par exemple encastree, ce probleme admet comme seule solution Vs = tiz = 0 [3, 41. En suivant alors la demarche developpee [5], on est conduit a r~a~ensio~~iser les equations ~~q~libre avec U, = s2 h et g3r = eh. Les nouvelles equations d’equilibre adimensionnelles s’krivent alors darts Sz = LLI x ] - 1, 1 [ :

e2[(1+8)praddivV+AV]+(1+B)grad~+~+~div(E,+T,)+~~(Q+T,)=O 3

s2 (~+~)~~vV+A~~ [ 1 (1)

3

avec les conditions aux limites :

gradu,+g+$(Q+T,) = f~~g: sur CIJX{~~}

(2+8)~+8E2diYV+~fE,+r.) = rtE4& sur wx(*l) (2)

oh l’on a pose /I = &I et oti r et E, font intervenir les incommes adimensionnelles V et u3 ainsi que leurs derivees.

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ModUe Maire de plaque dCduit de I’6lasticit6 non lineaire

2. Diveloppement asymptotique des Cquations d’kquilibre

La mise en ceuvre de la technique des developpements asymptotiques, postulant l’existence d’un developpement en s&ie formelle de l’inconnue deplacement

(V, us) = (P, 4) + &( v’, u:> + &2( v2, u;> + ...

conduit au resultat :

2.1. R&&at 1. - Pour des niveaux d’efforts exte’rieurs ve’rijant F3 = 9, = c5 et B, = Ed, le premier terme ( p, ui ) du dkveloppement de ( V, u3 ) est un d&placement de Kirchho$-Love qui satisfait & :

&i = 4%~ x2 > p = l%xl, x2 > - x3 grad 4’;

8~A2~~=p3+divM, 3/9+2

dans w

divny=-p, dans o

oii :

f

1

P3 = ./&3+& +gG Pt=d +g; et K=d -2% -1

2.2. Esquisse de la dbmonstration

Les problemes Pa et 9, permettent d’obtenir facilement

u!=C%xl,x2), vo=-x3gradr~+r~(xl,x2) (3)

u:=C:(xI,x2), V’=-x3grad5:+r,‘(xl,x2) (4)

qui constituent les hypotheses de Kirchhoff-Love pour les deux premiers termes du developpement.

On constate alors que, compte tenu de la nouvelle adimensionnalisation, ainsi que de (3) et de (4), les non-linkrit6s n’interviennent pas dans les problbmes d’ordre superieur B2 et P4. Ainsi le problbme 92 s’tcrit :

: (1+/3)graddiv~+A~+/Igrad!&+-& gradu:+$$)=O

( dansD (5)

(1+~)&divVa+Au~+(2+/?)~=0 3

gradu:+$=f& pour x3=+1 (7) 3

(2+/3)$+/3divVc =0 pour x3=*1 3

(8)

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A. Cimetikre et al.

En remplaqant alors Vs dans (5) par son expression trouvke en (3), et en int@rant entre - 1 et 1, on aboutit apres quelques calculs a div uf = -pr ou l’expression de n: est celle du ~~~~Z~u~ 1.

En remplacant maintenant Vs dam (S), par son expression don&e en (3), puis en multipliant l’expression ainsi obtenue par x3 et en l’integrant par rapport a l’epaisseur apres en avoir pris la divergence, on obtient apres quelques calculs et integrations par parties :

iiii+p~~ + 1

3/3+2 Au;dx,+ [divV2]!.,=divM~

-1

11 convient maintenant, comme dam [5], d’expliciter le probleme g4 pour Climiner les incormues V2 et r& Le probleme Pp4 now donne alors :

s 1

Ar.4dx,+ [divV2]‘,=-p3 -1

ce qui conduit a l’kquation de flexion :

~~A2~;=p3+divMt dans w 3@+2

Revenant alors au domaine initial Q* et aux variables physiques, on obtient :

$ -f$ A*240 = s h

_hf;dx;+g;++g;-+diV*Mj

qui constitue l’equation lineaire standard de flexion du modele de Kirchhoff-Love.

On a ainsi montre que le modele de Kirchhoff-Love est valable pour des niveaux d’efforts plus faibles ( .F3 = 9s = a5, $9, = a4) que ceux dtfinissant le domaine de validite du modele de Von Karman ( 5F3 = CCZ3 = s4, gl = s3)_ Ces efforts cond~sent 5 des deflexions de l’ordre de E fois l’epaisseur et non de l’ordre de l’epaisseur. Ce resultat souligne la pathologie des r&ultats obtenus par developpements asymptotiques a partir des equations tridimensionnelles lineaires, qui sont deja, en quelque sorte, un << developpement asymptotique B au premier ordre des equations d’equilibre non linkires tridimensionnelles.

R6fkences biblio~aphiques

[l] Millet O., Hamdouni A., Cimetiere A., Justification du modble bidimensionnel linkire de plaque par dkeloppement asymptotique de 1’6quation de Navier, C. R. Acad. Sci. Paris 324, s&e II b (1997) 289-292.

[2] Millet O., Hamdouni A., Cimetiere A., Justification du modele bidimensiomrel non lit&ire de plaque par developpement asymptotique des equations d’kptilibre, C. R. Acad. Sci. Paris 324, s&e II b (1997) 349-354.

[3] Potier-Ferry M., Charges limites et d&o&me d’existence en thtorie des plaques Clastiques, C. R. Acad. Sci. Paris 280, s&e A (1975) 1317-1319.

[4] Potier-Ferry M., Sur un systeme d’kquations rencontre en thdorie des plaques, C. R. Acad. Sci. Paris 280, serie A (1975) 1385-1387.

[51 Millet 0.. Hamdouni A., Cimetiere A., Elanni K., Analyse dimensionnelle de l’equation de Navier et application a la theorie des plaques minces, J. Phys. III 7(10) (1997) 1909-1925.

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