Le Probléme du Language et L'Ouverture a L'Expérience. by Ferdinand GonsethReview by: G. HasenjaegerThe Journal of Symbolic Logic, Vol. 27, No. 2 (Jun., 1962), p. 226Published by: Association for Symbolic LogicStable URL: http://www.jstor.org/stable/2964131 .

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226 REVIEWS

Wissensgebiete. Im AnschluB an eine - allerdings von Funktoren ganzlich abge- sehende - Betrachtung von P. C. Gilmore (Compositio mathematica, Bd. 13 (1958)) untersucht Oberschelp solche mehrsortigen Theorien, in denen es erlaubt ist, eine Argumentstelle eines Pradikats durch' Terme verschiedener Sorten auszufuillen. Er beweist mit semantischen Mitteln eine semantische Abschwachung der zugeh6rigen Erweiterung des Sortensatzes, die fur solche Kodifikate, deren Axiomatisierung und Deduktion entscheidbar ist, auf denjenigen Teil des Sortensatzes fuhrt, in dem noch nicht von einer systematischen Umwandelbarkeit des Beweises die Rede war. Die benutzte semantische Qberlegung liefert zu jedem Modell, das die Theorie T erfullt, ein Modell, das T* erfullt. Hierbei reduziert sich die in Rede stehende Abschw~chung des Sortensatzes naturgema13 auf solche Satze, die die Soundness und die Vollstindig- keit des mehrsortigen Kodifikats betreffen. - In ? 2 ist hierbei noch eine uibliche mehrsortige Theorie zu Grunde gelegt; in ? 3 wird die Methode auf einen abstrak- teren Begriff der Mehrsortigkeit verallgemeinert, bei dem die Zugeh6rigkeit einer Sorte zu einer (fur die Ausfullung einer Argumentstelle erlaubten) Sortenmenge ersetzt wird durch eine abstrakte Relation, an die gewisse syntaktische Forderungen gestellt werden. Die Verallgemeinerung wird in ? 4 noch weiter getrieben. wobei nunmehr auch Verkniipfungszeichen in mehreren sortenma13ig unterschiedenen Rollen auftreten duirfen. - Angesichts des Umstandes, dal3 eine solche allgemeinste Gestalt mehrsortiger Logiken offensichtlich einigermaf3en unhandlich ist, sei darauf hingewiesen, daB die Ausgangsproblematik durch eine systematische Sorteneinbet- tung, die sich in beliebigen mehrsortigen Theorien in einheitlicher Weise durchfiuhren lal3t, aufl6sbar wird (der Referent hat die Theorie dieser Sorteneinbettung im April 1956 in Brussel vorgetragen). H. ARNOLD SCHMIDT

FERDINAND GONSETH. Le problime du language et l'ouverture d 1'expdrience.

Logica, Studia Paul Bernays dedicata, Biblioth~que scientifique 34, editions du

Griffon, NeuchAtel 1959, S. 84-91; auch Dialectica, Bd. 12 (1958), S. 288-295. Anknupfend an eine weitherzigen Interpretation des Begriffs der Pradikativitat

(etwa im Sinne einer Ruckkopplungsfreiheit im weitesten Sinne; Deduktion aus

irgendeinem Axiomensystem ist ein pradikativer Prozess, Reflektion uber ein System

ist nichtpradikativ) wird die These vertreten, dal der allgemeine Gang der wissen-

schaftlichen Erfahrung impradikativ sei. Die daraus abgeleitete mdthodogie ouverte,

die durch die Stichworte Dualitat, Revisibilitat, Technizitat (bzgl. Beobachtungs-

mitteln), Vollstandigkeit (als Anspruch) beschrieben wird, betrifft mehr den Prozess

des Springens von (Kenntnis-) Situation zu Situation als die Systematisierung einer

Situation, so daB kaum Platz fur eine formal-kombinatorische Sprachtheorie bleibt.

(Das Vorbild der Mathematik sei Illusion, ahnlich der Zugang durch Analyse der

Sprachelemente). G. HASENJAEGER

R. L. GOODSTEIN. On the nature of mathematical systems. Englisch, mit englischem und franz6sischem Rdsum&. Ebd., S. 92-112; auch ebd., S. 296-316.

Verf. bringt verschiedene Aspekte, die fur eine bestimmte Form der rekursiven Analysis als adaquaten Rahmen der Mathematik sprechen.

(1) Der "klassische" Beweis fur die Existenz von l p(n), wo p die charak- teristische Funktion von {nj Vr(r ! n -* P(r))} ist, liefert kein Verfahren zur Be- stimmung des limes. Sonst wurde sich, mit einer "Universellen" fur alle primitiv- rekursiven P bzw. p ein Widerspruch zum Theorem von Church ergeben (Ref.: da es um die Entscheidungen, ob VnPn (gilt), geht, wuirde hier schon eine primitiv- rekursive oder elementar (Kalmar) parametrisierbare Schar von P mit Pn +- -nTmmn (z.B. mit Kleene's T) genuigen). Diese Informationsluicke kann ggf. fur einzelne n geschlossen werden; dagegen: (2) die charakteristische Funktion von (ml Vn-nTmmnl die in der Form lim I. I(m) (eigentlich: Am .. .) gegeben werden kann, ist nicht

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